y sinx funksiyaning asosiy davri nima. Funksiyalarning davriyligi y = sin x, y = cos x - Bilim gipermarketi

Maqsad: talabalarning "Funksiyalarning davriyligi" mavzusidagi bilimlarini umumlashtirish va tizimlashtirish; davriy funksiyaning xossalarini qo‘llash, funksiyaning eng kichik musbat davrini topish, davriy funksiyalarning grafiklarini tuzish ko‘nikmalarini shakllantirish; matematikani o'rganishga qiziqishni rivojlantirish; kuzatuvchanlik va aniqlikni tarbiyalash.

Uskunalar: kompyuter, multimedia proyektori, topshiriq kartalari, slaydlar, soatlar, bezaklar jadvallari, xalq hunarmandchiligi elementlari

"Matematika - bu odamlar tabiatni va o'zlarini boshqarish uchun foydalanadigan narsadir."
A.N. Kolmogorov

Darsning borishi

I. Tashkiliy bosqich.

Talabalarning darsga tayyorgarligini tekshirish. Dars mavzusi va maqsadlari haqida xabar bering.

II. Uy vazifasini tekshirish.

Biz uy vazifalarini namunalar yordamida tekshiramiz, ko'pchilik qiyin daqiqalar muhokama qilish.

III. Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.

1. Og'zaki frontal ish.

Nazariya masalalari.

1) Funksiya davrining ta’rifini tuzing
2) y=sin(x), y=cos(x) funksiyalarning eng kichik musbat davrini ayting.
3). y=tg(x), y=ctg(x) funksiyalarning eng kichik musbat davri qancha?
4) Doira yordamida munosabatlarning to'g'riligini isbotlang:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+p n)=tgx, n € Z
ctg(x+p n)=ctgx, n € Z

sin(x+2p n)=sinx, n € Z
cos(x+2p n)=cosx, n € Z

5) Davriy funksiya grafigi qanday tuziladi?

Og'zaki mashqlar.

1) Quyidagi munosabatlarni isbotlang

a) gunoh (740º) = gunoh (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) gunoh (-1000º) = gunoh (80º)

2. 540º burchak y= cos(2x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

3. 360º burchak y=tg(x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

4. Ushbu ifodalarni ularga kiritilgan burchaklar mutlaq qiymatda 90º dan oshmasligi uchun aylantiring.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. DAVRANI, DAVRILIK so‘zlarini qayerdan uchratdingiz?

Talabalarning javoblari: Musiqadagi davr - bu ozmi-ko'pmi to'liq musiqiy fikr ifodalangan tuzilma. Geologik davr- eraning bir qismi va 35 dan 90 million yilgacha bo'lgan davrlarga bo'linadi.

Radioaktiv moddaning yarimparchalanish davri. Davriy kasr. Davriy nashrlar - qat'iy belgilangan muddatlarda chiqadigan bosma nashrlar. Davriy jadval Mendeleev.

6. Rasmlarda davriy funksiyalar grafiklarining qismlari ko'rsatilgan. Funktsiyaning davrini aniqlang. Funktsiyaning davrini aniqlang.

Javob: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Hayotingizda qayerda takrorlanuvchi elementlarning konstruktsiyasiga duch keldingiz?

Talaba javobi: Naqsh elementlari, xalq amaliy san’ati.

IV. Kollektiv muammolarni hal qilish.

(Slayddagi masalalarni yechish.)

Davriylik uchun funktsiyani o'rganish usullaridan birini ko'rib chiqamiz.

Bu usul ma'lum bir davrning eng kichik ekanligini isbotlash bilan bog'liq qiyinchiliklardan qochadi, shuningdek davriy funktsiyalar va davriylik bo'yicha arifmetik operatsiyalarga oid savollarga murojaat qilish zaruratini yo'q qiladi. murakkab funktsiya. Mulohaza faqat davriy funktsiyaning ta'rifiga va quyidagi faktga asoslanadi: agar T - funktsiya davri bo'lsa, nT(n?0) uning davri.

Masala 1. f(x)=1+3(x+q>5) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.

Yechish: Bu funksiyaning T davri deb faraz qilaylik. Keyin barcha x € D(f) uchun f(x+T)=f(x), ya'ni.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Keling, x=-0,25 ni qo'yamiz va biz olamiz

(T)=0<=>T=n, n € Z

Biz ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning barcha davrlari (agar ular mavjud bo'lsa) butun sonlar orasida ekanligini bilib oldik. Shu sonlar orasidan eng kichik musbat sonni tanlaylik. Bu 1 . Keling, bu haqiqatan ham davr bo'ladimi-yo'qligini tekshirib ko'raylik 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Har qanday T uchun (T+1)=(T) boʻlgani uchun f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaʼni. 1 – davr f. 1 barcha musbat sonlarning eng kichigi bo'lgani uchun T=1 bo'ladi.

