d'Alember printsipi

J.L.ning asosiy ishi. d'Alembert(1717-1783) - "Dinamikaga oid risola" - 1743 yilda nashr etilgan.

Risolaning birinchi qismi analitik statikani qurishga bag'ishlangan. Bu erda d'Alembert "mexanikaning asosiy tamoyillari" ni, jumladan "inersiya printsipi", "harakatni qo'shish printsipi" va "muvozanat printsipi" ni shakllantiradi.

"Inertsiya printsipi" dam olish holati va uniforma holati uchun alohida tuzilgan to'g'ri chiziqli harakat. "Inersiya kuchi," deb yozadi d'Alember, "Men Nyuton bilan birgalikda jismning holatini saqlab qolish uchun uning xususiyatini chaqiraman".

"Harakatni qo'shish printsipi" - bu parallelogramm qoidasiga ko'ra tezlik va kuchlarni qo'shish qonunidir. Ushbu tamoyilga asoslanib, d'Alember statik masalalarni hal qiladi.

«Muvozanat printsipi» quyidagi teorema shaklida ifodalanadi: «Agar o‘z massalariga teskari proportsional tezlikda harakatlanuvchi ikkita jism qarama-qarshi yo‘nalishga ega bo‘lsa, bir jism ikkinchi jismni joydan ikkinchi joyga siljitmasdan harakat qila olmasa, bular jismlar muvozanat holatida bo'ladi ". D'Alember traktatining ikkinchi qismida taklif qilingan umumiy usul dinamika masalasini statikaga qisqartirish asosida har qanday moddiy tizimlar harakatining differensial tenglamalarini tuzish. U keyinchalik "D'Alember printsipi" deb nomlangan har qanday moddiy nuqtalar tizimi uchun qoidani ishlab chiqdi, unga ko'ra tizim nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarni "faol" kuchlarga, ya'ni tezlikni tezlashishiga olib keladiganlarga ajratish mumkin. tizim va tizimning muvozanati uchun zarur bo'lgan "yo'qolgan". D'Alemberning fikricha, "yo'qolgan" tezlashuvga mos keladigan kuchlar tizimning haqiqiy xatti-harakatlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydigan to'plamni tashkil qiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar tizimga faqat "yo'qolgan" kuchlar yig'indisi qo'llanilsa, tizim tinch holatda qoladi. D'Alember tamoyilining zamonaviy formulasini M. E. Jukovskiy o'zining "Nazariy mexanika kursi" asarida bergan: "Agar siz istalgan vaqtda harakatlanayotgan tizimni to'xtatsangiz va unga qo'shimcha ravishda qo'shsangiz. harakatlantiruvchi kuchlar, plyus vaqt ichida ma'lum bir momentga mos keladigan barcha inersiya kuchlari, keyin muvozanat kuzatiladi, bosim, kuchlanish va boshqalar. Bunday muvozanatda tizim qismlari o'rtasida rivojlanayotgan bosim, kuchlanish va boshqalarning haqiqiy kuchlari bo'ladi. tizim ko'rib chiqilayotgan vaqtda harakat qilganda." Shuni ta'kidlash kerakki, d'Alemberning o'zi o'z printsipini taqdim etar ekan, kuch tushunchasiga ham murojaat qilmagan (bu ro'yxatga kiritish uchun etarlicha aniq emasligini hisobga olib). Mexanikaning asosiy tushunchalari), inertsiya kuchi tushunchasiga qaraganda, d'Alember printsipining "kuch" atamasi yordamida taqdimoti Lagranjga tegishli bo'lib, u o'zining "Analitik mexanika" asarida o'zining analitik ifodasini "kuch" shaklida bergan. tamoyili. mumkin bo'lgan harakatlar. Bu Jozef Lui Lagrange (1736-1813) va ayniqsa Leonardo Eyler (1707-1783) o'ynagan. muhim rol mexanikani analitik mexanikaga yakuniy aylantirishda.

Analitik mexanika moddiy nuqta va dinamika qattiq Eyler

Leonardo Eyler- 18-asrda fizika-matematika fanlari rivojiga katta hissa qoʻshgan buyuk olimlardan biri. Uning ishi tadqiqotchilik fikri, iste'dodining serqirraligi va qoldirgan ulkan ilmiy merosi bilan hayratga soladi.

