Kirish.

Bükme - deformatsiyalanuvchi jismning (ta`sin, to`sin, plita, qobiq va boshqalar) ta`sirida o`qi yoki o`rta yuzasining egriligi (egriligining o`zgarishi) bilan tavsiflanadigan deformatsiya turi. tashqi kuchlar yoki harorat. Bükme nurning kesmalarida egilish momentlarining paydo bo'lishi bilan bog'liq. Agar nurning ko'ndalang kesimidagi oltita ichki kuch omillaridan faqat bitta egilish momenti nolga teng bo'lmasa, egilish sof deyiladi:

Agar nurning ko'ndalang kesimlarida egilish momentiga qo'shimcha ravishda ko'ndalang kuch ham mavjud bo'lsa, egilish ko'ndalang deyiladi:

Muhandislik amaliyotida egilishning alohida holati ham ko'rib chiqiladi - uzunlamasına I. ( guruch. 1, c), uzunlamasına siqish kuchlari ta'sirida novda burilishi bilan tavsiflanadi. Rodning o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va unga perpendikulyar kuchlarning bir vaqtning o'zida ta'siri bo'ylama-ko'ndalang egilishga olib keladi ( guruch. 1, G).

Guruch. 1. Nurning egilishi: a - toza: b - ko'ndalang; c - uzunlamasına; g - uzunlamasına-ko'ndalang.

Egilib turadigan nurga nur deyiladi. Agar deformatsiyadan keyin nurning o'qi tekis chiziq bo'lib qolsa, egilish tekis deb ataladi. Nurning egri o'qining joylashish tekisligiga egilish tekisligi deyiladi. Yuk kuchlarining harakat tekisligi kuch tekisligi deyiladi. Agar kuch tekisligi kesmaning asosiy inersiya tekisliklaridan biriga to'g'ri kelsa, egilish to'g'ri deb ataladi. (Aks holda, qiyshiq egilish sodir bo'ladi). Bosh inersiya tekisligi ko'ndalang kesim- bu nurning uzunlamasına o'qi bilan asosiy tasavvurlar o'qlaridan biri tomonidan tashkil etilgan tekislik. Qachonki tekis tekis egilish egilish tekisligi va kuch tekisligi mos tushadi.

Nurning buralishi va egilishi muammosi (Sent-Venant muammosi) katta amaliy qiziqish uyg'otadi. Navier tomonidan o'rnatilgan bükme nazariyasini qo'llash keng tarmoqni tashkil qiladi strukturaviy mexanika va juda katta amaliy ahamiyatga ega, chunki u tuzilmalarning turli qismlarining o'lchamlarini hisoblash va mustahkamligini tekshirish uchun asos bo'lib xizmat qiladi: nurlar, ko'priklar, mashina elementlari va boshqalar.

ELASTIKLIK NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI VA MAMULLARI

§ 1. asosiy tenglamalar

Birinchidan, elastiklik nazariyasining odatda elastik jismning statikasi deb ataladigan bo'limining mazmunini tashkil etuvchi elastik jismning muvozanat masalalari uchun asosiy tenglamalarning umumiy xulosasini beramiz.

Jismning deformatsiyalangan holati to'liq deformatsiya maydoni tenzori yoki siljish maydoni bilan aniqlanadi Deformatsiya tenzorining komponentlari differensial Koshi bog'liqliklari bilan siljishlar bilan bog'liq:

(1)

Deformatsiya tensorining komponentlari Sen-Venant differensial bog'liqliklarini qondirishi kerak:

(1) tenglamalarning integrallanishi uchun zarur va yetarli shartlardir.

Tananing stress holati stress maydonining tenzori bilan belgilanadi Simmetrik tensorning oltita mustaqil komponenti () uchta differentsial muvozanat tenglamasini qondirishi kerak:

Stress tensorining komponentlari Va harakatlar Huk qonunining olti tenglamasi bilan bog'langan:

Ba'zi hollarda Guk qonunining tenglamalaridan formula shaklida foydalanishga to'g'ri keladi

, (5)

(1)-(5) tenglamalar elastiklik nazariyasidagi statik masalalarning asosiy tenglamalaridir. Ba'zan (1) va (2) tenglamalar geometrik tenglamalar, tenglamalar deb ataladi ( 3) statik tenglamalar, (4) yoki (5) tenglamalar esa fizik tenglamalardir. Chiziqli elastik jismning ichki hajm nuqtalaridagi holatini aniqlaydigan asosiy tenglamalarga uning yuzasida shartlarni qo'shish kerak bu shartlar chegaraviy shartlar deyiladi. Ular yoki berilgan tashqi sirt kuchlari bilan aniqlanadi yoki belgilangan harakatlar tana yuzasidagi nuqtalar. Birinchi holda, chegara shartlari tenglik bilan ifodalanadi:

vektor komponentlari qayerda t sirt kuchi, - birlik vektorining komponentlari P, sirtga tashqi normal bo'ylab yo'naltirilgan ko'rib chiqilayotgan nuqtada.

Ikkinchi holda, chegara shartlari tenglik bilan ifodalanadi

Qayerda - sirtda belgilangan funktsiyalar.

