Proportsional bog'liqlikka misollar. "to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik" deb nomlangan xabarlar

Proportsional bog'liqlikka misollar. Belgilangan xabarlar — Proportsional bog'liqlikka misollar. "to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik" deb nomlangan xabarlar

27.09.2019

Shuningdek o'qing

-C3 va -C4 o'simliklarning qiyosiy tavsiflari

Ilon ayollar bosh kiyimlarining ramzi: ijobiy ramziylik

Archangel Jabroilning ikonasi - bosh farishta Jabroilning ikonasi nimaga yordam berishini anglatadi, homiylikni anglatadi

Mifning kam ma'lum tomonlari

I. To‘g‘ri proporsional kattaliklar.

Qiymatga ruxsat bering y hajmiga bog'liq X. Agar ko'payganda X bir necha marta katta da bir xil miqdorda ortadi, keyin bunday qiymatlar X Va da to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi.

Misollar.

1 . Sotib olingan tovarlar miqdori va sotib olish narxi (agar belgilangan narx bir birlik tovar - 1 dona yoki 1 kg va boshqalar) Necha marta ko'p tovar sotib olingan bo'lsa, shuncha ko'p to'langan.

2 . Bosilgan masofa va unga sarflangan vaqt (bilan doimiy tezlik).Yo'l necha marta uzoqroq, uni tugatish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi.

3 . Jismning hajmi va uning massasi. ( Agar bitta tarvuz ikkinchisidan 2 marta katta bo'lsa, unda uning massasi 2 baravar katta bo'ladi)

II. Miqdorlarning to'g'ridan-to'g'ri proportsionalligi xossasi.

Agar ikkita miqdor to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, unda birinchi miqdorning ikkita o'zboshimchalik bilan olingan qiymatining nisbati ikkinchi miqdorning ikkita mos keladigan qiymatining nisbatiga teng bo'ladi.

Vazifa 1. Uchun malina murabbosi olganlar 12 kg malina va 8 kg Sahara. Agar siz uni olsangiz, sizga qancha shakar kerak bo'ladi? 9 kg malina?

Yechim.

Biz shunday fikr yuritamiz: kerak bo'lsin x kg uchun shakar 9 kg malina Malinaning massasi va shakarning massasi to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlardir: malina necha marta kamroq bo'lsa, shuncha marta kamroq shakar kerak bo'ladi. Shuning uchun, olingan malina nisbati (og'irlik bo'yicha) ( 12:9 ) olingan shakar nisbatiga teng bo'ladi ( 8:x). Biz nisbatni olamiz:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Javob: yoqilgan 9 kg malinani olish kerak 6 kg Sahara.

Muammoning yechimi Buni shunday qilish mumkin edi:

Mayli 9 kg malinani olish kerak x kg Sahara.

(Rasmdagi o'qlar bir yo'nalishda yo'naltirilgan va yuqoriga yoki pastga muhim emas. Ma'nosi: necha marta 12 ko'proq raqam 9 , bir xil marta 8 ko'proq raqam X, ya'ni bu erda to'g'ridan-to'g'ri aloqa mavjud).

Javob: yoqilgan 9 kg Bir oz malina olishim kerak 6 kg Sahara.

Vazifa 2. uchun mashina 3 soat masofani bosib o‘tdi 264 km. Uning sayohati qancha vaqt oladi? 440 km, agar u bir xil tezlikda harakat qilsa?

Yechim.

ruxsat bering x soat mashina masofani bosib o'tadi 440 km.

Javob: mashina o'tib ketadi 5 soatda 440 km.

Asosiy maqsadlar:

to'g'ridan-to'g'ri va teskari tushunchasini kiriting proportsional bog'liqlik miqdorlar;
bu bog’liqliklardan foydalanib masalalar yechishni o’rgatish;
muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirishga yordam berish;
mutanosiblik yordamida tenglamalarni yechish malakasini mustahkamlash;
oddiy va bilan qadamlarni takrorlang o'nli kasrlar;
rivojlantirish mantiqiy fikrlash talabalar.

Darslar davomida

I. Faoliyat uchun o'z taqdirini o'zi belgilash(Tashkiliy vaqt)

- Yigitlar! Bugun darsda proporsiya yordamida yechilgan masalalar bilan tanishamiz.

II. Bilimlarni yangilash va faoliyatdagi qiyinchiliklarni qayd etish

2.1. Og'zaki ish (3 daqiqa)

– iboralarning ma’nosini toping va javoblarda shifrlangan so‘zni toping.

14 – s; 0,1 - va; 7 - l; 0,2 – a; 17 - in; 25 - gacha

- Olingan so'z - kuch. Juda qoyil!
– Bugungi darsimizning shiori: Kuch bilimda! Men izlayapman - bu men o'rganyapman degani!
– Olingan raqamlardan mutanosiblikni hosil qiling. (14:7 = 0,2:0,1 va boshqalar)

