Unda biz eng oddiy hosilalarni ko'rib chiqdik, shuningdek, differensiallash qoidalari va hosilalarni topishning ba'zi texnik usullari bilan tanishdik. Shunday qilib, agar siz funktsiyalarning hosilalarini yaxshi bilmasangiz yoki ushbu maqoladagi ba'zi fikrlar to'liq tushunarsiz bo'lsa, avval yuqoridagi darsni o'qing. Iltimos, jiddiy kayfiyatda bo'ling - material oddiy emas, lekin baribir uni sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman.

Amalda hosila bilan murakkab funktsiya juda tez-tez duch kelishga to'g'ri keladi, hatto aytmoqchimanki, deyarli har doim, hosilalarni topish bo'yicha topshiriqlar berilganda.

Murakkab funktsiyani differensiallash uchun qoida (№ 5) jadvaliga qaraymiz:

Keling, buni aniqlaylik. Avvalo, kirishga e'tibor beraylik. Bu erda biz ikkita funktsiyaga egamiz - va , va funksiya, majoziy ma'noda, funktsiya ichida joylashgan. Bunday turdagi funktsiya (bir funktsiya boshqasining ichiga joylashtirilganda) murakkab funktsiya deyiladi.

Men funktsiyani chaqiraman tashqi funktsiya, va funksiya – ichki (yoki ichki) funksiya.

! Ushbu ta'riflar nazariy emas va topshiriqlarning yakuniy dizaynida ko'rinmasligi kerak. Men "tashqi funktsiya", "ichki" funktsiya norasmiy iboralarni faqat materialni tushunishingizni osonlashtirish uchun ishlataman.

Vaziyatni aniqlashtirish uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Sinus ostida bizda nafaqat "X" harfi, balki butun ifoda mavjud, shuning uchun hosilani jadvaldan darhol topish ishlamaydi. Bundan tashqari, biz bu erda birinchi to'rtta qoidani qo'llashning iloji yo'qligini payqadik, farq borga o'xshaydi, lekin haqiqat shundaki, sinusni "bo'laklarga bo'lib bo'lmaydi":

Ushbu misolda, mening tushuntirishlarimdan allaqachon intuitiv ravishda aniq bo'ladiki, funktsiya murakkab funktsiya, polinom esa ichki funktsiya (o'rnatish) va tashqi funktsiyadir.

Birinchi qadam murakkab funksiyaning hosilasini topishda nima qilish kerak qaysi funktsiya ichki va qaysi tashqi ekanligini tushunish.

Oddiy misollarda, ko'phad sinus ostida joylashganligi aniq ko'rinadi. Ammo hamma narsa aniq bo'lmasa-chi? Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini qanday aniq aniqlash mumkin? Buning uchun men aqliy yoki qoralama shaklida bajarilishi mumkin bo'lgan quyidagi texnikadan foydalanishni taklif qilaman.

Tasavvur qilaylik, biz kalkulyatorda ifoda qiymatini hisoblashimiz kerak (bitta o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

Avval nimani hisoblaymiz? Birinchidan siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak bo'ladi: , shuning uchun polinom ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan topish kerak bo'ladi, shuning uchun sinus - tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin SOTILDI ichki va tashqi funktsiyalar bilan murakkab funktsiyalarni farqlash qoidasini qo'llash vaqti keldi .

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik. Darsdan hosilani qanday topish mumkin? Biz har qanday hosila uchun yechimning dizayni har doim shunday boshlanishini eslaymiz - biz ifodani qavs ichiga olamiz va yuqori o'ngga chiziq qo'yamiz:

Boshida tashqi funktsiyaning hosilasini (sinus) topamiz, elementar funksiyalarning hosilalari jadvaliga qarang va e'tibor bering. Agar "x" murakkab ifoda bilan almashtirilsa, barcha jadval formulalari ham amal qiladi, V Ushbu holatda:

E'tibor bering, ichki funktsiya o'zgarmadi, biz unga tegmaymiz.

