Kirish darajasi

Teskari munosabat.

Kirish darajasi.

Endi biz funktsiya sifatida teskari bog'liqlik yoki boshqacha aytganda - teskari proportsionallik haqida gapiramiz. Funktsiya ma'lum bir bog'liqlik turi ekanligini eslaysizmi? Agar siz hali mavzuni o'qimagan bo'lsangiz, men hamma narsani tashlab, uni o'qishni tavsiya qilaman, chunki uning nima ekanligini tushunmasdan biron bir aniq funktsiyani o'rganib bo'lmaydi - funktsiya.

Shuningdek, ushbu mavzuni boshlashdan oldin ikkita oddiy funksiyani o'zlashtirish juda foydali: va . U erda siz funksiya tushunchasini mustahkamlaysiz va koeffitsientlar va grafiklar bilan ishlashni o'rganasiz.
Xo'sh, funktsiya nima ekanligini eslaysizmi? Takrorlaymiz: funktsiya - bu bitta to'plamning (argumentning) har bir elementi ma'lum bir (argument) bilan bog'langan qoidadir. yagona! ) boshqa to‘plamning elementi (funksiya qiymatlari to‘plami). Ya'ni, agar sizda funktsiya mavjud bo'lsa, bu o'zgaruvchining har bir haqiqiy qiymati uchun ("argument" deb ataladi) o'zgaruvchining mos keladigan qiymati ("funktsiya" deb ataladi) mavjudligini anglatadi. "Qabul qilinadigan" nimani anglatadi? Agar bu savolga javob bera olmasangiz, yana "" mavzusiga qayting! Hammasi kontseptsiyada"ta'rif sohasi"

: Ba'zi funktsiyalar uchun barcha argumentlar bir xil darajada foydali emas va ularni bog'liqliklarga almashtirish mumkin. Masalan, funktsiya uchun salbiy argument qiymatlariga ruxsat berilmaydi.

Teskari bog'liqlikni tavsiflovchi funksiya

Bu qaerda shaklning funksiyasi.
Boshqacha qilib aytganda, teskari proportsionallik deyiladi: argumentning ortishi funktsiyaning proportsional pasayishiga olib keladi.

Keling, ta'rif sohasini aniqlaylik. Bu nimaga teng bo'lishi mumkin? Yoki boshqacha qilib aytganda, u nimaga teng bo'lishi mumkin emas?

Shunday qilib, bo'linib bo'lmaydigan yagona raqam:

yoki bir xil narsa,

Ma'lum bo'lishicha, funktsiya qiymatlari to'plami aynan bir xil: axir, agar, uni nimaga bo'lishimizdan qat'iy nazar, u ishlamaydi:

Formulaning ba'zi o'zgarishlari ham mumkin. Masalan, bu ham teskari munosabatni tavsiflovchi funktsiyadir.
Ushbu funktsiyaning ta'rif sohasi va qiymatlari oralig'ini o'zingiz aniqlang. Bu shunday ko'rinishi kerak:

Keling, ushbu funktsiyani ko'rib chiqaylik: . Bu teskari bog'liqmi?

Bir qarashda, aytish qiyin: axir, ortishi bilan kasrning maxraji ham, hisoblagich ham ortadi, shuning uchun funksiya kamayishi aniq emas, agar shunday bo‘lsa, mutanosib ravishda kamayadimi? Buni tushunish uchun biz hisoblagichda o'zgaruvchi bo'lmasligi uchun ifodani o'zgartirishimiz kerak:

Haqiqatan ham, biz teskari munosabatni oldik, ammo ogohlantirish bilan: .

Mana yana bir misol: .

Bu erda yanada murakkabroq: axir, hisob va maxraj endi, albatta, bekor qilmaydi. Ammo biz hali ham sinab ko'rishimiz mumkin:

Nima qilganimni tushundingizmi? Numeratorda men bir xil sonni () qo'shdim va ayirdim, shuning uchun men hech narsani o'zgartirmadim, lekin hozir hisoblagichda maxrajga teng bo'lgan qism bor. Endi men sonni hadga ajrataman, ya'ni bu kasrni ikkita kasr yig'indisiga ajrataman:

(Haqiqatan ham, agar men olgan narsani umumiy maxrajga kamaytirsak, biz boshlang'ich kasrimizni olamiz):

Voy-buy! Yana ishlaydi teskari munosabat, faqat endi unga raqam qo'shiladi.
Bu usul biz uchun keyinchalik grafiklarni qurishda juda foydali bo'ladi.

