Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi.
Vektorlar asoslari. Affin koordinata tizimi

Auditoriyada shokoladli arava bor va bugun har bir tashrif buyuruvchi shirin juftlik – chiziqli algebra bilan analitik geometriyani oladi. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida ikkita bo'limni qamrab oladi. oliy matematika, va biz ular bir o'ramda qanday birga bo'lishini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twix yeying! ...Jin ursin, qanaqa safsata. Garchi, yaxshi, men gol urmayman, oxir-oqibat, siz o'qishga ijobiy munosabatda bo'lishingiz kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, chiziqli vektor mustaqilligi, vektor asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalil izlashning hojati yo'q, besh o'lchovli fazoning vektorini chizishga harakat qiling . Yoki Gismeteoga borgan ob-havo vektori: – harorat va Atmosfera bosimi mos ravishda. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Analitik geometriya muammolaridan tashqari biz ba'zilarini ham ko'rib chiqamiz tipik vazifalar algebra. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

O'zingizning samolyotingizni ko'rib chiqing kompyuter stoli(shunchaki stol, ko'rpa-to'shak, pol, ship, xohlaganingizcha). Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligiga ega, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor kerak bo'lishi intuitivdir. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha ob'ektlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring ko'rsatkich barmog'i chap qo'l stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy kichik barmoq o'ng qo'l stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyishimiz mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu yerda qandaydir son noldan farq qiladi.

Ushbu harakatning rasmini sinfda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar, bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar bo'ylab oldinga va orqaga sayohat qiling yolg'iz yo'nalish va tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari matematik tenglamalar va ifodalarda kvadratlar, kublar, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar mavjud emasligini anglatadi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq agar ular kollinear bo'lsa.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, shunda ular o'rtasida 0 yoki 180 darajadan boshqa burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli Yo'q bog'liq bo'ladi, agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa. Shunday qilib, asos olinadi. Asos turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asosida kengaytiriladi:
, haqiqiy sonlar qayerda. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Bu ham aytiladi vektorsifatida taqdim etilgan chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasosida yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosi bo'ylab parchalanadi yoki vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, deyishimiz mumkin.

Keling, shakllantiraylik asosning ta'rifi rasmiy ravishda: Samolyotning asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi deyiladi, , unda har qanday tekislik vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - vektorlarning olinishi ma'lum bir tartibda. Bazalar - bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, o'ng qo'lning kichik barmog'i o'rniga chap qo'lning kichik barmog'ini almashtira olmaysiz.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega bu etarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislikda aylanib yuradi. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan stoldagi kichik iflos joylarga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday diqqatga sazovor joy hamma uchun tanish nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Keling, koordinatalar tizimini tushunamiz:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Ular haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular koordinatalarning kelib chiqishini anglatadi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtablash. Qidiruv tizimiga “to‘rtburchaklar koordinatalar tizimi” so‘zini yozib ko‘ring va ko‘p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo‘lgan koordinata o‘qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida ma’lumot berishini ko‘rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan aniqlash mumkin ko'rinadi. Va bu deyarli to'g'ri. Matn quyidagicha:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar tekislik koordinatalari tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektor va koordinata o'qlari ko'pincha (lekin har doim ham emas) chiziladi.

Menimcha, hamma nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asosdan foydalanishni tushunadi Samolyotdagi HAR QANDAY NOKTA va samolyotdagi HAR QANDAY VEKTOR koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy uzunlikdagi nuqta va ikkita ortogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinatalar panjarasi bilan belgilanadi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari umuman birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birlikka teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek quyida afin asoslar o'qlar bo'ylab tekislik va fazo birliklari hisobga olinadi SHARTLI. Misol uchun, x o'qi bo'ylab bitta birlik 4 sm ni o'z ichiga oladi, ordinat o'qi bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi, agar kerak bo'lsa, "nostandart" koordinatalarni "bizning odatiy santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va aslida allaqachon javob berilgan ikkinchi savol, asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga teng bo'lishi kerakmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating afin tekislik koordinata tizimi :

Ba'zan bunday koordinatalar tizimi deyiladi qiyshiq tizimi. Misol sifatida, chizma nuqtalar va vektorlarni ko'rsatadi:

Siz tushunganingizdek, affin koordinata tizimi bundan ham unchalik qulay emas, biz darsning ikkinchi qismida muhokama qilgan vektorlar va segmentlarning uzunliklari uchun formulalar unda ishlamaydi; Dummies uchun vektorlar, bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti. Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari, bu borada segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz yaqinda ko'rib chiqadigan boshqa muammolar turlari amal qiladi.

