uchun d'Alember printsipi moddiy nuqta. Nyuton qonunlariga muvofiq harakat tenglamasini yozish shakli yagona emas. Bu tenglamalarni boshqa shakllarda ham yozish mumkin. Shunday imkoniyatlardan biri d'Alember printsipi, bu harakatning differensial tenglamalarining muvozanat tenglamalari shaklini olishiga rasmiy ruxsat beradi.

Bu tamoyil Nyutonning ikkinchi qonuni oʻrnini bosuvchi mustaqil aksioma sifatida qaralishi mumkin. Keling, uni masalalarni hal qilish vositasi sifatida ishlatamiz va uni Nyuton qonunidan chiqaramiz.

ga nisbatan moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqamiz inertial tizim ortga hisoblash. Bepul moddiy nuqta uchun

bizda ... bor: bu = = I.

O'tkazilayotgan vektor bu Tenglikning o'ng tomonida bu munosabat muvozanat tenglamasi sifatida ifodalanishi mumkin: Men o'shaman 0.

Keling, kontseptsiyani kiritaylik inertsiya kuchlari. Tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan va nuqta massasi va uning tezlanishi ko'paytmasiga teng vektor deb ataylik. moddiy nuqtaning inersiya kuchi: = -ta.

Ushbu kontseptsiyadan foydalanib, biz yozishimiz mumkin (3.42-rasm):

• ? ^ + P"n) = 0. (3.47)

Guruch. 3.42.

moddiy nuqta uchun

Tenglama (3.47) erkin moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi: Agar nuqtaga qo'llaniladigan kuchlarga inersiya kuchini qo'shsak, u holda nuqta muvozanat holatida bo'ladi.

To'g'ri aytganda, bayon etilgan pozitsiya muallif tomonidan shakllantirilgan shaklda D'Alemberning printsipi emas.

d'Alember o'yladi nuqtaning erkin harakatlanishi, ulanishlardan ozod bo'lish printsipidan foydalanmasdan, ulanish reaktsiyasini kiritmasdan. Bog'lanish mavjud bo'lganda, nuqtaning tezlashishi kuch va yo'nalish bo'yicha mos kelmasligini ta'kidladi. ta F R, tushunchasini kiritdi yo'qolgan quvvat P - bu va yo'qolgan kuchning nuqtaga qo'llanilishi uning muvozanat holatini buzmasligini aytdi, chunki yo'qolgan kuch ulanish reaktsiyasi bilan muvozanatlanadi.

Munosabatlar (3.47) hisoblanadi kinetostatikaning asosiy tenglamasi, yoki Hermanning Peterburg printsipi tenglamasi-Eyler. Kinetostatika usulini d'Alembert printsipi yozuvining modifikatsiyasi sifatida ko'rib chiqish mumkin, shu jumladan erkin moddiy nuqta uchun qulayroq. amaliy foydalanish. Shuning uchun, ko'pchilikda adabiy manbalar(3.47) tenglama d'Alember printsipi deb ataladi.

Agar nuqta bepul bo'lmasa, ya'ni. unga aloqa o'rnatilgan bo'lsa, nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarni faol kuchlarga bo'lish qulay 1, R°(so'rang -

e) va boshqaruv blokining ulanish reaktsiyasi: p(a) + N =

Ushbu texnika qulay, chunki ba'zi turdagi ulanishlar bilan bu ulanishlarning reaktsiyalari unga kiritilmasligi uchun harakat tenglamasini yaratish mumkin. Shunday qilib, erkin bo'lmagan nuqta uchun d'Alember printsipi quyidagicha yozilishi mumkin (3.43-rasm):

R(a)+ /V + R Sh) = 0, (3.48)

ya'ni, agar erkin bo'lmagan moddiy nuqtaga faol kuchlar va bog'lanish reaktsiyalariga qo'shimcha ravishda, inersiya kuchi qo'llanilsa, unda hosil bo'lgan kuchlar tizimi istalgan vaqtda muvozanatda bo'ladi.

Guruch. 3.43.

moddiy nuqta

A- ingliz tilidan, faol- faol. Eslatib o'tamiz, faol kuchlar barcha ulanishlar olib tashlanganda o'z qiymatlarini saqlaydigan kuchlardir.

Nuqtaning egri chiziqli harakatini ko'rib chiqishda inersiya kuchini ikkita komponent shaklida ifodalash tavsiya etiladi: G "‘ p) = -ta p- markazdan qochma va Shch,n) = -ta x - tangens (3.44-rasm).

Guruch. 3.44.

moddiy nuqtaning harakati

Eslatib o'tamiz, normal va tangensial tezlanishlar qiymatlari uchun ifodalar quyidagi shaklga ega: a p -U 2 / p va i t = s1U D/L

Keyin biz yozishimiz mumkin: R^t) - -t-p Rr p) - -t-t, yoki nihoyat: R

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Tenglik (3.49) erkin bo'lmagan nuqtaning egri chiziqli harakati uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi.

Uzunlikdagi ipni ko'rib chiqing /, uning oxirida massa nuqtasi biriktirilgan T. Ip atrofida aylanadi vertikal o'q, generatrixning doimiy moyillik burchagi bilan konusning sirtini tasvirlash A. Nuqtaning mos keladigan doimiy tezligini va ipning tarangligini aniqlang T(3.45-rasm).

Guruch. 3.45.

erkin bo'lmagan moddiy nuqtaning harakati

Ha, lekin: /va,/, a = const. Toping: T, V.

Tegishli tezlanish komponentlariga qarama-qarshi yo'naltirilgan nuqtaga inersiya kuchlarini qo'llaymiz. E'tibor bering, inertsiyaning tangensial kuchi nolga teng, chunki shartga ko'ra tezlik doimiydir:

/1°") = -ta = -t-= Oh,

va markazdan qochma inertsiya kuchi ifoda bilan aniqlanadi R^t) = TU 2 /r, bu erda p = / Bta.

Bu masalaga d'Alember printsipini qo'llash o'rganilayotgan moddiy nuqtaning harakat tenglamasini yaqinlashuvchi kuchlar uchun muvozanat sharti ko'rinishida yozishga imkon beradi: T? + T + PP p) = 0.

Bunday holda, barcha muvozanat tenglamalari tabiiy koordinata o'qlariga proyeksiya qilishda haqiqiydir:

X^„=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T kosa = 0,

+ T sin a =

-mg + T kosa = 0,

uni qayerdan topamiz? T= /u#/soBa; V= Btal/^/Tsosa.

Moddiy nuqtalar tizimi uchun D'Alember printsipi. Harakatni ko'rib chiqing mexanik tizim moddiy nuqtalar. OMSning kelib chiqishida bo'lgani kabi, biz har bir nuqtaga qo'llaniladigan kuchlarni tashqi va ichki qismlarga ajratamiz (3.46-rasm).

Guruch. 3.46.

Natija bo'lsin tashqi kuchlar, i-nuqtaga qo'llaniladigan va /G (A) bir xil nuqtaga qo'llaniladigan ichki kuchlarning natijasidir d'Alember printsipiga muvofiq, tizimning har bir moddiy nuqtasiga inertial kuchlar qo'llanilishi kerak: Rr p) = -t,a g

Keyin tizimning har bir nuqtasiga qo'llaniladigan kuchlar nisbatni qondiradi:

1?E) + rU) + r0p)

bular. moddiy nuqtalar tizimi, agar uning har bir nuqtasiga qo'shimcha inersiya kuchlari qo'llanilsa, muvozanat holatida bo'ladi. Shunday qilib, d'Alember prinsipi yordamida sistemaning harakat tenglamalarini muvozanat tenglamalari shaklini berish mumkin.

Inersiya kuchlari va tashqi kuchlarning statik ekvivalentlaridan foydalangan holda tizim muvozanatining kinetostatik shartlarini ifodalaylik. Buning uchun keling, hammasini jamlaymiz P tenglamalar (A), tizimning alohida nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarni tavsiflash. Keyin biz ixtiyoriy nuqtaga nisbatan alohida nuqtalarga qo'llaniladigan barcha tashqi va ichki kuchlar va inersiya kuchlarining momentlarini hisoblaymiz. HAQIDA:

g a X P" E> +g a X /*") +g a X R t > =0. і = 1,2,...,«.

Keyin biz yig'ishni amalga oshiramiz, natijada biz olamiz

// p p

'(E) і G(1)

1l (?) +L (/) +L (,p) = 0;

[M (0 E) + M (0 p + M% a) = 0.

