Funksiya va umumiy ko'rinishning antiderivativi

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi bukishlarsiz silliq, egri chiziq bo'lib, u o'tgan har bir nuqtada teginish mumkin. Agar tangensni chizish mumkin bo'lsa, u holda funktsiya uning ta'rif sohasining har bir nuqtasida differentsial bo'ladi deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri.

Biz ba'zilarida ko'rsatamiz koordinata o'qlari y = x a funktsiyaning bir nechta grafiklari, a = 2 uchun; a = 2,3; a = 3; a = 3.4.

Koordinatalari (0;1) bo'lgan nuqtada. Bu tangenslarning burchaklari mos ravishda taxminan 35, 40, 48 va 51 daraja bo'ladi. 2 dan 3 gacha bo'lgan oraliqda tangensning moyillik burchagi 45 darajaga teng bo'lgan raqam bor deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri.

Bu gapning aniq formulasini keltiramiz: e harfi bilan belgilangan 2 dan katta va 3 dan kichik son borki, 0 nuqtadagi y = e x ko'rsatkichli funksiya 1 ga teng hosilaga ega bo'ladi. Ya'ni: (e ∆x -1) / ∆x 1 ga intiladi, chunki ∆x nolga intiladi.

Bu raqam e irratsionaldir va cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr sifatida yoziladi:

e = 2,7182818284…

e musbat va nolga teng bo'lmagani uchun e asosining logarifmi mavjud. Bu logarifm deyiladi tabiiy logarifm. ln(x) = log e (x) bilan belgilanadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Teorema: e x funksiya o'zining aniqlanish sohasining har bir nuqtasida differensiallanadi va (e x)’ = e x.

a x ko'rsatkichli funksiya o'zining ta'rif sohasining har bir nuqtasida differensiallanadi va (a x)' = (a x)*ln(a).
Ushbu teoremaning natijasi shundaki, ko'rsatkichli funktsiya o'zining aniqlanish sohasining istalgan nuqtasida uzluksizdir.

Misol: y = 2 x funksiyaning hosilasini toping.

Eksponensial funktsiyaning hosilasi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Javob: (2 x)*ln(2).

Ko'rsatkichli funktsiyaning anti hosilasi

Haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan a x ko'rsatkichli funktsiya uchun (a x)/(ln(a)) funksiya bo'ladi.
ln(a) qandaydir doimiy, u holda (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x har qanday x uchun. Biz bu teoremani isbotladik.

Ko'rsatkichli funktsiyaning antihosilini topish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol: f(x) = 5 x funksiyaning antihosilini toping. Yuqorida keltirilgan formuladan va antiderivativlarni topish qoidalaridan foydalanamiz. Biz olamiz: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Ushbu dars integratsiyaga oid videolar seriyasining birinchisidir. Unda biz funktsiyaning antiderivativi nima ekanligini tahlil qilamiz, shuningdek, ushbu antiderivativlarni hisoblashning elementar usullarini o'rganamiz.

Aslida, bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q: hamma narsa siz allaqachon tanish bo'lishi kerak bo'lgan lotin tushunchasiga to'g'ri keladi :)

Men darhol qayd etaman, chunki bu bizning darsimizdagi birinchi dars yangi mavzu, bugungi kunda murakkab hisob-kitoblar va formulalar bo'lmaydi, ammo biz bugun o'rganadigan narsalar murakkab integral va maydonlarni hisoblashda ancha murakkab hisob-kitoblar va konstruktsiyalar uchun asos bo'ladi.

Bundan tashqari, integratsiya va integrallarni o'rganishni boshlaganimizda, biz talaba hech bo'lmaganda hosila tushunchalari bilan tanish va ularni hisoblashda hech bo'lmaganda asosiy ko'nikmalarga ega ekanligini bilvosita taxmin qilamiz. Buni aniq tushunmasdan, integratsiyada hech narsa qilish mumkin emas.

Biroq, bu erda eng keng tarqalgan va makkor muammolardan biri yotadi. Gap shundaki, birinchi antiderivativlarini hisoblashni boshlaganlarida, ko'p talabalar ularni hosilalar bilan aralashtirib yuborishadi. Natijada, imtihonlarda va mustaqil ish ahmoqona va tajovuzkor xatolarga yo'l qo'yiladi.

Shuning uchun, endi men antiderivativning aniq ta'rifini bermayman. Buning evaziga men sizga oddiy aniq misol yordamida qanday hisoblanganligini ko'rishni taklif qilaman.

Antiderivativ nima va u qanday hisoblanadi?

Biz bu formulani bilamiz:

\[((\left(((x)^(n)) \o'ng))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ushbu lotin oddiy tarzda hisoblanadi:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Olingan ifodani diqqat bilan ko'rib chiqamiz va $((x)^(2))$ ni ifodalaymiz:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime )))(3)\]

Ammo hosila ta'rifiga ko'ra biz buni shunday yozishimiz mumkin:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)(3) \o'ng))^(\prime ))\]

Va endi e'tibor bering: biz yozgan narsa antiderivativning ta'rifidir. Ammo uni to'g'ri yozish uchun siz quyidagilarni yozishingiz kerak:

Quyidagi ifodani xuddi shunday yozamiz:

Agar biz ushbu qoidani umumlashtirsak, quyidagi formulani olishimiz mumkin:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Endi biz aniq ta'rifni shakllantirishimiz mumkin.

Funktsiyaning anti hosilasi deb hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan funktsiyaga aytiladi.