Va xulosa shuki, eng qulay maxsus holat afin tizimi koordinatalar dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun siz uni tez-tez ko'rishingiz kerak, azizim. ...Ammo, bu hayotda hamma narsa nisbiy - qiyshiq burchak (yoki boshqasi, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Va gumanoidlar bunday tizimlarni yoqtirishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear edi, ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli Asosan, bu aniq munosabatlarning koordinatali koordinatali tafsilotidir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) vektorlar mavjudligini aniqlaylik mutanosiblik koeffitsienti, shundayki tengliklar qondiriladi:

Men sizga, albatta, "foppish" turdagi dastur haqida gapirib beraman ushbu qoidadan, bu amalda juda yaxshi ishlaydi. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'riligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Keling, qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

O'zaro munosabatlar boshqa yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin, bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanishingiz mumkin. IN Ushbu holatda tenglik mavjud . Ularning haqiqiyligini vektorlar bilan elementar operatsiyalar orqali osongina tekshirish mumkin:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki , ikkinchi tenglamadan shunday degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Xulosa: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan proporsiya yasaymiz :
, ya'ni bu vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Odatda bu variant sharhlovchilar tomonidan rad etilmaydi, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda qanday qilib mutanosiblik bilan ishlash mumkin? (haqiqatan ham, siz nolga bo'linmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

Kichkina ijodiy misol mustaqil qaror:

2-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar ular o'zaro bog'liq bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Aqlli bor algebraik usul vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish keling, bilimlarimizni tizimlashtiramiz va buni beshinchi nuqta sifatida qo'shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Men, albatta, umid qilaman bu daqiqa siz duch kelgan barcha shartlar va bayonotlarni allaqachon tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Bu xususiyatni qo'llash uchun, albatta, qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak determinantlarni toping.

Keling, qaror qilaylik Ikkinchi usulda 1-misol:

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektor koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional yechimga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar va to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash ham mumkin. Keling, aniq geometrik shakllar bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoda chizma yaratishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Keling, parallelogramma ta'rifini eslaylik:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va.

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan aniq rasmiylashtirish yaxshiroqdir. Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi va .

Xulosa: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel, ya'ni ta'rifi bo'yicha parallelogramma. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapesiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir. Dars oxirida to'liq yechim.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear boʻlishi uchun ularning mos koordinatalari proportsional boʻlishi zarur va yetarlidir..

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

A) ;
b)
V)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun proporsionallik koeffitsienti mavjudligini tekshiramiz:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali rasmiylashtiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Uchinchi tartibli determinant orqali fazoviy vektorlarni kollinearlikni tekshirish usuli mavjud, bu usul maqolada yoritilgan Vektorlarning vektor mahsuloti.

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va to'g'ri chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz ko'rib chiqqan ko'plab naqshlar kosmos uchun amal qiladi. Men nazariy eslatmalarni minimallashtirishga harakat qildim, chunki ma'lumotlarning asosiy ulushi allaqachon chaynalgan. Biroq, kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining tekisligi o'rniga biz uch o'lchamli fazoni o'rganamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan qochib qutula olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun uchta fazoviy vektor kerak bo'ladi. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana biz barmoqlarimizga isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va uni yoying turli tomonlar bosh barmog'i, indeks va o'rta barmoq . Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qarashadi, turli uzunliklarga ega va ega turli burchaklar o'zaro. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, buni o'qituvchilarga ko'rsatishning hojati yo'q, barmoqlaringizni qanchalik burishingizdan qat'i nazar, lekin ta'riflardan qutulib bo'lmaydi =)

