Kvadrat funksiyada c nimaga ta'sir qiladi. Parabola bilan video darsliklar. IV holatda "b" paydo bo'ladi

Chaqiriladigan shaklning funksiyasi kvadratik funktsiya.

Jadval kvadratik funktsiya – parabola.

Keling, holatlarni ko'rib chiqaylik:

I ISSE, KLASSIK PARABOLA

Ya'ni , ,

Qurilish uchun formulaga x qiymatlarini qo'yish orqali jadvalni to'ldiring:

Nuqtalarni belgilang (0;0); (1;1); (-1;1) va boshqalar. koordinata tekisligida (qadam qanchalik kichik bo'lsa, biz x qiymatlarini olamiz (in Ushbu holatda 1-qadam) va biz qanchalik ko'p x qiymatlarini olsak, egri chiziq shunchalik silliq bo'ladi), biz parabola olamiz:

Ko'rish oson, agar , , , ya'ni holini oladigan bo'lsak, u holda o'qqa (oh) simmetrik bo'lgan parabolani olamiz. Shunga o'xshash jadvalni to'ldirish orqali buni tekshirish oson:

II HOLAT, “a” BIRLIKDAN FARKLI

, , ni olsak nima bo'ladi? Parabolaning harakati qanday o'zgaradi? Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Birinchi rasmda (yuqoriga qarang) jadvaldagi parabola (1;1), (-1;1) nuqtalari (1;4), (1;-4) nuqtalarga aylantirilganligi aniq ko'rinadi. ya'ni bir xil qiymatlar bilan har bir nuqtaning ordinatasi 4 ga ko'paytiriladi. Bu asl jadvalning barcha asosiy nuqtalari bilan sodir bo'ladi. 2 va 3-rasmlarda ham xuddi shunday fikr yuritamiz.

Va parabola paraboladan "kengroq" ​​bo'lganda:

Keling, xulosa qilaylik:

1)Koeffitsientning belgisi shoxlarning yo'nalishini belgilaydi. Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlaq qiymat koeffitsient (modul) parabolaning "kengayishi" va "siqilishi" uchun javobgardir. Qanchalik katta bo'lsa, parabola qanchalik tor bo'lsa, |a| qanchalik kichik bo'lsa, parabola shunchalik keng bo'ladi.

III HOLAT, “C” KO‘RIB KELADI

Keling, o'yinga kirishamiz (ya'ni, qachon bo'lganini ko'rib chiqamiz), biz shaklning parabolalarini ko'rib chiqamiz. Belgiga qarab parabolaning o'q bo'ylab yuqoriga yoki pastga siljishini taxmin qilish qiyin emas (siz har doim jadvalga murojaat qilishingiz mumkin):

IV HOLAT, “b” KO‘RIB KELADI

Qachon parabola o'qdan "uziladi" va nihoyat butun koordinata tekisligi bo'ylab "yuradi"? Qachon teng bo'lishni to'xtatadi?

Bu erda parabolani qurish uchun bizga kerak uchini hisoblash formulasi: , .

Shunday qilib, bu nuqtada (nuqtadagi kabi (0;0) yangi tizim koordinatalar) biz allaqachon qila oladigan parabolani quramiz. Agar biz ish bilan shug'ullanadigan bo'lsak, u holda cho'qqidan biz bir birlik segmentini o'ngga, birini yuqoriga qo'yamiz - natijada olingan nuqta bizniki (xuddi shunday, chapga bir qadam, yuqoriga ko'tarilish bizning nuqtamiz); masalan, biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak, u holda cho'qqidan biz bir birlik segmentini o'ngga, ikkitasini yuqoriga va hokazolarga qo'yamiz.

Masalan, parabolaning tepasi:

Endi tushunish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, bu cho'qqida biz parabola naqshiga muvofiq parabola quramiz, chunki bizning holatlarimizda.

Parabola qurishda cho'qqisining koordinatalarini topgandan keyin judaQuyidagi fikrlarni hisobga olish qulay:

1) parabola nuqtadan albatta o'tadi . Haqiqatan ham, formulaga x = 0 ni almashtirsak, biz buni olamiz. Ya'ni, parabolaning o'qi (oy) bilan kesishish nuqtasining ordinatasi . Bizning misolimizda (yuqorida) parabola ordinatani nuqtada kesishadi, chunki .

