Umumiy maxrajli kasrlarni qo'shish qoidasi. Kasrlarni qo'shish va ayirish

Oddiy kasr sonlar birinchi navbatda maktab o'quvchilari bilan 5-sinfda uchrashadi va ularga butun umri davomida hamroh bo'ladi, chunki kundalik hayotda ko'pincha ob'ektni bir butun sifatida emas, balki alohida qismlarda ko'rib chiqish yoki ishlatish kerak. Ushbu mavzuni o'rganishni boshlang - aktsiyalar. Aktsiyalar teng qismlardan iborat, u yoki bu ob'ekt bo'linadi. Axir, har doim ham, masalan, mahsulotning uzunligi yoki narxini butun son sifatida ifodalash mumkin emas, ba'zi o'lchovlarning qismlari yoki aktsiyalari hisobga olinishi kerak; "Bo'lish" - qismlarga bo'lish fe'lidan hosil bo'lgan va arab ildizlariga ega bo'lgan "kasr" so'zining o'zi 8-asrda rus tilida paydo bo'lgan.

Kasrli iboralar azaldan matematikaning eng qiyin bo'limi hisoblanib kelgan. 17-asrda, matematika bo'yicha birinchi darsliklar paydo bo'lganida, ular "buzilgan raqamlar" deb nomlangan, bu odamlar uchun tushunish juda qiyin edi.

Zamonaviy ko'rinish qismlari gorizontal chiziq bilan ajratilgan oddiy kasr qoldiqlari birinchi marta Fibonachchi - Pizalik Leonardo tomonidan ilgari surilgan. Uning asarlari 1202 yilga tegishli. Ammo ushbu maqolaning maqsadi o'quvchiga ko'payish qanday sodir bo'lishini oddiy va aniq tushuntirishdir aralash fraktsiyalar Bilan turli xil maxrajlar.

Har xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish

Dastlab, buni aniqlashga arziydi kasrlar turlari:

• to'g'ri;
• noto'g'ri;
• aralashgan.

Keyinchalik ko'payish qanday sodir bo'lishini eslab qolishingiz kerak kasr sonlar bir xil maxrajlar bilan. Ushbu jarayonning qoidasi mustaqil ravishda shakllantirish oson: ko'paytirish natijasi oddiy kasrlar bir xil maxrajlar bilan kasr ifodasi bo'lib, uning soni sanoqlarning ko'paytmasi, maxraji esa shu kasrlarning maxrajlarining ko'paytmasi bo'ladi. Ya'ni, mohiyatiga ko'ra, yangi maxraj dastlab mavjud bo'lganlardan birining kvadrati mavjud.

Ko'paytirishda har xil maxrajli oddiy kasrlar ikki yoki undan ortiq omillar uchun qoida o'zgarmaydi:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Yagona farq shundaki, kasr chizig'i ostidagi natija turli raqamlarning ko'paytmasi va tabiiy ravishda bittaning kvadrati bo'ladi. raqamli ifoda uni nomlash mumkin emas.

Misollar yordamida turli xil maxrajli kasrlarni ko'paytirishni ko'rib chiqishga arziydi:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Misollar kasrli ifodalarni qisqartirish usullaridan foydalanadi. Siz faqat kasr chizig'ining ustidagi yoki ostidagi qo'shni omillarga ega bo'lgan pay raqamlarini qisqartirishingiz mumkin;

Oddiy kasrlar bilan bir qatorda aralash kasrlar tushunchasi mavjud. Aralash son butun son va kasr qismdan iborat, ya'ni bu sonlarning yig'indisidir:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ko'paytirish qanday ishlaydi?

Ko'rib chiqish uchun bir nechta misollar keltirilgan.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Misolda sonni ko'paytirish qo'llaniladi oddiy kasr qismi, bu harakat qoidasi quyidagicha yozilishi mumkin:

a* b/c = a*b /c.

Aslida, bunday mahsulot bir xil kasr qoldiqlarining yig'indisidir va atamalar soni buni ko'rsatadi. natural son. Maxsus holat:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Raqamni kasr qoldig'iga ko'paytirishning yana bir yechimi bor. Siz shunchaki maxrajni ushbu raqamga bo'lishingiz kerak:

d* e/f = e/f: d.

Ushbu texnikani maxrajni qoldiqsiz natural songa yoki ular aytganidek, butun songa bo'lishda qo'llash foydalidir.

