Kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari. Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar

Ko‘rib chiqilayotgan tenglamalarning har biridagi x ni topilgan son bilan almashtirsak, bizning tengliklarimiz oqlanadimi yoki yo‘qligini bilib olaylik.

Birinchi misol uchun biz quyidagilarni olamiz:

Biz hech qanday shubhaga o'rin yo'qligini ko'ramiz: biz x uchun kerakli tenglik oqlanadigan son topdik.

Ikkinchi misol uchun biz quyidagilarni olamiz:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) yoki 5/0 – 3/2 = 15/0

Bu erda shubhalar paydo bo'ladi: biz nolga bo'linish bilan duch keldik, bu mumkin emas. Agar kelajakda biz bu bo'linishga bilvosita bo'lsa ham ma'lum ma'noni berishga muvaffaq bo'lsak, topilgan x - 1 yechim bizning tenglamamizni qanoatlantirishiga rozi bo'lishimiz mumkin. Ungacha tan olishimiz kerakki, bizning tenglamamiz to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan yechimga ega emas.

Bunday holatlar tenglamada mavjud bo'lgan kasrlarning maxrajlariga noma'lum qandaydir tarzda kiritilganda va bu maxrajlarning ba'zilari yechim topilganda nolga aylanganda sodir bo'lishi mumkin.

2-misol.

Bu tenglamaning mutanosiblik ko'rinishida ekanligini darhol ko'rishingiz mumkin: x + 3 sonining x – 1 soniga nisbati 2x + 3 sonining 2x – 2 soniga nisbatiga teng. Kimdir, ichida ushbu holatni ko'rib chiqib, bu erda tenglamani kasrlardan ozod qilish uchun qo'llashga qaror qiling, bu mutanosiblikning asosiy xususiyati (ekstremal hadlar mahsuloti o'rta hadlar mahsulotiga teng). Keyin u oladi:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Bu erda, biz bu tenglamaga dosh berolmaymiz, degan qo'rquv, tenglama x 2 bilan shartlarni o'z ichiga olganligi sababli paydo bo'lishi mumkin. Biroq, biz tenglamaning har ikki tomonidan 2x 2 ayirishimiz mumkin - bu tenglamani buzmaydi; keyin x 2 bo'lgan shartlar yo'q qilinadi va biz quyidagilarni olamiz:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Noma'lum atamalarni chapga, ma'lumlarini o'ngga siljitamiz - biz:

3x = 3 yoki x = 1

Ushbu tenglamani eslab qolish

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

X (x = 1) ning topilgan qiymati har bir kasrning maxrajlarini yo'q qilishini darhol sezamiz; Biz nolga bo'lish masalasini ko'rib chiqmagunimizcha, bunday yechimdan voz kechishimiz kerak.

Agar mutanosiblik xossasini qo'llash murakkab masalalarga ega ekanligini va berilganlarning ikkala tomonini ko'paytirish orqali oddiyroq tenglamani olish mumkinligini ham qayd qilsak. umumiy maxraj, ya'ni 2(x – 1) da - axir, 2x – 2 = 2 (x – 1), keyin biz quyidagilarni olamiz:

2(x + 3) = 2x – 3 yoki 2x + 6 = 2x – 3 yoki 6 = –3,

bu mumkin emas.

Bu holat shuni ko'rsatadiki, bu tenglamada ushbu tenglamaning maxrajlarini nolga aylantirmaydigan to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan echimlar yo'q.
Endi tenglamani yechamiz:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

2(x – 1) tenglamaning ikkala tomonini, ya’ni umumiy maxrajga ko‘paytiramiz:

6x + 10 = 2x + 18

Topilgan yechim maxrajni yo'qotmaydi va to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega:

yoki 11 = 11

Agar kimdir ikkala qismni 2 (x - 1) ga ko'paytirish o'rniga mutanosiblik xususiyatidan foydalansa, ular quyidagilarni oladi:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) yoki
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Bu erda x 2 bilan atamalar yo'q qilinmaydi. Barcha noma'lum a'zolarni o'tkazish orqali chap tomoni, va o'ngga ma'lum bo'lganlar oladi