2.2. Bizga ma'lum bo'lgan miqdorlar o'rtasidagi munosabatni ko'rib chiqamiz (7 daqiqa)

– avtomobilning doimiy tezlikda bosib o‘tgan masofasi va uning harakatlanish vaqti: S = v t ( ortib borayotgan tezlik (vaqt) bilan masofa oshadi;
- avtomobil tezligi va sayohatga sarflangan vaqt: v=S:t(yo'lni bosib o'tish vaqti oshgani sayin tezlik kamayadi);
– Bir narxda sotib olingan tovarlarning qiymati va uning miqdori: C = a · n (narxning oshishi (pasayishi) bilan sotib olish qiymati oshadi (pasayadi));
– mahsulot narxi va uning miqdori: a = C: n (miqdori oshishi bilan narx pasayadi)
- to'rtburchakning maydoni va uning uzunligi (kengligi): S = a · b (uzunligi (kengligi) ortishi bilan maydon ortadi;
– to‘rtburchak uzunligi va kengligi: a = S: b (uzunlik oshgani sayin eni kamayadi;
- bir xil mehnat unumdorligi bilan ba'zi ishlarni bajaradigan ishchilar soni va bu ishni bajarish uchun ketadigan vaqt: t = A: n (ishchilar sonining ko'payishi bilan ishni bajarishga ketadigan vaqt kamayadi) va hokazo. .

Biz bir miqdorning bir necha marta ortishi bilan boshqasi darhol bir xil miqdorga ko'payadigan bog'liqliklarni oldik (misollar o'qlar bilan ko'rsatilgan) va bir miqdor bir necha marta ko'payishi bilan ikkinchi miqdor kamayadigan bog'liqliklarni oldik. bir xil marta.
Bunday bog'liqliklar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik deb ataladi.
To'g'ridan-to'g'ri proportsional bog'liqlik– bir qiymat bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan ikkinchi qiymat bir xil miqdorda ortib (kamayishi) munosabati.
Teskari proportsional munosabat– bir qiymat bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan ikkinchi qiymat bir xil miqdorda kamayishi (ko‘tarilishi) munosabati.

III. O'quv vazifasini belgilash

- Bizni qanday muammo kutmoqda? (To'g'ri chiziqlarni farqlashni o'rganing va teskari bog'liqliklar)
- Bu - maqsad bizning darsimiz. Endi shakllantiring mavzu dars. (To'g'ri va teskari proportsional munosabatlar).
- Juda qoyil! Dars mavzusini daftaringizga yozing. (O'qituvchi mavzuni doskaga yozadi.)

IV. Yangi bilimlarning "kashfiyoti"(10 daqiqa)

Keling, 199-sonli masalani ko'rib chiqaylik.

1. Printer 4,5 daqiqada 27 sahifani chop etadi. 300 sahifani chop etish uchun qancha vaqt ketadi?

27 sahifa - 4,5 min.
300 sahifa - x?

2. Qutida har biri 250 g dan 48 dona choy bor. Bu choydan qancha 150 g paket olasiz?

48 ta paket - 250 g.
X? - 150 g.

3. Mashina 25 litr benzin sarflab, 310 km yurdi. To'liq 40 litrlik bakda mashina qancha masofani bosib o'tishi mumkin?

310 km - 25 l
X? - 40 l

4. Debriyaj uzatmalaridan birida 32 tish, ikkinchisida 40 tish bor. Birinchisi 215 aylanish qilganda ikkinchi vites nechta aylanishni amalga oshiradi?

32 tish - 315 rev.
40 tish - x?

Proportsiyani tuzish uchun o'qlarning bir yo'nalishi kerak, buning uchun teskari proportsionallikda bitta nisbat teskari bilan almashtiriladi;

Doskada o'quvchilar kattaliklarning ma'nosini joyida topadilar, o'quvchilar o'zlari tanlagan bitta masalani hal qiladilar;

– To‘g‘ridan-to‘g‘ri va teskari proportsional bog‘liqlikdagi masalalarni yechish qoidasini shakllantirish.

Doskada jadval paydo bo'ladi:

V. Tashqi nutqda birlamchi konsolidatsiya(10 daqiqa)

Ish varag'i topshiriqlari:

21 kg paxta chigitidan 5,1 kg moy olindi. 7 kg paxta chigitidan qancha moy olinadi?
Stadionni qurish uchun 5 ta buldozer 210 daqiqada maydonni tozaladi. Bu saytni tozalash uchun 7 ta buldozer qancha vaqt oladi?

VI. Mustaqil ish standartga muvofiq o'z-o'zini tekshirish bilan(5 daqiqa)

Ikki talaba mustaqil ravishda 225-sonli topshiriqni yashirin doskalarda, qolganlari esa daftarda bajaradi. Keyin ular algoritm ishini tekshirib, doskadagi yechim bilan solishtiradilar. Xatolar tuzatilib, ularning sabablari aniqlanadi. Agar topshiriq to'g'ri bajarilgan bo'lsa, o'quvchilar yoniga "+" belgisini qo'yadilar.
Mustaqil ishda xatoga yo'l qo'ygan talabalar maslahatchilardan foydalanishlari mumkin.

VII. Bilimlar tizimiga kiritish va takrorlash№ 271, № 270.

Kengashda olti kishi ishlaydi. 3-4 daqiqadan so‘ng doskada ishlovchi o‘quvchilar o‘z yechimlarini taqdim etadilar, qolganlari topshiriqlarni tekshirib, ularni muhokama qilishda qatnashadilar.

VIII. Faoliyat haqida fikr yuritish (darsning xulosasi)

- Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?
- Nimani takrorladilar?
– Proportsion masalalarni yechish algoritmi qanday?
- Maqsadimizga erishdikmi?
- Ishingizni qanday baholaysiz?

§ 129. Dastlabki tushuntirishlar.