Tarjima aralash raqamlar noto'g'ri fraktsiyalarga ajrating va mahsulotni yuqorida tavsiflangan usulda oling:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu misol aralash kasrni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash usulini o'z ichiga oladi, uni quyidagicha ifodalash ham mumkin. umumiy formula:

a bc = a*b+ c / c, bu erda yangi kasrning maxraji butun qismni maxrajga ko'paytirish va uni asl kasr qoldig'ining hisoblagichi bilan qo'shish orqali hosil bo'ladi va maxraj bir xil bo'lib qoladi.

Bu jarayon ham ishlaydi teskari tomon. Butun qismni va kasr qoldig'ini ajratish uchun "burchak" yordamida noto'g'ri kasrning hisobini uning maxrajiga bo'lish kerak.

Noto'g'ri kasrlarni ko'paytirish umumiy qabul qilingan usulda ishlab chiqariladi. Bitta kasr chizig'i ostida yozishda ushbu usul yordamida sonlarni kamaytirish va natijani hisoblashni osonlashtirish uchun kerak bo'lganda kasrlarni kamaytirish kerak.

Internetda hatto murakkab matematik muammolarni hal qilish uchun ko'plab yordamchilar mavjud turli xil o'zgarishlar dasturlari. Bunday xizmatlarning etarli soni kasrlarni ko'paytirishni hisoblashda yordam beradi turli raqamlar denominatorlarda - kasrlarni hisoblash uchun onlayn kalkulyatorlar. Ular nafaqat ko'paytirishga, balki oddiy kasrlar va aralash sonlar bilan boshqa barcha oddiy arifmetik amallarni bajarishga qodir. U bilan ishlash oson; veb-sayt sahifasida tegishli maydonlarni to'ldiring, matematik operatsiya belgisini tanlang va "hisoblash" tugmasini bosing. Dastur avtomatik ravishda hisoblaydi.

Kasrlar bilan arifmetik amallar mavzusi o'rta va yuqori sinf o'quvchilarining ta'lim jarayonida dolzarbdir. O'rta maktabda ular endi eng oddiy turlarni hisobga olmaydilar, lekin butun kasrli ifodalar, lekin ilgari olingan o'zgartirish qoidalari va hisob-kitoblar haqidagi bilimlar asl shaklida qo'llaniladi. Yaxshi o'rganilgan asosiy bilim to'liq ishonch bildirish muvaffaqiyatli qaror eng murakkab vazifalar.

Xulosa qilib aytganda, Lev Nikolaevich Tolstoyning quyidagi so'zlarini keltirish mantiqan to'g'ri keladi: "Inson - kasr. O'z hisobini - savoblarini - oshirish insonning qo'lida emas, balki har kim o'z maxrajini - o'zi haqidagi fikrini kamaytirishi mumkin va bu kamayishi bilan uning kamolotiga yaqinlashadi.

§ 87. Kasrlarni qo‘shish.

Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlar (termalar) atamalar birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indi) birlashtirilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Biz uchta holatni ketma-ket ko'rib chiqamiz:

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish.

Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5.

Keling, AB segmentini olaylik (17-rasm), uni bitta qilib olib, 5 teng qismga bo'lamiz, keyin bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga teng bo'ladi va bir xil CD segmentining bir qismi teng bo'ladi. 2/5 AB.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu shartlarni va hosil bo’lgan yig’indini ko’rib chiqsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.

Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.

Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish kerak:

6/8 + 3/8 oraliq havolani yozib bo'lmadi; Biz buni aniqlik uchun bu erda yozdik.

Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajni belgilash kerak.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):

3. Aralash sonlarni qo`shish.

Raqamlarni qo'shamiz: 2 3/8 + 3 5/6.

Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:

Endi biz butun son va kasr qismlarni ketma-ket qo'shamiz:

§ 88. Kasrlarni ayirish.

Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu ikki a'zo va ulardan biri yig'indisini hisobga olgan holda, boshqa bir muddat topilgan yordami bilan harakatdir. Keling, uchta holatni ketma-ket ko'rib chiqaylik:

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.

1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

13 / 15 - 4 / 15

AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; keyin bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.

13/15 dan 4/15 kasrni ayirishimiz kerak. Chizmada bu ED segmentini AD segmentidan olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish orqali olingan, lekin maxraj o'zgarmagan.

Demak, maxrajlari o‘xshash bo‘lgan kasrlarni ayirish uchun ayirma sonini ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.

Misol. 3/4 - 5/8

Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

6/8 - 5/8 oraliq havola aniqlik uchun bu erda yozilgan, ammo bundan buyon o'tkazib yuborilishi mumkin.

Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, so‘ngra ayirma sonidan kichik sonni ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga belgi qo‘yish kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3. Aralash sonlarni ayirish.

