Moddiy nuqta uchun d'Alembert printsipi: D'Alemberning nazariy mexanika printsipi. Mexanik tizim uchun D'Alember printsipi

d'Alember printsipi erkin bo'lmagan nuqta dinamikasining birinchi asosiy masalasini yechishda, nuqtaning harakati va unga ta'sir qiluvchi faol kuchlar ma'lum bo'lganda va bog'lanishning natijaviy reaktsiyasi izlanganda qo'llaniladi.

Erkin bo'lmagan nuqtaning dinamikasi uchun asosiy tenglamani yozamiz inertial tizim ortga hisoblash:

Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

.

ni belgilab, olamiz

, (11.27)

vektor bu erda chaqiriladi D'Alemberning inertial kuchi.

Printsip bayonoti: Erkin bo'lmagan moddiy nuqta harakatining har bir momentida ulanishning faol kuchi va reaktsiyasi D'Alembert inertsiya kuchi bilan muvozanatlanadi..

(11.27) vektor tenglamani istalganiga proyeksiyalash koordinata o'qlari, mos keladigan muvozanat tenglamalarini olamiz, ulardan foydalanib noma'lum reaksiyalarni topishimiz mumkin.

(11.27) tenglamani tabiiy o'qlarga loyihalashtiramiz:

(11.28)

Qayerda har doim yo'naltirilgan markazdan qochma inertsiya kuchi deb ataladi salbiy tomoni asosiy norma; .

Eslatmalar:

1). Haqiqatda, kuchlardan tashqari, nuqtaga qo'llaniladigan boshqa jismoniy kuchlar yo'q va uchta kuch muvozanatli kuchlar tizimini tashkil etmaydi. Shu ma'noda, d'Alemberning inertsiya kuchi nuqtaga shartli ravishda qo'llaniladigan xayoliy kuchdir.

2). D'Alember printsipini dinamika muammosini statika muammosiga aylantirish imkonini beruvchi qulay uslubiy qurilma sifatida qarash kerak.

1-misol. Keling, harakatlanayotgan samolyotni tark etganda uchuvchiga ta'sir qiladigan bog'lanish reaktsiyasini aniqlaylik vertikal tekislik, sho'ng'in parvozidan (11.5-rasm).

Uchuvchiga tortishish kuchi va o'rindiqning reaktsiyasi ta'sir qiladi. Bu kuchlarga Dalamberning inersiya kuchini qo‘shib, Dalamber tamoyilini qo‘llaymiz:

(11.29)

(11.29) tenglamani proyeksiyalarda normalga yozamiz:

(11.30)

Qayerda r- samolyot tekis parvozga chiqqanda aylana radiusi;

Maksimal tezlik bu vaqtda samolyot.

(11.30) tenglamadan

(11.31)

2-misol. Keling, ko'tarilish rejimidan chiqish vaqtida uchuvchiga ta'sir qiladigan xuddi shunday reaktsiyani aniqlaylik (11.6-rasm).

Moddiy nuqtaning nisbiy harakati

Agar mos yozuvlar tizimlari inertial sanoq sistemasiga nisbatan translyatsion harakat qilmasa yoki ularning koordinatalarining kelib chiqishi notekis yoki egri chiziqli harakatlansa, bunday sanoq sistemalari bo‘ladi. noinertial. Ushbu mos yozuvlar ramkalarida aksiomalar A 1 va A 2 kuzatilmaydi, lekin bundan kelib chiqadiki, dinamikada faqat inertial sanoq sistemalarida sodir bo'ladigan harakatlar o'rganiladi. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar ma’lum bo‘lsa va noinertial sanoq sistemasining inersiya sanoq sistemasiga nisbatan harakati ko‘rsatilgan bo‘lsa, noinersial koordinatalar sistemasidagi moddiy nuqtaning harakatini ko‘rib chiqamiz. Keyinchalik, inertial sanoq sistemasi statsionar, noinersial sanoq sistemasi esa harakatlanuvchi sanoq sistemasi deb ataladi. Nuqtaga ta’sir etuvchi faol kuchlarning natijasi, bog‘lanishlar reaksiyasining natijasi bo‘lsin; - belgilangan koordinatalar tizimi; - harakatlanuvchi koordinatalar tizimi.

Moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqing M(11.7-rasm), harakatlanuvchi koordinatalar tizimi bilan qattiq bog'lanmagan, lekin unga nisbatan harakatlanuvchi. Kinematikada nuqtaning bu harakati nisbiy, qo‘zg‘almas koordinatalar sistemasiga nisbatan nuqtaning harakati absolyut, harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining harakati esa ko‘chma deyilgan.

