Logarifm asosli kasrning ta’rifi. Logarifmning ta'rifi, asosiy logarifmik o'ziga xoslik
Shuningdek o'qing
Musbat b sonining a asosi uchun logarifmi (a>0, a 1 ga teng emas) c soni shundayki a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
E'tibor bering, musbat bo'lmagan sonning logarifmi aniqlanmagan. Bundan tashqari, logarifmning asosi 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak. Masalan, -2 kvadrat bo'lsa, biz 4 raqamini olamiz, ammo bu logarifm 4 ning asosiga -2 ekanligini anglatmaydi. 2 ga teng.
Asosiy logarifmik identifikatsiya
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Ushbu formulaning o'ng va chap tomonlarini aniqlash doirasi boshqacha bo'lishi muhimdir. Chap tomon faqat b>0, a>0 va a ≠ 1 uchun aniqlanadi. O'ng tomon har qanday b uchun aniqlanadi va a ga umuman bog'liq emas. Shunday qilib, tenglamalar va tengsizliklarni echishda asosiy logarifmik "identifikatsiya" ni qo'llash ODning o'zgarishiga olib kelishi mumkin.
Logarifm ta'rifining ikkita aniq natijasi
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Darhaqiqat, a raqamini birinchi darajaga ko'targanda, biz bir xil raqamni olamiz va uni nol darajaga ko'targanda, biz bitta raqamni olamiz.
Ko'paytmaning logarifmi va qismning logarifmi
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Men maktab o'quvchilarini ushbu formulalarni hal qilishda o'ylamasdan qo'llashdan ogohlantirmoqchiman logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. Ularni "chapdan o'ngga" ishlatganda, ODZ torayadi va logarifmlarning yig'indisi yoki farqidan mahsulot yoki qismning logarifmiga o'tganda, ODZ kengayadi.
Darhaqiqat, log a (f (x) g (x)) ifodasi ikki holatda aniqlanadi: ikkala funktsiya qat'iy musbat bo'lganda yoki f (x) va g (x) ikkalasi ham noldan kichik bo'lganda.
Bu ifodani log a f (x) + log a g (x) yig‘indisiga aylantirib, biz faqat f(x)>0 va g(x)>0 hollari bilan cheklanishga majbur bo‘lamiz. Hududning torayishi kuzatiladi qabul qilinadigan qiymatlar, va bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas, chunki bu yechimlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin. Xuddi shunday muammo formula (6) uchun ham mavjud.
Darajani logarifm belgisidan chiqarish mumkin
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Va yana ehtiyot bo'lishni istardim. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Tenglikning chap tomoni f(x) ning noldan tashqari barcha qiymatlari uchun aniq belgilangan. O'ng tomon faqat f(x)>0 uchun! Logarifmadan darajani olib, biz yana ODZni toraytiramiz. Teskari protsedura qabul qilinadigan qiymatlar doirasini kengaytirishga olib keladi. Bu mulohazalar nafaqat 2-chi kuchga, balki har qanday teng kuchga ham tegishli.
Yangi poydevorga o'tish formulasi
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Transformatsiya paytida ODZ o'zgarmasligi kam uchraydigan holat. Agar siz c bazasini oqilona tanlagan bo'lsangiz (ijobiy va 1 ga teng emas), yangi bazaga o'tish formulasi butunlay xavfsizdir.
Agar biz b raqamini yangi c asosi sifatida tanlasak, biz muhim bo'lamiz maxsus holat formulalar (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Logarifmlar bilan bir nechta oddiy misollar
Misol 1. Hisoblang: log2 + log50.
Yechim. log2 + log50 = log100 = 2. Biz logarifmlar yig'indisi formulasidan (5) va o'nlik logarifmning ta'rifidan foydalandik.
2-misol. Hisoblang: lg125/lg5.
Yechim. log125/log5 = log 5 125 = 3. Biz yangi bazaga o'tish uchun formuladan foydalandik (8).
Logarifmlarga oid formulalar jadvali
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
dan boshlaylik bir logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a≠1 uchun. Isbot qilish qiyin emas: a>0 va a≠1 yuqoridagi shartlarni qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, isbotlanishi kerak bo‘lgan log a 1=0 tenglik logarifm ta’rifidan darhol kelib chiqadi.
Ko'rib chiqilayotgan xossaning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0, log1=0 va .
Keling, davom etaylik quyidagi mulkka: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. Darhaqiqat, har qanday a uchun a 1 =a bo'lganligi sababli, logarifm ta'rifiga ko'ra log a a=1 bo'ladi.
Logarifmlarning bu xossasidan foydalanishga misol qilib log 5 5=1, log 5,6 5,6 va lne=1 tengliklarini keltirish mumkin.