Chegaraviy shartlar, shuningdek, bir qismda bo'lsa, aralash xarakterga ega bo'lishi mumkin tashqi sirt kuchlari tananing yuzasida ko'rsatilgan va boshqa qismida tananing yuzasiga siljishlar berilgan:

Boshqa turdagi chegara shartlari ham mumkin. Masalan, tana yuzasining ma'lum bir maydonida faqat siljish vektorining ba'zi komponentlari ko'rsatilgan va qo'shimcha ravishda sirt kuchi vektorining barcha komponentlari ko'rsatilmagan.

§ 2. Elastik jism statikasining asosiy masalalari

Chegaraviy shartlarning turiga qarab elastiklik nazariyasidagi asosiy statik masalalarning uch turi ajratiladi.

Birinchi turdagi asosiy vazifa kuchlanish maydoni tensorining tarkibiy qismlarini aniqlashdir hudud ichida , tanasi tomonidan ishg'ol qilingan va hudud ichidagi nuqtalarning harakat vektorining komponenti va sirt nuqtalari jismlar berilgan massa kuchlariga muvofiq va sirt kuchlari

Kerakli to'qqiz funktsiya asosiy tenglamalar (3) va (4), shuningdek chegara shartlarini (6) qondirishi kerak.

Ikkinchi turdagi asosiy vazifa harakatlarni aniqlashdir hudud ichidagi nuqtalar va stress maydoni tensor komponenti berilgan massa kuchlariga ko'ra va tana yuzasida belgilangan harakatlarga ko'ra.

Siz izlayotgan xususiyatlar Va asosiy (3) va (4) tenglamalarni va (7) chegara shartlarini qondirishi kerak.

E'tibor bering, chegara shartlari (7) belgilangan funktsiyalarning uzluksizligi talabini aks ettiradi chegarada tanasi, ya'ni ichki nuqta bo'lganda yuzadagi biror nuqtaga, funksiyaga intiladi sirtning ma'lum bir nuqtasida berilgan qiymatga moyil bo'lishi kerak.

Uchinchi turdagi yoki aralash muammoning asosiy muammosi shundaki, berilgan sirt kuchlari tana sirtining bir qismida va tana yuzasining boshqa qismida berilgan siljishlarga ko'ra, shuningdek, umumiy aytganda, berilgan massa kuchlariga ko'ra kuchlanish va siljish tensorining komponentlarini aniqlash talab etiladi , aralash chegara shartlari (8) bajarilganda (3) va (4) asosiy tenglamalarni qanoatlantirish.

Ushbu muammoning echimini topgandan so'ng, xususan, ulanish kuchlarini aniqlash mumkin , Ushbu sirtda belgilangan siljishlarni amalga oshirish uchun sirt nuqtalarida qo'llanilishi kerak va sirt nuqtalarining siljishlarini hisoblash ham mumkin. . Kurs ishi >> Sanoat, ishlab chiqarish

Uzunlik bo'yicha yog'och, Bu yog'och deformatsiyalangan. Deformatsiya yog'och bir vaqtning o'zida ... yog'och, polimer va boshqalar qachon egilish yog'och ikkita tayanchda yotib... egilish burilish o'qi bilan tavsiflanadi. Bunday holda, konkav qismida bosim kuchlanishi yog'och ...

Millarni hisoblashda dumaloq tasavvurlar nurlarining egilishi va buralishining kombinatsiyasi ko'pincha hisobga olinadi. Nurlarning buralishi bilan egilish hollari kamroq uchraydi. dumaloq qism.

§ 1.9 da, asosiy o'qlarga nisbatan kesimning inersiya momentlari bir-biriga teng bo'lgan taqdirda, nurning qiyshiq egilishi mumkin emasligi aniqlangan. Shu munosabat bilan, dumaloq nurlarning egilishi mumkin emas. Shuning uchun, tashqi kuchlarning umumiy holatida, dumaloq nur kombinatsiyani boshdan kechiradi quyidagi turlar deformatsiyalar: to'g'ridan-to'g'ri ko'ndalang egilish, burilish va markaziy kuchlanish (yoki siqish).

Keling, buni ko'rib chiqaylik maxsus holat dumaloq nurni uning kesimlarida bo'ylama kuch nolga teng bo'lganda hisoblash. Bunday holda, nur ishlaydi qo'shma harakat egilish va burilish. Nurning xavfli nuqtasini topish uchun egilish va moment momentlarining nur uzunligi bo'ylab qanday o'zgarishini aniqlash kerak, ya'ni umumiy egilish momentlari M va momentlarning diagrammalarini qurish kerak ushbu diagrammalardan aniq misol Shaklda ko'rsatilgan mil. 22.9, a. Mil A va B podshipniklariga tayanadi va C dvigateli tomonidan boshqariladi.

