Funksiya grafiklarini o'zgartirish tartibi. Elementar funksiyalar grafiklarini o'zgartirish

Gipoteza: Agar siz funksiyalar tenglamasini shakllantirish jarayonida grafikning harakatini o'rgansangiz, barcha grafiklar bo'ysunishini sezasiz. umumiy naqshlar shuning uchun funktsiyalardan qat'iy nazar umumiy qonunlarni shakllantirish mumkin, bu faqat grafiklarni qurishni osonlashtirmaydi. turli funktsiyalar, lekin ulardan muammolarni hal qilishda ham foydalaning.

Maqsad: Funktsiyalar grafiklarining harakatini o'rganish:

1) Vazifa - adabiyotni o'rganish

2) Turli funktsiyalarning grafiklarini qurishni o'rganing

3) Grafiklarni aylantirishni o'rganing chiziqli funksiyalar

4) Masalalarni yechishda grafiklardan foydalanish masalasini ko'rib chiqing

O'rganish ob'ekti: Funksiya grafiklari

Tadqiqot predmeti: Funksiya grafiklarining harakati

Muhimligi: Funktsiyalar grafiklarini qurish, qoida tariqasida, ko'p vaqtni oladi va talabadan diqqatlilikni talab qiladi, ammo funktsiyalar grafiklarini va asosiy funktsiyalar grafiklarini o'zgartirish qoidalarini bilgan holda, siz funktsiyalar grafiklarini tez va oson qurishingiz mumkin. , bu sizga nafaqat funktsiyalar grafiklarini qurish bo'yicha vazifalarni bajarishga, balki u bilan bog'liq muammolarni hal qilishga imkon beradi (maksimal (vaqtning minimal balandligi va uchrashuv nuqtasi))

Ushbu loyiha maktabdagi barcha talabalar uchun foydalidir.

Adabiyot manbalarini haqida umumiy ma'lumot; Adabiyot sharhi:

Adabiyotlarda turli funktsiyalarning grafiklarini qurish usullari, shuningdek, ushbu funktsiyalarning grafiklarini o'zgartirish misollari ko'rib chiqiladi. Deyarli barcha asosiy funktsiyalarning grafiklari turli xilda qo'llaniladi texnik jarayonlar, bu jarayonni aniqroq tasavvur qilish va natijani dasturlash imkonini beradi

Doimiy funktsiya. Bu funktsiya y = b formula bilan berilgan, bu erda b - ma'lum son. Doimiy funktsiyaning grafigi abssissaga parallel va ordinataning (0; b) nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir. y = 0 funksiyaning grafigi x o'qidir.

Funktsiya turlari 1To'g'ri proportsionallik. Bu funktsiya y = kx formula bilan berilgan, bu erda proportsionallik koeffitsienti k ≠ 0. To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqdir.

Chiziqli funksiya. Bunday funktsiya y = kx + b formula bilan berilgan, bu erda k va b haqiqiy sonlardir. Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir.

Chiziqli funktsiyalarning grafiklari kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin.

Shunday qilib, y = k 1 x + b 1 va y = k 2 x + b 2 chiziqli funksiyalar grafiklarining chiziqlari kesishadi, agar k 1 ≠ k 2 bo‘lsa; agar k 1 = k 2 bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi.

2Teskari proporsionallik y = k/x formula bilan berilgan funksiya bo‘lib, bu yerda k ≠ 0. K koeffitsient deyiladi. teskari proportsionallik. Teskari proportsionallik grafigi giperboladir.

y = x 2 funksiya parabola deb ataladigan grafik bilan ifodalanadi: [-~ oraliqda; 0] funksiya kamayadi, intervalda funksiya ortadi.

y = x 3 funktsiyasi butun son chizig'i bo'ylab ortadi va grafik jihatdan kub parabola bilan ifodalanadi.