2) simmetriya o'qi parabolalar to'g'ri chiziqdir, shuning uchun parabolaning barcha nuqtalari unga nisbatan simmetrik bo'ladi. Bizning misolimizda biz darhol (0; -2) nuqtani olamiz va uni parabolaning simmetriya o'qiga nisbatan simmetrik quramiz, biz parabola o'tadigan nuqtani (4; -2) olamiz.

3) ga tenglashtirib, parabolaning o'qi (oh) bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamani yechamiz. Diskriminantga qarab, biz bitta (, ), ikkita (title = " QuickLaTeX.com tomonidan berilgan) olamiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Oldingi misolda, bizning diskriminantning ildizi butun son emas, biz uchun ildizlarni topish unchalik ma'noga ega emas, lekin biz o'q bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega bo'lishini aniq ko'ramiz (oh); (buyon title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Shunday qilib, keling, uni ishlab chiqaylik

Agar parabola shaklda berilgan bo'lsa, uni qurish algoritmi

1) shoxlarning yo'nalishini aniqlang (a>0 - yuqoriga, a<0 – вниз)

2) , formulasidan foydalanib parabolaning uchining koordinatalarini topamiz.

3) erkin termin yordamida parabolaning o‘q (oy) bilan kesishish nuqtasini topamiz, parabolaning simmetriya o‘qiga nisbatan shu nuqtaga simmetrik nuqta quramiz (shuni qayd etish kerakki, uni belgilash foydasiz bo‘ladi). bu nuqta, masalan, qiymat katta bo'lgani uchun ... biz bu nuqtani o'tkazib yuboramiz ...)

4) Topilgan nuqtada - parabolaning tepasida (yangi koordinatalar sistemasining (0;0) nuqtasidagi kabi) parabola quramiz. If title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Tenglamani yechish orqali parabolaning o'q (oy) bilan kesishish nuqtalarini topamiz (agar ular hali "yuzaga chiqmagan" bo'lsa).

1-misol

2-misol

Eslatma 1. Agar parabola dastlab bizga , ba'zi raqamlar qaerda (masalan, ) shaklida berilgan bo'lsa, unda uni qurish yanada osonroq bo'ladi, chunki bizga tepaning koordinatalari allaqachon berilgan. Nega?

Keling, olamiz kvadratik trinomial va undagi to'liq kvadratni tanlang: Qarang, biz , ni oldik. Siz va men avval parabolaning cho'qqisini, ya'ni hozir, deb ataganmiz.

Masalan, . Biz tekislikda parabolaning tepasini belgilaymiz, biz shoxlar pastga yo'naltirilganligini tushunamiz, parabola kengaytiriladi (nisbatan). Ya'ni, biz 1-bandlarni bajaramiz; 3; 4; 5 parabolani qurish algoritmidan (yuqoriga qarang).

Eslatma 2. Agar parabola shunga o'xshash ko'rinishda berilgan bo'lsa (ya'ni ikkita chiziqli omil ko'paytmasi sifatida taqdim etilgan bo'lsa), biz darhol parabolaning o'q (ox) bilan kesishish nuqtalarini ko'ramiz. Bu holda – (0;0) va (4;0). Qolganlari uchun biz qavslarni ochgan holda algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

Parabolani qanday qurish mumkin? Kvadrat funksiya grafigini tuzishning bir necha usullari mavjud. Ularning har biri o'zining ijobiy va salbiy tomonlariga ega. Keling, ikkita usulni ko'rib chiqaylik.

y=x²+bx+c va y= -x²+bx+c ko‘rinishdagi kvadratik funksiya grafigini tuzishdan boshlaylik.

