To'liq kvadrat tenglamani to'liq bo'lmaganga aylantirish quyidagicha ko'rinadi (\(b=0\) holat uchun):

\(c=0\) yoki ikkala koeffitsient nolga teng bo'lgan holatlar uchun hamma narsa o'xshash.

E'tibor bering, \(a\) ning nolga tengligi haqida gap yo'q, u nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki bu holda u ga aylanadi:

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

Avvalo, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama hali ham a ekanligini tushunishingiz kerak va shuning uchun oddiy kvadrat tenglama bilan bir xil tarzda echilishi mumkin (orqali orqali). Buning uchun biz tenglamaning etishmayotgan komponentini nol koeffitsient bilan qo'shamiz.

Misol : \(3x^2-27=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim :

		Bizda \(b=0\) koeffitsientli to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama mavjud. Ya'ni, biz tenglamani yozishimiz mumkin quyidagi shakl:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Aslida, bu boshida bo'lgani kabi bir xil tenglama, ammo endi uni oddiy kvadrat sifatida echish mumkin. Avval biz koeffitsientlarni yozamiz.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Diskriminantni \(D=b^2-4ac\) formulasi yordamida hisoblaymiz.
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) va \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Javobni yozing

Javob : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Misol : \(-x^2+x=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim :

		Yana to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, lekin endi nolga teng koeffitsienti teng\(c\). Tenglamani to'liq deb yozamiz.

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lsa, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Keyin biz bu haqiqiy sonlar deb hisoblaymiz.
Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar siz qursangiz funksiya grafigi
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
da, grafik x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi.
Qachon bo'lsa, grafik bir nuqtada x o'qiga tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafiklarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Biz o'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bu tenglama ekanligini ko'rsatadi

da amalga oshirildi
Va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

Yechim

.
Bizning tenglamamiz (1.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bundan kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratishni olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
Va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

Javob

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Yechim

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta dastlabki tenglamaning ildizi (2.1). Chunki bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratiladi:
,
unda bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.

Javob

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Yechim

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qi) kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Javob

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Kvadrat tenglamalar. Diskriminant. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Muddatida kvadrat tenglama kalit so'z "kvadrat". Bu tenglamada ekanligini anglatadi Majburiy x kvadrat bo'lishi kerak. Bunga qo'shimcha ravishda, tenglama faqat X (birinchi darajaga) va faqat raqamni o'z ichiga olishi mumkin (yoki bo'lmasligi mumkin!) (bepul a'zo). Va ikki darajagacha X bo'lmasligi kerak.

Matematik nuqtai nazardan, kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:

Bu yerga a, b va c- ba'zi raqamlar. b va c- mutlaqo har qanday, lekin A- noldan boshqa narsa. Masalan:

Bu yerga A =1; b = 3; c = -4

Bu yerga A =2; b = -0,5; c = 2,2

Bu yerga A =-3; b = 6; c = -18

Xo'sh, tushunasiz ...

Ushbu kvadrat tenglamalarda chap tomonda mavjud to'liq to'plam a'zolari. X kvadrat koeffitsient bilan A, x koeffitsienti bilan birinchi darajaga b Va bepul a'zo s.

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'la.

Agar b= 0, biz nimani olamiz? Bizda ... bor X birinchi darajaga qadar yo'qoladi. Bu nolga ko'paytirilganda sodir bo'ladi.) Bu chiqadi, masalan:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsient bo'lsa b Va c nolga teng bo'lsa, u yanada oddiyroq:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Bu juda mantiqiy.) E'tibor bering, x kvadrat barcha tenglamalarda mavjud.

Aytgancha, nima uchun A nolga teng bo'lishi mumkin emasmi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz A nol.) Bizning X kvadratimiz yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va yechim butunlay boshqacha ...

Bu barcha asosiy turlar kvadrat tenglamalar. To'liq va to'liqsiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish.