Masalan, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 va 
.
Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y bu raqamlarning logarifmlarining ko'paytmasiga teng: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xususiyatlari tufayli a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, va asosiy logarifmik identifikatsiya bo'yicha log a x =x va log a y =y bo'lganligi sababli, log a x ·a log a y =x·y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x·y, undan logarifm ta’rifi bilan isbotlanayotgan tenglik kelib chiqadi.
Mahsulot logarifmi xossasidan foydalanishga misollarni ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va 
.
Mahsulot logarifmining xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu tenglikni muammosiz isbotlash mumkin.
Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va sonlarining uchta natural logarifmi yig'indisi bilan almashtirish mumkin.
Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmining xossasi a>0, a≠1, x va y ba'zi musbat sonlar bo'lgan shakldagi formulaga mos keladi. Ushbu formulaning to'g'riligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri 
, keyin logarifmning ta'rifi bo'yicha.
Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: 
.
Keling, davom etaylik kuch logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Kuch logarifmining bu xossasini formula sifatida yozamiz: log a b p =p·log a |b|, bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.
Avval bu xususiyatni ijobiy b uchun isbotlaymiz. Asoslar logarifmik identifikatsiya b sonini log a b, keyin b p =(a log a b) p ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi va hosil bo'lgan ifoda kuch xususiyatiga ko'ra p·log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p·log a b tengligiga kelamiz, undan logarifm ta'rifi bilan log a b p =p·log a b degan xulosaga kelamiz.
Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash uchun qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p. Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, qaerdan log a b p =p·log a |b| .
Masalan, 
va ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n- ildizning logarifmi 1/n kasrning radikal ifoda logarifmiga ko‘paytmasiga teng, ya’ni: 
, bu yerda a>0, a≠1, n – natural son, birdan katta, b>0.
Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (qarang) va kuchning logarifmi xossasiga asoslanadi: 
.
Bu xususiyatdan foydalanishga misol: 
.
Endi isbot qilaylik yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi mehribon 
. Buning uchun tenglik log c b=log a b·log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b =log a b log c a. Bu log c b=log a b·log c a tengligini isbotlaydi, ya'ni yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ham isbotlangan.
Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatidan foydalanishga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va 
.
Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Misol uchun, u natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun ishlatilishi mumkin, shunda siz logarifmalar jadvalidan logarifmaning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda, ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.
Ko'pincha shaklning c=b uchun yangi logarifm bazasiga o'tish formulasining maxsus holati qo'llaniladi 
. Bu log a b va log b a – ekanligini ko'rsatadi. Masalan, 
.
Formula ham tez-tez ishlatiladi 
, bu logarifm qiymatlarini topish uchun qulay. Bizning so'zlarimizni tasdiqlash uchun biz undan qanday qilib logarifma shaklini hisoblashda foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor 
. Formulani isbotlash uchun 
a logarifmining yangi bazasiga o'tish uchun formuladan foydalanish kifoya: 
.
Logarifmlarni solishtirish xususiyatlarini isbotlash qoladi.
Har qanday musbat sonlar uchun b 1 va b 2, b 1 ekanligini isbotlaylik log a b 2, a>1 uchun esa – tengsizlik log a b 1 Va nihoyat, logarifmlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash qoladi. Keling, uning birinchi qismini isbotlash bilan cheklanamiz, ya'ni agar a 1 >1, a 2 >1 va 1 bo'lishini isbotlaymiz. 1 rost log a 1 b>log a 2 b . Logarifmlarning ushbu xossasining qolgan bayonotlari shunga o'xshash printsip bo'yicha isbotlangan. Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, 1 >1, 2 >1 va 1 uchun 1 haqiqiy log a 1 b≤log a 2 b. Logarifmlarning xossalariga asoslanib, bu tengsizliklarni quyidagicha qayta yozish mumkin 
Va 
mos ravishda va ulardan log b a 1 ≤log b a 2 va log b a 1 ≥log b a 2 ekanligi kelib chiqadi. Keyin bir xil asosli darajalar xossalariga ko'ra, b log b a 1 ≥b log b a 2 va b log b a 1 ≥b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 ≥a 2 bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 shartiga qarama-qarshilikka keldik
Adabiyotlar ro'yxati.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).
(yunoncha lōgos - "so'z", "munosabat" va ἀrĸmos - "raqam" dan) raqamlar b asoslangan a(log a b) shunday son deyiladi c, Va b= a c, ya'ni log a ni qayd qiladi b=c Va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.
Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b asoslangan A raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat musbat raqamlar uchun mavjud).
Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.