Misol.

y=x²+2x-3 funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y=x²+2x-3 kvadrat funktsiyadir. Grafik shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

(-1;-4) cho'qqidan y=x² (koordinatalarning kelib chiqishi kabi. (0;0) o'rniga - cho'qqi (-1;-4) grafigini quramiz. (-1); -4) o'ngga 1 birlikka va yuqoriga 1 birlikka, keyin chapga 1 va yuqoriga: 2 - o'ngga, 4 - yuqoriga, 2 - chapga, 3 - yuqoriga; chapga, 9 - yuqoriga Agar bu 7 ball etarli bo'lmasa, o'ngga 4, tepaga 16 va hokazo).

y= -x²+bx+c kvadrat funktsiyaning grafigi shoxlari pastga yo'naltirilgan paraboladir. Grafikni qurish uchun biz cho'qqining koordinatalarini qidiramiz va undan y= -x² parabolani quramiz.

Misol.

y= -x²+2x+8 funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y= -x²+2x+8 kvadrat funktsiya. Grafik shoxlari pastga ega paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

Yuqoridan y= -x² parabola quramiz (1 - o'ngga, 1 - pastga; 1 - chapga, 1 - pastga; 2 - o'ngga, 4 - pastga; 2 - chapga, 4 - pastga va hokazo):

Bu usul tez parabolani qurish imkonini beradi va agar siz y=x² va y= -x² funksiyalarning grafigini tuzishni bilsangiz, qiyin emas. Kamchilik: agar vertex koordinatalari bo'lsa kasr sonlar, grafik yaratish unchalik qulay emas. Agar bilish kerak bo'lsa aniq qiymatlar Grafikning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalari uchun siz x²+bx+c=0 (yoki -x²+bx+c=0) tenglamasini qo'shimcha ravishda echishingiz kerak bo'ladi, hatto bu nuqtalarni chizmadan bevosita aniqlash mumkin bo'lsa ham.

Parabolani qurishning yana bir usuli - nuqtalar yordamida, ya'ni grafikda bir nechta nuqtalarni topish va ular orqali parabola chizish mumkin (x=xₒ chiziq uning simmetriya o'qi ekanligini hisobga olgan holda). Odatda buning uchun ular parabola cho'qqisini, grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini va 1-2 qo'shimcha nuqtani oladilar.

y=x²+5x+4 funksiya grafigini chizing.

Yechim:

y=x²+5x+4 kvadrat funktsiyadir. Grafik shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

ya'ni parabolaning tepasi nuqta (-2,5; -2,25).

qidirmoqdalar. Ox o'qi bilan kesishgan nuqtada y=0: x²+5x+4=0. Kvadrat tenglamaning ildizlari x1=-1, x2=-4, ya'ni grafikda ikkita nuqta (-1; 0) va (-4; 0) oldik.

Grafikning Oy o'qi bilan kesishgan nuqtasida x=0: y=0²+5∙0+4=4. Biz nuqtani oldik (0; 4).

Grafikni aniqlashtirish uchun siz qo'shimcha nuqta topishingiz mumkin. X=1 ni olaylik, u holda y=1²+5∙1+4=10, ya’ni grafikning boshqa nuqtasi (1; 10). Bu nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz. Parabolaning uning cho'qqisidan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriyasini hisobga olib, yana ikkita nuqtani belgilaymiz: (-5; 6) va (-6; 10) va ular orqali parabola chizamiz:

y= -x²-3x funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y= -x²-3x kvadratik funksiya. Grafik shoxlari pastga ega paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

Cho'qqisi (-1,5; 2,25) parabolaning birinchi nuqtasidir.

Grafikning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtalarida y=0, ya'ni -x²-3x=0 tenglamani yechamiz. Uning ildizlari x=0 va x=-3, ya'ni (0;0) va (-3;0) - grafikdagi yana ikkita nuqta. (o; 0) nuqta ham parabolaning ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtasidir.

x=1 y=-1²-3∙1=-4 da, ya’ni (1; -4) chizma tuzish uchun qo’shimcha nuqtadir.

Nuqtalardan parabolani yasash birinchisiga nisbatan ancha mehnat talab qiladigan usuldir. Agar parabola Ox o'qini kesib o'tmasa, qo'shimcha nuqtalar kerak bo'ladi.

y=ax²+bx+c ko‘rinishdagi kvadratik funksiyalarning grafiklarini qurishni davom ettirishdan oldin, geometrik o‘zgartirishlar yordamida funksiyalar grafiklarini qurishni ko‘rib chiqamiz. Shuningdek, y=x²+c ko‘rinishdagi funksiyalar grafiklarini shu o‘zgartirishlardan biri — parallel ko‘chirish yordamida qurish ham eng qulaydir.