Kvadrat tenglamalarni yechish oson. Formulalar va aniq, oddiy qoidalarga ko'ra. Birinchi bosqichda bu kerak berilgan tenglama olib kelishi standart ko'rinish, ya'ni. shaklga:

Agar tenglama sizga ushbu shaklda allaqachon berilgan bo'lsa, birinchi bosqichni bajarishingiz shart emas.) Asosiysi, barcha koeffitsientlarni to'g'ri aniqlash, A, b Va c.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi diskriminant. Ammo u haqida quyida batafsilroq. Ko'rib turganingizdek, X ni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va c. Bular. kvadrat tenglamadan koeffitsientlar. Faqat qiymatlarni ehtiyotkorlik bilan almashtiring a, b va c Biz ushbu formula bo'yicha hisoblaymiz. Keling, almashtiramiz o'z belgilaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

A =1; b = 3; c= -4. Buni yozamiz:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima, siz xato qilish mumkin emas deb o'ylaysizmi? Xo'sh, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar belgilar qiymatlari bilan chalkashlikdir a, b va c. To'g'rirog'i, ularning belgilari bilan emas (qaerda chalkashib ketish kerak?), balki ildizlarni hisoblash formulasiga salbiy qiymatlarni almashtirish bilan. Bu erda formulani aniq raqamlar bilan batafsil yozib olish yordam beradi. Hisoblashda muammolar mavjud bo'lsa, buni qiling!

Aytaylik, biz quyidagi misolni hal qilishimiz kerak:

Bu yerga a = -6; b = -5; c = -1

Aytaylik, siz birinchi marta kamdan-kam hollarda javob olishingizni bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Qo'shimcha qatorni yozish uchun taxminan 30 soniya kerak bo'ladi va xatolar soni keskin kamayadi. Shunday qilib, biz barcha qavslar va belgilar bilan batafsil yozamiz:

Bunchalik ehtiyotkorlik bilan yozish nihoyatda qiyin ko'rinadi. Ammo bu faqat shunday ko'rinadi. Sinab ko'ring. Xo'sh, yoki tanlang. Qaysi biri yaxshiroq, tez yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni xursand qilaman. Biroz vaqt o'tgach, hamma narsani juda ehtiyotkorlik bilan yozishga hojat qolmaydi. Bu o'z-o'zidan ishlaydi. Ayniqsa, agar siz foydalansangiz amaliy texnikalar, ular quyida tavsiflanadi. Minuslar to'plami bo'lgan bu yomon misolni osongina va xatosiz hal qilish mumkin!

Ammo, ko'pincha, kvadrat tenglamalar biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, bu kabi:

Tanidingmi?) Ha! Bu to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

Ularni umumiy formula yordamida ham hal qilish mumkin. Bu erda ular nimaga teng ekanligini to'g'ri tushunishingiz kerak. a, b va c.

Siz buni tushundingizmi? Birinchi misolda a = 1; b = -4; A c? U erda umuman yo'q! Xo'sh, ha, bu to'g'ri. Matematikada bu shuni anglatadi c = 0 ! Ana xolos. Formulaning o'rniga nolni qo'ying c, va biz muvaffaqiyatga erishamiz. Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday. Faqat bizda bu erda nol yo'q Bilan, A b !

Lekin toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni ancha sodda yechish mumkin. Hech qanday formulalarsiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqaylik. Chap tomonda nima qila olasiz? Qavsdan X ni olib tashlashingiz mumkin! Keling, olib chiqaylik.

Va bundan nima? Va faktorlarning birortasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi! Menga ishonmaysizmi? Xo'sh, unda nolga teng bo'lmagan ikkita raqamni toping, ular ko'paytirilganda nolga teng bo'ladi!
Ishlamaydi? Bo'ldi shu...
Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Hammasi. Bular tenglamamizning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos keladi. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirganda, biz to'g'ri 0 = 0 identifikatsiyasini olamiz. Ko'rib turganingizdek, yechim umumiy formuladan foydalanishga qaraganda ancha sodda. Aytgancha, qaysi X birinchi va qaysi ikkinchi bo'lishini ta'kidlayman - mutlaqo befarq. Tartibda yozish qulay, x 1- nima kichikroq va x 2- bu kattaroq.

Ikkinchi tenglamani ham oddiygina yechish mumkin. 9 ni o'ng tomonga siljiting. Biz olamiz:

Faqat 9 dan ildizni ajratib olish qoladi va bu ham. Bu shunday bo'ladi:

Bundan tashqari, ikkita ildiz . x 1 = -3, x 2 = 3.

Barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar shunday yechiladi. Qavslar ichidan X ni qo'yish yoki shunchaki raqamni o'ngga siljitish va keyin ildizni chiqarish orqali.
Ushbu texnikani chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, birinchi holatda siz X ning ildizini chiqarib olishingiz kerak bo'ladi, bu qandaydir tushunarsiz, ikkinchi holatda esa qavslardan olib tashlash uchun hech narsa yo'q ...

Diskriminant. Diskriminant formulasi.

Sehrli so'z diskriminant ! Bu so'zni kamdan-kam o'rta maktab o'quvchisi eshitmagan! "Biz diskriminant orqali hal qilamiz" iborasi ishonch va ishonchni ilhomlantiradi. Chunki diskriminantdan hiyla-nayrang kutishning hojati yo'q! Foydalanish oson va muammosiz.) Men sizga eng ko'p narsani eslatib o'taman umumiy formula yechimlar uchun har qanday kvadrat tenglamalar:

Ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant deb ataladi. Odatda diskriminant harf bilan belgilanadi D. Diskriminant formulasi:

D = b 2 - 4ac

Va bu ifodaning nimasi diqqatga sazovor? Nima uchun u alohida nomga loyiq edi? Nimada diskriminantning ma'nosi? Hammasidan keyin; axiyri -b, yoki 2a bu formulada ular maxsus hech narsa demaydilar ... Harflar va harflar.

Gap shundaki. Kvadrat tenglamani ushbu formula yordamida yechishda mumkin faqat uchta holat.

1. Diskriminant musbat. Bu shuni anglatadiki, ildiz undan olinishi mumkin. Ildiz yaxshi yoki yomon olinadimi - bu boshqa savol. Muhimi, printsipial jihatdan olingan narsa. Keyin kvadrat tenglamangiz ikkita ildizga ega. Ikki xil yechim.

2. Diskriminant nolga teng. Shunda sizda bitta yechim bo'ladi. Chunki numeratorga nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi. To'g'ri aytganda, bu bitta ildiz emas, balki ikkita bir xil. Lekin, ichida soddalashtirilgan versiya, haqida gapirish odat tusiga kirgan bitta yechim.

3. Diskriminant manfiy. Kimdan salbiy raqam kvadrat ildiz olinmaydi. Ha mayli. Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Rostini aytsam, qachon oddiy yechim kvadrat tenglamalar, diskriminant tushunchasi ayniqsa talab qilinmaydi. Biz koeffitsientlarning qiymatlarini formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz. U erda hamma narsa o'z-o'zidan sodir bo'ladi, ikkita ildiz, bitta va hech biri. Biroq, ko'proq hal qilishda qiyin vazifalar, bilimsiz diskriminantning ma'nosi va formulasi yetarli emas. Ayniqsa, parametrli tenglamalarda. Bunday tenglamalar aerobatika Davlat imtihonlari va yagona davlat imtihonlari uchun!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarni yechish usullari siz eslagan diskriminant orqali. Yoki siz o'rgandingiz, bu ham yomon emas.) Siz qanday qilib to'g'ri aniqlashni bilasiz a, b va c. Qanday qilib bilasizmi? diqqat bilan ularni ildiz formulasiga almashtiring va diqqat bilan natijani hisoblang. Bu erda kalit so'z ekanligini tushunasiz diqqat bilan?

Endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. E'tiborsizlik tufayli bo'lgan o'shalar... Buning uchun keyinchalik og'riqli va haqoratli bo'ladi...

Birinchi uchrashuv . Kvadrat tenglamani echishdan oldin dangasa bo'lmang va uni standart shaklga keltiring. Bu nimani anglatadi?
Aytaylik, barcha o'zgarishlardan keyin siz quyidagi tenglamani olasiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Siz, albatta, ehtimollarni aralashtirib yuborasiz a, b va c. Misolni to'g'ri tuzing. Birinchidan, X kvadrat, keyin kvadratsiz, keyin erkin atama. Mana bunday:

Va yana, shoshilmang! X kvadrati oldidagi minus sizni chindan ham xafa qilishi mumkin. Unutish oson... Minusdan qutuling. Qanaqasiga? Ha, avvalgi mavzuda o'rgatilgandek! Biz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishimiz kerak. Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlar uchun formulani xavfsiz yozishingiz, diskriminantni hisoblashingiz va misolni hal qilishni tugatishingiz mumkin. O'zingiz uchun qaror qiling. Endi sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlarni tekshiring! Vyeta teoremasiga ko'ra. Qo'rqmang, men hammasini tushuntiraman! Tekshirish oxirgi narsa tenglama. Bular. biz ildiz formulasini yozganimiz. Agar (bu misolda bo'lgani kabi) koeffitsient a = 1, ildizlarni tekshirish oson. Ularni ko'paytirish kifoya. Natijada bepul a'zo bo'lishi kerak, ya'ni. bizning holatlarimizda -2. E'tibor bering, 2 emas, balki -2! Bepul a'zo sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, demak, ular allaqachon biron bir joyda buzilib ketgan. Xatoni qidiring.

Agar u ishlayotgan bo'lsa, siz ildizlarni qo'shishingiz kerak. Oxirgi va yakuniy tekshirish. Koeffitsient bo'lishi kerak b Bilan qarama-qarshi tanish. Bizning holatda -1+2 = +1. Koeffitsient b X dan oldin bo'lgan , -1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu koeffitsientli x kvadrati sof bo'lgan misollar uchun juda oddiy a = 1. Lekin hech bo'lmaganda bunday tenglamalarni tekshiring! Hammasi kamroq xatolar bo'ladi.

Uchinchi qabul . Agar sizning tenglamangiz kasr koeffitsientlariga ega bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Tenglamani ga ko'paytiring umumiy maxraj, "Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Bir xil o'zgartirishlar" darsida tasvirlanganidek. Kasrlar bilan ishlaganda, ba'zi sabablarga ko'ra xatolar paydo bo'ladi ...

Aytgancha, men yomon misolni bir nechta minuslar bilan soddalashtirishga va'da berdim. Iltimos! Mana u.

Minuslar bilan adashmaslik uchun tenglamani -1 ga ko'paytiramiz. Biz olamiz:

Ana xolos! Yechish - bu zavq!

Shunday qilib, keling, mavzuni umumlashtiramiz.

Amaliy maslahat:

1. Yechishdan oldin kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz va uni tuzamiz To'g'ri.

2. Agar X kvadrati oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni butun tenglamani -1 ga ko'paytirish orqali yo'q qilamiz.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, biz butun tenglamani mos keladigan koeffitsientga ko'paytirish orqali kasrlarni yo'q qilamiz.

4. Agar x kvadrati sof bo'lsa, uning koeffitsienti birga teng bo'lsa, yechimni Vyeta teoremasi yordamida osongina tekshirish mumkin. Qiling!

Endi biz qaror qabul qilishimiz mumkin.)

Tenglamalarni yeching:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Javoblar (tartibsiz):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - har qanday raqam

x 1 = -3
x 2 = 3

yechimlar yo'q

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Hammasi mos keladimi? Ajoyib! Kvadrat tenglamalar sizning narsangiz emas Bosh og'rig'i. Birinchi uchtasi ishladi, ammo qolganlari ishlamadi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarda emas. Muammo tenglamalarni bir xil o'zgartirishda. Havolani ko'rib chiqing, bu foydali.

To'liq ishlamayaptimi? Yoki umuman ishlamayaptimi? Keyin 555-bo'lim sizga yordam beradi. Ko'rsatilgan asosiy yechimdagi xatolar. Albatta, biz turli xil tenglamalarni echishda bir xil o'zgarishlardan foydalanish haqida ham gapiramiz. Ko'p yordam beradi!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Video darslik 2: Kvadrat tenglamalarni yechish

Leksiya: Kvadrat tenglamalar

Tenglama

Tenglama- bu iboralarida o'zgaruvchan bo'lgan tenglikning bir turi.

Tenglamani yeching- o'zgaruvchi o'rniga uni to'g'ri tenglikka keltiradigan sonni topishni bildiradi.

Tenglama bitta, bir nechta yechimga ega bo'lishi yoki umuman bo'lmasligi mumkin.

Har qanday tenglamani echish uchun uni iloji boricha quyidagi shaklga soddalashtirish kerak:

Chiziqli: a*x = b;

Kvadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Ya'ni, echishdan oldin har qanday tenglamalar standart shaklga o'tkazilishi kerak.