Endi iboralarni o'zingizni teskari munosabatga aylantiring:

Javoblar:

2. Bu erda kvadrat trinomial faktorlarga qanday ajratilganligini eslab qolishingiz kerak (bu "" mavzusida batafsil tavsiflangan). Eslatib o'taman, buning uchun tegishli kvadrat tenglamaning ildizlarini topish kerak: . Men ularni Vyeta teoremasi yordamida og'zaki topaman: , . Bu qanday amalga oshiriladi? Buni mavzuni o'qish orqali bilib olishingiz mumkin.
Shunday qilib, biz: , shuning uchun:

3. Siz allaqachon o'zingiz hal qilishga harakat qildingizmi? Tushunish nima? Shubhasiz, bizda hisoblagich va maxraj bor - bu juda oddiy. Bu muammo emas. Biz uni kamaytirishimiz kerak, shuning uchun hisoblagichda biz uni qavsdan chiqarishimiz kerak (qavslar ichida biz uni koeffitsientsiz olamiz):

Teskari munosabatlar grafigi

Har doimgidek, eng oddiy holatdan boshlaylik: .
Keling, jadval tuzamiz:

Koordinata tekisligida nuqtalarni chizamiz:

Endi ular muammosiz ulanishi kerak, lekin qanday qilib? Ko'rinib turibdiki, o'ng va chap tomonlardagi nuqtalar bir-biriga bog'lanmagan ko'rinadigan egri chiziqlar hosil qiladi. Bu shunday. Grafik quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu grafik deyiladi "giperbola"(bu nomda "parabola" kabi narsa bor, to'g'rimi?). Parabola singari, giperbolaning ikkita shoxchasi bor, faqat ular bir-biriga bog'lanmagan. Ularning har biri uchlari bilan o'qlarga yaqinlashishga intiladi va ularga hech qachon etib bormaydi. Agar siz xuddi shu giperbolaga uzoqdan qarasangiz, quyidagi rasmni olasiz:

Bu tushunarli: chunki grafik o'qni kesib o'ta olmaydi. Shu bilan birga, grafik hech qachon o'qga tegmaydi.

Keling, koeffitsientlar qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqaylik. Ushbu funktsiyalarni ko'rib chiqing:
:

Voy, qanday go'zallik!
Barcha grafikalar ularni bir-biridan ajratishni osonlashtirish uchun turli ranglarda chizilgan.

Xo'sh, birinchi navbatda nimaga e'tibor berishimiz kerak? Masalan, agar funktsiya kasrdan oldin minusga ega bo'lsa, u holda grafik aylantiriladi, ya'ni o'qga nisbatan simmetrik tarzda ko'rsatiladi.

Ikkinchidan: maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, grafik ko'proq "qochib ketadi".

Agar funktsiya murakkabroq ko'rinsa-chi, masalan, ?

Bunday holda, giperbola odatdagidek bir xil bo'ladi, faqat u biroz siljiydi. Keling, o'ylab ko'raylik, qayerda?

Endi nimaga teng bo'lishi mumkin emas? To'g'ri, . Bu shuni anglatadiki, grafik hech qachon to'g'ri chiziqqa etib bormaydi. Bu nimaga teng bo'lishi mumkin emas? Hozir. Bu shuni anglatadiki, endi grafik to'g'ri chiziqqa moyil bo'ladi, lekin uni hech qachon kesib o'tmaydi. Shunday qilib, endi to'g'ri chiziqlar funktsiya uchun koordinata o'qlari bilan bir xil rol o'ynaydi. Bunday chiziqlar deyiladi asimptotlar(grafik moyil bo'lgan, lekin etib bormaydigan chiziqlar):

Mavzuda bunday grafiklar qanday tuzilganligi haqida ko'proq bilib olamiz.

Endi birlashtirish uchun bir nechta misollarni echishga harakat qiling:

1. Rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Aniqlash.

2. Rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Aniqlash

3. Rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Aniqlash.

4. Rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. Aniqlash.

5. Rasmda va funksiyalarning grafiklari ko'rsatilgan.

To'g'ri nisbatni tanlang:

Javoblar:

Hayotda teskari qaramlik

Amalda bunday funktsiyani qayerdan topamiz? Bunga ko'plab misollar keltirish mumkin. Eng keng tarqalgani - bu harakat: biz harakatlanadigan tezlik qanchalik katta bo'lsa, biz bir xil masofani bosib o'tishimiz uchun shunchalik kam vaqt ketadi. Haqiqatan ham, tezlik formulasini eslaylik: , bu erda tezlik, sayohat vaqti, masofa (yo'l).

