Logarifmik identifikatsiya formulalari. Logarifmlarni hisoblash, misollar, yechimlar

Logarifmik identifikatsiya formulalari. Logarifmlarni hisoblash, misollar, yechimlar
Logarifmik identifikatsiya formulalari. Logarifmlarni hisoblash, misollar, yechimlar
17.10.2019

Jamiyat rivojlanib, ishlab chiqarish murakkablashgan sari matematika ham rivojlandi. Oddiydan murakkabga o'tish. Qo'shish va ayirish usulidan foydalangan holda oddiy buxgalteriya hisobidan ularning takroriy takrorlanishi bilan biz ko'paytirish va bo'lish tushunchasiga keldik. Ko'paytirishning takroriy amalini qisqartirish ko'rsatkich tushunchasiga aylandi. Raqamlarning asosga va ko'rsatkichlar soniga bog'liqligining birinchi jadvallari 8-asrda hind matematigi Varasena tomonidan tuzilgan. Ulardan logarifmlarning paydo bo'lish vaqtini hisoblashingiz mumkin.

Tarixiy eskiz

16-asrda Yevropaning tiklanishi ham mexanikaning rivojlanishiga turtki boʻldi. T katta hajmdagi hisoblashni talab qildi ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq ko'p xonali raqamlar. Qadimgi stollar katta xizmat qilgan. Ular murakkab amallarni oddiyroq - qo'shish va ayirish bilan almashtirishga imkon berdi. Oldinga katta qadam 1544 yilda nashr etilgan matematik Maykl Stifelning ishi bo'lib, unda u ko'plab matematiklarning g'oyasini amalga oshirdi. Bu nafaqat shakldagi darajalar uchun jadvallardan foydalanishga imkon berdi tub sonlar, balki o'zboshimchalik bilan oqilona bo'lganlar uchun ham.

1614 yilda bu g'oyalarni ishlab chiqqan shotlandiyalik Jon Nepier birinchi marta taqdim etdi yangi atama"sonning logarifmi". Sinuslar va kosinuslarning logarifmlarini, shuningdek, tangenslarni hisoblash uchun yangi murakkab jadvallar tuzildi. Bu astronomlarning ishini ancha qisqartirdi.

Uch asr davomida olimlar tomonidan muvaffaqiyatli qo'llanilgan yangi jadvallar paydo bo'la boshladi. Oldin ko'p vaqt o'tdi yangi operatsiya algebrada u o'zining to'liq shaklini oldi. Logarifmning ta’rifi berildi va uning xossalari o‘rganildi.

Faqat 20-asrda, kalkulyator va kompyuterning paydo bo'lishi bilan insoniyat 13-asr davomida muvaffaqiyatli ishlagan qadimiy jadvallardan voz kechdi.

Bugun biz b ning logarifmini a asosi bo'lgan x soni deb ataymiz, ya'ni a ning b ni tashkil qiladi. Bu formula sifatida yoziladi: x = log a(b).

Masalan, log 3(9) 2 ga teng bo'ladi. Agar ta'rifga amal qilsangiz, bu aniq. Agar 3 ni 2 ning darajasiga oshirsak, biz 9 ni olamiz.

Shunday qilib, tuzilgan ta'rif faqat bitta cheklovni o'rnatadi: a va b raqamlari haqiqiy bo'lishi kerak.

Logarifmlarning turlari

Klassik ta'rif haqiqiy logarifm deb ataladi va aslida a x = b tenglamaning yechimidir. Variant a = 1 chegara chizig'idir va qiziqish uyg'otmaydi. Diqqat: har qanday kuchga 1 1 ga teng.

Logarifmning haqiqiy qiymati faqat asos va argument 0 dan katta bo'lganda aniqlanadi va asos 1 ga teng bo'lmasligi kerak.

Matematika sohasida alohida o'rin tutadi logarifmlarni o'ynang, ular bazasining o'lchamiga qarab nomlanadi:

Qoidalar va cheklovlar

Logarifmlarning asosiy xususiyati qoidadir: mahsulotning logarifmi logarifmik yig'indiga teng. log abp = log a(b) + log a(p).