Chunki K i)= 0 va M 1 0 p = 0, keyin bizda nihoyat:

II (?) + L (/I) =0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

(3.50) tenglamalar sistemasidan ko`rinib turibdiki asosiy vektor inertsiya kuchlari tashqi kuchlarning asosiy vektori bilan muvozanatlanadi va Asosiy nuqta ixtiyoriy nuqtaga nisbatan inersiya kuchlari bir xil nuqtaga nisbatan tashqi kuchlarning asosiy momenti bilan muvozanatlanadi.

Masalalarni yechishda inersiya kuchlarining bosh vektori va bosh momenti uchun ifodalar bo’lishi kerak. Bu vektorlarning kattaliklari va yo'nalishlari alohida nuqtalarning tezlanishlari va ularning massalarining taqsimlanishiga bog'liq. Qoida tariqasida, to'g'ridan-to'g'ri aniqlash men (sh) Va M(""] geometrik yig'indini nisbatan oddiygina bajarish mumkin P - 2 yoki P= 3. Shu bilan birga, harakat masalasida qattiq kinematik xususiyatlarga qarab harakatning ayrim maxsus holatlarida inersiya kuchlarining statik ekvivalentlarini ifodalash mumkin.

Har xil harakat holatlaridagi qattiq jismning asosiy vektori va inersiya kuchlarining asosiy momenti. Massalar markazining harakati haqidagi teoremaga ko'ra t c a c = I (E). D'Alember printsipiga ko'ra bizda: I (1P) + I (E) = Oh, qayerdan topamiz: men" 1P) = -t s a s. Shunday qilib, tananing har qanday harakati bilan inertsiya kuchlarining asosiy vektori tana massasi va massa markazining tezlanishi ko'paytmasiga teng va massa markazining tezlanishiga teskari yo'naltirilgan.(3.47-rasm).

Guruch. 3.47.

Jismning moddiy simmetriya tekisligiga perpendikulyar qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati paytidagi inersiya kuchlarining asosiy momentini ifodalaymiz (3.48-rasm). Nuqtaga qo'llaniladigan inersiya kuchlari: R"! n) = m, x op; 2 va R? P)= /u,er,.

Barcha markazdan qochma inersiya kuchlari aylanish o'qini kesib o'tganligi sababli, bu inersiya kuchlarining asosiy momenti nolga, tangensial inersiya kuchlarining asosiy momenti esa quyidagilarga teng:

m t =?_ C > P(= ?-sh.d x/P. = = -e?/i.p; = - J z g. (3.51)

Shunday qilib, aylanish o‘qiga nisbatan tangensial inersiya kuchlarining asosiy momenti shu o‘qga nisbatan inersiya momenti va burchak tezlanishi ko‘paytmasiga teng, tangensial inersiya kuchlarining asosiy momentining yo‘nalishi esa aylanish o‘qiga teskari bo‘ladi. burchak tezlanish yo'nalishi.

Guruch. 3.48.

aylanish o'qiga nisbatan

Keyinchalik, tananing tekis-parallel harakati paytida inersiya kuchlarini ifodalaymiz. Jismning tekis-parallel harakatini (3.49-rasm) translatsiya harakatining yig'indisi sifatida ko'rib chiqish massa markazi bilan birga Va aylanish harakati atrofida massa markazidan o'tadigan o'q harakat tekisligiga perpendikulyar, massa markazining harakat tekisligi bilan mos keladigan moddiy simmetriya tekisligi mavjudligida, tekis-parallel harakat paytida inersiya kuchlari asosiy vektorga ekvivalent ekanligini isbotlash mumkin /? ("n) massa markazining tezlanishiga qarama-qarshi bo'lgan massa markaziga va inersiya kuchlarining asosiy momentiga qo'llaniladi. M^n) nisbatan markaziy o'q, harakat tekisligiga perpendikulyar, burchak tezlanishiga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan:

Guruch. 3.49.

Eslatmalar

• 1. E'tibor bering, chunki d'Alember printsipi imkon beradi shunchaki harakat tenglamasini muvozanat tenglamasi shaklida yozing, u holda harakat tenglamasining hech qanday integralini bermaydi.
• 2. Shuni ta'kidlab o'tamiz inertial kuch d'Alember printsipi xayoliy kulrang faqat muvozanat tizimini olish uchun harakat qiluvchi kuchlarga qo'shimcha ravishda qo'llaniladi. Biroq, tabiatda inertsiya kuchlariga geometrik jihatdan teng kuchlar mavjud, ammo bu kuchlar boshqa (tezlashtiruvchi) jismlarga qo'llaniladi, ular bilan o'zaro ta'sirda tezlashtiruvchi kuch paydo bo'ladi va harakatlanuvchi jismga qo'llaniladi. Misol uchun, gorizontal tekislikda aylana bo'ylab doimiy tezlikda aylanadigan ipga biriktirilgan nuqtani harakatlantirganda, ipning tarangligi to'liq teng bo'ladi. inertial kuch, bular. nuqtaning ipga ta'sir qilish kuchi, nuqta esa ipning unga bo'lgan reaksiyasi ta'sirida harakat qiladi.
• 3. Yuqorida aytib o'tilganidek, D'Alember printsipining berilgan shakli D'Alembertning o'zi ishlatganidan farq qiladi. Bu yerda qo‘llanilgan sistema harakatining differensial tenglamalarini tuzish usuli bir qator peterburglik olimlar tomonidan ishlab chiqilgan va kengaytirilgan va shunday deyilgan. kinetostatik usul.

Temir yo'l transporti dinamikasining ba'zi muammolariga mexanika usullarini qo'llash:

? temir yo'l transport vositasining egri chiziq bo'ylab harakatlanishi. Hozirda imkoniyatlar tufayli kompyuter texnologiyasi temir yo'l transport vositasi egri chiziq bo'ylab harakat qilganda sodir bo'ladigan barcha mexanik hodisalarni tahlil qilish etarli murakkab model, bu tizimning alohida jismlarining butun majmuasini va ular orasidagi aloqalarning xususiyatlarini hisobga oladi. Ushbu yondashuv bizga harakatning barcha kerakli kinematik va dinamik xususiyatlarini olish imkonini beradi.

Biroq, texnik adabiyotlarda yakuniy natijalarni tahlil qilish va dastlabki taxminiy hisob-kitoblarni amalga oshirishda mexanikaning ma'lum tushunchalarining ma'lum buzilishlariga tez-tez duch keladi. Shuning uchun, ekipajning egri chiziqdagi harakatini tavsiflashda qo'llaniladigan juda "birlamchi asoslar" haqida gapirish tavsiya etiladi.

Keling, elementar formulada ko'rib chiqilayotgan jarayonlarning ba'zi matematik tavsiflarini keltiramiz.

Xususiyatlarni to'g'ri, izchil tushuntirish uchun ekipajning statsionar harakati dumaloq egri chiziqda sizga kerak:

• ushbu harakatni tasvirlash uchun ishlatiladigan mexanik usulni tanlang;
• aniq, mexanik nuqtai nazardan, "kuch" tushunchasidan kelib chiqing;
• harakat va reaksiya tengligi qonunini unutmang.

Ekipajning egri chiziqda harakatlanish jarayoni muqarrar ravishda tezlik yo'nalishini o'zgartirishni o'z ichiga oladi. Ushbu o'zgarish tezligining xarakteristikasi massa markazining egri chiziqli traektoriyasining egrilik markaziga yo'naltirilgan normal tezlashuvdir: a n - V 2/r, bu erda r - egri chiziqning radiusi.

Harakat paytida ekipaj temir yo'l bilan o'zaro ta'sir qiladi, natijada g'ildirak juftlariga normal va tangensial reaktiv kuchlar qo'llaniladi. Tabiiyki, relslarga teng va qarama-qarshi bosim kuchlari qo'llaniladi. Taqdim etilgan mexanik tushunchalarga ko'ra, kuch jismlarning yoki jismning va maydonning o'zaro ta'siri natijasi sifatida tushuniladi. Ko'rib chiqilayotgan muammoda ikkita jismoniy tizim mavjud: g'ildiraklari bo'lgan vagon va temir yo'l, shuning uchun ularning aloqa joylarida kuchlar izlash kerak; Bundan tashqari, ekipaj va Yerning tortishish maydonining o'zaro ta'siri tortishish kuchini yaratadi.

Ekipajning egri chiziqdagi harakati tavsifi yordamida amalga oshirilishi mumkin dinamikaning umumiy teoremalari, sog'liq sug'urtasining oqibatlari bo'lgan yoki asoslangan mexanika tamoyillari(masalan, d'Alember printsipi), bu asosdir kinetostatik usul.

Tushuntirish istagi teng xususiyatlar ekipaj harakatining xususiyatlari bo'yicha yo'l o'qining egriligini hisobga olish usullari, biz birinchi navbatda eng oddiy ideallashtirilgan modeldan foydalanamiz. Biz ekipajni ushbu tizimning massasiga teng massaga ega bo'lgan moddiy samolyot sifatida ko'rib chiqamiz.

