Sinus va kosinus dastlab to'g'ri burchakli uchburchaklardagi miqdorlarni hisoblash zaruratidan kelib chiqqan. Agar to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchaklarning daraja o'lchovi o'zgarmasa, tomonlarning nisbati, bu tomonlar uzunligi qanchalik o'zgarmasin, har doim bir xil bo'lib qolishi ta'kidlandi.

Shunday qilib sinus va kosinus tushunchalari kiritildi. Sinus o'tkir burchak to'g'ri burchakli uchburchakda qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati va kosinus - gipotenuzaga qo'shni tomonning nisbati.

Kosinuslar va sinuslar teoremalari

Ammo kosinuslar va sinuslar faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun emas, balki ko'proq uchun ishlatilishi mumkin. Har qanday uchburchakning o'tkir yoki o'tkir burchagi yoki tomonining qiymatini topish uchun kosinuslar va sinuslar teoremasini qo'llash kifoya.

Kosinus teoremasi juda oddiy: "Uchburchakning bir tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ikki baravar ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning kosinusiga tengdir."

Sinus teoremasining ikkita talqini mavjud: kichik va kengaytirilgan. Kichkintoyning fikriga ko'ra: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir." Ushbu teorema ko'pincha uchburchakning aylanasi xususiyati tufayli kengaytiriladi: "Uchburchakda burchaklar qarama-qarshi tomonlarga proportsionaldir va ularning nisbati aylananing diametriga tengdir."

Hosilalar

Hosila - bu argumentning o'zgarishiga nisbatan funktsiya qanchalik tez o'zgarishini ko'rsatadigan matematik vositadir. Hosilalar geometriyada va bir qator texnik fanlarda qo'llaniladi.

Muammolarni hal qilishda siz hosilalarning jadval qiymatlarini bilishingiz kerak trigonometrik funktsiyalar: sinus va kosinus. Sinusning hosilasi kosinus, kosinus esa sinus, lekin minus belgisi bilan.

Matematikada qo'llash

Ayniqsa, sinuslar va kosinuslar yechishda tez-tez ishlatiladi to'g'ri uchburchaklar va ular bilan bog'liq vazifalar.

Sinuslar va kosinuslarning qulayligi texnologiyada ham namoyon bo'ladi. Burchaklar va tomonlarni kosinus va sinus teoremalari yordamida baholash oson edi, murakkab shakllar va ob'ektlarni "oddiy" uchburchaklarga bo'lishdi. Ko'pincha tomonlar nisbati va daraja o'lchovlarini hisoblash bilan shug'ullanadigan muhandislar va muhandislar jadvalsiz burchaklarning kosinuslari va sinuslarini hisoblash uchun ko'p vaqt va kuch sarfladilar.

Keyin sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlarning minglab qiymatlarini o'z ichiga olgan Bradis jadvallari yordamga keldi. turli burchaklar. Sovet davrida ba'zi o'qituvchilar o'z shogirdlarini Bradis jadvallari sahifalarini yodlashga majbur qilishgan.

Radian - burchak kattaligi yoylar, uzunlik radiusga teng yoki 57,295779513 ° daraja.

Daraja (geometriyada) - aylananing 1/360 qismi yoki 1/90 qismi to'g'ri burchak.

p = 3,141592653589793238462… (Pi ning taxminiy qiymati).

Burchaklar uchun kosinuslar jadvali: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Men sizni aldash varaqlarini yozmaslikka ishontirishga harakat qilmayman. Yozing! Trigonometriya bo'yicha cheat varaqlari, shu jumladan. Keyinchalik men cheat varaqlari nima uchun kerakligini va nima uchun cheat varaqlari foydali ekanligini tushuntirishni rejalashtirmoqdaman. Va bu erda qanday o'rganish emas, balki ba'zi trigonometrik formulalarni eslab qolish haqida ma'lumot. Shunday qilib, biz eslab qolish uchun assotsiatsiyalardan foydalanamiz.

1. Qo‘shish formulalari:

Kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi": kosinus-kosinus, sinus-sinus. Va yana bir narsa: kosinuslar "etarsiz". Ular uchun "hamma narsa to'g'ri emas", shuning uchun ular belgilarni o'zgartiradilar: "-" "+" ga va aksincha.

Sinuslar - "aralash": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Yig‘indi va ayirma formulalari:

kosinuslar har doim "juft bo'lib keladi". Ikkita kosinus - "koloboks" qo'shilishi bilan biz bir juft kosinus - "koloboks" ni olamiz. Va ayirish orqali biz hech qanday koloboklarni olmaymiz. Biz bir nechta sinuslarni olamiz. Oldinda minus bilan ham.