Antiderivativ funktsiya haqida savollar

Bu juda oddiy va tushunarli ta'rif bo'lib tuyuladi. Biroq, buni eshitgandan so'ng, diqqatli talaba darhol bir nechta savollarga ega bo'ladi:

1. Aytaylik, yaxshi, bu formula to'g'ri. Biroq, bu holda, $n=1$ bilan bizda muammolar bor: maxrajda "nol" paydo bo'ladi va biz "nol" ga bo'la olmaymiz.
2. Formula faqat darajalar bilan cheklangan. Antiderivativni, masalan, sinus, kosinus va boshqa trigonometriyani, shuningdek doimiylarni qanday hisoblash mumkin.
3. Ekzistensial savol: har doim antiderivativni topish mumkinmi? Ha bo'lsa, yig'indi, farq, mahsulot va hokazolarning antiderivativi haqida nima deyish mumkin?

Men oxirgi savolga darhol javob beraman. Afsuski, antiderivativ, lotindan farqli o'laroq, har doim ham hisobga olinmaydi. Bunday narsa yo'q universal formula, buning yordamida har qanday boshlang'ich konstruktsiyadan biz ushbu o'xshash qurilishga teng bo'lgan funktsiyani olamiz. Quvvatlar va doimiyliklarga kelsak, biz hozir bu haqda gaplashamiz.

Quvvat funktsiyalari bilan bog'liq muammolarni hal qilish

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Ko'rib turganimizdek, bu formula$((x)^(-1))$ uchun ishlamaydi. Savol tug'iladi: keyin nima ishlaydi? Biz $((x)^(-1))$ hisoblay olmaymizmi? Albatta qila olamiz. Avval buni eslaylik:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Endi o‘ylab ko‘raylik: qaysi funksiyaning hosilasi $\frac(1)(x)$ ga teng. Shubhasiz, ushbu mavzuni ozgina o'rgangan har qanday talaba bu ifoda tabiiy logarifmaning hosilasiga teng ekanligini eslaydi:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Shunday qilib, biz quyidagilarni ishonch bilan yozishimiz mumkin:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\dan \ln x\]

Quvvat funksiyasining hosilasi kabi bu formulani bilishingiz kerak.

Xo'sh, biz nima haqida bilamiz hozirgi paytda:

• Quvvat funksiyasi uchun - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Doimiy uchun - $=const\to \cdot x$
• Quvvat funksiyasining alohida holati $\frac(1)(x)\to \ln x$ dir

Va agar biz eng oddiy funktsiyalarni ko'paytirish va bo'lishni boshlasak, unda mahsulot yoki qismning antiderivativini qanday hisoblashimiz mumkin. Afsuski, mahsulot yoki qismning hosilasi bilan o'xshashliklar bu erda ishlamaydi. Standart formula yo'q. Ba'zi hollarda, murakkab maxsus formulalar mavjud - biz ular bilan kelajakdagi video darslarida tanishamiz.

Biroq, esda tuting: umumiy formula, bo'linma va mahsulotning hosilasini hisoblash uchun shunga o'xshash formula mavjud emas.

Haqiqiy muammolarni hal qilish

Vazifa № 1

Keling, har birimiz quvvat funktsiyalari Keling, alohida hisoblab chiqamiz:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Bizning ifodamizga qaytsak, biz umumiy konstruktsiyani yozamiz:

Muammo № 2

Yuqorida aytib o'tganimdek, ishlarning prototiplari va tafsilotlari "nuqtagacha" hisobga olinmaydi. Biroq, bu erda siz quyidagilarni qilishingiz mumkin:

Biz kasrni ikkita kasr yig'indisiga ajratdik.

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Yaxshi xabar shundaki, antiderivativlarni hisoblash formulalarini bilib, siz allaqachon ko'proq hisoblashingiz mumkin. murakkab dizaynlar. Biroq, keling, oldinga boramiz va bilimimizni biroz kengaytiramiz. Gap shundaki, bir qarashda $((x)^(n))$ ga hech qanday aloqasi bo‘lmagan ko‘plab konstruksiya va iboralar kuch sifatida ifodalanishi mumkin. ratsional ko'rsatkich, ya'ni:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Bu usullarning barchasi birlashtirilishi mumkin va kerak. Quvvat ifodalari mumkin

• ko'paytirish (daraja qo'shish);
• bo'linish (darajalar ayiriladi);
• doimiyga ko'paytirish;
• va hokazo.

Ratsional darajali daraja ifodalarini yechish

№1 misol

Keling, har bir ildizni alohida hisoblaymiz:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac() 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Umuman olganda, bizning butun qurilishimiz quyidagicha yozilishi mumkin:

Misol № 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \o'ng))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Shuning uchun biz olamiz:

\[\frac(1)(((x)^(3))))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Hammasini bitta iboraga yig'ib, biz yozishimiz mumkin:

Misol № 3

Boshlash uchun biz $\sqrt(x)$ ni allaqachon hisoblab chiqqanimizni ta'kidlaymiz:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Keling, qayta yozamiz:

Umid qilamanki, agar biz hozirgina o'rgangan narsamiz eng ko'p, desam, hech kimni ajablantirmayman oddiy hisob-kitoblar ibtidoiy, eng elementar tuzilmalar. Endi biroz ko'proq ko'rib chiqaylik murakkab misollar, unda jadvalli antiderivativlardan tashqari, siz ham eslab qolishingiz kerak bo'ladi maktab o'quv dasturi, ya'ni qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Murakkab misollarni yechish

Vazifa № 1

Kvadrat farq formulasini eslaylik:

\[((\left(a-b \o'ng))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Funktsiyamizni qayta yozamiz:

Endi biz bunday funktsiyaning prototipini topishimiz kerak:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Keling, hamma narsani umumiy dizaynga birlashtiramiz:

Muammo № 2

Bunday holda, biz farq kubini kengaytirishimiz kerak. Keling, eslaylik:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ushbu faktni hisobga olgan holda, biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Funktsiyamizni biroz o'zgartiramiz:

Biz har doimgidek hisoblaymiz - har bir muddat uchun alohida:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\dan \ln x\]

Olingan konstruktsiyani yozamiz:

Vazifa № 3

Yuqorida yig'indining kvadrati bor, uni kengaytiramiz:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \o'ng))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Yakuniy yechimni yozamiz:

Endi diqqat! Xatolar va tushunmovchiliklarning sher ulushi bilan bog'liq bo'lgan juda muhim narsa. Gap shundaki, shu paytgacha hosilalardan foydalangan holda antiderivativlarni sanab, transformatsiyalar keltirgan holda, biz doimiyning hosilasi nimaga teng ekanligi haqida o'ylamagan edik. Lekin doimiyning hosilasi "nol" ga teng. Bu quyidagi variantlarni yozishingiz mumkinligini anglatadi:

1. $((x)^(2))\frac(((x)^(3)(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Buni tushunish juda muhim: agar funktsiyaning hosilasi doimo bir xil bo'lsa, u holda bir xil funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega. Biz shunchaki antiderivativlarimizga har qanday doimiy raqamlarni qo'shishimiz va yangilarini olishimiz mumkin.

Hozirgina hal qilgan muammolarimiz izohida “Yozing. umumiy ko'rinish ibtidoiylar". Bular. Ularning bittasi emas, balki butun bir ko'pligi allaqachon taxmin qilingan. Lekin, aslida, ular faqat oxirida doimiy $C $ farq qiladi. Shuning uchun, biz o'z vazifalarimizda bajarmagan narsalarni tuzatamiz.

Biz yana bir bor konstruktsiyalarimizni qayta yozamiz:

Bunday hollarda, siz $C$ doimiy ekanligini qo'shishingiz kerak - $C=const$.

Ikkinchi funktsiyamizda biz quyidagi qurilishni olamiz:

Va oxirgisi:

Va endi biz haqiqatan ham muammoning asl holatida bizdan talab qilinadigan narsani oldik.

Berilgan nuqta bilan antiderivativlarni topish masalalarini yechish

Endi biz konstantalar va antiderivativlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari haqida bilganimizdan so'ng, mantiqan to'g'ri keladi. keyingi turi Barcha antiderivativlar to'plamidan o'tib ketadigan bittasini topish kerak bo'lgan muammolar berilgan nuqta. Bu nima vazifa?

Gap shundaki, berilgan funktsiyaning barcha antiderivativlari faqat ma'lum bir songa vertikal siljish bilan farq qiladi. Va bu shuni anglatadiki, biz koordinata tekisligining qaysi nuqtasini olishimizdan qat'i nazar, bitta antiderivativ albatta o'tadi va bundan tashqari, faqat bitta.

Shunday qilib, biz hozir hal qiladigan masalalar quyidagicha shakllantiriladi: asl funktsiya formulasini bilgan holda, antiderivativni topibgina qolmay, balki berilgan nuqtadan o'tuvchini aniq tanlang, uning koordinatalari masalada beriladi. bayonot.

№1 misol

Birinchidan, har bir atamani oddiygina hisoblaymiz:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)(5)\)

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Endi biz ushbu iboralarni konstruktsiyamizga almashtiramiz:

Bu funksiya $M\left(-1;4 \right)$ nuqtadan o'tishi kerak. Uning nuqtadan o'tishi nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar $x$ o'rniga biz hamma joyda $-1$ qo'ysak va $F\left(x \right)$ o'rniga - $-4$ qo'ysak, unda biz to'g'ri sonli tenglikni olishimiz kerak. Keling, buni qilaylik:

Bizda $C$ tenglamasi borligini ko'ramiz, shuning uchun uni hal qilishga harakat qilaylik:

Keling, biz izlayotgan yechimni yozamiz:

Misol № 2

Avvalo, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida farqning kvadratini aniqlash kerak:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Asl qurilish quyidagicha yoziladi:

Endi $C$ topamiz: $M$ nuqtasining koordinatalarini almashtiramiz:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Biz $C$ ifodalaymiz:

Yakuniy ifodani ko'rsatish uchun qoladi:

Trigonometrik masalalarni yechish

Biz muhokama qilgan narsalarga yakuniy akkord sifatida men yana ikkitasini ko'rib chiqishni taklif qilaman murakkab vazifalar, unda trigonometriya mavjud. Ularda, xuddi shu tarzda, barcha funktsiyalar uchun antiderivativlarni topishingiz kerak bo'ladi, keyin ushbu to'plamdan koordinata tekisligidagi $M$ nuqtasidan o'tadigan yagonasini tanlang.

Oldinga qarab, shuni ta'kidlashni istardimki, biz endi antiderivativlarni topish uchun foydalanamiz trigonometrik funktsiyalar, aslida shunday universal texnika o'z-o'zini sinab ko'rish uchun.

Vazifa № 1

Keling, quyidagi formulani eslaylik:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Bunga asoslanib, biz yozishimiz mumkin:

$M$ nuqtaning koordinatalarini ifodamizga almashtiramiz:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda ifodani qayta yozamiz:

Muammo № 2

Bu biroz qiyinroq bo'ladi. Endi nima uchun ekanligini bilib olasiz.

Keling, ushbu formulani eslaylik:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"Minus" dan xalos bo'lish uchun siz quyidagilarni qilishingiz kerak:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Mana bizning dizaynimiz

$M$ nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz:

Umuman olganda, biz yakuniy qurilishni yozamiz:

Bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Biz antiderivativ atamasining o'zini, ularni qanday hisoblashni o'rganib chiqdik elementar funktsiyalar, shuningdek, koordinata tekisligidagi ma'lum bir nuqtadan o'tuvchi antiderivativni qanday topish mumkin.

Umid qilamanki, ushbu dars sizga ushbu murakkab mavzuni ozgina bo'lsa ham tushunishga yordam beradi. Har holda, bu noaniq va antiderivativlarda noaniq integrallar, shuning uchun ularni hisoblash mutlaqo kerak. Men uchun hammasi shu. Yana ko'rishguncha!

