Teskari trigonometrik funksiyalarga misollar. Barcha teskari trigonometrik funksiyalar orqali ifodalaylik

Teskari trigonometrik funktsiyalar bor keng qo'llanilishi V matematik tahlil. Biroq, ko'pchilik o'rta maktab o'quvchilari uchun ushbu turdagi funktsiyalar bilan bog'liq vazifalar sezilarli qiyinchiliklarga olib keladi. Bu, asosan, ko'plab darsliklarda va darsliklar Ushbu turdagi muammolarga juda kam e'tibor beriladi. Va agar talabalar hech bo'lmaganda qandaydir tarzda teskari trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash muammolarini hal qilsalar, unda bunday funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklar, aksariyat hollarda, bolalarni chalg'itadi. Aslida, bu ajablanarli emas, chunki deyarli hech qanday darslikda teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan eng oddiy tenglamalar va tengsizliklarni qanday echish tushuntirilmagan.

Teskari trigonometrik funksiyalar ishtirokidagi bir nechta tenglama va tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz va ularni batafsil tushuntirishlar bilan yechamiz.

1-misol.

Tenglamani yeching: 3arccos (2x + 3) = 5p/2.

Yechim.

Tenglamadan teskari trigonometrik funktsiyani ifodalab, biz quyidagilarni olamiz:

arccos (2x + 3) = 5p/6. Endi yoy kosinusining ta'rifidan foydalanamiz.

-1 dan 1 gacha bo'lgan segmentga tegishli bo'lgan ma'lum a sonining yoy kosinasi 0 dan p gacha bo'lgan segmentdan y burchak bo'lib, uning kosinasi x soniga teng bo'ladi. Shuning uchun biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin:

2x + 3 = cos 5p/6.

Olingan tenglamaning o'ng tomonini kamaytirish formulasi yordamida yozamiz:

2x + 3 = cos (p – p/6).

2x + 3 = -cos p/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Keling, o'ng tomonni umumiy maxrajga keltiramiz.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Javob: -(6 + √3) / 4 .

2-misol.

Tenglamani yeching: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Yechim.

Chunki cos (arcsos x) = x [-1 ga tegishli x bilan; 1] bo'lsa, bu tenglama tizimga ekvivalent bo'ladi:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Tizimga kiritilgan tenglamani yechamiz.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Bu kvadrat, shuning uchun biz buni olamiz

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Tizimga kiritilgan qo'sh tengsizlikni yeching.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Barcha qismlarga 9 ni qo‘shing, bizda:

8 ≤ 4x ≤ 10. Har bir raqamni 4 ga bo‘lamiz:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Endi biz olgan javoblarni birlashtiramiz. X = 7 ildizi tengsizlikning javobini qanoatlantirmasligini tushunish oson. Shuning uchun tenglamaning yagona yechimi x = 2 dir.

Javob: 2.

3-misol.

Tenglamani yeching: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Yechim.

Barcha haqiqiy sonlar uchun tg (arctg x) = x bo'lgani uchun bu tenglama tenglamaga ekvivalentdir:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Keling, natijani hal qilaylik kvadrat tenglama diskriminantdan foydalanib, avval uni standart shaklga keltirgan.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Javob: 1; 2.

4-misol.

Tenglamani yeching: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Yechim.

arcctg f(x) = arcctg g(x) bo'lgani uchun, agar f(x) = g(x) bo'lsa, u holda

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Olingan kvadrat tenglamani yechamiz:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Viet teoremasi orqali biz buni olamiz

x = 1 yoki x = 2.

Javob: 1; 2.

5-misol.

Tenglamani yeching: arksin (2x – 15) = arksin (x 2 – 6x – 8).

Yechim.

arcsin f(x) = arcsin g(x) koʻrinishdagi tenglama sistemaga ekvivalent boʻlgani uchun

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

u holda asl tenglama tizimga ekvivalent bo'ladi:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Olingan tizimni hal qilaylik:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Birinchi tenglamadan, Vieta teoremasidan foydalanib, bizda x = 1 yoki x = 7 bor. Sistemaning ikkinchi tengsizligini yechish, biz 7 ≤ x ≤ 8 ekanligini topamiz. Shuning uchun, oxirgi uchun faqat x = 7 ildiz mos keladi. javob.

