Kvadrat funksiya grafigi va siljishlari. Kvadrat funksiya va uning grafigi

Kvadrat funktsiya shaklning funktsiyasidir:
y=a*(x^2)+b*x+c,
Bu erda a - noma'lum x ning eng yuqori darajasi uchun koeffitsient,
b - noma'lum x uchun koeffitsient,
va c bepul a'zo.
Kvadrat funksiyaning grafigi parabola deb ataladigan egri chiziqdir. Parabolaning umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

1-rasm Parabolaning umumiy ko'rinishi.

Bir necha bor turli yo'llar bilan kvadratik funksiya grafigini tuzish. Biz ularning asosiy va eng umumiylarini ko'rib chiqamiz.

y=a*(x^2)+b*x+c kvadratik funksiya grafigini tuzish algoritmi.

1. Koordinatalar sistemasini tuzing, birlik segmentini belgilang va belgilang koordinata o'qlari.

2. Parabola shoxlari yo'nalishini aniqlang (yuqoriga yoki pastga).
Buning uchun a koeffitsientining belgisiga qarash kerak. Agar ortiqcha bo'lsa, unda shoxlar yuqoriga, minus bo'lsa, shoxlar pastga yo'naltiriladi.

3. Parabola tepasining x koordinatasini aniqlang.
Buning uchun Xvertex = -b/2*a formulasidan foydalanishingiz kerak.

4. Parabolaning uchidagi koordinatani aniqlang.
Buning uchun x o'rniga Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c tenglamasini oldingi bosqichda topilgan Xverhiny qiymatini almashtiring.

5. Grafikda hosil bo’lgan nuqtani chizing va u orqali Oy koordinata o’qiga parallel simmetriya o’qini chizing.

6. Grafikning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping.
Buning uchun a*(x^2)+b*x+c = 0 kvadrat tenglamani quyidagilardan biri yordamida yechish kerak. ma'lum usullar. Agar tenglamaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa, u holda funksiya grafigi Ox o'qini kesib o'tmaydi.

7. Grafikning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatalarini toping.
Buning uchun tenglamaga x=0 qiymatini almashtiramiz va y qiymatini hisoblaymiz. Buni va unga simmetrik nuqtani grafikda belgilaymiz.

8. Ixtiyoriy A(x,y) nuqtaning koordinatalarini toping.
Buning uchun x koordinatasi uchun ixtiyoriy qiymatni tanlang va uni tenglamamizga almashtiring. Bu nuqtada y qiymatini olamiz. Grafikdagi nuqtani chizing. Shuningdek, grafikda A(x,y) nuqtaga simmetrik nuqtani belgilang.

9. Grafikdagi olingan nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lang va grafani orqasida davom ettiring ekstremal nuqtalar, koordinata o'qining oxirigacha. Grafikni etakchiga yoki bo'sh joy bo'lsa, grafikning o'zi bo'ylab belgilang.

Chizma tuzishga misol

Misol tariqasida kvadrat funktsiyani chizamiz tenglama bilan berilgan y=x^2+4*x-1
1. Koordinata o'qlarini chizing, ularni belgilang va birlik segmentini belgilang.
2. Koeffitsient qiymatlari a=1, b=4, c= -1. Noldan katta bo'lgan a=1 bo'lgani uchun parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan.
3. Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2 parabola tepasining X koordinatasini aniqlang.
4. Parabola tepasining Y koordinatasini aniqlang
Vertices = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Cho'qqini belgilang va simmetriya o'qini chizing.
6. Kvadrat funksiya grafigining Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping. X^2+4*x-1=0 kvadrat tenglamani yechamiz.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Olingan qiymatlarni grafikda belgilaymiz.
7. Grafikning Oy o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping.
x=0; y=-1
8. Ixtiyoriy B nuqtani tanlang. Uning koordinatasi x=1 bo'lsin.
U holda y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Olingan nuqtalarni ulang va grafikni imzolang.

- — [] kvadrat funktsiya y= ax2 + bx + c (a ? 0) ko'rinishdagi funktsiya. Grafik K.f. - cho'qqisi koordinatalari [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] bo'lgan, parabolaning a>0 shoxlari bo'lgan parabola ... ...

KVADRAT FUNKSIYA, qiymati mustaqil o'zgaruvchining kvadratiga bog'liq bo'lgan matematik funktsiya, x va mos ravishda kvadratik POLINOMIAL tomonidan beriladi, masalan: f(x) = 4x2 + 17 yoki f(x) = x2 + 3x + 2. Shuningdek qarang: TENGLAMA Kvadrati… Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

Kvadrat funksiya - Kvadrat funksiya y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) ko‘rinishdagi funktsiyadir. Grafik K.f. - cho'qqisi koordinatalari [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] bo'lgan parabola, a> 0 uchun parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, a uchun.< 0 –вниз… …

- (kvadrat) ega bo'lgan funktsiya keyingi ko'rinish: u=ah2+bx+s, bu yerda a≠0 va eng yuqori daraja x - kvadrat. y=ax2 +bx+c=0 kvadrat tenglamani quyidagi formula yordamida ham yechish mumkin: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Bu ildizlar haqiqiy ... Iqtisodiy lug'at