Birinchi yillarda allaqachon ilmiy faoliyat Sankt-Peterburgda (Euler 1727 yilda Rossiyaga kelgan) mexanika sohasidagi ulkan va keng qamrovli ish tsikli dasturini tuzdi. Ushbu ilova uning ikki jildli "Mexanika yoki harakat ilmi, analitik tushuntirilgan" (1736) asarida topilgan. Eyler mexanikasi Nyuton mexanikasidagi birinchi tizimli kurs edi. Unda nuqta dinamikasi asoslari mavjud edi - mexanik tomonidan Eyler kuchlar muvozanati yoki statika haqidagi fandan farqli ravishda harakat haqidagi fanni tushundi. Eyler mexanikasining belgilovchi xususiyati yangi matematik apparat - differentsial integral hisoblashning keng qo'llanilishi edi. 17-18-asrlar bo'yida paydo bo'lgan mexanika bo'yicha asosiy asarlarni qisqacha tavsiflab, Eyler ularning yozuvining o'g'il-tetik-geometrik uslubini ta'kidladi, bu esa o'quvchilar uchun juda ko'p ishlarni yaratdi. Nyutonning «Prinsipiya»si va keyinchalik J. Xermanning «Foronomiya» (1716) asari shu tarzda yozilgan. Eylerning ta'kidlashicha, Hermann va Nyutonning asarlari "qadimgi odamlarning odatiga ko'ra, sintetik geometrik dalillar yordamida" tahlildan foydalanmasdan taqdim etilgan, "faqat bu narsalarni to'liq tushunishga erishish mumkin".

Sintetik-geometrik usul umumlashtiruvchi xususiyatga ega emas edi, lekin, qoida tariqasida, har bir masala bo'yicha alohida konstruktsiyalarni talab qiladi. Eylerning ta'kidlashicha, "Foronomiya" va "Prinsipiya" ni o'rgangach, u "ko'p muammolarning echimlarini juda aniq tushungandek tuyuldi, ammo u endi ma'lum darajada ulardan chetga chiqqan muammolarni hal qila olmadi". Keyin u "ushbu sintetik usulning tahlilini ajratib olishga va o'z manfaati uchun analitik tarzda bir xil takliflarni amalga oshirishga" harakat qildi. Eylerning qayd etishicha, shu tufayli u masalaning mohiyatini ancha yaxshi tushungan. U mexanika muammolarini o'rganishning tubdan yangi usullarini ishlab chiqdi, uning matematik apparatini yaratdi va uni ko'pchilik uchun ajoyib tarzda qo'lladi. murakkab vazifalar. Eyler tufayli differensial geometriya, differensial tenglamalar va variatsiyalar hisobi mexanikaning quroliga aylandi. Keyinchalik uning vorislari tomonidan ishlab chiqilgan Eyler usuli bir ma'noli va mavzuga adekvat edi.

Eylerning qattiq jismlar dinamikasi bo'yicha ishi "Qattiq jismlar harakati nazariyasi" olti bo'limdan iborat katta kirishga ega bo'lib, u yana bir nuqtaning dinamikasini belgilaydi. Kirish qismiga bir qator oʻzgartirishlar kiritildi: xususan, nuqtaning harakat tenglamalari qoʻzgʻalmas toʻrtburchaklar koordinatalar oʻqlari boʻyicha proyeksiyalar yordamida yoziladi (tangens boʻyicha emas, asosiy normal va normal, yaʼni "Mexanika" da bo'lgani kabi, traektoriya nuqtalari bilan bog'langan qo'zg'almas tabiiy triedrning o'qlari).

Kirishdan so'ng, "Qattiq jismlar harakati haqidagi risola" 19 bo'limdan iborat bo'lib, qisqacha to'xtalib o'tamiz oldinga harakat qattiq jism va inersiya markazi tushunchasini kiritar ekan, Eyler sobit o'q atrofida va qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishlarni ko'rib chiqadi. Bu erda bir lahzali burchak tezligi proyeksiyalari uchun formulalar, koordinata o'qi bo'yicha burchak tezlanishi, Eyler burchaklari deb ataladigan va boshqalar ishlatiladi. Keyinchalik, inersiya momentining xususiyatlari ko'rsatilgan, shundan so'ng Eyler qattiq jismning dinamikasiga o'tadi. U og'ir jismning harakatsiz og'irlik markazi atrofida aylanishi uchun differensial tenglamalarni chiqaradi, tashqi kuchlar va ularni oddiy maxsus holat uchun hal qiladi. Giroskop nazariyasidagi hammaga ma'lum va bir xil darajada muhim muammo shunday paydo bo'ldi: qattiq jismning qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishi. Eyler, shuningdek, gidro- va aeromexanika, ballistika, barqarorlik nazariyasi va kichik tebranishlar nazariyasi, samoviy mexanika va boshqalar nazarida kema qurish nazariyasi ustida ishlagan.