Ushbu tekislikda yotgan massa markazi ma'lum bir harakatni yo'lning o'qiga mos keladigan traektoriya bo'ylab tezlik bilan amalga oshiradi. V. Temir yo'l bilan aloqa harakatlanuvchi tekislikning temir yo'l iplari bilan kesishgan ikkita nuqtasida amalga oshiriladi. Shuning uchun, ekipajning temir yo'l bilan o'zaro ta'siri haqida gapirganda, biz relslarning har biridan alohida g'ildirak guruhlaridagi relslarning barcha reaktsiyalarining natijasini ifodalovchi konsentrlangan kuchlar haqida gapirishimiz mumkin. Bundan tashqari, reaktiv kuchlarning paydo bo'lishining tabiati muhim emas;

? ekipajning tashqi relsni ko'tarmasdan yo'l bo'ylab harakatlanishi. Shaklda. 3.50-rasmda egri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi ekipajning konstruktiv diagrammasi ko'rsatilgan. Tashqi va ichki relslar, ichida Ushbu holatda, bir xil darajada joylashgan. Shaklda. 3.50da ekipajga ta'sir qiluvchi kuchlar va ulanishlarning reaktsiyalari ko'rsatilgan. Keling, yo'qligini ta'kidlaylik Ushbu sxemada haqiqiy markazdan qochma kuchlar mavjud emas.

Nyuton geometrik mexanikasi doirasida avtomobilning egri chiziqdagi harakati tizim dinamikasining umumiy teoremalari bilan tavsiflanadi.

Bu holda, massalar markazining harakati haqidagi teoremaga ko'ra,

t s a s - I a) , (a)

bu yerda R) tashqi kuchlarning asosiy vektori.

Ifodaning ikkala tomonini loyihalash (A) markazi ekipajning massa markazida joylashgan, m, i birlik vektorlari bilan birga keladigan tabiiy koordinata o'qlariga, b va hisoblash t s = T.

Asosiy normalga proektsiyada biz olamiz man = Fn, yoki

mV /p = F„ (b)

Qayerda Fn - haqiqiy kuch relsning g'ildiraklar silsilasiga bo'lgan reaktsiyalari, bu relslarning traektoriyaga normal bo'lgan reaktsiyalarining proektsiyalarining yig'indisi. Bu g'ildiraklarning gardishlarida relslarning yo'naltiruvchi bosim kuchlari bo'lishi mumkin. Bu yo'nalishda boshqa tashqi kuchlar yo'q.

Ifodaning proyeksiyasida (A) binormal uchun biz olamiz:

O = -mg + N tashqari + N karvonsaroy. (bilan)

Mana indekslar chiqib 1 tashqisiga mos keladi, a karvonsaroy - egri chiziqning ichki chizig'i. Chap tomon(c) ifodasi nolga teng, chunki tezlanishning binormalga proyeksiyasi nolga teng.

Uchinchi tenglamani burchak momentining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib olamiz massa markaziga nisbatan:

dK c /dt = ^M c. (d)

Ifodani loyihalash d t o'qi bo'yicha, bu erda t = nx b - birlik vektorlarning vektor mahsuloti P Va b, shuni hisobga olgan holda K Cl=U St so t, U St - ekipajning massa markazining traektoriyasiga teginish o'qiga nisbatan inersiya momenti, biz ega bo'lamiz.

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (f)

chunki dumaloq egri chiziq bo'ylab barqaror harakatda m o'qiga nisbatan burchak tezlanishi nolga teng.

Ifodalar ( b), (c) va (f) chiziqli sistemani ifodalaydi algebraik tenglamalar uchta noma'lum miqdorga nisbatan M-tp> qaysini hal qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

Guruch. 3.50.

Shunday qilib, dinamikaning umumiy teoremalarini izchil qo'llash ko'rib chiqilayotgan muammoda yo'lning egri qismini ekipaj tomonidan o'tishi bilan bog'liq barcha hodisalarni aniqlashga imkon beradi.

Aslida, ikkala g'ildirak ham egri chiziq ichiga yo'naltirilgan kuchlarga bo'ysunadi. Ushbu kuchlarning natijasi ekipajning massa markazi atrofida bir lahza hosil qiladi, bu esa aylanishga va hatto egri chiziqdan tashqariga tushishiga olib kelishi mumkin. V 2 N/r5" > g. Ushbu kuchning harakati g'ildiraklarning aşınmasına olib keladi. Tabiiyki, temir yo'lda harakat qiluvchi qarama-qarshi yo'naltirilgan kuch -R p relsning eskirishiga olib keladi.

E'tibor bering, ko'rsatilgan formulada biz faqat ikkita relsning gorizontal reaktsiyalari natijasini topishimiz mumkin. R. Ushbu kuchning ichki va tashqi relslar o'rtasida taqsimlanishini aniqlash uchun qo'shimcha shartlar yordamida statik noaniq masalani hal qilish kerak. Bundan tashqari, ekipaj harakat qilganda, tashqi va ichki relslarning normal reaktsiyalari mavjud turli ma'nolar. Tashqi relsli ip ko'proq yuklangan.

Ichki ipning aravachaga reaktsiyasi kamroq va ma'lum bir tezlikda qiymat hatto nolga teng bo'lishi mumkin.

Klassik mexanikada bu holat deyiladi ag'darish, garchi hali haqiqiy ag'darish bo'lmasa ham. Haqiqiy ag'darilish holati qachon sodir bo'lishini bilish uchun avtomobilning m ga parallel o'q atrofida aylanishini va g'ildirakning tashqi rels bilan aloqa nuqtasidan o'tishini hisobga olish kerakmi? T F 0. Bu vazifa faqat akademik manfaatga ega, chunki, albatta, bunday holatga haqiqiy tizimni olib kelish mumkin emas.

Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, barcha hodisalarni tushuntirishda biz haqiqatdan kelib chiqdik avtomobilning faqat haqiqiy kuchlar ta'sirida harakati.

E'tibor bering, m o'qi atrofida aylanishning differentsial tenglamasi, hatto = 0 bo'lsa ham, markaziy o'qga nisbatan yoziladi m Bu o'qni boshqa nuqtada tanlash teorema tenglamasining chap tomoni shaklini o'zgartirishga olib keladi. daqiqalar. Shuning uchun, masalan, g'ildirakning rels bilan aloqa nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan bu tenglamani bir xil shaklda yozish mumkin emas, garchi normalning qiymatini topish osonroq bo'lsa ham. reaktsiyalar. Biroq, bu yondashuv noto'g'ri natijaga olib keladi: Va osh = M 1Sh1 = mg| 2.

Ko'rsatish mumkinki, nuqta, masalan, nuqta orqali o'tadigan o'q atrofida aylanish tenglamasi. TO, harakatning tarjima qismidan tananing impuls momentini hisobga olgan holda yozilishi kerak g x x t s: J Cl? t + T(g ks xy g)=^ M X.

Shuning uchun St o'qiga proyeksiyada (c) tenglama o'rniga ifodani olamiz

(8 )

/ St? t + t[g ks X va bilan) t = -tyoB + N ipp 25,

bu yerda St o'qiga proyeksiyaning qiymati qavs ichida yoziladi vektor mahsuloti ? ks ha s.

Keling, bu ketma-ket bajarilishini ko'rsatamiz zarur protseduralar topishga imkon beradi Y sp olingan tenglamadan). Rasmdan. 3.50 bu aniq

g ks - Bp + NH Va a c =

Vektor mahsulotini hisoblaymiz:

Bu erda e'tiborga olinadi php = 0 Va bxn = - t.

TNU 2

2L g/lp 5’,

bu erda biz ichki relsning reaktsiyasini topamiz:

bu (/) ifodasida olingan natija bilan bir xil.

Muammoning taqdimotini yakunlash uchun biz mashinani ko'rib chiqishni ta'kidlaymiz harakat Nyuton geometrik mexanikasi usullaridan foydalanish muammoni hal qilish imkonini beradi xayoliy inertsiyani kiritmasdan. Siz faqat barcha mexanizmlarni to'g'ri ishlatishingiz kerak. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ushbu usuldan foydalanish, masalan, d'Alembert printsipidan foydalangandan ko'ra ko'proq hisob-kitoblarni o'z ichiga olishi mumkin.