Kasnaklar E va F milga o'rnatiladi, ular orqali kuchlanish bilan harakatlantiruvchi kamarlar tashlanadi. Faraz qilaylik, mil rulmanlarda ishqalanishsiz aylanadi; biz mil va kasnaklarning o'z og'irligini e'tiborsiz qoldiramiz (agar ularning og'irligi muhim bo'lsa, buni hisobga olish kerak). Milning kesma o'qini vertikal, o'qni esa gorizontal yo'naltiramiz.

Kuchlarning kattaligi (1.6) va (2.6) formulalar yordamida aniqlanishi mumkin, agar, masalan, har bir kasnak tomonidan uzatiladigan quvvat, milning burchak tezligi va kuchlarning kattaligini aniqlagandan so'ng, nisbatlar ma'lum bo'lsa. bu kuchlar milning uzunlamasına o'qiga o'zlariga parallel ravishda uzatiladi. Bunday holda, E va F kasnaklar joylashgan va mos ravishda teng bo'lgan qismlarda milga buralish momentlari qo'llaniladi, bu momentlar dvigateldan uzatiladigan moment bilan muvozanatlanadi (22.9-rasm, b). Keyin kuchlar vertikal va gorizontal qismlarga bo'linadi. Vertikal kuchlar rulmanlarda vertikal reaktsiyalarni keltirib chiqaradi va gorizontal kuchlar gorizontal reaktsiyalarni keltirib chiqaradi.

Ta'sir etuvchi egilish momentlarining diagrammasi vertikal tekislik, vertikal kuchlardan qurilgan (22.9-rasm, v). Bu rasmda ko'rsatilgan. 22.9, d Xuddi shunday, gorizontal kuchlardan (22.9-rasm, e) gorizontal tekislikda harakat qiluvchi egilish momentlarining diagrammasi tuziladi (22.9-rasm, f).

Diagrammalardan formuladan foydalanib (har qanday kesmada) umumiy bükme momentini M aniqlashingiz mumkin

Ushbu formula yordamida olingan M qiymatlaridan foydalanib, umumiy egilish momentlarining diagrammasi tuziladi (22.9-rasm, g). To'g'ri, cheklovchi diagrammalar diagrammalarning o'qlarini bir xil vertikalda joylashgan nuqtalarda kesib o'tadigan milning o'sha uchastkalarida M diagrammasi to'g'ri chiziqlar bilan, boshqa joylarda esa egri chiziqlar bilan cheklangan.

(skanerga qarang)

Masalan, milning ko'rib chiqilayotgan qismida M diagrammaning uzunligi to'g'ri chiziq bilan cheklangan (22.9-rasm, g), chunki bu qismdagi diagrammalar to'g'ri chiziqlar bilan cheklangan va diagrammalarning o'qlarini kesishadi. bir xil vertikalda joylashgan nuqtalarda.

To'g'ri chiziqning diagramma o'qi bilan kesishishining O nuqtasi bir xil vertikalda joylashgan. Xuddi shunga o'xshash holat uzunlikdagi milya qismi uchun xosdir

Umumiy (umumiy) egilish momentlarining diagrammasi M milning har bir kesimida bu momentlarning kattaligini tavsiflaydi. Milning turli bo'limlarida bu momentlarning harakat tekisliklari har xil, ammo barcha bo'limlar uchun diagrammaning ordinatalari chizma tekisligi bilan shartli ravishda tekislanadi.

Moment diagrammasi xuddi shunday tuzilgan toza burilish(Qarang: § 1.6). Ko'rib chiqilayotgan mil uchun u shaklda ko'rsatilgan. 22.9, z.

Milning xavfli kesimi umumiy egilish momentlari M va momentlar diagrammasi yordamida o'rnatiladi, agar eng katta egilish momenti M bo'lgan doimiy diametrli nurning kesimida eng katta moment ham harakat qilsa, bu qism xavflidir. Xususan, ko'rib chiqilayotgan milya F shkivning o'ng tomonida undan cheksiz masofada joylashgan bunday qismga ega.

Agar maksimal egilish momenti M va maksimal moment turli kesmalarda ta'sir etsa, unda qiymatlari eng katta bo'lmagan kesim xavfli bo'lib chiqishi mumkin. O'zgaruvchan diametrli nurlar bilan eng xavfli qism bo'lishi mumkin, bunda egilish va burilish momentlari boshqa qismlarga qaraganda ancha past bo'ladi.

Xavfli uchastkani to'g'ridan-to'g'ri M diagrammalaridan aniqlash mumkin bo'lmagan hollarda va uning bir nechta uchastkalarida nurning mustahkamligini tekshirish va shu tarzda xavfli kuchlanishlarni o'rnatish kerak.

Nurning xavfli qismi o'rnatilgandan so'ng (yoki bir nechta bo'limlar aniqlangan, ulardan biri xavfli bo'lib chiqishi mumkin), unda xavfli nuqtalarni topish kerak. Buning uchun, bir vaqtning o'zida egilish momenti M va moment ta'sir qilganda, nurning ko'ndalang kesimida paydo bo'ladigan kuchlanishlarni ko'rib chiqaylik.

Uzunligi diametridan bir necha baravar katta bo'lgan dumaloq tasavvurlar nurlarida ko'ndalang kuchdan eng yuqori tangensial kuchlanish qiymatlari kichikdir va birlashtirilgan ta'sir ostida nurlarning kuchini hisoblashda hisobga olinmaydi. egilish va burilish.