Misol. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuendning kasr qismlarini kamaytiramiz va eng kichik umumiy maxrajga olib chiqamiz:

Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayirishning kasr qismi minuendning kasr qismidan kattaroq bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda minuendning butun qismidan bitta birlik olib, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lish va minuendning kasr qismiga qo'shish kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:

§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirishni o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasrini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko`paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.

Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytmani) butun songa (koeffitsientga) ko'paytirish deganda bir xil hadlar yig'indisini hosil qilish tushuniladi, bunda har bir a'zo ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'ladi.

Bu shuni anglatadiki, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, unda buni quyidagicha qilish mumkin:

Natijani osonlik bilan oldik, chunki harakat bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Demak,

Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun sonda qancha birliklar bo'lsa, shuncha marta ko'paytirishga tengdir. Va kasrni ko'paytirishga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi

yoki uning maxrajini kamaytirish orqali , u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Kasrni butun songa ko'paytirish uchun siz payni butun songa ko'paytirasiz va maxrajni bir xil qoldirasiz yoki iloji bo'lsa, maxrajni shu songa bo'lib, hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirasiz.

Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:

2. Berilgan sonning kasrini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Ushbu muammolarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu erda ham ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usulini kiritamiz.

Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Men bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?

Vazifa 2. Poezd A va B shaharlari orasidagi 300 km ga teng masofani bosib o'tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?

Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Jami qancha g'ishtli uylar?

Mana ulardan ba'zilari ko'plab vazifalar berilgan sonning biz duch keladigan qismlarini topish. Ular odatda berilgan sonning ulushini topish masalalari deb ataladi.

Muammoning yechimi 1. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Bu shuni anglatadiki, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:

Muammoni hal qilish 2. Muammoning mohiyati shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. Avval 300 ning 1/3 qismini hisoblaymiz; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:

300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).

300 ning uchdan ikki qismini topish uchun siz olingan koeffitsientni ikki barobarga oshirishingiz kerak, ya'ni 2 ga ko'paytiring:

100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).

Muammoni hal qilish 3. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'ishtli uylar sonini aniqlashingiz kerak. Keling, avval 400 ning 1/4 qismini topamiz,

400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).

400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:

100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).

Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani olishimiz mumkin:

Berilgan sondan kasrning qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va hosil bo'lgan qismni uning soniga ko'paytirish kerak.

3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.

Avvalroq (§ 26) butun sonlarni ko'paytirish deganda bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) tushunilishi kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatishi aniqlandi.

Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.

Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirishga duch kelamiz: 9 2 / 3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.

Shu sababli, biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishimiz kerak bo'ladi, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berish kerak.

Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko'paytmani) kasrga (ko'paytma) ko'paytirish ko'paytmaning ushbu qismini topishni anglatadi.

Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanishini tushunish oson.

Lekin hozir qiziqarli va bor muhim savol: Nega teng sonlar yig‘indisini topish va sonning ulushini topish kabi bir-biridan farq qiladigan amallar arifmetikada bir xil “ko‘paytirish” so‘zi bilan ataladi?

Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.

Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?

Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.

Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 metri qancha turadi?”

Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.

Siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan yana bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.

Bu masalalar bir xil mazmunga ega va faqat son jihatidan farq qilganligi uchun ularni yechishda qo`llaniladigan amallarni bir xil so`z - ko`paytirish deb ataymiz.

Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Keling, oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:

Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.

50 ning 1/4 qismi 50/4;

50 sonining 3/4 qismi .

Shuning uchun.

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 =?

12 sonining 1/8 qismi 12/8,

12 sonining 5/8 qismi .

Demak,

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani hisoblagich qilish va bu kasrning maxrajini maxraj sifatida imzolash kerak.

Keling, bu qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.

Shuni yodda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin (agar iloji bo'lsa) qilish kerak. qisqartirishlar, Masalan:

4. Kasrni kasrga ko`paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytma) omildagi kasrni topish kerak.

Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.

Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Misol keltiraylik: 3/4 ni 5/7 ga ko'paytiramiz. Bu siz 3/4 ning 5/7 qismini topishingiz kerakligini anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 ni topamiz

3/4 sonining 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:

5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:

Shunday qilib,

Yana bir misol: 5/8 4/9 ga ko'paytiriladi.

5/8 ning 1/9 qismi,

5/8 sonining 4/9 qismi .

Shunday qilib,

Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:

Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchiga, ikkinchi ko‘paytmani esa ko‘paytmaga aylantirish kerak.

Bu qoidada umumiy ko'rinish shunday yozilishi mumkin:

Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytma yoki koeffitsient yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiramiz: 2 1/2 va 3 1/5. Keling, ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin olingan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytiramiz:

Qoida. Aralash raqamlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin ularni kasrlarni kasrlarga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.

Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:

6. Qiziqish tushunchasi. Masalalarni yechishda va turli amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun nafaqat har qanday, balki tabiiy bo'linishlarga ham imkon beradi. Misol uchun, siz rublning yuzdan birini (1/100) olishingiz mumkin, u kopek bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 kopek, yoki o'n kopek bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 kopekni, yarim rublni, ya'ni 50 kopekni (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin. ular amalda buni olmaydilar, masalan, rublning 2/7 qismini, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.

Og'irlik birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linishlarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1/13 kabi kasrlari keng tarqalgan emas.

Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlikdir va o'nli bo'linishlarga ruxsat beradi.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash juda ko'p turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzinchi" bo'linishdir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalariga tegishli bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12/100 ga arzonlashdi.

Misol. Kitobning oldingi narxi 10 rubl edi. 1 rublga kamaydi. 20 tiyin

2. Omonat kassalari omonatchilarga yil davomida omonat uchun qo‘yilgan mablag‘ning 2/100 qismini to‘laydi.

Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.

MISOL Maktabda bor-yo‘g‘i 1200 nafar o‘quvchi bo‘lgan, shundan 60 nafari bitirgan.

Sonning yuzdan bir qismi foiz deyiladi.

"Foiz" so'zi ushbudan olingan lotin tili uning ildizi esa “tsent” yuz degan ma’noni bildiradi. Predlog (pro centum) bilan birgalikda bu so'z "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Bunday iboraning ma'nosi dastlab ichida ekanligidan kelib chiqadi qadimgi Rim foizlar qarzdorning "har bir yuz uchun" qarz beruvchiga to'lagan puli edi. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deylik).

Masalan, o‘tgan bir oyda zavod barcha mahsulotining 1/100 qismini nuqsonli deb aytish o‘rniga, shuni aytamiz: o‘tgan oyda zavod bir foiz nuqsonli ishlab chiqargan. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.

Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.

2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo‘yilgan summadan yiliga 2 foiz to‘laydi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni barcha maktab o‘quvchilarining 5 foizini tashkil etdi.

Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga % belgisini yozish odatiy holdir.

Biroq, esda tutingki, hisob-kitoblarda% belgisi odatda yozilmaydi, uni muammo bayonotida va yakuniy natijada yozish mumkin; Hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, bu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozish kerak.

Siz ko'rsatilgan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:

Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:

7. Berilgan sonning foizini topish.

Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin o'tinlari bor edi?

Ushbu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib berilgan o'tinning faqat bir qismini tashkil etdi va bu qism 30/100 fraktsiyasida ifodalanadi. Bu degani, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni yechish uchun 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish masalalari sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi.).

Bu 200 ning 30% 60 ga teng degan ma'noni anglatadi.

Bu masalada uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu kamaytirishni boshidanoq qilish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmagan bo'lardi.

Vazifa 2. Lagerda 300 nafar bola bor edi turli yoshdagilar. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% ni tashkil etdi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?

Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni 11 yoshli, keyin 12 yosh va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini ketma-ket toping.

Bu shuni anglatadiki, bu erda siz sonning ulushini uch marta topishingiz kerak bo'ladi. Keling buni bajaramiz:

1) 11 yoshli nechta bola bor edi?

2) 12 yoshli nechta bola bor edi?

3) 13 yoshli nechta bola bor edi?

Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:

63 + 183 + 54 = 300

Shuni ham ta'kidlash kerakki, muammo bayonida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu shuni ko'rsatadiki, lagerdagi bolalarning umumiy soni 100% deb qabul qilingan.

3 a d a h a 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Buning 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini xonadon va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejalgan. Topshiriqda ko'rsatilgan ehtiyojlar uchun qancha pul sarflandi?

Bu masalani hal qilish uchun 1200 ning 5 marta qismini topish kerak.

1) Oziq-ovqat uchun qancha pul sarflangan? Muammo shundaki, bu xarajat umumiy daromadning 65%, ya'ni 1200 sonining 65/100 qismini tashkil qiladi.

2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'ladingiz? Avvalgisiga o'xshab, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:

3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?

4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflandi?

5) Ishchi qancha pul tejagan?

Tekshirish uchun ushbu 5 ta savolda topilgan raqamlarni qo'shish foydali bo'ladi. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida berilgan foiz raqamlarini qo'shib tekshirish oson.

Biz uchta muammoni hal qildik. Bu vazifalar hal qilinganiga qaramay har xil narsalar(maktab uchun o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchining xarajatlari), ular xuddi shunday hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha masalalarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.