S affin fazodagi affin kvadratik funksiya har qanday Q funksiyadir: S→K vektorlashgan shaklda Q(x)=q(x)+l(x)+c ko‘rinishga ega, bu yerda q kvadratik funksiya, l. chiziqli funksiya, c doimiy. Mundarija 1 Malumot nuqtasini o'zgartirish 2 ... ... Vikipediya

Affin fazodagi affin kvadratik funktsiya vektorlashgan shaklda ko'rinishga ega bo'lgan har qanday funktsiyadir, bu erda simmetrik matritsa, chiziqli funktsiya, doimiy. Mundarija... Vikipediya

Vektor koordinatalarida ikkinchi darajali bir jinsli ko'phad bilan aniqlangan vektor fazodagi funksiya. Mundarija 1 Ta'rif 2 Tegishli ta'riflar... Vikipediya

- statistik qarorlar nazariyasida kuzatilgan ma'lumotlar asosida noto'g'ri qaror qabul qilish natijasidagi yo'qotishlarni tavsiflovchi funktsiyadir. Agar shovqin fonida signal parametrini baholash muammosi hal qilinsa, u holda yo'qotish funktsiyasi nomuvofiqlik o'lchovidir... ... Vikipediya

maqsad funktsiyasi- - [Ya.N.Luginskiy, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kabirov. Elektrotexnika va energetikaning inglizcha-ruscha lug'ati, Moskva, 1999] maqsad funktsiyasi Ekstremal masalalarda minimal yoki maksimalni topish kerak bo'lgan funktsiya. Bu…… Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Ob'ektiv funktsiya- ekstremal masalalarda minimal yoki maksimalni topish kerak bo'lgan funksiya. Bu optimal dasturlashda asosiy tushunchadir. C.f ekstremumini topib. va shuning uchun unga o'tadigan boshqariladigan o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlab, ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Kitoblar

• Jadvallar to'plami. Matematika. Funktsiyalar grafiklari (10 ta jadval), . 10 varaqdan iborat o'quv albomi. Chiziqli funksiya. Funksiyalarning grafik va analitik belgilanishi. Kvadrat funksiya. Kvadrat funksiya grafigini o'zgartirish. y=sinx funktsiyasi. Funktsiya y=cosx.…
• Maktab matematikasining eng muhim vazifasi kvadratik - muammolar va echimlarda, Petrov N.N.. Kvadrat funktsiya asosiy funktsiyadir. maktab kursi matematika. Ajablanarli emas. Bir tomondan, bu funktsiyaning soddaligi va boshqa tomondan, chuqur ma'no. Maktabning ko'plab vazifalari ...

Chaqiriladigan shaklning funksiyasi kvadratik funktsiya.

Kvadrat funksiya grafigi - parabola.

Keling, holatlarni ko'rib chiqaylik:

I ISSE, KLASSIK PARABOLA

Ya'ni , ,

Qurilish uchun formulaga x qiymatlarini qo'yish orqali jadvalni to'ldiring:

Nuqtalarni belgilang (0;0); (1;1); (-1;1) va boshqalar. koordinata tekisligida (qadam qanchalik kichik bo'lsa, biz x qiymatlarini olamiz (in Ushbu holatda 1-qadam) va biz qanchalik ko'p x qiymatlarini olsak, egri chiziq shunchalik silliq bo'ladi), biz parabola olamiz:

Ko'rish oson, agar , , , ya'ni holini oladigan bo'lsak, u holda (oh) o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan parabolani olamiz. Shunga o'xshash jadvalni to'ldirish orqali buni tekshirish oson:

II HOLAT, “a” BIRLIKDAN FARKLI

, , ni olsak nima bo'ladi? Parabolaning harakati qanday o'zgaradi? Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Birinchi rasmda (yuqoriga qarang) jadvaldagi parabola (1;1), (-1;1) nuqtalari (1;4), (1;-4) nuqtalarga aylantirilganligi aniq ko'rinadi. ya'ni bir xil qiymatlar bilan har bir nuqtaning ordinatasi 4 ga ko'paytiriladi. Bu asl jadvalning barcha asosiy nuqtalari bilan sodir bo'ladi. 2 va 3-rasmlarda ham xuddi shunday fikr yuritamiz.

Va parabola paraboladan "kengroq" ​​bo'lganda:

Keling, xulosa qilaylik:

1)Koeffitsientning belgisi shoxlarning yo'nalishini belgilaydi. Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlaq qiymat koeffitsient (modul) parabolaning "kengayishi" va "siqilishi" uchun javobgardir. Parabola qanchalik katta bo'lsa, torroq bo'lsa, |a| qanchalik kichik bo'lsa, parabola shunchalik keng bo'ladi.