Bu erdan biz vaqtni ifodalashimiz mumkin:

Misol:

Bir kishi ishga o'rtacha km/soat tezlikda boradi va u erga bir soatda yetib boradi. Agar u km/soat tezlikda ketsa, xuddi shu yo‘lda necha daqiqa yuradi?

Yechim:

Umuman olganda, siz 5 va 6-sinflarda bunday muammolarni hal qilgansiz. Siz nisbatni tuzdingiz:

Ya'ni, teskari proportsionallik tushunchasi sizga allaqachon tanish. Shunday qilib, biz esladik. Va endi xuddi shu narsa, faqat kattalar usulida: funktsiya orqali.

Vaqtning funksiyasi (ya'ni, daqiqalardagi tezlikka bog'liqligi):

Ma'lumki, u holda:

Topish kerak:

Endi hayotdan teskari proportsionallik mavjud bo'lgan bir nechta misollar keltiring.
Siz buni o'ylab topdingizmi? Agar shunday qilsangiz yaxshi. Omad tilaymiz!

teskari qaramlik. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

1. Ta'rif

Teskari bog'liqlikni tavsiflovchi funksiya qaerda shaklning funksiyasi hisoblanadi.

Boshqacha qilib aytganda, bu funktsiya teskari proportsionallik deb ataladi, chunki argumentning ortishi funktsiyaning proportsional pasayishiga olib keladi.

Shunday qilib, bo'linib bo'lmaydigan yagona raqam:

Teskari grafik giperboladir.

2. Koeffitsientlar, va.

Ga javobgar Grafikning "tekisligi" va yo'nalishi: bu koeffitsient qanchalik katta bo'lsa, giperbola boshlang'ichdan qanchalik uzoqroq joylashgan bo'lsa va shuning uchun u kamroq "buriladi" (rasmga qarang). Koeffitsientning belgisi grafikning qaysi chorakda joylashganligiga ta'sir qiladi:

• agar, u holda giperbolaning shoxlari va choraklarda joylashgan;
• bo'lsa, unda va.

x=a vertikal asimptota, ya'ni grafik qaysi vertikalga intiladi.

Raqam funktsiya grafigini agar miqdorga yuqoriga, agar bo'lsa pastga siljitish uchun javobgardir.

Shuning uchun, bu gorizontal asimptota.

Bugun biz qanday miqdorlar teskari proportsional deb ataladi, teskari proportsionallik grafigi qanday ko'rinishi va bularning barchasi siz uchun nafaqat matematika darslarida, balki maktabdan tashqarida ham qanday foydali bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Bunday turli xil nisbatlar

Proportsionallik bir-biriga o'zaro bog'liq bo'lgan ikkita miqdorni ayting.

Bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri va teskari bo'lishi mumkin. Binobarin, miqdorlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'ridan-to'g'ri va teskari proportsionallik bilan tavsiflanadi.

To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik- bu ikki miqdor o'rtasidagi shunday munosabat bo'lib, ulardan birining ko'payishi yoki kamayishi boshqasining ko'payishi yoki kamayishiga olib keladi. Bular. ularning munosabati o'zgarmaydi.

Misol uchun, imtihonlarga qanchalik ko'p kuch sarflasangiz, baholaringiz shunchalik yuqori bo'ladi. Yoki piyoda o'zingiz bilan qancha ko'p narsalarni olib ketsangiz, xaltangiz shunchalik og'irroq bo'ladi. Bular. Imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun sarflangan kuch miqdori olingan baholarga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Va xalta ichiga o'ralgan narsalar soni uning og'irligiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Teskari proportsionallik- bu funktsional bog'liqlik bo'lib, unda mustaqil qiymatning bir necha marta kamayishi yoki ortishi (bu argument deb ataladi) bog'liq qiymatning mutanosib (ya'ni, bir xil miqdordagi) o'sishi yoki kamayishiga olib keladi (u a deyiladi). funktsiyasi).

Keling, oddiy misol bilan tushuntiraylik. Bozorda olma sotib olmoqchisiz. Peshtaxtadagi olma va hamyoningizdagi pul miqdori teskari proportsionaldir. Bular. Qanchalik ko'p olma sotib olsangiz, shuncha kam pulingiz qoladi.

Funksiya va uning grafigi

Teskari proportsionallik funksiyasini quyidagicha tasvirlash mumkin y = k/x. Qaysi x≠ 0 va k≠ 0.