Shaklda. 23.9-rasmda dumaloq nurning kesmasi ko'rsatilgan. Bu bo'limda egilish momenti M va moment akti y o'qi egilish momentining harakat tekisligiga perpendikulyar bo'ladi, shuning uchun y o'qi kesmaning neytral o'qi hisoblanadi.

Nurning ko'ndalang kesimida normal kuchlanishlar egilish va burilishdan kesish kuchlanishlaridan kelib chiqadi.

Oddiy kuchlanishlar a formula bilan aniqlanadi, bu kuchlanishlarning diagrammasi shakl. 23.9. Eng katta mutlaq qiymat normal stresslar A va B nuqtalarida paydo bo'ladi. Bu stresslar tengdir

nurning ko'ndalang kesimining qarshiligining eksenel momenti bu erda.

Tangensial kuchlanishlar formula bilan aniqlanadi. 23.9.

Bo'limning har bir nuqtasida ular bu nuqtani kesimning markazi bilan bog'laydigan radiusga normal yo'naltiriladi. Eng yuqori kesish kuchlanishlari uchastkaning perimetri bo'ylab joylashgan nuqtalarda sodir bo'ladi; ular teng

nurning kesma qarshiligining qutb momenti qayerda.

Plastik material uchun kesmaning A va B nuqtalari, bunda ham normal, ham kesishish kuchlanishlari bir vaqtning o'zida yetib boradi. eng yuqori qiymat, xavfli. Mo'rt material uchun M egilish momentidan kelib chiqadigan kuchlanish kuchlanishlari xavfli nuqta hisoblanadi.

A nuqtaga yaqin joyda ajratilgan elementar parallelepipedning kuchlanish holati rasmda ko'rsatilgan. 24.9, a. Nurning ko'ndalang kesimlariga to'g'ri keladigan parallelepipedning yuzlari bo'ylab normal kuchlanishlar va tangensial kuchlanishlar harakat qiladi. Tangensial kuchlanishlarning juftlashuv qonuniga asoslanib, parallelepipedning yuqori va pastki yuzlarida ham kuchlanishlar paydo bo'ladi. Uning qolgan ikki yuzi stressdan xoli. Shunday qilib, in Ushbu holatda mavjud shaxsiy ko'rinish Bobda batafsil muhokama qilingan samolyot stress holati. 3. Asosiy kuchlanishlar amax va (12.3) formulalar bilan aniqlanadi.

Ularga qiymatlarni almashtirgandan so'ng biz olamiz

Voltajlar bor turli belgilar va shuning uchun

Asosiy maydonlar bo'yicha A nuqtaga yaqin joyda ta'kidlangan elementar parallelepiped rasmda ko'rsatilgan. 24.9, b.

Yuqorida aytib o'tilganidek (1.9-bandning boshiga qarang) burilish bilan bükme paytida kuch uchun nurlarni hisoblash kuch nazariyalari yordamida amalga oshiriladi. Bunday holda, plastmassa materiallardan nurlarni hisoblash odatda uchinchi yoki to'rtinchi kuch nazariyasi asosida, mo'rt bo'lganlardan esa - Mohr nazariyasiga ko'ra amalga oshiriladi.

Uchinchi kuch nazariyasiga ko'ra [qarang. formula (6.8)], ifodalarni ushbu tengsizlikka almashtirib [qarang. formula (23.9)], olamiz

Fazoviy (murakkab) egilish

Fazoviy egilish - bu faqat egilish momentlari va nurning kesimida harakat qiladigan murakkab qarshilik turi. To'liq egilish momenti inertsiyaning asosiy tekisliklarining hech birida harakat qilmaydi. Uzunlamasına kuch yo'q. Fazoviy yoki murakkab egilish ko'pincha tekis bo'lmagan egilish deb ataladi, chunki novda egilgan o'qi tekislik egri emas. Bu egilish nurning o'qiga perpendikulyar bo'lgan turli tekisliklarda ta'sir qiluvchi kuchlar tufayli yuzaga keladi (1.2.1-rasm).

1.2.1-rasm

Yuqorida ko'rsatilgan murakkab qarshilik bilan bog'liq muammolarni hal qilish tartibiga rioya qilgan holda, biz rasmda keltirilgan kuchlarning fazoviy tizimini tuzamiz. 1.2.1, ikkitaga shunday qilib, ularning har biri asosiy tekisliklardan birida harakat qiladi. Natijada, biz ikkita tekis ko'ndalang burmalarni olamiz - vertikal va gorizontal tekisliklarda. Nurning kesimida paydo bo'ladigan to'rtta ichki kuch omillaridan biz faqat egilish momentlarining ta'sirini hisobga olamiz. Tegishli kuchlardan kelib chiqqan diagrammalarni tuzamiz (1.2.1-rasm).