Keyin so'raymiz muhim masala, har qanday uchta vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi?? Iltimos, uchta barmog'ingizni kompyuter stolining yuqori qismiga mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchamlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar o'xshash va uch o'lchovli fazoning asosi yaratilmaganligi aniq.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bir tekislikda yotishi shart emas; parallel tekisliklar(Faqat barmoqlaringiz bilan buni qilmang, faqat Salvador Dali bu tarzda tortdi =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi o'xshash, agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun, keling, ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qilaylik. Birinchidan, vektorlar faqat koplanar emas, ular kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'limdagi materiallardan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli makonning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (komplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrali deb ataladi, ma'lum bir tartibda olinadi, va fazoning istalgan vektori yagona yo'l berilgan asosda parchalanadi, bu asosda vektorning koordinatalari bu erda

Eslatib o'taman, vektor ko'rinishda ifodalangan deb ham aytishimiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi kontseptsiyasi xuddi bitta nuqta va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektor uchun xuddi shunday tarzda kiritilgan;

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo baribir qurilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Bir tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, hamma taxmin qilganidek to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

Kosmosdagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin, keling, yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Uchun uchta vektor bo'sh joy quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Menimcha, qarama-qarshi bayonotlar tushunarli.

Fazoviy vektorlarning chiziqli bog'liqligi/mustaqilligi an'anaviy tarzda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy topshiriqlar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometriya tayoqchasini osib, chiziqli algebraning beysbol tayoqchasini ishlatish vaqti keldi:

Kosmosning uchta vektori Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik bir narsaga qarataman texnik nuance: vektorlar koordinatalari nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozilishi mumkin (determinantning qiymati bundan o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular haqida umuman tushunmaydigan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan iborat.

a) Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz (birinchi qatorda determinant ochiladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Shuningdek, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Vektorlar koordinatali bo'ladi, agar bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa:

Asosan, siz determinant bilan tenglamani echishingiz kerak. Biz jerboasdagi uçurtmalar kabi nolga tushamiz - ikkinchi qatordagi determinantni ochib, darhol kamchiliklardan xalos bo'lish yaxshidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Buni amalga oshirish uchun bu erda tekshirish oson, natijada olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz kerak , yana oching.

Xulosa qilib, keling, yana bir narsani ko'rib chiqaylik tipik vazifa, bu ko'proq algebraik xususiyatga ega va an'anaviy ravishda chiziqli algebra kursiga kiritilgan. Bu shunchalik keng tarqalganki, u o'z mavzusiga loyiqdir:

Uch o‘lchamli fazoning asosini 3 vektor tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o‘lchamli fazoda asos tashkil etishini ko‘rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Birinchidan, shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Bu asos nima ekanligi bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi bosqich 6-misolning echimiga to'liq mos keladi vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:

Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil bo'lib, uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari Majburiy yozib qo'ying ustunlarga determinant, satrlarda emas. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Yechim. qidirmoqdalar umumiy qaror tenglamalar tizimlari

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss usuli. Buning uchun biz ushbu bir hil tizimni koordinatalarda yozamiz:

Tizim matritsasi

Ruxsat etilgan tizim quyidagi shaklga ega: (r A = 2, n= 3). Tizim kooperativ va noaniq. Uning umumiy yechimi ( x 2 - erkin o'zgaruvchi): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Masalan, nolga teng bo'lmagan xususiy yechimning mavjudligi vektorlar ekanligini ko'rsatadi a 1 , a 2 , a 3 chiziqli bog'liq.

2-misol.

Yo'qligini bilib oling bu tizim chiziqli bog'liq yoki chiziqli mustaqil vektorlar:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Yechim. Bir jinsli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

yoki kengaytirilgan shaklda (koordinatalar bo'yicha)

Tizim bir hil. Agar u degenerativ bo'lmasa, unda o'ziga xos echim bor. Bir hil tizimda nol (arzimas) yechim mavjud. Bu shuni anglatadiki, bu holda vektorlar tizimi mustaqildir. Agar tizim buzilgan bo'lsa, u nolga teng bo'lmagan echimlarga ega va shuning uchun u bog'liqdir.