Xo'sh, bu juda aniq

Formulani qo'llash natijasi yakuniy shaklda u quyidagicha ko'rinadi:

Doimiy omil odatda ifoda boshida joylashtiriladi:

Agar biron bir tushunmovchilik bo'lsa, echimni qog'ozga yozing va tushuntirishlarni qayta o'qing.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Har doimgidek, biz yozamiz:

Keling, qaerda tashqi funktsiyamiz borligini va qaerda ichki funksiyamiz borligini aniqlaylik. Buning uchun biz (aqliy yoki qoralamada) ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilamiz. Avval nima qilish kerak? Avvalo, siz asos nimaga teng ekanligini hisoblashingiz kerak: shuning uchun polinom ichki funktsiyadir:

Va shundan keyingina eksponentatsiya amalga oshiriladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funksiya hisoblanadi:

Formulaga ko'ra , birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini, bu holda darajani topishingiz kerak. Jadvaldan kerakli formulani qidiramiz: . Yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "X" uchun, balki murakkab ifoda uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, murakkab funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi:

Yana bir bor ta'kidlaymanki, biz tashqi funktsiyaning hosilasini olganimizda, bizning ichki funktsiyamiz o'zgarmaydi:

Endi faqat ichki funktsiyaning juda oddiy hosilasini topish va natijani biroz o'zgartirish qoladi:

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu misol uchun mustaqil qaror(javob dars oxirida).

Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi tushunchangizni mustahkamlash uchun men izohlarsiz misol keltiraman, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling, tashqi va ichki funktsiya qayerda ekanligini, nima uchun vazifalar bu tarzda hal qilingan?

5-misol

a) funksiyaning hosilasini toping

b) funksiyaning hosilasini toping

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda bizda ildiz bor va ildizni farqlash uchun uni kuch sifatida ifodalash kerak. Shunday qilib, avval biz funktsiyani farqlash uchun mos shaklga keltiramiz:

Funksiyani tahlil qilib, biz uchta hadning yig'indisi ichki funktsiya, kuchga ko'tarish esa tashqi funktsiya degan xulosaga kelamiz. Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz :

Biz darajani yana radikal (ildiz) sifatida ifodalaymiz va ichki funktsiyaning hosilasi uchun yig'indini farqlash uchun oddiy qoidani qo'llaymiz:

Tayyor. Qavslar ichidagi ifodani ham berishingiz mumkin umumiy maxraj va hamma narsani bitta kasr sifatida yozing. Bu, albatta, go'zal, lekin siz noqulay uzun lotinlarga ega bo'lsangiz, buni qilmaslik yaxshiroqdir (chalkashib ketish oson, ruxsat bering keraksiz xato, va o'qituvchining tekshirishi noqulay bo'ladi).

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).

Qizig'i shundaki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash qoidasi o'rniga, siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin. , lekin bunday yechim noodatiy buzuqlik kabi ko'rinadi. Mana odatiy misol:

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin , lekin hosilasini murakkab funksiyani differentsiallash qoidasi orqali topish ancha foydali:

Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - biz minusni hosila belgisidan chiqaramiz va kosinusni hisoblagichga ko'taramiz:

Kosinus - ichki funktsiya, ko'rsatkich - tashqi funktsiya.
Keling, qoidamizdan foydalanaylik :

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz va kosinusni qayta tiklaymiz:

Tayyor. Ko'rib chiqilgan misolda, belgilarda chalkashmaslik kerak. Aytgancha, qoida yordamida uni hal qilishga harakat qiling , javoblar mos kelishi kerak.

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).

Hozirgacha biz murakkab funktsiyada faqat bitta uyaga ega bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Amaliy topshiriqlarda siz ko'pincha lotinlarni topishingiz mumkin, ularda qo'g'irchoqlar kabi, bir vaqtning o'zida 3 yoki hatto 4-5 funktsiya bir-birining ichiga joylashtirilgan.

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Keling, ushbu funktsiyaning qo'shimchalarini tushunaylik. Eksperimental qiymatdan foydalanib, ifodani hisoblashga harakat qilaylik. Kalkulyatorga qanday ishonishimiz mumkin?

Avval siz ni topishingiz kerak, ya'ni arksine eng chuqur joylashuvdir:

Birning bu yoyi kvadratiga aylantirilishi kerak:

Va nihoyat, ettitani kuchga ko'taramiz:

Ya'ni, bu misolda bizda uchta turli funksiya va ikkita o'rnatish mavjud, eng ichki funktsiya arksinus, eng tashqi funktsiya esa eksponensial funktsiyadir.