§ 90. Kasrlarning bo'linishi.

Kasrlarning bo'linishini o'rganar ekanmiz, biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Berilgan kasrdan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Butun sonni butun songa bo‘lish.

Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish - bu ikki omil (bo'lish) va ushbu omillardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan amaldir.

Butun sonni butun songa bo‘lish masalasini butun sonlar bo‘limida ko‘rib chiqdik. U erda biz ikkita bo'linish holatiga duch keldik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va 1 qoldiq). Shuning uchun biz butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emasligini aytishimiz mumkin, chunki dividend har doim ham butun songa bo'linuvchining mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirishni kiritgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).

Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish 12 ga mahsuloti 7 ga teng bo'lgan sonni topishni anglatadi. Bunday raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.

Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz hisoblagichi dividendga va maxraji bo'luvchiga teng bo'lgan kasrni yaratishingiz kerak.

2. Kasrni butun songa bo‘lish.

6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3); 3 ga ko'paytirilsa, berilgan mahsulot 6/7 ni beradigan ikkinchi omilni topish talab qilinadi. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Demak, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.

Biz allaqachon bilamizki, kasrni kamaytirish uning numeratorini kamaytirish yoki uning maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:

IN Ushbu holatda 6 soni 3 ga bo'linadi, shuning uchun hisobni yarmiga bo'lish kerak.

Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Bunga asoslanib, qoidani tuzish mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(Agar mumkin bo `lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.

3. Butun sonni kasrga bo‘lish.

5 ni 1/2 ga bo'lish kerak bo'lsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan keyin ko'paytma 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasrdir. , va sonni ko'paytirishda to'g'ri kasrning mahsuloti ko'paytirilayotgan mahsulotdan kichik bo'lishi kerak. Buni aniqroq qilish uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , bu x 1/2 = 5 degan ma'noni anglatadi.

Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , agar 1/2 ga ko'paytirilsa, 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismi. X 5 ga va butun songa teng X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 = 10.

Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz 6 ni 2/3 ga bo'lishni xohlaysiz. Keling, avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).

19-rasm

6 birlikka teng AB segmentini chizamiz va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajratamiz. Har bir birlikda butun AB segmentining uchdan uch qismi (3/3) 6 marta kattaroqdir, ya'ni. e. 18/3. Kichik qavslar yordamida biz 2 ta 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Demak, 2/3 kasr 6 birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 butun birlikdan 9 marta kam. Demak,

Faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz bu natijani qanday olish mumkin? Keling, shunday fikr yuritamiz: biz 6 ni 2/3 ga bo'lishimiz kerak, ya'ni 6 ning 2/3 qismi necha marta bor degan savolga javob berishimiz kerak. Keling, avval bilib olaylik: 6 ning 1/3 qismi necha marta bor? Butun birlikda uchdan 3, 6 birlikda esa 6 marta ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu 1/3 ni b birliklarda 18 marta, 2/3 esa b birliklarida 18 marta emas, balki yarmini ko'p, ya'ni 18: 2 = 9 ekanligini anglatadi. Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz quyidagilarni bajardik.

Bu yerdan biz butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagich qilib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

4. Kasrni kasrga bo'lish.

Aytaylik, 3/4 ni 3/8 ga bo'lish kerak. Bo'linish natijasida hosil bo'lgan raqam nimani anglatadi? Bu 3/8 kasr 3/4 kasrda necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).

Keling, AB segmentini olib, uni bitta qilib olamiz, uni 4 ta teng qismga ajratamiz va 3 ta shunday qismni belgilaymiz. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta asl segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Shunday 3 ta segmentni yoylar bilan bog‘laymiz, u holda AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo‘ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment aniq 2 marta 3/4 ga teng segmentda joylashgan; Bu shuni anglatadiki, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, 15/16 ni 3/32 ga bo'lish kerak:

Biz shunday fikr yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 noma'lum raqam X 15/16

Noma'lum raqamning 1/32 qismi X bu,

32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .

Demak,

Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirilishi kerak va birinchi kasrning maxraji ikkinchisining soniga ko'paytirilishi va birinchi ko'paytiruvchining soni bo'lishi kerak. ikkinchisi esa maxraj.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

5. Aralash sonlarning bo‘linishi.

Aralash sonlarni bo'lishda ularni birinchi navbatda aylantirish kerak noto'g'ri kasrlar va keyin hosil bo'lgan kasrlarni kasr sonlarini bo'lish qoidalariga muvofiq bo'ling. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:

Endi ajratamiz:

Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasidan foydalanib bo'lishingiz kerak.

6. Berilgan kasrdan sonni topish.

Orasida turli vazifalar kasrlarda, ba'zida noma'lum sonning ba'zi bir qismining qiymati berilgan va siz bu raqamni topishingiz kerak bo'lganlar mavjud. Bu turdagi masala berilgan sonning ulushini topish masalasiga teskari masala bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilingan. Agar biz ushbu turdagi muammolarni hal qilishga murojaat qilsak, bu fikr yanada aniqroq bo'ladi.

Vazifa 1. Birinchi kuni shishachilar 50 ta oynani sirladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?

Yechim. Muammo shundaki, 50 ta oynali oynalar uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'p derazalar mavjud, ya'ni.

Uyda 150 ta deraza bor edi.

Vazifa 2. Do'konda 1500 kg un sotilgan, bu do'kondagi umumiy un zaxirasining 3/8 qismini tashkil qiladi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?

Yechim. Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; Bu shuni anglatadiki, ushbu zaxiraning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:

1500: 3 = 500 (bu zahiraning 1/8 qismi).

Shubhasiz, butun ta'minot 8 barobar ko'p bo'ladi. Demak,

500 8 = 4000 (kg).

Do'kondagi unning dastlabki zaxirasi 4000 kg edi.

Ushbu muammoni ko'rib chiqib, quyidagi qoidani chiqarish mumkin.

Uning ulushining berilgan qiymatidan raqamni topish uchun bu qiymatni kasrning numeratoriga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.

Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday muammolar, ayniqsa oxirgisidan aniq ko'rinib turibdiki, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'linish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).

Biroq, kasrlarni bo'linishni o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bitta harakat bilan, ya'ni: kasrga bo'lish bilan hal qilish mumkin.

Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:

Kelajakda sonni uning kasridan topish masalalarini bir amal – bo‘lish bilan yechamiz.

7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Ushbu masalalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini biladigan raqamni topishingiz kerak bo'ladi.

Vazifa 1. Bu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'yganman? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)

Muammoning ma'nosi shundaki, men omonat kassasiga ma'lum miqdorda pul qo'ydim va u erda bir yil turdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil etadi. Qancha pul kiritdim?

Binobarin, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi masalalar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:

Bu omonat kassasiga 3000 rubl kiritilganligini anglatadi.

Vazifa 2. Baliqchilar ikki haftada 512 tonna baliq yetishtirib, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?

Muammoning shartlaridan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Rejaga ko'ra qancha tonna baliq tayyorlash kerakligini bilmaymiz. Bu raqamni topish muammoning yechimi bo'ladi.

Bunday muammolar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:

Demak, reja bo‘yicha 800 tonna baliq tayyorlash kerak.

Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tib ketayotgan konduktordan yo'lning qancha qismini bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?

Muammoli sharoitlardan ko'rinib turibdiki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'nalishning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:

§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.

Keling, 2/3 kasrni olamiz va maxraj o'rniga hisoblagichni almashtiramiz, biz 3/2 ni olamiz. Biz bu kasrning teskari qismini oldik.

Berilgan kasrga teskari kasrni olish uchun maxraj o‘rniga uning hisobini, ayiruvchi o‘rniga esa maxrajini qo‘yish kerak. Shu tarzda biz har qanday kasrning o'zaro qismini olishimiz mumkin. Masalan:

3/4, teskari 4/3; 5/6, teskari 6/5

Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo'lish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.

Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki shunchaki 2 bo'ladi. Berilgan kasrning teskari qismini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:

1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5

O'zaro kasrlarni topishda biz butun sonlarni ham uchratganimiz uchun, keyin biz o'zaro kasrlar haqida emas, balki o'zaro sonlar haqida gapiramiz.

Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun buni oddiygina hal qilish mumkin: siz hisoblagich o'rniga maxrajni qo'yishingiz kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning teskarisini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Bu 7 ning teskarisi 1/7 bo'lishini anglatadi, chunki 7 = 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 bo'ladi, chunki 10 = 10/1

Bu fikr boshqacha ifodalanishi mumkin: berilgan sonning o'zaro nisbati bittani berilgan songa bo'lish yo'li bilan olinadi. Bu gap nafaqat butun sonlar, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Aslida, agar biz 5/9 kasrning teskarisini yozishimiz kerak bo'lsa, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.

Endi bir narsani ta'kidlab o'tamiz mulk biz uchun foydali bo'lgan o'zaro raqamlar: o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Haqiqatdan ham:

Bu xususiyatdan foydalanib, o'zaro sonlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. Aytaylik, 8 ning teskarisini topishimiz kerak.

Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, 7/12 ga teskari bo'lgan boshqa raqamni topamiz va uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1: 7/12 yoki X = 12 / 7 .