Ushbu bayonotning varianti sifatida u quyidagicha bo'ladi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bo'linish funktsiyasi funktsiyalarning farqiga teng.

Oldingi ikkita qoidadan shuni ko'rish oson: log a(b p) = p * log a(b).

Boshqa xususiyatlarga quyidagilar kiradi:

Izoh. Umumiy xatoga yo'l qo'yishning hojati yo'q - yig'indining logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng emas.

Ko'p asrlar davomida logarifmni topish juda ko'p vaqt talab qiladigan ish edi. Matematiklar foydalangan taniqli formula Polinom kengayishining logarifmik nazariyasi:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), bu erda n - natural son 1 dan katta, bu hisoblashning to'g'riligini belgilaydi.

Boshqa asosli logarifmlar bir asosdan ikkinchisiga o'tish teoremasi va ko'paytma logarifmining xossasi yordamida hisoblangan.

Chunki bu usul juda ko'p mehnat talab qiladi va amaliy muammolarni hal qilishda amalga oshirish qiyin, biz logarifmlarning oldindan tuzilgan jadvallaridan foydalandik, bu esa barcha ishlarni sezilarli darajada tezlashtirdi.

Ba'zi hollarda maxsus mo'ljallangan logarifm grafiklaridan foydalanilgan, bu kamroq aniqlik bergan, ammo qidiruvni sezilarli darajada tezlashtirgan. kerakli qiymat. Bir necha nuqtalar ustida tuzilgan y = log a(x) funktsiyaning egri chizig'i istalgan boshqa nuqtadagi funktsiya qiymatini topish uchun oddiy o'lchagichdan foydalanish imkonini beradi. Muhandislar uzoq vaqt Ushbu maqsadlar uchun grafik qog'oz deb ataladigan qog'oz ishlatilgan.

17-asrda birinchi yordamchi analog hisoblash sharoitlari paydo bo'ldi, bu 19-asr tugallangan ko'rinishga ega bo'ldi. Eng muvaffaqiyatli qurilma slayd qoidasi deb nomlandi. Qurilmaning soddaligiga qaramay, uning ko'rinishi barcha muhandislik hisob-kitoblari jarayonini sezilarli darajada tezlashtirdi va buni ortiqcha baholash qiyin. Hozirda bu qurilma bilan kam odam tanish.

Kalkulyatorlar va kompyuterlarning paydo bo'lishi boshqa har qanday qurilmalardan foydalanishni ma'nosiz qildi.

Tenglamalar va tengsizliklar

Logarifmlar yordamida turli xil tenglamalar va tengsizliklarni yechish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

  • Bir bazadan ikkinchisiga o'tish: log a (b) = log c (b) / log c (a);
  • Natijada oldingi versiya: log a (b) = 1 / log b (a).

Tengsizliklarni yechish uchun quyidagilarni bilish foydalidir:

  • Logarifmning qiymati faqat asos va argument bittadan katta yoki kichik bo'lsagina ijobiy bo'ladi; agar kamida bitta shart buzilgan bo'lsa, logarifm qiymati salbiy bo'ladi.
  • Agar tengsizlikning o‘ng va chap tomonlariga logarifm funksiyasi qo‘llanilsa va logarifmning asosi birdan katta bo‘lsa, tengsizlik belgisi saqlanib qoladi; aks holda u o'zgaradi.

Namuna muammolar

Keling, logarifmlar va ularning xossalarini ishlatishning bir nechta variantlarini ko'rib chiqaylik. Tenglamalarni yechishga misollar:

Logarifmni bir darajaga joylashtirish variantini ko'rib chiqing:

  • Masala 3. 25^log 5(3) ni hisoblang. Yechish: muammoning shartlarida yozuv quyidagiga o'xshaydi (5^2)^log5(3) yoki 5^(2 * log 5(3)). Buni boshqacha yozamiz: 5^log 5(3*2) yoki funktsiya argumenti sifatidagi raqamning kvadrati funksiyaning o'zi (5^log 5(3))^2 kvadrati sifatida yozilishi mumkin. Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, bu ifoda 3^2 ga teng. Javob: hisoblash natijasida biz 9 ni olamiz.