Sinuslar - "aralash" :

3. Ko`paytmani yig`indiga va ayirmaga aylantirish formulalari.

Kosinus juftligini qachon olamiz? Biz kosinuslarni qo'shganda. Shunung uchun

Qachon biz bir nechta sinuslarni olamiz? Kosinuslarni ayirishda. Bu yerdan:

"Aralash" sinuslarni qo'shish va ayirish paytida ham olinadi. Qaysi qiziqarliroq: qo'shish yoki ayirish? To'g'ri, katlayın. Va formula uchun ular qo'shimcha oladilar:

Birinchi va uchinchi formulalarda yig'indisi qavs ichida. Shartlar joylarini qayta joylashtirish yig'indini o'zgartirmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo, chalkashmaslik uchun, eslab qolish qulayligi uchun, birinchi qavsdagi barcha uchta formulada biz farqni olamiz.

ikkinchidan - miqdor

Cho'ntagingizdagi cheat varaqlari sizga tinchlik beradi: agar formulani unutib qo'ysangiz, uni nusxalashingiz mumkin. Va ular sizga ishonch bag'ishlaydi: agar siz cheat varaqlaridan foydalanmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.

Eng oddiy yechim trigonometrik tenglamalar.

Har qanday murakkablik darajasidagi trigonometrik tenglamalarni yechish oxir-oqibat eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Va bunda eng yaxshi yordamchi yana trigonometrik doira bo'lib chiqadi.

Keling, kosinus va sinusning ta'riflarini eslaylik.

Burchakning kosinusu - bu birlik aylanadagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan abssissasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).

Burchakning sinusi - birlik doiradagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan ordinatasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).

Trigonometrik doiradagi harakatning ijobiy yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq. 0 daraja (yoki 0 radian) burilish koordinatalari (1;0) bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi.

Bu ta’riflardan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishda foydalanamiz.

1. Tenglamani yeching

Ushbu tenglama aylanadagi ordinatasi teng bo'lgan nuqtalarga mos keladigan aylanish burchagining barcha qiymatlari bilan qondiriladi.

Ordinat o'qida ordinatasi bo'lgan nuqtani belgilaymiz:

X o'qiga parallel gorizontal chiziqni aylana bilan kesishguncha chizamiz. Biz aylanada yotgan va ordinataga ega bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi:

Agar biz radianga burilish burchagiga mos keladigan nuqtani qoldirib, to'liq aylana bo'ylab aylansak, u holda biz bir radianga aylanish burchagiga mos keladigan va bir xil ordinataga ega bo'lgan nuqtaga kelamiz. Ya'ni, bu aylanish burchagi ham bizning tenglamamizni qanoatlantiradi. Biz xohlagancha "bo'sh" inqiloblarni amalga oshirishimiz mumkin, xuddi shu nuqtaga qaytamiz va bu burchak qiymatlarining barchasi bizning tenglamamizni qondiradi. "Bo'sh" inqiloblar soni harf (yoki) bilan belgilanadi. Chunki biz bu inqiloblarni ham ijobiy, ham salbiy yo'nalishda amalga oshirishimiz mumkin, (yoki) har qanday butun son qiymatlarini olishimiz mumkin.

Ya'ni, dastlabki tenglamaning birinchi qator yechimlari quyidagi shaklga ega:

, , - butun sonlar to'plami (1)

Xuddi shunday, yechimlarning ikkinchi seriyasi quyidagi shaklga ega:

, Qayerda ,. (2)

Siz taxmin qilganingizdek, bu yechimlar qatori aylanadagi burilish burchagiga mos keladigan nuqtaga asoslangan.

Ushbu ikkita yechim seriyasini bitta yozuvga birlashtirish mumkin:

Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni, hatto) qabul qilsak, biz yechimlarning birinchi qatorini olamiz.

Agar biz ushbu yozuvda (ya'ni, g'alati) qabul qilsak, biz ikkinchi qator echimlarni olamiz.