Har qanday tenglamani ikki usulda yechish mumkin: analitik va grafik.

Grafikda tenglamaning yechimi grafikning OX o'qini kesishgan nuqtalari deb hisoblanadi.

Kvadrat tenglamalar

Tenglamani kvadratik deb atash mumkin, agar soddalashtirilganda u quyidagi shaklni oladi:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Qayerda a, b, c tenglamaning noldan farq qiluvchi koeffitsientlari. A "X"- tenglamaning ildizi. Kvadrat tenglama ikkita ildizga ega yoki umuman yechimga ega bo'lmasligi mumkin, deb ishoniladi. Olingan ildizlar bir xil bo'lishi mumkin.

"A"- kvadrat ildiz oldida turgan koeffitsient.

"b"- birinchi darajali noma'lum oldida turadi.

"bilan" tenglamaning erkin hadi hisoblanadi.

Agar, masalan, bizda quyidagi shakldagi tenglama mavjud bo'lsa:

2x 2 -5x+3=0

Unda “2” tenglamaning yetakchi hadi koeffitsienti, “-5” ikkinchi koeffitsient, “3” esa erkin atama hisoblanadi.

Kvadrat tenglamani yechish

Kvadrat tenglamani yechishning juda xilma-xil usullari mavjud. Biroq, ichida maktab kursi Matematikada yechim Viet teoremasi yordamida, shuningdek diskriminant yordamida o'rganiladi.

Diskriminant yechim:

bilan hal qilganda bu usul quyidagi formula yordamida diskriminantni hisoblash kerak:

Agar hisob-kitoblar davomida siz diskriminant noldan kichik ekanligini aniqlasangiz, bu tenglamaning echimi yo'qligini anglatadi.

Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, tenglama ikkita bir xil echimga ega bo'ladi. Bunday holda, polinomni qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida yig'indi yoki ayirma kvadratiga yig'ish mumkin. Keyin buni shunday hal qiling chiziqli tenglama. Yoki formuladan foydalaning:

Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, siz quyidagi usuldan foydalanishingiz kerak:

Vyeta teoremasi

Agar tenglama berilgan bo'lsa, ya'ni etakchi atamaning koeffitsienti birga teng bo'lsa, unda siz foydalanishingiz mumkin Vyeta teoremasi.

Shunday qilib, tenglamani faraz qilaylik:

Tenglamaning ildizlari quyidagicha topiladi:

Tugallanmagan kvadrat tenglama

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olishning bir nechta variantlari mavjud, ularning shakli koeffitsientlar mavjudligiga bog'liq.

1. Ikkinchi va uchinchi koeffitsientlar nolga teng bo'lsa (b = 0, c = 0), u holda kvadrat tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglama yagona yechimga ega bo'ladi. Tenglik tenglamaning yechimi nolga teng bo'lgandagina to'g'ri bo'ladi.

IN zamonaviy jamiyat Kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan operatsiyalarni bajarish qobiliyati faoliyatning ko'plab sohalarida foydali bo'lishi mumkin va amaliyotda ilmiy va amaliy sohalarda keng qo'llaniladi. texnik ishlanmalar. Dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalarning dizayni bunga dalil bo'ladi. Bunday hisob-kitoblardan foydalanib, eng ko'p harakat traektoriyalari turli jismlar, shu jumladan kosmik ob'ektlar. Kvadrat tenglamalarni yechish misollari nafaqat iqtisodiy prognozlashda, binolarni loyihalash va qurishda, balki eng oddiy kundalik sharoitlarda ham qo'llaniladi. Ular piyoda sayohatlarda, sport tadbirlarida, do'konlarda xarid qilishda va boshqa juda keng tarqalgan holatlarda kerak bo'lishi mumkin.

Keling, ifodani uning tarkibiy omillariga ajratamiz

Tenglamaning darajasi ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining darajasining maksimal qiymati bilan aniqlanadi. Agar u 2 ga teng bo'lsa, unda bunday tenglama kvadrat deb ataladi.