Javob: 7.

6-misol.

Tenglamani yeching: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Yechim.

arccos x = t bo'lsin, u holda t segmentga tegishli bo'ladi va tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:

t 2 – 6t + 8 = 0. Olingan kvadrat tenglamani Viet teoremasi yordamida yeching, t = 2 yoki t = 4 ekanligini topamiz.

t = 4 segmentga tegishli emasligi sababli, biz t = 2 ni olamiz, ya'ni. arccos x = 2, bu x = cos 2 degan ma'noni anglatadi.

Javob: cos 2.

7-misol.

Tenglamani yeching: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5p 2 /36.

Yechim.

arcsin x + arccos x = p/2 tengligidan foydalanamiz va tenglamani shaklda yozamiz.

(arksin x) 2 + (p/2 – arksin x) 2 = 5p 2 /36.

arcsin x = t bo'lsin, u holda t segmentga tegishli [-p/2; p/2] va tenglama quyidagi shaklni oladi:

t 2 + (p/2 – t) 2 = 5p 2 /36.

Olingan tenglamani yechamiz:

t 2 + p 2 /4 – pt + t 2 = 5p 2 /36;

2t 2 – pt + 9p 2 /36 – 5p 2 /36 = 0;

2t 2 – pt + 4p 2 /36 = 0;

2t 2 – pt + p 2 /9 = 0. Tenglamadagi kasrlardan xalos bo‘lish uchun har bir hadni 9 ga ko‘paytirsak:

18t 2 – 9pt + p 2 = 0.

Diskriminantni topamiz va hosil bo'lgan tenglamani yechamiz:

D = (-9p) 2 – 4 · 18 · p 2 = 9p 2 .

t = (9p – 3p) / 2 18 yoki t = (9p + 3p) / 2 18;

t = 6p/36 yoki t = 12p/36.

Qisqartirilgandan so'ng bizda:

t = p/6 yoki t = p/3. Keyin

arcsin x = p/6 yoki arcsin x = p/3.

Shunday qilib, x = sin p/6 yoki x = sin p/3. Ya'ni, x = 1/2 yoki x =√3/2.

Javob: 1/2; √3/2.

8-misol.

5nx 0 ifodaning qiymatini toping, bu erda n - ildizlar soni, x 0 esa 2 tenglamaning manfiy ildizi arcsin x = - p – (x + 1) 2.

Yechim.

-p/2 ≤ arcsin x ≤ p/2 bo'lgani uchun -p ≤ 2 yoy x ≤ p bo'ladi. Bundan tashqari, barcha haqiqiy x uchun (x + 1) 2 ≥ 0,
keyin -(x + 1) 2 ≤ 0 va -p – (x + 1) 2 ≤ -p.

Shunday qilib, tenglamaning yechimi bo'lishi mumkin, agar uning ikkala tomoni bir vaqtning o'zida -p ga teng bo'lsa, ya'ni. tenglama tizimga ekvivalent:

(2 yoy x = -p,
(-p – (x + 1) 2 = -p.

Olingan tenglamalar tizimini yechamiz:

(arksin x = -p/2,
((x + 1) 2 = 0.

Ikkinchi tenglamadan biz x = -1, mos ravishda n = 1, keyin 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5 ga egamiz.

Javob: -5.

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, teskari trigonometrik funktsiyalar bilan tenglamalarni echish qobiliyati zaruriy shart muvaffaqiyatli yakunlash imtihonlar. Shuning uchun bunday muammolarni hal qilish bo'yicha mashg'ulotlar Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda zarur va majburiydir.

Hali ham savollaringiz bormi? Tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Teskari trigonometrik funksiyalar - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar.

y=arcsin(x) funksiyasi

a sonining yoyi sinusi a ga teng bo'lgan [-p/2;p/2] oraliqdagi a sonidir.
Funksiya grafigi
[-p/2;p/2] oraliqda u= sin⁡(x) funksiya qatiy ortib boruvchi va uzluksiz; shuning uchun u bor teskari funktsiya, qat'iy ravishda ortib boruvchi va uzluksiz.
y= sin⁡(x) funksiyasi uchun teskari funksiya, bu yerda x ∈[-p/2;p/2], arksinus deyiladi va y=arksin(x) bilan belgilanadi, bunda x∈[-1;1. ].
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, arksinusni aniqlash sohasi [-1;1] segmenti va qiymatlar to'plami [-p/2;p/2] segmentidir.
E’tibor bering, y=arcsin(x), bu yerda x ∈[-1;1] funksiya grafigi y= sin(⁡x) funksiya grafigiga simmetrik, bunda x∈[-p/2;p /2], bissektrisaga nisbatan koordinata burchaklari birinchi va uchinchi chorak.

