Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)

Raqamlar ketma-ketligi

Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisigacha ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.

Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning ayirmasi deb ataladi va belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.

Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiyalar ortib yoki kamayishi mumkin.

Ortib bormoqda- atamalarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:

Keling, ah, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:

• progressiyaning oldingi muddati:
• progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va keyingi qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan o'zi uchun osonlikcha aniqlangan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshida, boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan band bo'lgan o'qituvchi sinfda quyidagi vazifani so'radi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natijaga erishdilar ...

Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan tashkil topgan arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, ammo agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, Qadimgi Misr va o‘sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi – piramida qurilishini tasavvur qiling... Rasmda uning bir tomoni ko‘rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

1. Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiya farqi.
   Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Keling, mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.

3. Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
   Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
2. Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki usulda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir satrda biz qo'shamiz, ba'zi raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Endi ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz uchun qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:

(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).

Shunday qilib, formula:

U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nimaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-soni formulasi:

Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyada nechta atama bor?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan: . Toping: .
   Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.

Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uch ga farq qiladi (oldingi elementdan uchtasini qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va hokazo.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiya masalalarini yechish

Aslida, yuqorida keltirilgan ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan belgilanadi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan aniqlanadi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiya bo'yicha ko'plab muammolarni asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi xuddi shu sonni oldingisiga qo'shish orqali olinadi ( progressiyaning farqi).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. To'rt \(385\) marta qo'shishimiz kerakmi? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblashdan charchadingiz...

Shuning uchun, bunday hollarda ular narsalarni "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va \(n\) birinchi hadlar yig‘indisi formulasi.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi hadi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) – progressiyaning \(n\) raqami bilan atamasi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilgan holda hatto uch yuzinchi yoki millioninchi elementni ham tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - \(n\) birinchi elementlarning kerakli yig'indisi;
\(a_1\) - birinchi yig'indisi;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - jami elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan mavzuni tugatamiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) elementgacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Bizning darsimizning shiori rus matematigi V.P.ning so'zlari bo'ladi. Ermakova: "Matematikada formulalarni emas, balki fikrlash jarayonlarini eslash kerak."

Darslar davomida

Muammoni shakllantirish

Doskada Gaussning portreti bor. Oldindan xabar tayyorlash vazifasi berilgan o‘qituvchi yoki o‘quvchining aytishicha, Gauss maktabda bo‘lganida o‘qituvchi o‘quvchilardan 1 dan 100 gacha barcha natural sonlarni qo‘shishni so‘ragan.Kichkina Gauss bu masalani bir daqiqada yechgan.

Savol . Gauss javobni qanday oldi?

Yechimlarni topish

Talabalar o'z taxminlarini ifodalaydilar, so'ngra umumlashtiradilar: yig'indilar 1 + 100, 2 + 99 va hokazo ekanligini tushunib. teng bo'lsa, Gauss 101 ni 50 ga, ya'ni bunday summalar soniga ko'paytirdi. Boshqacha qilib aytganda, u arifmetik progressiyaga xos bo'lgan naqshni payqadi.

Yig'indi formulasini chiqarish n arifmetik progressiyaning birinchi hadlari

Dars mavzusini doskaga va daftaringizga yozing. Talabalar o'qituvchi bilan birgalikda formulaning xulosasini yozadilar:

Mayli a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- arifmetik progressiya.

Birlamchi konsolidatsiya

1. (1) formuladan foydalanib, Gauss masalasini yechamiz:

2. (1) formuladan foydalanib, masalalarni og'zaki hal qiling (ularning shartlari doskada yoki musbat kodda yoziladi), ( a n) - arifmetik progressiya:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Topshiriqni bajaring.

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Toping: S 60 .

Yechim. Keling, yig'indi formulasidan foydalanamiz n arifmetik progressiyaning birinchi hadlari

Javob: 1800.

Qo'shimcha savol. Bu formula yordamida nechta turdagi turli masalalarni yechish mumkin?

Javob. To'rt turdagi vazifalar:

Miqdorini toping S n;

Arifmetik progressiyaning birinchi hadini toping a 1 ;

Toping n arifmetik progressiyaning uchinchi hadi a n;

Arifmetik progressiyaning hadlar sonini toping.

4. To'liq topshiriq: № 369(b).

Arifmetik progressiyaning birinchi oltmish hadining yig‘indisini toping ( a n), Agar a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Yechim.

Javob: 1230.

Qo'shimcha savol. Formulani yozing n arifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Javob: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Arifmetik progressiyaning birinchi to‘qqiz hadi formulasini hisoblang ( b n),
Agar b 1 = –17, d = 6.

Formula yordamida darhol hisoblash mumkinmi?

Yo'q, chunki to'qqizinchi muddat noma'lum.

Uni qanday topish mumkin?

Formulaga ko'ra n arifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Yechim. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Javob: 63.

Savol. Progressiyaning to‘qqizinchi hadini hisoblamasdan yig‘indini topish mumkinmi?

Muammoni shakllantirish

Muammo: yig'indi formulasini olish n arifmetik progressiyaning birinchi hadlari, uning birinchi hadi va farqini bilish d.

(Doskada talaba tomonidan formula chiqarish.)

371(a)-sonni yangi formula (2) yordamida yechamiz:

Keling, og'zaki formulalarni o'rnatamiz (2) ( topshiriqlarning shartlari doskaga yoziladi).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Talabalardan qaysi savollar noaniq ekanligini bilib oling.

Mustaqil ish

Variant 1

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Variant 2

Berilgan: (a n) - arifmetik progressiya.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Talabalar daftar almashadilar, bir-birlarining yechimlarini tekshiradilar.

Mustaqil ish natijalari asosida materialni o'rganishni umumlashtirish.