Tabiiy darajali quvvat funksiyasi. Bu funktsiya y = x n formula bilan berilgan, bu erda n natural son. Grafikalar quvvat funktsiyasi natural ko'rsatkichli n ga bog'liq. Masalan, agar n = 1 bo'lsa, u holda grafik to'g'ri chiziq bo'ladi (y = x), agar n = 2 bo'lsa, u holda grafik parabola bo'ladi va hokazo.

Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasi y = x -n formulasi bilan ifodalanadi, bunda n natural sondir. Bu funksiya barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi. Funksiya grafigi ham n ko‘rsatkichiga bog‘liq.

Musbat kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi. Bu funktsiya y = x r formulasi bilan ifodalanadi, bu erda r - musbat qaytarilmas kasr. Bu funksiya ham juft yoki toq emas.

Koordinata tekisligidagi qaram va mustaqil o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadigan chiziqli grafik. Grafik ushbu elementlarni vizual ko'rsatish uchun xizmat qiladi

Mustaqil o'zgaruvchi - bu funktsiyani aniqlash sohasida har qanday qiymatni qabul qila oladigan o'zgaruvchidir (bu erda bu funksiya mantiqiy (nolga bo'linib bo'lmaydi))

Funktsiyalar grafigini yaratish uchun sizga kerak

1) VA ni toping (qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni)

2) mustaqil o'zgaruvchi uchun bir nechta ixtiyoriy qiymatlarni olish

3) Tobe o‘zgaruvchining qiymatini toping

4) Koordinata tekisligini tuzing va unda shu nuqtalarni belgilang

5) Agar kerak bo'lsa, ularning chiziqlarini ulang, natijada olingan grafani ko'rib chiqing Grafiklarni o'zgartirish elementar funktsiyalar.

Grafiklarni konvertatsiya qilish

IN sof shakl asosiy elementar funktsiyalar, afsuski, unchalik keng tarqalgan emas. Ko'pincha siz asosiy elementar funktsiyalardan doimiy va koeffitsientlarni qo'shish orqali olingan elementar funktsiyalar bilan shug'ullanishingiz kerak. Bunday funksiyalarning grafiklarini mos keladigan asosiy elementar funksiyalarning grafiklariga geometrik o'zgartirishlarni qo'llash (yoki yangi koordinatalar tizimiga o'tish) orqali qurish mumkin. Masalan, kvadratik funktsiya formula ordinata o'qiga nisbatan uch marta siqilgan, abscissa o'qiga nisbatan simmetrik tarzda ko'rsatilgan, bu o'qning yo'nalishiga qarshi 2/3 birlikka siljigan va ordinat o'qi bo'ylab 2 birlikka siljigan kvadratik parabola formulasi.

Keling, aniq misollar yordamida funktsiya grafigining ushbu geometrik o'zgarishlarini bosqichma-bosqich tushunib olaylik.

f(x) funksiya grafigining geometrik o'zgarishlaridan foydalanib, formulaning istalgan funksiyasining grafigini qurish mumkin, bu erda formula oy va ho'kiz o'qlari bo'ylab mos ravishda siqish yoki cho'zish koeffitsientlari, oldingi minus belgilaridir. formula va formula koeffitsientlari ga nisbatan grafikning nosimmetrik ko'rinishini bildiradi koordinata o'qlari, a va b mos ravishda abtsissa va ordinata o'qlariga nisbatan siljishni aniqlaydi.

Shunday qilib, funktsiya grafigini geometrik o'zgartirishning uchta turi mavjud:

Birinchi tur - abscissa va ordinata o'qlari bo'ylab masshtablash (siqish yoki cho'zish).

Masshtabga bo'lgan ehtiyoj, agar raqam 1 dan kichik bo'lsa, u holda grafik oyga nisbatan siqiladi va agar raqam 1 dan katta bo'lsa, u holda biz ordinat o'qi bo'ylab cho'zamiz; va abscissa o'qi bo'ylab siqiladi.