Bugun biz funksional tadqiqotlar haqida gaplashamiz. Shuni ta'kidlash kerakki, matematika xuddi shunday ishlaydi oddiy uy: Avval poydevor qo'yiladi, so'ngra g'ishtlar qatlam bilan yotqiziladi. Matematikada poydevorning rolini funktsiya (ikki to'plam orasidagi moslik) bajaradi. Funksiya tushunchasini kiritgandan so'ng, u xuddi raqamlar bilan bajarilganidek, ob'ekt sifatida o'rganila boshlaydi.

Darhaqiqat, hayotda biz nafaqat ob'ektlardan, balki ular orasidagi yozishmalardan, ob'ektlar orasidagi munosabatlardan ham tez-tez foydalanamiz. Misol tariqasida sevgi haqidagi kitoblarni keltirish mumkin (sevgi - bu odamlar o'rtasidagi munosabatlar).

Matematikada funksiyalarni o‘rgangach, ular funksiyalar to‘plamini, so‘ngra funksiyalar bo‘shliqlarini va hokazolarni o‘rganishga kirishadilar. Ammo bugun biz funktsiyaning asosiy tahlili haqida gaplashamiz.

Funktsiya nima? Funktsiya to'plamlar orasidagi moslikdir. Ushbu darsda biz bu haqda gaplashamiz raqamli funktsiyalar, ya'ni sonli to'plamlar orasidagi yozishmalar haqida. Shuningdek, biz funktsiyaning lokal xossasi (funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi xatti-harakati) va global xususiyat (funktsiyaning butun sohasi bilan bog'liq xususiyat) haqida gapiramiz. Hosila funksiyalarning lokal xossalarining tavsifi, integral esa global xossalarining tavsifidir.

Misol uchun, ikki xil funktsiya mavjud, lekin bir nuqtada ularning grafiklari mos keladi (1-rasmga qarang). Ammo bu nuqta yaqinidagi funktsiyalarning xatti-harakatlari o'rtasidagi farq nima? Biz bu haqda gaplashamiz.

Guruch. 1. Ikki xil funksiyali grafiklarning kesishishi

Funksiya grafigidan uning xossalarini osongina aniqlash mumkin: monotonlik (funksiyaning ortishi yoki kamayishi), paritet (toq paritet) va davriyligi (2-rasmga qarang).

Guruch. 2. Xususiyatlar xususiyatlari

Bu xususiyatlarning barchasi matematikdir. Ammo lotin ko'pincha hayotda qo'llaniladi. Ko'pincha jarayonni grafik yordamida tasvirlaganimizda, bizni ushbu jarayonning dinamikasi, ya'ni funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi qiymati emas, balki kelajakda funktsiya o'zini qanday tutishi (u oshadimi yoki kamaydi?). Misol uchun, biz narxlarning oshishini tahlil qilmoqchi yoki narxlarni taqqoslamoqchi bo'lganimizda turli davrlar vaqt ( mutlaq qiymatlar o'zgarishi mumkin, ammo dinamika bir xil bo'lib qoldi) (3-rasmga qarang).

Guruch. 3. Oltin bahosi dinamikasi

Hosila berilgan nuqtaga yaqin joyda funksiya qanday harakat qilishini aniqlashga yordam beradi.

Shuni aniqlashtirish kerakki, maktabda ko'pincha funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'yicha izlanadi. Buning sababi, o'rganilayotgan funktsiyalarning "yaxshi", ya'ni ularning xatti-harakatlarini butun o'q bo'ylab oldindan aytish mumkin. Lekin umuman olganda hosila funksiyaning lokal xarakteristikasidir.

Masalan, turli tortishish tezligiga ega fotosuratlarni ko'rishda bir nechta variant bo'lishi mumkin:

1. mashinalar turibdi va odamlar har biri o'z o'rnida (4-rasmga qarang);
2. loyqa rasm, kim qaerga ketayotganini ko'rishingiz mumkin (5-rasmga qarang).

Guruch. 4. Ekspozitsiya bilan suratga olish

Guruch. 5. Ekspozitsion fotografiya

Ikkinchi variant - lotinning vizual tasviri (rasmni xiralashtirish).

Bir nuqtada funktsiya ma'lum bir qiymatni oladi va undan uning xatti-harakati haqida hech qanday xulosa chiqarish deyarli mumkin emas. Va agar biz ushbu nuqtaning qo'shniligini ko'rib chiqsak, u qaysi tomonda kichikroq (qaysi tomonda u kattaroq) ekanligini aytishimiz mumkin va u o'sish yoki kamayish haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. Ya'ni, tortishish tezligi qisqa bo'lsa, biz funktsiyaning qiymatini bir nuqtada ko'ramiz va ramka kechikishini ko'rib chiqsak, biz allaqachon funktsiyaning harakatini tahlil qilishimiz mumkin (6-rasmga qarang).

Guruch. 6. Hosila va fotosurat o'rtasidagi o'xshashlik

IN kundalik hayot Biz matematikada funksiyalarni tahlil qilish kabi vaziyatni tez-tez tahlil qilamiz. Masalan, tashqarida havo isib (sovuq) deganda, biz hozirda ma'lum bir haroratni ko'rsatmayapmiz, balki harorat tez orada ko'tarilishi (tushishi) ni bildiramiz. Bu lotinni hisoblashga o'xshaydi (7-rasmga qarang).

Guruch. 7. Haroratning o'zgarishi tahlili

Keling, tanishtiramiz aniq ta'rif hosila.