Amaliy foydalanish

Sof matematik vosita bo'lib, u uzoqroq ko'rinadi haqiqiy hayot logarifm to'satdan paydo bo'ldi katta ahamiyatga ega ob'ektlarni tasvirlash uchun haqiqiy dunyo. Undan foydalanilmagan fanni topish qiyin. Bu nafaqat tabiiy, balki to'liq amal qiladi gumanitar sohalar bilim.

Logarifmik bog'liqliklar

Raqamli bog'liqliklarga ba'zi misollar:

Mexanika va fizika

Tarixan mexanika va fizika har doim foydalanish orqali rivojlangan matematik usullar tadqiqotlar va shu bilan birga matematika, jumladan, logarifmlar rivojlanishi uchun rag'bat bo'lib xizmat qildi. Fizikaning aksariyat qonunlari nazariyasi matematika tilida yozilgan. Logarifm yordamida fizik qonunlarni tavsiflashga ikkita misol keltiramiz.

Raketa tezligi kabi murakkab miqdorni hisoblash muammosini Tsiolkovskiy formulasi yordamida hal qilish mumkin, bu koinotni o'rganish nazariyasiga asos solgan:

V = I * ln (M1/M2), bu erda

  • V - samolyotning oxirgi tezligi.
  • I - dvigatelning o'ziga xos impulsi.
  • M 1 - raketaning boshlang'ich massasi.
  • M 2 - yakuniy massa.

Boshqa muhim misol - bu boshqa buyuk olim Maks Plankning termodinamikadagi muvozanat holatini baholashga xizmat qiluvchi formulasida qo'llaniladi.

S = k * ln (Ō), bu erda

  • S – termodinamik xususiyat.
  • k – Boltsman doimiysi.
  • Ō - turli holatlarning statistik og'irligi.

Kimyo

Kimyoda logarifmlar nisbatini o'z ichiga olgan formulalardan foydalanish unchalik aniq emas. Keling, ikkita misol keltiraylik:

  • Nernst tenglamasi, moddalarning faolligi va muvozanat konstantasiga nisbatan muhitning oksidlanish-qaytarilish potensialining sharti.
  • Avtoliz indeksi va eritmaning kislotaligi kabi konstantalarni hisoblash ham bizning funktsiyamizsiz amalga oshirilmaydi.

Psixologiya va biologiya

Va psixologiyaning bunga qanday aloqasi borligi umuman aniq emas. Ma'lum bo'lishicha, sezish kuchi bu funktsiya tomonidan qo'zg'atuvchining intensivligining teskari nisbati sifatida yaxshi tasvirlangan. pastroq qiymat intensivlik.

Keyin yuqoridagi misollar Logarifmlar mavzusi biologiyada keng qo'llanilishi endi ajablanarli emas. Logarifmik spirallarga mos keladigan biologik shakllar haqida butun jildlar yozilishi mumkin.

Boshqa hududlar

Ko'rinadiki, dunyoning mavjudligi bu funktsiya bilan bog'liqsiz mumkin emas va u barcha qonunlarni boshqaradi. Ayniqsa, tabiat qonunlari bilan bog'liq bo'lsa geometrik progressiya. MatProfi veb-saytiga murojaat qilish arziydi va quyidagi faoliyat sohalarida bunday misollar ko'p:

Ro'yxat cheksiz bo'lishi mumkin. Ushbu funktsiyaning asosiy tamoyillarini o'zlashtirib, siz cheksiz donolik dunyosiga sho'ng'ishingiz mumkin.

    dan boshlaylik bir logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a≠1 uchun. Isbot qilish qiyin emas: a>0 va a≠1 yuqoridagi shartlarni qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, isbotlanishi kerak bo‘lgan log a 1=0 tenglik logarifm ta’rifidan darhol kelib chiqadi.