"Mexanika" nashr etilganidan sakkiz yil o'tgach, Eyler fanni printsipning birinchi aniq formulasi bilan boyitdi. eng kam harakat. Maupertuisga tegishli bo'lgan eng kam harakat tamoyilining shakllanishi hali ham juda nomukammal edi. Printsipning birinchi ilmiy formulasi Eylerga tegishli. U o'z printsipini quyidagicha shakllantirdi: integral bor eng kichik qiymat Agar hisobga olsak, hozirgi traektoriya uchun

umumiy boshlang'ich va yakuniy pozitsiyaga ega bo'lgan va bir xil energiya qiymati bilan amalga oshiriladigan mumkin bo'lgan traektoriyalar guruhidagi oxirgi. Eyler o'z printsipini aniq matematik ifoda va bitta moddiy nuqta uchun qat'iy asoslash bilan ta'minlaydi, markaziy kuchlarning harakatlarini sinab ko'radi. 1746-1749 yillarda b. Eyler egiluvchan ipning muvozanat raqamlari bo'yicha bir nechta maqolalar yozgan, bu erda elastik kuchlar ta'sir qiladigan masalalarga eng kam ta'sir printsipi qo'llanilgan.

Shunday qilib, 1744 yilga kelib mexanika ikkita muhim tamoyil bilan boyidi: d'Alember printsipi va Maupertuis-Eulerning eng kam ta'sir printsipi. Ushbu tamoyillarga asoslanib, Lagranj analitik mexanika tizimini yaratdi.

Agar biz bir nechta moddiy nuqtalardan tashkil topgan tizimni ma'lum massaga ega bo'lgan ma'lum bir nuqtani ajratib ko'rsatishni hisobga olsak, u holda tashqi va ichki kuchlar nisbatan bir oz tezlanish oladi inertial tizim ortga hisoblash. Bunday kuchlar orasida faol kuchlar ham, birikish reaksiyalari ham bo'lishi mumkin.

Nuqtaning inersiya kuchi deganda nuqta massasi va tezlanishi koʻpaytmasiga kattaligi boʻyicha teng boʻlgan vektor kattalik aytiladi. Bu miqdor ba'zan d'Alembert inertsiya kuchi deb ataladi, u tezlanishga qarama-qarshidir. Bunda harakatlanuvchi nuqtaning quyidagi xossasi ochiladi: agar vaqtning har bir momentida nuqtaga haqiqatda tasir etuvchi kuchlarga inersiya kuchini qoshsak, hosil bolgan kuchlar sistemasi muvozanatlashgan boladi. Bir moddiy nuqta uchun d'Alember tamoyilini shunday shakllantirishimiz mumkin. Ushbu bayonot Nyutonning ikkinchi qonuniga to'liq mos keladi.

Tizim uchun D'Alember tamoyillari

Agar biz tizimdagi har bir nuqta uchun barcha mulohazalarni takrorlasak, ular tizim uchun tuzilgan d'Alember tamoyilini ifodalovchi quyidagi xulosaga olib keladi: agar biz har qanday vaqtda tizimdagi har bir nuqtaga qo'shimcha ravishda, haqiqiy ta'sir etuvchi tashqi va ichki kuchlarga, keyin bu tizim muvozanatda bo'ladi, shuning uchun unga statikada qo'llaniladigan barcha tenglamalarni qo'llash mumkin.

Agar dinamika masalalarini yechishda d’Alember prinsipini qo‘llasak, sistemaning harakat tenglamalarini bizga ma’lum bo‘lgan muvozanat tenglamalari ko‘rinishida tuzish mumkin. Ushbu tamoyil hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi va muammolarni hal qilishga yondashuvni bir xil qiladi.

D'Alember printsipining qo'llanilishi

Shuni inobatga olish kerakki, mexanik tizimdagi harakatlanuvchi nuqtaga faqat tashqi va ichki kuchlar ta'sir qiladi, ular nuqtalarning bir-biri bilan, shuningdek, tizimga kirmagan jismlar bilan o'zaro ta'siri natijasida paydo bo'ladi. bu tizim. Bu barcha kuchlar ta'sirida nuqtalar ma'lum tezlanishlar bilan harakatlanadi. Inertial kuchlar harakatlanuvchi nuqtalarga ta'sir qilmaydi, aks holda ular tezlanishsiz harakatlanadi yoki tinch holatda bo'ladi.

Inertial kuchlar faqat oddiyroq va qulayroq statik usullardan foydalangan holda dinamik tenglamalar tuzish uchun kiritiladi. Bu ham hisobga olinadi geometrik yig'indi ichki kuchlar va ularning momentlari yig'indisi nolga teng. D'Alember printsipidan kelib chiqadigan tenglamalardan foydalanish masalalarni yechish jarayonini osonlashtiradi, chunki bu tenglamalar endi ichki kuchlarni o'z ichiga olmaydi.

