Ratsional darajali daraja mavzusiga misollar. Darajalar xossalari, formulalar, isbotlar, misollar

"Ratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich" video darsida ingl o'quv materiali ushbu mavzu bo'yicha dars o'tish. Videodarsda ratsional ko'rsatkichli daraja tushunchasi, bunday darajalarning xususiyatlari, shuningdek, amaliy muammolarni hal qilish uchun o'quv materialidan foydalanishni tavsiflovchi misollar haqida ma'lumotlar mavjud. Ushbu videodarsning maqsadi o‘quv materialini aniq va tushunarli qilib berish, uni o‘quvchilar tomonidan o‘zlashtirish va esda saqlashga ko‘maklashish, o‘rganilgan tushunchalardan foydalanib masalalar yechish ko‘nikmasini shakllantirishdan iborat.

Videodarsning asosiy afzalliklari - o'zgartirish va hisob-kitoblarni vizual tarzda bajarish qobiliyati, o'rganish samaradorligini oshirish uchun animatsiya effektlaridan foydalanish qobiliyati. Ovozli hamrohlik to'g'ri matematik nutqni rivojlantirishga yordam beradi, shuningdek, o'qituvchining tushuntirishini almashtirishga imkon beradi, uni individual ishlarni bajarishga imkon beradi.

Videodars mavzuni tanishtirish bilan boshlanadi. O'qishni bog'lash yangi mavzu ilgari o'rganilgan material bilan, n √a tabiiy n va musbat a uchun 1/n bilan aks holda belgilanishini eslash tavsiya etiladi. Ushbu n-ildiz tasviri ekranda ko'rsatiladi. Keyinchalik, m/n ifodasi nimani anglatishini ko'rib chiqish taklif etiladi, bunda a musbat son, m/n esa qandaydir kasrdir. Ratsional ko'rsatkichi m/n = n √a m bo'lgan darajaning ta'rifi ramkada ta'kidlangan. Ta'kidlanganidek, n ​​natural son, m esa butun son bo'lishi mumkin.

Ratsional darajali daraja aniqlangandan keyin uning ma'nosi misollar orqali ochiladi: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. O'nli kasr bilan ifodalangan darajaga aylantirilgan misol ham ko'rsatilgan oddiy kasr ildiz sifatida ifodalanishi uchun: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 va manfiy darajali misol: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Darajaning asosi nolga teng bo'lgan maxsus holatning o'ziga xos xususiyati alohida ko'rsatilgan. Ta'kidlanishicha, bu daraja faqat musbat kasr ko'rsatkichi bilan ma'noga ega. Bunda uning qiymati nolga teng: 0 m/n =0.

Ratsional darajali darajaning yana bir xususiyati qayd etilgan - kasr ko'rsatkichli darajani kasr ko'rsatkichi bilan ko'rib chiqish mumkin emas. Darajani noto'g'ri belgilashga misollar keltiriladi: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Keyingi video darsda biz ratsional ko'rsatkichli darajaning xususiyatlarini muhokama qilamiz. Qayd etilishicha, butun ko‘rsatkichli daraja xossalari ratsional darajali daraja uchun ham amal qiladi. Shuningdek, amaldagi mulklar ro'yxatini esga olish taklif etiladi Ushbu holatda:

1. Kuchlarni bilan ko'paytirganda xuddi shu asoslarda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi: a p a q =a p+q.
2. Bir xil asosli darajalarning bo'linishi berilgan asos va ko'rsatkichlardagi farq bilan darajaga qisqartiriladi: a p:a q =a p-q.
3. Agar darajani ma'lum bir darajaga ko'tarsak, u holda biz berilgan asosga va ko'rsatkichlar ko'paytmasiga ega bo'lgan darajaga erishamiz: (a p) q =a pq.

Bu xossalarning barchasi ratsional darajalari p, q va musbat asosi a>0 bo‘lgan darajalar uchun amal qiladi. Shuningdek, qavslarni ochishda daraja o'zgarishlari to'g'ri bo'lib qoladi:

1. (ab) p =a p b p - ratsional ko'rsatkich bilan qandaydir darajaga ko'tarilganda, ikkita sonning ko'paytmasi sonlar ko'paytmasiga keltiriladi, ularning har biri berilgan darajaga ko'tariladi.
2. (a/b) p =a p /b p - kasrni ratsional darajali darajaga ko'tarish, pay va maxraji berilgan darajaga ko'tarilgan kasrga keltiriladi.