Funktsiyaning hosilasinuqtada Bu nuqtadagi funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deb ataladi (agar bu chegara mavjud bo'lsa):

Biz funktsiyaning o'zgarish tezligi kabi tushunchani kiritmoqchi bo'lganimiz sababli (asosiy so'z tezlik), keyin fizika bilan parallel chizishimiz mumkin. Bir lahzali tezlik vektor jismoniy miqdordir, nisbatga teng bu harakat sodir bo'lgan vaqt oralig'iga o'tish, agar vaqt oralig'i nolga moyil bo'lsa:

Bir lahzali tezlik, m/s; - tana harakati, m (da); - nolga moyil bo'lgan vaqt oralig'i, s.

Ammo shuni aniqlashtirish kerakki, biz harorat haqida gapirganda, biz faqat jarayonning sifat xususiyatlarini ko'rsatdik, lekin haroratning o'zgarish tezligi haqida gapirmadik. Hosila funktsiyaning o'zgarish tezligini hisobga oladi. Funktsiyalar turli yo'llar bilan o'sishi mumkin. Masalan, parabola () logarifmadan () tezroq ortadi (8-rasmga qarang).

Guruch. 8. Funksiyalar grafiklarining ortish tezligi va

Bu biz kiritayotgan funktsiyaning o'sish (kamayish) tezligini solishtirishdir o'ziga xos xususiyatlar funktsiyalari - hosila. Har qanday ob'ektning hosila va harakat tezligi (tezlik - bosib o'tgan masofaning vaqtga nisbati yoki vaqt birligi uchun koordinataning o'zgarishi) o'rtasidagi o'xshashlikni keltirib, aytishimiz mumkinki, chegarada hosila - bu nisbatning nisbati. funktsiyaning o'zgarishi (ya'ni nuqta bosib o'tgan yo'l , agar u funktsiya grafigi bo'ylab harakatlansa) argumentning o'sishiga (harakat amalga oshirilgan vaqt) (9-rasmga qarang). Bu hosilaning mexanik (fizik) ma'nosi.

Guruch. 9. Tezlik va hosila o'rtasidagi o'xshashlik

Hosila funksiyaning lokal xossasidir. Hosilni hisoblashning butun ta'rif sohasi va ma'lum bir bo'lim bo'yicha hisoblanishini farqlash muhim, chunki bir oraliqda funktsiya kvadratik, boshqasida - chiziqli va hokazo bo'lishi mumkin. Ammo bularning barchasi bitta funktsiyadir va turli nuqtalarda bunday funktsiya bo'ladi turli ma'nolar hosila.

Analitik tarzda ko'rsatilgan ko'pgina funktsiyalar uchun (muayyan formula bo'yicha) bizda hosilalar jadvali mavjud (10-rasmga qarang). Bu ko'paytirish jadvalining analogidir, ya'ni lotinlar allaqachon hisoblangan asosiy funktsiyalar mavjud (ular aynan shu shaklga ega ekanligini isbotlash mumkin), keyin esa ba'zi qoidalar mavjud (11-rasmga qarang) ( ko'paytirish yoki uzun bo'linish analoglari), ular yordamida hosilalarni hisoblash uchun foydalanish mumkin murakkab funktsiyalar, hosilaviy ishlar va boshqalar. Shunday qilib, bizga ma'lum bo'lgan funktsiyalar orqali ifodalangan deyarli barcha funktsiyalar uchun biz butun ta'rif sohasi bo'yicha funktsiyaning harakatini tasvirlashimiz mumkin.

Guruch. 10. Hosilalar jadvali

Guruch. 11. Differensiatsiyalash qoidalari

Ammo shunga qaramay, biz ilgari bergan hosila ta'rifi teskari. Bir nuqtada hosilani funktsiyani aniqlashning butun sohasiga umumlashtirish uchun har bir nuqtada hosilaning qiymati bir xil funktsiyaning qiymatlari bilan mos kelishini isbotlash kerak.

Agar biz analitik tarzda yozilmagan funksiyani tasavvur qilsak, u holda har bir nuqtaning qo'shnisida biz uni ko'rinishda ifodalashimiz mumkin. chiziqli funksiya. Muayyan nuqta yaqinidagi chiziqli funktsiyaning hosilasini hisoblash oson. Agar funktsiyani chiziqli tarzda ifodalasak, u o'zining tangensiga to'g'ri keladi (12-rasmga qarang).

Guruch. 12. Har bir nuqtada funktsiyani chiziqli funksiya sifatida tasvirlash

Kimdan to'g'ri uchburchak tangens qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng ekanligini bilamiz. Demak, geometrik ma'no hosila shu nuqtada tangens burchakning tangensi hisoblanadi (13-rasmga qarang).

Guruch. 13. Hosilning geometrik ma’nosi

Tezlik haqida hosila haqida gapiradigan bo'lsak, shuni aytishimiz mumkinki, agar funktsiya kamaysa, uning hosilasi manfiy bo'ladi va aksincha, agar funktsiya oshsa, hosilasi musbat bo'ladi. Boshqa tomondan, biz hosilani tangens burchakning tangensi sifatida aniqladik. Buni tushuntirish ham oson. Agar funktsiya oshsa, u holda tangens o'tkir burchak hosil qiladi va tangens o'tkir burchak ijobiy. Shuning uchun hosila ijobiydir. Ko'rib turganimizdek, hosilaning fizik va geometrik ma'nosi bir-biriga to'g'ri keldi.

Tezlanish - tezlikning o'zgarish tezligi (ya'ni tezlikning hosilasi). Boshqa tomondan, tezlik siljishning hosilasidir. Aniqlanishicha, tezlanish siljishning ikkinchi hosilasi (hosilasining hosilasi) hisoblanadi (14-rasmga qarang).

Guruch. 14. Hosilning fizikada qo‘llanilishi

Hosila funksiyaning xossalarini o‘rganish vositasidir.