Keling, kinetostatik usulning umumiy qabul qilingan ko'rinishida d'Alember printsipidan foydalanish asosida xuddi shu masala qanday hal qilinishini ko'rsatamiz. Bunday holda, qo'shimcha ravishda murojaat qilish kerak

shaxsiy xayoliy inertsiya kuchi: G* = -ta Sp = -T-P. Va teng -

sahifa to'xtaydi, ya'ni. endi uning massa markazining tezlashishi va bilan= 0. Rasmda. 3.51 buni ko'rsatadi dam olish tizimi. Unga qo'llaniladigan barcha kuchlar, shu jumladan inersiya kuchi, kinetik-statik tenglamalarni qondirishi kerak. harakat emas, muvozanat, oldingi holatda bo'lgani kabi.

Bu holat bizga barcha noma'lum miqdorlarni topish imkonini beradi muvozanat tenglamasi. Bunday holda, muvozanat tenglamalari shaklini va momentlar hisoblangan nuqtalarni tanlash o'zboshimchalik bilan amalga oshiriladi. Oxirgi holat barcha noma'lumlarni bir-biridan mustaqil ravishda topishga imkon beradi:

I M. = oh, I m,_= oh

-n = o.

1 da deputat

Guruch. 3.51. Ekipajga bir xil sharoitlarda ta'sir etuvchi kuchlarni hisoblash diagrammasi. 3.50 d'Alember printsipidan foydalangan holda

Ushbu tenglamalar tizimining yechimlari dinamika nazariyasi yordamida olingan mos formulalar bilan mos kelishini ko'rish oson. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda d'Alember tamoyilini qo'llash muammoni hal qilishni biroz soddalashtirishga imkon berdi.

Biroq, natijalarni sharhlashda shuni yodda tutish kerakki, qo'shimcha ravishda qo'llaniladigan inertial kuch xayoliydir, ya'ni haqiqatda ekipajga ta'sir qiluvchi bunday kuch yo'q. Bundan tashqari, bu kuch Nyutonning uchinchi qonunini qondirmaydi - bu kuchning "ikkinchi uchi" yo'q, ya'ni. qarshilik yo'q.

Umuman olganda, mexanikaning ko'pgina muammolarini, shu jumladan egri chiziqda transport vositalarining harakatlanishi masalasini hal qilishda d'Alembert tamoyilini qo'llash qulay. Biroq, hech qanday hodisani bog'lamaslik kerak harakat bu inertial kuch. Masalan, bu markazdan qochma inertsiya kuchi tashqi relsni qo'shimcha ravishda yuklaydi va ichki qismini tushiradi, bundan tashqari, bu kuch vagonning ag'darilishiga olib kelishi mumkinligini aytishimiz mumkin. Bu nafaqat johillik, balki ma'nosiz ham.

Yana bir bor eslatib o'tamizki, egri chiziqdagi vagonga ta'sir etuvchi va uning harakat holatini o'zgartiruvchi tashqi qo'llaniladigan kuchlar tortishish kuchi, relslarning vertikal va gorizontal reaktsiyalari;

? tashqi relsning balandligi bilan egri chiziq bo'ylab vagonning harakati. Ko'rsatilgandek, avtomobil tashqi relsni ko'tarmasdan egri chiziqdan o'tganda yuzaga keladigan jarayonlar kiruvchi oqibatlar bilan bog'liq - relslarning notekis vertikal yuklanishi, relsning g'ildirakka sezilarli normal gorizontal reaktsiyasi, ikkalasining ham aşınmasının kuchayishi bilan birga. g'ildiraklar va relslar, tezlik ma'lum chegaradan oshib ketganda ag'darilib ketish ehtimoli va boshqalar.

Agar tashqi temir yo'l ichki qismdan yuqoriga ko'tarilsa, katta darajada egri chiziqlar o'tishi bilan birga keladigan noxush hodisalardan qochish mumkin. Bunda vagon konusning yuzasi bo'ylab generatrixning gorizontal o'qqa moyillik burchagi bilan aylanadi (3.52-rasm): f L = arksin (L/25), yoki kichik burchaklarda.

F A * L/2 S.

Guruch. 3.52.

ko'tarilgan tashqi temir yo'l bilan

Statsionar holatda, qachon V- const va ph A = const bo'lsa, biz vagonning tekis qismidagi harakatini tashqi relsni ko'tarmasdan egri chiziqqa sig'adigan tarzda ko'rib chiqishimiz mumkin.

Dinamikaning umumiy teoremalaridan foydalangan holda masalani yechish texnikasini ko‘rib chiqamiz. Biz ekipajning massa markazi radiusi p bo'lgan dumaloq egri chiziq bo'ylab harakat qiladi deb taxmin qilamiz, garchi ko'rib chiqilayotgan holatda, qat'iy aytganda, yo'l o'qining egrilik radiusi markazning traektoriyasining egrilik radiusidan farq qiladi. oz miqdorda massa:

N sin avg L ~ N f A « r.

Shuning uchun, p bilan solishtirganda, oxirgi qiymatni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Avtotransportning "tekis qismi" ning harakati hamrohlik qiluvchi o'qlarga tegishli bo'ladi SuSi x(3.52-rasmga qarang), bu erda eksa Su ] yo'l tekisligiga parallel. Da doimiy tezlik harakat, massa markazining tezlashishini uning harakat traektoriyasining asosiy normasiga proyeksiyasi xuddi balandliksiz egri chiziqda harakatlanayotganda yozilishi mumkin, ya'ni. a p = V i/R.

Su o'qi bo'yicha tezlanish proyeksiyalari, va Cz^ mos ravishda teng:

a uh = a p sovf; I. =a„smy h.

Massalar markazining harakati haqidagi teorema va burchak impulsining Cx o'qiga nisbatan o'zgarishi haqidagi teoremaga asoslangan tekis kesmaning harakat tenglamalari quyidagicha:

= 0 ekanligini hisobga olsak, almashtirishdan keyin uchta noma'lum uchun uchta chiziqli algebraik tenglamalar tizimini olamiz. F Vi, N iiw, N (nol:

/i-si Pf l = -mg cos V/ , + N mn + N tashqarida; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = +N ilw S-N oul S + F y H.

Ta'kidlash joizki, tashqi relsning ko'tarilishi tufayli yo'l o'qi tekisligining qiyaligi Cy va Cr o'qlarida massa markazining tezlashuvi proyeksiyasining o'zgarishiga olib keladi, bu o'zgarish bilan bog'liq. relslarning reaktsiyalari balandlikning yo'qligi bilan solishtirganda, qachon A. - 0, a l Tezlanish proyeksiyalaridagi bu o'zgarishlarni, agar transport vositasining egri chiziqning egrilik markazidan o'tuvchi binormal atrofida aylanishini o'qlar atrofida A = co (+ b) bilan ikkita aylanishning geometrik yig'indisi deb hisoblasak, tushuntirish mumkin. y, egri chiziqning bir xil markazidan o'tuvchi.

Tenglamalar tizimini tuzishda (Kimga) burchakning kichikligi sr L ko'zda tutilmagan. Biroq, amalda mumkin bo'lgan dizaynda

wtf A ~ /g/25.

Shunday qilib, kichik fL holatida, ekipajdagi trekning reaktsiyalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimi mavjud. keyingi ko'rinish:

= -g^+ LG,“ + M gsh,;

T- = /gg#--1- g, ;

O = + L/-5 - /U 0I/ 5 + R p N.

Ushbu tenglamalarni yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:

N...... =

mg + tU/G

Juma/77 K VA /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

Balandlik bo'lmaganda maxsus holatda (VA= 0), bu iboralar ilgari olingan (/) bilan mos keladi.

Endi muammoni hal qilish natijalarini tahlil qilishga o'tamiz I F 0.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda temir yo'lning yo'l tekisligiga yo'naltirilgan ko'ndalang reaktsiyasi kamayadi. Bu massa markazining Cy o'qi yo'nalishi bo'yicha tezlanishining shakllanishida nafaqat kuch //, balki tortishish komponenti ham ishtirok etishi bilan izohlanadi. Bundan tashqari, ma'lum bir qiymatda VA= 25K 2 /r? kuch R nolga teng bo'ladi:

Shuni hisobga olib

t g - T,= X A,%>+X A[

• (3.42)

Qavs ichidagi qiymat deyiladi ajoyib tezlashtirish. Qachonni bildiring P = 0, normal tezlanish bo'lgan holatga mos keladi A faqat ekipajning tortishish kuchining d> o'qiga proyeksiyasi bilan hosil bo'ladi.