Funktsiya diapazoni y=arcsin(x).

Misol № 1.

arcsin(1/2) topilsinmi?

arcsin(x) funksiya qiymatlari diapazoni [-p/2;p/2] oraliqda boʻlganligi sababli, faqat p/6 qiymati mos keladi, shuning uchun arcsin(1/2) =p/. 6.
Javob: p/6

Misol № 2.
arcsin(-(√3)/2) toping?

arcsin(x) x ∈[-p/2;p/2] qiymatlari diapazoni bo'lgani uchun faqat -p/3 qiymati mos keladi, shuning uchun arcsin(-(√3)/2) =- p /3.

y=arccos(x) funksiyasi

a sonining yoy kosinasi kosinasi a ga teng bo'lgan oraliqdan a sonidir.

Funksiya grafigi

Segmentdagi y= cos(⁡x) funksiya qatiy kamayib boruvchi va uzluksiz; shuning uchun u teskari funktsiyaga ega, qat'iy kamayib boruvchi va uzluksiz.
y= cos⁡x funksiyasi uchun teskari funktsiya chaqiriladi, bu erda x ∈ yoy kosinus va y=arccos(x) bilan belgilanadi, bu yerda x ∈[-1;1].
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, yoy kosinusining ta'rif sohasi [-1;1] segment, qiymatlar to'plami esa segmentdir.
E’tibor bering, y=arccos(x) funksiyaning grafigi, bunda x ∈[-1;1] y= cos(⁡x) funksiya grafigiga simmetrik, bu yerda x ∈ bissektrisaga nisbatan. birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklari.

Funktsiya diapazoni y=arccos(x).

Misol № 3.

Arccos (1/2) topilsinmi?

Qiymatlar diapazoni arccos(x) x∈ bo'lgani uchun faqat p/3 qiymati mos keladi, shuning uchun arccos(1/2) =p/3.
Misol № 4.
Arccos(-(√2)/2) ni toping?

Arccos(x) funksiya qiymatlari diapazoni intervalga tegishli bo'lganligi sababli, faqat 3p/4 qiymati mos keladi, shuning uchun arccos(-(√2)/2) = 3p/4.

Javob: 3p/4

Funktsiya y=arctg(x)

a sonining arktangensi [-p/2;p/2] oraliqdagi a soni bo'lib, uning tangensi a ga teng.

Funksiya grafigi

Tangens funksiya uzluksiz va (-p/2;p/2) oraliqda qat’iy ortib boradi; shuning uchun u uzluksiz va qat'iy ortib boruvchi teskari funktsiyaga ega.
y= tan⁡(x) funksiyasi uchun teskari funksiya, bunda x∈(-p/2;p/2); arktangent deb ataladi va y=arctg(x) bilan belgilanadi, bunda x∈R.
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, arktangentni aniqlash sohasi interval (-∞;+∞), qiymatlar to'plami esa intervaldir.
(-p/2;p/2).
E’tibor bering, y=arctg(x), bu yerda x∈R funksiyaning grafigi y= tan⁡x funksiya grafigiga simmetrik, bu yerda x ∈ (-p/2;p/2) ga nisbatan. birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklarining bissektrisasi.

Funktsiya diapazoni y=arctg(x).

5-misol?

arktan((√3)/3) toping.

arctg(x) x ∈(-p/2;p/2) qiymatlari diapazoni bo'lgani uchun faqat p/6 qiymati mos keladi, shuning uchun arctg((√3)/3) =p/6.
Misol № 6.
arctg(-1) ni toping?

arctg(x) x ∈(-p/2;p/2) qiymatlari diapazoni bo'lgani uchun faqat -p/4 qiymati mos keladi, shuning uchun arctg(-1) = - p/4.

Funktsiya y=arcctg(x)

a sonining yoy kotangensi kotangensi a ga teng bo'lgan (0;p) oraliqdan olingan a sondir.