Ko‘rish: Maqola 44027 marta o'qildi

Pdf Til tanlang... Ruscha ukraincha inglizcha

Qisqacha sharh

To'liq material tilni tanlagandan so'ng yuqorida yuklab olinadi

Dinamikaning umumiy tamoyillari

Hermann-Euler-D'Alembert printsipi

Inertsiya kuchi

D'Alember printsipi (kinetostatika printsipi) quyidagilardan biridir umumiy tamoyillar mexanika, uning yordamida dinamika tenglamalari statika tenglamalari shakli beriladi. Bu tamoyil 1716 yilda Hermann tomonidan taklif qilingan va 1737 yilda Eyler tomonidan umumlashtirilgan.

Moddiy nuqta M qo'llaniladigan kuchlar ta'sirida tezlanish bilan harakat qiladi. Dinamikaning uchinchi qonuni ikki tomonlamalikni aks ettiradi mexanik jarayonlar tabiat. Ikki jism o'zaro ta'sir qilganda, ularning har biriga qo'llaniladigan kuchlar kattaligi bo'yicha teng va qarama-qarshi yo'naltiriladi. Chunki bu kuchlar qo'llaniladi turli jismlar, ular muvozanatli emas. Misol uchun, ba'zi tana o'zaro ta'sir qilganda A va nuqtalar M, bu massaga ega m, nuqta tezlanishni oladi. Tana A nuqtada harakat qiladi M kuch bilan F=-ma. Harakat va reaksiya qonuniga ko'ra moddiy nuqta M tanaga ta'sir qiladi A kuch bilan F=-F=-ma, bu inersiya kuchi deb ataladi.

Inertsiya kuchi yoki d'Alembert kuchi- kuch o'lchamiga ega bo'lgan vektor kattalik kattaligi bo'yicha nuqta massasi va uning tezlanishi ko'paytmasiga teng va bu tezlanishga teskari yo'naltirilgan.

Moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi

Agar har qanday vaqtda moddiy nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarga inersiya kuchini qo'shsak, hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi.

Demak, dinamika masalasini German-Eyler-D'Alember prinsipi bo'yicha hal qilish uchun nuqtaga qo'llaniladigan kuchlardan tashqari, shartli ravishda bu nuqtaga inersiya kuchini qo'llash kerak. nuqtaga inersiya kuchini tatbiq qilish an'anaviy texnika bo'lib, dinamika muammosini faqat statika muammosini hal qilish shaklida kamaytiradi.

Moddiy nuqtalar sistemasi uchun D'Alember printsipi

Agar istalgan vaqtda tizimning har bir nuqtasiga unga amalda ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlardan tashqari tegishli inersiya kuchlari ham qo‘llanilsa, natijada paydo bo‘lgan kuchlar tizimi muvozanatda bo‘ladi va barcha statik tenglamalar qo‘llanilishi mumkin. bu.

Erkin bo'lmaganlar uchun D'Alember printsipi mexanik tizim

Vaqtning istalgan vaqtida, erkin bo'lmagan mexanik tizimning har bir nuqtasi uchun unga amalda ta'sir qiluvchi kuchlardan tashqari, tegishli inertial kuchlarni qo'shing, shunda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi va barcha statik tenglamalar qo'llanilishi mumkin. bu.

Ya'ni, erkin bo'lmagan mexanik tizimning har bir nuqtasi uchun vaqtning istalgan momentida tizimning moddiy nuqtalari berilgan kuchlarning asosiy vektorlari, tayanchlar reaktsiyalari va inersiya kuchlarining geometrik yig'indisi nolga teng.

Har qanday vaqtda, erkin bo'lmagan mexanik tizimning istalgan nuqtasi uchun, berilgan kuchlarning asosiy momentlari, tayanchlarning reaktsiyalari va tizimning moddiy nuqtalarining har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan inersiya kuchlarining geometrik yig'indisi. nol.

D'Alember printsipi bo'yicha muvozanat tenglamalarining umumlashtirilgan shakli

Qattiq jism nuqtalarining inersiya kuchlarini eng oddiy shaklga keltirish.

Qattiq jismning inersiya kuchlari tizimini eng oddiy shaklga keltirish hollari.

Oldinga harakat

Tarjima harakati paytida qattiq jismning inertial kuchlari tananing massa markazidan o'tuvchi bitta natijaga kamayadi va modul bo'yicha jismning massa markazining tezlanish moduli va uning massasi ko'paytmasiga teng. bu tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Massa markazi atrofida aylanish yo'q, shuning uchun inersiya momenti nolga teng.

Aylanma harakat tananing massa markazidan o'tadigan o'q atrofidagi jismning.

Agar jism tananing massa markazidan o'tuvchi qo'zg'almas o'q atrofida aylansa, u holda inersiya kuchlari aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikda yotgan bir juft kuchga kamayadi.

