Logarifmlar bilan tengsizliklar Yagona davlat imtihonining misollari. Logarifmik tengsizliklar – Bilim gipermarketi
Shuningdek o'qing
Logarifmik tengsizliklar
Avvalgi darslarda biz logarifmik tenglamalar bilan tanishgan edik va endi ular nima ekanligini va ularni yechish usullarini bilamiz. Bugungi darsimiz logarifmik tengsizliklarni o'rganishga bag'ishlanadi. Bu tengsizliklar nima va logarifmik tenglama va tengsizlikni yechish o'rtasidagi farq nima?
Logarifmik tengsizliklar logarifm belgisi ostida yoki uning bazasida ko'rinadigan o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklardir.
Yoki logarifmik tengsizlik deganda uning noma’lum qiymati, xuddi logarifmik tenglamadagidek, logarifm belgisi ostida paydo bo‘ladigan tengsizlikni ham aytishimiz mumkin.
Protozoa logarifmik tengsizliklar shunday ko'ring:
Bu erda f(x) va g(x) x ga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalardir.
Buni ushbu misol yordamida ko'rib chiqamiz: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logarifmik tengsizliklarni yechish
Logarifmik tengsizliklarni yechishdan oldin shuni ta'kidlash joizki, ular yechilganda o'xshash bo'ladi eksponensial tengsizliklar, aynan:
Birinchidan, logarifmlardan logarifm belgisi ostidagi ifodalarga o'tishda, biz ham logarifm asosini bitta bilan solishtirishimiz kerak;
Ikkinchidan, logarifmik tengsizlikni o'zgaruvchilarning o'zgarishi yordamida yechishda, biz eng oddiy tengsizlikni olguncha o'zgarishga nisbatan tengsizliklarni yechishimiz kerak.
Lekin siz va men logarifmik tengsizliklarni yechishning o'xshash tomonlarini ko'rib chiqdik. Endi juda muhim farqga e'tibor qarataylik. Siz va men logarifmik funktsiyaga ega ekanligini bilamiz cheklangan hudud ta'riflar, shuning uchun logarifmlardan logarifm belgisi ostidagi ifodalarga o'tishda siz maydonni hisobga olishingiz kerak. qabul qilinadigan qiymatlar(ODZ).
Ya'ni, logarifmik tenglamani yechishda siz va men birinchi navbatda tenglamaning ildizlarini topishimiz, keyin esa bu yechimni tekshirishimiz mumkinligini hisobga olish kerak. Ammo logarifmik tengsizlikni yechish bu tarzda ishlamaydi, chunki logarifmlardan logarifm belgisi ostidagi ifodalarga o‘tish uchun tengsizlikning ODZ ni yozish kerak bo‘ladi.
Bundan tashqari, tengsizliklar nazariyasi ijobiy va haqiqiy sonlardan iborat ekanligini esga olish kerak. manfiy raqamlar, shuningdek 0 raqami.
Misol uchun, "a" soni ijobiy bo'lsa, siz quyidagi belgidan foydalanishingiz kerak: a >0. Bunday holda, bu sonlarning yig'indisi ham, mahsuloti ham ijobiy bo'ladi.
Tengsizlikni yechishning asosiy printsipi uni oddiyroq tengsizlik bilan almashtirishdir, lekin asosiysi u berilganga ekvivalent bo'lishidir. Bundan tashqari, biz tengsizlikni ham oldik va uni yana oddiyroq shaklga ega bo'lgan bilan almashtirdik va hokazo.
O'zgaruvchi bilan tengsizliklarni yechishda uning barcha yechimlarini topish kerak. Agar ikkita tengsizlik bir xil x o'zgaruvchiga ega bo'lsa, ularning yechimlari mos kelsa, bunday tengsizliklar ekvivalent hisoblanadi.
Logarifmik tengsizliklarni echish bo'yicha topshiriqlarni bajarishda shuni yodda tutish kerakki, a > 1 bo'lsa, logarifmik funktsiya ortadi va 0 bo'lsa.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari
Endi logarifmik tengsizliklarni yechishda sodir bo‘ladigan ba’zi usullarni ko‘rib chiqamiz. Yaxshiroq tushunish va assimilyatsiya qilish uchun biz ularni aniq misollar yordamida tushunishga harakat qilamiz.
Hammamizga ma'lumki, eng oddiy logarifmik tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega:
Ushbu tengsizlikda V - quyidagi tengsizlik belgilaridan biridir:<,>, ≤ yoki ≥.