Funksiya grafigi

(0;p) oraliqda kotangent funksiya qatiy kamayadi; bundan tashqari, bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz; shuning uchun (0;p) oraliqda bu funktsiya teskari funktsiyaga ega bo'lib, u qat'iy kamayadi va uzluksizdir.
y=ctg(x), bu yerda x ∈(0;p) funksiya uchun teskari funksiya arkkotangent deb ataladi va y=arcctg(x) deb belgilanadi, bu yerda x∈R.
Demak, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, yoy kotangentining aniqlanish sohasi bo'ladi R, va to'plam bilan qiymatlar – interval (0;p). y=arcctg(x) funksiya grafigi, bunda x∈R y=ctg(x) x∈(0;p) funksiya grafigiga simmetrik, nisbiy birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklarining bissektrisasiga.

Funktsiya diapazoni y=arcctg(x).

Misol № 7.
arcctg((√3)/3) ni toping?

Arcctg(x) x ∈(0;p) qiymatlari diapazoni bo'lgani uchun faqat p/3 qiymati mos keladi, shuning uchun arccos((√3)/3) =p/3.

Misol № 8.
arcctg(-(√3)/3) ni toping?

Qiymatlar diapazoni arcctg(x) x∈(0;p) bo'lgani uchun faqat 2p/3 qiymati mos keladi, shuning uchun arccos(-(√3)/3) = 2p/3.

Tahrirlovchilar: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

32-33-darslar. Teskari trigonometrik funksiyalar

09.07.2015 5917 0

Maqsad: teskari trigonometrik funksiyalarni va ulardan trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozishda foydalanishni ko‘rib chiqing.

I. Darslar mavzusi va maqsadini bayon qilish

II. Yangi materialni o'rganish

1. Teskari trigonometrik funksiyalar

Keling, ushbu mavzuni muhokama qilishni quyidagi misol bilan boshlaylik.

1-misol

Keling, tenglamani yechamiz: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinata o'qiga 1/2 qiymatini chizamiz va burchaklarni tuzamiz x 1 va x2, buning uchun gunoh x = 1/2. Bu holda x1 + x2 = p, bundan x2 = p - x 1 . Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalidan foydalanib, biz x1 = p/6 qiymatini topamiz, keyinSinus funksiyaning davriyligini hisobga olamiz va bu tenglamaning yechimlarini yozamiz:Bu erda k ∈ Z.

b) Shubhasiz, tenglamani yechish algoritmi gunoh x = a oldingi xatboshidagi bilan bir xil. Albatta, endi a qiymati ordinata o'qi bo'ylab chiziladi. X1 burchagini qandaydir tarzda belgilash kerak. Biz bu burchakni belgi bilan belgilashga kelishib oldik arcsin A. Keyin bu tenglamaning yechimlarini ko'rinishda yozish mumkinUshbu ikkita formulani bitta formulaga birlashtirish mumkin: xuddi o'sha payt

Qolgan teskari trigonometrik funksiyalar ham xuddi shunday tarzda kiritiladi.

Ko'pincha burchakning kattaligini aniqlash kerak ma'lum qiymat uning trigonometrik funktsiyasi. Bunday muammo ko'p qiymatli - trigonometrik funktsiyalari bir xil qiymatga teng bo'lgan son-sanoqsiz burchaklar mavjud. Shuning uchun trigonometrik funksiyalarning monotonligidan kelib chiqib, burchaklarni yagona aniqlash uchun quyidagi teskari trigonometrik funksiyalar kiritiladi.

a sonining yoyi (arksin , uning sinusi a ga teng, ya'ni.

Sonning yoy kosinusi a(arccos a) kosinusu a ga teng bo'lgan oraliqdan a burchak, ya'ni.

Sonning arktangensi a (arctg a) - intervaldan shunday a burchaktangensi a ga teng bo'lgan, ya'ni.tg a = a.

Sonning arkotangensi a (arcctg a) (0; p) oraliqdan a burchak, kotangensi a ga teng, ya’ni. ctg a = a.