Massa markazi harakat qilmagani uchun inersiya kuchlarining asosiy vektori nolga teng.

Tekis-parallel harakat

Jism tekislikda harakat qilganda, inersiya kuchlari tizimi tananing massa markazida va bir juft kuchda qo'llaniladigan kuchga kamayadi. Inersiya momentining yo'nalishi tananing burchak tezlanishiga qarama-qarshidir.

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi umumiy ko'rinish har qanday mexanik tizimning muvozanat sharoitlarini belgilaydi, ya'ni statika masalalarini dinamika masalalari sifatida echishga imkon beradi.

Erkin bo'lmagan mexanik tizimdagi nuqtalarning harakati mavjud ulanishlar bilan cheklanadi. Tizim nuqtalarining joylashuvi mustaqil koordinatalarni belgilash orqali aniqlanadi.

Mexanik tizimning barcha nuqtalarining holatini bir ma'noda aniqlash mumkin bo'lgan mustaqil kattaliklar deyiladi. umumlashtirilgan koordinatalar bu tizim. Qoida tariqasida, mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalari soni ushbu tizimning erkinlik darajalari soniga teng. Masalan, krank mexanizmining barcha nuqtalarining holati krankning burilish burchagini o'rnatish orqali aniqlanadi.

Mumkin yoki virtual harakatlar

Tizimning mumkin bo'lgan yoki virtual harakatlari- bu tizim nuqtalarining xayoliy cheksiz kichik harakatlaridir, kirishga ruxsat beriladi hozirgi paytda tizimga yuklangan ulanishlar.

Nuqtalarning egri chiziqli harakatlari nuqtalarning traektoriyalariga tangensial chizilgan tekis segmentlar bilan almashtiriladi.

Tizimning o'zaro mustaqil mumkin bo'lgan harakatlari soni deyiladi erkinlik darajalari soni bu tizim.

Mumkin yoki virtual ish

Mumkin (yoki virtual) ish- bu moddiy nuqtaga ta'sir etuvchi kuch ushbu nuqtaning mumkin bo'lgan siljishiga to'g'ri keladigan siljishda bajarishi mumkin bo'lgan elementar ish.

Mexanik tizim uchun mumkin bo'lgan harakatlar printsipi

Ideal bog'lanishlarga ega mexanik tizimning muvozanati uchun tizimning har qanday mumkin bo'lgan harakati uchun barcha faol kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lishi zarur va etarli.

Tenglama mumkin bo'lgan ishlar− har qanday mexanik tizim muvozanatining zarur va yetarli shartlarini matematik ifodalash.

Dinamikaning umumiy tenglamasi

Dinamikaning umumiy tenglamasi (D'Alembert - Lagranj printsipi)

Statika masalalarini yechishning umumiy usulini ta'minlovchi mumkin bo'lgan siljishlar printsipi dinamika masalalarini echishda ham qo'llanilishi mumkin. Erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun Hermann-Euler-D'Alembert printsipiga asoslanib, istalgan vaqtda belgilangan kuchlar natijasining geometrik yig'indisi, ulanishlar reaktsiyasi natijasi va har bir nuqta uchun inersiya kuchi Mexanik tizimning Mn nolga teng.

Agar tizim har bir nuqta mumkin bo'lgan siljishga ega bo'lgan mumkin bo'lgan siljishni qabul qilsa, u holda bu kuchlarning siljish bo'yicha bajargan ishining yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak.

Ideal muftali tizim uchun umumiy dinamika tenglamasi

Ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimdagi barcha ulanishlar ikki tomonlama va ideal (ishqalanish kuchlari, agar mavjud bo'lsa, belgilangan kuchlar qatoriga kiradi) deb faraz qilaylik. U holda tizimning mumkin bo'lgan siljishlari bo'yicha bog'larning reaktsiyalari bajargan ishlarning yig'indisi nolga teng bo'ladi.

Ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan mexanik tizim vaqtning istalgan momentida harakat qilganda, tizimning har qanday mumkin bo'lgan harakatida barcha faol (to'siq) kuchlar va barcha inertial kuchlarning elementar kuchlarining yig'indisi nolga teng bo'ladi.