Video darslikda ratsional darajali darajalarning ko'rib chiqilgan xususiyatlaridan foydalanadigan misollarni echish muhokama qilinadi. Birinchi misolda kasr darajasida x o'zgaruvchilari bo'lgan ifodaning qiymatini topish taklif etiladi: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Ifodaning murakkabligiga qaramay, kuchlarning xususiyatlaridan foydalanib, uni juda oddiy hal qilish mumkin. Muammoni hal qilish ifodani soddalashtirishdan boshlanadi, unda ratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan kuchni bir darajaga ko'tarish, shuningdek, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish qoidasi qo'llaniladi. Berilgan x=8 qiymatini soddalashtirilgan x 1/3 +48 ifodasiga almashtirgandan so'ng - 50 qiymatini olish oson.

Ikkinchi misolda siz hisoblagichi va maxraji ratsional ko'rsatkichli darajalarni o'z ichiga olgan kasrni kamaytirishingiz kerak. Darajaning xususiyatlaridan foydalanib, biz ayirmadan x 1/3 koeffitsientini chiqaramiz, u keyinchalik pay va maxrajda kamaytiriladi va kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, hisoblagich faktorlarga ajratiladi, bu esa bir xilning keyingi qisqarishini beradi. son va maxrajdagi omillar. Bunday o'zgarishlarning natijasi qisqa kasr x 1/4 +3.

O‘qituvchining yangi dars mavzusini tushuntirishi o‘rniga “Ratsional ko‘rsatkichli ko‘rsatkich” video darsidan foydalanish mumkin. Ushbu qo'llanma ham yetarlicha narsalarni o'z ichiga oladi to'liq ma'lumot Uchun o'z-o'zini o'rganish talaba. Material masofaviy ta'lim uchun ham foydali bo'lishi mumkin.

a sonining butun ko'rsatkichlaridan ratsional ko'rsatkichlarga o'tish o'zini ko'rsatadi. Quyida biz ratsional darajali darajani aniqlaymiz va buni butun darajali darajaning barcha xossalari saqlanib qoladigan tarzda qilamiz. Bu zarur, chunki butun sonlar ratsional sonlarning bir qismidir.

Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasrlardan va har biridan iborat kasr son ijobiy yoki salbiy ifodalanishi mumkin oddiy kasr. Oldingi paragrafda biz darajani butun ko'rsatkich bilan belgilagan edik, shuning uchun ratsional ko'rsatkich bilan daraja ta'rifini yakunlash uchun biz raqamning darajasiga ma'no berishimiz kerak. a kasr ko'rsatkichi bilan m/n, Qayerda m butun sondir va n- tabiiy. Keling buni bajaramiz.

Keling, shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqaylik. Quvvat-quvvat xususiyati amalda qolishi uchun tenglik amal qilishi kerak . Agar natijaviy tenglikni hisobga oladigan bo'lsak va darajaning n-chi ildizini qanday aniqlaganimizni hisobga olsak, u holda qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi, agar berilgan berilgan bo'lsa. m, n Va a ifodasi mantiqiy.

Butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari uchun haqiqiyligini tekshirish oson (bu ratsional ko'rsatkichli daraja xususiyatlari bo'limida bajarilgan).

Yuqoridagi mulohazalar bizga quyidagilarni amalga oshirishga imkon beradi xulosa: agar ma'lumotlar berilgan bo'lsa m, n Va a ifoda mantiqiy, keyin raqamning kuchi a kasr ko'rsatkichi bilan m/n ildiz deb ataladi n ning darajasi a darajaga qadar m.

Ushbu bayonot bizni kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifiga yaqinlashtiradi. Qolgan narsa nima ekanligini tasvirlashdir m, n Va a ifodasi mantiqiy. O'rnatilgan cheklovlarga qarab m, n Va a Ikkita asosiy yondashuv mavjud.

1. Eng oson yo'li - cheklash a, qabul qilgan a≥0 ijobiy uchun m Va a>0 salbiy uchun m(qachondan beri m≤0 daraja 0 m aniqlanmagan). Keyin biz kasr ko'rsatkichli darajaning quyidagi ta'rifini olamiz.

Ta'rif.

Ijobiy sonning kuchi a kasr ko'rsatkichi bilan m/n , Qayerda m- butun, va n – natural son, ildiz deb ataladi n- raqamning th a darajaga qadar m, ya'ni, .

Nolning kasr kuchi ham indikator ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona ogohlantirish bilan aniqlanadi.

Ta'rif.

Kasr musbat ko'rsatkichli nolning kuchi m/n , Qayerda m musbat butun son, va n– natural son sifatida aniqlanadi .
Daraja aniqlanmaganda, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli nol sonining darajasi mantiqiy bo'lmaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, kasr ko'rsatkichli darajaning ushbu ta'rifi bilan bitta ogohlantirish mavjud: ba'zi bir salbiylar uchun a va ba'zilari m Va n ifoda mantiqiy, lekin biz shartni kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik a≥0. Misol uchun, yozuvlar mantiqiy yoki , va yuqorida berilgan ta'rif bizni shaklning kasr ko'rsatkichi bo'lgan darajalar deyishga majbur qiladi mantiqiy emas, chunki baza salbiy bo'lmasligi kerak.