Biz kasrlarni bo'lish haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun bu erda o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.

6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:

Iltimos, toʻlang Maxsus e'tibor ifodaga va uni berilgan bilan solishtiring: .

Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida oladigan bo'lsak, u qaerdan kelib chiqqanligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham bir xil narsa sodir bo'ladi. Shuning uchun aytishimiz mumkin bir sonni boshqasiga bo'lish dividendni bo'luvchining teskari soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.

Quyida keltirgan misollarimiz bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.

Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni ayirishni o'rganish maktab mavzusi Sakkizinchi sinfda algebra va u ba'zan bolalarni tushunishda qiyinchiliklarga olib keladi. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Kasrlarni ayirish tartibi qo'shishga o'xshaydi, chunki u ishlash printsipini to'liq nusxalaydi.

Birinchidan, biz eng ko'p hisoblaymiz kichik raqam, bu ham bir, ham boshqa maxrajning karrali.

Ikkinchidan, biz har bir kasrning payini va maxrajini ma'lum bir songa ko'paytiramiz, bu bizga maxrajni berilgan minimal umumiy maxrajga etkazish imkonini beradi.

Uchinchidan, ayirish jarayonining o'zi sodir bo'ladi, oxirida maxraj ko'paytiriladi va ikkinchi kasrning soni birinchisidan ayiriladi.

Misol: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 butun 1/6

Avval siz ularni bir xil maxrajga olib kelishingiz kerak, keyin esa olib tashlashingiz kerak. Masalan, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Yoki qiyinroq, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Kasrlar qanday qilib umumiy maxrajga keltirilishini tushuntirishingiz kerakmi?

Qo'shish yoki ayirish kabi amallar uchun oddiy kasrlar turli xil maxrajlar bilan oddiy qoida qo'llaniladi - bu kasrlarning maxrajlari bitta raqamga qisqartiriladi va harakatning o'zi hisoblagichdagi raqamlar bilan amalga oshiriladi. Ya'ni, kasrlar umumiy maxraj oladi va birlashgandek ko'rinadi. Ixtiyoriy kasrlar uchun umumiy maxrajni topish odatda har bir kasrni boshqa kasrning maxrajiga oddiygina ko'paytirishdan iborat. Ammo oddiyroq holatlarda siz kasrlarning maxrajlarini bir xil raqamga keltiradigan omillarni darhol topishingiz mumkin.

Kasrlarni ayirish misoli: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Ko'p kattalar allaqachon unutgan turli maxrajli kasrlarni qanday ayirish, lekin bu harakat elementar matematikaga tegishli.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish, siz ularni umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, ya'ni maxrajlarning eng kichik umumiy ko'paytmasini toping, so'ngra paylarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring, nisbatga teng eng kichik umumiy karra va maxraj.

Kasr belgilari saqlanib qolgan. Kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo'lgandan so'ng, siz ayirishingiz mumkin, keyin esa, agar iloji bo'lsa, kasrni kamaytiring.

Elena, siz takrorlashga qaror qildingiz maktab kursi matematika?)))

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun avval ularni bir xil maxrajga kamaytirish, keyin esa ayirish kerak. Eng oddiy variant: Birinchi kasrning sonini va maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring va ikkinchi kasrning sonini va maxrajini birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring. Biz bir xil maxrajli ikkita kasrni olamiz. Endi birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning sonini ayiramiz va ular bir xil maxrajga ega.

Masalan, beshdan uchdan ikki ettinchini ayirish yigirma bir o'ttiz beshdan o'n o'ttiz beshni ayirishga teng va bu o'n bir o'ttiz beshga teng.

Agar denominatorlar katta sonlar bo'lsa, unda siz ularning eng kichik umumiy ko'pligini topishingiz mumkin, ya'ni. bir va boshqa maxrajga bo'linadigan son. Va ikkala kasrni umumiy maxrajga keltiring (eng kichik umumiy karrali)

Turli xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish juda oddiy vazifa - biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va keyin ayirishni paylagichda qilamiz.

Ko'p odamlar bu kasrlar yonida butun sonlar mavjud bo'lganda qiyinchiliklarga duch kelishadi, shuning uchun men buni qanday qilishni quyidagi misol bilan ko'rsatmoqchi edim:

dan kasrlarni ayirish butun qismi va har xil denominatorlar bilan

birinchi navbatda biz butun qismlarni 8-5 = 3 dan chiqaramiz (uchtasi birinchi kasr yaqinida qoladi);

biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz 6 (agar birinchi kasrning soni ikkinchidan katta bo'lsa, ayirishni bajaramiz va uni butun qismning yoniga yozamiz, bizning holatda biz davom etamiz);

biz butun 3 qismni 2 va 1 ga ajratamiz;

1 ni kasr sifatida 6/6 deb yozamiz;

6/6+3/6-4/6 ostida yozing umumiy maxraj 6 va hisoblagichdagi amallarni bajaring;

topilgan natijani yozing 2 5/6.