Bükme momentlarining diagrammalarini tahlil qilib, biz A bo'limi xavfli degan xulosaga kelamiz, chunki eng katta egilish momentlari aynan shu bo'limda sodir bo'ladi. Endi A bo'limining xavfli nuqtalarini o'rnatish kerak. Buning uchun biz nol chizig'ini quramiz. Nolinchi chiziqli tenglama, ushbu tenglamaga kiritilgan atamalar uchun belgi qoidasini hisobga olgan holda, quyidagi shaklga ega:

Bu erda "" belgisi tenglamaning ikkinchi qismiga yaqin qabul qilinadi, chunki birinchi chorakdagi moment natijasida yuzaga kelgan stresslar salbiy bo'ladi.

O'qning musbat yo'nalishi bilan nol chiziqning moyillik burchagini aniqlaymiz (12.6-rasm):

Guruch. 1.2.2

(8) tenglamadan kelib chiqadiki, fazoviy egilish uchun nol chiziq to'g'ri chiziq bo'lib, kesimning og'irlik markazidan o'tadi.

Rasmdan. 1.2.2 dan ko'rinib turibdiki, eng katta kuchlanishlar nol chizig'idan eng uzoqda joylashgan 2 va 4-qismning nuqtalarida paydo bo'ladi. Bu nuqtalarda normal stresslar kattalikda bir xil bo'ladi, lekin belgisi bo'yicha farqlanadi: 4-bandda stresslar ijobiy bo'ladi, ya'ni. kuchlanish, 2-sonli nuqtada - salbiy, ya'ni. siqish. Ushbu stresslarning belgilari jismoniy nuqtai nazardan aniqlangan.

Endi xavfli nuqtalar aniqlangandan so'ng, keling, A bo'limidagi maksimal kuchlanishlarni hisoblab chiqamiz va ibora yordamida nurning kuchini tekshiramiz:

Chidamlilik holati (10) nafaqat nurning mustahkamligini tekshirishga, balki kesmaning nisbati ko'rsatilgan bo'lsa, uning kesimining o'lchamlarini tanlashga ham imkon beradi.

Fazoviy egilish Ushbu turdagi murakkab qarshilik deyiladi, unda faqat egilish momentlari va
. To'liq egilish momenti inertsiyaning asosiy tekisliklarining hech birida harakat qilmaydi. Uzunlamasına kuch yo'q. Ko'pincha fazoviy yoki murakkab bükme deyiladi tekis bo'lmagan egilish, chunki tayoqning egri o'qi tekis egri emas. Bu egilish nurning o'qiga perpendikulyar bo'lgan turli tekisliklarda ta'sir qiluvchi kuchlar tufayli yuzaga keladi (12.4-rasm).

Yuqorida keltirilgan murakkab qarshilik bilan bog'liq muammolarni hal qilish tartibiga rioya qilib, biz shaklda ko'rsatilgan kuchlarning fazoviy tizimini tuzamiz. 12.4, ikkitaga bo'lib, ularning har biri asosiy tekisliklardan birida harakat qiladi. Natijada, biz ikkita tekis ko'ndalang burmalarni olamiz - vertikal va gorizontal tekislikda. Nurning kesimida paydo bo'ladigan to'rtta ichki kuch omillaridan
, biz faqat egilish momentlarining ta'sirini hisobga olamiz
. Biz diagrammalar quramiz
, mos ravishda kuchlar tomonidan yuzaga kelgan
(12.4-rasm).

Bükme momentlarining diagrammalarini tahlil qilib, biz A bo'limi xavfli degan xulosaga keldik, chunki eng katta egilish momentlari aynan shu bo'limda sodir bo'ladi.
Va
. Endi A bo'limining xavfli nuqtalarini o'rnatish kerak. Buning uchun biz nol chizig'ini quramiz. Nolinchi chiziqli tenglama, ushbu tenglamaga kiritilgan atamalar uchun belgi qoidasini hisobga olgan holda, quyidagi shaklga ega:

. (12.7)

Bu yerda “” belgisi tenglamaning ikkinchi hadi yaqinida qabul qilinadi, chunki birinchi chorakdagi stresslar moment tufayli yuzaga keladi.
, salbiy bo'ladi.

Nolinchi chiziqning qiyalik burchagini aniqlaymiz musbat o'q yo'nalishi bilan (12.6-rasm):

. (12.8)

(12.7) tenglamadan kelib chiqadiki, fazoviy egilish uchun nol chiziq to'g'ri chiziq bo'lib, kesimning og'irlik markazidan o'tadi.

12.5-rasmdan ko'rinib turibdiki, eng katta stresslar nol chiziqdan eng uzoqda joylashgan 2-sonli va 4-bo'limning nuqtalarida paydo bo'ladi. Bu nuqtalarda normal stresslar kattalikda bir xil bo'ladi, lekin belgisi bo'yicha farqlanadi: 4-bandda stresslar ijobiy bo'ladi, ya'ni. kuchlanish, 2-sonli nuqtada - salbiy, ya'ni. siqish. Ushbu stresslarning belgilari jismoniy nuqtai nazardan aniqlangan.