2. Kasr ko'rsatkichi bilan darajani aniqlashning yana bir usuli m/n ildizning juft va toq koʻrsatkichlarini alohida koʻrib chiqishdan iborat. Ushbu yondashuv qo'shimcha shartni talab qiladi: raqamning kuchi a, ko'rsatkichi kamaytiriladigan oddiy kasr bo'lgan sonning darajasi hisoblanadi a, ko'rsatkichi mos keladigan qaytarilmas kasr (bu shartning ahamiyati quyida tushuntiriladi). Ya'ni, agar m/n qaytarilmas kasr, u holda har qanday natural son uchun k daraja oldindan bilan almashtiriladi.

Bir tekis uchun n va ijobiy m ifoda har qanday salbiy bo'lmagan uchun ma'no beradi a(salbiy sonning juft ildizi hech qanday ma'noga ega emas), salbiy uchun m raqam a hali ham noldan farq qilishi kerak (aks holda nolga bo'linish bo'ladi). Va g'alati uchun n va ijobiy m raqam a har qanday bo'lishi mumkin (toq ildiz har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi) va salbiy uchun m raqam a noldan farqli bo'lishi kerak (nolga bo'linmaslik uchun).

Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichli darajaning ushbu ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

Mayli m/n- qaytarilmas kasr; m- butun, va n- natural son. Har qanday kamaytiriladigan kasr uchun daraja bilan almashtiriladi. Darajasi a qaytarilmas kasr ko'rsatkichi bilan m/n- bu uchun

o har qanday haqiqiy raqam a, butunlay ijobiy m va g'alati tabiiy n, Masalan, ;

o har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son a, manfiy butun son m va g'alati n, masalan, ;

o har qanday manfiy bo'lmagan son a, butunlay ijobiy m va hatto n, Masalan, ;

o har qanday ijobiy a, manfiy butun son m va hatto n, masalan, ;

o boshqa hollarda kasr ko'rsatkichli daraja aniqlanmaydi, masalan darajalar aniqlanmaydi .a biz yozuvga hech qanday ma'no qo'shmaymiz, biz musbat kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining kuchini aniqlaymiz; m/n Qanaqasiga , manfiy kasr ko'rsatkichlari uchun nol sonining kuchi aniqlanmagan.

Ushbu bandni yakunlab, kasr ko'rsatkichi shaklda yozilishi mumkinligiga e'tibor qaratamiz. kasr yoki aralash raqam, Masalan, . Ushbu turdagi ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun siz ko'rsatkichni oddiy kasr shaklida yozishingiz kerak, keyin esa kasr ko'rsatkichi bilan ko'rsatkich ta'rifidan foydalaning. Uchun yuqoridagi misollar bizda ... bor Va

Ratsional darajali quvvat

Xasyanova T.G.,

matematika o'qituvchisi

Taqdim etilgan material matematika o'qituvchilari uchun "Ratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich" mavzusini o'rganishda foydali bo'ladi.

Taqdim etilgan materialning maqsadi: "Ratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich" mavzusida dars o'tkazish tajribamni ochib berish. ish dasturi"Matematika" fanidan.

Darsni o'tkazish metodikasi uning turiga mos keladi - yangi bilimlarni o'rganish va dastlab mustahkamlash darsi. Yangilangan fon bilimlari va ilgari olingan tajribaga asoslangan ko'nikmalar; yangi ma'lumotlarni birlamchi yodlash, mustahkamlash va qo'llash. Yangi materialni mustahkamlash va qo'llash men sinab ko'rgan muammolarni hal qilish shaklida amalga oshirildi har xil murakkablikdagi, mavzuni o'zlashtirishda ijobiy natija beradi.

Dars boshida o`quvchilar oldiga quyidagi maqsadlarni qo`ydim: tarbiyaviy, rivojlantiruvchi, tarbiyaviy. Dars davomida men foydalanardim turli yo'llar bilan faoliyati: frontal, individual, juftlik, mustaqil, test. Vazifalar farqlanib, darsning har bir bosqichida bilimlarni o'zlashtirish darajasini aniqlash imkonini berdi. Vazifalarning hajmi va murakkabligi o'quvchilarning yosh xususiyatlariga mos keladi. Mening tajribamdan - Uy vazifasi, sinfda echilgan muammolarga o'xshash, olingan bilim va ko'nikmalarni ishonchli tarzda mustahkamlash imkonini beradi. Dars yakunida fikrlash o‘tkazildi va alohida o‘quvchilarning ishi baholandi.