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik

Qoidaga ko'ra Avval siz tashqi funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak. Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini topamiz: yagona farq shundaki, bizda "x" o'rniga murakkab ifoda, bu formulaning haqiqiyligini inkor etmaydi. Demak, murakkab funktsiyani differensiallash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordamida hosilalarni hisoblashga misollar keltirilgan.

Bu erda biz quyidagi funktsiyalarning hosilalarini hisoblash misollarini keltiramiz:
; ; ; ; .

Agar funktsiyani kompleks funksiya sifatida ifodalash mumkin bo'lsa quyidagi shakl:
,
u holda uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Quyidagi misollarda biz ushbu formulani quyidagicha yozamiz:
.
Qayerda.
Bu yerda hosila belgisi ostida joylashgan yoki pastki belgisi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchilarni bildiradi.

Odatda, hosilalar jadvallarida x o'zgaruvchidan funksiyalarning hosilalari beriladi.

Biroq, x rasmiy parametrdir. X o'zgaruvchisi istalgan boshqa o'zgaruvchi bilan almashtirilishi mumkin. Shuning uchun funktsiyani o'zgaruvchidan farqlashda biz hosilalar jadvalidagi x o'zgaruvchisini shunchaki u o'zgaruvchiga o'zgartiramiz.

Oddiy misollar

1-misol
.

Murakkab funksiyaning hosilasini toping

Yechim Keling, yozamiz berilgan funksiya
.
ekvivalent shaklda:
;
.

Sanoat jadvalida biz quyidagilarni topamiz:
.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:

Bu yerga .

Javob

2-misol
.

Murakkab funksiyaning hosilasini toping

Hosilini toping
.

.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:

Bu yerga .

Biz doimiy 5 ni hosila belgisidan chiqaramiz va hosilalar jadvalidan topamiz:

3-misol
.

Murakkab funksiyaning hosilasini toping

Hosilini toping -1 Biz doimiyni chiqaramiz
;
hosila belgisi uchun va hosilalar jadvalidan topamiz:
.

Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:

Bu yerga .

Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:

Keyinchalik murakkab misollar Ko'proq murakkab misollar murakkab funksiyani farqlash qoidasini bir necha marta qo‘llaymiz. Bunday holda biz lotinni oxiridan hisoblaymiz. Ya'ni, funksiyani uning tarkibiy qismlariga ajratamiz va undan foydalanib, eng oddiy qismlarning hosilalarini topamiz hosilalar jadvali . Biz ham foydalanamiz summalarni farqlash qoidalari

, mahsulotlar va fraksiyalar. Keyin almashtirishlarni amalga oshiramiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.

3-misol
.

Murakkab funksiyaning hosilasini toping

4-misol Keling, eng ko'p ta'kidlaymiz oddiy qism

.
formulasini va uning hosilasini toping. .
.

Olingan natijalardan foydalanib, asl funktsiyaning keyingi qismining hosilasini topamiz. Yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
.

Yana bir bor murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:

Bu yerga .

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping
.

Murakkab funksiyaning hosilasini toping

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va hosilalar jadvalidan hosilasini topamiz. .

Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga
.

Ta'rif.\(y = f(x)\) funksiya uning ichidagi \(x_0\) nuqtani o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda aniqlansin. Keling, argumentga \(\Delta x \) ortishini beraylik, shunda u bu oraliqdan chiqmaydi. \(\Delta y \) funksiyaning mos o'sishini topamiz (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) va \(\frac(\Delta) munosabatini tuzamiz. y)(\Delta x) \). Agar bu nisbatning chegarasi \(\Delta x \o'ng ko'rsatkich 0\) bo'lsa, u holda belgilangan chegara deyiladi. funktsiyaning hosilasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi, y" = f(x) yangi funktsiyadir, lekin tabiiy ravishda y = f(x) funktsiyasi bilan bog'liq bo'lib, yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan barcha x nuqtalarida aniqlanadi. Bu funktsiya shunday deb ataladi: y = f(x) funksiyaning hosilasi.

Hosilning geometrik ma'nosi quyidagicha. Agar y = f(x) funktsiya grafigiga y o'qiga parallel bo'lmagan abtsissa x=a nuqtada teginish mumkin bo'lsa, u holda f(a) teginish qiyaligini ifodalaydi. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tan(a) \) tengligi to'g'ri bo'ladi.