Endi xavfli nuqtalar aniqlangandan so'ng, keling, A bo'limidagi maksimal kuchlanishlarni hisoblab chiqamiz va ibora yordamida nurning kuchini tekshiramiz:

. (12.9)

Kuchlilik holati (12.9) nafaqat nurning mustahkamligini tekshirishga, balki kesmaning nisbati ko'rsatilgan bo'lsa, uning kesimining o'lchamlarini tanlashga imkon beradi.

12.4. Egri egilish

Egrilik bilan Ushbu turdagi murakkab qarshilik deyiladi, bunda nurning kesmalarida faqat egilish momentlari paydo bo'ladi
Va
, lekin fazoviy egilishdan farqli o'laroq, nurga qo'llaniladigan barcha kuchlar bir (kuch) tekislikda harakat qiladi, bu esa inertsiyaning asosiy tekisliklaridan biriga to'g'ri kelmaydi. Ushbu turdagi egilish amalda ko'pincha uchraydi, shuning uchun biz uni batafsilroq o'rganamiz.

Kuch bilan yuklangan konsol nurini ko'rib chiqing , 12.6-rasmda ko'rsatilganidek va izotrop materialdan tayyorlangan.

Fazoviy egilishda bo'lgani kabi, qiyshiq egilishda ham bo'ylama kuch bo'lmaydi. Biz uni hisoblashda ko'ndalang kuchlarning nurning kuchiga ta'sirini e'tiborsiz qoldiramiz.

12.6-rasmda ko'rsatilgan nurning dizayn diagrammasi 12.7-rasmda ko'rsatilgan.

Keling, kuchni ajratamiz vertikalga va gorizontal komponentlar va bu komponentlarning har biridan biz egilish momentlarining diagrammalarini tuzamiz
Va
.

Keling, bo'limdagi umumiy egilish momentining tarkibiy qismlarini hisoblaylik :

;
.

Bo'limdagi umumiy egilish momenti teng

Shunday qilib, umumiy egilish momentining tarkibiy qismlarini umumiy moment bo'yicha quyidagicha ifodalash mumkin:

;
. (12.10)

(12.10) ifodadan ko'rinib turibdiki, qiya egilish paytida tashqi kuchlar tizimini tarkibiy qismlarga ajratishning hojati yo'q, chunki umumiy egilish momentining bu komponentlari kuch izining moyillik burchagi yordamida bir-biriga bog'langan. samolyot . Natijada, komponentlarning diagrammalarini qurishning hojati yo'q
Va
umumiy egilish momenti. Umumiy egilish momentini chizish kifoya
kuch tekisligida, so'ngra (12.10) ifodadan foydalanib, bizni qiziqtiradigan nurning istalgan qismida umumiy egilish momentining tarkibiy qismlarini aniqlang. Olingan xulosa qiya egilish bilan bog'liq muammolarni hal qilishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Umumiy egilish momenti (12.10) komponentlarining qiymatlarini normal kuchlanish formulasiga (12.2) almashtiramiz.
. Biz olamiz:

. (12.11)

Bu erda umumiy egilish momenti yonidagi "" belgisi ko'rib chiqilayotgan kesma nuqtasida normal kuchlanishning to'g'ri belgisini avtomatik ravishda olish uchun maxsus qo'yilgan. Umumiy egilish momenti
va nuqta koordinatalari Va birinchi kvadrantda nuqta koordinatalarining belgilari ijobiy qabul qilingan taqdirda, ularning belgilari bilan olinadi.

Formula (12.11) kontsentrlangan kuch bilan bir uchidan qisilgan va ikkinchi tomoni yuklangan nurning qiya egilishining maxsus holatini ko'rib chiqish natijasida olingan. Biroq, bu formula qiya egilishda kuchlanishlarni hisoblash uchun umumiy formuladir.

Ko'rib chiqilayotgan ishdagi fazoviy egilish kabi xavfli qism (12.6-rasm) A bo'limi bo'ladi, chunki bu bo'limda eng katta umumiy egilish momenti sodir bo'ladi. Nol chiziqni qurish orqali A bo'limning xavfli nuqtalarini aniqlaymiz. Nolinchi chiziq tenglamasini (12.11) formuladan foydalanib, koordinatali nuqtadagi normal kuchlanishlarni hisoblab chiqamiz. Va , nol chizig'iga tegishli va topilgan kuchlanishlarni nolga tenglashtiring. Oddiy o'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

(12.12)

. (12.13)

Bu yerga nolinchi chiziqning o‘qqa moyillik burchagi (12.8-rasm).

(12.12) va (12.13) tenglamalarni o'rganib chiqib, biz qiyshiq egilish paytida nol chiziqning harakati haqida ba'zi xulosalar chiqarishimiz mumkin:

12.8-rasmdan kelib chiqadiki, eng yuqori kuchlanishlar nol chiziqdan eng uzoqda joylashgan kesma nuqtalarida sodir bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan holatda bunday nuqtalar No1 va 3-bandlardir. Shunday qilib, qiya egilish bilan mustahkamlik holati quyidagi shaklga ega:

. (12.14)

Bu yerga:
;
.