Losmalar optimallashtirish masalalarini hal qilish uchun ishlatiladi. Buning uchun tushuntirish mavjud. Hosila funktsiyaning o'sishini ko'rsatganligi sababli, u funktsiyaning mahalliy maksimal va minimallarini topish uchun ishlatilishi mumkin. Bir sohada funktsiya ortib, keyin esa pasayishni boshlaganini bilib, biz qaysidir nuqtada mahalliy maksimal borligini taxmin qilamiz. Xuddi shunday, agar funktsiya pasaygan bo'lsa va keyin o'sishni boshlagan bo'lsa, bir nuqtada mahalliy minimum mavjud (15-rasmga qarang).

Guruch. 15. Funksiyaning mahalliy minimal va maksimallari

Amalda, bu, masalan, berilgan sharoitlarda maksimal foydani topish uchun ishlatilishi mumkin. Buning uchun siz mahalliy maksimal bo'ladigan nuqtani topishingiz kerak. Agar aniqlashimiz kerak bo'lsa minimal xarajatlar, keyin, shunga ko'ra, mahalliy minimal joylashgan nuqtani aniqlash kerak (16-rasmga qarang).

Guruch. 16. Maksimal foyda va minimal xarajatlarni topish

Maktab ko'plab optimallashtirish muammolarini hal qiladi. Keling, ulardan birini ko'rib chiqaylik.

Ruxsat etilgan uzunlikdagi to'rtburchaklar panjara maksimal maydonni o'rab olishi uchun qancha vaqt bo'lishi kerak (17-rasmga qarang)?

Guruch. 17. Optimallashtirish muammosi

Ma'lum bo'lishicha, panjara kvadrat bo'lishi kerak.

Bitta parametr o'rnatilganda, ikkinchisini optimallashtirish kerak bo'lganda, bunday vazifalar juda ko'p. Belgilangan parametr - bu bizning vazifamiz haqidagi ma'lumotlar (masalan, panjara uchun material). Va biz minimal yoki maksimalni olishni istagan parametr mavjud (masalan, maksimal maydon, minimal hajmi). Ya'ni, "resurs - effekt" juftligi hosil bo'ladi. Dastlab ko'rsatilgan ma'lum bir manba va biz olishni xohlaydigan ma'lum bir effekt mavjud.

Endi funksiyaning global xossalariga o‘tamiz. Keling, integralning eng oddiy holatini ko'rib chiqaylik. Bir qator raqamlarni olaylik: . Seriya ham funktsiyadir (tabiiy argument), har bir raqam o'z seriya raqami va ma'nosiga ega. .

Keling, ushbu qatorning yig'indisini topish formulasini yozamiz:

Muayyan qiymatgacha bo'lgan yig'indi integralning qiymati bo'ladi.

Masalan, uchun:

Ya'ni, integral aslida yig'indidir (in Ushbu holatda funktsiya qiymatlari yig'indisi).

Aksariyat talabalar integralni maydon bilan bog'laydilar. Keling, misolni qator va maydon yig'indisi bilan bog'lashga harakat qilaylik. Bu qatorni chiziqli funksiya shaklida qayta yozamiz: .

Keyin bu ketma-ketlikning yig'indisi grafik ostidagi qismlarning (bu holda, trapezoidlar) maydonlarining yig'indisi bo'ladi (18-rasmga qarang).

Guruch. 18. Funksiya grafigi ostidagi maydon

Maydonlar yig'indisi yig'indining maydoniga teng (agar rasm bo'lingan qismlar kesishmasa). Demak, integral funksiya grafigi ostidagi maydondir. Shunday qilib, integralni topib, biz tekislikning biron bir qismining maydonini topishimiz mumkin. Misol uchun, siz grafik ostidagi maydonni topishingiz mumkin.

Agar biz integralning ta'rifini funktsiya ostidagi raqamning maydoni bo'yicha qat'iy kiritmoqchi bo'lsak, unda biz raqamni juda kichik bo'laklarga bo'lishimiz kerak. Chiziqli funktsiyadagi kabi maydonni hisoblash har doim ham qulay emas. Masalan, funksiyani olaylik. Agar funktsiyani chiziqli ravishda yaqinlashtirsak (hosilda biz taklif qilganimizdek), oldingi misolda bo'lgani kabi, biz butun maydonni trapetsiya maydonlari yig'indisiga bo'linishini olamiz (2-rasmga qarang). 19).

U holda, limitda yig'indi integral, ya'ni funktsiya grafigi ostidagi maydondir.

Guruch. 19. Funksiya grafigi ostidagi maydon

Lekin bu maydonni (integral) qanday hisoblash mumkin? Ma'lum funktsiyalar uchun integrallar jadvali mavjud (hosilalar jadvaliga o'xshash). Ammo umumiy holatda biz funktsiyani segmentlar bo'yicha yaqinlashtiramiz va bu segmentlar ostidagi trapetsiya maydonlarining yig'indisini hisoblaymiz. Segmentlarni qisqartirib, chegarada biz integralning qiymatini olamiz.

"Yaxshi" funktsiya har doim "yaxshi" hosila hosil qiladigan lotindan farqli o'laroq, bu integral bilan bog'liq emas. Masalan, integralni hisoblash va uni analitik funksiyalar ko'rinishida ifodalash kabi oddiy funksiya uchun biz qila olmaymiz (20-rasmga qarang).

Integralni hisoblash oson ish emas va shuning uchun integralning shaklini bilsak, uning qiymatini tezda hisoblash imkonini beradigan bunday oddiy Nyuton-Leybnits formulasining mavjudligi (20-rasmga qarang) hisob-kitoblarni ancha soddalashtiradi. . Aks holda, har safar cheklov maydonini hisoblash qiyin bo'ladi.