Endi hosila ta'rifini taxminiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaylik. \(y = f(x)\) funksiya ma'lum \(x\) nuqtasida hosilaga ega bo'lsin:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqtasi yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x)\), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot\ Delta x\). Olingan taxminiy tenglikning ma'noli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti hosilaning qiymati. berilgan nuqta X. Masalan, \(y = x^2\) funksiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tenglik amal qiladi. Agar hosila ta'rifini sinchiklab tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini bilib olamiz.

Keling, uni shakllantiramiz.

y = f(x) funksiyaning hosilasi qanday topiladi?

1. \(x\) qiymatini aniqlang, \(f(x)\) toping.
2. \(x\) argumentiga \(\Delta x\) qoʻshimchasini bering, quyidagiga oʻting. yangi nuqta\(x+ \Delta x \), toping \(f(x+ \Delta x) \)
3. Funktsiyaning o'sish qismini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini yarating.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x nuqtadagi hosilasidir.

Agar y = f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. y = f(x) funksiyaning hosilasini topish protsedurasi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.

Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi bir-biri bilan qanday bog'liq?

y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin M(x; f(x)) nuqtadagi funksiya grafigiga tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning burchak koeffitsienti f “(x) ga teng. Bunday grafik “buzilmaydi”. M nuqtada, ya'ni funksiya x nuqtada uzluksiz bo'lishi kerak.

Bular "qo'l" argumentlari edi. Keling, yanada qat'iyroq fikr yuritamiz. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallansa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x\) bajariladi. Agar bu tenglikda \(\Delta x) \) nolga intiladi, keyin \(\Delta y\) nolga intiladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.

Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.

Teskari bayonot to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin “tushish nuqtasi” (0; 0) funksiya grafigiga teginish mavjud emas. Agar biror nuqtada funktsiya grafigiga tangensni chizish mumkin bo'lmasa, unda hosila shu nuqtada mavjud emas.

Yana bir misol. \(y=\sqrt(x)\) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. . Lekin bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni abscissa o'qiga perpendikulyar, uning tenglamasi x = 0 ko'rinishga ega. Nishab koeffitsienti bunday satr mavjud emas, demak \(f"(0) \) ham mavjud emas

Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan qanday qilib uni differentsiallash mumkin degan xulosaga kelish mumkin?

Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish mumkin bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funktsiya grafigining tangensi mavjud bo'lmasa yoki u abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsial bo'lmaydi.

Farqlash qoidalari

Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyani bajarishda siz ko'pincha bo'laklar, summalar, funktsiyalar mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz bu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son bo'lsa va f=f(x), g=g(x) ba'zi differentsiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi. farqlash qoidalari:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \o'ng) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Kompleks funktsiyaning hosilasi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Ayrim funksiyalarning hosilalari jadvali

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \o'ng) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \o'ng) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rgansiz

va shunday yuz hosil qiling:

Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa shunchaki g'alati. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta iltimos - maqolani o'qing vaqtingizni olib, har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni tushunishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.

Murakkab funktsiya nima?

Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Aytaylik, biz bir oz yig'ishimiz kerak kichik narsalar, masalan, maktab yozuv materiallari. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun siz avval ularni, masalan, sumkaga solib, keyin katta qutiga solib, keyin uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "murakkab" jarayon quyidagi diagrammada keltirilgan:

Ko'rinib turibdiki, matematikaning bunga nima aloqasi bor? Ha, murakkab funktsiya AYNASI SHUNDAY tarzda tuzilganiga qaramay! Faqat biz daftar va ruchkalarni emas, balki \(x\) “to'playmiz”, “paketlar” va “qutilar” esa boshqacha.

Misol uchun, keling, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":

Natijada, biz, albatta, \(\cos⁡x\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Endi uni "qutiga" joylashtiramiz - masalan, kub funksiyasiga to'plang.

Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar sumkasi", ya'ni "X kubik kosinasi" bo'ladi.

Olingan dizayn murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va bu "funktsiyadan funktsiya" - "qadoqdagi qadoqlash" bo'lib chiqadi.

IN maktab kursi Ushbu "paketlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rtta:

Keling, avval X-ni "to'playmiz" eksponensial funktsiya asosi 7 bilan, keyin esa trigonometrik funktsiyaga aylanadi. Biz olamiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Keling, X ni ikki marta "to'playmiz" trigonometrik funktsiyalar, avval , keyin esa:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Oddiy, to'g'rimi?

Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- logarifmdan avval asosga \(4\) , keyin quvvatga \(-2\).