Masala 2. f(x)=cos 2 (x) funksiya davriy ekanligini ko‘rsating va uning bosh davrini toping.

Masala 3. Funksiyaning bosh davrini toping

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Funktsiyaning T-davrini qabul qilaylik, keyin har qanday uchun X nisbat amal qiladi

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Agar x = 0 bo'lsa, u holda

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Agar x=-T bo'lsa, u holda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

Uni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Davr uchun barcha "shubhali" raqamlardan eng kichik musbat sonni tanlaymiz va bu f uchun nuqta ekanligini tekshiramiz. Bu raqam

f(x+)=sin(1,5x+4p )+5cos(0,75x+2p )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Bu f funktsiyaning asosiy davri ekanligini bildiradi.

Masala 4. f(x)=sin(x) funksiya davriy ekanligini tekshiramiz

T f funktsiyaning davri bo'lsin. Keyin har qanday x uchun

sin|x+T|=sin|x|

Agar x=0 bo'lsa, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=p n, n € Z.

Faraz qilaylik. Ya'ni, ba'zi bir n uchun p n soni davrdir

ko'rib chiqilayotgan funksiya p n>0. Keyin sin|p n+x|=sin|x|

Bu shuni anglatadiki, n ham juft, ham toq son bo'lishi kerak, lekin bu mumkin emas. Shunung uchun bu funksiya davriy emas.

Vazifa 5. Funktsiyaning davriyligini tekshiring

f(x)=

U holda T f davri bo'lsin

, shuning uchun sinT=0, T=p n, n € Z. Faraz qilaylik, ba'zi n uchun p n soni haqiqatdan ham shu funktsiyaning davri hisoblanadi. Keyin 2p n soni davr bo'ladi

Numeratorlar teng bo'lgani uchun ularning maxrajlari ham teng, shuning uchun

Bu f funksiyaning davriy emasligini bildiradi.

Guruhlarda ishlash.

1-guruh uchun vazifalar.

2-guruh uchun vazifalar.

f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar u mavjud bo'lsa).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3-guruh uchun vazifalar.

Ish yakunida guruhlar o‘z yechimlarini taqdim etadilar.

VI. Darsni yakunlash.

Reflektsiya.

O'qituvchi o'quvchilarga chizmalar tushirilgan kartochkalarni beradi va birinchi chizmaning bir qismini davriylik bo'yicha funktsiyani o'rganish usullarini qay darajada o'zlashtirgan deb hisoblaganiga ko'ra, ikkinchi chizmada esa - o'z rasmlariga muvofiq bo'yashni so'raydi. darsdagi ishga qo'shgan hissasi.

VII. Uy vazifasi

1). f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar mavjud bo'lsa)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). y=f(x) funksiyasi T=2 davriga ega va x € [-2 uchun f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3.5) ifoda qiymatini toping.

Adabiyot/

1. Mordkovich A.G. Algebra va chuqur o'rganish bilan tahlilning boshlanishi.
2. Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik. Ed. Lisenko F.F., Kulabuxova S.Yu.
3. Sheremeteva T.G. , Tarasova E.A. 10-11-sinflar uchun algebra va boshlang‘ich tahlil.

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a) gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka bog'liq trigonometrik funktsiyadir to'g'ri uchburchak, nisbatga teng qarama-qarshi tomonning uzunligi |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

Asosiy formulalar

Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi

Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Kosinus orqali sinusni ifodalash

;
;
;
.

Kosinusni sinus orqali ifodalash

;
;
;
.

Tangens orqali ifodalash

; .

Qachon, bizda:
; .

Manzil:
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibli hosilalar:

Sekant, kosekant Teskari funksiyalar

Teskari funksiyalar

sinus va kosinus mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin
Arkkosin, arkkos

Foydalanilgan adabiyotlar:

I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Ko'rsatmalar

Bir darajaga ko'tarilgan trigonometrik funktsiyaning davrini topish uchun kuchning paritetini baholang. Standart davrni yarmiga qisqartirish uchun. Misol uchun, agar sizga y=3 cos^2x funksiyasi berilgan bo'lsa, u holda standart davr 2P 2 marta kamayadi, shuning uchun davr P ga teng bo'ladi. Iltimos, tg, ctg funktsiyalari P ga davriy ekanligini unutmang. daraja. Minimal qiymat U amalga oshiriladi T da, 2P, bu vazifa bo'ladi.

Manbalar:

• davr gunohi

Davriy funktsiya - bu nolga teng bo'lmagan davrdan keyin o'z qiymatlarini takrorlaydigan funktsiya. Funktsiya davri - bu funktsiya argumentiga qo'shilganda funktsiya qiymatini o'zgartirmaydigan son.