III HOLAT, “C” KO‘RIB KELADI

Keling, o'yinga kirishamiz (ya'ni, qachon bo'lganini ko'rib chiqamiz), biz shaklning parabolalarini ko'rib chiqamiz. Belgiga qarab parabolaning o'q bo'ylab yuqoriga yoki pastga siljishini taxmin qilish qiyin emas (siz har doim jadvalga murojaat qilishingiz mumkin):

IV HOLAT, “b” KO‘RIB KELADI

Qachon parabola o'qdan "uziladi" va nihoyat butun koordinata tekisligi bo'ylab "yuradi"? Qachon teng bo'lishni to'xtatadi?

Bu erda parabolani qurish uchun bizga kerak uchini hisoblash formulasi: , .

Shunday qilib, bu nuqtada (nuqtadagi kabi (0;0) yangi tizim koordinatalar) biz allaqachon qila oladigan parabolani quramiz. Agar biz ish bilan shug'ullanadigan bo'lsak, u holda cho'qqidan biz bir birlik segmentini o'ngga, birini yuqoriga qo'yamiz - natijada olingan nuqta bizniki (xuddi shunday, chapga bir qadam, yuqoriga ko'tarilish bizning nuqtamiz); masalan, biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak, u holda cho'qqidan biz bir birlik segmentini o'ngga, ikkitasini yuqoriga va hokazolarga qo'yamiz.

Masalan, parabolaning tepasi:

Endi tushunish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, bu cho'qqida biz parabola naqshiga muvofiq parabola quramiz, chunki bizning holatlarimizda.

Parabola qurishda cho'qqisining koordinatalarini topgandan keyin judaQuyidagi fikrlarni hisobga olish qulay:

1) parabola nuqtadan albatta o'tadi . Haqiqatan ham, formulaga x = 0 ni almashtirsak, biz buni olamiz. Ya'ni, parabolaning o'qi (oy) bilan kesishish nuqtasining ordinatasi . Bizning misolimizda (yuqorida) parabola ordinatani nuqtada kesishadi, chunki .

2) simmetriya o'qi parabolalar to'g'ri chiziq, shuning uchun parabolaning barcha nuqtalari unga nisbatan simmetrik bo'ladi. Bizning misolimizda biz darhol (0; -2) nuqtani olamiz va uni parabolaning simmetriya o'qiga nisbatan simmetrik quramiz, biz parabola o'tadigan nuqtani (4; -2) olamiz.

3) ga tenglashtirib, parabolaning o'qi (oh) bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamani yechamiz. Diskriminantga qarab, biz bitta (, ), ikkita (title = " QuickLaTeX.com tomonidan berilgan) olamiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Oldingi misolda, bizning diskriminantning ildizi butun son emas, biz uchun ildizlarni topish unchalik ma'noga ega emas, lekin biz o'q bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega bo'lishini aniq ko'ramiz (oh); (buyon title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Shunday qilib, keling, uni ishlab chiqaylik

Agar parabola shaklda berilgan bo'lsa, uni qurish algoritmi

1) shoxlarning yo'nalishini aniqlang (a>0 - yuqoriga, a<0 – вниз)

2) , formulasidan foydalanib parabolaning uchining koordinatalarini topamiz.

3) erkin termin yordamida parabolaning o‘q (oy) bilan kesishish nuqtasini topamiz, parabolaning simmetriya o‘qiga nisbatan shu nuqtaga simmetrik nuqta quramiz (shuni qayd etish kerakki, buni belgilash foydasiz bo‘ladi). nuqta, masalan, qiymat katta bo'lgani uchun ... biz bu nuqtani o'tkazib yuboramiz ...)

4) Topilgan nuqtada - parabolaning tepasida (yangi koordinatalar sistemasining (0;0) nuqtasida bo'lgani kabi) biz parabolani quramiz. If title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Tenglamani yechish orqali parabolaning o'q (oy) bilan kesishish nuqtalarini topamiz (agar ular hali "yuzaga chiqmagan" bo'lsa).

1-misol

2-misol

Eslatma 1. Agar parabola dastlab bizga , ba'zi raqamlar qaerda (masalan, ) shaklida berilgan bo'lsa, unda uni qurish yanada osonroq bo'ladi, chunki bizga tepaning koordinatalari allaqachon berilgan. Nega?

Kvadrat uch a’zoni olaylik va undagi to‘liq kvadratni ajratamiz: Qarang, biz , ni oldik. Siz va men avval parabolaning cho'qqisini, ya'ni hozir, deb ataganmiz.

Masalan, . Biz tekislikda parabolaning tepasini belgilaymiz, biz shoxlar pastga yo'naltirilganligini tushunamiz, parabola kengaytiriladi (nisbatan). Ya'ni, biz 1-bandlarni bajaramiz; 3; 4; 5 parabolani qurish algoritmidan (yuqoriga qarang).

Eslatma 2. Agar parabola shunga o'xshash ko'rinishda berilgan bo'lsa (ya'ni ikkita chiziqli omilning ko'paytmasi sifatida taqdim etilgan bo'lsa), biz darhol parabolaning o'q (ox) bilan kesishish nuqtalarini ko'ramiz. Bu holda – (0;0) va (4;0). Qolganlari uchun biz qavslarni ochgan holda algoritmga muvofiq harakat qilamiz.