Biz tizimni degeneratsiya uchun tekshiramiz:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Tizim degenerativ emas va shuning uchun vektorlar a 1 , a 2 , a 3 chiziqli mustaqil.

Vazifalar. Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lishini isbotlang, agar u quyidagilardan iborat bo‘lsa:

a) ikkita teng vektor;

b) ikkita proportsional vektor.

Vektorlar, ularning xossalari va ular bilan harakatlari

Vektorlar, vektorlar bilan amallar, chiziqli vektor fazosi.

Vektorlar cheklangan miqdordagi haqiqiy sonlarning tartiblangan to'plamidir.

Amallar: 1.Vektorni songa ko‘paytirish: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Vektorlarni qo'shish (bir xil vektor fazoga tegishli) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n o‘lchovli (chiziqli fazo) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. n ta vektorli sistema, n o'lchovli chiziqli fazo chiziqli bog'liq bo'lishi uchun vektorlardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

Teorema. Hodisalarning n o‘lchovli chiziqli fazosining n+ 1-vektorlarining istalgan to‘plami. chiziqli bog'liq.

Vektorlarni qo'shish, vektorlarni raqamlarga ko'paytirish. Vektorlarni ayirish.

Ikki vektor yig'indisi vektorning boshidan oxirigacha yo'naltirilgan vektor bo'lib, boshi vektorning oxiriga to'g'ri keladi. Agar vektorlar bazis birlik vektorlarida kengayishlari bilan berilgan bo'lsa, vektorlarni qo'shganda ularga mos keladigan koordinatalar qo'shiladi.

Keling, buni Dekart koordinata tizimi misolida ko'rib chiqaylik. Mayli

Keling, buni ko'rsataylik

3-rasmdan ko'rinib turibdiki

Har qanday chekli vektorlar yig‘indisini ko‘pburchak qoidasi yordamida topish mumkin (4-rasm): chekli vektorlar yig‘indisini qurish uchun har bir keyingi vektorning boshini oldingisining oxiri bilan birlashtirish kifoya. va birinchi vektorning boshini oxirgi vektorning oxiri bilan bog'lovchi vektorni tuzing.

Vektor qo'shish operatsiyasining xususiyatlari:

Bu ifodalarda m, n sonlardir.

Vektorlar orasidagi farq vektor deyiladi Ikkinchi a'zo - vektorga qarama-qarshi yo'nalish, lekin uzunligi bo'yicha unga teng.

Shunday qilib, vektorlarni ayirish operatsiyasi qo'shish amali bilan almashtiriladi

Boshlanishi A nuqtada va oxiri A (x1, y1, z1) nuqtada bo'lgan vektor A nuqtaning radius vektori deyiladi va oddiygina belgilanadi. Uning koordinatalari A nuqtaning koordinatalariga to'g'ri kelganligi sababli uning birlik vektorlarda kengayishi ko'rinishga ega.

A(x1, y1, z1) nuqtadan boshlanib, B(x2, y2, z2) nuqtada tugaydigan vektorni quyidagicha yozish mumkin.

bu yerda r 2 B nuqtaning radius vektori; r 1 - A nuqtaning radius vektori.

Shuning uchun birlik vektorlarda vektorning kengayishi shaklga ega

Uning uzunligi A va B nuqtalari orasidagi masofaga teng

KO'PTIRISH

Demak, tekislik masalasida a = (ax; ay) vektorning b soniga ko‘paytmasi formula bo‘yicha topiladi.

a b = (ax b; ay b)

Misol 1. a = (1; 2) vektorining 3 ga ko‘paytmasini toping.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Demak, fazoviy masalada a = (ax; ay; az) vektorining b soniga ko‘paytmasi formula bo‘yicha topiladi.

a b = (ax b; ay b; az b)

1-misol. a = (1; 2; -5) vektorining 2 ga ko‘paytmasini toping.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektorlarning nuqta mahsuloti va vektorlar orasidagi burchak qayerda; bo'lsa, u holda

Skayar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadiki

bu erda, masalan, vektorning vektor yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasining kattaligi.