2. Endi tenglamani yechamiz

Bu burchak orqali aylanish natijasida olingan birlik doiradagi nuqtaning abscissasi bo'lgani uchun, biz nuqtani o'qdagi abscissa bilan belgilaymiz:

Doira bilan kesishmaguncha o'qga parallel ravishda vertikal chiziq torting. Biz aylanada yotgan va abscissaga ega bo'lgan ikkita ochko olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi. Eslatib o'tamiz, soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda biz salbiy burilish burchagini olamiz:

Keling, ikkita yechim seriyasini yozamiz:

,

,

(Biz kirishamiz kerakli nuqta, asosiy to'liq doiradan o'tish, ya'ni.

Keling, ushbu ikkita seriyani bitta yozuvga birlashtiramiz:

3. Tenglamani yeching

Tangens chiziq OY o'qiga parallel bo'lgan birlik doirasining koordinatalari (1,0) bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Undagi ordinatasi 1 ga teng nuqtani belgilaymiz (qaysi burchaklar 1 ga teng bo'lgan tangensini qidiramiz):

Bu nuqtani to‘g‘ri chiziq bilan koordinatalar boshiga bog‘laymiz va chiziqning birlik aylana bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. To'g'ri chiziq va aylananing kesishish nuqtalari va ustidagi burilish burchaklariga to'g'ri keladi:

Tenglamamizni qanoatlantiradigan burilish burchaklariga mos keladigan nuqtalar bir-biridan radian masofada joylashganligi sababli, yechimni quyidagicha yozishimiz mumkin:

4. Tenglamani yeching

Kotangentlar chizig'i birlik doiraning koordinatalari o'qga parallel bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Kotangens to‘g‘rida abtsissa -1 bo‘lgan nuqtani belgilaymiz:

Bu nuqtani to‘g‘ri chiziqning boshiga bog‘laymiz va uni aylana bilan kesishguncha davom ettiramiz. Ushbu to'g'ri chiziq aylanani burilish burchaklariga va radianlarga mos keladigan nuqtalarda kesib o'tadi:

Bu nuqtalar bir-biridan teng masofa bilan ajratilganligi sababli, u holda umumiy yechim Bu tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimini ko'rsatadigan misollarda trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlari ishlatilgan.

Biroq, agar tenglamaning o'ng tomonida yo'q bo'lsa jadval qiymati, keyin qiymatni tenglamaning umumiy yechimiga almashtiramiz:

MAXSUS ECHIMLAR:

Doiradagi ordinatasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:

Aylanada ordinatasi 1 ga teng bitta nuqtani belgilaymiz:

Aylanada ordinatasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Nolga yaqin qiymatlarni ko'rsatish odatiy hol bo'lganligi sababli, biz yechimni quyidagicha yozamiz:

Doira ustidagi abtsissasi 0 ga teng nuqtalarni belgilaymiz:

5.
Aylanada abtsissasi 1 ga teng bo‘lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Aylanada abtsissasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Va biroz murakkabroq misollar:

1.

Argument teng bo'lsa, sinus birga teng

Sinusimizning argumenti teng, shuning uchun biz olamiz:

Tenglikning ikkala tomonini 3 ga bo'ling:

Javob:

2.

Kosinus argumenti bo'lsa, kosinus nolga teng

Bizning kosinus argumenti ga teng, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

Keling, buni amalga oshirish uchun birinchi navbatda qarama-qarshi belgi bilan o'ngga harakat qilamiz:

Keling, o'ng tomonni soddalashtiramiz:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling:

E'tibor bering, atama oldidagi belgi o'zgarmaydi, chunki k har qanday butun qiymatni qabul qilishi mumkin.

Javob:

Va nihoyat, "Trigonometrik aylana yordamida trigonometrik tenglamada ildizlarni tanlash" video darsini tomosha qiling.

Shu bilan oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish haqidagi suhbatimiz yakunlanadi. Keyingi safar qanday qaror qabul qilish haqida gaplashamiz.

Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali

Eslatma. Ushbu trigonometrik funktsiya qiymatlari jadvali ko'rsatish uchun √ belgisidan foydalanadi kvadrat ildiz. Kasrni ko'rsatish uchun "/" belgisidan foydalaning.

Shuningdek qarang foydali materiallar:

uchun trigonometrik funktsiyaning qiymatini aniqlash, uni trigonometrik funktsiyani ko'rsatuvchi chiziqning kesishmasida toping. Masalan, sinus 30 daraja - biz sin (sinus) sarlavhasi bilan ustunni qidiramiz va ushbu jadval ustunining "30 daraja" qatori bilan kesishishini topamiz, ularning kesishmasida natijani o'qiymiz - yarmi. Xuddi shunday topamiz kosinus 60 darajalar, sinus 60 daraja (yana sin ustuni va 60 daraja chizig'ining kesishmasida biz sin 60 = √3/2 qiymatini topamiz) va hokazo. Boshqa "mashhur" burchaklarning sinuslari, kosinuslari va tangenslarining qiymatlari xuddi shu tarzda topiladi.