Ushbu funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Uning ta'rif sohasi bundan mustasno barcha haqiqiy sonlar to'plamidir x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazon barcha haqiqiy raqamlardan tashqari y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Maksimal yoki minimal qiymatlarga ega emas.
4. Bu g'alati va grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
5. Davriy bo'lmagan.
6. Uning grafigi koordinata o'qlarini kesib o'tmaydi.
7. Nollari yo'q.
8. Agar k> 0 (ya'ni argument ortadi), funktsiya har bir intervalda proportsional ravishda kamayadi. Agar k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argument kuchaygan sari ( k> 0) funktsiyaning manfiy qiymatlari (-∞; 0) oraliqda, ijobiy qiymatlari esa (0; +∞) oralig'ida. Argument pasayganda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Teskari proportsionallik funksiyasining grafigiga giperbola deyiladi. Quyidagi kabi ko'rsatilgan:

Teskari proportsionallik masalalari

Buni aniqroq qilish uchun keling, bir nechta vazifalarni ko'rib chiqaylik. Ular juda murakkab emas va ularni hal qilish teskari proportsionallik nima ekanligini va bu bilim kundalik hayotingizda qanday foydali bo'lishi mumkinligini tasavvur qilishga yordam beradi.

Vazifa № 1. Avtomobil 60 km/soat tezlikda harakatlanmoqda. Uning manziliga yetib borishi uchun 6 soat vaqt ketdi. Agar u ikki barobar tezlikda harakat qilsa, bir xil masofani qancha vaqt bosib o'tadi?

Vaqt, masofa va tezlik o'rtasidagi munosabatni tavsiflovchi formulani yozishdan boshlashimiz mumkin: t = S/V. Qabul qiling, bu bizga teskari proportsionallik funktsiyasini eslatadi. Va bu shuni ko'rsatadiki, avtomobil yo'lda o'tkazadigan vaqt va uning harakat tezligi teskari proportsionaldir.

Buni tekshirish uchun V 2 ni topamiz, bu shartga ko'ra 2 marta yuqori: V 2 = 60 * 2 = 120 km/soat. Keyin S = V * t = 60 * 6 = 360 km formula yordamida masofani hisoblaymiz. Endi muammoning shartlariga ko'ra bizdan talab qilinadigan t 2 vaqtini aniqlash qiyin emas: t 2 = 360/120 = 3 soat.

Ko'rib turganingizdek, sayohat vaqti va tezligi haqiqatan ham teskari proportsionaldir: dastlabki tezlikdan 2 baravar yuqori tezlikda avtomobil yo'lda 2 barobar kamroq vaqt sarflaydi.

Bu masala yechimini proporsiya shaklida ham yozish mumkin. Shunday qilib, avval ushbu diagrammani yaratamiz:

↓ 60 km/soat – 6 soat

↓120 km/soat – x soat

Oklar teskari proportsional munosabatni bildiradi. Shuningdek, ular mutanosiblikni tuzishda yozuvning o'ng tomonini aylantirish kerakligini taklif qilishadi: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 soatni qayerdan olamiz.

Vazifa № 2. Ustaxonada 6 nafar ishchi ishlaydi, ular berilgan hajmdagi ishni 4 soatda bajara oladilar. Agar ishchilar soni ikki baravar kamaytirilsa, qolgan ishchilar bir xil hajmdagi ishlarni qancha vaqt ichida bajarishadi?

Masalaning shartlarini vizual diagramma shaklida yozamiz:

↓ 6 ishchi - 4 soat

↓ 3 ishchi - x soat

Buni nisbat sifatida yozamiz: 6/3 = x/4. Va biz x = 6 * 4/3 = 8 soatni olamiz, agar ishchilar 2 barobar kam bo'lsa, qolganlari barcha ishlarni bajarish uchun 2 barobar ko'p vaqt sarflaydi.

Vazifa № 3. Hovuzga olib boradigan ikkita quvur bor. Bir quvur orqali suv 2 l / s tezlikda oqadi va hovuzni 45 daqiqada to'ldiradi. Boshqa quvur orqali hovuz 75 daqiqada to'ldiriladi. Ushbu quvur orqali suv hovuzga qanday tezlikda kiradi?

Boshlash uchun, masalaning shartlariga ko'ra bizga berilgan barcha miqdorlarni bir xil o'lchov birliklariga qisqartiramiz. Buning uchun hovuzni litrda daqiqada to'ldirish tezligini ifodalaymiz: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Hovuz ikkinchi quvur orqali sekinroq to'ldirilishi sharti bilan kelib chiqqanligi sababli, bu suv oqimining tezligi pastroq ekanligini anglatadi. Proportsionallik teskari. Noma’lum tezlikni x orqali ifodalaymiz va quyidagi diagramma tuzamiz:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Va keyin biz nisbatni hosil qilamiz: 120/x = 75/45, bu erdan x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

Muammoda hovuzni to'ldirish tezligi soniyada litr bilan ifodalanadi, keling, biz olgan javobni bir xil shaklga tushiramiz: 72/60 = 1,2 l / s;

Vazifa № 4. Kichik xususiy bosmaxona tashrif qog'ozlarini chop etadi. Bosmaxona xodimi soatiga 42 ta vizitka tezligida ishlaydi va butun kun davomida - 8 soat ishlaydi. Agar u tezroq ishlagan bo'lsa va bir soat ichida 48 ta tashrif qog'ozini chop etsa, u uyiga qancha erta bora oladi?