Agar kesimning asosiy inersiya o'qlariga nisbatan qarshilik momentlarini kesmaning o'lchamlari bo'yicha ifodalash mumkin bo'lsa, mustahkamlik holatini ushbu shaklda qo'llash qulay:

. (12.15)

Bo'limlarni tanlashda qarshilikning eksenel momentlaridan biri qavsdan chiqariladi va munosabatlar bilan belgilanadi. . Bilish
,
va burchak , ketma-ket urinishlar orqali qiymatlarni aniqlang
Va , quvvat shartini qondirish

. (12.16)

Chiqib ketgan burchaklari bo'lmagan assimetrik bo'limlar uchun (12.14) shakldagi mustahkamlik holati qo'llaniladi. Bunday holda, bo'limni tanlashga har bir yangi urinish bilan, birinchi navbatda, nol chiziqning o'rnini va eng uzoq nuqtaning koordinatalarini yana topish kerak (
). To'rtburchaklar kesim uchun
. Munosabatni hisobga olsak, kuch holatidan (12.16) miqdorni osongina topish mumkin
va tasavvurlar o'lchamlari.

Qiyma egilish vaqtida siljishlarni aniqlashni ko'rib chiqaylik. Keling, bo'limdagi burilishni topamiz konsol nuri (12.9-rasm). Buning uchun biz nurni bitta holatda tasvirlaymiz va asosiy tekisliklardan birida bitta egilish momentlarining diagrammasini tuzamiz. Bo'limdagi umumiy burilishni aniqlaymiz , ilgari siljish vektorining proyeksiyalarini aniqlagan o'qda Va . Umumiy burilish vektorining o'qga proyeksiyasi Mohr formulasidan foydalanib topamiz:

Umumiy burilish vektorining o'qga proyeksiyasi shunga o'xshash tarzda topamiz:

Umumiy burilish quyidagi formula bilan aniqlanadi:

. (12.19)

Shuni ta'kidlash kerakki, (12.17) va (12.18) formulalarda qiyshiq egilish bilan, koordinata o'qlari bo'yicha burilish proyeksiyalarini aniqlashda faqat integral belgi oldidagi doimiy hadlar o'zgaradi. Integralning o'zi doimiy bo'lib qoladi. Amaliy masalalarni yechishda bu integralni Mohr-Simpson usulidan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun birlik diagrammasini ko'paytiring
yuk uchun
(12.9-rasm), kuch tekisligida qurilgan va keyin olingan natijani navbati bilan doimiy koeffitsientlar bilan ketma-ket ko'paytiring. Va . Natijada biz umumiy burilishning proektsiyalarini olamiz Va koordinata o'qida Va . Nur bor bo'lsa, yuklanishning umumiy holati uchun burilish proyeksiyalari uchun ifodalar uchastkalar quyidagicha ko'rinadi:

; (12.20)

. (12.21)

Keling, topilgan qiymatlarni bir chetga surib qo'yamiz ,Va (12.8-rasm). Umumiy burilish vektori o'qi bilan birga o'tkir burchak , qiymatlarini formuladan foydalanib topish mumkin:

, (12.22)

. (12.23)

(12.22) tenglamani (12.13) nol chiziqli tenglama bilan solishtirib, shunday xulosaga kelamiz:

yoki
,

bundan nol chizig'i va to'liq burilish vektori kelib chiqadi o'zaro perpedikulyar. Burchak burchakning toʻldiruvchisi hisoblanadi 90 0 gacha. Bu holat qiyshiq egilish masalalarini hal qilishda tekshirish uchun ishlatilishi mumkin:

. (12.24)

Shunday qilib, qiyshiq egilish paytida burilishlar yo'nalishi nol chiziqqa perpendikulyar bo'ladi. Bundan kelib chiqadi muhim shart, Nima burilishlar yo'nalishi ta'sir qiluvchi kuchning yo'nalishi bilan mos kelmaydi(12.8-rasm). Agar yuk tekis kuchlar tizimi bo'lsa, u holda egri nurning o'qi kuchlarning ta'sir tekisligi bilan mos kelmaydigan tekislikda yotadi. Nur kuch tekisligiga nisbatan egiladi. Bu holat bunday egilish chaqirila boshlanganiga asos bo'ldi qiyshiq.

12.1-misol. Nolinchi chiziqning o'rnini aniqlang (burchakni toping ) 12.10-rasmda ko'rsatilgan nurning kesimi uchun.

1. Kuch tekisligi iziga burchak biz o'qning ijobiy yo'nalishidan chizamiz . Burchak Biz buni har doim keskin qabul qilamiz, lekin belgini hisobga olgan holda. To'g'ri koordinatalar tizimida o'qning musbat yo'nalishidan chizilgan bo'lsa, har qanday burchak musbat hisoblanadi soat sohasi farqli o'laroq, va agar burchak soat yo'nalishi bo'yicha yotqizilgan bo'lsa, salbiy. Bu holda burchak salbiy hisoblanadi (
).

2. Eksenel inersiya momentlarining nisbatini aniqlang:

.

3. Qiya egilish uchun nol chiziq tenglamasini burchakni topadigan shaklda yozamiz. :

;
.