    Ko'rib chiqilayotgan xossaning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0, log1=0 va .

    Keling, davom etaylik quyidagi mulkka: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. Darhaqiqat, har qanday a uchun a 1 =a bo'lganligi sababli, logarifm ta'rifiga ko'ra log a a=1 bo'ladi.

    Logarifmlarning bu xossasidan foydalanishga misol qilib log 5 5=1, log 5,6 5,6 va lne=1 tengliklarini keltirish mumkin.

    Masalan, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 va .

    Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y bu raqamlarning logarifmlarining ko'paytmasiga teng: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xususiyatlari tufayli a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, va asosiy logarifmik identifikatsiya bo'yicha log a x =x va log a y =y bo'lganligi sababli, log a x ·a log a y =x·y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x·y, undan logarifm ta’rifi bilan isbotlanayotgan tenglik kelib chiqadi.

    Mahsulot logarifmi xossasidan foydalanishga misollarni ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va .

    Mahsulot logarifmining xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu tenglikni muammosiz isbotlash mumkin.

    Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va sonlarining uchta natural logarifmi yig'indisi bilan almashtirish mumkin.

    Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmining xossasi a>0, a≠1, x va y ba'zi musbat sonlar bo'lgan shakldagi formulaga mos keladi. Ushbu formulaning to'g'riligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri , keyin logarifmning ta'rifi bo'yicha.

    Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: .

    Keling, davom etaylik kuch logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Kuch logarifmining bu xossasini formula sifatida yozamiz: log a b p =p·log a |b|, bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.

    Avval bu xususiyatni ijobiy b uchun isbotlaymiz. Asoslar logarifmik identifikatsiya b sonini log a b, keyin b p =(a log a b) p ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi va hosil bo'lgan ifoda kuch xususiyatiga ko'ra p·log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p·log a b tengligiga kelamiz, undan logarifm ta'rifi bilan log a b p =p·log a b degan xulosaga kelamiz.

    Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash uchun qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p. Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, qaerdan log a b p =p·log a |b| .

    Masalan, va ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n- ildizning logarifmi 1/n kasrning radikal ifoda logarifmiga ko‘paytmasiga teng, ya’ni: , bu yerda a>0, a≠1, n birdan katta natural son, b>0.

    Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (qarang) va kuchning logarifmi xossasiga asoslanadi: .

    Bu xususiyatdan foydalanishga misol: .

    Endi isbot qilaylik yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi mehribon . Buning uchun tenglik log c b=log a b·log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b =log a b log c a. Bu log c b=log a b·log c a tengligini isbotlaydi, ya'ni yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ham isbotlangan.

    Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatidan foydalanishga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va .

    Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Misol uchun, u natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun ishlatilishi mumkin, shunda siz logarifmalar jadvalidan logarifmaning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda, ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.

    Tez-tez ishlatiladi maxsus holat ko'rinishdagi c=b bilan logarifmning yangi asosiga o'tish formulalari . Bu log a b va log b a – ekanligini ko'rsatadi. Masalan, .

    Formula ham tez-tez ishlatiladi , bu logarifm qiymatlarini topish uchun qulay. Bizning so'zlarimizni tasdiqlash uchun biz undan qanday qilib logarifma shaklini hisoblashda foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor . Formulani isbotlash uchun a logarifmining yangi bazasiga o'tish uchun formuladan foydalanish kifoya: .

    Logarifmlarni solishtirish xususiyatlarini isbotlash qoladi.

    Har qanday musbat sonlar uchun b 1 va b 2, b 1 ekanligini isbotlaylik log a b 2, a>1 uchun esa – tengsizlik log a b 1

    Va nihoyat, logarifmlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash qoladi. Keling, uning birinchi qismini isbotlash bilan cheklanamiz, ya'ni agar a 1 >1, a 2 >1 va 1 bo'lishini isbotlaymiz. 1 rost log a 1 b>log a 2 b . Logarifmlarning ushbu xossasining qolgan bayonotlari shunga o'xshash printsip bo'yicha isbotlangan.

    Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, 1 >1, 2 >1 va 1 uchun 1 haqiqiy log a 1 b≤log a 2 b. Logarifmlarning xossalariga asoslanib, bu tengsizliklarni quyidagicha qayta yozish mumkin Va mos ravishda va ulardan log b a 1 ≤log b a 2 va log b a 1 ≥log b a 2 ekanligi kelib chiqadi. Keyin bir xil asosli darajalar xossalariga ko'ra, b log b a 1 ≥b log b a 2 va b log b a 1 ≥b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 ≥a 2 bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 shartiga qarama-qarshilikka keldik

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

  • Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

  • Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
  • Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
  • Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
  • Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

  • Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
  • Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Ibtidoiy darajadagi algebraning elementlaridan biri logarifmdir. Ism yunon tilidan "raqam" yoki "kuch" so'zidan kelib chiqqan va yakuniy raqamni topish uchun bazadagi raqamni ko'tarish kerak bo'lgan kuchni anglatadi.

Logarifmlarning turlari

  • log a b – b sonining a asosiga logarifmi (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • log b - o'nlik logarifm (10 asosga logarifm, a = 10);
  • ln b – natural logarifm (e asosiga logarifm, a = e).

Logarifmlarni qanday yechish mumkin?

b ning a asosining logarifmi ko'rsatkich bo'lib, b ni a asosga ko'tarishni talab qiladi. Olingan natija shunday talaffuz qilinadi: “b ning a asosiga logarifmi”. Logarifmik masalalarning yechimi shundan iboratki, berilgan quvvatni ko'rsatilgan raqamlardan raqamlarda aniqlash kerak. Logarifmni aniqlash yoki echish, shuningdek, belgining o'zini o'zgartirish uchun ba'zi asosiy qoidalar mavjud. Ular yordamida logarifmik tenglamalar yechiladi, hosilalar topiladi, integrallar yechiladi va boshqa ko‘plab amallar bajariladi. Asosan, logarifmning o'zi yechimi uning soddalashtirilgan yozuvidir. Quyida asosiy formulalar va xususiyatlar keltirilgan:

Har qanday a uchun; a > 0; a ≠ 1 va har qanday x uchun; y > 0.

  • a log a b = b - asosiy logarifmik identifikatsiya
  • log a 1 = 0
  • loga a = 1
  • log a (x y) = log a x + log a y
  • log a x/ y = log a x – log a y
  • log a 1/x = -log a x
  • log a x p = p log a x
  • log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0 uchun
  • log a x = log a c x c
  • log a x = log b x/ log b a – yangi bazaga o'tish formulasi
  • log a x = 1/log x a


Logarifmlarni qanday echish kerak - hal qilish bo'yicha bosqichma-bosqich ko'rsatmalar

  • Birinchidan, kerakli tenglamani yozing.

Iltimos, diqqat qiling: agar asosiy logarifm 10 bo'lsa, u holda yozuv qisqartiriladi, natijada o'nlik logarifm hosil bo'ladi. Agar e natural soni bo'lsa, biz uni natural logarifmaga tushirib yozamiz. Bu shuni anglatadiki, barcha logarifmlarning natijasi b sonini olish uchun asosiy raqam ko'tarilgan kuchdir.


To'g'ridan-to'g'ri, yechim bu darajani hisoblashda yotadi. Ifodani logarifm bilan yechishdan oldin uni qoida bo‘yicha, ya’ni formulalar yordamida soddalashtirish kerak. Maqolada bir oz orqaga qaytib, asosiy identifikatorlarni topishingiz mumkin.

Ikki xil sonli, lekin asosi bir xil boʻlgan logarifmlarni qoʻshish va ayirishda, mos ravishda b va c sonlarining koʻpaytmasi yoki boʻlinishi bilan bitta logarifm bilan almashtiring. Bunday holda, siz boshqa bazaga o'tish uchun formulani qo'llashingiz mumkin (yuqoriga qarang).