Berilgan logarifmning asosi bittadan (a>1) katta bo‘lsa, logarifmlardan logarifm belgisi ostidagi ifodalarga o‘tish amalga oshirilsa, bu variantda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi va tengsizlik quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
bu tizimga teng:
Logarifmning asosi noldan katta va birdan kichik bo'lsa (0 Bu ushbu tizimga teng: Quyidagi rasmda ko'rsatilgan eng oddiy logarifmik tengsizliklarni yechishning ko'proq misollarini ko'rib chiqamiz: Mashq qilish. Keling, ushbu tengsizlikni hal qilishga harakat qilaylik: Qabul qilinadigan qiymatlar diapazonini hal qilish. Endi uning o'ng tomonini ko'paytirishga harakat qilaylik: Keling, nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik: Endi sublogarifmik ifodalarni konvertatsiya qilishga o‘tamiz. Logarifmning asosi 0 ga teng ekanligi tufayli< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Va bundan kelib chiqadiki, biz olgan interval butunlay ODZga tegishli va bunday tengsizlikning yechimidir. Mana biz olgan javob: Endi logarifmik tengsizliklarni muvaffaqiyatli yechish uchun nimalar kerakligini tahlil qilishga harakat qilaylik? Birinchidan, barcha e'tiboringizni jamlang va ushbu tengsizlikda berilgan o'zgarishlarni amalga oshirishda xato qilmaslikka harakat qiling. Shuningdek, shuni esda tutish kerakki, bunday tengsizliklarni yechishda tengsizliklarning kengayishi va qisqarishiga yo'l qo'ymaslik kerak, bu esa begona echimlarning yo'qolishiga yoki sotib olinishiga olib keladi. Ikkinchidan, logarifmik tengsizliklarni yechishda siz mantiqiy fikrlashni va tengsizliklar tizimi va tengsizliklar to'plami kabi tushunchalar o'rtasidagi farqni tushunishni o'rganishingiz kerak, shunda siz tengsizlikka echimlarni osongina tanlay olasiz, shu bilan birga uning DL ni boshqarasiz. Uchinchidan, bunday tengsizliklarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun har biringiz barcha xususiyatlarni mukammal bilishingiz kerak elementar funktsiyalar va ularning ma'nosini aniq tushunadi. Bunday funktsiyalarga nafaqat logarifmik, balki ratsional, kuch, trigonometrik va boshqalar kiradi, bir so'z bilan aytganda, siz butun dunyoda o'rgangan narsalaringiz. maktabda o'qish algebra. Ko'rib turganingizdek, logarifmik tengsizliklar mavzusini o'rganib chiqib, maqsadlaringizga erishishda ehtiyotkor va qat'iyatli bo'lsangiz, bu tengsizliklarni echishda qiyin narsa yo'q. Tengsizliklarni echishda har qanday muammoga duch kelmaslik uchun siz imkon qadar ko'proq mashq qilishingiz, turli xil vazifalarni hal qilishingiz va shu bilan birga bunday tengsizliklarni va ularning tizimlarini hal qilishning asosiy usullarini eslab qolishingiz kerak. Agar siz logarifmik tengsizliklarni hal qila olmasangiz, kelajakda ularga qaytmaslik uchun xatolaringizni diqqat bilan tahlil qilishingiz kerak. Mavzuni yaxshiroq tushunish va o'tilgan materialni mustahkamlash uchun quyidagi tengsizliklarni yeching: Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering. Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi. Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin. Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan. Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz: Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz: Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz. Istisnolar: Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz. Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz. Agar tengsizlik logarifmik funktsiyani o'z ichiga olsa, u logarifmik deyiladi. Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari ikkitadan farq qilmaydi. Birinchidan, logarifmik tengsizlikdan ostidagi tengsizlikka o'tishda logarifmik funktsiyalar kerak hosil bo'lgan tengsizlik belgisiga amal qiling. U quyidagi qoidaga amal qiladi. Agar logarifmik funktsiyaning asosi $1$ dan katta boʻlsa, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funksiyalar tengsizligiga oʻtganda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, agar u $1$ dan kichik boʻlsa, u teskari tomonga oʻzgaradi. . Ikkinchidan, har qanday tengsizlikning yechimi intervaldir va shuning uchun sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligini echish oxirida ikkita tengsizlik tizimini yaratish kerak: bu tizimning birinchi tengsizligi sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligi bo'ladi, ikkinchisi esa logarifmik tengsizlikka kiruvchi logarifmik funksiyalarni aniqlash sohasining intervali bo'ladi. Tengsizliklarni yeching: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Logarifmning asosi $2>1$, shuning uchun belgisi o'zgarmaydi. Logarifm ta'rifidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: $x+3 \geq 2^(3),$ $x\in\) Juda muhim! Har qanday tengsizlikda \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) ko'rinishidan logarifm ostidagi ifodalarni solishtirishga o'tish faqat quyidagi hollarda amalga oshirilishi mumkin: Misol
. Tengsizlikni yeching: \(\log\)\(≤-1\) Yechim:
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) Keling, ODZni yozamiz. ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) \(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) Qavslarni ochamiz va olib kelamiz. \(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) Biz tengsizlikni \(-1\) ga ko'paytiramiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmaymiz. \(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) \(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) Raqam chizig‘ini quramiz va undagi \(\frac(7)(3)\) va \(\frac(3)(2)\) nuqtalarni belgilaymiz. Tengsizlik qat'iy bo'lmaganiga qaramay, nuqta maxrajdan olib tashlanganiga e'tibor bering. Gap shundaki, bu nuqta yechim bo'lmaydi, chunki tengsizlikka almashtirilganda u bizni nolga bo'linishga olib keladi. Endi biz ODZni bir xil son o'qiga chizamiz va javob sifatida ODZga tushadigan intervalni yozamiz. Yakuniy javobni yozamiz. Misol
. Tengsizlikni yeching: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Yechim:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Keling, ODZni yozamiz. ODZ: \(x>0\) Keling, yechimga o'taylik. Yechim: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Bu erda biz odatdagi kvadrat-logarifmik tengsizlikka egamiz. Keling buni bajaramiz. \(t=\log_3x\) \(D=1+8=9\) Endi biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak - x. Buning uchun bir xil yechimga ega bo'lgan ga o'tamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz. \(\left[ \begin(to'plangan) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\) oʻzgartiring. \(\left[ \begin(to'plangan) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Keling, dalillarni taqqoslashga o'tamiz. Logarifmlarning asoslari \(1\) dan katta, shuning uchun tengsizliklar belgisi o'zgarmaydi. \(\left[ \begin(to'plangan) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Tengsizlik va ODZ yechimini bitta rasmda birlashtiramiz. Keling, javobni yozamiz. Dars maqsadlari: Didaktik: Tarbiyaviy: xotirani, diqqatni, mantiqiy fikrlashni, taqqoslash ko'nikmalarini rivojlantirish, umumlashtirish va xulosalar chiqarish Tarbiyaviy: aniqlik, bajarilayotgan vazifa uchun mas'uliyat va o'zaro yordamni tarbiyalash. O'qitish usullari:
og'zaki ,
ingl ,
amaliy ,
qisman qidiruv ,
o'zini o'zi boshqarish ,
boshqaruv. Tashkilot shakllari kognitiv faoliyat talabalar:
frontal ,
individual ,
juft bo'lib ishlamoq. Uskunalar:
test topshiriqlari to'plami, ma'lumotnomalar, echimlar uchun bo'sh varaqlar. Dars turi: yangi materialni o'rganish. Darslar davomida 1. Tashkiliy moment. Dars mavzusi va maqsadlari, dars ishlanmasi e’lon qilinadi: har bir o‘quvchiga baholash varaqasi beriladi, uni o‘quvchi dars davomida to‘ldiradi; talabalarning har bir juftligi uchun - topshiriqlar bilan bosma materiallar juftlikda bajarilishi kerak; bo'sh eritma varaqlari; qo'llab-quvvatlash varaqlari: logarifmning ta'rifi; logarifmik funksiya grafigi, uning xossalari; logarifmlarning xossalari; logarifmik tengsizliklarni yechish algoritmi. O'z-o'zini baholashdan keyin barcha