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Endi biz bu tenglamani yecha olmaymiz. Kelajakda biz bunday tenglamalarni qanday yechish va uning ikkita yechimini topishni o'rganamiz: 1) siz x = 2 va 2) x = 1 ni olishingiz mumkin. Ikkala yechimni ham tekshirish oson:

1) 2 2 – 3 2 = –2 va 2) 1 2 – 3 1 = –2

Agar biz dastlabki tenglamani eslasak

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

u holda biz hozir uning ikkala yechimini ham olishimizni ko'ramiz: 1) x = 2 - to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan va maxrajni nolga aylantirmaydigan yechim, 2) x = 1 - maxrajni nolga aylantiruvchi va. to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega emas.

3-misol.

Keling, ushbu tenglamaga kiritilgan kasrlarning umumiy maxrajini har bir maxrajni faktorlarga ajratib topamiz:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Umumiy maxraj (x – 3)(x – 2)(x + 1) dir.

Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiramiz (va endi uni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

umumiy maxraj bilan (x – 3) (x – 2) (x + 1). Keyin, har bir kasrni kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) yoki
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Bu erdan biz olamiz:

–x = –13 va x = 13.

Bu yechim to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: u hech qanday maxrajni yo'qotmaydi.

Agar biz tenglamani olsak:

keyin, yuqoridagi kabi xuddi shunday qilib, biz olamiz

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

uni qayerdan olardingiz?

bu mumkin emas. Bu holat shuni ko'rsatadiki, to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan oxirgi tenglamaning yechimini topish mumkin emas.

Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalangan holda eng soddaga qisqartiriladi:

Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni esa boshqa tomoniga koʻchiring;
Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ o'rniga qo'ymasak ham, "nol nolga teng" bo'lib chiqadi, ya'ni. to'g'ri raqamli tenglik.

Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo siz allaqachon tushunganingizdek, biz boshlaymiz oddiy vazifalar.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:

Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

Vazifa № 1

Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz ularni o'tkazib yuboramiz bu bosqich. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. Eslatma: haqida gapiramiz faqat individual shartlar haqida. Keling, yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Shunday qilib, biz javob oldik.

Vazifa № 2

Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa № 3

Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar mavjud, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol - bu boshqalar bilan bir xil raqam, siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni ochishimiz mumkin standart algoritmlar: yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rganimizni olamiz.

Buni tushunish oddiy fakt o'rta maktabda ahmoqona va haqoratli xatolarga yo'l qo'ymaslikka imkon beradi, bunday xatti-harakatlar odatiy holdir.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, ko'proq narsaga o'tamiz murakkab tenglamalar. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.

Misol № 1

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:

\[\varnothing\]

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Misol № 2

Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.

Ammo men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim ketma-ketlikdir elementar transformatsiyalar, bu erda aniq va malakali bajara olmaslik oddiy qadamlar o'rta maktab o'quvchilari mening oldimga kelib, yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o'rganishiga olib keladi.

Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

Vazifa № 1

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.

Vazifa № 2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:

Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:

Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Yana bir bor yakuniy javobni oldik.

Yechimning nuanslari

Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz tushunamiz oddiy dizayn: bittadan ettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

Qavslarni oching.
Alohida o'zgaruvchilar.
Shunga o'xshashlarni olib keling.
Nisbatga bo'linadi.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

Fraksiyalardan xalos bo'ling.
Qavslarni oching.
Alohida o'zgaruvchilar.
Shunga o'xshashlarni olib keling.
Nisbatga bo'linadi.

"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

Misol № 1

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi kengaytiramiz:

Biz o'zgaruvchini ajratamiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

Misol № 2

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilar:

Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
Qavslarni ochish qobiliyati.
Agar ko'rsangiz tashvishlanmang kvadratik funktsiyalar, ehtimol, keyingi transformatsiyalar jarayonida ular kamayadi.
Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!