Maqolaning oxirida ushbu vazifaga javoblarni toping.

X-ni ikki emas, uch marta "qadoqlash" mumkinmi? Ha, muammo yo'q! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x ning \(4\) marta “qadoqlangan” funksiyasi:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ularniki murakkabroq bo'lishi mumkin☺).

Murakkab funktsiyani "ochish"

Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichida joylashgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek yoki boshqa yo'l bilan o'qlar bilan zanjir bilan qilishingiz mumkin.

Endi to'g'ri javob: birinchi navbatda, x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida \(2\) asosiga logarifmaga joylashtirilgan. , va oxir-oqibat, bu butun qurilish kuch beshlar ichiga surildi.

Ya'ni, siz ketma-ketlikni teskari TARTIBDA yechishingiz kerak. Va buni qanday qilib osonroq qilish haqida maslahat: darhol X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Masalan, bu erda quyidagi funksiya mavjud: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda u bilan nima sodir bo'ladi? Undan olingan. Va keyin? Natijaning tangensi olinadi. Bu ketma-ketlik bir xil bo'ladi:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Yana bir misol: \(y=\cos⁡((x^3))\). Keling, tahlil qilaylik - avval biz X ni kub qildik, so'ngra natijaning kosinusini oldik. Bu ketma-ketlik quyidagicha bo'lishini anglatadi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (u erda rasmlar mavjud). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos⁡((x·x·x)))\), kubda esa kosinus \(x\) ( ya'ni \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.

Oxirgi misol (bilan muhim ma'lumotlar unda): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ko'rinib turibdiki, bu erda biz dastlab x bilan arifmetik amallar bajardik, keyin natijaning sinusini oldik: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik amallar o'z-o'zidan funksiya emasligiga qaramay, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikni biroz chuqurroq o'rganaylik.

Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ko'p "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, farqi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funksiya. Masalan, \(x^7\) oddiy funksiya va \(ctg x\) ham shunday. Bu ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalar ekanligini anglatadi:

\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7· karyola x\) - oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – oddiy va h.k.

Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u murakkab funktsiyaga aylanadi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:

Mayli, hozir davom et. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.

Ichki va tashqi funktsiyalar

Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funktsiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.

Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, aslida biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz boshida o'xshatishimizni eslasak, ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. X birinchi "o'ralgan" narsa ichki funktsiyadir va ichki funktsiya "o'ralgan" narsa allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun aniq - u tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.

Bu misolda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyasi ichki va
- tashqi.

Va bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va
- tashqi.

Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning so'nggi amaliyotini yakunlang va nihoyat biz boshlagan narsaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:

Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring:

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Bravo, biz nihoyat ushbu mavzuning "xo'jayini" ga yetib keldik - aslida murakkab funktsiyaning hosilasi, xususan, maqola boshidan o'sha dahshatli formulaga.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.

Va nima bilan nima qilish kerakligini tushunish uchun darhol so'zlarga ko'ra tahlil qilish diagrammasiga qarang:

Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz uni allaqachon saralab oldik. Tutib olish "doimiy ichki funktsiyaga nisbatan tashqi funktsiyaning hosilasi" da. Bu nima?

Javob: bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi va ichki funktsiya bir xil bo'lib qoladi. Hali ham aniq emasmi? Mayli, keling, misol keltiraylik.

Bizga \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyasi bo'lsin. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq
. Keling, doimiy ichki qismga nisbatan tashqi ko'rinish hosilasini topamiz.

Murakkab hosilalar. Logarifmik hosila.
Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikamizni yaxshilashda davom etamiz. Ushbu darsda biz o'rgangan materialimizni birlashtiramiz, yanada murakkab hosilalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, hosila topishning yangi usullari va usullari, xususan, logarifmik hosila bilan tanishamiz.

O'qigan o'quvchilarga past daraja tayyorlash, siz maqolaga murojaat qilishingiz kerak hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar, bu sizning mahoratingizni deyarli noldan oshirishga imkon beradi. Keyinchalik, sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi, tushuning va hal qiling Hammasi men keltirgan misollar. Ushbu dars mantiqan uchinchisi bo'lib, uni o'zlashtirganingizdan so'ng siz juda murakkab funktsiyalarni ishonchli tarzda ajratasiz. “Yana qayerda? Ha, bu etarli ”, chunki barcha misollar va echimlar haqiqiydan olingan testlar va amaliyotda tez-tez uchrab turadi.