Ko'rib chiqilayotgan muammoni muhokama qilishda, ba'zida tezlashuv degan murakkab dalil paydo bo'ladi a p gorizontal yo'naltirilgan va tortishish kuchi vertikal (3.52-rasmga qarang) va shuning uchun u ko'rib chiqilayotgan tezlanishni hosil qila olmaydi. a p da R= 0. Bu fikr xatoni o'z ichiga oladi, chunki gorizontal tezlanishning shakllanishida kuchdan tashqari R, D g shya va /U o uG normal reaksiyalar ham ishtirok etadi kichik f L uchun bu ikki reaksiyaning yigindisi 1H tp + 1U oig = mg. Binobarin, tortishish kuchi hali ham gorizontal tezlanishning shakllanishida ishtirok etadi a p, lekin reaksiyalar harakati orqali N tp Va S oiG

Keling, yo'l yuzasiga perpendikulyar bo'lgan relslarning normal reaktsiyalari qanday o'zgarishini muhokama qilaylik.

E'tibor bering, /7 = 0 holatidan farqli o'laroq, reaktsiyalar bir xil qiymatga ortadi TU 2 I/2r28, bu e'tibordan chetda, chunki ///25 - qiymati kichik. Biroq, qat'iy mulohaza yuritishda va iboralar uchun bu atamani tashlab qo'ying N w buni qilma.

Qachon - > -2-, ya'ni. musbat so'ndirilmagan tezlanish bilan, p 25

ichki relsning reaktsiyasi tashqi tomonga qaraganda kamroq, ammo ular orasidagi farq unchalik muhim emas. VA = 0.

Agar ajoyib tezlashuv nolga teng bo'lsa, reaktsiya qiymatlari /U /yal = ga teng bo'ladi. IV osh = mg|2(kichik VA), bular. tashqi relsni ko'tarish nafaqat olish imkonini beradi RU= 0, balki tashqi va tashqi relslardagi bosimni tenglashtirish uchun ham. Ushbu holatlar ikkala rels uchun bir xil eskirish qiymatlariga erishishga imkon beradi.

Shu bilan birga, tashqi temir yo'lning ko'tarilishi tufayli salbiy qiymat paydo bo'lishi mumkin. R", haqiqiy tizimda cheklovsiz ulanishlar bilan transport vositasining eksa bo'ylab sirpanish jarayoniga mos keladi. y g bular. egri chiziq ichida. Yo'lning bir xil qiyaligi tufayli reaktsiyalarning qayta taqsimlanishi mumkin N w Va Yo'q! ustun ma'noga ega M sh.

Shunday qilib, Nyuton geometrik mexanikasi usullaridan foydalangan holda olib borilgan tashqi rels ko'tarilgan yo'l bo'ylab egri chiziq bo'ylab vagonning harakatlanishini o'rganish qo'shimcha terminologik farazlarsiz tizim holatini tahlil qilish imkonini beradi. Fikrlashda inersiya kuchlari mavjud emas.

Keling, D'Alembert printsipi yordamida ekipajning bir xil egri chiziqdagi harakati qanday tasvirlanganligini ko'rib chiqaylik.

Kinetostatik usulni shakllantirishda ushbu tamoyilni avvalgi holatda bo'lgani kabi qo'llash orqali massa markaziga normal (markazdan qochma) inertial kuchni qo'llash kerak. r„p), normal tezlashuvga teskari yo'nalishda yo'naltirilgan (3.53-rasm):

Qayerda tizimi yana to'xtaydi, ya'ni. ekipaj trek bo'ylab harakat qilmaydi. Shunday qilib, barcha kinetik-statik muvozanat tenglamalari haqiqiydir:

I Kimga= °-X g* = O.

/L^ypf, - G' p sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f/; - BIPf, + + N^1

Bu erda qiymatni almashtirsak, har qanday ph /(yoki) uchun tizim (/) bilan bir xil tenglamalar tizimini olamiz. (Kimga) kichikda VA.

Shunday qilib, ikkala usuldan foydalanish mutlaqo bir xil natijalarga olib keladi. Tenglamalar tizimi ( Kimga) va d'Alember printsipi asosida olingan tizim bir xil.

Ayni paytda shuni ta'kidlaymizki Yakuniy natijalar hech qanday inertial kuchlarni o'z ichiga olmaydi. Bu tushunarli, chunki kinetostatik usulning asosi bo'lgan d'Alembert printsipi faqat sistema harakatining differensial tenglamalarini tuzish vositasi. Shu bilan birga, ko'rib chiqilayotgan masalada d'Alember tamoyilini qo'llash hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon berganligini va amaliy hisob-kitoblarni amalga oshirishda tavsiya etilishi mumkinligini ko'ramiz.

Biroq, yana bir bor ta'kidlaymizki, aslida hech qanday kuch yo'q TU 2/ p harakatlanuvchi transport vositasining massa markaziga qo'llaniladi. Shuning uchun egri chiziqdagi harakat bilan bog'liq barcha hodisalar tizimni (/) yechish natijalarini tahlil qilish asosida amalga oshirilganidek tushuntirilishi kerak. (Kimga).

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, ko'rib chiqilayotgan masaladagi "Nyuton usuli" va "D'Alember usuli" faqat harakatning differensial tenglamalarini tuzish uchun ishlatilgan. Bunday holda, birinchi bosqichda biz differentsial tenglamalarning o'zidan boshqa hech qanday ma'lumot olmaymiz. Olingan tenglamalarning keyingi yechimi va bajarilgan tahlil tenglamalarning o'zini olish usuli bilan bog'liq emas.

Guruch. 3.53.

• tashqariga - ingliz tilidan, tashqi - tashqi.
• karvonsaroy - ingliz tilidan, ichki - ichki.
• karvonsaroy - ingliz tilidan, ichki - ichki.

Moddiy nuqta va mexanik tizim dinamikasidagi inersiya kuchlari

Inertsiya kuchi bilan Minus belgisi bilan olingan nuqta massasi va tezlanishining mahsuloti moddiy nuqtadir, ya'ni dinamikada inertial kuchlar quyidagi hollarda qo'llaniladi:

• 1. Moddiy nuqtaning harakatini o'rganishda noinertial(harakatlanuvchi) koordinatalar tizimi, ya'ni nisbiy harakat. Bular ko'pincha Eyler kuchlari deb ataladigan transport va Koriolis inersiya kuchlari.
• 2. Dinamik masalalarni kinetostatik usul yordamida yechishda. Bu usul d'Alembert printsipiga asoslanadi, unga ko'ra moddiy nuqta yoki moddiy nuqtalar tizimining inertial kuchlari ma'lum bir tezlanish bilan harakatlanadi. inertial mos yozuvlar tizimi. Bu inersiya kuchlari d'Alember kuchlari deyiladi.
• 3. Dalamber inersiya kuchlari dinamikaga oid masalalarni Lagranj-D’Alember prinsipi yoki dinamikaning umumiy tenglamasi yordamida yechishda ham qo‘llaniladi.

Dekart koordinata o'qlaridagi proyeksiyalardagi ifoda

Qayerda - Dekart koordinata o'qidagi nuqta tezlanishi proyeksiyalarining modullari.

Da egri chiziqli harakat nuqtalar, inertial kuch tangensial va normal ajralishi mumkin:; , - tangensial va normal tezlanishlar moduli; - traektoriyaning egrilik radiusi;

V- nuqta tezligi.

Moddiy nuqta uchun D'Alember printsipi

Agar bepul bo'lmasa qo'llaniladigan faol kuchlar va birlashtiruvchi reaktsiya kuchlari ta'sirida harakatlanadigan moddiy nuqtaga uning inertsiya kuchini qo'llang, so'ngra istalgan vaqtda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni. geometrik yig'indisi ko'rsatilgan kuchlar nolga teng bo'ladi.

mexanik nuqta tanasi materiali

Qayerda - nuqtaga qo'llaniladigan faol kuchlarning natijasi; - nuqtaga o'rnatilgan bog'lanishlar reaktsiyalari natijasi; moddiy nuqtaning inertsiya kuchi. Eslatma: Aslida, moddiy nuqtaning inertial kuchi nuqtaning o'ziga emas, balki shu nuqtaga tezlanish beradigan jismga qo'llaniladi.

Mexanik tizim uchun D'Alember printsipi

Geometrik yig'indi tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning asosiy vektorlari va tizimning barcha nuqtalarining inersiya kuchlari, shuningdek, istalgan vaqtda erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun bu kuchlarning qaysidir markazga nisbatan asosiy momentlarining geometrik yig'indisi. nolga teng, ya'ni.

Qattiq jismning bosh vektori va inersiya kuchlarining bosh momenti

Tizim nuqtalarining inertsiya kuchlarining asosiy vektori va asosiy momenti berilgan mexanik tizimga kiritilgan har bir qattiq jism uchun alohida aniqlanadi. Ularning ta'rifi statikadan ma'lum bo'lgan Puinsot usuliga asoslangan bo'lib, o'zboshimchalik bilan kuchlar tizimini ma'lum bir markazga olib keladi.