Skalar kvadrat vektor:

Nuqta mahsulotining xususiyatlari:

Koordinatalarda nuqta mahsuloti

Agar Bu

Vektorlar orasidagi burchak

Vektorlar orasidagi burchak - bu vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak (eng kichik burchak).

O'zaro mahsulot (Ikki vektorning o'zaro mahsuloti.) - bu ikki omildan tuzilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan psevdovektor bo'lib, bu uch o'lchovli Evklid fazosida vektorlar ustidan "vektorlarni ko'paytirish" ikkilik operatsiyasining natijasidir. Mahsulot kommutativ ham, assotsiativ ham emas (u antikommutativ) va vektorlarning nuqta mahsulotidan farq qiladi. Ko'pgina muhandislik va fizika muammolarida siz ikkita mavjudga perpendikulyar vektorni qurishingiz kerak - vektor mahsuloti bu imkoniyatni beradi. O'zaro ko'paytma vektorlarning perpendikulyarligini "o'lchash" uchun foydalidir - ikkita vektorning kesishgan ko'paytmasining uzunligi, agar ular perpendikulyar bo'lsa, ularning uzunliklari mahsulotiga teng bo'ladi va vektorlar parallel yoki antiparallel bo'lsa, nolga kamayadi.

O'zaro mahsulot faqat uch o'lchovli va etti o'lchovli bo'shliqlarda aniqlanadi. Vektor mahsulotining natijasi, xuddi skalar mahsulot kabi, Evklid fazosining metrikasiga bog'liq.

Uch o'lchovli to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi koordinatalardan skalyar mahsulot vektorlarini hisoblash formulasidan farqli o'laroq, o'zaro mahsulot formulasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimining yo'nalishiga yoki boshqacha aytganda, uning "xiralligiga" bog'liq.

Vektorlarning kollinearligi.

Ikki nolga teng bo'lmagan (0 ga teng bo'lmagan) vektorlar, agar ular parallel to'g'rilar ustida yoki bir xil to'g'rida yotsa, ular kollinear deyiladi. Qabul qilinadigan, lekin tavsiya etilmaydigan sinonim "parallel" vektorlardir. Kollinear vektorlar bir xil yo'naltirilgan ("ko'p yo'nalishli") yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lishi mumkin (ikkinchi holatda ular ba'zan "antikollinear" yoki "antiparallel" deb ataladi).

Vektorlarning aralash mahsuloti ( a, b, c)- a vektorning skalyar ko'paytmasi va b va c vektorlarning vektor ko'paytmasi:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

u ba'zan vektorlarning uch nuqtali mahsuloti deb ataladi, aftidan, natija skaler (aniqrog'i, psevdoskalar) bo'ladi.

Geometrik ma'no: Aralash mahsulotning moduli son jihatdan vektorlar hosil qilgan parallelepiped hajmiga teng. (a,b,c) .

Xususiyatlari

Aralash ish uning barcha argumentlariga nisbatan skew-simmetrik: ya'ni. e. har qanday ikkita omilni qayta tartibga solish mahsulotning belgisini o'zgartiradi. Bundan kelib chiqadiki, o'ng dekart koordinata tizimidagi Aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan matritsaning determinantiga teng va:

Chap kartezian koordinata tizimidagi aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan matritsaning determinantiga teng va minus belgisi bilan olinadi:

Ayniqsa,

Agar ikkita vektor parallel bo'lsa, u holda har qanday uchinchi vektor bilan ular nolga teng aralash mahsulot hosil qiladi.

Agar uchta vektor chiziqli bog'liq bo'lsa (ya'ni, koplanar, bir tekislikda yotsa), unda ularning aralash mahsuloti nolga teng bo'ladi.

Geometrik ma'no - aralash mahsulot tomonidan mutlaq qiymat vektorlar hosil qilgan parallelepiped hajmiga teng (rasmga qarang) va; belgi vektorlarning bu uchligi o'ng yoki chap qo'l ekanligiga bog'liq.

Vektorlarning mutanosibligi.

Uch vektor (yoki undan ko'p) koplanar deyiladi, agar ular umumiy kelib chiqishiga keltirilsa, bir tekislikda yotsa.