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Sinfda Murakkab funktsiyaning hosilasi Biz batafsil sharhlar bilan bir qator misollarni ko'rib chiqdik. Differensial hisob va boshqa bo'limlarni o'rganish jarayonida matematik tahlil- siz tez-tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil tasvirlash har doim ham qulay emas (va har doim ham kerak emas). Shuning uchun biz hosilalarni og'zaki ravishda topishni mashq qilamiz. Buning uchun eng mos "nomzodlar" eng oddiy murakkab funktsiyalarning hosilalaridir, masalan:

Murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasiga ko'ra :

Kelajakda boshqa matan mavzularini o'rganayotganda, bunday batafsil yozuv ko'pincha talab qilinmaydi, talaba avtopilotda bunday hosilalarni qanday topishni biladi; Tasavvur qilaylik, tungi soat 3 da bor edi telefon qo'ng'irog'i, va yoqimli ovoz so'radi: "Ikki X ning tangensining hosilasi nima?" Buning ortidan deyarli bir zumda va muloyim javob bo'lishi kerak: .

Birinchi misol darhol mustaqil yechim uchun mo'ljallangan bo'ladi.

1-misol

Quyidagi hosilalarni og‘zaki, bir harakatda toping, masalan: . Vazifani bajarish uchun siz faqat foydalanishingiz kerak elementar funksiyalarning hosilalari jadvali(agar siz buni hali eslamagan bo'lsangiz). Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, men darsni qayta o'qishni maslahat beraman Murakkab funktsiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Murakkab hosilalar

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalarni o'rnatish misollari kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, lekin agar siz ularni tushunsangiz (kimdir azoblanadi), unda qolgan deyarli hamma narsa differensial hisob Bu bolaning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri Investitsiyalaringizni TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lgan hollarda sizga eslataman foydali hiyla: masalan, "x" ning eksperimental ma'nosini olamiz va bu ma'noni "dahshatli ibora" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralamada).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, ya'ni yig'indi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani farqlash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xatolik yo'qdek ...

(1) Kvadrat ildizning hosilasini oling.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) Uchlik hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz darajaning hosilasini olamiz (kub).

(4) Kosinusning hosilasini oling.

(5) Logarifmning hosilasini oling.

(6) Va nihoyat, biz eng chuqur joylashtirishning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning kollektsiyasini oling va tahlil qilingan lotinning barcha go'zalligi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun imtihonda shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval chiziqlilik qoidalari va mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Kichikroq va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Misol uchun ikkita emas, balki mahsulotini ko'rsatish odatiy hol emas uchta funktsiya. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Avval qaraymiz, uchta funktsiyaning mahsulotini ikkita funktsiyaning mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo ko'rib chiqilayotgan misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda kerak ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Ayyorlik shundan iboratki, "y" bilan biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: va "ve" bilan logarifmni belgilaymiz: . Nima uchun buni qilish mumkin? Haqiqatan ham – bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz ham buralib, qavs ichidan biror narsani qo'yishingiz mumkin, ammo bu holda javobni aynan shu shaklda qoldirgan ma'qul - tekshirish osonroq bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu birinchi usul yordamida hal qilingan namunadagi mustaqil yechim uchun misol;

Keling, kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu yerga bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Lekin birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak, yechim yanada ixchamroq yoziladi , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u shunday qoldirilsa, bu xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, javobni soddalashtirish mumkinligini bilish uchun har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi? Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga kamaytiramiz va keling, uch qavatli fraksiyadan xalos bo'laylik:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiliklari shundaki, hosilani topishda emas, balki maktabdagi oddiy o'zgarishlar paytida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'zingiz hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz kasr kuchidan yoqimsiz hosila olishingiz kerak, keyin esa kasrdan.

Shunung uchun oldin"Murakkab" logarifmning hosilasini qanday olish kerak, u birinchi navbatda taniqli maktab xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiriladi:

! Agar qo'lingizda mashq daftaringiz bo'lsa, ushbu formulalarni to'g'ridan-to'g'ri u erga ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga ko'chiring, chunki darsning qolgan misollari ushbu formulalar atrofida aylanadi.