Agar logarifmni soddalashtirish uchun iboralardan foydalansangiz, ba'zi cheklovlarni hisobga olish kerak. Va bu: a logarifmasining asosi faqat ijobiy son, lekin bittaga teng emas. b soni, a kabi, noldan katta bo'lishi kerak.

Shunday holatlar mavjudki, ifodani soddalashtirib, logarifmni raqamli hisoblab chiqa olmaysiz. Bunday iboraning ma'nosi yo'q, chunki ko'p kuchlar irratsional sonlardir. Ushbu shartda raqamning kuchini logarifm sifatida qoldiring.




Biz logarifmlarni o'rganishda davom etamiz. Ushbu maqolada biz bu haqda gaplashamiz logarifmlarni hisoblash, bu jarayon deyiladi logarifm. Avval logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblashni tushunamiz. Keyinchalik, ularning xususiyatlaridan foydalanib, logarifmlarning qiymatlari qanday topilganligini ko'rib chiqaylik. Shundan so'ng, biz boshqa logarifmlarning dastlab belgilangan qiymatlari orqali logarifmlarni hisoblashga e'tibor qaratamiz. Va nihoyat, keling, logarifm jadvallarini qanday ishlatishni o'rganamiz. Butun nazariya batafsil echimlar bilan misollar bilan ta'minlangan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ta'rif bo'yicha logarifmlarni hisoblash

Eng oddiy hollarda juda tez va oson bajarish mumkin ta'rifi bo'yicha logarifmni topish. Keling, bu jarayon qanday sodir bo'lishini batafsil ko'rib chiqaylik.

Uning mohiyati b raqamini a c ko'rinishida ifodalashdan iborat bo'lib, undan logarifm ta'rifi bo'yicha c soni logarifmning qiymati hisoblanadi. Ya'ni, ta'rifiga ko'ra, quyidagi tenglik zanjiri logarifmni topishga mos keladi: log a b=log a a c =c.

Shunday qilib, logarifmni ta'rifi bo'yicha hisoblash a c = b bo'lgan c raqamini topishga to'g'ri keladi va c sonining o'zi logarifmning kerakli qiymatidir.

Oldingi paragraflardagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda, logarifm belgisi ostidagi raqam logarifm asosining ma'lum bir kuchi bilan berilganda, siz darhol logarifm nimaga teng ekanligini ko'rsatishingiz mumkin - bu ko'rsatkichga teng. Keling, misollarga yechimlarni ko'rsatamiz.

Misol.

log 2 2 −3 ni toping, shuningdek e 5,3 sonining natural logarifmini hisoblang.

Yechim.

Logarifmning ta'rifi darhol log 2 2 −3 =−3 ekanligini aytishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifm belgisi ostidagi raqam 2-bazaning -3 darajasiga teng.

Xuddi shunday, biz ikkinchi logarifmni topamiz: lne 5,3 =5,3.

Javob:

log 2 2 −3 =−3 va lne 5,3 =5,3.

Agar logarifm belgisi ostidagi b soni logarifm asosining kuchi sifatida ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda siz b sonining a c ko'rinishida tasvirini topish mumkinmi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. Ko'pincha bu ko'rinish juda aniq, ayniqsa logarifm belgisi ostidagi raqam 1, yoki 2 yoki 3, ... kuchiga asosga teng bo'lsa.

Misol.

log 5 25, va logarifmlarini hisoblang.

Yechim.

25=5 2 ekanligini ko'rish oson, bu birinchi logarifmni hisoblash imkonini beradi: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Keling, ikkinchi logarifmni hisoblashga o'tamiz. Raqam 7 ning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin: (agar kerak bo'lsa, qarang). Demak, .

Uchinchi logarifmni quyidagi shaklda qayta yozamiz. Endi buni ko'rishingiz mumkin , shundan biz shunday xulosaga kelamiz . Shuning uchun, logarifmning ta'rifi bo'yicha .

Qisqacha, yechim quyidagicha yozilishi mumkin: .

Javob:

log 5 25=2 , Va .