Kvadrat funktsiya shaklning funktsiyasidir:
y=a*(x^2)+b*x+c,
Bu erda a - noma'lum x ning eng yuqori darajasi uchun koeffitsient,
b - noma'lum x uchun koeffitsient,
va c bepul a'zo.
Kvadrat funksiyaning grafigi parabola deb ataladigan egri chiziqdir. Umumiy shakl Parabola quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

1-rasm Parabolaning umumiy ko'rinishi.

Bir necha bor turli yo'llar bilan kvadratik funksiya grafigini tuzish. Biz ularning asosiy va eng umumiylarini ko'rib chiqamiz.

y=a*(x^2)+b*x+c kvadratik funksiya grafigini tuzish algoritmi.

1. Koordinatalar sistemasini tuzing, birlik segmentini belgilang va belgilang koordinata o'qlari.

2. Parabola shoxlari yo'nalishini aniqlang (yuqoriga yoki pastga).
Buning uchun a koeffitsientining belgisiga qarash kerak. Agar ortiqcha bo'lsa, unda shoxlar yuqoriga, minus bo'lsa, shoxlar pastga yo'naltiriladi.

3. Parabola tepasining x koordinatasini aniqlang.
Buning uchun Xvertex = -b/2*a formulasidan foydalanishingiz kerak.

4. Parabolaning uchidagi koordinatani aniqlang.
Buning uchun x o'rniga Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c tenglamasini oldingi bosqichda topilgan Xverhiny qiymatini almashtiring.

5. Grafikda hosil bo’lgan nuqtani chizing va u orqali Oy koordinata o’qiga parallel simmetriya o’qini chizing.

6. Grafikning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping.
Buning uchun siz hal qilishingiz kerak kvadrat tenglama a*(x^2)+b*x+c = 0 biri ma'lum usullar. Agar tenglamaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa, u holda funksiya grafigi Ox o'qini kesib o'tmaydi.

7. Grafikning Oy o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatalarini toping.
Buning uchun tenglamaga x=0 qiymatini almashtiramiz va y qiymatini hisoblaymiz. Biz buni va unga simmetrik nuqtani grafikda belgilaymiz.

8. Ixtiyoriy A(x,y) nuqtaning koordinatalarini toping.
Buning uchun x koordinatasi uchun ixtiyoriy qiymatni tanlang va uni tenglamamizga almashtiring. Bu nuqtada y qiymatini olamiz. Grafikdagi nuqtani chizing. Shuningdek, grafikda A(x,y) nuqtaga simmetrik nuqtani belgilang.

9. Grafikdagi olingan nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lang va grafani orqasida davom ettiring ekstremal nuqtalar, koordinata o'qining oxirigacha. Grafikni etakchiga yoki bo'sh joy bo'lsa, grafikning o'zi bo'ylab belgilang.

Chizma tuzishga misol

Misol tariqasida kvadrat funktsiyani chizamiz tenglama bilan berilgan y=x^2+4*x-1
1. Koordinata o'qlarini chizing, ularni belgilang va birlik segmentini belgilang.
2. Koeffitsient qiymatlari a=1, b=4, c= -1. Noldan katta bo'lgan a=1 bo'lgani uchun parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan.
3. Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2 parabola tepasining X koordinatasini aniqlang.
4. Parabola tepasining Y koordinatasini aniqlang
Vertices = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Cho'qqini belgilang va simmetriya o'qini chizing.
6. Kvadrat funksiya grafigining Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping. X^2+4*x-1=0 kvadrat tenglamani yechamiz.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Olingan qiymatlarni grafikda belgilaymiz.
7. Grafikning Oy o`qi bilan kesishish nuqtalarini toping.
x=0; y=-1
8. Ixtiyoriy B nuqtani tanlang. Uning koordinatasi x=1 bo'lsin.
U holda y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Olingan nuqtalarni ulang va grafikni imzolang.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda so'rov yuborganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, V sud va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.