Inson doimo turli xil miqdorlar bilan shug'ullanadi. Xodim va ishchi ma'lum bir vaqtgacha ishga borishga harakat qilmoqda, piyoda esa borishga shoshilmoqda. mashhur joy eng qisqa yo'l, stoker bug 'isitish qozondagi harorat asta-sekin o'sib borayotganidan xavotirda, biznes menejeri ishlab chiqarish tannarxini pasaytirish bo'yicha rejalar tuzadi va hokazo.

Bunday misollarni har qancha keltirish mumkin. Vaqt, masofa, harorat, xarajat - bularning barchasi turli miqdorlardir. Ushbu kitobning birinchi va ikkinchi qismlarida biz ba'zi keng tarqalgan miqdorlar bilan tanishdik: maydon, hajm, vazn. Biz fizika va boshqa fanlarni o'rganayotganda ko'p miqdorlarga duch kelamiz.

Tasavvur qiling, siz poezdda ketyapsiz. Vaqti-vaqti bilan soatingizga qaraysiz va yo'lda qancha vaqt yurganingizni payqadingiz. Siz, masalan, poyezdingiz jo‘nab ketganidan keyin 2, 3, 5, 10, 15 soat o‘tdi va hokazo deysiz. Bu raqamlar turli vaqt davrlarini bildiradi; ular bu miqdorning (vaqt) qiymatlari deb ataladi. Yoki siz derazadan tashqariga qaraysiz va poezdingiz bosib o'tgan masofani ko'rish uchun yo'l ustunlariga ergashasiz. Oldingizda 110, 111, 112, 113, 114 km raqamlari miltillaydi. Bu raqamlar poyezdning jo‘nash joyidan bosib o‘tgan turli masofalarini ifodalaydi. Ular, shuningdek, qiymatlar deb ataladi, bu vaqt boshqa kattalikdagi (ikki nuqta orasidagi yo'l yoki masofa). Shunday qilib, bir miqdor, masalan, vaqt, masofa, harorat shuncha ko'p bo'lishi mumkin turli ma'nolar.

E'tibor bering, odam deyarli hech qachon faqat bitta miqdorni hisobga olmaydi, lekin uni har doim boshqa miqdorlar bilan bog'laydi. U bir vaqtning o'zida ikki, uch yoki undan ortiq miqdor bilan shug'ullanishi kerak. Tasavvur qiling, siz maktabga soat 9 ga borishingiz kerak. Siz soatingizga qaraysiz va sizda 20 daqiqa borligini ko'rasiz. Shunda siz tezda tramvayga chiqishingiz kerakmi yoki maktabga piyoda bora olasizmi yoki yo'qligini tushunasiz. O'ylab, siz yurishga qaror qilasiz. E'tibor bering, siz o'ylayotganingizda, siz qandaydir muammoni hal qilyapsiz. Bu vazifa oddiy va tanish bo'lib qoldi, chunki siz har kuni bunday muammolarni hal qilasiz. Unda siz tezda bir nechta miqdorlarni taqqosladingiz. Aynan siz soatga qaradingiz, ya'ni siz vaqtni hisobga oldingiz, keyin uyingizdan maktabgacha bo'lgan masofani aqlan tasavvur qildingiz; Nihoyat, siz ikkita miqdorni taqqosladingiz: qadamingiz tezligi va tramvay tezligi va shunday xulosaga keldingiz. berilgan vaqt(20 min.) Yurish uchun vaqtingiz bo'ladi. Bundan oddiy misol ko'rasizki, bizning amaliyotimizda ba'zi miqdorlar o'zaro bog'liq, ya'ni ular bir-biriga bog'liqdir

O'n ikkinchi bobda bir jinsli miqdorlarning o'zaro bog'liqligi haqida so'z bordi. Masalan, agar bitta segment 12 m, ikkinchisi 4 m bo'lsa, bu segmentlarning nisbati 12: 4 bo'ladi.

Bu ikkita bir hil miqdorning nisbati ekanligini aytdik. Buni aytishning yana bir usuli - bu ikki raqamning nisbati bitta ism.

Biz miqdorlar bilan ko'proq tanish bo'lganimizdan va miqdorning qiymati tushunchasini kiritganimizdan so'ng, nisbat ta'rifini yangi shaklda ifodalashimiz mumkin. Aslida, biz 12 m va 4 m ikkita segmentni ko'rib chiqqanimizda, biz bitta qiymat haqida gapirgan edik - uzunlik va 12 m va 4 m faqat ikkita edi. turli ma'nolar bu qiymat.

Shuning uchun, kelajakda nisbatlar haqida gapira boshlaganimizda, biz bir miqdorning ikkita qiymatini ko'rib chiqamiz va bir miqdorning bir qiymatining bir xil miqdorning boshqa qiymatiga nisbati birinchi qiymatni bo'lish qismi deb ataladi. ikkinchi tomonidan.

§ 130. Qiymatlar to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Sharti ikkita kattalik: masofa va vaqtni o'z ichiga olgan masalani ko'rib chiqaylik.

Vazifa 1. To'g'ri chiziqli va bir tekis harakatlanuvchi jism har sekundda 12 sm masofani bosib o'tadi, tananing 2, 3, 4, ..., 10 soniyada bosib o'tgan masofasini aniqlang.

Keling, vaqt va masofadagi o'zgarishlarni kuzatish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan jadval yarataylik.