Nuqtaning absolyut harakati uchun dinamikaning asosiy qonuni M kabi ko'rinadi

(11.33)

nuqtaning absolyut tezlanishi qayerda.

Kinematik tezlanishlarni qo'shish teoremasi (Koriolis teoremasi) asosida mutlaq tezlanish nisbiy, ko'chma va Koriolis tezlanishlarining yig'indisidir.

. (11.34)

(11.34) ni (11.33) ga almashtirsak, olamiz

va belgilarni o'tkazish va kiritishdan keyin

(11.35)

Qaerda; vektor inertsiyani uzatish kuchi deb ataladi; - Koriolis inertsiya kuchi.

Tenglik (11.35) nuqtaning nisbiy harakati qonunini ifodalaydi. Binobarin, noinersial sanoq sistemasidagi nuqtaning harakatini, agar nuqtaga ta’sir etuvchi faol kuchlar va bog’lanish reaksiyalari soniga ko’chirish va Koriolis inersiya kuchlarini qo’shsak, inertial sistemada harakat deb hisoblash mumkin.

Oldingi ma’ruzalarda Nyuton qonunlari asosida dinamika masalalarini yechish usullari muhokama qilingan edi. Nazariy mexanikada dinamik masalalarni echishning boshqa usullari ishlab chiqilgan bo'lib, ular boshqasiga asoslanadi boshlang'ich nuqtalari, mexanika tamoyillari deb ataladi.

Mexanika tamoyillaridan eng muhimi D'Alember tamoyilidir. Kinetostatika usuli d'Alember printsipi bilan chambarchas bog'liq - dinamik tenglamalar muvozanat tenglamalari ko'rinishida yoziladigan dinamika masalalarini echish usuli. Kinetostatika usuli materiallarning mustahkamligi, mexanizmlar va mashinalar nazariyasi va amaliy mexanikaning boshqa sohalari kabi umumiy muhandislik fanlarida keng qo'llaniladi. D'Alember printsipi nazariy mexanikaning o'zida ham samarali qo'llaniladi, bu erda ular uning yordami bilan yaratilgan. samarali usullar dinamika muammolarini hal qilish.

Moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi

Moddiy massa nuqtasi faol kuch va R bog`lanish reaksiyasi ta'sirida Oxyz inertial koordinata sistemasiga nisbatan erkin harakatlansin (57-rasm).

Keling, vektorni aniqlaymiz

son jihatdan nuqta massasi va uning tezlanishining mahsulotiga teng va tezlanish vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Vektor kuchning o'lchamiga ega va u moddiy nuqtaning inertsiya kuchi (D'Alembert) deb ataladi.

D'Alemberning moddiy nuqta uchun printsipi quyidagi fikrga to'g'ri keladi: agar biz shartli ravishda nuqtaning inersiya kuchini moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarga qo'shsak, biz muvozanatli kuchlar tizimini olamiz, ya'ni.

Statikadan yaqinlashuvchi kuchlarning muvozanat shartini eslab, d'Alember printsipini quyidagi shaklda ham yozish mumkin:

Dalamber printsipi dinamikaning asosiy tenglamasiga ekvivalent ekanligini va aksincha, dinamikaning asosiy tenglamasidan D'Alember tamoyiliga amal qilishini ko'rish oson. Darhaqiqat, oxirgi tenglikdagi vektorni tenglikning boshqa qismiga o'tkazib, uni bilan almashtirib, biz dinamikaning asosiy tenglamasini olamiz. Aksincha, dinamikaning asosiy tenglamasidagi m atamasini kuchlar bilan bir xil tomonga ko'chirish va yozuvdan foydalanib, biz d'Alember printsipining yozuvini olamiz.

Moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi dinamikaning asosiy qonuniga to'liq ekvivalent bo'lib, bu qonunni butunlay boshqacha shaklda - statika tenglamasi shaklida ifodalaydi. Bu dinamik tenglamalarni tuzishda statik usullardan foydalanish imkonini beradi, bu kinetostatik usul deb ataladi.

Kinetostatika usuli ayniqsa dinamikaning birinchi masalasini yechish uchun qulaydir.