Radianlarda sinus pi, kosinus pi, tangens pi va boshqa burchaklar

Quyidagi kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali argumenti bo'lgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatini topish uchun ham mos keladi. radianlarda berilgan. Buning uchun burchak qiymatlarining ikkinchi ustunidan foydalaning. Buning yordamida siz mashhur burchaklarning qiymatini darajadan radianga o'zgartirishingiz mumkin. Masalan, birinchi qatordagi 60 gradus burchakni topamiz va uning ostidagi radiandagi qiymatini o'qiymiz. 60 daraja p/3 radianga teng.

Pi soni aylananing burchakning daraja o'lchoviga bog'liqligini aniq ifodalaydi. Shunday qilib, pi radianlari 180 darajaga teng.

Pi (radian) bilan ifodalangan har qanday raqamni pi (p) ni 180 ga almashtirish orqali osongina darajalarga aylantirish mumkin..

Misollar:
1. Sine pi.
sin p = sin 180 = 0
Shunday qilib, pi ning sinusi 180 graduslik sinus bilan bir xil va u nolga teng.

2. Kosinus pi.
cos p = cos 180 = -1
Shunday qilib, pi ning kosinusu 180 daraja kosinus bilan bir xil va u minus birga teng.

3. Tangent pi
tg p = tg 180 = 0
shunday qilib, tangens pi tangens 180 daraja bilan bir xil va u nolga teng.

0 - 360 daraja burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens qiymatlari jadvali (umumiy qiymatlar)

Agar trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalida funktsiya qiymati (tangens (tg) 90 daraja, kotangent (ctg) 180 daraja) o'rniga chiziqcha ko'rsatilgan bo'lsa, u holda burchak daraja o'lchovining berilgan qiymati uchun funktsiya muayyan qiymatga ega emas. Agar chiziq bo'lmasa, hujayra bo'sh, ya'ni biz hali kirmaganmiz kerakli qiymat. Biz foydalanuvchilarning bizga qanday so'rovlar uchun murojaat qilishlari va jadvalni yangi qiymatlar bilan to'ldirishlari bilan qiziqamiz, garchi kosinuslar, sinuslar va eng keng tarqalgan burchak qiymatlarining tangenslari qiymatlari bo'yicha joriy ma'lumotlar ko'pchilikni hal qilish uchun etarli bo'lsa ham. muammolar.

Eng mashhur burchaklar uchun sin, cos, tg trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 daraja
(raqamli qiymatlar "Bradis jadvallari bo'yicha")

- Albatta, trigonometriya bo'yicha vazifalar bo'ladi. Trigonometriya ko'pincha sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar bilan to'lib-toshgan juda ko'p murakkab formulalarni to'plash zarurati uchun yoqmaydi. Sayt allaqachon Eyler va Peel formulalari misolidan foydalanib, unutilgan formulani qanday eslab qolish bo'yicha maslahat bergan.

Va ushbu maqolada biz eng oddiy beshta narsani aniq bilish kifoya ekanligini ko'rsatishga harakat qilamiz trigonometrik formulalar, qolganlari haqida esa bor umumiy fikr va ketayotganingizda ularni olib chiqing. Bu xuddi DNKga o'xshaydi: molekula tayyor tirik mavjudotning to'liq chizmalarini saqlamaydi. Aksincha, uni mavjud aminokislotalardan yig'ish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud. Shunday qilib, trigonometriyada, ba'zilarini bilish umumiy tamoyillar, biz hamma narsani olamiz zarur formulalar yodda tutish kerak bo'lganlarning kichik to'plamidan.