Jadval bizga ushbu ikki qator qiymatlarni solishtirish imkoniyatini beradi. Undan ko'ramizki, birinchi miqdorning (vaqt) qiymatlari asta-sekin 2, 3,..., 10 marta oshsa, ikkinchi miqdorning (masofaning) qiymatlari ham 2, 3 ga ortadi, ..., 10 marta. Shunday qilib, bir miqdorning qiymatlari bir necha marta oshganda, boshqa miqdorning qiymatlari bir xil miqdorga oshadi va bir miqdorning qiymatlari bir necha marta kamayganda, boshqa miqdorning qiymatlari bir necha marta kamayadi. bir xil raqam.

Keling, ikkita shunday miqdorni o'z ichiga olgan masalani ko'rib chiqaylik: materiya miqdori va uning narxi.

Vazifa 2. 15 m mato narxi 120 rublni tashkil qiladi. Jadvalda ko'rsatilgan bir necha boshqa metrlar uchun ushbu matoning narxini hisoblang.

Ushbu jadvaldan foydalanib, mahsulot tannarxi uning miqdorining oshishiga qarab asta-sekin oshib borishini kuzatishimiz mumkin. Bu muammo butunlay boshqa miqdorlarni (birinchi masalada - vaqt va masofa va bu erda - tovar miqdori va uning qiymati) o'z ichiga olishiga qaramasdan, shunga qaramay, bu miqdorlarning xatti-harakatlarida katta o'xshashliklarni topish mumkin.

Darhaqiqat, jadvalning yuqori qatorida ularning har birining tagida tegishli miqdordagi tovarlarning narxini ifodalovchi raqam mavjud. Ushbu jadvalga tez nazar tashlasangiz ham, yuqori va pastki qatorlardagi raqamlar ortib borayotganini ko'rsatadi; Jadvalni sinchiklab o'rganib chiqqandan so'ng va alohida ustunlarni solishtirganda, barcha holatlarda ikkinchi miqdorning qiymatlari birinchi o'sish qiymatlari bilan bir xil songa ko'payishi aniqlanadi, ya'ni agar birinchi miqdor, aytaylik, 10 marta ortadi, keyin ikkinchi miqdorning qiymati ham 10 marta oshdi.

Jadvalni o'ngdan chapga qarab ko'rib chiqsak, miqdorlarning ko'rsatilgan qiymatlari ga kamayishini topamiz. bir xil raqam bir marta. Shu ma'noda birinchi vazifa va ikkinchi vazifa o'rtasida so'zsiz o'xshashlik mavjud.

Birinchi va ikkinchi masalalarda duch kelgan juft miqdorlar deyiladi to'g'ridan-to'g'ri proportsional.

Shunday qilib, agar ikkita kattalik bir-biri bilan shunday bog'langan bo'lsa, ulardan birining qiymati bir necha marta ortishi (kamayishi), ikkinchisining qiymati bir xil miqdorga ko'tarilishi (kamayishi), unda bunday miqdorlar to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi. .

Bunday miqdorlar bir-biriga to'g'ridan-to'g'ri proporsional munosabat bilan bog'langan deb ham aytiladi.

Tabiatda va atrofimizdagi hayotda ko'plab shunga o'xshash miqdorlar mavjud. Mana bir nechta misollar:

1. Vaqt ish (kun, ikki kun, uch kun va boshqalar) va daromad, shu vaqt ichida kundalik ish haqi bilan olingan.

2. Ovoz balandligi bir hil materialdan tayyorlangan har qanday ob'ekt va vazn ushbu element.

§ 131. To'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlarning mulki.

Keling, quyidagi ikkita miqdorni o'z ichiga olgan masalani olaylik: ish vaqti va daromadlar. Agar kunlik daromad 20 rubl bo'lsa, u holda 2 kunlik daromad 40 rubl va hokazo bo'ladi. Ma'lum kunlar soni ma'lum bir daromadga to'g'ri keladigan jadvalni yaratish eng qulaydir.

Ushbu jadvalga nazar tashlasak, ikkala miqdor ham 10 xil qiymatga ega ekanligini ko'ramiz. Birinchi qiymatning har bir qiymati ikkinchi qiymatning ma'lum bir qiymatiga to'g'ri keladi, masalan, 2 kun 40 rublga to'g'ri keladi; 5 kun 100 rublga to'g'ri keladi. Jadvalda bu raqamlar bir-birining ostiga yozilgan.

Biz allaqachon bilamizki, agar ikkita kattalik to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, ularning har biri o'z o'zgarishi jarayonida ikkinchisi qancha ko'paysa, shuncha ko'payadi. Bundan darhol kelib chiqadi: agar biz birinchi miqdorning har qanday ikkita qiymatining nisbatini olsak, u ikkinchi miqdorning ikkita mos keladigan qiymatining nisbatiga teng bo'ladi. Haqiqatdan ham:

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Ammo bu qiymatlar to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lgani uchun, ya'ni ulardan biri (vaqt) 3 baravar oshganda, ikkinchisi (daromad) 3 baravar ko'paydi.

Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga keldik: agar biz birinchi miqdorning ikkita qiymatini olib, ularni bir-biriga bo'lsak va keyin ikkinchi miqdorning mos keladigan qiymatlarini bittaga bo'lsak, ikkala holatda ham biz shunday bo'lamiz. bir xil raqam, ya'ni bir xil munosabat. Bu shuni anglatadiki, biz yuqorida yozgan ikkita munosabat teng belgi bilan bog'lanishi mumkin, ya'ni.