Ikkinchi tur - koordinata o'qlariga nisbatan nosimmetrik (oyna) displey.

Ushbu o'zgartirish zarurati formula koeffitsientlari oldidagi minus belgilar bilan ko'rsatilgan (bu holda biz grafikni ho'kiz o'qiga nisbatan simmetrik ravishda ko'rsatamiz) va formula (bu holda biz grafikni oyga nisbatan simmetrik ravishda ko'rsatamiz). eksa). Agar minus belgilari bo'lmasa, bu qadam o'tkazib yuboriladi.

Parallel uzatish.

Y-O'QI BO'YICHA TARJIMA

f(x) => f(x) - b
Faraz qilaylik, siz y = f(x) - b funksiyaning grafigini qurmoqchisiz. Bu grafikning ordinatalari x ning barcha qiymatlari uchun |b| da ekanligini ko'rish oson b>0 va |b| uchun y = f(x) funksiya grafigining mos ordinatalaridan birlik kichik. birlik ko'proq - b 0 da yuqori yoki b da yuqori y + b = f(x) funksiya grafigini tuzish uchun y = f(x) funksiya grafigini qurish va x o'qini |b| ga o'tkazish kerak. b>0 da yoki |b| ga ko'tariladi b da pastga birliklar

Abscis o'qi bo'ylab o'tkazish

f(x) => f(x + a)
Faraz qilaylik, siz y = f(x + a) funksiyasini chizmoqchisiz. y = f(x) funksiyani ko'rib chiqaylik, u qaysidir nuqtada x = x1 y1 = f(x1) qiymatini oladi. Shubhasiz, y = f(x + a) funksiya x2 nuqtada bir xil qiymatni oladi, uning koordinatasi x2 + a = x1 tengligidan aniqlanadi, ya'ni. x2 = x1 - a va ko'rib chiqilayotgan tenglik funktsiyani aniqlash sohasidagi barcha qiymatlar yig'indisi uchun amal qiladi. Demak, y = f(x) funktsiya grafigini x o'qi bo'ylab |a| ga parallel ravishda chapga siljitish orqali y = f(x + a) funksiya grafigini olish mumkin. a > 0 uchun birliklar yoki o'ngga |a| a uchun birliklar y = f(x + a) funksiya grafigini qurish uchun y = f(x) funksiya grafigini qurish va ordinata o‘qini |a| ga ko‘chirish kerak. a>0 bo'lganda o'ngga birliklar yoki |a| a da chapga birliklar

Misollar:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflektsiya.

Y = F(-X) FOYDAGI FUNKSIYA GRAFASINI TUZISH.

f(x) => f(-x)
Ko'rinib turibdiki, y = f(-x) va y = f(x) funktsiyalari abtsissalari teng bo'lgan nuqtalarda teng qiymatlarni oladi. mutlaq qiymat, lekin belgisiga qarama-qarshi. Boshqacha qilib aytganda, x ning musbat (salbiy) qiymatlari mintaqasidagi y = f(-x) funksiya grafigining ordinatalari y = f(x) funksiya grafigining ordinatalariga teng bo‘ladi. mutlaq qiymatdagi x ning tegishli salbiy (ijobiy) qiymatlari uchun. Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz.
y = f(-x) funksiya grafigini chizish uchun y = f(x) funksiya grafigini chizish va uni ordinataga nisbatan aks ettirish kerak. Olingan grafik y = f(-x) funksiyaning grafigidir.

Y = - F(X) FOYDAGI FUNKSIYA GRAFASINI TUZISH.

f(x) => - f(x)
Argumentning barcha qiymatlari uchun y = - f(x) funksiya grafigining ordinatalari mutlaq qiymatda teng, lekin y = f(x) funksiya grafigi ordinatalariga ishora jihatidan qarama-qarshidir. argumentning bir xil qiymatlari. Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz.
y = - f(x) funksiyaning grafigini tuzish uchun y = f(x) funksiyaning grafigini tuzish va uni x o'qiga nisbatan aks ettirish kerak.

Misollar:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformatsiya.

Y-O'QI BO'YICHA GRAFIK DEFORMASIYASI

f(x) => k f(x)
y = k f(x) ko'rinishdagi funktsiyani ko'rib chiqing, bu erda k > 0. Argumentning teng qiymatlari bilan bu funktsiya grafigining ordinatalari ordinatalaridan k marta katta bo'lishini tushunish oson. k > 1 uchun y = f(x) funksiya grafigi yoki k uchun y = f(x) funksiya grafigining ordinatalaridan 1/k marta kichik y = k f(x) funksiya grafigini qurish uchun. ), y = f(x) funksiyaning grafigini qurish va k > 1 uchun uning ordinatalarini k marta oshirish (grafani ordinata o‘qi bo‘ylab cho‘zish ) yoki k da uning ordinatalarini 1/k marta kamaytirish kerak.
k > 1- Ox o'qidan cho'zilgan
0 - OX o'qiga siqish

ABTSIZ EKSASI BO'YICHA GRAFIK DEFORMATSIYASI

f(x) => f(k x)
y = f(kx) funksiyaning grafigini qurish zarur bo'lsin, bu erda k>0. y = f(x) funksiyani ko'rib chiqaylik, u ixtiyoriy x = x1 nuqtada y1 = f(x1) qiymatini oladi. Ko'rinib turibdiki, y = f(kx) funktsiyasi x = x2 nuqtada bir xil qiymatni oladi, uning koordinatasi x1 = kx2 tengligi bilan aniqlanadi va bu tenglik barcha qiymatlar yig'indisi uchun amal qiladi. x funktsiyani aniqlash sohasidan. Binobarin, y = f(kx) funksiyaning grafigi y = f(x) funksiya grafigiga nisbatan abtsissalar o'qi bo'ylab siqilgan (k 1 uchun) bo'lib chiqadi. Shunday qilib, biz qoidaga erishamiz.
y = f(kx) funksiya grafigini qurish uchun y = f(x) funksiya grafigini tuzish va uning abssissalarini k>1 uchun k marta kamaytirish (grafikni abscissalar o‘qi bo‘ylab siqish) yoki oshirish kerak. uning abscissalari k uchun 1/k marta
k > 1- Oy o'qiga siqish
0 - OY o'qidan cho'zilgan

Jismoniy jarayonlarning shartlariga qarab, ba'zi miqdorlar doimiy qiymatlarni oladi va doimiy deb ataladi, boshqalari ma'lum sharoitlarda o'zgaradi va o'zgaruvchilar deb ataladi.

Ehtiyotkorlik bilan o'rganish muhit fizik miqdorlarning bir-biriga bog'liqligini ko'rsatadi, ya'ni ba'zi miqdorlarning o'zgarishi boshqalarning o'zgarishiga olib keladi.

Matematik tahlil o'zaro o'zgaruvchan miqdorlar o'rtasidagi miqdoriy munosabatlarni o'rganish, o'ziga xos jismoniy ma'nodan abstraktlashtirish bilan shug'ullanadi. Matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri funksiya tushunchasidir.

To'plam elementlarini va to'plam elementlarini ko'rib chiqing
(3.1-rasm).

Agar to'plamlar elementlari o'rtasida qandaydir yozishmalar o'rnatilgan bo'lsa
Va qoida shaklida , keyin ular funksiya aniqlanganligini ta'kidlaydilar
.

Ta'rif 3.1. Xat yozish , har bir element bilan bog'langan bo'sh to'plam emas
ba'zi bir aniq belgilangan element bo'sh to'plam emas ,funktsiya yoki xaritalash deb ataladi
V .

Simvolik ko'rsatish
V quyidagicha yoziladi:

.