4. Burchak ijobiy bo'lib chiqdi, shuning uchun biz uni o'qning ijobiy yo'nalishidan chetga surib qo'ydik soat sohasi farqli ravishda nol chiziqqa (12.10-rasm).

12.2-misol. Agar egilish momenti bo'lsa, qiya egilish paytida nurning ko'ndalang kesimining A nuqtasida normal kuchlanishning kattaligini aniqlang.
kNm, nuqta koordinatalari
sm,
Nurning kesimining o'lchamlari va kuch tekisligining moyillik burchagiga qarang 12.11-rasmda ko'rsatilgan.

1. Avval kesmaning o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblaymiz Va :

sm 4;
sm 4.

2. Egri egilish vaqtida kesmaning ixtiyoriy nuqtasida normal kuchlanishlarni aniqlash uchun (12.11) formulani yozamiz. (12.11) formulaga egilish momentining qiymatini almashtirganda, masalaning shartlari bo'yicha egilish momenti ijobiy bo'lishini hisobga olish kerak.

7,78 MPa.

12.3-misol. 12.12a-rasmda ko'rsatilgan nurning kesimining o'lchamlarini aniqlang. Nur materiali - ruxsat etilgan kuchlanish bilan po'latdir
MPa. Tomonlar nisbati ko'rsatilgan
. Kuch tekisligining yuklari va moyillik burchagi 12.12c-rasmda ko'rsatilgan.

1. Xavfli uchastkaning holatini aniqlash uchun biz egilish momentlarining diagrammasini tuzamiz (12.12b-rasm). A bo'limi xavfli bo'limda maksimal egilish momenti
kNm.

2. A bo'limidagi xavfli nuqta burchak nuqtalaridan biri bo'ladi. Shaklda kuch holatini yozamiz

,

Bu munosabatni hisobga olsak, uni qayerdan topishimiz mumkin
:

3. Kesmaning o'lchamlarini aniqlang. Qarshilikning eksenel momenti
tomonlarning munosabatlarini hisobga olgan holda
teng:

sm 3, qayerdan

sm;
sm.

12.4-misol. Nurning egilishi natijasida kesimning og'irlik markazi burchak bilan belgilangan yo'nalishda harakat qildi. aks bilan (12.13-rasm, a). Nishab burchagini aniqlang kuch tekisligi. Nurning kesimining shakli va o'lchamlari rasmda ko'rsatilgan.

1. Kuch tekisligi izining qiyalik burchagini aniqlash (12.22) ifodadan foydalanamiz:

, qayerda
.

Inersiya momentlarining nisbati
(12.1-misolga qarang). Keyin

.

Keling, bu burchak qiymatini chetga surib qo'yamiz musbat o'q yo'nalishidan (12.13-rasm, b). 12.13b-rasmdagi kuch tekisligining izi kesilgan chiziq shaklida ko'rsatilgan.

2. Olingan yechimni tekshiramiz. Buning uchun burchakning topilgan qiymati bilan Nolinchi chiziqning o'rnini aniqlaymiz. (12.13) ifodadan foydalanamiz:

.

Nolinchi chiziq 12.13-rasmda nuqta chiziq sifatida ko'rsatilgan. Nolinchi chiziq burilish chizig'iga perpendikulyar bo'lishi kerak. Keling, buni tekshirib ko'ramiz:

12.5-misol. Oblik egilish vaqtida B bo'limida nurning umumiy og'ishini aniqlang (12.14a-rasm). Nur materiali - elastik modulli po'latdir
MPa. Kuch tekisligining kesma o'lchamlari va moyillik burchagi 12.14b-rasmda ko'rsatilgan.

1. Umumiy burilish vektorining proyeksiyalarini aniqlang A bo'limida Va . Buning uchun biz egilish momentlarining yuk diagrammasini tuzamiz
(12.14-rasm, v), bitta diagramma
(12.14-rasm, d).

2. Mohr-Simpson usulidan foydalanib, biz yukni ko'paytiramiz
va yagona
(12.20) va (12.21) ifodalar yordamida egilish momentlarining diagrammasi:

m
mm.

m
mm.

Kesimning eksenel inersiya momentlari
sm 4 va
Biz 12.1-misoldan sm 4 ni olamiz.

3. B kesmaning umumiy og'ishini aniqlang:

.

Chizmada umumiy burilish proektsiyalarining topilgan qiymatlari va to'liq burilishning o'zi tasvirlangan (12.14b-rasm). Muammoni hal qilishda umumiy og'ishning proektsiyalari ijobiy bo'lganligi sababli, biz ularni birlik kuchining harakat yo'nalishi bo'yicha chetga surib qo'yamiz, ya'ni. pastga ( ) va chap ( ).

5. Yechimning to'g'riligini tekshirish uchun nol chiziqning o'qga moyillik burchagini aniqlaymiz. :

Keling, umumiy og'ish yo'nalishi burchaklarining modullarini to'playmiz Va :

Bu shuni anglatadiki, to'liq burilish nol chiziqqa perpendikulyar. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilindi.