To'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik

Agar t - piyodaning harakat vaqti (soatlarda), s - bosib o'tgan yo'li (kilometrlarda) va u 4 km/soat tezlikda bir tekis harakatlansa, bu miqdorlar orasidagi bog'lanishni s = formula bilan ifodalash mumkin. 4t. Har bir t qiymati bitta s qiymatiga mos kelganligi sababli, funktsiya s = 4t formulasi yordamida aniqlanganligini aytishimiz mumkin. U to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi.

Ta'rif. To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik - y=kx formulasi yordamida aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya, bu erda k - nolga teng bo'lmagan haqiqiy son.

y = k x funktsiyaning nomi y = k x formulasida kattaliklarning qiymatlari bo'lishi mumkin bo'lgan x va y o'zgaruvchilari mavjudligi bilan bog'liq. Va agar ikkita miqdorning nisbati noldan farq qiladigan biron bir raqamga teng bo'lsa, ular deyiladi to'g'ridan-to'g'ri proportsional . Bizning holatda = k (k≠0). Bu raqam chaqiriladi mutanosiblik koeffitsienti.

y = k x funktsiyasi allaqachon ko'rib chiqilgan ko'plab real vaziyatlarning matematik modelidir boshlang'ich kurs matematika. Ulardan biri yuqorida tavsiflangan. Yana bir misol: agar bitta qop unda 2 kg bo'lsa va x shunday qoplar sotib olingan bo'lsa, unda sotib olingan unning butun massasi (y bilan belgilangan) y = 2x formulasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni. qoplar soni va sotib olingan unning butun massasi o'rtasidagi bog'liqlik koeffitsient k=2 bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Keling, maktab matematika kursida o'rganiladigan to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

1. y = k x funktsiyani aniqlash sohasi va uning qiymatlari diapazoni haqiqiy sonlar to'plamidir.

2. To‘g‘ri proporsionallik grafigi koordinatalar boshi orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir. Demak, toʻgʻri proporsionallik grafigini qurish uchun unga tegishli boʻlgan va koordinatalarning kelib chiqishiga toʻgʻri kelmaydigan faqat bitta nuqtani topib, soʻngra shu nuqta va koordinatalarning boshi orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish kifoya.

Masalan, y = 2x funksiya grafigini qurish uchun koordinatalari (1, 2) bo'lgan nuqtaga ega bo'lish, so'ngra u orqali to'g'ri chiziq va koordinatalarning boshini o'tkazish kifoya (7-rasm).

3. k > 0 uchun y = khx funksiya butun aniqlanish sohasi bo‘yicha ortadi; da k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Agar f funktsiyasi to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik bo'lsa va (x 1, y 1), (x 2, y 2) x va y o'zgaruvchilarning mos qiymatlari juftligi va x 2 ≠0 bo'lsa.

Haqiqatan ham, agar f funktsiya to'g'ridan-to'g'ri proporsionallik bo'lsa, u holda uni y = khx, keyin esa y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 formulasi bilan berish mumkin. Chunki x 2 ≠0 va k≠0 da, u holda y 2 ≠0 bo'ladi. Shunung uchun va bu degani.

Agar x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari musbat haqiqiy sonlar bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikning tasdiqlangan xususiyati quyidagicha ifodalanishi mumkin: x o'zgaruvchisi qiymatining bir necha marta ortishi (kamayishi) bilan y o'zgaruvchining mos keladigan qiymati bir xil miqdorda ortadi (kamayadi).

Bu xususiyat faqat to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikka xosdir va undan to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar ko'rib chiqiladigan so'zli masalalarni hal qilishda foydalanish mumkin.

Muammo 1. 8 soat ichida tokar 16 ta detal ishlab chiqardi. Tokar bir xil unumdorlikda ishlasa, 48 ta detal ishlab chiqarish uchun qancha soat kerak bo'ladi?

Yechim. Muammo miqdorlarni ko'rib chiqadi - tokarning ish vaqti, u tomonidan ishlab chiqarilgan qismlar soni va unumdorligi (ya'ni, tokar tomonidan 1 soat ichida qilingan qismlar soni) va oxirgi qiymat doimiy, qolgan ikkitasi esa oladi. turli ma'nolar. Bundan tashqari, qilingan qismlar soni va ish vaqti to'g'ridan-to'g'ri proportsional qiymatlar, chunki ularning nisbati nolga teng bo'lmagan ma'lum bir raqamga teng, ya'ni 1 soat ichida torner tomonidan qilingan qismlar soni qilingan qismlar y harfi bilan belgilanadi, ish vaqti x, unumdorligi esa k, keyin biz = k yoki y = khx, ya'ni olamiz. Muammoda keltirilgan vaziyatning matematik modeli to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikdir.

Muammoni ikkita arifmetik usulda hal qilish mumkin:

1-yo'l: 2-yo'l:

1) 16:8 = 2 (bolalar) 1) 48:16 = 3 (marta)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Masalani birinchi usulda yechishda avvalo proporsionallik koeffitsienti k topildi, u 2 ga teng, keyin esa y = 2x ekanligini bilib, y = 48 bo‘lganda x ning qiymatini topdik.

Muammoni ikkinchi usulda hal qilishda biz to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik xususiyatidan foydalandik: tokar tomonidan ishlab chiqarilgan qismlar soni qancha ko'p bo'lsa, ularni ishlab chiqarish vaqti bir xil miqdorda oshadi.

Endi teskari proportsionallik deb ataladigan funktsiyani ko'rib chiqishga o'tamiz.

Agar t - piyodaning harakat qilgan vaqti (soatlarda), v - uning tezligi (km/soatda) va u 12 km yurgan bo'lsa, u holda bu kattaliklar orasidagi bog'lanishni v∙t = 20 yoki v = formulasi bilan ifodalash mumkin.

Har bir qiymat t (t ≠ 0) yagona tezlik qiymati v mos kelganligi sababli, funktsiya v = formulasi yordamida aniqlanganligini aytishimiz mumkin. U teskari proporsionallik deyiladi va quyidagicha aniqlanadi.

Ta'rif. Teskari proportsionallik - y = formulasi yordamida aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya, bu erda k - nolga teng bo'lmagan haqiqiy son.

Bu funksiyaning nomi shundan kelib chiqqan y = kattaliklarning qiymatlari bo'lishi mumkin bo'lgan x va y o'zgaruvchilari mavjud. Va agar ikkita miqdorning ko'paytmasi noldan farq qiladigan biron bir raqamga teng bo'lsa, ular teskari proportsional deyiladi. Bizning holatimizda xy = k(k ≠0). Bu k soniga mutanosiblik koeffitsienti deyiladi.

Funktsiya y = boshlang'ich matematika kursida ko'rib chiqilgan ko'plab real vaziyatlarning matematik modelidir. Ulardan biri teskari proportsionallik ta'rifidan oldin tasvirlangan. Yana bir misol: agar siz 12 kg un sotib olgan bo'lsangiz va uni har biriga l: y kg bankalarga qo'ygan bo'lsangiz, u holda bu miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar quyidagicha ifodalanishi mumkin. x-y shaklida= 12, ya'ni. u koeffitsient k=12 bilan teskari proportsionaldir.

dan ma'lum bo'lgan teskari proporsionallikning ba'zi xususiyatlarini eslaylik maktab kursi matematika.

1.Funksiya ta'rifi domeni y = va uning qiymatlari diapazoni x noldan boshqa haqiqiy sonlar to'plamidir.

2. Teskari proporsionallik grafigi giperbola.

3. k > 0 uchun giperbolaning shoxlari 1 va 3 choraklarda joylashgan va funksiya y = x ni aniqlashning butun sohasi bo'yicha kamayib bormoqda (8-rasm).

Guruch. 8 9-rasm

K da< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x ni aniqlashning butun maydoni bo'ylab ortib bormoqda (9-rasm).

4. Agar f funksiya teskari proportsionallik bo'lsa va (x 1, y 1), (x 2, y 2) x va y o'zgaruvchilarning mos qiymatlari juftlari bo'lsa, u holda.

Haqiqatan ham, agar f funktsiya teskari proportsionallik bo'lsa, uni formula bilan berish mumkin y = ,undan keyin . Chunki x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, keyin

Agar x va y o'zgaruvchilarning qiymatlari musbat haqiqiy sonlar bo'lsa, u holda teskari proportsionallikning bu xususiyati quyidagicha ifodalanishi mumkin: x o'zgaruvchisi qiymatining bir necha marta oshishi (kamayishi) bilan o'zgaruvchining mos keladigan qiymati y bir xil miqdorda kamayadi (ortadi).

Bu xususiyat faqat teskari proportsionallikka xosdir va undan teskari proportsional miqdorlar ko'rib chiqiladigan so'zli masalalarni yechishda foydalanish mumkin.

Masala 2. 10 km/soat tezlikda harakatlanayotgan velosipedchi A dan B gacha bo‘lgan masofani 6 soatda bosib o‘tdi, agar velosipedchi 20 km/soat tezlikda ketsa, qaytish yo‘lida qancha vaqt ketadi?

Yechim. Muammo quyidagi miqdorlarni ko'rib chiqadi: velosipedchining tezligi, harakat vaqti va A dan B gacha bo'lgan masofa, oxirgi miqdor doimiy, qolgan ikkitasi esa turli qiymatlarni oladi. Bundan tashqari, harakat tezligi va vaqti teskari proportsional miqdorlardir, chunki ularning mahsuloti ma'lum bir raqamga, ya'ni bosib o'tgan masofaga teng. Velosipedchining harakat vaqti y harfi bilan, tezligi x bilan va AB masofasi k bilan belgilansa, u holda biz xy = k yoki y = ni olamiz, ya'ni. Masalada keltirilgan vaziyatning matematik modeli teskari proportsionallikdir.

Muammoni hal qilishning ikki yo'li mavjud:

1-yo'l: 2-yo'l:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (marta)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Masalani birinchi usulda yechishda avvalo proporsionallik koeffitsienti k topildi, u 60 ga teng, keyin esa y = ekanligini bilib, x = 20 bo‘lganda y qiymatini topdik.

Masalani ikkinchi usulda yechishda biz teskari proporsionallik xossasidan foydalandik: harakat tezligi necha marta ortadi, bir xil masofani bosib o'tish vaqti bir xil songa kamayadi.

E'tibor bering, hal qilishda aniq vazifalar teskari proportsional yoki to'g'ridan-to'g'ri proportsional miqdorlar bilan x va y ga ba'zi cheklovlar qo'yiladi, xususan, ular haqiqiy sonlarning butun to'plamida emas, balki uning kichik to'plamlarida ko'rib chiqilishi mumkin.

Muammo 3. Lena x qalam sotib oldi, Katya esa 2 barobar ko'p sotib oldi. Katya tomonidan sotib olingan qalamlar sonini y bilan belgilang, y ni x bilan ifodalang va x≤5 bo'lsa, belgilangan yozishmalar grafigini chizing. Bu yozishmalar funksiyami? Uning ta'rif sohasi va qiymatlar diapazoni qanday?

Yechim. Katya = 2 ta qalam sotib oldi. y=2x funksiyasining grafigini tuzishda shuni hisobga olish kerakki, x o‘zgaruvchisi qalamlar sonini va x≤5 ni bildiradi, ya’ni u faqat 0, 1, 2, 3, 4, 5. Bu funksiyaning ta'rif sohasi bo'ladi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari oralig'ini olish uchun har bir x qiymatini aniqlash oralig'idan 2 ga ko'paytirish kerak, ya'ni. bu to'plam bo'ladi (0, 2, 4, 6, 8, 10). Demak, y = 2x funksiyaning aniqlanish sohasi (0, 1, 2, 3, 4, 5) grafigi 10-rasmda ko‘rsatilgan nuqtalar to‘plami bo‘ladi. Bu nuqtalarning barchasi y = 2x to‘g‘ri chiziqqa tegishli. .

Misol

Proportsionallik omili

Proportsional miqdorlarning doimiy munosabati deyiladi proportsionallik omili. Proportsionallik koeffitsienti bir miqdorning qancha birligi boshqa birligiga to'g'ri kelishini ko'rsatadi.

To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik

To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik- funktsional bog'liqlik, bunda ma'lum miqdor boshqa miqdorga ularning nisbati doimiy bo'lib qoladigan tarzda bog'liq bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bu o'zgaruvchilar o'zgaradi mutanosib ravishda, teng ulushlarda, ya'ni argument har qanday yo'nalishda ikki marta o'zgarsa, u holda funktsiya ham bir xil yo'nalishda ikki marta o'zgaradi.

Matematik jihatdan to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik formula sifatida yoziladi:

f(x) = ax,a = const

Teskari proportsionallik

Teskari proportsionallik- bu funksional bog'liqlik bo'lib, unda mustaqil qiymatning (argumentning) ortishi bog'liq qiymatning (funktsiyaning) mutanosib pasayishiga olib keladi.

Matematik jihatdan teskari proportsionallik formula sifatida yoziladi:

Funktsiya xususiyatlari:

Manbalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Bugun biz qanday miqdorlar teskari proportsional deb ataladi, teskari proportsionallik grafigi qanday ko'rinishi va bularning barchasi siz uchun nafaqat matematika darslarida, balki maktabdan tashqarida ham qanday foydali bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Bunday turli xil nisbatlar

Proportsionallik bir-biriga o'zaro bog'liq bo'lgan ikkita miqdorni ayting.

Bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri va teskari bo'lishi mumkin. Binobarin, miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik bilan tavsiflanadi.

To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik- bu ikki miqdor o'rtasidagi shunday munosabat bo'lib, ulardan birining ko'payishi yoki kamayishi boshqasining ko'payishi yoki kamayishiga olib keladi. Bular. ularning munosabati o'zgarmaydi.

Misol uchun, imtihonlarni o'qish uchun qancha kuch sarflasangiz, baholaringiz shunchalik yuqori bo'ladi. Yoki piyoda o'zingiz bilan qancha ko'p narsalarni olib ketsangiz, ryukzangiz shunchalik og'irroq bo'ladi. Bular. Imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun sarflangan kuch miqdori olingan baholarga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Va xalta ichiga o'ralgan narsalar soni uning og'irligiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Teskari proportsionallik- Bu funktsional bog'liqlik, bunda mustaqil miqdorning bir necha marta kamayishi yoki ortishi (u argument deb ataladi) bog'liq miqdorning mutanosib (ya'ni bir xil miqdordagi) ko'payishi yoki kamayishiga olib keladi (u funktsiya deb ataladi).

Keling, tasvirlab beraylik oddiy misol. Bozorda olma sotib olmoqchisiz. Peshtaxtadagi olma va hamyoningizdagi pul miqdori teskari proportsionaldir. Bular. Qanchalik ko'p olma sotib olsangiz, shuncha kam pulingiz qoladi.

Funksiya va uning grafigi

Teskari proportsionallik funksiyasini quyidagicha tasvirlash mumkin y = k/x. Qaysi x≠ 0 va k≠ 0.

Ushbu funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Uning ta'rif sohasi bundan mustasno barcha haqiqiy sonlar to'plamidir x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazon barcha haqiqiy raqamlardan tashqari y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Maksimal yoki minimal qiymatlarga ega emas.
4. Bu g'alati va uning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
5. Davriy bo'lmagan.
6. Uning grafigi koordinata o'qlarini kesib o'tmaydi.
7. Nollari yo'q.
8. Agar k> 0 (ya'ni argument ortadi), funktsiya uning har bir intervalida proportsional ravishda kamayadi. Agar k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argument kuchaygan sari ( k> 0) funktsiyaning manfiy qiymatlari (-∞; 0) oraliqda, ijobiy qiymatlari esa (0; +∞) oralig'ida. Argument pasayganda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Teskari proporsionallik funksiyasining grafigiga giperbola deyiladi. Quyidagi kabi ko'rsatilgan:

Teskari proportsionallik masalalari

Buni aniqroq qilish uchun keling, bir nechta vazifalarni ko'rib chiqaylik. Ular juda murakkab emas va ularni hal qilish teskari proportsionallik nima ekanligini va bu bilim kundalik hayotingizda qanday foydali bo'lishi mumkinligini tasavvur qilishga yordam beradi.

Vazifa № 1. Avtomobil 60 km/soat tezlikda harakatlanmoqda. Uning manziliga yetib borishi uchun 6 soat vaqt ketdi. Agar u ikki barobar tezlikda harakat qilsa, bir xil masofani qancha vaqt bosib o'tadi?

Vaqt, masofa va tezlik o'rtasidagi munosabatni tavsiflovchi formulani yozishdan boshlashimiz mumkin: t = S/V. Qabul qiling, bu bizga teskari proportsionallik funktsiyasini eslatadi. Va bu shuni ko'rsatadiki, avtomobil yo'lda o'tkazadigan vaqt va uning harakat tezligi teskari proportsionaldir.

Buni tekshirish uchun V 2 ni topamiz, bu shartga ko'ra 2 marta yuqori: V 2 = 60 * 2 = 120 km/soat. Keyin S = V * t = 60 * 6 = 360 km formula yordamida masofani hisoblaymiz. Endi muammoning shartlariga ko'ra bizdan talab qilinadigan t 2 vaqtini aniqlash qiyin emas: t 2 = 360/120 = 3 soat.

Ko'rib turganingizdek, sayohat vaqti va tezligi haqiqatan ham teskari proportsionaldir: dastlabki tezlikdan 2 baravar yuqori tezlikda avtomobil yo'lda 2 barobar kamroq vaqt sarflaydi.

Bu masala yechimini proporsiya shaklida ham yozish mumkin. Shunday qilib, avval ushbu diagrammani yaratamiz:

↓ 60 km/soat – 6 soat

↓120 km/soat – x soat

Oklar teskari proportsional munosabatni bildiradi. Shuningdek, ular mutanosiblikni tuzishda yozuvning o'ng tomonini aylantirish kerakligini taklif qilishadi: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 soatni qayerdan olamiz.

Vazifa № 2. Ustaxonada 6 nafar ishchi ishlaydi, ular berilgan hajmdagi ishni 4 soatda bajara oladilar. Agar ishchilar soni ikki baravar kamaytirilsa, qolgan ishchilar bir xil hajmdagi ishlarni qancha vaqt ichida bajarishadi?

Masalaning shartlarini shaklga yozamiz vizual diagramma:

↓ 6 ishchi - 4 soat

↓ 3 ishchi - x soat

Buni nisbat sifatida yozamiz: 6/3 = x/4. Va biz x = 6 * 4/3 = 8 soatni olamiz, agar ishchilar 2 barobar kam bo'lsa, qolganlari barcha ishlarni bajarish uchun 2 barobar ko'p vaqt sarflaydi.

Vazifa № 3. Hovuzga olib boradigan ikkita quvur bor. Bir quvur orqali suv 2 l / s tezlikda oqadi va hovuzni 45 daqiqada to'ldiradi. Boshqa quvur orqali hovuz 75 daqiqada to'ldiriladi. Ushbu quvur orqali suv hovuzga qanday tezlikda kiradi?

Boshlash uchun, masalaning shartlariga ko'ra bizga berilgan barcha miqdorlarni bir xil o'lchov birliklariga qisqartiramiz. Buning uchun hovuzni litrda daqiqada to'ldirish tezligini ifodalaymiz: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Vaziyat hovuzning ikkinchi quvur orqali sekinroq to'ldirilishini nazarda tutganligi sababli, bu suv oqimi tezligi pastroq degan ma'noni anglatadi. Proportsionallik teskari. Noma’lum tezlikni x orqali ifodalaymiz va quyidagi diagramma tuzamiz:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Va keyin biz nisbatni hosil qilamiz: 120/x = 75/45, bu erdan x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

Muammoda hovuzni to'ldirish tezligi soniyada litr bilan ifodalanadi, keling, biz olgan javobni bir xil shaklga tushiramiz: 72/60 = 1,2 l / s;

Vazifa № 4. Kichik xususiy bosmaxona tashrif qog'ozlarini chop etadi. Bosmaxona xodimi soatiga 42 ta vizitka tezligida ishlaydi va butun kun davomida - 8 soat ishlaydi. Agar u tezroq ishlagan bo'lsa va bir soat ichida 48 ta tashrif qog'ozini chop etsa, u uyiga qancha erta bora oladi?

Biz tasdiqlangan yo'ldan boramiz va muammoning shartlariga muvofiq diagramma tuzamiz, kerakli qiymatni x sifatida belgilaymiz:

↓ 42 ta tashrif qog'ozi / soat - 8 soat

↓ 48 ta tashrif qogʻozi/soat – x h

Bizda teskari proportsional munosabatlar mavjud: bosmaxona xodimi soatiga necha marta ko'proq tashrif qog'ozlarini chop etsa, xuddi shu ishni bajarish uchun shuncha marta kamroq vaqt kerak bo'ladi. Buni bilib, keling, nisbatni yarataylik:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 soat.

Shunday qilib, ishni 7 soatda tugatgan bosmaxona xodimi bir soat oldin uyiga qaytishi mumkin edi.

Xulosa

Bizningcha, bu teskari proportsionallik muammolari haqiqatan ham oddiy. Umid qilamizki, endi siz ham ular haqida shunday fikrdasiz. Va asosiy narsa - bu teskari bilim proportsional bog'liqlik miqdorlar sizga bir necha marta foydali bo'lishi mumkin.

Faqat matematika darslarida va imtihonlarda emas. Ammo shunga qaramay, siz sayohatga chiqishga, do'konga borishga, ta'til paytida ozgina qo'shimcha pul ishlashga qaror qilganingizda va hokazo.

Atrofingizdagi teskari va to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatlarning qanday misollarini ko'rganingizni sharhlarda ayting. Shunday o'yin bo'lsin. Bu qanchalik hayajonli ekanligini ko'rasiz. Ushbu maqolani baham ko'rishni unutmang ijtimoiy tarmoqlarda do'stlaringiz va sinfdoshlaringiz ham o'ynashlari uchun.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.