Biz tasdiqlangan yo'ldan boramiz va muammoning shartlariga muvofiq diagramma tuzamiz, kerakli qiymatni x sifatida belgilaymiz:

↓ 42 ta tashrif qog'ozi / soat - 8 soat

↓ 48 ta tashrif qogʻozi/soat – x h

Bizda teskari proportsional munosabatlar mavjud: bosmaxona xodimi soatiga necha marta ko'proq tashrif qog'ozlarini chop etsa, xuddi shu ishni bajarish uchun shuncha marta kamroq vaqt kerak bo'ladi. Buni bilib, keling, nisbatni yarataylik:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 soat.

Shunday qilib, ishni 7 soatda tugatgan bosmaxona xodimi bir soat oldin uyiga qaytishi mumkin edi.

Xulosa

Bizningcha, bu teskari proportsionallik muammolari haqiqatan ham oddiy. Umid qilamizki, endi siz ham ular haqida shunday fikrdasiz. Va asosiysi, miqdorlarning teskari proportsional bog'liqligi haqidagi bilim sizga bir necha marta foydali bo'lishi mumkin.

Faqat matematika darslarida va imtihonlarda emas. Ammo shunga qaramay, siz sayohatga chiqishga, do'konga borishga, ta'til paytida ozgina qo'shimcha pul ishlashga qaror qilganingizda va hokazo.

Atrofingizdagi teskari va to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatlarning qanday misollarini ko'rganingizni izohlarda ayting. Shunday o'yin bo'lsin. Bu qanchalik hayajonli ekanligini ko'rasiz. Do'stlaringiz va sinfdoshlaringiz ham o'ynashi uchun ushbu maqolani ijtimoiy tarmoqlarda baham ko'rishni unutmang.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Mavzu bo'yicha 1 ta dars

Bajarildi:

Telegina L.B.

Darsning maqsadi:

1. funktsiyalar bo'yicha o'rganilgan barcha materiallarni takrorlang.
2. teskari proporsionallikning ta’rifi bilan tanishtirish va uning grafigini tuzishni o‘rgatish.
3. mantiqiy fikrlashni rivojlantirish.
4. diqqatni, aniqlikni, aniqlikni tarbiyalash.

Dars rejasi:

1. Takrorlash.
2. Yangi materialni tushuntirish.
3. Jismoniy tarbiya daqiqa.
4. Konsolidatsiya.

Uskunalar: plakatlar.

Darsning borishi:

1. Dars takrorlash bilan boshlanadi. Talabalarga krossvord yechish taklif qilinadi (u katta varaqda oldindan tayyorlanadi).

Krossvord savollari:

1. Mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati bog'liq o'zgaruvchining yagona qiymatiga mos keladigan o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik. [Funktsiya].

2. Mustaqil o‘zgaruvchi. [Argument].

3. Argument qiymatlariga, ordinatalari esa funksiya qiymatlariga teng bo'lgan abscissa koordinata tekisligi nuqtalari to'plami. [Jadval].

4. y=kx+b formula bilan berilgan funksiya. [Chiziqli].

5. Son qanday koeffitsient deb ataladi? k y=kx+b formulasida? [Burchak].

6. Chiziqli funksiya grafigi nima? [Streyt].

7. Agar k≠0 bo'lsa, y=kx+b grafigi bu o'qni kesib o'tadi, agar k=0 bo'lsa, u holda unga parallel bo'ladi. Bu o'q qaysi harf bilan belgilangan? [X].

8. y=kx funksiya nomidagi so‘z? [Proportsionallik].

9. y=x formula bilan berilgan funksiya 2. [Kvadrat].

10. Kvadrat funksiya grafigining nomi. [Parabola].

11. Ko'pincha funktsiyani bildiruvchi lotin alifbosining harfi. [Igrek].

12. Funksiyani belgilash usullaridan biri. [Formula].

O'qituvchi : Bizga ma'lum bo'lgan funktsiyani belgilashning asosiy usullari qanday?