Agar biz formulalar tilida gapiradigan bo'lsak, unda ko'rsatilgan iboralar, ular qanday ko'rinishidan qat'i nazar, har doim shaklga keltirilishi mumkin. chap tomoni ifoda uchta atamadan iborat. Ular orasida: ax 2 (ya'ni, koeffitsienti bilan kvadrat bo'lgan o'zgaruvchi), bx (koeffitsienti bilan kvadratsiz noma'lum) va c (erkin komponent, ya'ni oddiy raqam). Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Agar bunday ko'phadda o'zining tashkil etuvchi hadlaridan biri bo'lmasa, ax 2 dan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi. Bunday muammolarni hal qilish uchun misollar, o'zgaruvchilarning qiymatlarini topish oson, birinchi navbatda ko'rib chiqilishi kerak.

Agar ifoda o'ng tomonida ikkita atama, aniqrog'i ax 2 va bx bo'lsa, x ni topishning eng oson yo'li o'zgaruvchini qavs ichidan chiqarishdir. Endi bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: x(ax+b). Keyinchalik, x=0 yoki muammo quyidagi ifodadan o'zgaruvchini topishga to'g'ri kelishi aniq bo'ladi: ax+b=0. Bu ko'paytirishning xususiyatlaridan biri bilan belgilanadi. Qoida shuni ko'rsatadiki, ikkita omilning ko'paytmasi faqat bittasi nolga teng bo'lsa, 0 ga olib keladi.

Misol

x=0 yoki 8x - 3 = 0

Natijada, biz tenglamaning ikkita ildizini olamiz: 0 va 0,375.

Bunday turdagi tenglamalar koordinatalarning kelib chiqishi sifatida qabul qilingan ma'lum bir nuqtadan harakatlana boshlagan tortishish kuchi ta'siri ostida jismlarning harakatini tasvirlashi mumkin. Bu erda matematik yozuv quyidagi ko'rinishni oladi: y = v 0 t + gt 2 /2. O'rnini bosish kerakli qiymatlar O'ng tomonni 0 ga tenglashtirib, mumkin bo'lgan noma'lumlarni topib, tananing ko'tarilishidan to tushishigacha o'tgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'plab miqdorlarni bilib olishingiz mumkin. Ammo bu haqda keyinroq gaplashamiz.

Ifoda faktoringi

Yuqorida tavsiflangan qoida ushbu muammolarni ko'proq hal qilish imkonini beradi qiyin holatlar. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqamiz.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu kvadratik trinomial tugallangan. Birinchidan, keling, ifodani o'zgartiramiz va uni omilga aylantiramiz. Ulardan ikkitasi bor: (x-8) va (x-25) = 0. Natijada, bizda ikkita ildiz 8 va 25 bor.

9-sinfda kvadrat tenglamalarni yechish misollari bu usul yordamida nafaqat ikkinchi, balki uchinchi va to‘rtinchi tartibli ifodalarda ham o‘zgaruvchini topish imkonini beradi.

Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. O'zgaruvchiga ega bo'lgan omillarga o'ng tomonni koeffitsientlarga ajratishda ularning uchtasi, ya'ni (x+1), (x-3) va (x+) bo'ladi. 3).

Natijada, bu tenglamaning uchta ildizi borligi ayon bo'ladi: -3; -1; 3.

Kvadrat ildiz

Toʻliq boʻlmagan ikkinchi tartibli tenglamaning yana bir holati bu harflar tilida shunday ifodalangan ifodaki oʻng tomoni ax 2 va c komponentalaridan tuzilgan. Bu erda o'zgaruvchining qiymatini olish uchun erkin atama o'ng tomonga o'tkaziladi va undan keyin tenglikning har ikki tomonidan chiqariladi. Kvadrat ildiz. Shuni ta'kidlash kerakki, in Ushbu holatda Odatda tenglamaning ikkita ildizi mavjud. Istisno faqat o'zgaruvchi nolga teng bo'lgan atamani o'z ichiga olmaydigan tengliklar, shuningdek, o'ng tomoni manfiy bo'lgan iboralarning variantlari bo'lishi mumkin. Ikkinchi holda, hech qanday yechim yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildizlar bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari misollarini ko'rib chiqish kerak.

Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 raqamlari bo'ladi.

Er maydonini hisoblash

Bunday hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj qadimgi davrlarda paydo bo'lgan, chunki o'sha uzoq davrlarda matematikaning rivojlanishi asosan er uchastkalarining maydonlari va perimetrlarini eng aniqlik bilan aniqlash zarurati bilan belgilanadi.