2-misol

Keling, topamiz:

Teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

3-misol

Keling, hisoblaylik

Burchak a = yoy bo'lsin 3/5, keyin ta'rifi bo'yicha sin a = 3/5 va . Shuning uchun, biz topishimiz kerak cos A. Asosiy foydalanish trigonometrik identifikatsiya, biz olamiz:Cos a ≥ 0 ekanligi hisobga olinadi. Demak,

Funktsiya xususiyatlari	Funktsiya
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arktan x	y = arcctg x
Ta'rif sohasi	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Qiymatlar diapazoni	y ∈ [ -p/2 ; p /2 ]	y ∈	y ∈ (-p/2 ; p /2 )	y ∈ (0;p)
Paritet	G'alati	Na juft, na toq	G'alati	Na juft, na toq
Funktsiya nollari (y = 0)	x = 0 da	x = 1 da	x = 0 da	y ≠ 0
Belgilarning doimiyligi intervallari	x ∈ (0; 1] uchun y > 0, da< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 uchun y > 0; 1)	x ∈ uchun y > 0 (0; +∞), da< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ uchun y > 0 (-∞; +∞)
Monoton	Ortib bormoqda	Pastga	Ortib bormoqda	Pastga
Trigonometrik funktsiyaga munosabati	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Jadval

Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’riflari va asosiy xossalari bilan bog‘liq yana bir qancha tipik misollar keltiramiz.

4-misol

Funksiyani aniqlash sohasini topamiz

y funksiya aniqlanishi uchun tengsizlikni qondirish kerakbu tengsizliklar tizimiga tengBirinchi tengsizlikning yechimi x oraliqdir∈ (-∞; +∞), ikkinchi - Bu interval va tengsizliklar sistemasining yechimi, shuning uchun funksiyani aniqlash sohasi

5-misol

Funktsiyaning o'zgarish sohasini topamiz

Funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik z = 2x - x2 (rasmga qarang).

z ∈ ekanligi aniq (-∞; 1]. Argument ekanligini hisobga olib z yoy kotangenti funksiyasi belgilangan chegaralarda o'zgaradi, biz buni jadval ma'lumotlaridan olamizShunday qilib, o'zgarish maydoni

6-misol

y = funksiya ekanligini isbotlaylik arctg x g'alati. MayliKeyin tg a = -x yoki x = - tg a = tg (- a), va Shuning uchun - a = arctg x yoki a = - arctg X. Shunday qilib, biz buni ko'ramizya’ni y(x) toq funksiyadir.

7-misol

Barcha teskari trigonometrik funksiyalar orqali ifodalaylik

Mayli Bu aniq O'shandan beri

Keling, burchak bilan tanishtiramiz Chunki Bu

Shuning uchun ham xuddi shunday Va

Shunday qilib,

8-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz cos (arcsin x).

U holda a = arcsin x ni belgilaymiz X = sin a va y = cos a, ya'ni x 2 ekanligini hisobga olamiz + y2 = 1 va x uchun cheklovlar (x∈ [-1; 1]) va y (y ≥ 0). Keyin y = funksiyaning grafigi cos(arcsin x) yarim doiradir.

9-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz arccos (cos x).

cos funktsiyasidan beri x [-1 oraliqda o'zgaradi; 1], u holda y funktsiyasi butun sonli o'qda aniqlanadi va segmentda o'zgaradi. y = ekanligini yodda tutaylik arccos (cosx) segmentdagi = x; y funksiya juft va davriy 2p davr bilan. Funktsiyaning ushbu xususiyatlarga ega ekanligini hisobga olsak chunki x Endi grafik yaratish oson.

Keling, ba'zi foydali tengliklarni ta'kidlaylik:

10-misol

Eng kichigini topamiz va eng yuqori qiymat funktsiyalari belgilaylik Keyin Funktsiyani olamiz Bu funksiya nuqtada minimal qiymatga ega z = p/4 va u ga teng Funktsiyaning eng katta qiymati nuqtada erishiladi z = -p/2 va u teng Shunday qilib, va

11-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Buni hisobga olsak Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi:yoki qayerda Arktangentning ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

2. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish

1-misolga o'xshab, siz eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimlarini olishingiz mumkin.

Tenglama	Yechim
tgx = a
ctg x = a

12-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Sinus funktsiyasi toq bo'lgani uchun tenglamani ko'rinishda yozamizUshbu tenglamaning yechimlari:uni qayerdan topamiz?