Dinamikaning umumiy tenglamalari har qanday mexanik tizimning differensial harakati tenglamalarini tuzish imkonini beradi. Agar mexanik tizim alohida qattiq jismlardan iborat bo'lsa, u holda har bir jismning nuqtalarining inersiya kuchlari tananing qaysidir nuqtasida qo'llaniladigan kuchga va bir juft kuchga kamayishi mumkin. Kuch bu jismning nuqtalari inersiya kuchlarining asosiy vektoriga teng, juftlik momenti esa bu kuchlarning qisqarish markaziga nisbatan asosiy momentiga teng. Mumkin bo'lgan siljishlar printsipidan foydalanish uchun har bir jismga unga ta'sir qiluvchi ma'lum kuchlar qo'llaniladi, shuningdek, shartli ravishda jism nuqtalarining inersiya kuchlari bilan tuzilgan kuch va juftlik qo'llaniladi. Keyin tizimga mumkin bo'lgan siljish haqida ma'lumot beriladi va belgilangan kuchlar va kamaytirilgan inertsiya kuchlarining butun to'plami uchun dinamikaning umumiy tenglamasi tuziladi.

Format: pdf

Hajmi: 600KV

Til: rus, ukrain

Tishli uzatmani hisoblash misoli
Tishli uzatmani hisoblash misoli. Materialni tanlash, ruxsat etilgan kuchlanishlarni hisoblash, aloqa va bükme kuchini hisoblash amalga oshirildi.

Nurni egish masalasini yechish misoli
Misolda, ko'ndalang kuchlar va egilish momentlarining diagrammalari tuzilgan, xavfli uchastka topilgan va I-nur tanlangan. Muammo differensial bog'liqliklar yordamida diagrammalarni qurish tahlil qilindi, amalga oshirildi qiyosiy tahlil har xil kesmalar nurlar.

Milning burilish muammosini echishga misol
Vazifa - berilgan diametrda, materialda va ruxsat etilgan kuchlanishda po'lat milning mustahkamligini tekshirish. Yechish vaqtida momentlar, kesish kuchlanishlari va burilish burchaklarining diagrammalari tuziladi. Milning o'z vazni hisobga olinmaydi

Rodning kuchlanish-siqish masalasini yechish misoli
Vazifa - belgilangan ruxsat etilgan kuchlanishlarda po'lat barning mustahkamligini tekshirish. Yechish jarayonida diagrammalar tuziladi uzunlamasına kuchlar, normal kuchlanishlar va siljishlar. Rodning o'z vazni hisobga olinmaydi

Kinetik energiyaning saqlanish teoremasini qo'llash
Saqlanish teoremasi yordamida masalani yechishga misol kinetik energiya mexanik tizim

Moddiy nuqta harakat qilganda uning har bir vaqt momentidagi tezlanishi shunday bo'ladiki, nuqtaga qo'llaniladigan berilgan (faol) kuchlar, bog'lanishlar reaktsiyalari va xayoliy d'Alember kuchi F = - m muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Isbot. Erkin bo'lmagan moddiy nuqtaning massa bilan harakatini ko'rib chiqaylik T inertial sanoq sistemasida. Dinamikaning asosiy qonuni va ulanishlardan ozod qilish printsipiga ko'ra, bizda:

bu erda F - berilgan (faol) kuchlarning natijasi; N nuqtaga o'rnatilgan barcha bog'lanishlar reaktsiyalarining natijasidir.

(13.1) ni quyidagi shaklga aylantirish oson:

F vektor F = - bu d'Alember inertsiya kuchi, inersiya kuchi yoki oddiygina deyiladi D'Alembertning kuchi. Quyida biz faqat oxirgi atamani ishlatamiz.

D'Alember tamoyilini ramziy shaklda ifodalovchi (13.3) tenglama deyiladi kinetostatik tenglama moddiy nuqta.

Mexanik tizim (tizim) uchun d'Alember printsipining umumlashtirilishini olish oson n moddiy nuqtalar).

Har kim uchun Kimga Mexanik tizimning nchi nuqtasi, tenglik (13.3) bajariladi:

Qayerda ? Kimga - ta'sir qiluvchi berilgan (faol) kuchlarning natijasi Kimga th nuqta; N Kimga - bog'lanish reaktsiyalarining natijasidir k-chi nuqta; F k = - shuning uchun k- D'Alembertning kuchi Kimga th nuqta.

Ko'rinib turibdiki, agar F*, N* : , F* kuchlarning har uchligi uchun muvozanat shartlari (13.4) bajarilsa. (To = 1,. .., n), keyin butun tizim 3 n kuch

muvozanatlashgan.

Binobarin, mexanik tizim vaqtning har bir momentida harakat qilganda, unga tatbiq etilgan faol kuchlar, ulanishlar reaksiyalari va tizim nuqtalarining Dalamber kuchlari muvozanatlashgan kuchlar tizimini hosil qiladi.

Tizimning kuchlari (13.5) endi yaqinlashmaydi, shuning uchun statikadan (3.4-bo'lim) ma'lumki, uning muvozanati uchun zarur va etarli shartlar quyidagi shaklga ega:

(13.6) tenglamalar mexanik tizimning kinetostatik tenglamalari deyiladi. Hisoblash uchun bu vektor tenglamalarining moment nuqtasidan o'tuvchi o'qlarga proyeksiyalari qo'llaniladi HAQIDA.