Bunday turdagi masalalar asosida kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ham ko'rib chiqishimiz kerak.

Demak, uzunligi kengligidan 16 metr katta bo‘lgan to‘rtburchaklar shaklidagi yer uchastkasi bor deylik. Agar uning maydoni 612 m2 ekanligini bilsangiz, saytning uzunligi, kengligi va perimetrini topishingiz kerak.

Boshlash uchun avvalo kerakli tenglamani tuzamiz. Maydonning kengligini x bilan belgilaymiz, u holda uning uzunligi (x+16) bo'ladi. Yozilganlardan kelib chiqadiki, maydon x(x+16) ifoda bilan aniqlanadi, bu bizning masalamiz shartlariga ko'ra 612. Bu x(x+16) = 612 degan ma'noni anglatadi.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish va bu ifoda aynan shunday, xuddi shunday qilib bo'lmaydi. Nega? Chap tomonda hali ham ikkita omil mavjud bo'lsa-da, ularning mahsuloti umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda turli usullar qo'llaniladi.

Diskriminant

Avvalo, kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz, keyin tashqi ko'rinish bu ifodaning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu biz ilgari belgilangan standartga mos keladigan ko'rinishdagi ifodani olganimizni bildiradi, bu erda a=1, b=16, c=-612.

Bu diskriminant yordamida kvadrat tenglamalarni echishga misol bo'lishi mumkin. Bu yerga zarur hisob-kitoblar sxema bo'yicha ishlab chiqariladi: D = b 2 - 4ac. Bu yordamchi miqdor nafaqat ikkinchi tartibli tenglamada kerakli miqdorlarni topish imkonini beradi, balki miqdorni ham aniqlaydi. mumkin bo'lgan variantlar. Agar D>0 bo'lsa, ulardan ikkitasi bor; D=0 uchun bitta ildiz mavjud. D holatda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Ildizlar va ularning formulasi haqida

Bizning holatimizda diskriminant teng: 256 - 4(-612) = 2704. Bu bizning muammomizning javobi borligini ko'rsatadi. Agar siz k ni bilsangiz, kvadrat tenglamalarni yechish quyidagi formula yordamida davom ettirilishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.

Bu shuni anglatadiki, taqdim etilgan holatda: x 1 =18, x 2 =-34. Ushbu dilemmadagi ikkinchi variant yechim bo'lishi mumkin emas, chunki er uchastkasining o'lchamlarini manfiy miqdorlarda o'lchash mumkin emas, ya'ni x (ya'ni uchastkaning kengligi) 18 m. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18 +16=34, perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Misollar va vazifalar

Biz kvadrat tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz. Ulardan bir nechtasiga misollar va batafsil echimlar quyida keltirilgan.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Keling, hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, transformatsiya qilamiz, ya'ni odatda standart deb ataladigan tenglama turini olamiz va uni nolga tenglashtiramiz.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Shunga o'xshashlarni qo'shib, biz diskriminantni aniqlaymiz: D = 49 - 48 = 1. Bu bizning tenglamamiz ikkita ildizga ega bo'lishini anglatadi. Keling, ularni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblaymiz, ya'ni ularning birinchisi 4/3 ga, ikkinchisi esa 1 ga teng bo'ladi.

2) Endi boshqa turdagi sirlarni hal qilaylik.

Keling, bu erda x 2 - 4x + 5 = 1 ildizlari bor yoki yo'qligini bilib olaylik? To'liq javob olish uchun polinomni mos keladigan odatiy shaklga keltiramiz va diskriminantni hisoblaymiz. Yuqoridagi misolda kvadrat tenglamani yechish shart emas, chunki bu umuman masalaning mohiyati emas. Bunday holda, D = 16 - 20 = -4, ya'ni haqiqatan ham ildiz yo'q.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamalarni yuqoridagi formulalar va diskriminant yordamida yechish qulay, bunda ikkinchisining qiymatidan kvadrat ildiz olinadi. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holda o'zgaruvchilar qiymatlarini olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechish. U 16-asrda Frantsiyada yashagan va o'zining matematik iste'dodi va suddagi aloqalari tufayli yorqin martaba qilgani sharafiga nomlangan. Uning portretini maqolada ko'rish mumkin.