Shubha yo'qki, agar biz bu munosabatlarni emas, balki boshqalarni va shu tartibda emas, aksincha, teskari tartibda olsak, munosabatlar tengligiga ham erishgan bo'lardik. Aslida, biz o'z miqdorlarimizni chapdan o'ngga qarab ko'rib chiqamiz va uchinchi va to'qqizinchi qiymatlarni olamiz:

60:180 = 1 / 3 .

Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

Bu quyidagi xulosaga olib keladi: agar ikkita miqdor to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, unda birinchi miqdorning ikkita o'zboshimchalik bilan olingan qiymatining nisbati ikkinchi miqdorning ikkita mos keladigan qiymatining nisbatiga teng bo'ladi.

§ 132. To'g'ri proportsionallik formulasi.

Keling, xarajatlar jadvalini tuzamiz turli miqdorlar shirinliklar, agar 1 kg 10,4 rubl bo'lsa.

Keling, buni shunday qilaylik. Ikkinchi qatordagi istalgan raqamni oling va uni birinchi qatordagi mos keladigan raqamga bo'ling. Masalan:

Ko'ryapsizmi, bo'linmada har doim bir xil raqam olinadi. Binobarin, berilgan to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar juftligi uchun bir miqdorning har qanday qiymatini boshqa miqdorning mos keladigan qiymatiga bo'lish koeffitsienti doimiy sondir (ya'ni o'zgarmasdir). Bizning misolimizda bu ko'rsatkich 10,4 ga teng. Bu doimiy son proportsionallik omili deb ataladi. IN Ushbu holatda u o'lchov birligining narxini, ya'ni bir kilogramm tovarni ifodalaydi.

Proportsionallik koeffitsientini qanday topish yoki hisoblash mumkin? Buning uchun siz bir miqdorning istalgan qiymatini olishingiz va uni boshqasining mos keladigan qiymatiga bo'lishingiz kerak.

Bir miqdorning bu ixtiyoriy qiymatini harf bilan belgilaymiz da , va boshqa miqdorning mos keladigan qiymati - harf X , keyin proportsionallik koeffitsienti (biz uni belgilaymiz TO) bo'linish orqali topamiz:

Bu tenglikda da - bo'linadigan, X - bo'luvchi va TO- bo'linish va bo'linish xususiyatiga ko'ra, dividend bo'luvchining bo'linmaga ko'paytirilishiga teng bo'lganligi sababli, biz yozishimiz mumkin:

y= K x

Olingan tenglik deyiladi to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik formulasi. Ushbu formuladan foydalanib, agar biz boshqa miqdorning mos keladigan qiymatlarini va proportsionallik koeffitsientini bilsak, to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlardan birining qiymatlarining istalgan sonini hisoblashimiz mumkin.

Misol. Fizikadan biz bu og'irlikni bilamiz R har qanday jismning o'ziga xos og'irligiga teng d , bu tananing hajmiga ko'paytiriladi V, ya'ni. R = d V.

Keling, har xil hajmdagi beshta temir panjarani olaylik; bilish solishtirma og'irlik temir (7.8), biz ushbu blankalarning og'irligini formuladan foydalanib hisoblashimiz mumkin:

R = 7,8 V.

Ushbu formulani formula bilan solishtirish da = TO X , buni ko'ramiz y = R, x = V, va mutanosiblik koeffitsienti TO= 7.8. Formula bir xil, faqat harflar boshqacha.

Ushbu formuladan foydalanib, jadval tuzamiz: 1-blankaning hajmi 8 kubometrga teng bo'lsin. sm, keyin uning og'irligi 7,8 8 = 62,4 (g). 2-blankaning hajmi 27 kubometrni tashkil qiladi. sm.Og'irligi 7,8 27 = 210,6 (g). Jadval quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu jadvalda etishmayotgan raqamlarni formuladan foydalanib hisoblang R= d V.

§ 133. To'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar bilan masalalarni yechishning boshqa usullari.

Oldingi paragrafda biz to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlarni o'z ichiga olgan masalani hal qildik. Buning uchun avval to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik formulasini oldik va keyin bu formulani qo'lladik. Endi biz shunga o'xshash muammolarni hal qilishning yana ikkita usulini ko'rsatamiz.

Oldingi banddagi jadvalda berilgan sonli ma’lumotlardan foydalanib masala tuzamiz.

Vazifa. 8 kubometr hajmdagi bo'sh. sm ning og'irligi 62,4 g, hajmi 64 kubometr bo'lgan blankning og'irligi qancha bo'ladi? sm?

Yechim. Ma'lumki, temirning og'irligi uning hajmiga mutanosibdir. Agar 8 kub. sm og'irligi 62,4 g, keyin 1 kub. sm ning og'irligi 8 barobar kamroq bo'ladi, ya'ni.

62,4:8 = 7,8 (g).

64 kubometr hajmdagi blank. sm 1 kubometr blankadan 64 marta og'irroq bo'ladi. sm, ya'ni.

7,8 64 = 499,2 (g).

Muammoimizni birlikka qisqartirish orqali hal qildik. Bu nomning ma'nosi, uni hal qilish uchun birinchi savolda hajm birligining og'irligini topishimiz kerakligi bilan oqlanadi.

2. Proporsiya usuli. Xuddi shu masalani proporsiya usuli yordamida yechamiz.

Temirning og'irligi va uning hajmi to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar bo'lganligi sababli, bir miqdorning (hajm) ikkita qiymatining nisbati boshqa miqdorning (vazn) ikkita mos keladigan qiymatining nisbatiga tengdir, ya'ni.