Maqsadlarga erishildi. Talabalar ratsional darajali daraja tushunchasi va xossalarini o‘rgandilar va amaliy masalalarni yechishda bu xossalardan foydalanishni o‘rgandilar. Orqada mustaqil ish Baholar keyingi darsda e'lon qilinadi.

Men matematikani o‘qitishda qo‘llayotgan metodikadan matematika o‘qituvchilari foydalanishi mumkinligiga ishonaman.

Dars mavzusi: Ratsional darajali kuch

Darsning maqsadi:

Talabalarning bilim va ko'nikmalar majmuasini o'zlashtirish darajasini aniqlash va uning asosida ta'lim jarayonini takomillashtirish uchun muayyan echimlarni qo'llash.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy: talabalarda ratsional ko'rsatkichli darajalarni aniqlash uchun asosiy tushunchalar, qoidalar, qonunlar bo'yicha yangi bilimlarni shakllantirish, bilimlarni standart sharoitlarda, o'zgartirilgan va nostandart sharoitlarda mustaqil ravishda qo'llash qobiliyatini shakllantirish;

rivojlanmoqda: mantiqiy fikr yuriting va amalga oshiring Ijodiy qobiliyatlar;

oshirish: matematikaga qiziqishni rivojlantirish, so'z boyligini yangi atamalar bilan to'ldirish, daromad olish Qo'shimcha ma'lumot atrofimizdagi dunyo haqida. Sabr-toqat, matonat va qiyinchiliklarni yengish qobiliyatini tarbiyalang.

Tashkiliy vaqt

Ma'lumotnoma bilimlarini yangilash

Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, ammo asos bir xil bo'lib qoladi:

Masalan,

2. Bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lishda darajalarning ko'rsatkichlari ayiriladi, lekin asos bir xil bo'lib qoladi:

Masalan,

3. Darajani darajaga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi, lekin asos bir xil bo'lib qoladi:

Masalan,

4. Mahsulot darajasi omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:

Masalan,

5. Bo'limning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining ko'rsatkichiga teng:

Masalan,

Yechimlar bilan mashqlar

Ifodaning ma'nosini toping:

Yechim:

Bunday holda, darajaning tabiiy ko'rsatkichli xususiyatlaridan hech biri aniq qo'llanilmaydi, chunki barcha darajalar turli sabablar. Keling, ba'zi kuchlarni boshqa shaklda yozamiz:

(mahsulot darajasi omillar darajalari mahsulotiga teng);

(Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, lekin asos bir xil bo'lib qoladi; darajani darajaga ko'tarishda darajalar ko'paytiriladi, lekin asos bir xil bo'lib qoladi).

Keyin biz olamiz:

Ushbu misolda tabiiy ko'rsatkichli darajaning dastlabki to'rtta xususiyati ishlatilgan.

Arifmetik kvadrat ildiz
- u emas manfiy raqam, uning kvadrati ga tenga,
. Da
- ifoda
aniqlanmagan, chunki kvadrati manfiy songa teng bo'lgan haqiqiy son yo'qa.

Matematik diktant(8-10 min.)

Variant

II. Variant

1.Ifodaning qiymatini toping

A)

b)

1.Ifodaning qiymatini toping

A)

b)

2. Hisoblang

A)

b)

IN)

2. Hisoblang

A)

b)

V)

O'z-o'zini sinab ko'rish(yog'och taxtasida):

Javob matritsasi:

№ variant/vazifa

Muammo 1

Muammo 2

Variant 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Variant 2

a) 1.5

b)

A)

b)

4 da

II. Yangi bilimlarni shakllantirish

Keling, ibora qanday ma'noga ega ekanligini ko'rib chiqaylik, qaerda - ijobiy raqam– kasr son va m-butun, n-tabiiy (n›1)

Ta'rif: a›0 ning ratsional ko'rsatkichli kuchir = , m- butun, n-tabiiy ( n›1) raqam chaqiriladi.

Shunday qilib:

Masalan:

Eslatmalar:

1. Har qanday musbat a va har qanday ratsional r son uchun ijobiy.

2. Qachon
ratsional daraja raqamlaraaniqlanmagan.

kabi ifodalar
mantiqiy emas.

3.Agar kasr musbat sondir
.

Agar kasr salbiy raqam, keyin -ma'noga ega emas.

Masalan: - ma'noga ega emas.

Ratsional darajali darajaning xossalarini ko'rib chiqamiz.

a >0, b>0 bo‘lsin; r, s - har qanday ratsional sonlar. Keyin har qanday ratsional ko'rsatkichli darajaga ega quyidagi xususiyatlar:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Mustahkamlash. Yangi ko'nikma va qobiliyatlarni shakllantirish.

Vazifa kartalari test shaklida kichik guruhlarda ishlaydi.