Guruch. 20. Integrallarni hisoblash uchun Nyuton-Leybnits formulasi

Shunday qilib, asosiy hisoblash usullari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. biz hisoblashimiz mumkin bo'lgan funktsiyalar uchun integrallar jadvali (21-rasmga qarang);
2. hisoblash imkonini beruvchi integralning xossalari turli xil kombinatsiyalar jadval funktsiyalari(22-rasmga qarang);
3. Nyuton-Leybnits formulasi (agar biz eng o'ng nuqtadagi qiymatni hisoblab, eng chap nuqtadagi qiymatni olib tashlasak, maydonni olamiz) (20-rasmga qarang).

Guruch. 21. Integrallar jadvali

Guruch. 22. Aniq integralning xossalari

Maktabda Nyuton-Leybnits formulasi olinmaydi, garchi integralni grafik ostidagi maydon sifatida belgilasangiz, buni qilish qiyin emas.

Nyuton-Leybnits formulasini olish haqida batafsil ma'lumot:

Funktsiyaning mahalliy va global xususiyatlari o'rtasidagi farqni yaxshiroq tushunish uchun biz nishonga otish misolini ko'rib chiqishimiz mumkin. Agar siz atrofga bir nechta o'q olsangiz (hech biri markazga tegmasa) va o'rtachani hisoblasangiz, siz uni deyarli olasiz (23-rasmga qarang). Garchi, aslida, otuvchi har doim nishondan yuqorida yoki pastda urishi mumkin bo'lsa-da va o'rtacha ko'rsatkich hali ham ga yaqin bo'ladi.

Guruch. 23. Nishonga otish

Biz fizikadan misol keltira olamiz - tortishish markazi. Bir xil og'irlik markaziga ega bo'lgan bir xil massa butunlay boshqacha tarzda taqsimlanishi mumkin (24-rasmga qarang).

Guruch. 24. Bir xil og'irlik markazi bilan massa taqsimoti variantlari

Yana bir misol o'rtacha harorat kasalxona atrofida. Agar kimdir isitmasi bo'lsa va boshqa birovning isitmasi bo'lsa, unda o'rtacha hisobda bu chiqadi va bemorlar unchalik kasal emasga o'xshaydi.

Agar hosila (lokal xususiyat) va integral (global xususiyat) o'rtasidagi bog'liqlik haqida gapiradigan bo'lsak, bu o'zaro teskari tushunchalar ekanligi intuitiv ravishda aniq bo'ladi. Aslida, bu haqiqat. Agar integralning hosilasini yoki hosilaning integralini olsak, biz asl funktsiyani olamiz. Buni tushuntirish uchun tananing harakatini ko'rib chiqing. Tezlik joy almashishning hosilasi ekanligini allaqachon bilamiz. Keling, teskari operatsiyani sinab ko'raylik. Buning uchun biz harakatni tezlik va vaqt bilan ifodalaymiz:

Grafikga qarasak (tezlik chiziqli ravishda o'zgaradi), biz yo'l tezlik va vaqtning mahsuloti ekanligini ko'ramiz. Boshqa tomondan, bu grafik ostidagi maydon (25-rasmga qarang).

Guruch. 25. Hosil va integral o‘rtasidagi munosabat

Tezlikning integralini hisoblasangiz, yo'lning qiymatini olasiz. Tezlik esa yo'lning hosilasidir.

Demak, hosila va integral o‘zaro teskari funksiyalardir. Buning qat'iy isboti bor.

Guruch. 26. Hosil va integral o‘rtasidagi munosabat

Ammo tahlil qilish uchun nimani tushunish kerak haqida gapiramiz, va differentsiallash (hosilni hisoblash) va integrasiya (integralni hisoblash) amallari bilan ishlash, bu darsda aytilganlar va asosiy darslardan olingan materiallar etarli bo'ladi.

Biz st-da uy topishimiz kerak bo'lganda. Nevskaya, va biz uyning qarshisida chiqdik, keyin raqamlash qanday ketayotganini tushunish uchun bu uyning chap yoki o'ng tomoniga boramiz.

29-dars uchun fayl.

Hosil. Tsivilizatsiyani qo'llash. Antiderivativ.

Nishab omili abscissa x nuqtadagi funksiya grafigiga teginish 0 funksiyaning x nuqtadagi hosilasiga teng 0. .

Bular. funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi funksiya grafigiga (x 0 ; f(x 0)) chizilgan tangens burchak tangensiga teng.

Mashq qilish 1. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa bilan nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko‘rsatilgan. x x 0 .

Javob: 0,25

Mashq qilish 2. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa bilan nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko‘rsatilgan. x 0 . f(x) funksiyaning nuqtadagi hosilasi qiymatini toping x 0 . Javob: 0,6

Mashq qilish 3. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa bilan nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko‘rsatilgan. x 0 . f(x) funksiyaning nuqtadagi hosilasi qiymatini toping x 0 . Javob: -0,25

Mashq qilish 4. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa bilan nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko‘rsatilgan. x 0 . f(x) funksiyaning nuqtadagi hosilasi qiymatini toping x 0 . Javob: -0,2.

Mexanik tuyg'u hosila.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

tezlik koordinataning hosilasidir tomonidan vaqt. Xuddi shunday, tezlanish - tezlikning vaqtga nisbatan hosilasi :

a = v' ( t ).

Mashq qilish 5 . Moddiy nuqta x(t)=12 t 2 +4 t+27 qonuniga ko‘ra to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi, bu yerda x – mos yozuvlar nuqtasidan metrlarda masofa, t – harakat boshlangan paytdan boshlab o‘lchangan soniyalarda vaqt. Uning t=2 s vaqtdagi tezligini (sekundiga metrda) toping. Javob: 52

Vazifa 6. Moddiy nuqta qonunga muvofiq to'g'ri chiziqli harakat qiladix (t )= 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, Qayerda x- mos yozuvlar nuqtasidan metrdagi masofa,t- harakat boshlangan paytdan boshlab soniyalarda o'lchanadigan vaqt. Vaqtning qaysi nuqtasida (sekundlarda) uning tezligi 42 m/s ga teng edi? Javob: 1

Etarli belgi oshirish (kamaytirish) funktsiyasi

1. Agar oraliqning har bir nuqtasida f `(x) bo'lsa (, u holda funktsiya (.) ga ortadi.

2. Agar (x) oraliqning har bir nuqtasida f `(x) bo'lsa, u holda funktsiya (.

Old shart ekstremum

Agar x nuqta 0 funktsiyaning ekstremum nuqtasidir va bu nuqtada hosila mavjud, keyin f `( x 0 )=0

Ekstremum uchun etarli shart

Agar f `( x 0 x 0 lotin qiymati belgisini "+" dan "-" ga o'zgartiradi, keyin x 0 funksiyaning maksimal nuqtasidir.