qarorlar o'qituvchiga topshiriladi. Talaba ballari varaqasi 2. Bilimlarni yangilash. O'qituvchining ko'rsatmalari. Logarifmning ta’rifini, logarifmik funksiya grafigini va uning xossalarini eslang. Buning uchun Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin va boshqalar tahriri ostidagi “Algebra va tahlilning ibtidolari 10–11” darsligining 88–90, 98–101-betlaridagi matnni oʻqing. Talabalarga quyidagi varaqlar beriladi: logarifmning ta'rifi; logarifmik funktsiya grafigini va uning xossalarini ko'rsatadi; logarifmlarning xossalari; logarifmik tengsizliklarni yechish algoritmi, kvadratik tengsizlikka keltiruvchi logarifmik tengsizlikni yechish misoli. 3. Yangi materialni o'rganish. Logarifmik tengsizliklarni yechish logarifmik funksiyaning monotonligiga asoslanadi. Logarifmik tengsizliklarni yechish algoritmi: A) Tengsizlikning aniqlanish sohasini toping (sublogarifmik ifoda noldan katta). O'quv elementi №1. Maqsad: eng oddiy logarifmik tengsizliklar yechimini birlashtirish Talabalarning bilish faoliyatini tashkil etish shakli: individual ish. uchun vazifalar mustaqil ish 10 daqiqa davomida. Har bir tengsizlik uchun bir nechta mumkin bo'lgan javoblar mavjud, siz to'g'risini tanlashingiz va uni kalit yordamida tekshirishingiz kerak. O'quv elementi №2. Maqsad: logarifmlarning xossalaridan foydalangan holda logarifmik tengsizliklarning yechimini mustahkamlash. O'qituvchining ko'rsatmalari. Logarifmlarning asosiy xususiyatlarini eslang. Buning uchun 92, 103–104-betlardagi darslik matnini o‘qing. Mustaqil ish uchun topshiriqlar 10 daqiqa. Kalit: 2113, maksimal ball soni – 8 ball. O'quv elementi №3. Maqsad: logarifmik tengsizliklarni kvadratga keltirish usuli bilan yechish usullarini o'rganish. O'qituvchining ko'rsatmasi: tengsizlikni kvadratga qisqartirish usuli - bu tengsizlikni shunday ko'rinishga aylantirish, ma'lum bir logarifmik funktsiya yangi o'zgaruvchi bilan belgilanadi va shu bilan bu o'zgaruvchiga nisbatan kvadrat tengsizlik olinadi. Interval usulidan foydalanamiz. Siz materialni o'zlashtirishning birinchi bosqichidan o'tdingiz. Endi siz o'zingizning yechim usulini tanlashingiz kerak logarifmik tenglamalar barcha bilim va imkoniyatlaringizdan foydalanish. O'quv elementi №4. Maqsad: ratsional yechim usulini mustaqil tanlash orqali logarifmik tengsizliklar yechimini mustahkamlash. Mustaqil ish uchun topshiriqlar 10 daqiqa O'quv elementi №5. O'qituvchining ko'rsatmalari. Juda qoyil! Siz murakkablikning ikkinchi darajasidagi tenglamalarni echishni o'zlashtirgansiz. Sizning keyingi ishingizdan maqsad bilim va ko'nikmalaringizni yanada murakkab va nostandart vaziyatlarda qo'llashdir. Mustaqil hal qilish uchun vazifalar: O'qituvchining ko'rsatmalari. Agar siz butun vazifani bajargan bo'lsangiz, bu juda yaxshi. Juda qoyil! Butun dars uchun baho barcha ta'lim elementlari uchun to'plangan ballar soniga bog'liq: Baholash varaqalarini o'qituvchiga topshiring. 5. Uy vazifasi: agar siz 15 balldan ko'p bo'lmagan ball to'plagan bo'lsangiz, xatolaringiz ustida ishlang (yechimlarni o'qituvchidan olish mumkin), agar siz 15 balldan ortiq ball to'plagan bo'lsangiz, "Logarifmik tengsizliklar" mavzusida ijodiy topshiriqni bajaring.
Yechish misollari
3x > 24;
x > 8. 
Logarifmik tengsizliklarni yechish uchun nima kerak?
Uy vazifasi
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Amaliyot.
Javob:
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
Javob:
\((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)
\(t^2-t-2>0\) Yotib qo'ying chap tomoni bo'yicha tengsizliklar.
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)
B) Tengsizlikning chap va o'ng tomonlarini (agar iloji bo'lsa) bir xil asosga logarifm sifatida ko'rsating.
C) Logarifmik funktsiyaning ortib yoki kamayishini aniqlang: agar t>1 bo'lsa, u holda ortib boradi; agar 0
D) Ko'proq o'ting oddiy tengsizlik(sublogarifmik ifodalar), agar funksiya ortib ketsa, tengsizlik belgisi qoladi, kamaysa o‘zgaradi.
Kalit: 13321, maksimal ball soni – 6 ball.