Tegishlilik xossalari

Agar uchta vektordan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, u holda uchta vektor ham koplanar hisoblanadi.

Bir juft kollinear vektorni o'z ichiga olgan uchlik vektorlar koplanardir.

Koplanar vektorlarning aralash mahsuloti. Bu uchta vektorning mutanosibligi uchun mezondir.

Koplanar vektorlar chiziqli bog'liqdir. Bu ham mutanosiblik mezoni hisoblanadi.

3 o'lchovli fazoda 3 ta tekis bo'lmagan vektor asosni tashkil qiladi

Chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektorlar.

Chiziqli qaram va mustaqil vektor sistemalar.Ta'rif. Vektor sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lgan kamida bitta noaniq chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa. Aks holda, ya'ni. agar berilgan vektorlarning faqat arzimas chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lsa, vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema (chiziqli bog'liqlik mezoni). Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu vektorlardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

1) Agar vektorlar orasida kamida bitta nol vektor bo'lsa, u holda vektorlarning butun tizimi chiziqli bog'liqdir.

Darhaqiqat, agar, masalan, , deb faraz qilsak, bizda notrivial chiziqli birikma mavjud.▲

2) Agar vektorlar orasida ba'zilari chiziqli shakllansa bog'liq tizim, keyin butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, , vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsin. Bu nol vektorga teng bo'lmagan trivial chiziqli birikma mavjudligini anglatadi. Ammo keyin, taxmin qilish kerak , biz nol vektorga teng bo'lmagan notrivial chiziqli birikmani ham olamiz.

2. Asos va o‘lcham. Ta'rif. Chiziqli mustaqil vektorlar tizimi vektor fazosi deyiladi asos bu fazoning har qanday vektorini ushbu tizim vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin bo'lsa, ya'ni. Har bir vektor uchun haqiqiy sonlar mavjud tenglik shunday bo'ladiki, bu tenglik deyiladi vektor parchalanishi asos va raqamlarga ko'ra chaqiriladi vektorning bazisga nisbatan koordinatalari(yoki asosda) .

Teorema (asosiyga nisbatan kengayishning o'ziga xosligi to'g'risida). Kosmosdagi har bir vektor bazaga kengaytirilishi mumkin yagona yo'l bilan, ya'ni. asosdagi har bir vektorning koordinatalari aniq belgilanadi.

Ushbu maqolada biz quyidagilarni ko'rib chiqamiz:

• kollinear vektorlar nima;
• vektorlarning kollinearligi uchun qanday shartlar mavjud;
• kollinear vektorlarning qanday xossalari mavjudligi;
• kollinear vektorlarning chiziqli bog'liqligi nima.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Kollinear vektorlar bir chiziqqa parallel yoki bir chiziqda yotuvchi vektorlardir.

1-misol

Vektorlarning kollinearligi shartlari

Quyidagi shartlardan biri to‘g‘ri bo‘lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi:

• shart 1 . a va b vektorlar, agar a = l b bo'lgan l soni bo'lsa, kollinear;
• shart 2 . a va b vektorlari kollinear bo'lganda teng muomala koordinatalar:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• shart 3 . a va b vektorlari o'zaro ko'paytma va nol vektor teng bo'lsa, kollinear bo'ladi:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Eslatma 1

2-shart vektor koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, qo'llanilmaydi.

Eslatma 2

3-shart faqat fazoda ko'rsatilgan vektorlarga nisbatan qo'llaniladi.

Vektorlarning kollinearligini o'rganishga oid masalalarga misollar

1-misol

a = (1; 3) va b = (2; 1) vektorlarini kollinearlik uchun tekshiramiz.

Qanday hal qilish kerak?

Bunda 2-kollinearlik shartidan foydalanish zarur. Berilgan vektorlar uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Tenglik noto'g'ri. Bundan a va b vektorlar kollinear emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob : a | | b

2-misol

Vektorlar kollinear bo'lishi uchun a = (1; 2) va b = (- 1; m) vektorning qanday m qiymati kerak?

Qanday hal qilish kerak?