Agar f `( x 0 ) = 0 va nuqtadan o'tganda x 0 hosila qiymati belgisini “-” dan “+” ga o'zgartiradi, keyin x 0 funktsiyaning minimal nuqtasidir.

Vazifa 7. Rasmda funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan f(x), (−7; 10) oraliqda aniqlangan. Funksiyaning minimal nuqtalari sonini toping f(x)[−3 oraliqda; 8].

Yechim. Minimal nuqtalar lotin belgisi minusdan ortiqchagacha o'zgargan nuqtalarga to'g'ri keladi. Segmentda [−3; 8] funksiya bitta minimal nuqtaga ega x= 4. Demak, bunday nuqta 1. Javob: 1.

Vazifa 8. Rasmda y=f(x) differentsiallanuvchi funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan va abtsissa o‘qida yetti nuqta belgilangan: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. Shu nuqtalarning nechtasida f(x) ning hosilasi manfiy bo‘ladi? Javob: 3

9-topshiriq. Rasmda (− 11 ; − 1) oraliqda aniqlangan y=f(x) differentsiallanuvchi funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. [− 7  segmentidan nuqta toping; 

− 2], f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng. Javob: -4 10-topshiriq

. Rasmda (2 ; 13) oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi y=f′(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning maksimal nuqtasini toping. Javob: 9 11-topshiriq . Rasmda (− 3; 8) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining y=f′(x) grafigi ko‘rsatilgan. Segmentning qaysi nuqtasida [− 2;  3] f(x) funksiyani oladi

eng kichik qiymat? Javob: -2

12-topshiriq. Rasmda (− 4 ; 6) oraliqda aniqlangan y=f "(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish nuqtaning abssissasini toping. y=f(x) y=3x to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki unga to‘g‘ri keladi Javob: 5

14-topshiriq. Rasmda (− 4 ; 13) oraliqda aniqlangan y=f "(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. Funktsiya grafigiga teginish nuqtalari sonini toping. y=f(x) to‘g‘ri chiziqqa parallel y=− 2x−10 yoki unga teng Javob: 5

15-topshiriq. y =5x -8 to'g'ri chiziq 4x 2 -15x +c funksiya grafigiga teginishdir. Toping c. O javob: 17.

Antiderivativ

Antiderivativ funktsiya F(x) funktsiya uchun f(x) funksiya deb ataladi hosila bu asl funktsiyaga teng. F " ( x )= f ( x ).

16-topshiriq. Rasmda grafik ko'rsatilgan y=F (x) qandaydir funksiyaning antiderivativlaridan biri f(x), (1;13) oraliqda aniqlanadi. Rasmdan foydalanib, tenglamaning yechimlari sonini aniqlang f (x segmentida )=0. Javob: 4

17-topshiriq. Rasmda (− 7; 8) oraliqda aniqlangan ba’zi f(x) funksiyaning anti hosilalaridan birining y=F(x) grafigi ko‘rsatilgan. Rasmdan foydalanib, segmentdagi f(x)=0 tenglamaning yechimlari sonini aniqlang. Javob: 1

18-topshiriq. Rasmda qandaydir f(x) funksiyaning anti hosilalaridan birining y=F(x) grafigi ko‘rsatilgan va abtsissada sakkizta nuqta belgilangan: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Shu nuqtalarning nechtasida f(x) funksiya manfiy bo‘ladi? Javob: 3

19-topshiriq. Rasmda y=f(x) qandaydir funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 funksiya f(x) funksiyaning anti hosilalaridan biridir. Soyali figuraning maydonini toping. Javob: 592

Ekstremum nuqtalarni topish algoritmi

Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Funktsiyaning hosilasini toping f "( x)

Qayerda nuqtalarni toping f "( x) = 0.

Raqam chizig'ida funktsiyaning aniqlanish sohasini va hosilaning barcha nollarini belgilang.

Belgini aniqlang hosilahar bir interval uchun. (Buni amalga oshirish uchun "qulay" qiymatni almashtiring x bu oraliqdan boshlab f "( x)).

Hosila belgilari asosida funktsiyaning ortib borayotgan va kamayuvchi sohalarini aniqlang va ekstremumning mavjudligi yoki yo'qligi va uning tabiati haqida xulosa chiqaring ( maks yokimin ) ushbu nuqtalarning har birida.

Vazifa 20. y=(2x−1)cosx−2sinx+5 funksiyaning (0 ; p/2) oralig‘iga tegishli maksimal nuqtasini toping. Javob: 0,5

Vazifa 21.Funktsiyaning maksimal nuqtasini topingy=. Javob: 6

Algoritmni topish segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

Vazifa 22. y =x −6x +1 funksiyaning segmentdagi eng kichik qiymatini toping. Javob: -31

Vazifa 23. y=8cosx+30x/p+19 funksiyaning [− 2p/3 oraliqdagi eng kichik qiymatini toping; 

0]. Javob: -5 y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 funksiyaning maksimal nuqtasini toping.

2. Toping eng yuqori qiymat[− 9  segmentida y=x 5 -5x 3 -20x funksiyalar;