(xat R biz blankaning noma'lum og'irligini belgiladik). Bu yerdan:

(G).

Masala nisbatlar usuli yordamida yechilgan. Bu shuni anglatadiki, uni hal qilish uchun shartga kiritilgan raqamlardan nisbat tuzilgan.

§ 134. Qiymatlar teskari proportsionaldir.

Quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “Beshta mason qo'shishi mumkin g'isht devorlari 168 kun ichida uyda. 10, 8, 6 va hokazo masonlar bir xil ishni necha kunda bajarishi mumkinligini aniqlang”.

Agar 168 kun ichida 5 ta mason uyning devorlarini yotqizgan bo'lsa, u holda (bir xil mehnat unumdorligi bilan) 10 ta usta buni yarmida bajarishi mumkin edi, chunki o'rtacha 10 kishi 5 kishidan ikki baravar ko'p ish qiladi.

Keling, ishchilar soni va ish vaqtining o'zgarishini kuzatishimiz mumkin bo'lgan jadval tuzamiz.

Misol uchun, 6 ishchi necha kun ishlashini bilish uchun, avval bir ishchi necha kun ishlashini (168 5 = 840), so'ngra olti ishchi (840: 6 = 140) necha kun ishlashini hisoblashingiz kerak. Ushbu jadvalga nazar tashlasak, ikkala miqdor ham olti xil qiymatni olganligini ko'ramiz. Birinchi miqdorning har bir qiymati ma'lum biriga mos keladi; ikkinchi qiymatning qiymati, masalan, 10 84 ga, 8 raqami 105 raqamiga to'g'ri keladi va hokazo.

Ikkala miqdorning qiymatlarini chapdan o'ngga qarab ko'rib chiqsak, biz yuqori miqdorning qiymatlari ortib borayotganini va pastki miqdorning qiymatlari kamayishini ko'ramiz. O'sish va pasayish quyidagi qonunga bo'ysunadi: ishchilar sonining qiymatlari sarflangan ish vaqtining qiymati kamayishi bilan bir xil marta ortadi. Bu fikrni yanada soddaroq qilib quyidagicha ifodalash mumkin: har qanday vazifaga qancha ishchilar jalb etilsa, ularga shunchalik kam vaqt kerak bo'ladi. muayyan ish. Ushbu muammoda biz duch kelgan ikkita miqdor deyiladi teskari proportsional.

Shunday qilib, agar ikkita kattalik bir-biri bilan shunday bog'langan bo'lsa, ulardan birining qiymati bir necha marta ortishi (kamayishi), ikkinchisining qiymati bir xil miqdorga kamayishi (ko'tarilishi) bo'lsa, unda bunday miqdorlar teskari proportsional deyiladi. .

Hayotda shunga o'xshash miqdorlar juda ko'p. Keling, misollar keltiraylik.

1. Agar 150 rubl uchun bo'lsa. Agar siz bir necha kilogramm shirinlik sotib olishingiz kerak bo'lsa, shirinliklar soni bir kilogramm narxiga bog'liq bo'ladi. Narx qanchalik baland bo'lsa, bu pulga kamroq tovarlar sotib olishingiz mumkin; Buni jadvaldan ko'rish mumkin:

Konfet narxi bir necha marta oshgani sayin, 150 rublga sotib olinadigan konfetning kilogrammi bir xil miqdorda kamayadi. Bunday holda, ikkita miqdor (mahsulotning og'irligi va uning narxi) teskari proportsionaldir.

2. Ikki shahar orasidagi masofa 1200 km bo'lsa, u holda harakat tezligiga qarab turli vaqtlarda bosib o'tish mumkin. Mavjud turli yo'llar bilan tashish: piyoda, otda, velosipedda, qayiqda, mashinada, poezdda, samolyotda. Tezlik qanchalik past bo'lsa, harakat qilish uchun ko'proq vaqt kerak bo'ladi. Buni jadvaldan ko'rish mumkin:

Tezlikning bir necha marta ortishi bilan sayohat vaqti bir xil miqdorda kamayadi. Bu shuni anglatadiki, bu sharoitda tezlik va vaqt teskari proportsional miqdorlardir.

§ 135. Teskari proportsional miqdorlarning xossasi.

Oldingi paragrafda ko'rib chiqqan ikkinchi misolni olaylik. U erda biz ikkita miqdorni - tezlik va vaqtni ko'rib chiqdik. Agar biz ushbu miqdorlarning qiymatlari jadvalini chapdan o'ngga qaraydigan bo'lsak, birinchi miqdorning (tezlik) qiymatlari ortib borishini, ikkinchi (vaqt) qiymatlari esa pasayishini ko'ramiz. vaqt kamayishi bilan tezlik bir xil miqdorda ortadi. Agar bitta miqdorning ba'zi qiymatlarining nisbatini yozsangiz, u boshqa miqdorning mos keladigan qiymatlari nisbatiga teng bo'lmasligini tushunish qiyin emas. Aslida, agar biz yuqori qiymatning to'rtinchi qiymatini ettinchi qiymatga (40: 80) nisbatini olsak, u pastki qiymatning to'rtinchi va ettinchi qiymatlari nisbatiga teng bo'lmaydi (30: 15). Buni shunday yozish mumkin:

40:80 30:15 yoki 40:80 =/=30:15 ga teng emas.