Yechimning o'zi shunday yozilishi mumkin:

Funktsiyani o'zgartiramiz:

Hosilini topish:

Funktsiyani oldindan konvertatsiya qilishning o'zi yechimni ancha soddalashtirdi. Shunday qilib, farqlash uchun shunga o'xshash logarifm taklif qilinganda, uni har doim "buzish" tavsiya etiladi.

Va endi siz o'zingiz hal qilishingiz uchun bir nechta oddiy misollar:

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Barcha o'zgarishlar va javoblar dars oxirida.

Logarifmik hosila

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi: ba'zi hollarda logarifmni sun'iy ravishda tashkil qilish mumkinmi? Mumkin! Va hatto zarur.

11-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz yaqinda shunga o'xshash misollarni ko'rib chiqdik. Nima qilsa bo'ladi? Ketma-ket ko'rsatkichni farqlash qoidasini, keyin esa mahsulotning differentsiallash qoidasini qo'llashingiz mumkin. Ushbu usulning nochorligi shundaki, siz uch qavatli katta qismga ega bo'lasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik hosila kabi ajoyib narsa bor. Logarifmlarni sun'iy ravishda ikkala tomonga "osib" tashkil qilish mumkin:

Endi siz o'ng tomonning logarifmini iloji boricha "parchalashingiz" kerak (ko'zlaringiz oldida formulalar?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Keling, farqlashdan boshlaylik.
Biz ikkala qismni asosiy ostida yakunlaymiz:

O'ng tomonning hosilasi juda oddiy, men bunga izoh bermayman, chunki agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonchli tarzda boshqarishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda biz bor murakkab funktsiya. Men savolni oldindan ko'raman: "Nega, logarifm ostida bitta "Y" harfi bormi?"

Gap shundaki, bu "bir harfli o'yin" - O'ZI FUNKSIYA(agar u juda aniq bo'lmasa, bevosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi maqolasiga qarang). Demak, logarifm tashqi funktsiya, “y” esa ichki funktsiyadir. Va biz murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz :

Chap tomonda, xuddi sehr bilan sehrli tayoq bizda hosila bor. Keyinchalik, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "y" ni chap tomonning maxrajidan o'ng tomonning yuqori qismiga o'tkazamiz:

Keling, differensiatsiya paytida qanday "o'yinchi" funksiyasi haqida gapirganimizni eslaylik? Keling, shartni ko'rib chiqaylik:

Yakuniy javob:

12-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Dizayn namunasi bu turdagi dars oxirida.

Logarifmik hosiladan foydalanib, 4-7-sonli misollarning har qandayini hal qilish mumkin edi, yana bir narsa shundaki, u erda funktsiyalar oddiyroq va, ehtimol, logarifmik hosiladan foydalanish unchalik oqlanmagan.

Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmadik. Quvvat-eksponensial funktsiya bu uchun funktsiyadir daraja ham, asos ham "x" ga bog'liq. Klassik misol, bu sizga har qanday darslikda yoki har qanday ma'ruzada beriladi:

Kuch-eksponensial funksiyaning hosilasi qanday topiladi?

Hozirgina muhokama qilingan texnikadan foydalanish kerak - logarifmik lotin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, o'ng tomonda daraja logarifm ostidan chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz standart formula bo'yicha farqlanadigan ikkita funktsiya mahsulotiga egamiz. .

Buning uchun hosilani topamiz, biz ikkala qismni zarbalar ostiga qo'yamiz:

Keyingi harakatlar oddiy:

Nihoyat:

Har qanday konvertatsiya to'liq aniq bo'lmasa, iltimos №11-misolning tushuntirishlarini diqqat bilan qayta o'qing.

Amaliy topshiriqlarda kuch-eksponensial funktsiya har doim muhokama qilingan ma'ruza misolidan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

13-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik hosiladan foydalanamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omil ko'paytmasi bor - "x" va "logarifm x logarifmi" (boshqa logarifm logarifm ostida joylashgan). Farqlashda, biz eslayotganimizdek, konstantani darhol hosila belgisidan chiqarib tashlagan ma'qul, to'sqinlik qilmasligi uchun; va, albatta, biz tanish qoidani qo'llaymiz :

Ko'rib turganingizdek, logarifmik hosiladan foydalanish algoritmida hech qanday maxsus hiyla va hiyla-nayranglar mavjud emas va kuch-eksponensial funktsiyaning hosilasini topish odatda "qiynoqqa" bog'liq emas.