(Bir talaba doskada topshiriq oladi: uning argumentining berilgan qiymatlaridan foydalangan holda 12/x funktsiyasi qiymatlari jadvalini to'ldiring, so'ngra koordinata tekisligida tegishli nuqtalarni chizing).

Qolganlari o'qituvchining savollariga javob beradilar: (ular doskada oldindan yozilgan)

1. Quyidagi formulalar bilan berilgan funksiyalar qanday nomlanadi: y=kx, y=kx+b, y=x. 2 , y=x 3 ?

2. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rsating: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Keyin talabalar o'qituvchi tomonidan berilgan savollarga javob berib, jadval bo'yicha ishlaydilar:

1. Jadvaldagi qaysi rasmda grafiklar ko'rsatilgan:

a) chiziqli funksiya;

b) to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik;

v) kvadratik funksiya;

d) y=kx ko`rinishdagi funksiyalar 3 ?

2. Jadvalning 1, 2, 4, 5-rasmlaridagi grafiklarga mos keladigan y=kx+b ko‘rinishdagi formulalarda k koeffitsienti qanday belgiga ega?

3. Nishablari bo'lgan chiziqli funksiyalarning jadval grafiklarini toping:

a) teng;

b) kattaligi teng va belgisiga qarama-qarshi.

(Keyin doskaga chaqirgan o‘quvchi jadvalni to‘g‘ri to‘ldirib, nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘yganligini butun sinf tekshiradi).

2. Tushuntirish motivatsiyadan boshlanadi.

O'qituvchi: Ma'lumki, har bir funktsiya atrofimizdagi dunyoda sodir bo'layotgan ba'zi jarayonlarni tavsiflaydi.

Masalan, tomonlari bo'lgan to'rtburchakni ko'rib chiqing x va y va maydoni 12 sm 2 . Ma'lumki, x*y=12, lekin agar siz to'rtburchakning tomonlaridan birini o'zgartira boshlasangiz nima bo'ladi, deylik, uzunligi bo'lgan tomoni. x?

Yon uzunligi y y=12/x formulasidan topish mumkin. Agar x 2 marta oshib, u y=12/2x bo'ladi, ya'ni. tomoni y 2 barobar kamayadi. Qiymat bo'lsa x 3, 4, 5... marta, keyin esa qiymatni oshiring y bir xil miqdorda kamayadi. Aksincha, agar x keyin bir necha marta kamayadi y bir xil miqdorda ortadi. (Jadval bo'yicha ishlang).

Shuning uchun y=12/x ko’rinishdagi funksiya teskari proporsionallik deyiladi. Umuman olganda, u y=k/x shaklida yoziladi, bu erda k doimiy va k≠0.

Bu bugungi dars mavzusi, uni daftarimizga yozib oldik. Men qat'iy ta'rif beraman. Teskari proportsionallikning maxsus turi bo'lgan y=12/x funksiyasi uchun biz allaqachon argument va funktsiyaning bir qancha qiymatlarini jadvalga yozib oldik va koordinata tekisligida tegishli nuqtalarni tasvirlaymiz. Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega? Tuzilgan nuqtalar asosida butun grafikni hukm qilish qiyin, chunki nuqtalarni har qanday usulda ulash mumkin. Keling, jadval va formulani ko'rib chiqishdan kelib chiqadigan funktsiya grafigi bo'yicha xulosalar chiqarishga birgalikda harakat qilaylik.

Sinf uchun savollar:

1. y=12/x funksiyaning aniqlanish sohasi nima?
2. Agar y qiymatlari ijobiy yoki salbiy

a) x

b) x>0?

3. O‘zgaruvchining qiymati qanday o‘zgaradi y o'zgaruvchan qiymat bilan x?

Shunday qilib,

1. nuqta (0,0) grafikga tegishli emas, ya'ni. u OX yoki OY o'qlarini kesib o'tmaydi;
2. grafik I va I koordinata choraklarida;
3. koordinata o'qlariga ham I koordinata choragida, ham IIda silliq yaqinlashadi va u o'qlarga kerakli darajada yaqinlashadi.

Ushbu ma'lumotlarga ega bo'lgan holda, biz allaqachon rasmdagi nuqtalarni bog'lashimiz mumkin (o'qituvchi buni doskada o'zi bajaradi) va y=12/x funksiyaning butun grafigini ko'rishimiz mumkin. Olingan egri chiziq giperbola deb ataladi, bu yunoncha "bir narsadan o'tish" degan ma'noni anglatadi. Bu egri chiziq miloddan avvalgi IV asrda qadimgi yunon maktabi matematiklari tomonidan kashf etilgan. Giperbola atamasini 6—8-asrlarda yashagan Pergam (Kichik Osiyo) shahridan Apolloniy kiritgan. Miloddan avvalgi

Endi y=12/x funksiya grafigi yonida y=-12/x funksiya grafigini tuzamiz. (Talabalar bu topshiriqni daftarda, bitta talaba esa doskada bajaradilar).