Ammo bu munosabatlardan birining o'rniga teskarisini oladigan bo'lsak, biz tenglikni olamiz, ya'ni bu munosabatlardan proporsiya hosil qilish mumkin bo'ladi. Masalan:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin: agar ikkita miqdor teskari proportsional bo'lsa, unda bitta miqdorning o'zboshimchalik bilan olingan ikkita qiymatining nisbati boshqa miqdorning mos keladigan qiymatlarining teskari nisbatiga teng bo'ladi.

§ 136. Formula teskari proportsionallik.

Muammoni ko'rib chiqing: “Har xil o'lchamdagi 6 dona ipak mato mavjud turli navlar. Barcha qismlarning narxi bir xil. Bir parcha 100 m matoni o'z ichiga oladi, narxi 20 rubl. metrga Qolgan besh bo‘lakning har birida necha metr bor, agar bu bo‘laklardagi matoning bir metri mos ravishda 25, 40, 50, 80, 100 rubl bo‘lsa?”. Ushbu muammoni hal qilish uchun jadval tuzamiz:

Ushbu jadvalning yuqori qatoridagi bo'sh kataklarni to'ldirishimiz kerak. Keling, birinchi navbatda ikkinchi qismda qancha metr borligini aniqlashga harakat qilaylik. Buni quyidagicha amalga oshirish mumkin. Muammoning shartlaridan ma'lumki, barcha qismlarning narxi bir xil. Birinchi bo'lakning narxini aniqlash oson: u 100 metrni o'z ichiga oladi va har bir metr 20 rublni tashkil qiladi, ya'ni birinchi ipak bo'lagi 2000 rublga teng. Ikkinchi ipak bo'lagi bir xil miqdordagi rublni o'z ichiga olganligi sababli, 2000 rublni ajratib turadi. bir metrning narxi uchun, ya'ni 25, biz ikkinchi qismning o'lchamini topamiz: 2000: 25 = 80 (m). Xuddi shu tarzda biz boshqa barcha qismlarning o'lchamini topamiz. Jadval quyidagicha ko'rinadi:

Hisoblagichlar soni va narx o'rtasida teskari proportsional bog'liqlik mavjudligini ko'rish oson.

Agar siz kerakli hisob-kitoblarni o'zingiz qilsangiz, siz har safar 2000 sonini 1 m narxiga bo'lishingiz kerakligini sezasiz, aksincha, agar siz hozir bo'lakning o'lchamini 1 m narxiga ko'paytirishni boshlasangiz. , Siz har doim 2000 raqamini olasiz va bu kutish kerak edi, chunki har bir parcha 2000 rubl turadi.

Bu erdan quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin: berilgan teskari proportsional miqdorlar juftligi uchun bir miqdorning istalgan qiymatining boshqa miqdorning mos keladigan qiymatiga ko'paytmasi doimiy sondir (ya'ni o'zgarmasdir).

Bizning muammomizda bu mahsulot 2000 ga teng, harakat tezligi va bir shahardan ikkinchisiga o'tish uchun zarur bo'lgan vaqt haqida gapiradigan oldingi masalada ham bu muammo uchun doimiy raqam mavjudligini tekshiring.

Yuqoridagilarning barchasini hisobga olgan holda, teskari proportsionallik formulasini olish oson. Bir miqdorning ma'lum bir qiymatini harf bilan belgilaymiz X , va boshqa miqdorning mos keladigan qiymati harf bilan ifodalanadi da . Keyin, yuqorida aytilganlarga asoslanib, ish X yoqilgan da qandaydir doimiy qiymatga teng bo'lishi kerak, biz uni harf bilan belgilaymiz TO, ya'ni.

x y = TO.

Bu tenglikda X - ko'paytma da - multiplikator va K- ish. Ko'paytirish xususiyatiga ko'ra, ko'paytma ko'paytmaga bo'lingan mahsulotga teng. Ma'nosi,

Bu teskari proportsionallik formulasi. Undan foydalanib, biz teskari proportsional miqdorlardan birining qiymatlarining istalgan sonini hisoblashimiz mumkin, ikkinchisining qiymatlarini va doimiy sonni bilib olamiz. TO.

Yana bir muammoni ko‘rib chiqaylik: “Bir insho muallifi hisoblab chiqdiki, agar uning kitobi oddiy formatda bo‘lsa, unda 96 bet, cho‘ntak formatida bo‘lsa, 300 bet bo‘ladi. U harakat qildi turli xil variantlar, 96 sahifadan boshlangan, keyin esa har bir sahifada 2500 ta harf bor edi. Keyin u quyidagi jadvalda ko'rsatilgan sahifa raqamlarini oldi va sahifada nechta harf bo'lishini yana hisoblab chiqdi.

Keling, kitobda 100 sahifa bo'lsa, bir sahifada qancha harf bo'lishini hisoblashga harakat qilaylik.

Butun kitobda 240 000 ta harf bor, chunki 2 500 96 = 240 000.

Buni hisobga olib, biz teskari proportsionallik formulasidan foydalanamiz ( da - sahifadagi harflar soni, X - sahifalar soni):

Bizning misolimizda TO= 240 000

Demak, sahifada 2400 ta harf bor.

Xuddi shunday, agar kitob 120 sahifadan iborat bo'lsa, sahifadagi harflar soni quyidagicha bo'lishini bilib olamiz:

Bizning jadvalimiz quyidagicha ko'rinadi:

Qolgan kataklarni o'zingiz to'ldiring.