Ushbu usulga asoslanib, tananing barcha nuqtalarining inertial kuchlari, umumiy holda, uning harakatlari massa markaziga keltirilishi va asosiy vektor * va asosiy moment bilan almashtirilishi mumkin. massa markaziga nisbatan. Ular formulalar bo'yicha aniqlanadi ya'ni har qanday uchun qattiq jismning harakatida inersiya kuchlarining asosiy vektori minus belgisi bilan tananing massasi va jismning massa markazining tezlanishi ko'paytmasiga teng; ,Qaerda r kc -- radius vektori k-chi massa markazidan chizilgan nuqtalar. Qattiq jism harakatining alohida holatlarida ushbu formulalar quyidagi shaklga ega:

1. Oldinga harakat.

2. Jismning massa markazidan o'tuvchi o'q atrofida aylanishi

3. Tekis-parallel harakat

Analitik mexanikaga kirish

Analitik mexanikaning asosiy tushunchalari

Analitik mexanika- mexanik tizimlarning harakati yoki muvozanati har qanday mexanik tizimlar uchun qo'llaniladigan umumiy, yagona analitik usullar yordamida o'rganiladigan mexanika sohasi (bo'limi).

Keling, analitik mexanikaning eng xarakterli tushunchalarini ko'rib chiqaylik.

1. Bog'lanishlar va ularning tasnifi.

Ulanishlar-- jismlar ko'rinishidagi har qanday cheklovlar yoki mexanik tizim nuqtalarining harakatiga qo'yilgan har qanday kinematik sharoitlar. Bu cheklovlar tenglamalar yoki tengsizliklar sifatida yozilishi mumkin.

Geometrik aloqalar-- tenglamalari faqat nuqtalar koordinatalarini o'z ichiga olgan bog'lanishlar, ya'ni faqat nuqtalar koordinatalariga cheklovlar qo'yiladi. Bu jismlar, sirtlar, chiziqlar va boshqalar shaklidagi bog'lanishlardir.

Differensial ulanishlar-- nafaqat nuqtalar koordinatalariga, balki ularning tezligiga ham cheklovlar qo'yadigan ulanishlar.

Golonomik aloqalar - barcha geometrik bog'lanishlar va tenglamalari integrallanishi mumkin bo'lgan differensiallar.

Golonomik bo'lmagan aloqalar-- differensial integrallanmaydigan ulanishlar.

Statsionar aloqalar -- tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga olmaydi bog'lanishlar.

Statsionar bo'lmagan kommunikatsiyalar-- vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan bog'lanishlar, ya'ni tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga oladi.

Ikki tomonlama (tutish) ulanishlar -- nuqtaning ikki qarama-qarshi yo'nalishdagi harakatini cheklaydigan bog'lanishlar. Bunday bog'lanishlar tenglamalar bilan tavsiflanadi .

Bir tomonlama(cheklab qo'ymaydigan) bog'lanishlar - harakatni faqat bir yo'nalishda cheklaydigan ulanishlar. Bunday bog'lanishlar tengsizliklar bilan tavsiflanadi

2. Mumkin (virtual) va haqiqiy harakatlar.

Mumkin yoki virtual mexanik tizim nuqtalarining siljishi - bu tizimga yuklangan ulanishlarni ta'minlaydigan xayoliy cheksiz kichik harakatlar.

Mumkin mexanik tizimning harakati bir vaqtning o'zida to'plamidir mumkin bo'lgan harakatlar ulanishlar bilan mos keladigan tizim nuqtalari. Mexanik tizim krank mexanizmi bo'lsin.

Nuqtaning mumkin bo'lgan harakati A kichikligi tufayli to'g'ri chiziqli hisoblangan va unga perpendikulyar yo'naltirilgan harakatdir O.A.

Nuqtaning mumkin bo'lgan harakati IN(slayder) yo'riqnomalarda harakatlanmoqda. Krankning mumkin bo'lgan harakati O.A burilish burchagi, va birlashtiruvchi novda AB -- MCS atrofida burchak ostida (nuqta R).

Yaroqli tizim nuqtalarining siljishlari, shuningdek, bir-birining ustiga qo'yilgan ulanishlarga imkon beruvchi, lekin harakatning dastlabki shartlari va tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olgan holda elementar siljishlar deb ataladi.

Darajalar soni erkinlik S Mexanik tizim - bu ma'lum bir vaqtning o'zida tizim nuqtalariga etkazilishi mumkin bo'lgan mustaqil mumkin bo'lgan harakatlarining soni.

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi (Lagrange printsipi)

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi yoki Lagranj printsipi qo'llaniladigan faol kuchlar ta'sirida erkin bo'lmagan mexanik tizimning muvozanat holatini ifodalaydi. Printsip bayoni.

Balans uchun qo'llaniladigan faol kuchlar ta'sirida tinch holatda bo'lgan ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan erkin bo'lmagan mexanik tizimning barcha faol kuchlarning elementar ishlari yig'indisi teng bo'lishi zarur va etarlidir. Tizimning ko'rib chiqilgan muvozanat holatidan har qanday mumkin bo'lgan siljishidagi o'q:

Dinamikaning umumiy tenglamasi (Lagranj-D'Alember printsipi)

Dinamikaning umumiy tenglamasi jismlari yoki nuqtalari maʼlum tezlanishlar bilan harakatlanadigan erkin boʻlmagan mexanik tizimlar harakatini oʻrganishda qoʻllaniladi.

D'Alember printsipiga ko'ra, mexanik tizimga qo'llaniladigan faol kuchlar yig'indisi, tizimning barcha nuqtalarida birlashtiruvchi reaktsiya kuchlari va inersiya kuchlari muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Agar bunday tizimga mumkin bo'lgan siljishlar printsipini (Lagranj printsipi) qo'llasak, biz birlashtirilgan Lagranj-D'Alembert printsipini yoki dinamikaning umumiy tenglamasi.Ushbu tamoyilning bayonoti.

Erkin harakatlanayotganda Ikki tomonlama, ideal, statsionar va golonomik bog'lanishlarga ega bo'lgan mexanik tizimning har qanday mumkin bo'lgan harakatida tizim nuqtalariga qo'llaniladigan barcha faol kuchlar va inersiya kuchlarining elementar ishlari yig'indisi nolga teng:

Ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari

Lagranj tenglamalari ikkinchi turdagi differensial tenglamalar umumlashtirilgan koordinatalarda mexanik tizimning harakati.

bilan tizim uchun S erkinlik darajalari, bu tenglamalar shaklga ega

Farq ning qisman hosilasining umumiy vaqt hosilasi kinetik energiya umumlashtirilgan tezlik bo'yicha sistema va umumlashtirilgan koordinata bo'ylab kinetik energiyaning qisman hosilasi umumlashtirilgan kuchga teng.

Konservativ mexanik tizimlar uchun Lagranj tenglamalari. Siklik koordinatalar va integrallar

Konservativ tizim uchun umumlashtirilgan kuchlar formula bo'yicha tizimning potentsial energiyasi orqali aniqlanadi

Keyin Lagranj tenglamalari ko'rinishda qayta yoziladi

Chunki potentsial energiya tizim faqat umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasidir, ya'ni, keyin buni hisobga olib, biz uni ko'rinishda taqdim etamiz T - P = L - Lagrange funktsiyasi (kinetik potensial). Nihoyat, konservativ tizim uchun Lagranj tenglamalari

Mexanik tizimning muvozanat holatining barqarorligi

Mexanik tizimlarning muvozanat holatining barqarorligi masalasi tizimlarning tebranish nazariyasida bevosita ahamiyatga ega.

Muvozanat holati barqaror, beqaror va befarq bo'lishi mumkin.

Barqaror muvozanat holati - bu holatdan chiqarilgan mexanik tizim nuqtalari keyinchalik muvozanat holatiga bevosita yaqin bo'lgan kuchlar ta'sirida harakatlanadigan muvozanat holati.

Bu harakat vaqt o'tishi bilan ma'lum darajada takrorlanuvchanlikka ega bo'ladi, ya'ni tizim tebranish harakatini amalga oshiradi.

Beqaror muvozanat holati - kelajakda tizim nuqtalarining o'zboshimchalik bilan kichik og'ishi bilan muvozanat holati. faol kuchlar nuqtalar muvozanat holatidan yanada uzoqlashadi .

Befarq muvozanat holati - tizim nuqtalarining ushbu pozitsiyadan har qanday kichik boshlang'ich og'ishi uchun yangi holatda tizim ham muvozanatda qoladigan muvozanat holati. .