Qoida sifatida, tenglamalar ma'lum miqdorni topishingiz kerak bo'lgan muammolarda paydo bo'ladi. Tenglama masalani algebra tilida shakllantirish imkonini beradi. Tenglamani yechib, biz noma'lum deb ataladigan kerakli miqdorning qiymatini olamiz. “Andreyning hamyonida bir necha rubl bor. Agar siz bu raqamni 2 ga ko'paytirsangiz va 5 ni ayirsangiz, 10 ga erishasiz. Andreyning qancha puli bor? ” Noma’lum pul miqdorini x deb belgilaymiz va tenglamani yozamiz: 2x-5=10.

Haqida gapirish uchun tenglamalarni yechish usullari, avval siz asosiy tushunchalarni aniqlab olishingiz va umumiy qabul qilingan belgilar bilan tanishishingiz kerak. Uchun har xil turlari tenglamalar, ularni yechish uchun turli xil algoritmlar mavjud. Birinchi darajali tenglamalarni bitta noma'lum bilan yechishning eng oson yo'li. Ko'pchilik kvadrat tenglamalarni yechish formulasi bilan maktabdan tanish. Texnikalar oliy matematika yuqori tartibli tenglamalarni yechishga yordam beradi. Tenglama aniqlanadigan sonlar to'plami uning yechimlari bilan chambarchas bog'liq. Tenglamalar va funksiya grafiklari o'rtasidagi bog'liqlik ham qiziq, chunki tenglamalarni grafik tarzda ifodalash ularni yechishda katta yordam beradi.

Tavsif. Tenglama bir yoki bir nechta noma’lum miqdorga ega bo‘lgan matematik tenglikdir, masalan, 2x+3y=0.

Tenglik belgisining ikkala tomonidagi ifodalar deyiladi tenglamaning chap va o'ng tomonlari. Lotin alifbosidagi harflar noma'lumlarni bildiradi. Noma'lumlar soni har qanday bo'lishi mumkin bo'lsa-da, biz quyida faqat bitta noma'lumli tenglamalar haqida gapiramiz, biz ularni x bilan belgilaymiz.

Tenglama darajasi noma'lumni ko'tarish mumkin bo'lgan maksimal quvvatdir. Masalan,
$3x^4+6x-1=0$ toʻrtinchi darajali tenglama, $x-4x^2+6x=8$ ikkinchi darajali tenglama.

Noma'lum ko'paytiriladigan raqamlar chaqiriladi koeffitsientlar. Oldingi misolda to'rtinchi darajali noma'lum 3 koeffitsientga ega. Agar x ni shu raqam bilan almashtirganda, berilgan tenglik bajarilsa, bu raqam tenglamani qanoatlantiradi, deyiladi. Bu deyiladi tenglamani yechish, yoki uning ildizi. Masalan, 2x+8=14 tenglamaning ildizi yoki yechimi 3, chunki 2*3+8=6+8=14.

Tenglamalarni yechish. 2x+5=11 tenglamani yechmoqchimiz deylik.

Siz unga ba'zi x qiymatini almashtirishingiz mumkin, masalan, x = 2. x ni 2 bilan almashtiring va quyidagini oling: 2*2+5=4+5=9.

Bu erda nimadir noto'g'ri, chunki tenglamaning o'ng tomonida biz 11 ni olishimiz kerak edi. Keling, x=3 ni sinab ko'raylik: 2*3+5=6+5=11.

Javob to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, agar noma'lum 3 qiymatini qabul qilsa, u holda tenglik qondiriladi. Shuning uchun biz 3 raqami tenglamaning yechimi ekanligini ko'rsatdik.

Bu tenglamani yechishda foydalanilgan usul deyiladi tanlash usuli. Shubhasiz, undan foydalanish noqulay. Bundan tashqari, uni hatto usul deb atash mumkin emas. Buni tekshirish uchun uni $x^4-5x^2+16=2365$ koʻrinishidagi tenglamaga qoʻllashga harakat qiling.

Yechim usullari. O'zingiz bilan tanishish uchun foydali bo'lgan "o'yin qoidalari" mavjud. Bizning maqsadimiz tenglamani qanoatlantiradigan noma'lumning qiymatini aniqlashdir. Shuning uchun, noma'lum narsani qandaydir tarzda aniqlash kerak. Buning uchun tenglama shartlarini bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazish kerak. Tenglamalarni yechishning birinchi qoidasi...