Izoh 1. Tizimning barcha ichki kuchlarining yig'indisi, shuningdek ularning istalgan nuqtaga nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng bo'lganligi sababli (13.6) tenglamalarda faqat reaksiyalarni hisobga olish kifoya. tashqi ulanishlar.

Kinetostatik tenglamalar (13.6) odatda sistemaning harakati berilganda mexanik sistemaning ulanishlarining reaksiyalarini aniqlash uchun ishlatiladi va shuning uchun tizim nuqtalarining tezlanishlari va ularga bog'liq bo'lgan D'Alembert kuchlari. ma'lum.

1-misol. Qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini toping A Va IN mil 5000 rpm chastotada bir xilda aylanganda.

Nuqta massalari milga qattiq bog'langan gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. O'lchamlari ma'lum AC - CD - JB = 0,4 m, h= 0,01 m milning massasi ahamiyatsiz hisoblanadi.

Yechim. Ikki nuqtali massadan tashkil topgan mexanik tizim uchun Dalember prinsipidan foydalanish uchun diagrammada (13.2-rasm) berilgan kuchlarni (tortishish kuchlari) Gi, G 2, bog’lanish reaksiyalari N4, N# va D’Alember kuchlarini F ko’rsatamiz. |, F 2.

D'Alambsrov kuchlarining yo'nalishlari nuqta massalarining tezlanishiga qarama-qarshidir T b t 2u radiusli doiralarni bir xilda tasvirlaydi h eksa atrofida AB mil

Biz tortishish va Dalambrov kuchlarining kattaliklarini topamiz:

Bu erda milning burchak tezligi hamkorlik 5000* l/30 = 523,6 s Kinetostatik tenglamalarni (13,6) Dekart o'qlariga proyeksiyalash Oh, Oy, Az, biz muvozanat shartlarini olamiz tekis tizim parallel kuchlar Gi, G 2, 1Chd, N tf, F F 2:

Tenglama topilgan paytdan boshlab N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 N, va proyeksiya tenglamasidan

o'qi Oy: Na = -N B +G,+G 2 +F,-F 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 =0,06 N.

Kinetostatik tenglamalardan (13.6) sistema harakatining differensial tenglamalarini olish uchun ham foydalanish mumkin, agar ular shunday tuzilganki, agar ular cheklash reaksiyalari chiqarib tashlansa va buning natijasida tezlanishlarning berilganlarga bog'liqligini olish mumkin bo'lsa. kuchlar.

Hozirgacha koʻrib chiqilgan mexanik masalalarni yechish usullari toʻgʻridan-toʻgʻri Nyuton qonunlaridan yoki shu qonunlarning natijasi boʻlgan umumiy teoremalardan kelib chiqadigan tenglamalarga asoslanadi. Biroq, bu yo'l yagona emas. Ma'lum bo'lishicha, mexanik tizimning harakat tenglamalari yoki muvozanat shartlari Nyuton qonunlari o'rniga boshqa qonunlarni asos qilib olish orqali olinishi mumkin. umumiy qoidalar, mexanika tamoyillari deb ataladi. Bir qator hollarda, ushbu tamoyillarni qo'llash, biz ko'rib turganimizdek, ko'proq narsani topishga imkon beradi samarali usullar tegishli muammolarni hal qilish. Ushbu bobda d'Alember printsipi deb ataladigan mexanikaning umumiy tamoyillaridan biri ko'rib chiqiladi.

Avval bitta moddiy nuqta uchun printsipning ifodasini topamiz. Massasi bo'lgan moddiy nuqtaga faol kuchlar tizimi ta'sir qilsin, natijada N ulanish reaktsiyasi bilan belgilanadi (agar nuqta erkin bo'lmasa). Bu barcha kuchlar ta'sirida nuqta inertial sanoq sistemasiga nisbatan ma'lum bir tezlanish bilan harakatlanadi.

Keling, miqdorni hisobga olamiz

kuch o'lchamiga ega. Kattaligi bo‘yicha nuqta massasi va uning tezlanishi ko‘paytmasiga teng va shu tezlanishga qarama-qarshi yo‘naltirilgan vektor kattalik nuqtaning inersiya kuchi deyiladi.

Keyin nuqtaning harakati borligi ma'lum bo'ladi quyidagi mulk: agar vaqtning istalgan momentida nuqtaga taʼsir etuvchi faol kuchlar va bogʻlanish reaksiyasiga inersiya kuchi qoʻshilsa, hosil boʻlgan kuchlar tizimi muvozanatlashgan boʻladi, yaʼni.