13-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Berilgan formuladan foydalanib, biz tenglamaning yechimlarini yozamiz:va topamiz

Tenglamalarni yechishda maxsus holatlarda (a = 0; ±1) e'tibor bering sin x = a va cos x = lekin undan foydalanish osonroq va qulayroq umumiy formulalar, va birlik doirasiga asoslangan yechimlarni yozing:

sin x = 1 yechim tenglamasi uchun

sin x = 0 tenglama uchun yechimlar x = p k;

sin x = -1 tenglama uchun yechim

cos tenglamasi uchun x = 1 yechim x = 2p k ;

cos x = 0 tenglama uchun yechim

cos x = -1 tenglama uchun yechim

14-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Chunki bu misolda mavjud maxsus holat tenglamalar, keyin tegishli formuladan foydalanib, biz yechimni yozamiz:uni qayerdan topsak bo'ladi?

III. Xavfsizlik savollari(frontal so'rov)

1. Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy xossalarini belgilang va sanab bering.

2. Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklarini keltiring.

3. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

IV. Darsga topshiriq

§ 15, № 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, № 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Uyga vazifa

§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, № 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Ijodiy vazifalar

1. Funktsiya sohasini toping:

Javoblar:

2. Funktsiya diapazonini toping:

Javoblar:

3. Funksiya grafigini tuzing:

VII. Darslarni sarhisob qilish

Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’riflari va ularning grafiklari berilgan. Shuningdek, teskari trigonometrik funktsiyalarni bog'lovchi formulalar, yig'indi va farqlar uchun formulalar.

Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’rifi

Trigonometrik funktsiyalar davriy bo'lgani uchun ularning teskari funktsiyalari yagona emas. Demak, tenglama y = gunoh x, berilgan uchun , cheksiz ko'p ildizlarga ega. Haqiqatan ham, sinusning davriyligi tufayli, agar x shunday ildiz bo'lsa, unda shunday bo'ladi x + 2pn(bu erda n - butun son) tenglamaning ildizi ham bo'ladi. Shunday qilib, teskari trigonometrik funktsiyalar ko'p qiymatli. Ular bilan ishlashni osonlashtirish uchun ularning asosiy ma'nolari tushunchasi kiritiladi. Masalan, sinusni ko'rib chiqaylik: y = gunoh x. gunoh x Agar x argumentini intervalgacha cheklasak, unda y = funksiyasi monoton ravishda ortadi. Shuning uchun u arksinus deb ataladigan yagona teskari funktsiyaga ega: x =.

arcsin y

Agar boshqacha ko‘rsatilmagan bo‘lsa, teskari trigonometrik funksiyalar deganda ularning quyidagi ta’riflar bilan aniqlanadigan asosiy qiymatlari tushuniladi. Arksin ( y=) arcsin x sinusning teskari funksiyasi ( x =

gunohkor Arksin ( Ark kosinus () arccos x sinusning teskari funksiyasi ( kosinusning teskari funksiyasi ( cos y

), ta'rif sohasiga va qiymatlar to'plamiga ega. Arksin ( Arktangent () arktan x sinusning teskari funksiyasi ( tangensning teskari funksiyasi ( cos y

tg y Arksin ( arkotangent () arcctg x sinusning teskari funksiyasi ( kotangentning teskari funksiyasi ( cos y

ctg y

Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklari Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklari trigonometrik funksiyalarning grafiklaridan olinadi oyna tasviri

Arksin ( y=

Arksin ( Ark kosinus (

Arksin ( Arktangent (

Arksin ( arkotangent (

y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens bo'limlariga qarang.

Asosiy formulalar Bu erda siz formulalar amal qiladigan oraliqlarga alohida e'tibor berishingiz kerak.
arcsin(sin x) = x
da Bu erda siz formulalar amal qiladigan oraliqlarga alohida e'tibor berishingiz kerak.
sin(arksin x) = x

arccos (cos x) = x Bu erda siz formulalar amal qiladigan oraliqlarga alohida e'tibor berishingiz kerak.
cos(arccos x) = x
arktan(tg x) = x Bu erda siz formulalar amal qiladigan oraliqlarga alohida e'tibor berishingiz kerak.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Teskari trigonometrik funksiyalarga oid formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

da yoki

Teskari trigonometrik funksiyalarga oid formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

da yoki

da va

da va

da va

da va