1. Tenglama a'zosini bir qismdan ikkinchi qismga ko'chirishda uning belgisi teskari tomonga o'zgaradi: plyus minusga va aksincha. Misol tariqasida 2x+5=11 tenglamasini ko'rib chiqaylik. 5 ni chap tomondan o'ngga o'tkazamiz: 2x=11-5. Tenglama 2x=6 ga aylanadi.

Keling, ikkinchi qoidaga o'tamiz.
2. Tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish va bo‘lish mumkin. Keling, ushbu qoidani tenglamamizga qo'llaymiz: $x=\frac62=3$. Tenglikning chap tomonida faqat noma'lum x qoldi, shuning uchun biz uning qiymatini topdik va tenglamani yechdik.

Biz hozirgina eng oddiy muammoni ko'rib chiqdik - bitta noma'lum chiziqli tenglama. Ushbu turdagi tenglamalar har doim yechimga ega, bundan tashqari, ularni har doim eng oddiy amallar yordamida hal qilish mumkin: qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish. Afsuski, barcha tenglamalar juda oddiy emas. Bundan tashqari, ularning murakkablik darajasi juda tez ortadi. Masalan, ikkinchi darajali tenglamalarni har qanday talaba oson yecha oladi o'rta maktab, lekin chiziqli tenglamalar tizimini yoki yuqori darajali tenglamalarni yechish usullari faqat o'rta maktabda o'rganiladi.

Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Chiziqli tenglamalar.

Chiziqli tenglamalar- maktab matematikasidagi eng qiyin mavzu emas. Ammo ba'zi hiylalar borki, ular hatto o'qigan talabani ham boshdan kechiradi. Keling, buni aniqlaylikmi?)

Odatda chiziqli tenglama quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:

bolta + b = 0 Qayerda a va b- har qanday raqamlar.

2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz so'zlarga e'tibor bermasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar siz buni sezsangiz va beparvolik bilan o'ylab ko'rsangiz?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:

Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, A b=5, Bu mutlaqo bema'ni narsa bo'lib chiqadi:

Bu zerikarli va matematikaga bo'lgan ishonchni susaytiradi, ha...) Ayniqsa, imtihonlar paytida. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qilishni o'rganamiz. Bu darsda.

Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishidan qanday aniqlash mumkin? Bu nimaga bog'liq tashqi ko'rinish.) Ayyorlik shundaki, faqat shakldagi tenglamalar chiziqli tenglamalar deyiladi bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali ushbu shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamalar ham. Va u tushadimi yoki yo'qmi kim biladi?)

Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar va raqamlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa. Va tenglamada yo'q ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki raqamli kasr - bu xush kelibsiz! Masalan:

Bu chiziqli tenglama. Bu yerda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x harflari va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama

chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda X ning barchasi birinchi darajali, ammo bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglama, kvadrat tenglama yoki xohlagan narsani olishingiz mumkin.

Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli hal qilmaguningizcha, uni qandaydir murakkab misolda tanib bo'lmaydi. Bu g'azablantiradi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlar tenglamalarni so'raydi qaror. Bu quvontiradi.)

Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.

Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu transformatsiyalar (ulardan ikkitasi!) echimlarning asosi hisoblanadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, yechim har qanday tenglama aynan shu transformatsiyalar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, u (yechim) bu o'zgarishlarga asoslanadi va to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqiy, to'g'rimi?) Bundan tashqari, u erda chiziqli tenglamalarni echish misollari ham mavjud.

Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, bu tenglamani yechishimiz kerak.

x - 3 = 2 - 4x

Bu chiziqli tenglama. X ning barchasi birinchi darajali, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, bu qanday tenglama ekanligi biz uchun muhim emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida X bo'lgan hamma narsani, o'ng tomonda X (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.

Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, va - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Bu siz havolaga rioya qilmadingiz degan ma'noni anglatadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:

x + 4x = 2 + 3

Mana shunga o'xshashlar, biz ko'rib chiqamiz:

To'liq baxt uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda sof X bo'lishi uchun! Beshtasi yo'lda. Beshtadan yordam bilan qutulish tenglamalarning ikkinchi bir xil o'zgarishi. Ya'ni, tenglamaning ikkala tomonini 5 ga bo'lamiz. Tayyor javobni olamiz:

Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Keling, buqani shoxlaridan tutaylik.) Keling, yanada mustahkamroq narsani hal qilaylik.

Masalan, bu erda tenglama:

Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, Xsiz - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Kichik qadamlarda uzoq yo'l. Yoki siz darhol, universal va kuchli tarzda. Agar, albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lsa.

Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?

100 kishidan 95 tasi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shuning uchun, biz darhol boshlaymiz identifikatsiyaning ikkinchi o'zgarishi. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3 da. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirishga imkon beradi bir xil raqam. Qanday qilib tashqariga chiqa olamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi ham, to'rttasi ham qisqaradi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:

Qavslarni kengaytirish:

Eslatma! Numerator (x+2) Men uni qavs ichiga joylashtirdim! Buning sababi, kasrlarni ko'paytirishda butun hisob ko'paytiriladi! Endi siz kasrlarni kamaytirishingiz mumkin:

Qolgan qavslarni kengaytiring:

Misol emas, balki sof zavq!) Endi afsunni eslaylik kichik sinflar: X bilan - chapga, X holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:

Mana bir nechta shunga o'xshashlar:

Va ikkala qismni 25 ga bo'ling, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:

Ana xolos. Javob: X=0,16

Keling, e'tiborga olaylik: asl chalkash tenglamani keltirish yoqimli ko'rinish, biz ikkitadan foydalandik (faqat ikkita!) identifikatsiya o'zgarishlari- chapdan o'ngga o'zgartirish belgisini o'zgartirish va tenglamani bir xil raqamga ko'paytirish-bo'lish. Bu universal usul! Biz bilan shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Hech kimga. Shuning uchun men har doim bir xil o'zgarishlar haqida zerikarli takrorlayman.)

Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javobni olguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim printsipida emas, balki hisob-kitoblarda.

Lekin... Eng elementar chiziqli tenglamalarni yechish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar bo‘ladiki, ular sizni kuchli stuporga olib kelishi mumkin...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo‘lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.

Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.

Birinchi ajablanib.

Aytaylik, siz juda oddiy tenglamaga duch keldingiz, masalan:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Bir oz zerikib, biz uni X bilan chapga, X holda - o'ngga siljitamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa mukammal ... Biz olamiz:

2x-5x+3x=5-2-3

Biz hisoblaymiz va ... oop!!! Biz olamiz:

Bu tenglik o'z-o'zidan e'tiroz bildirmaydi. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X yo'q! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng? Aks holda, yechim hisoblanmaydi, to'g'rimi...) O'lik qulfmi?

Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar sizni qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.

Lekin bizda haqiqiy tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qanchalik aniqroq?! Bu x ning nima sodir bo'lishini aniqlash uchun qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin original tenglama, agar bu x bo'lsa ular hali ham nolga tushiriladimi? Qo'ysangchi; qani endi?)

Ha!!! X harflari almashtirilishi mumkin har qanday! Qaysi birini xohlaysiz? Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, uni tekshirishingiz mumkin.) X ning istalgan qiymatini o'rniga qo'ying original tenglama va hisoblash. Siz doimo sof haqiqatni olasiz: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 va hokazo.

Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.

Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.

Ikkinchi ajablanib.

Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:

Mana bunday. Biz chiziqli tenglamani yechdik va g'alati tenglikni oldik. Matematik nuqtai nazardan, biz oldik soxta tenglik. Va gapirish oddiy tilda, bu haqiqat emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik juda yaxshi sababdir to'g'ri qaror tenglamalar.)

Shunga asoslanib o'ylaymiz umumiy qoidalar. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi rost tenglik? Ha, yo'q! Bunday X mavjud emas. Siz nima qo'ysangiz ham, hamma narsa kamayadi, faqat bema'nilik qoladi.)

Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.