Bu pozitsiya moddiy nuqta uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi. Bu Nyutonning ikkinchi qonuniga ekvivalent va aksincha ekanligini tushunish oson. Haqiqatan ham, ko'rib chiqilayotgan nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bu erda m qiymatini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazib, (84) yozuvni hisobga olgan holda (85) munosabatga kelamiz. Aksincha, (85) tenglamadagi miqdorni tenglikning boshqa qismiga o'tkazib, (84) yozuvni hisobga olib, Nyutonning ikkinchi qonunining ifodasini olamiz.

Endi moddiy nuqtalardan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqamiz. Massa bilan tizimning nuqtalaridan birini tanlaymiz. Unga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlarning ta'siri ostida (bu faol kuchlarni ham, bog'lanish reaktsiyalarini ham o'z ichiga oladi) bu nuqta uchun inertial kuchni kiritish orqali biz inertial sanoq tizimiga nisbatan harakat qilamiz tenglik (85) ya'ni

ya'ni ular muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi. Tizimning har bir nuqtasi uchun bunday mulohazalarni takrorlab, sistema uchun Dalamber tamoyilini ifodalagan holda quyidagi natijaga erishamiz: agar vaqtning istalgan momentida tizimning har bir nuqtasiga mos keladigan inertial kuchlar qo‘shilsa, unda unga ta'sir qiluvchi tashqi va ichki kuchlarga qo'shimcha ravishda, natijada paydo bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi va unga statikaning barcha tenglamalarini qo'llash mumkin.

Matematik jihatdan, tizim uchun d'Alembert printsipi (85) ko'rinishdagi vektor tengliklari bilan ifodalanadi, ular aniq ekvivalentdir. differensial tenglamalar sistemaning harakati (13), § 106. Binobarin, d'Alember printsipidan, shuningdek (13) tenglamalardan dinamikaning barcha umumiy teoremalarini olish mumkin.

D'Alember tamoyilining ahamiyati shundan iboratki, dinamika masalalariga bevosita tatbiq etilganda sistemaning harakat tenglamalari ma'lum muvozanat tenglamalari ko'rinishida tuziladi; bu muammolarni hal qilishda yondashuvni bir xil qiladi va ko'pincha tegishli hisob-kitoblarni soddalashtiradi. Bundan tashqari, keyingi bobda muhokama qilinadigan mumkin bo'lgan siljishlar printsipi bilan birgalikda d'Alember printsipi dinamika muammolarini hal qilishning yangi umumiy usulini olish imkonini beradi (141-§ ga qarang).

Statikadan ma'lumki, muvozanatdagi kuchlarning geometrik yig'indisi va ularning har qanday O markazga nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng va § 120da ko'rsatilganidek, bu faqat qattiq jismga emas, balki ta'sir qiluvchi kuchlarga ham tegishli. har qanday o'zgaruvchan mexanik tizimda ham.

Keyin, D'Alembert printsipiga asoslanib, u quyidagicha bo'lishi kerak:

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Miqdorlar asosiy vektorni ifodalaydi va asosiy nuqta inersiya kuchlari sistemasining O markaziga nisbatan. Natijada, ichki kuchlarning geometrik yig'indisi va ularning momentlari yig'indisi nolga teng ekanligini hisobga olsak, biz (86) tenglikdan olamiz:

D'Alember printsipidan kelib chiqadigan (88) tenglamalardan foydalanish masalalarni yechish jarayonini soddalashtiradi, chunki bu tenglamalar ichki kuchlarni o'z ichiga olmaydi. Mohiyatan (88) tenglamalar impulsning oʻzgarishi va sistemaning asosiy burchak impulsi haqidagi teoremalarni ifodalovchi tenglamalarga ekvivalent boʻlib, ulardan faqat shakli jihatidan farq qiladi.

(88) tenglamalar, ayniqsa, qattiq jismning yoki qattiq jismlar sistemasining harakatini o'rganishda foydalanish uchun qulaydir. Har qanday o'zgaruvchan tizimning harakatini to'liq o'rganish uchun bu tenglamalar etarli bo'lmaydi, xuddi statika tenglamalari har qanday mexanik tizimning muvozanatini o'rganish uchun etarli emas (120-§ ga qarang).

Prognozlarda koordinata o'qlari tengliklar (88) mos keladigan statik tenglamalarga o'xshash tenglamalarni beradi (16, 30-bandlarga qarang). Masalalarni yechishda bu tenglamalardan foydalanish uchun bosh vektor va inersiya kuchlarining bosh momenti ifodalarini bilish kerak.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, bu erda ko'rib chiqiladigan inertial sanoq sistemasiga nisbatan harakatni o'rganishda, masalani hal qilish uchun d'Alember printsipi qo'llanilgandagina inersiya kuchlari kiritiladi.