Masalan:
log 2 8 = 3, chunki 8 = 2 3.
Shuni ta'kidlash kerakki, logarifmning belgilangan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati, logarifm belgisi ostidagi raqam bazaning ma'lum bir kuchi sifatida harakat qilganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b asoslangan a teng Bilan. Logarifmlar mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqamning vakolatlari.
Logarifmni hisoblash deyiladi logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifmlarni qabul qilishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.
Potentsiyalash logarifmning teskari matematik amalidir. Potentsiyalash vaqtida berilgan baza potentsiallash amalga oshiriladigan ifoda darajasiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.
Ko'pincha haqiqiy logarifmlar 2 (ikkilik), Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) asoslari bilan qo'llaniladi.
Ushbu bosqichda e'tiborga olish tavsiya etiladi Logarifm namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Va lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida manfiy raqam mavjud. asosda, uchinchisida esa logarifm belgisi ostida manfiy son va asosda birlik mavjud.
Logarifmni aniqlash shartlari.
Biz a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bunda bizga x = log a shaklidagi tenglik yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.
Keling, shartni olaylik a≠1. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, x=log a tengligi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf qilish uchun biz olamiz a≠1.
Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va shunga ko'ra, keyin log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni shart bilan bartaraf etish mumkin a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli daraja faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart belgilab qo'yilgan a>0.
Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat asosga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.
Logarifmlarning xususiyatlari.
Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shilishga, bo'linish ayirishga, daraja va ildiz chiqarish esa mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylantiriladi.
Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va kompyuterlar qo‘llanilgunga qadar o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.
ga nisbatan
qolgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Agar a va keyin N berilgan bo'lsa, ular daraja ko'tarish yo'li bilan topiladi. Agar N va keyin a x darajaning ildizini olish (yoki uni darajaga ko'tarish) bilan berilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda biz x ni topishimiz kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik.
N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .
Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi
Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich a asosga N ning logarifmi sifatida topiladi. Xabarlar
bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; haqiqatda logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. Ushbu ta'rifga ko'ra, a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmik N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosga ega bo'lgan har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa asoslanmaydi, chunki x va y ning har qanday qiymatlari uchun tenglik to'g'ri.
Misol 1. Toping
Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani quvvatga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.
Bunday misollarni echishda siz quyidagi shaklda eslatma qilishingiz mumkin:
2-misol. Toping.
Yechim. Bizda ... bor
1 va 2-misollarda logarifm sonini asosning ratsional darajali darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir masalaga e'tibor qaratamiz. 12-bandda biz berilgan ijobiy raqamning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.
Keling, logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha bizda va qayerdan bo'lsin
Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin
2- xossa. Birning har qanday asosga logarifmi nolga teng.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, (10.1) ga qarang). Bu yerdan
Q.E.D.
Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .
Logarifmlarning keyingi xossasini shakllantirishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu sonlardan biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo'lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi, deymiz.
3-xususiyat. Agar son va asos bittaning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; Agar raqam va asos birining qarama-qarshi tomonida bo'lsa, u holda logarifm manfiy bo'ladi.
3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lsa, a ning kuchi birdan katta bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, kuch birdan kichik bo'ladi.
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:
Biz ularning birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.
Demak, tenglikda ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lishi mumkin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lganidek.
3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:
Yechim, a) 15 soni va asos 12 bir tomonda joylashganligi uchun;
b) chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; bu holda, asosning logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;
v) 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;
G) ; Nega?
d) ; Nega?
Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifmatsiya qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi va darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.
4-xususiyat (mahsulot logarifmi qoidasi). Bir nechta musbat sonlarning berilgan asosga ko‘paytmasining logarifmi shu sonlarning bir xil asosga bo‘lgan logarifmlari yig‘indisiga teng.
Isbot. Berilgan raqamlar ijobiy bo'lsin.
Ularning mahsulotining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:
Bu yerdan biz topamiz
Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:
E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz
Umuman olganda, agar bir nechta omillarning mahsuloti ijobiy bo'lsa, uning logarifmi ushbu omillarning mutlaq qiymatlari logarifmlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
5-xususiyat (ko'rsatkichlarning logarifmlarini olish qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosga olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Biz doimiy ravishda topamiz
Q.E.D.
6-xususiyat (quvvat logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko'rsatkichga ko'paytirishga teng.
Isbot. Raqamning asosiy identifikatorini (26.1) qayta yozamiz:
Q.E.D.
Natija. Ijobiy sonning ildizining logarifmi ildizning ko'rsatkichiga bo'lingan radikalning logarifmiga teng:
Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va qanday ishlatishni tasavvur qilish orqali isbotlash mumkin.