Bu ham to'liq javobdir. Matematikada bunday javoblar ko'pincha topiladi.

Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman chalkashtirib yubormaydi. Bu allaqachon tanish masala.)

Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Umumiy vazirligi va kasb-hunar ta'limi RF

Munitsipal ta'lim muassasasi

12-sonli gimnaziya

tarkibi

mavzu bo'yicha: Tenglamalar va ularni yechish usullari

To‘ldiruvchi: 10 “A” sinf o‘quvchisi

Krutko Evgeniy

Tekshirildi: matematika o`qituvchisi Isxakova Gulsum Akramovna

Tyumen, 2001 yil

Reja................................................................. ................................................................ ...... ................................ 1

Kirish................................................................. ....... ................................................. ............. ......................... 2

Asosiy qism................................................ .................................................. ............... 3

Xulosa................................................. ................................................................ ...................... 25

Qo'llash................................................................. ................................................................ ...... ................ 26

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati.............................................. ............ ........................... 29

Reja.

Kirish.

Tarixiy ma'lumotnoma.

Tenglamalar. Algebraik tenglamalar.

a) Asosiy ta'riflar.

b) Chiziqli tenglama va uni yechish usuli.

V) Kvadrat tenglamalar va uni hal qilish usullari.

d) binom tenglamalar va ularni yechish usullari.

e) Kubik tenglamalar va ularni yechish usullari.

f) Bikvadrat tenglama va uni yechish usuli.

g) To`rtinchi darajali tenglamalar va ularni yechish usullari.

g) tenglamalar yuqori darajalar va yechimdan olingan usullar.

h) ratsional algebraik tenglama va buni amalga oshirish usuli

Va) Irratsional tenglamalar va uni hal qilish usullari.

j) Belgi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar.

mutlaq qiymat va uni hal qilish usuli.

Transsendental tenglamalar.

A) Eksponensial tenglamalar va ularni hal qilish usuli.

b) Logarifmik tenglamalar va ularni hal qilish usuli.

Kirish

Matematik ta'lim yilda olingan o'rta maktab, eng muhim komponent hisoblanadi umumiy ta'lim va umumiy madaniyat zamonaviy odam. Zamonaviy odamni o'rab turgan deyarli hamma narsa matematika bilan bog'liq. Va fizika, texnologiya va eng so'nggi yutuqlar axborot texnologiyalari kelajakda ishlarning holati bir xil bo'lib qolishiga shubha qoldirmang. Shuning uchun ko'plab amaliy muammolarni hal qilish hal qilishdan kelib chiqadi har xil turlari yechishni o'rganishingiz kerak bo'lgan tenglamalar.

Ushbu ish yuqoridagi mavzu bo'yicha o'rganilgan materialni umumlashtirish va tizimlashtirishga urinishdir. Men materialni eng oddiyidan boshlab qiyinchilik bo'yicha joylashtirdim. U maktab algebrasi kursidan bizga ma'lum bo'lgan tenglamalar turlarini ham o'z ichiga oladi qo'shimcha material. Shu bilan birga, men o'rganilmagan tenglama turlarini ko'rsatishga harakat qildim maktab kursi, lekin oliy ta'limga kirishda qaysi bilimlar kerak bo'lishi mumkin o'quv muassasasi. O'z ishimda tenglamalarni yechishda men faqat haqiqiy yechim bilan cheklanib qolmay, balki murakkab yechimni ham ko'rsatdim, chunki aks holda tenglama shunchaki yechilmagan deb hisoblayman. Axir, agar tenglamaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa, bu uning yechimlari yo'qligini anglatmaydi. Afsuski, vaqt yo'qligi sababli menda mavjud bo'lgan barcha materiallarni taqdim eta olmadim, lekin bu erda keltirilgan material bilan ham ko'plab savollar tug'ilishi mumkin. Umid qilamanki, mening bilimlarim ko'p savollarga javob berish uchun etarli. Shunday qilib, men materialni taqdim etishni boshlayman.

Matematika... tartibni ochib beradi,

simmetriya va ishonchlilik,

bu esa - eng muhim turlari go'zal.