Logarifm belgisi ostida etarlicha katta natural son mavjud bo'lganda, uni tub omillarga ko'paytirish zarar qilmaydi. Ko'pincha bunday raqamni logarifm asosining ba'zi bir kuchi sifatida ko'rsatishga yordam beradi va shuning uchun bu logarifmni ta'rifi bo'yicha hisoblang.

Misol.

Logarifmning qiymatini toping.

Yechim.

Logarifmlarning ayrim xossalari darhol logarifmlar qiymatini belgilash imkonini beradi. Bu xossalarga birning logarifmi xossasi va asosga teng son logarifmi xossasi kiradi: log 1 1=log a a 0 =0 va log a a=log a a 1 =1. Ya'ni, agar logarifm belgisi ostida 1 raqami yoki logarifm asosiga teng a soni mavjud bo'lsa, bu hollarda logarifmlar mos ravishda 0 va 1 ga teng bo'ladi.

Misol.

Logarifm va log10 nimaga teng?

Yechim.

dan boshlab, keyin logarifmning ta'rifidan kelib chiqadi .

Ikkinchi misolda logarifm belgisi ostidagi 10 soni uning asosiga to'g'ri keladi, shuning uchun o'nlik o'nlik logarifmi birga teng, ya'ni lg10=lg10 1 =1.

Javob:

VA lg10=1.

E'tibor bering, logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblash (bu haqda oldingi bandda muhokama qilganmiz) loggarifmlarning xususiyatlaridan biri bo'lgan log a a p =p tengligidan foydalanishni nazarda tutadi.

Amalda logarifm ishorasi ostidagi son va logarifm asosi ma’lum sonning kuchi sifatida oson ifodalanganda formuladan foydalanish juda qulay. , bu logarifmlarning xususiyatlaridan biriga mos keladi. Keling, ushbu formuladan foydalanishni ko'rsatadigan logarifmni topish misolini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Logarifmni hisoblang.

Yechim.

Javob:

.

Logarifmlarning yuqorida qayd etilmagan xususiyatlari ham hisob-kitoblarda qo'llaniladi, ammo bu haqda keyingi paragraflarda gaplashamiz.

Boshqa ma'lum logarifmlar orqali logarifmlarni topish

Ushbu banddagi ma'lumotlar logarifmlarning xossalarini hisoblashda foydalanish mavzusini davom ettiradi. Ammo bu erda asosiy farq shundaki, logarifmlarning xossalari dastlabki logarifmni qiymati ma'lum bo'lgan boshqa logarifm shaklida ifodalash uchun ishlatiladi. Aniqlik uchun misol keltiramiz. Aytaylik, log 2 3≈1,584963 ekanligini bilamiz, u holda, masalan, log 2 6 ni logarifmning xossalari yordamida biroz o‘zgartirish orqali topishimiz mumkin: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuqoridagi misolda mahsulotning logarifmi xususiyatidan foydalanishimiz kifoya edi. Biroq, berilganlar orqali asl logarifmni hisoblash uchun ko'pincha logarifmlar xususiyatlarining kengroq arsenalidan foydalanish kerak bo'ladi.

Misol.

Agar log 60 2=a va log 60 5=b ekanligini bilsangiz, 27 ning 60 asosiga logarifmini hisoblang.

Yechim.

Shunday qilib, log 60 27 ni topishimiz kerak. 27 = 3 3 ekanligini va boshlang'ich logarifmni kuchning logarifmi xususiyatidan kelib chiqib, 3·log 60 3 shaklida qayta yozish mumkinligini ko'rish oson.

Endi log 60 3 ni ma'lum logarifmlar orqali qanday ifodalashni ko'rib chiqamiz. Asosga teng son logarifmining xossasi 60 60=1 tenglik logini yozishga imkon beradi. Boshqa tomondan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Shunday qilib, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Demak, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nihoyat, biz asl logarifmni hisoblaymiz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Javob:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Shakl logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasining ma'nosini alohida ta'kidlash kerak. . Bu sizga har qanday asosli logarifmlardan ma'lum bir asosli, qiymatlari ma'lum yoki ularni topish mumkin bo'lgan logarifmlarga o'tish imkonini beradi. Odatda, dastlabki logarifmdan, o'tish formulasidan foydalanib, ular 2, e yoki 10 asoslaridan birida logarifmlarga o'tadilar, chunki bu asoslar uchun ularning qiymatlarini ma'lum darajada hisoblash imkonini beruvchi logarifmlar jadvallari mavjud. aniqlik. Keyingi paragrafda bu qanday amalga oshirilganligini ko'rsatamiz.