Ikkala grafikni taqqoslab, talabalar ikkinchisi 2 va 4 koordinata choraklarini egallashini payqashadi. Bundan tashqari, agar y=12/x funksiyaning grafigi op-amp o'qiga nisbatan simmetrik tarzda ko'rsatilsa, u holda y=-12/x funksiyaning grafigi olinadi.

Savol: y=k/x giperbolaning grafigining joylashuvi k koeffitsientining belgisi va qiymatiga qanday bog'liq?

Talabalar agar k>0 bo'lsa, grafik I da joylashganligiga ishonch hosil qiladi Va Men choraklarni muvofiqlashtiraman va agar k

1. Jismoniy tarbiya darsini o'qituvchi olib boradi.

1. O'rganilayotgan narsalarni birlashtirish darslikdagi 180, 185-sonlarni to'ldirishda sodir bo'ladi.

1. Darsni umumlashtirish, baholar, uyga vazifa: 8-son 179, 184-bet.

Mavzu bo'yicha 2-dars

Teskari proportsionallik funksiyasi va uning grafigi.

Bajarildi:

Telegina L.B.

Darsning maqsadi:

1. teskari proportsionallik funksiyasining grafigini tuzish malakasini mustahkamlash;
2. fanga qiziqishni, mantiqiy fikrlashni rivojlantirish;
3. mustaqillik va e'tiborni tarbiyalash.

Dars rejasi:

1. Uy vazifasini bajarilishini tekshirish.
2. Og'zaki ish.
3. Muammoni hal qilish.
4. Jismoniy tarbiya daqiqa.
5. Ko'p bosqichli mustaqil ish.
6. Xulosa, baholash, uy vazifasi.

Uskunalar: kartalar.

Darsning borishi:

1. O'qituvchi dars mavzusi, maqsadi va dars rejasini e'lon qiladi.

Keyin ikkita talaba doskaga berilgan 179, 184 uy raqamlarini to'ldiradi.

1. Qolgan talabalar o'qituvchining savollariga javob berib, frontal ishlaydi.

Savollar:

• Teskari proporsionallik funksiyasini aniqlang.
• Teskari proporsionallik funksiyasining grafigi nima?
• y=k/x giperbolaning grafigining joylashuvi k koeffitsientining qiymatiga qanday bog'liq?

Kvestlar:

1. Formulalar bilan belgilangan funktsiyalar orasida teskari proportsionallik funktsiyalari mavjud:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Teskari proporsionallik funksiyalari uchun koeffitsientni nomlang va grafik qaysi choraklarda joylashganligini ko'rsating.

3. Teskari proporsionallik funksiyalarining aniqlanish sohasini toping.

(Keyin o‘quvchilar doskadagi raqamlarning o‘qituvchi tomonidan tekshirilgan yechimlari asosida qalam bilan bir-birlarining uy vazifasini tekshiradilar va baho qo‘yadilar).

190, 191, 192, 193-sonli darsliklar bo‘yicha frontal ish (og‘zaki).

1. 186(b), 187(b), 182-sonli darslikdan daftar va doskada bajarish.

4. Jismoniy tarbiya darsi o`qituvchi tomonidan olib boriladi.

5. Mustaqil ish turli xil murakkablikdagi uchta variantda beriladi (kartalarda taqsimlanadi).

men c. (engil vaznli).

y=-6/x teskari proporsionallik funksiyasining grafigini jadval yordamida tuzing:

Grafikdan foydalanib, toping:

a) y ning qiymati, agar x = - 1,5; 2;

b) y = - 1 bo'lgan x ning qiymati; 4.

I asr (o'rtacha qiyinchilik)

Jadvalni avval to‘ldirib, y=16/x teskari proporsionallik funksiyasining grafigini tuzing.

Grafikdan foydalanib, qanday qiymatlarni toping x y >0.

I asr (qiyinchilik ortdi)

Jadvalni avval to‘ldirib, y=10/x-2 teskari proporsionallik funksiyasining grafigini tuzing.

Bu funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

(Talabalar sinov uchun tuzilgan grafiklar bilan varaqlarni topshirishadi).