Aristotel.

Tarixiy ma'lumotnoma

O'sha uzoq vaqtlarda, donishmandlar birinchi marta noma'lum miqdorlarni o'z ichiga olgan tengliklar haqida o'ylay boshlaganlarida, ehtimol, tangalar yoki hamyonlar yo'q edi. Ammo noma'lum miqdordagi narsalarni saqlashi mumkin bo'lgan saqlash keshlari roli uchun mukammal bo'lgan uyumlar, shuningdek, kostryulkalar va savatlar bor edi. Miloddan avvalgi 2-ming yillikda misrlik yozuvchi Axmes: “Biz uchdan ikki, yarim va yettinchi bilan birga 37... ni tashkil etadigan uyumni qidirmoqdamiz. Mesopotamiya, Hindiston, Xitoy, Gretsiyaning qadimgi matematik muammolarida noma'lum miqdorlar bog'dagi tovuslar sonini, podada buqalar sonini va mulkni bo'lishda hisobga olingan narsalarning umumiyligini ifodalagan. Ulamolar, amaldorlar va tashabbuskorlar hisob ilmida yaxshi o'qitilgan yashirin bilim Ruhoniylar bunday vazifalarni juda muvaffaqiyatli hal qilishdi.

Bizgacha yetib kelgan manbalar shuni ko'rsatadiki, qadimgi olimlarning bir qismi bor umumiy texnikalar noma’lum miqdorlar bilan masalalar yechish. Biroq, biron bir papirus yoki loy tabletkada bu usullarning tavsifi mavjud emas. Mualliflar faqat vaqti-vaqti bilan o'zlarining raqamli hisob-kitoblariga "Qarang!", "Buni qiling!", "To'g'risini topdingiz" kabi arzimas izohlar bilan ta'minladilar. Shu ma'noda, istisno yunon matematigi Iskandariyalik Diofantning (III asr) "Arifmetikasi" - ularning echimlarini tizimli ravishda taqdim etgan holda tenglamalar tuzish uchun muammolar to'plami.

Biroq, keng tarqalgan muammolarni hal qilish bo'yicha birinchi qo'llanma 9-asr Bag'dodlik olimining ishi edi. Muhammad bin Muso al-Xorazmiy. Bu risolaning arabcha nomi – “Kitob al-jabir val-mukabala” (“Qayta tiklash va muxolifat kitobi”)dan olingan “al-jabr” so‘zi vaqt o‘tishi bilan mashhur “algebra” so‘ziga aylangan va asar al-Xorazmiyning o'zi tenglamalarni yechish fanining rivojlanishida boshlang'ich nuqta bo'ldi.

tenglamalar Algebraik tenglamalar

Asosiy ta'riflar

Algebrada tenglikning ikki turi - o'ziga xosliklar va tenglamalar ko'rib chiqiladi.

Identifikatsiya unga kiritilgan harflarning barcha (ruxsat etilgan) qiymatlari uchun amal qiladigan tenglik). Belgi bilan birga shaxsni yozish uchun

belgisi ham ishlatiladi.

Tenglama faqat unga kiritilgan harflarning ma'lum qiymatlari uchun amal qiladigan tenglikdir. Tenglamaga kiritilgan harflar muammoning shartlariga ko'ra, teng bo'lmasligi mumkin: ba'zilari ularning barchasini qabul qilishi mumkin. haqiqiy qiymatlar(ular deyiladi parametrlari yoki koeffitsientlar tenglamalar va odatda lotin alifbosining birinchi harflari bilan belgilanadi:

, , ... - yoki indekslar bilan ta'minlangan bir xil harflar: , , ... yoki , , ...); qadriyatlarini topish kerak bo'lgan boshqalar deyiladi noma'lum(ular odatda lotin alifbosining oxirgi harflari bilan belgilanadi: , , , ... - yoki indekslari bilan bir xil harflar: , , ... yoki , , ...).

IN umumiy ko'rinish tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

(, , ..., ).

Raqamga qarab noma'lum tenglama bir, ikki va hokazo noma'lumlar bilan tenglama deyiladi.