Mexanik tizimning barqaror muvozanat holatini aniqlashning turli usullari mavjud.

ga asoslangan barqaror muvozanat holatining ta'rifini ko'rib chiqamiz Lagranj-Diriklet teoremalari

Agar pozitsiyada bo'lsa konservativ mexanik tizimning ideal va bilan muvozanati qattiq ulanishlar uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqaror bo'ladi.

Ta'sir hodisasi. Ta'sir kuchi va zarba impulsi

Jismdagi nuqtalarning tezligi arzimaydigan darajada kichik vaqt oralig'ida cheklangan miqdorga o'zgarishi hodisasi deyiladi. puflamoq. Bu vaqt davri deyiladi ta'sir qilish vaqti. Ta'sir paytida cheksiz kichik vaqt oralig'ida ta'sir kuchi ta'sir qiladi. Ta'sir kuchi ta'sir paytidagi impulsi cheklangan qiymat bo'lgan kuch deb ataladi.

Agar kuch modulda chekli bo'lsa vaqt o'tishi bilan harakat qiladi, o'z harakatini vaqtning bir lahzasida boshlaydi , keyin uning impulsi shaklga ega bo'ladi

Bundan tashqari, ta'sir kuchi moddiy nuqtaga ta'sir qilganda, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:

ta'sir paytida oniy bo'lmagan kuchlarning ta'sirini e'tiborsiz qoldirish mumkin;

ta'sir paytida moddiy nuqtaning harakatiga e'tibor bermaslik mumkin;

ta'sir kuchining moddiy nuqtaga ta'siri natijasi zarba paytida uning tezligi vektorining yakuniy o'zgarishida ifodalanadi.

Mexanik tizim impulsining zarba ta'sirida o'zgarishi haqidagi teorema

ta'sir paytida mexanik tizimning momentumining o'zgarishi barcha tashqi geometrik yig'indiga teng zarba zarbalari, tizimlarning nuqtalariga qo'llaniladi, Qayerda - ta'sir kuchlari tugashi paytida mexanik tizimning harakat miqdori, - ta'sir kuchlari harakat qila boshlagan paytdagi mexanik tizimning harakat miqdori, - tashqi zarba impulsi.

Biz hozirgacha ko'rib chiqqan dinamika muammolarini hal qilishning barcha usullari to'g'ridan-to'g'ri Nyuton qonunlaridan yoki ushbu qonunlarning natijalari bo'lgan umumiy teoremalardan kelib chiqadigan tenglamalarga asoslanadi. Biroq, bu yo'l yagona emas. Ma'lum bo'lishicha, mexanik tizimning harakat tenglamalari yoki muvozanat shartlari Nyuton qonunlari o'rniga boshqa qonunlarni asos qilib olish orqali olinishi mumkin. Umumiy holat, mexanika tamoyillari deb ataladi. Bir qator hollarda, ushbu tamoyillarni qo'llash, biz ko'rib turganimizdek, ko'proq narsani topishga imkon beradi samarali usullar tegishli muammolarni hal qilish. Ushbu bob ulardan birini ko'rib chiqadi umumiy tamoyillar d'Alember printsipi deb ataladigan mexanika.

dan tashkil topgan tizimga ega bo'lamiz n moddiy nuqtalar. Massa bilan tizimning nuqtalaridan birini tanlaymiz. Unga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlar ta'sirida (bu faol kuchlarni ham, bog'lanish reaktsiyalarini ham o'z ichiga oladi) nuqta inertial mos yozuvlar tizimiga nisbatan biroz tezlanish oladi.

Keling, miqdorni hisobga olamiz

kuch o'lchamiga ega. Kattaligi boʻyicha nuqta massasi va uning tezlanishi koʻpaytmasiga teng boʻlgan va shu tezlanishga teskari yoʻnaltirilgan vektor kattalikka nuqtaning inersiya kuchi (baʼzan d’Alembert inersiya kuchi) deyiladi.

Shunda nuqta harakati quyidagiga ega ekanligi ma'lum bo'ladi umumiy mulk: agar vaqtning har bir momentida biz nuqtaga haqiqatda ta'sir etuvchi kuchlarga inersiya kuchini qo'shsak, unda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni. bo'ladi

.

Bu ifoda bir moddiy nuqta uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi. Bu Nyutonning ikkinchi qonuniga ekvivalent va aksincha ekanligini tushunish oson. Darhaqiqat, Nyutonning ikkinchi qonuni ko'rib chiqilayotgan nuqtani beradi . Bu erda atamani tenglikning o'ng tomoniga o'tkazsak, biz oxirgi munosabatga kelamiz.

Tizimning har bir nuqtasiga nisbatan yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, tizim uchun D'Alember tamoyilini ifodalagan holda quyidagi natijaga erishamiz: agar istalgan vaqtda tizimning har bir nuqtasiga, unga amalda ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlardan tashqari, tegishli inertial kuchlar ham qo‘llanilsa, natijada paydo bo‘lgan kuchlar tizimi muvozanatda bo‘ladi va barcha statik tenglamalar shunday bo‘lishi mumkin. unga nisbatan qo'llaniladi.

D'Alember tamoyilining ahamiyati shundan iboratki, dinamika masalalariga bevosita tatbiq etilganda sistemaning harakat tenglamalari ma'lum muvozanat tenglamalari ko'rinishida tuziladi; bu muammolarni hal qilishda yagona yondashuvni yaratadi va odatda tegishli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Bundan tashqari, keyingi bobda ko'rib chiqiladigan mumkin bo'lgan harakatlar printsipi bilan birgalikda, d'Alember printsipi bizga yangisini olishga imkon beradi. umumiy usul dinamika muammolarini hal qilish.

D'Alember tamoyilini qo'llashda shuni yodda tutish kerakki, faqat tashqi va ichki kuchlar va tizim nuqtalarining bir-biri bilan va tizimga kirmagan jismlar bilan o'zaro ta'siri natijasida paydo bo'lgan; bu kuchlar ta'sirida tizim nuqtalari mos keladigan tezlanishlar bilan harakatlanadi. Dalember printsipida ko'rib chiqilgan inersiya kuchlari harakatlanuvchi nuqtalarga ta'sir qilmaydi (aks holda bu nuqtalar tinch holatda yoki tezlanishsiz harakatlanar edi, keyin esa inersiya kuchlarining o'zi ham bo'lmaydi). Inertial kuchlarni kiritish shunchaki ko'proq dinamik tenglamalar tuzishga imkon beradigan texnikadir. oddiy usullar statika.

Statikadan ma'lumki, muvozanatdagi kuchlarning geometrik yig'indisi va ularning har qanday markazga nisbatan momentlari yig'indisi. HAQIDA nolga teng va qattiqlashuv printsipiga ko'ra, bu nafaqat qattiq jismga, balki har qanday o'zgaruvchan tizimga ham ta'sir qiluvchi kuchlar uchun ham amal qiladi. Keyin, D'Alembert printsipiga asoslanib, shunday bo'lishi kerak.

d'Alember printsipi

J.L.ning asosiy ishi. d'Alembert(1717-1783) - "Dinamikaga oid risola" - 1743 yilda nashr etilgan.

Risolaning birinchi qismi analitik statikani qurishga bag'ishlangan. Bu erda d'Alember "mexanikaning asosiy tamoyillari", jumladan "inersiya printsipi", "harakatni qo'shish printsipi" va "muvozanat printsipi" ni shakllantiradi.

"Inersiya printsipi" dam olish holati va bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun alohida tuzilgan. "Inersiya kuchi," deb yozadi d'Alember, "Men Nyuton bilan birgalikda jismning holatini saqlab qolish uchun uning xususiyatini chaqiraman".

"Harakatni qo'shish printsipi" - bu parallelogramm qoidasiga ko'ra tezlik va kuchlarni qo'shish qonunidir. Ushbu tamoyilga asoslanib, d'Alember statik masalalarni hal qiladi.