Shuni yodda tutish kerakki, kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lsa, ayiriladi. Shuning uchun, bizda turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar mavjud bo'lganda, ularni oddiygina umumiy maxrajga keltirish kerak, buni qilish qiyin emas. Biz shunchaki har bir kasrning numeratorini koeffitsientga kiritishimiz va nolga teng bo'lmasligi kerak bo'lgan eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblashimiz kerak. Hisoblagichlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirishni unutmang, ammo bu erda qulaylik uchun misol:



Agar farqli maxrajli kasrlarni ayirmoqchi bo'lsangiz, avval ikkita kasr uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak bo'ladi. Va keyin birinchi kasrning numeratoridan ikkinchisini olib tashlang. Yangi ma'noga ega bo'lgan yangi kasr olinadi.

3-sinf matematika kursidan esimda qolgan bo‘lsak, maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish uchun avval umumiy maxrajni hisoblab, unga kamaytirish kerak, so‘ngra sanoqlarni bir-biridan ayirish kerak va maxraj bir xil bo‘lib qoladi.

maxrajlari farqli kasrlarni ayirish uchun avvalo shu kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini topishimiz kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:



Kattaroq 25 sonni kichik 20 ga bo'ling. U bo'linmaydi. Bu shuni anglatadiki, biz 25 maxrajini shunday songa ko'paytiramiz, natijada olingan summani 20 ga bo'lish mumkin. Bu raqam 4 bo'ladi. 25x4=100. 100:20=5. Shunday qilib, biz eng kichik umumiy maxrajni topdik - 100.

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omilni topishimiz kerak. Buning uchun yangi maxrajni eskisiga bo'ling.

9 ni 4 ga ko'paytiring = 36. 7 ni 5 ga ko'paytiring = 35.

Umumiy maxrajga ega bo'lib, biz misolda ko'rsatilgandek ayirishni bajaramiz va natijani olamiz.

Ushbu darsda qo'shish va ayirish haqida gap boradi. algebraik kasrlar turli denominatorlar bilan. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish eng muhim va qiyin mavzular 8-sinf kursida. Bundan tashqari, bu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida paydo bo'ladi. Darsning bir qismi sifatida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek tahlil qilamiz. butun chiziq tipik misollar.

Keling, ko'rib chiqaylik eng oddiy misol oddiy kasrlar uchun.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Kasrlarni qo'shish qoidasini eslaylik. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy maxraj eng kichik umumiy karra Asl maxrajlarning (LCM).

Ta'rif

Ikkala songa ham bo'linadigan eng kichik natural son.

LCM ni topish uchun maxrajlarni qismlarga ajratish kerak asosiy omillar, va keyin ikkala maxrajning kengayishida paydo bo'ladigan barcha asosiy omillarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy maxrajni topgandan so'ng, har bir kasr uchun qo'shimcha koeffitsientni topishingiz kerak (aslida umumiy maxrajni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'ling).

Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.

Biz olamiz: .

Javob:.

Keling, har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshash. Bu kasrlarning umumiy maxrajini topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.

.

Javob:.

Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:

1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.

2. Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).

3. Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiring.

4. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.

Keling, maxraji harfli ifodalarni o'z ichiga olgan kasrlarga misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Ikkala maxrajdagi harf ifodalari bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, ushbu misolning yechimi quyidagicha ko'rinadi:.

Javob:.

4-misol. Kasrlarni ayirish: .

Yechim:

Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga qo'sha olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda umumiy maxraj sifatida ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini olishingiz kerak.

Javob:.

Umuman olganda, bunday misollarni echishda, eng ko'p qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdan iborat.

Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Umumiy maxrajni topishda, avvalo, asl kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).

Bu alohida holatda:

Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: .

Biz qo'shimcha omillarni aniqlaymiz va ushbu misolni hal qilamiz:

Javob:.

Endi maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rnatamiz.

6-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Javob:.

7-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

.

Javob:.

Keling, ikkita emas, balki uchta kasr qo'shilgan misolni ko'rib chiqaylik (axir, qo'shish va ayirish qoidalari Ko'proq kasrlar bir xil bo'lib qoladi).

8-misol. Soddalashtiring: .