6. Dars, baholar, uy vazifasini umumlashtiradi: No 186 (a), 187 (a).

Funktsiyalar haqidagi nazariyani takrorlaymiz. Funktsiya - bu bitta to'plamning (argumentning) har bir elementi ma'lum bir (argument) bilan bog'langan qoidadir. Takrorlaymiz: funktsiya - bu bitta to'plamning (argumentning) har bir elementi ma'lum bir (argument) bilan bog'langan qoidadir.) boshqa to‘plamning elementi (funksiya qiymatlari to‘plami). Ya'ni, agar funktsiya mavjud bo'lsa \(y = f(x)\), bu o'zgaruvchining har bir haqiqiy qiymati uchun degan ma'noni anglatadi \(x\)(bu "argument" deb ataladi) o'zgaruvchining bir qiymatiga mos keladi \(y\)("funksiya" deb ataladi).

Teskari bog'liqlikni tavsiflovchi funksiya

Bu shaklning funktsiyasidir \(y = \frac(k)(x)\), qayerda \(k\ne 0.\)

Bu qaerda shaklning funksiyasi.
Keling, ta'rif sohasini aniqlaylik. \(x\) nimaga teng bo'lishi mumkin? Yoki boshqacha qilib aytganda, u nimaga teng bo'lishi mumkin emas?

0 ga bo'linmaydigan yagona raqam, shuning uchun \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty;0) \kupa (0; + \infty)\)

yoki, nima bir xil:

\(D(y) = R\teskari chiziq \( 0\).\)

Bu belgi \(x\) 0 dan boshqa har qanday son boʻlishi mumkinligini bildiradi: “R” belgisi haqiqiy sonlar toʻplamini, yaʼni barcha mumkin boʻlgan sonlarni bildiradi; "\" belgisi ushbu to'plamdan biror narsaning chiqarilishini bildiradi ("minus" belgisiga o'xshash) va jingalak qavslardagi 0 raqami shunchaki 0 ​​raqamini anglatadi; Ma'lum bo'lishicha, barcha mumkin bo'lgan raqamlardan biz 0 ni chiqaramiz.

Ma'lum bo'lishicha, funktsiya qiymatlari to'plami aynan bir xil: agar \(k \ne 0.\) bo'lsa, uni nimaga bo'lishimizdan qat'iy nazar, 0 ishlamaydi:

\(E(y) = (- \infty ;0) \kupa (0; + \infty)\)

yoki \(E(y) = R\teskari chiziq \( 0\).\)

Formulaning ba'zi o'zgarishlari ham mumkin \(y = \frac(k)(x)\). Masalan, \(y = \frac(k)((x + a))\) teskari munosabatni tavsiflovchi funksiya hamdir. Ushbu funktsiyaning qiymatlari doirasi va diapazoni quyidagicha:

\(D(y) = (- \infty; - a) \chashka (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \kupa (0; + \infty).\)

Keling, ko'rib chiqaylik misol, ifodani teskari munosabat shakliga keltiramiz:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Biz sun'iy ravishda hisoblagichga 3 qiymatini kiritdik va endi biz sonni maxraj a'zosiga bo'lamiz, biz olamiz:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x) - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Biz teskari munosabat va 1 raqamini oldik.

Teskari munosabatlar grafigi

Keling, oddiy holatdan boshlaylik \(y = \frac(1)(x).\)

Keling, qiymatlar jadvalini tuzamiz:

Koordinata tekisligida nuqtalarni chizamiz:

Nuqtalarni ulang, grafik quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu grafik deyiladi "giperbola". Parabola singari, giperbolaning ikkita shoxchasi bor, faqat ular bir-biriga bog'lanmagan. Ularning har biri uchlarini o'qlarga yaqinlashtirishga intiladi ho'kiz Va Oy, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz:

1. Agar funktsiya kasrdan oldin minusga ega bo'lsa, u holda grafik aylantiriladi, ya'ni o'qga nisbatan simmetrik tarzda ko'rsatiladi. ho'kiz.
2. Maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, grafik ko'proq "qochib ketadi".

Hayotda teskari qaramlik

Amalda bunday funktsiyani qayerdan topamiz? Bunga ko'plab misollar keltirish mumkin. Eng keng tarqalgani - bu harakat: biz harakatlanadigan tezlik qanchalik katta bo'lsa, biz bir xil masofani bosib o'tishimiz uchun shunchalik kam vaqt ketadi. Tezlik formulasini eslaylik:

\(v = \frac(S)(t),\)

Bu erda v - tezlik, t - sayohat vaqti, S - masofa (yo'l).

Bu erdan biz vaqtni ifodalashimiz mumkin: \(t = \frac(S)(v).\)