Mashhur frantsuz e'tibor bergan naqsh quyidagicha edi. U tenglamaning ildizlari son jihatdan -p=b/a ga qo‘shilishini va ularning ko‘paytmasi q=c/a ga mos kelishini isbotladi.

Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqaylik.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Oddiylik uchun ifodani o'zgartiramiz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Keling, Viet teoremasidan foydalanamiz, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning yig'indisi -7 va ularning mahsuloti -18. Bu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2 raqamlari ekanligini bilib olamiz. Tekshiruvdan so'ng, biz ushbu o'zgaruvchan qiymatlar haqiqatan ham ifodaga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Parabola grafigi va tenglamasi

Kvadrat funksiya va kvadrat tenglama tushunchalari bir-biri bilan chambarchas bog‘liq. Bunga misollar avvalroq berilgan. Keling, ba'zi matematik jumboqlarni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama vizual tarzda ifodalanishi mumkin. Grafik sifatida chizilgan bunday munosabat parabola deb ataladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda keltirilgan.

Har qanday parabolaning cho'qqisi, ya'ni shoxlari chiqadigan nuqtasi bor. Agar a>0 bo'lsa, ular cheksizlikka yuqori bo'ladi va qachon a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funksiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan kvadratik tenglamalarni echishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb ataladi. X o'zgaruvchining qiymati esa grafik chizig'i 0x bilan kesishgan nuqtalardagi abscissa koordinatasidir. Tepaning koordinatalarini hozirgina berilgan x 0 = -b/2a formulasi yordamida topish mumkin. Va natijada olingan qiymatni funktsiyaning dastlabki tenglamasiga almashtirib, siz y 0 ni, ya'ni ordinata o'qiga tegishli bo'lgan parabola tepasining ikkinchi koordinatasini bilib olishingiz mumkin.

Parabola shoxlarining abscissa o'qi bilan kesishishi

Kvadrat tenglamalarni yechishning ko'plab misollari mavjud, ammo umumiy qonuniyatlar ham mavjud. Keling, ularga qaraylik. A>0 uchun grafikning 0x o'qi bilan kesishishi faqat 0 manfiy qiymatlarni qabul qilsagina mumkinligi aniq. Va a uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aks holda D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolaning grafigidan ildizlarini ham aniqlash mumkin. Buning aksi ham haqiqatdir. Ya'ni, kvadratik funktsiyaning vizual ko'rinishini olish oson bo'lmasa, siz ifodaning o'ng tomonini 0 ga tenglashtirishingiz va hosil bo'lgan tenglamani echishingiz mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishish nuqtalarini bilib, grafikni qurish osonroq.

Tarixdan

Kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalardan foydalanib, qadimgi kunlarda ular nafaqat matematik hisob-kitoblarni amalga oshirdilar va geometrik shakllarning maydonlarini aniqladilar. Qadimgi odamlar fizika va astronomiya sohalarida buyuk kashfiyotlar, shuningdek, astrolojik prognozlar qilish uchun bunday hisob-kitoblarga muhtoj edilar.

Zamonaviy olimlarning ta'kidlashicha, Bobil aholisi birinchilardan bo'lib kvadrat tenglamalarni yechgan. Bu bizning eramizdan to'rt asr oldin sodir bo'lgan. Albatta, ularning hisob-kitoblari hozirda qabul qilinganlardan tubdan farq qildi va ancha ibtidoiy bo'lib chiqdi. Masalan, Mesopotamiya matematiklari manfiy sonlarning mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emas edilar. Ular har qanday zamonaviy maktab o'quvchisi biladigan boshqa nozikliklar bilan ham tanish emas edi.

Ehtimol, Bobil olimlaridan ham oldinroq, hindistonlik donishmand Baudhayama kvadrat tenglamalarni echishni boshlagan. Bu Masih davridan taxminan sakkiz asr oldin sodir bo'lgan. To'g'ri, ikkinchi darajali tenglamalar, u bergan yechish usullari eng sodda edi. Undan tashqari, qadimgi davrlarda xitoylik matematiklarni ham shu kabi savollar qiziqtirgan. Evropada kvadrat tenglamalar faqat 13-asr boshlarida yechila boshlandi, ammo keyinchalik ular Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab buyuk olimlar tomonidan o'z ishlarida qo'llanildi.