Shu bilan birga, ko'p
funksiyani aniqlash sohasi deyiladi va belgilanadi
.

O'z navbatida, ko'pchilik funksiya qiymatlari diapazoni deb ataladi va belgilanadi
.

Bundan tashqari, to'plamning elementlarini ta'kidlash kerak
mustaqil o'zgaruvchilar, to'plam elementlari deb ataladi bog'liq o'zgaruvchilar deyiladi.

Funktsiyani belgilash usullari

Funktsiyani quyidagi asosiy usullarda ko'rsatish mumkin: jadvalli, grafik, analitik.

Agar eksperimental ma'lumotlarga asoslanib, funktsiya qiymatlari va tegishli argument qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar tuzilgan bo'lsa, u holda funktsiyani belgilashning bu usuli jadval deb ataladi.

Shu bilan birga, agar eksperimental natijaning ba'zi tadqiqotlari magnitafonda (ossiloskop, magnitafon va boshqalar) ko'rsatilsa, u holda funksiya grafik tarzda ko'rsatilganligi qayd etiladi.

Eng keng tarqalgan funktsiyani belgilashning analitik usuli, ya'ni. mustaqil va bog'liq o'zgaruvchilar formula yordamida bog'langan usul. Qayerda muhim rol funktsiya sohasini o'ynaydi:

ular bir xil analitik munosabatlar bilan berilgan bo'lsa-da, har xil.

Agar siz faqat funktsiya formulasini ko'rsatsangiz
, keyin biz ushbu funktsiyaning ta'rif sohasi o'zgaruvchining ushbu qiymatlari to'plamiga to'g'ri keladi deb hisoblaymiz , buning uchun ifoda
ma'noga ega. Shu munosabat bilan funktsiyaning aniqlanish sohasini topish muammosi alohida o'rin tutadi.

Vazifa 3.1. Funktsiya sohasini toping

Yechim

Birinchi atama qachon haqiqiy qiymatlarni oladi
, ikkinchisi esa. Shunday qilib, ta'rif sohasini toping berilgan funksiya Tengsizliklar tizimini yechish kerak:

Natijada, bunday tizimning yechimi . Demak, funksiyani aniqlash sohasi segment hisoblanadi
.

Funksiya grafiklarining eng oddiy transformatsiyalari

Agar asosiy elementar funktsiyalarning taniqli grafiklaridan foydalansangiz, funktsiya grafiklarini qurish sezilarli darajada soddalashtirilishi mumkin. Quyidagi funktsiyalar asosiy elementar funktsiyalar deb ataladi:

1) quvvat funktsiyasi
Qayerda
;

2) ko'rsatkichli funktsiya
Qayerda
Va
;

3) logarifmik funksiya
, Qayerda - bittadan boshqa har qanday ijobiy raqam:
Va
;

4) trigonometrik funksiyalar




;
.

5) teskari trigonometrik funksiyalar
;
;
;
.

Elementar funksiyalar to'rtta arifmetik amal va chekli marta qo'llaniladigan superpozitsiya yordamida asosiy elementar funktsiyalardan olinadigan funktsiyalardir.

Oddiy geometrik o'zgarishlar ham funksiyalar grafigini qurish jarayonini soddalashtirish imkonini beradi. Ushbu o'zgarishlar quyidagi bayonotlarga asoslanadi:

y=f(x+a) funksiyaning grafigi y=f(x) grafigi, siljitilgan (a >0 uchun chapga, a uchun)< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

y=f(x) +b funksiyaning grafigi y=f(x) grafigi, siljitilgan (b>0 da yuqoriga, b da)< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

y = mf(x) (m0) funksiyaning grafigi y = f(x) ning grafigi, cho‘zilgan (m>1 da) m marta yoki siqilgan (0 da)

y = f(kx) funksiyaning grafigi y = f(x), siqilgan (k >1 uchun) k marta yoki cho‘zilgan (0 uchun) grafigidir.< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.