Misol. Radiusi R bo'lgan silliq sharsimon gumbazning eng yuqori nuqtasidan massasi ahamiyatsiz bo'lgan M moddiy nuqta siljiydi. boshlang'ich tezligi(58-rasm). Nuqta gumbazni qaerga qoldirishini aniqlang.

Yechim. Nuqta qandaydir meridian yoyi bo'ylab harakatlanadi. Ayrim (hozirgi) momentda OM radiusi vertikal bilan burchak hosil qilsin. A nuqtaning tezlanishini tangens ) va normalga kengaytirib, biz nuqtaning inersiya kuchini ham ikkita komponentning yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

Inertsiya kuchining tangensial komponenti modulga ega va tangensial tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan, normal komponent modulga ega va normal tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Ushbu kuchlarni nuqtaga ta'sir qiluvchi N gumbazning faol kuchi va reaktsiyasiga qo'shib, biz kinetostatik tenglamani tuzamiz.

Biz hozirgacha ko'rib chiqqan dinamika muammolarini hal qilishning barcha usullari to'g'ridan-to'g'ri Nyuton qonunlaridan yoki ushbu qonunlarning natijalari bo'lgan umumiy teoremalardan kelib chiqadigan tenglamalarga asoslanadi. Biroq, bu yo'l yagona emas. Ma'lum bo'lishicha, mexanik tizimning harakat tenglamalari yoki muvozanat shartlari Nyuton qonunlari o'rniga boshqa qonunlarni asos qilib olish orqali olinishi mumkin. umumiy qoidalar, mexanika tamoyillari deb ataladi. Bir qator hollarda, ushbu tamoyillarni qo'llash, biz ko'rib turganimizdek, ko'proq narsani topishga imkon beradi samarali usullar tegishli muammolarni hal qilish. Ushbu bob ulardan birini ko'rib chiqadi umumiy tamoyillar d'Alember printsipi deb ataladigan mexanika.

dan tashkil topgan tizimga ega bo'lamiz n moddiy nuqtalar. Massa bilan tizimning nuqtalaridan birini tanlaymiz. Tashqi va ta'siri ostida ichki kuchlar va (bu ham faol kuchlar, ham bog'lanish reaktsiyalarini o'z ichiga oladi) nuqta inertial mos yozuvlar tizimiga nisbatan bir oz tezlanish oladi.

Keling, miqdorni hisobga olamiz

kuch o'lchamiga ega. Kattaligi boʻyicha nuqta massasi va uning tezlanishi koʻpaytmasiga teng boʻlgan va shu tezlanishga teskari yoʻnaltirilgan vektor kattalikka nuqtaning inersiya kuchi (baʼzan d’Alembert inersiya kuchi) deyiladi.

Shunda nuqta harakati quyidagiga ega ekanligi ma'lum bo'ladi umumiy mulk: agar vaqtning har bir momentida biz nuqtaga haqiqatda ta'sir etuvchi kuchlarga inersiya kuchini qo'shsak, unda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni. bo'ladi

.

Bu ifoda bir moddiy nuqta uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi. Bu Nyutonning ikkinchi qonuniga ekvivalent va aksincha ekanligini tushunish oson. Darhaqiqat, Nyutonning ikkinchi qonuni ko'rib chiqilayotgan nuqtani beradi . Bu erda atamani tenglikning o'ng tomoniga o'tkazsak, biz oxirgi munosabatga kelamiz.

Tizimning har bir nuqtasiga nisbatan yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, tizim uchun D'Alember tamoyilini ifodalagan holda quyidagi natijaga erishamiz: agar istalgan vaqtda tizimning har bir nuqtasiga, unga amalda ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlardan tashqari, tegishli inertial kuchlar ham qo‘llanilsa, natijada paydo bo‘lgan kuchlar tizimi muvozanatda bo‘ladi va barcha statik tenglamalar shunday bo‘lishi mumkin. unga qo'llaniladi.

D'Alember tamoyilining ahamiyati shundan iboratki, dinamika masalalariga bevosita tatbiq etilganda sistemaning harakat tenglamalari ma'lum muvozanat tenglamalari ko'rinishida tuziladi; bu muammolarni hal qilishda yagona yondashuvni yaratadi va odatda tegishli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Bundan tashqari, printsip bilan bog'liq holda mumkin bo'lgan harakatlar keyingi bobda muhokama qilinadi, d'Alembert tamoyili bizga yangi olish imkonini beradi umumiy usul dinamika muammolarini hal qilish.

D'Alember printsipini qo'llashda shuni yodda tutish kerakki, harakati o'rganilayotgan mexanik tizimning nuqtasiga faqat tashqi va ichki kuchlar ta'sir qiladi va bu nuqtalarning o'zaro ta'siri natijasida paydo bo'ladi. tizim bir-biri bilan va tizimga kirmagan jismlar bilan; bu kuchlar ta'sirida tizim nuqtalari mos keladigan tezlanishlar bilan harakatlanadi. Dalember printsipida ko'rib chiqilgan inersiya kuchlari harakatlanuvchi nuqtalarga ta'sir qilmaydi (aks holda bu nuqtalar tinch holatda yoki tezlanishsiz harakatlanar edi, keyin esa inersiya kuchlarining o'zi ham bo'lmaydi). Inertial kuchlarning kiritilishi shunchaki ko'proq dinamik tenglamalar tuzishga imkon beradigan texnikadir. oddiy usullar statika.

Statikadan ma'lumki, bu geometrik yig'indi muvozanatdagi kuchlar va ularning har qanday markazga nisbatan momentlari yig‘indisi HAQIDA nolga teng va qattiqlashuv printsipiga ko'ra, bu nafaqat qattiq jismga, balki har qanday o'zgaruvchan tizimga ham ta'sir qiluvchi kuchlar uchun ham amal qiladi. Keyin, D'Alembert printsipiga asoslanib, shunday bo'lishi kerak.

Moddiy nuqta va mexanik tizim dinamikasidagi inersiya kuchlari

Inertsiya kuchi bilan Minus belgisi bilan olingan nuqta massasi va tezlanishining mahsuloti moddiy nuqtadir, ya'ni dinamikada inertial kuchlar quyidagi hollarda qo'llaniladi:

• 1. Moddiy nuqtaning harakatini o'rganishda noinertial(harakatlanuvchi) koordinatalar tizimi, ya'ni nisbiy harakat. Bular ko'pincha Eyler kuchlari deb ataladigan transport va Koriolis inersiya kuchlari.
• 2. Dinamik masalalarni kinetostatika usuli yordamida yechishda. Bu usul d'Alember printsipiga asoslanadi, unga ko'ra moddiy nuqta yoki moddiy nuqtalar tizimining inertial kuchlari ma'lum bir tezlanish bilan harakatlanadi. inertial mos yozuvlar tizimi. Bu inersiya kuchlari d'Alember kuchlari deyiladi.
• 3. Dalamber inersiya kuchlari dinamikaga oid masalalarni Lagranj-D’Alember prinsipi yoki dinamikaning umumiy tenglamasi yordamida yechishda ham qo‘llaniladi.

Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksiyalardagi ifoda

Qayerda - Dekart koordinata o'qidagi nuqta tezlanishi proyeksiyalarining modullari.

At egri chiziqli harakat nuqtalari, inertial kuch tangensial va normal parchalanishi mumkin:; , - tangensial va normal tezlanishlar moduli; - traektoriyaning egrilik radiusi;

V- nuqta tezligi.

Moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi

Agar bepul bo'lmasa qo'llaniladigan faol kuchlar va ulanishlarning reaktsiya kuchlari ta'sirida harakatlanadigan moddiy nuqta, uning inertial kuchini qo'llang, so'ngra istalgan vaqtda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni bu kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'ladi.

mexanik nuqta tanasi materiali

Qayerda - nuqtaga qo'llaniladigan faol kuchlarning natijasi; - nuqtaga o'rnatilgan bog'lanishlar reaktsiyalari natijasi; moddiy nuqtaning inertsiya kuchi. Eslatma: Aslida, moddiy nuqtaning inertial kuchi nuqtaning o'ziga emas, balki shu nuqtaga tezlanish beradigan jismga qo'llaniladi.

Mexanik tizim uchun D'Alember printsipi

Geometrik yig'indi asosiy vektorlar tashqi kuchlar, tizimga ta'sir qiluvchi va tizimning barcha nuqtalarining inertial kuchlari, shuningdek, istalgan vaqtda erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun bu kuchlarning ba'zi markazga nisbatan asosiy momentlarining geometrik yig'indisi nolga teng, ya'ni.

Asosiy vektor va asosiy nuqta qattiq jismning inertsiya kuchlari

Tizim nuqtalarining inertsiya kuchlarining asosiy vektori va asosiy momenti berilgan mexanik tizimga kiritilgan har bir qattiq jism uchun alohida aniqlanadi. Ularning ta'rifi statikadan ma'lum bo'lgan Puinsot usuliga asoslangan bo'lib, o'zboshimchalik bilan kuchlar tizimini ma'lum bir markazga olib keladi.

Ushbu usulga asoslanib, tananing barcha nuqtalarining inertial kuchlari, umumiy holda, uning harakatlari massa markaziga keltirilishi va asosiy vektor * va asosiy moment bilan almashtirilishi mumkin. massa markaziga nisbatan. Ular formulalar bo'yicha aniqlanadi ya'ni har qanday uchun qattiq jismning harakati asosiy vektor inertsiya kuchlari minus belgisi bilan tana massasi va tananing massa markazining tezlashishi ko'paytmasiga teng; ,Qaerda r kc -- radius vektori k-chi massa markazidan chizilgan nuqtalar. Qattiq jism harakatining alohida holatlarida ushbu formulalar quyidagi shaklga ega:

1. Oldinga harakat.

2. Jismning massa markazidan o'tuvchi o'q atrofida aylanishi

3. Tekis-parallel harakat

Analitik mexanikaga kirish

Analitik mexanikaning asosiy tushunchalari

Analitik mexanika- mexanik tizimlarning harakati yoki muvozanati har qanday mexanik tizimlar uchun qo'llaniladigan umumiy, yagona analitik usullar yordamida o'rganiladigan mexanika sohasi (bo'limi).

Keling, analitik mexanikaning eng xarakterli tushunchalarini ko'rib chiqaylik.

1. Bog'lanishlar va ularning tasnifi.

Ulanishlar-- jismlar ko'rinishidagi har qanday cheklovlar yoki mexanik tizim nuqtalarining harakatiga qo'yilgan har qanday kinematik sharoitlar. Bu cheklovlar tenglamalar yoki tengsizliklar sifatida yozilishi mumkin.

Geometrik ulanishlar-- tenglamalari faqat nuqtalar koordinatalarini o'z ichiga olgan bog'lanishlar, ya'ni faqat nuqtalar koordinatalariga cheklovlar qo'yiladi. Bu jismlar, sirtlar, chiziqlar va boshqalar shaklidagi bog'lanishlardir.

Differensial ulanishlar-- nafaqat nuqtalar koordinatalariga, balki ularning tezligiga ham cheklovlar qo'yadigan ulanishlar.

Golonomik aloqalar - barcha geometrik bog'lanishlar va tenglamalari integrallanishi mumkin bo'lgan differensiallar.

Golonomik bo'lmagan aloqalar-- differensial integrallanmaydigan ulanishlar.

Statsionar aloqalar -- tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga olmaydi bog'lanishlar.

Statsionar bo'lmagan kommunikatsiyalar-- vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan bog'lanishlar, ya'ni tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga oladi.

Ikki tomonlama (tutish) ulanishlar -- nuqtaning ikki qarama-qarshi yo'nalishdagi harakatini cheklovchi bog'lanishlar. Bunday bog'lanishlar tenglamalar bilan tavsiflanadi .

Bir tomonlama(cheklab qo'ymaydigan) bog'lanishlar - harakatni faqat bir yo'nalishda cheklaydigan ulanishlar. Bunday bog'lanishlar tengsizliklar bilan tavsiflanadi

2. Mumkin (virtual) va haqiqiy harakatlar.

Mumkin yoki virtual mexanik tizim nuqtalarining siljishi - bu tizimga yuklangan ulanishlarni ta'minlaydigan xayoliy cheksiz kichik harakatlar.

Mumkin Mexanik tizimning harakati - bu ulanishlar bilan mos keladigan tizim nuqtalarining bir vaqtning o'zida mumkin bo'lgan harakatlari to'plami. Mexanik tizim krank mexanizmi bo'lsin.

Nuqtaning mumkin bo'lgan harakati A kichikligi tufayli to'g'ri chiziqli hisoblangan va unga perpendikulyar yo'naltirilgan harakatdir O.A.

Nuqtaning mumkin bo'lgan harakati IN(slayder) yo'riqnomalarda harakatlanmoqda. Krankning mumkin bo'lgan harakati O.A burilish burchagi, va birlashtiruvchi novda AB -- MCS atrofida burchak ostida (nuqta R).

Yaroqli tizim nuqtalarining siljishlari, shuningdek, bir-birining ustiga qo'yilgan ulanishlarga imkon beruvchi, lekin harakatning dastlabki shartlari va tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olgan holda elementar siljishlar deb ataladi.

Darajalar soni erkinlik S Mexanik tizim - bu ma'lum bir vaqtning o'zida tizim nuqtalariga etkazilishi mumkin bo'lgan mustaqil mumkin bo'lgan harakatlarining soni.

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi (Lagrange printsipi)

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi yoki Lagranj printsipi qo'llaniladigan faol kuchlar ta'sirida erkin bo'lmagan mexanik tizimning muvozanat holatini ifodalaydi. Printsip bayoni.

Balans uchun qo'llaniladigan faol kuchlar ta'sirida tinch holatda bo'lgan ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan erkin bo'lmagan mexanik tizimning barcha faol kuchlarning elementar ishlari yig'indisi teng bo'lishi zarur va etarlidir. Tizimning ko'rib chiqilgan muvozanat holatidan har qanday mumkin bo'lgan siljishidagi o'q:

Dinamikaning umumiy tenglamasi (Lagranj-D'Alember printsipi)

Dinamikaning umumiy tenglamasi jismlari yoki nuqtalari maʼlum tezlanishlar bilan harakatlanadigan erkin boʻlmagan mexanik tizimlar harakatini oʻrganishda qoʻllaniladi.

D'Alember printsipiga ko'ra, mexanik tizimga qo'llaniladigan faol kuchlar yig'indisi, tizimning barcha nuqtalarida birlashtiruvchi reaktsiya kuchlari va inersiya kuchlari muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Agar bunday tizimga mumkin bo'lgan siljishlar printsipini (Lagranj printsipi) qo'llasak, biz birlashtirilgan Lagranj-D'Alembert printsipini yoki dinamikaning umumiy tenglamasi.Ushbu tamoyilning bayonoti.

Erkin harakatlanayotganda Ikki tomonlama, ideal, statsionar va golonomik bog'lanishlarga ega bo'lgan mexanik tizimning har qanday mumkin bo'lgan harakatida tizim nuqtalariga qo'llaniladigan barcha faol kuchlar va inersiya kuchlarining elementar ishlari yig'indisi nolga teng:

Ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari

Lagranj tenglamalari ikkinchi turga mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalardagi harakatining differentsial tenglamalari kiradi.

bilan tizim uchun S erkinlik darajalari, bu tenglamalar shaklga ega

Farq ning qisman hosilasining umumiy vaqt hosilasi kinetik energiya umumlashtirilgan tezlik bo'yicha sistema va umumlashtirilgan koordinata bo'ylab kinetik energiyaning qisman hosilasi umumlashtirilgan kuchga teng.

Konservativ mexanik tizimlar uchun Lagranj tenglamalari. Siklik koordinatalar va integrallar

Konservativ tizim uchun umumlashtirilgan kuchlar formula bo'yicha tizimning potentsial energiyasi orqali aniqlanadi

Keyin Lagranj tenglamalari ko'rinishda qayta yoziladi

Chunki potentsial energiya tizim faqat umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasidir, ya'ni, keyin buni hisobga olib, biz uni ko'rinishda taqdim etamiz T - P = L -- Lagrange funktsiyasi (kinetik potensial). Nihoyat, konservativ tizim uchun Lagranj tenglamalari

Mexanik tizimning muvozanat holatining barqarorligi

Mexanik tizimlarning muvozanat holatining barqarorligi masalasi tizimlarning tebranish nazariyasida bevosita ahamiyatga ega.

Muvozanat holati barqaror, beqaror va befarq bo'lishi mumkin.

Barqaror muvozanat holati - bu holatdan chiqarilgan mexanik tizim nuqtalari keyinchalik muvozanat holatiga bevosita yaqin bo'lgan kuchlar ta'sirida harakatlanadigan muvozanat holati.

Bu harakat vaqt o'tishi bilan ma'lum darajada takrorlanuvchanlikka ega bo'ladi, ya'ni tizim tebranish harakatini amalga oshiradi.

Beqaror muvozanat holati - kelajakda tizim nuqtalarining o'zboshimchalik bilan kichik og'ishi bilan muvozanat holati. faol kuchlar nuqtalar muvozanat holatidan yanada uzoqlashadi .

Befarq muvozanat holati - tizim nuqtalarining ushbu pozitsiyadan har qanday kichik boshlang'ich og'ishi uchun yangi holatda tizim ham muvozanatda qoladigan muvozanat holati. .

Mexanik tizimning barqaror muvozanat holatini aniqlashning turli usullari mavjud.

ga asoslangan barqaror muvozanat holatining ta'rifini ko'rib chiqamiz Lagranj-Diriklet teoremalari

Agar pozitsiyada bo'lsa konservativ mexanik tizimning ideal va bilan muvozanati qattiq ulanishlar uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqaror bo'ladi.

Ta'sir hodisasi. Ta'sir kuchi va zarba impulsi

Jismdagi nuqtalarning tezligi arzimas darajada kichik vaqt oralig'ida cheklangan miqdorga o'zgarishi hodisasi deyiladi. zarba. Bu vaqt davri deyiladi ta'sir qilish vaqti. Ta'sir paytida cheksiz kichik vaqt oralig'ida ta'sir kuchi ta'sir qiladi. Ta'sir kuchi ta'sir paytida impulsi cheklangan qiymat bo'lgan kuch deb ataladi.

Agar kuch modulda chekli bo'lsa vaqt o'tishi bilan harakat qiladi, o'z harakatini vaqtning bir lahzasida boshlaydi , keyin uning impulsi shaklga ega bo'ladi

Bundan tashqari, ta'sir kuchi moddiy nuqtaga ta'sir qilganda, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:

ta'sir paytida oniy bo'lmagan kuchlarning ta'sirini e'tiborsiz qoldirish mumkin;

ta'sir paytida moddiy nuqtaning harakatiga e'tibor bermaslik mumkin;

ta'sir kuchining moddiy nuqtaga ta'siri natijasi zarba paytida uning tezligi vektorining yakuniy o'zgarishida ifodalanadi.

Mexanik tizim impulsining zarba ta'sirida o'zgarishi haqidagi teorema

ta'sir paytida mexanik tizimning momentumining o'zgarishi barcha tashqi geometrik yig'indiga teng zarba zarbalari, tizimlarning nuqtalariga qo'llaniladi, Qayerda - ta'sir kuchlari tugashi paytida mexanik tizimning harakat miqdori, - ta'sir kuchlari harakat qila boshlagan paytda mexanik tizimning harakat miqdori, - tashqi zarba impulsi.

Hozirgacha koʻrib chiqilgan mexanik masalalarni yechish usullari toʻgʻridan-toʻgʻri Nyuton qonunlaridan yoki shu qonunlarning natijasi boʻlgan umumiy teoremalardan kelib chiqadigan tenglamalarga asoslanadi. Biroq, bu yo'l yagona emas. Ma'lum bo'lishicha, mexanik tizimning harakat tenglamalari yoki muvozanat shartlarini Nyuton qonunlari o'rniga mexanika tamoyillari deb ataladigan boshqa umumiy tamoyillarga asoslash orqali olish mumkin. Bir qator hollarda ushbu tamoyillarni qo'llash, biz ko'rib turganimizdek, tegishli muammolarni hal qilishning yanada samarali usullarini topishga imkon beradi. Ushbu bobda d'Alember printsipi deb ataladigan mexanikaning umumiy tamoyillaridan biri ko'rib chiqiladi.

Avval bitta moddiy nuqta uchun printsipning ifodasini topamiz. Massasi bo'lgan moddiy nuqtaga faol kuchlar tizimi ta'sir qilsin, natijada N ulanish reaktsiyasi bilan belgilanadi (agar nuqta erkin bo'lmasa). Bu barcha kuchlar ta'sirida nuqta inertial sanoq sistemasiga nisbatan ma'lum bir tezlanish bilan harakatlanadi.

Keling, miqdorni hisobga olamiz

kuch o'lchamiga ega. Kattaligi bo‘yicha nuqta massasi va uning tezlanishi ko‘paytmasiga teng va shu tezlanishga qarama-qarshi yo‘naltirilgan vektor kattalik nuqtaning inersiya kuchi deyiladi.

Keyin nuqtaning harakati borligi ma'lum bo'ladi quyidagi mulk: agar vaqtning istalgan momentida nuqtaga taʼsir etuvchi faol kuchlar va bogʻlanish reaksiyasiga inersiya kuchi qoʻshilsa, hosil boʻlgan kuchlar tizimi muvozanatlashgan boʻladi, yaʼni.

Bu pozitsiya moddiy nuqta uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi. Bu Nyutonning ikkinchi qonuniga ekvivalent va aksincha ekanligini tushunish oson. Haqiqatan ham, ko'rib chiqilayotgan nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bu erda m qiymatini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazib, (84) yozuvni hisobga olgan holda (85) munosabatga kelamiz. Aksincha, (85) tenglamadagi miqdorni tenglikning boshqa qismiga o'tkazib, (84) yozuvni hisobga olib, Nyutonning ikkinchi qonunining ifodasini olamiz.