Logarifm jadvallari va ulardan foydalanish

Logarifm qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun foydalanish mumkin logarifm jadvallari. Eng ko'p qo'llaniladigan asosiy 2 logarifm jadvali, natural logarifm jadvali va o'nlik logarifm jadvali. O'nlik sanoq sistemasida ishlaganda o'nlik asosga asoslangan logarifmlar jadvalidan foydalanish qulay. Uning yordami bilan biz logarifmlarning qiymatlarini topishni o'rganamiz.










Taqdim etilgan jadval 1000 dan 9999 gacha (uchta kasrli) raqamlarning o'n mingdan bir qismi aniqligi bilan o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topishga imkon beradi. Biz ma'lum bir misol yordamida o'nlik logarifmlar jadvali yordamida logarifm qiymatini topish tamoyilini tahlil qilamiz - bu aniqroq. Log1.256 ni topamiz.

O'nlik logarifmlar jadvalining chap ustunida biz 1,256 raqamining birinchi ikkita raqamini topamiz, ya'ni 1,2 ni topamiz (aniqlik uchun bu raqam ko'k rangda aylana shaklida chizilgan). 1.256 raqamining uchinchi raqami (5-raqam) qo'sh chiziqning chap tomonidagi birinchi yoki oxirgi satrda joylashgan (bu raqam qizil rang bilan aylanalangan). Dastlabki 1.256 raqamining to'rtinchi raqami (6-raqam) qo'sh chiziqning o'ng tomonidagi birinchi yoki oxirgi qatorda joylashgan (bu raqam yashil chiziq bilan o'ralgan). Endi biz logarifm jadvalining katakchalaridagi raqamlarni belgilangan qator va belgilangan ustunlar kesishmasida topamiz (bu raqamlar to'q sariq rangda ta'kidlangan). Belgilangan raqamlar yig'indisi o'nlik logarifmning kerakli qiymatini to'rtinchi kasrgacha aniq beradi, ya'ni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuqoridagi jadvaldan foydalanib, kasrdan keyin uchtadan ortiq raqamga ega bo'lgan, shuningdek, 1 dan 9,999 gacha bo'lgan diapazondan tashqariga chiqadigan raqamlarning o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topish mumkinmi? Ha mumkin. Keling, bu qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.

Keling, lg102.76332 ni hisoblaymiz. Avval siz yozishingiz kerak standart shakldagi raqam: 102,76332=1,0276332·10 2. Shundan so'ng, mantisani uchinchi kasrga yaxlitlash kerak, bizda bor 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, asl o'nlik logarifmi taxminan olingan sonning logarifmiga teng bo'lsa, ya'ni log102,76332≈lg1,028·10 2 ni olamiz. Endi biz logarifmning xususiyatlarini qo'llaymiz: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nihoyat, lg1.028 oʻnlik logarifmlar jadvalidan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 logarifm qiymatini topamiz. Natijada, logarifmni hisoblashning butun jarayoni quyidagicha ko'rinadi: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, o'nlik logarifmlar jadvalidan foydalanib, har qanday logarifmning taxminiy qiymatini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun o'nlik logarifmlarga o'tish, jadvalda ularning qiymatlarini topish va qolgan hisob-kitoblarni bajarish uchun o'tish formulasidan foydalanish kifoya.

Masalan, log 2 3 ni hisoblab chiqamiz. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasiga ko'ra, bizda mavjud. O'nli logarifmlar jadvalidan log3≈0,4771 va log2≈0,3010 ni topamiz. Shunday qilib, .

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).