§ 137. Teskari proportsional miqdorlar bilan masalalarni yechishning boshqa usullari.

Oldingi paragrafda biz shartlari teskari proportsional miqdorlarni o'z ichiga olgan muammolarni hal qildik. Biz avval teskari proportsionallik formulasini oldik va keyin bu formulani qo'llaymiz. Endi biz bunday muammolar uchun yana ikkita echimni ko'rsatamiz.

1. Birlikka qisqartirish usuli.

Vazifa. 5 tokar 16 kun ichida ba'zi ishlarni bajarishi mumkin. 8 tokar bu ishni necha kunda bajara oladi?

Yechim. Tokarlar soni va ish vaqti o'rtasida teskari bog'liqlik mavjud. Agar 5 torner 16 kun ichida ishni bajarsa, unda bir kishi buning uchun 5 barobar ko'proq vaqt kerak bo'ladi, ya'ni.

5 tokar ishni 16 kunda tugatadi,

1 tokar uni 16 5 = 80 kun ichida tugatadi.

Muammo ishni bajarish uchun 8 ta tokarga necha kun kerak bo'lishini so'raydi. Shubhasiz, ular ishni 1 tornerga qaraganda 8 baravar tezroq bajaradilar, ya'ni.

80: 8 = 10 (kun).

Bu muammoni birlikka qisqartirish orqali hal qilishdir. Bu erda birinchi navbatda bitta ishchi tomonidan ishni bajarish uchun zarur bo'lgan vaqtni aniqlash kerak edi.

2. Proporsiya usuli. Keling, xuddi shu masalani ikkinchi usulda hal qilaylik.

Ishchilar soni va ish vaqti o'rtasida teskari proportsional bog'liqlik mavjud bo'lganligi sababli, biz yozishimiz mumkin: 5 tokarning ishlash muddati yangi tokarlar soni (8) 8 tokarning ishlash muddati oldingi tokarlar soni (5) ni belgilaymiz. xat tomonidan talab qilinadigan ish muddati X va kerakli raqamlarni so'zlar bilan ifodalangan nisbatga almashtiring:

Xuddi shu masala proporsiyalar usuli bilan hal qilinadi. Uni hal qilish uchun biz muammo bayoniga kiritilgan raqamlardan nisbat yaratishimiz kerak edi.

Eslatma. Oldingi paragraflarda biz to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik masalasini ko'rib chiqdik. Tabiat va hayot bizga miqdorlarning to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsional bog'liqligiga ko'plab misollar beradi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, bu ikki turdagi qaramlik faqat eng oddiy hisoblanadi. Ular bilan bir qatorda miqdorlar o'rtasida boshqa, murakkabroq bog'liqliklar mavjud. Bundan tashqari, agar ikkita miqdor bir vaqtning o'zida ortib ketsa, ular o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri mutanosiblik mavjud deb o'ylamaslik kerak. Bu haqiqatdan uzoqdir. Masalan, yo'l haqi temir yo'l masofaga qarab ortadi: biz qancha sayohat qilsak, shuncha ko'p to'laymiz, lekin bu to'lov masofaga mutanosib bo'lishini anglatmaydi.

I. To‘g‘ri proporsional kattaliklar.

Qiymatga ruxsat bering y hajmiga bog'liq X. Agar ko'payganda X bir necha marta katta da bir xil miqdorda ortadi, keyin bunday qiymatlar X Va da to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi.

Misollar.

1 . Sotib olingan tovarlar miqdori va sotib olish narxi (bir tovar birligi uchun qat'iy belgilangan narx bilan - 1 dona yoki 1 kg va boshqalar) Necha marta ko'p tovar sotib olingan bo'lsa, shuncha ko'p to'langan.

2 . Bosilgan masofa va unga sarflangan vaqt (doimiy tezlikda). Yo'l necha marta uzoqroq, uni tugatish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi.

3 . Jismning hajmi va uning massasi. ( Agar bitta tarvuz ikkinchisidan 2 marta katta bo'lsa, unda uning massasi 2 baravar katta bo'ladi)

II. Miqdorlarning to'g'ridan-to'g'ri proportsionalligi xossasi.

Vazifa 1. Malinali murabbo uchun biz oldik 12 kg malina va 8 kg Sahara. Agar siz uni olsangiz, sizga qancha shakar kerak bo'ladi? 9 kg malina?

Yechim.

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Javob: yoqilgan 9 kg malinani olish kerak 6 kg Sahara.

Muammoning yechimi Buni shunday qilish mumkin edi:

Mayli 9 kg malinani olish kerak x kg Sahara.

Javob: yoqilgan 9 kg Bir oz malina olishim kerak 6 kg Sahara.

Vazifa 2. uchun mashina 3 soat masofani bosib o‘tdi 264 km. Uning sayohati qancha vaqt oladi? 440 km, agar u bir xil tezlikda harakat qilsa?

Yechim.

ruxsat bering x soat mashina masofani bosib o'tadi 440 km.

Javob: mashina o'tib ketadi 5 soatda 440 km.

Vazifa 3. Quvurdan suv hovuzga oqadi. Orqada 2 soat u to'ldiradi 1/5 suzish havzasi Hovuzning qaysi qismi suv bilan to'ldirilgan soat 5?

Yechim.

Vazifaning savoliga javob beramiz: uchun soat 5 to‘ldiriladi 1/x hovuzning bir qismi. (Butun hovuz bir butun sifatida olinadi).