Endi moddiy nuqtalardan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqamiz. Massa bilan tizimning nuqtalaridan birini tanlaymiz. Unga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlarning ta'siri ostida (bu faol kuchlarni ham, bog'lanish reaktsiyalarini ham o'z ichiga oladi) bu nuqta uchun inertial kuchni kiritish orqali biz inertial sanoq tizimiga nisbatan harakat qilamiz tenglik (85) ya'ni

ya'ni ular muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi. Tizimning har bir nuqtasi uchun bunday mulohazalarni takrorlab, sistema uchun Dalamber tamoyilini ifodalagan holda quyidagi natijaga erishamiz: agar vaqtning istalgan momentida tizimning har bir nuqtasiga mos keladigan inertial kuchlar qo‘shilsa, unda unga ta'sir qiluvchi tashqi va ichki kuchlarga qo'shimcha ravishda, natijada paydo bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi va unga statikaning barcha tenglamalarini qo'llash mumkin.

Matematik jihatdan, tizim uchun d'Alembert printsipi (85) ko'rinishdagi vektor tengliklari bilan ifodalanadi, ular aniq ekvivalentdir. differensial tenglamalar sistemaning harakati (13), § 106. Binobarin, d'Alember printsipidan, shuningdek (13) tenglamalardan dinamikaning barcha umumiy teoremalarini olish mumkin.

D'Alember tamoyilining ahamiyati shundan iboratki, dinamika masalalariga bevosita tatbiq etilganda sistemaning harakat tenglamalari ma'lum muvozanat tenglamalari ko'rinishida tuziladi; bu muammolarni hal qilishda yondashuvni bir xil qiladi va ko'pincha tegishli hisob-kitoblarni soddalashtiradi. Bundan tashqari, keyingi bobda muhokama qilinadigan mumkin bo'lgan siljishlar printsipi bilan birgalikda d'Alember printsipi dinamika muammolarini hal qilishning yangi umumiy usulini olish imkonini beradi (141-§ ga qarang).

Statikadan ma'lumki, muvozanatdagi kuchlarning geometrik yig'indisi va ularning har qanday O markazga nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng va § 120da ko'rsatilganidek, bu faqat qattiq jismga emas, balki ta'sir qiluvchi kuchlarga ham tegishli. har qanday o'zgaruvchan mexanik tizimda ham.

Keyin, D'Alembert printsipiga asoslanib, u quyidagicha bo'lishi kerak:

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

Miqdorlar inersiya kuchlari tizimining O markaziga nisbatan bosh vektor va bosh momentni ifodalaydi. Natijada, ichki kuchlarning geometrik yig'indisi va ularning momentlari yig'indisi nolga teng ekanligini hisobga olsak, biz (86) tenglikdan olamiz:

D'Alember printsipidan kelib chiqadigan (88) tenglamalardan foydalanish masalalarni yechish jarayonini soddalashtiradi, chunki bu tenglamalar ichki kuchlarni o'z ichiga olmaydi. Mohiyatan (88) tenglamalar impulsning oʻzgarishi va sistemaning asosiy burchak impulsi haqidagi teoremalarni ifodalovchi tenglamalarga ekvivalent boʻlib, ulardan faqat shakli jihatidan farq qiladi.

(88) tenglamalar, ayniqsa, qattiq jism yoki sistemaning harakatini o'rganishda foydalanish uchun qulaydir qattiq moddalar. Har qanday o'zgaruvchan tizimning harakatini to'liq o'rganish uchun bu tenglamalar etarli bo'lmaydi, xuddi statika tenglamalari har qanday mexanik tizimning muvozanatini o'rganish uchun etarli emas (120-§ ga qarang).

Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda tengliklar (88) mos keladigan statik tenglamalarga o'xshash tenglamalarni beradi (16, 30-bandlarga qarang). Masalalarni yechishda bu tenglamalardan foydalanish uchun bosh vektor va inersiya kuchlarining bosh momenti ifodalarini bilish kerak.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, bu erda ko'rib chiqiladigan inertial sanoq sistemasiga nisbatan harakatni o'rganishda, masalani hal qilish uchun d'Alember printsipi qo'llanilgandagina inersiya kuchlari kiritiladi.