Biz quyidagi formulalarga tayanamiz:

Sinus va kosinus yig‘indilari formulalaridan kosinus funksiyasining pariteti va sinus funksiyaning g‘alatiligini bilib, b o‘rniga -b ni qo‘yib, farqlar formulalarini olamiz:

1. Farqning sinusi: gunoh(a-b) = gunohacos(-b)+cosagunoh(-b) = gunohacosb-cosagunohb
2. Farqning kosinusi: cos(a-b) = cosacos(-b)-gunohagunoh(-b) = cosacosb+gunohagunohb

Xuddi shu formulalarga a = b ni qo'yib, biz qo'sh burchakning sinus va kosinus formulalarini olamiz:

1. Sinus ikki burchak : gunoh2a = gunoh(a+a) = gunohacosa+cosagunoha = 2gunohacosa
2. Ikki burchakli kosinus: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-gunohagunoha = cos2 a-gunoh2 a

Boshqa ko'p burchaklar uchun formulalar xuddi shunday olinadi:

1. Uch burchak sinusi: gunoh3a = gunoh(2a+a) = gunoh2acosa+cos2agunoha = (2gunohacosa)cosa+(cos2 a-gunoh2 a)gunoha = 2gunohacos2 a+gunohacos2 a-gunoh 3 a = 3 gunohacos2 a-gunoh 3 a = 3 gunoha(1-gunoh2 a)-gunoh 3 a = 3 gunoha-4gunoh 3a
2. Uch burchakli kosinus: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-gunoh2agunoha = (cos2 a-gunoh2 a)cosa-(2gunohacosa)gunoha = cos 3 a- gunoh2 acosa-2gunoh2 acosa = cos 3 a-3 gunoh2 acosa = cos 3 a-3 (1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Davom etishdan oldin, keling, bitta muammoni ko'rib chiqaylik.
Berilgan: burchak o'tkir.
Agar uning kosinusini toping
Bitta talaba tomonidan berilgan yechim:
Chunki , Bu gunoha= 3,a cosa = 4.
(Matematik hazildan)

Shunday qilib, tangensning ta'rifi bu funktsiyani ham sinus, ham kosinus bilan bog'laydi. Ammo siz tangensni faqat kosinus bilan bog'laydigan formulani olishingiz mumkin. Uni olish uchun biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani olamiz: gunoh 2 a+cos 2 a= 1 va uni bo'linadi cos 2 a. Biz olamiz:

Shunday qilib, bu muammoni hal qilish quyidagicha bo'ladi:

(Burchak o'tkir bo'lgani uchun ildizni ajratib olishda + belgisi olinadi)

Yig'indining tangensi formulasi eslab qolish qiyin bo'lgan yana bir formuladir. Keling, buni shunday chiqaramiz:

Darhol ko'rsatiladi va

Ikki burchak uchun kosinus formulasidan yarim burchak uchun sinus va kosinus formulalarini olishingiz mumkin. Buning uchun ikki burchakli kosinus formulasining chap tomoniga:
cos2 a = cos 2 a-gunoh 2 a
biz bitta qo'shamiz va o'ngda - trigonometrik birlik, ya'ni. sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi.
cos2a+1 = cos2 a-gunoh2 a+cos2 a+gunoh2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Ifoda qilish cosa orqali cos2 a va o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

Belgisi kvadrantga qarab olinadi.

Xuddi shunday, tenglikning chap tomonidan bittasini va o'ngdan sinus va kosinus kvadratlari yig'indisini ayirib, biz quyidagilarni olamiz:
cos2a-1 = cos2 a-gunoh2 a-cos2 a-gunoh2 a
2gunoh 2 a = 1-cos2 a

Va nihoyat, trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mahsulotga aylantirish uchun biz quyidagi texnikadan foydalanamiz. Aytaylik, biz sinuslar yig'indisini mahsulot sifatida ifodalashimiz kerak gunoha+gunohb. X va y o‘zgaruvchilarni shunday kiritamizki, a = x+y, b+x-y. Keyin
gunoha+gunohb = gunoh(x+y)+ gunoh(x-y) = gunoh x cos y+ cos x gunoh y+ gunoh x cos y- cos x gunoh y=2 gunoh x cos y. Endi x va y ni a va b shaklida ifodalaymiz.

Chunki a = x+y, b = x-y, keyin . Shunung uchun

Siz darhol bekor qilishingiz mumkin

1. Bo'lish uchun formula sinus va kosinus hosilalari V miqdori: gunohacosb = 0.5(gunoh(a+b)+gunoh(a-b))

Sinuslar ayirmasini va kosinuslar yig‘indisi va ayirmasini hosilaga aylantirish, shuningdek, sinuslar va kosinuslar ko‘paytmalarini yig‘indiga bo‘lish uchun o‘zingiz mashq qilishingiz va formulalar olishingizni tavsiya qilamiz. Ushbu mashqlarni bajarib, siz trigonometrik formulalarni chiqarish mahoratini puxta egallaysiz va hatto eng qiyin test, olimpiada yoki testlarda ham adashib qolmaysiz.