Ikkinchi kollinearlik shartidan foydalanib, vektorlar, agar ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, kollinear bo'ladi:

Bu m = - 2 ekanligini ko'rsatadi.

Javob: m = - 2.

Vektorli sistemalarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi mezonlari

Teorema

Vektor fazodagi vektorlar sistemasi sistema vektorlaridan biri shu sistemaning qolgan vektorlari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan taqdirdagina chiziqli bog'liq bo'ladi.

Isbot

Sistema e 1, e 2, bo'lsin. . . , e n chiziqli bog'liqdir. Bu sistemaning nol vektoriga teng chiziqli birikmasini yozamiz:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

unda kombinatsiya koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng emas.

a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, bo'lsin. . . , n.

Tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ajratamiz:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Belgilaymiz:

A k - 1 a m, bu erda m ∈ 1, 2,. . . , k - 1, k + 1, n

Unday bo `lsa:

b 1 e 1 + . . . + b k - 1 e k - 1 + b k + 1 e k + 1 +. . . + b n e n = 0

yoki e k = (- b 1) e 1 + . . . + (- b k - 1) e k - 1 + (- b k + 1) e k + 1 + . . . + (- b n) e n

Bundan kelib chiqadiki, tizim vektorlaridan biri tizimning barcha boshqa vektorlari orqali ifodalanadi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (va hokazo).

Adekvatlik

Vektorlardan biri tizimning barcha boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalansin:

e k = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorini shu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

0 = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 - e k + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorining koeffitsienti - 1 ≠ 0 ga teng bo'lganligi uchun e 1, e 2, vektorlar sistemasi orqali nolning notrivial tasvirini olamiz. . . , e n va bu, o'z navbatida, bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liqligini bildiradi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (va hokazo).

Natija:

• Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar uning vektorlaridan hech biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan ifodalana olmasa.
• Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari

1. 2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: ikkita chiziqli bog'liq vektor kollineardir. Ikki kollinear vektor chiziqli bog'liqdir.
2. 3 o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: uchta chiziqli bog'liq vektor koplanardir. (3 koplanar vektor chiziqli bog'liq).
3. n o'lchovli vektorlar uchun quyidagi shart bajariladi: n + 1 vektorlar doimo chiziqli bog'liqdir.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi yoki chiziqli mustaqilligi bilan bog'liq masalalarni yechish misollari

3-misol

a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Yechim. Vektorlar chiziqli bog'liqdir, chunki vektorlarning o'lchamlari vektorlar sonidan kamroq.

4-misol

a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Yechim. Biz chiziqli birikma nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektor tenglamani chiziqli shaklda yozamiz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ushbu tizimni Gauss usuli yordamida hal qilamiz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-qatordan 1-chini, 3-chidan 1-ni ayirib tashlaymiz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-qatordan 2-ni ayirib, 3-chi qatorga 2-ni qo'shamiz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Yechimdan kelib chiqadiki, tizim ko'plab echimlarga ega. Bu shuni anglatadiki, x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, ular uchun a, b, c chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Shuning uchun a, b, c vektorlar chiziqli bog'liq.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.

x 1 a 1 + ... + x n a n.

ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.

Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz

chiziqli mustaqil, agar x 1, ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.

, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan notrivial birikmasi bo'lmasa.

Ya'ni, a 1, ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lganda chiziqli mustaqildir. chiziqli bog'liq Ta'rif.

a 1, ..., a n vektorlari deyiladi

, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan trivial birikmasi mavjud bo'lsa.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:

2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.

Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.)

• 3 o'lchovli vektorlar uchun.

  Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)

n o'lchovli vektorlar uchun.

n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.

Yechim:

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi masalalariga misollar:

1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .

Yechim:

	Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
	2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
	x 1 + x 2 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

x 1 + 2x 2 - x 3 = 0

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, a, b, c vektorlarining chiziqli birikmasi teng bo'ladi. nol vektor, masalan:

A + b + c = 0

ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Javob: a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.

Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Bu vektor tenglamani sistema sifatida yozish mumkin chiziqli tenglamalar

	Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
	2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
	x 1 + 2x 3 = 0

Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ikkinchi qatordan birinchisini ayirish; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga bir soniya qo'shing.