4-misol. a asosi uchun logarifmni oling:
a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);
b) (taxmin qilinadi).
Yechim, a) Ushbu ifodada kasr darajalariga o'tish qulay:
(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:
Biz raqamlarning logarifmlari ustida raqamlarning o'ziga qaraganda soddaroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'lishda ular ayiriladi va hokazo.
Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llaniladi (29-bandga qarang).
Logarifmning teskari harakati potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsiallash - bu sonning berilgan logarifmasidan sonning o'zi topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani bir darajaga ko'tarishdan iborat (sonning logarifmiga teng). "Potensiyalash" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.
Potentsiyalashda logarifmlash qoidalariga teskari qoidalardan foydalanish kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar oldinda omil mavjud bo'lsa. logarifm belgisining belgisi bo'lsa, u holda potensiyalash paytida uni logarifm belgisi ostida ko'rsatkich darajalariga o'tkazish kerak.
5-misol. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping
Yechim. Potentsiyalashning hozirgina bayon qilingan qoidasi bilan bog'liq holda, biz ushbu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida turgan 2/3 va 1/3 ko'paytmalarni ushbu logarifmlarning belgilari ostida ko'rsatkichlarga o'tkazamiz; olamiz
Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:
bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-band).
7 xossa. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda katta son kattaroq logarifmaga ega (kichikroq esa kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, katta raqam kichikroq logarifmaga ega bo'ladi (va kichikroq). bittasi kattaroq).
Bu xususiyat, shuningdek, ikkala tomoni ijobiy bo'lgan tengsizliklarning logarifmlarini olish qoidasi sifatida tuzilgan:
Tengsizliklarni birdan katta asosga logarifmlashda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifmlashda esa tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi (80-bandga ham qarang).
Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmlarni olib, olingan holatni ko'rib chiqing.
(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan
Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.
Bugun biz bu haqda gaplashamiz logarifm formulalari va biz ko'rsatma beramiz yechim misollari.
Ularning o'zlari logarifmlarning asosiy xususiyatlariga ko'ra yechim naqshlarini nazarda tutadi. Yechish uchun logarifmik formulalarni qo'llashdan oldin barcha xususiyatlarni eslatib o'tamiz:
Endi ushbu formulalar (xususiyatlar) asosida biz ko'rsatamiz logarifmlarni yechishga misollar.
Formulalar asosida logarifmlarni yechishga misollar.
Logarifm a asosiga musbat b soni (log a b bilan belgilanadi) ko'rsatkich bo'lib, b olish uchun a ko'tarilishi kerak, b > 0, a > 0 va 1.
Ta'rifga ko'ra, log a b = x, bu a x = b ga ekvivalent, shuning uchun log a a x = x.
Logarifmlar, misollar:
log 2 8 = 3, chunki 2 3 = 8
log 7 49 = 2, chunki 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, chunki 5 -1 = 1/5
O'nlik logarifm- bu oddiy logarifm, asosi 10. U lg deb belgilanadi.
log 10 100 = 2, chunki 10 2 = 100
Tabiiy logarifm- ham oddiy logarifm, logarifm, lekin asosi e (e = 2,71828... - irratsional son) bilan. ln sifatida belgilanadi.
Logarifmlarning formulalarini yoki xossalarini yodlab olish maqsadga muvofiqdir, chunki ular bizga keyinchalik logarifmlar, logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda kerak bo‘ladi. Keling, har bir formulani misollar bilan qayta ishlaymiz.
- Asosiy logarifmik identifikatsiya
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Mahsulotning logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Bo'limning logarifmi logarifmlarning farqiga teng
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logarifmik sonning kuchi va logarifm asosining xossalari
log a b m = mlog a b logarifmik sonning ko‘rsatkichi
Log a n b =1/n*log a b logarifm asosining ko‘rsatkichi
log a n b m = m/n*log a b,
agar m = n, log a n b n = log a b ni olamiz
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Yangi poydevorga o'tish
log a b = log c b/log c a,c = b bo'lsa, log b b = 1 ni olamiz
keyin log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Ko'rib turganingizdek, logarifmlar uchun formulalar ular ko'rinadigan darajada murakkab emas. Endi logarifmlarni yechish misollarini ko‘rib chiqib, logarifmik tenglamalarga o‘tishimiz mumkin. Logarifmik tenglamalarni echish misollarini maqolada batafsil ko'rib chiqamiz: "". O'tkazib yuborma!
Agar sizda hali ham yechim haqida savollaringiz bo'lsa, ularni maqolaga sharhlarda yozing.
Eslatma: biz variant sifatida boshqa toifadagi ta'lim va chet elda o'qishga qaror qildik.