«Muvozanat printsipi» quyidagi teorema shaklida ifodalanadi: «Agar o‘z massalariga teskari proportsional tezlikda harakatlanuvchi ikkita jism qarama-qarshi yo‘nalishga ega bo‘lsa, bir jism ikkinchi jismni joydan ikkinchi joyga siljitmasdan harakat qila olmasa, bular jismlar muvozanat holatida bo'ladi ". Traktatning ikkinchi qismida d'Alember har qanday harakat uchun differensial harakat tenglamalarini tuzishning umumiy usulini taklif qildi. moddiy tizimlar, dinamika muammosini statikaga kamaytirishga asoslangan. U keyinchalik "D'Alember printsipi" deb nomlangan har qanday moddiy nuqtalar tizimi uchun qoidani ishlab chiqdi, unga ko'ra tizim nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarni "faol" kuchlarga, ya'ni tezlikni tezlashishiga olib keladiganlarga ajratish mumkin. tizim va tizimning muvozanati uchun zarur bo'lgan "yo'qolgan". D'Alemberning fikricha, "yo'qolgan" tezlashuvga mos keladigan kuchlar tizimning haqiqiy xatti-harakatlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydigan to'plamni tashkil qiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar tizimga faqat "yo'qolgan" kuchlar yig'indisi qo'llanilsa, tizim tinch holatda qoladi. D'Alember tamoyilining zamonaviy formulasini M. E. Jukovskiy o'zining "Nazariy mexanika kursi" asarida bergan: "Agar siz istalgan vaqtda harakatlanayotgan tizimni to'xtatsangiz va unga qo'shimcha ravishda qo'shsangiz. harakatlantiruvchi kuchlar, baribir barcha inersiya kuchlari mos keladi shu daqiqada vaqt o'tgach, barcha bosim, kuchlanish va boshqalar kuchlari bilan muvozanat kuzatiladi. Bunday muvozanatda tizim qismlari o'rtasida rivojlanayotgan bosim, kuchlanish va boshqalarning haqiqiy kuchlari bo'ladi. tizim ko'rib chiqilayotgan vaqtda harakat qilganda." Shuni ta'kidlash kerakki, d'Alemberning o'zi o'z printsipini taqdim etar ekan, kuch tushunchasiga ham murojaat qilmagan (bu ro'yxatga kiritish uchun etarlicha aniq emasligini hisobga olib). Mexanikaning asosiy tushunchalari), kuch inertsiyasi kontseptsiyasiga qaraganda, d'Alember printsipining "kuch" atamasi yordamida taqdimoti Lagranjga tegishli bo'lib, u o'zining "Analitik mexanikasi" da o'zining analitik ifodasini printsip shaklida bergan. mumkin bo'lgan siljishlar. Bu Jozef Lui Lagrange (1736-1813) va ayniqsa Leonardo Eyler (1707-1783) o'ynagan. muhim rol mexanikani analitik mexanikaga yakuniy aylantirishda.

Moddiy nuqtaning analitik mexanikasi va Eyler qattiq jism dinamikasi

Leonardo Eyler- 18-asrda fizika-matematika fanlari rivojiga katta hissa qoʻshgan buyuk olimlardan biri. Uning ishi tadqiqotchilik fikri, iste'dodining serqirraligi va qoldirgan ulkan ilmiy merosi bilan hayratga soladi.

Birinchi yillarda allaqachon ilmiy faoliyat Sankt-Peterburgda (Euler 1727 yilda Rossiyaga kelgan) mexanika sohasidagi ulkan va keng qamrovli ish tsikli dasturini tuzdi. Ushbu ilova uning ikki jildli "Mexanika yoki harakat ilmi, analitik tushuntirilgan" (1736) asarida topilgan. Eyler mexanikasi Nyuton mexanikasidagi birinchi tizimli kurs edi. Unda nuqta dinamikasi asoslari mavjud edi - mexanik tomonidan Eyler kuchlar muvozanati yoki statika haqidagi fandan farqli ravishda harakat haqidagi fanni tushundi. Eyler mexanikasining belgilovchi xususiyati yangi matematik apparat - differentsial integral hisoblashning keng qo'llanilishi edi. 17-18-asrlar bo'yida paydo bo'lgan mexanika bo'yicha asosiy asarlarni qisqacha tavsiflab, Eyler ularning yozuvining o'g'il-tetik-geometrik uslubini ta'kidladi, bu esa o'quvchilar uchun juda ko'p ishlarni yaratdi. Nyutonning «Prinsipiya»si va keyinchalik J. Xermanning «Foronomiya» (1716) asari shu tarzda yozilgan. Eylerning ta'kidlashicha, Hermann va Nyutonning asarlari "qadimgi odamlarning odatiga ko'ra, sintetik geometrik dalillar yordamida" tahlildan foydalanmasdan taqdim etilgan, "faqat bu narsalarni to'liq tushunishga erishish mumkin".

Sintetik-geometrik usul umumlashtiruvchi xususiyatga ega emas edi, lekin, qoida tariqasida, har bir masala bo'yicha alohida konstruktsiyalarni talab qiladi. Eylerning tan olishicha, "Foronomiya" va "Prinsipiya" ni o'rgangach, unga "ko'p muammolarning echimlarini aniq tushungandek tuyuldi, ammo ma'lum darajada ulardan chetga chiqqan muammolarni endi hal qila olmadi". Keyin u "ushbu sintetik usulning tahlilini ajratib olishga va o'z manfaati uchun analitik tarzda bir xil takliflarni amalga oshirishga" harakat qildi. Eylerning qayd etishicha, shu tufayli u masalaning mohiyatini ancha yaxshi tushungan. U mexanika muammolarini o'rganishning tubdan yangi usullarini ishlab chiqdi, uning matematik apparatini yaratdi va uni ko'pchilik uchun ajoyib tarzda qo'lladi. murakkab vazifalar. Eyler tufayli differensial geometriya, differensial tenglamalar va variatsiyalar hisobi mexanikaning quroliga aylandi. Keyinchalik uning vorislari tomonidan ishlab chiqilgan Eyler usuli bir ma'noli va mavzuga adekvat edi.

Eylerning qattiq jismlar dinamikasi bo'yicha ishi "Qattiq jismlar harakati nazariyasi" olti bo'limdan iborat katta kirishga ega bo'lib, u yana bir nuqtaning dinamikasini belgilaydi. Kirish qismiga bir qator oʻzgartirishlar kiritildi: xususan, nuqtaning harakat tenglamalari qoʻzgʻalmas toʻrtburchaklar koordinatalar oʻqlari boʻyicha proyeksiyalar yordamida yoziladi (tangens boʻyicha emas, asosiy normal va normal, yaʼni "Mexanika" da bo'lgani kabi, traektoriya nuqtalari bilan bog'langan qo'zg'almas tabiiy triedrning o'qlari).

Kirishdan so'ng, "Qattiq jismlar harakati haqidagi risola" 19 bo'limdan iborat bo'lib, qisqacha to'xtalib o'tamiz oldinga harakat qattiq jism va inersiya markazi tushunchasini kiritar ekan, Eyler sobit o'q atrofida va qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishlarni ko'rib chiqadi. Bu erda bir lahzali burchak tezligi proyeksiyalari uchun formulalar, koordinata o'qi bo'yicha burchak tezlanishi, Eyler burchaklari deb ataladigan va boshqalar ishlatiladi. Keyinchalik, inersiya momentining xususiyatlari ko'rsatilgan, shundan so'ng Eyler qattiq jismning dinamikasiga o'tadi. U og'ir jismning tashqi kuchlar bo'lmaganda uning ko'chmas og'irlik markazi atrofida aylanishi uchun differensial tenglamalarni chiqaradi va ularni oddiy maxsus holat uchun yechadi. Giroskop nazariyasidagi hammaga ma'lum va bir xil darajada muhim muammo shunday paydo bo'ldi: qattiq jismning qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishi. Eyler, shuningdek, gidro- va aeromexanika, ballistika, barqarorlik nazariyasi va kichik tebranishlar nazariyasi, samoviy mexanika va boshqalar nazarida kema qurish nazariyasi ustida ishlagan.

"Mexanika" nashr etilganidan sakkiz yil o'tgach, Eyler fanni printsipning birinchi aniq formulasi bilan boyitdi. eng kam harakat. Maupertuisga tegishli bo'lgan eng kam harakat tamoyilini shakllantirish hali ham juda nomukammal edi. Printsipning birinchi ilmiy formulasi Eylerga tegishli. U o'z printsipini quyidagicha shakllantirdi: integral bor eng kichik qiymat hozirgi traektoriya uchun, agar hisobga olsak

umumiy boshlang'ich va yakuniy pozitsiyaga ega bo'lgan va bir xil energiya qiymati bilan amalga oshiriladigan mumkin bo'lgan traektoriyalar guruhidagi oxirgi. Eyler o'z printsipini aniq matematik ifoda va markaziy kuchlarning harakatlarini boshdan kechiradigan bitta moddiy nuqta uchun qat'iy asoslash bilan ta'minlaydi. 1746-1749 yillarda b. Eyler egiluvchan ipning muvozanat raqamlari bo'yicha bir nechta maqolalar yozdi, bu erda elastik kuchlar ta'sir qiladigan masalalarga eng kam ta'sir printsipi qo'llaniladi.

Shunday qilib, 1744 yilga kelib mexanika ikkita muhim tamoyil bilan boyidi: d'Alember printsipi va Maupertuis-Eulerning eng kam ta'sir printsipi. Ushbu tamoyillarga asoslanib, Lagranj analitik mexanika tizimini yaratdi.