Sizga kerak bo'ladi

• ning bilimi boshlang'ich matematika va tahlilning boshlanishi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

Mavzu bo'yicha video

esda tuting

Hammasi trigonometrik funktsiyalar davriy bo'lib, darajasi 2 dan katta bo'lgan barcha polinomlar aperiodikdir.

Foydali maslahat

Ikkidan iborat funksiya davri davriy funktsiyalar, bu funksiyalar davrlarining eng kichik umumiy karrali.

Trigonometrik tenglamalar- bu noma'lum argument funksiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalar (masalan: 5sinx-3cosx =7). Ularni qanday hal qilishni o'rganish uchun buning uchun ba'zi usullarni bilishingiz kerak.

Foydalanilgan adabiyotlar:

Tenglamani faktoring qilish. Birinchidan, biz barcha shartlarni chapga o'tkazamiz va ularni faktorlarga ajratamiz.

Shuni yodda tutish kerakki, funktsiyaning juftligi va toqligi funktsiyani aniqlash sohasi bilan to'g'ridan-to'g'ri chiziqqa ega. Agar, masalan, hatto yoki Yo'q hatto funktsiya x=5 uchun emas, u holda x=-5 uchun ham mavjud emas, bu funksiya haqida gapirib bo'lmaydi umumiy ko'rinish. Juft va toq paritetni o'rnatishda funksiya sohasiga e'tibor bering.

Funktsiyani juftlik va toqlik uchun o'rganish funksiya qiymatlari to'plamini topish bilan bog'liq. Juft funksiya qiymatlari to‘plamini topish uchun funksiyaning yarmini nolning o‘ng yoki chap tomonida ko‘rib chiqish kifoya. Agar x>0 uchun juft funktsiya y(x) A dan B gacha bo'lsa, u x uchun bir xil qiymatlarga ega bo'ladi.<0.
Toq funktsiya tomonidan olingan qiymatlar to'plamini topish uchun faqat bitta funktsiyani ko'rib chiqish kifoya. Agar x>0 uchun toq funksiya y(x) A dan B gacha qiymatlarni qabul qilsa, x uchun<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrik" bir vaqtlar to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining uning tomonlari uzunligiga bog'liqligi bilan belgilanadigan funktsiyalar deb atala boshlandi. Bunday funksiyalarga, birinchidan, sinus va kosinus, ikkinchidan, bu funksiyalarning teskarisi, sekant va kosekant, ularning hosilalari tangens va kotangens, shuningdek, teskari funksiyalar arksinus, arkkosinus va boshqalar kiradi. bunday funktsiyalarning "yechimi", lekin ularni "hisoblash" haqida, ya'ni raqamli qiymatni topish haqida.

Foydalanilgan adabiyotlar:

Agar trigonometrik funktsiyaning argumenti noma'lum bo'lsa, u holda uning qiymatini bu funktsiyalarning ta'riflari asosida bilvosita hisoblash mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz uchburchak tomonlarining uzunligini bilishingiz kerak, burchaklaridan biri uchun trigonometrikni hisoblash kerak. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi bu burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati. Bundan kelib chiqadiki, burchak uchun bu ikki tomonning uzunligini bilish kifoya. Shunga o'xshash bayonotda aytilishicha, o'tkir burchakning sinusi bu burchakka qo'shni oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati. O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning uzunligini qo'shnisining uzunligiga bo'lish yo'li bilan hisoblanishi mumkin va qo'shni oyoqning uzunligini qarama-qarshi tomonning uzunligiga bo'lish talab etiladi. O'tkir burchakning sekantini hisoblash uchun siz gipotenuzaning uzunligini kerakli burchakka ulashgan oyoq uzunligiga nisbatini topishingiz kerak va kosekant gipotenuzaning uzunligining uzunligiga nisbati bilan aniqlanadi. qarama-qarshi oyoqdan.

Agar trigonometrik funktsiyaning argumenti ma'lum bo'lsa, unda siz uchburchak tomonlarining uzunligini bilishingiz shart emas - siz qiymatlar jadvalidan yoki trigonometrik funktsiyalar kalkulyatoridan foydalanishingiz mumkin. Bu Windows operatsion tizimining standart dasturlari qatoriga kiritilgan. Uni ishga tushirish uchun siz Win + R tugmalar birikmasini bosishingiz, calc buyrug'ini kiritishingiz va "OK" tugmasini bosishingiz mumkin. Dastur interfeysida "Ko'rish" bo'limini va "Muhandislik" yoki "Ilmiy" bandini kengaytiring. Shundan so'ng siz trigonometrik funktsiyaning argumentini kiritishingiz mumkin. Sinus, kosinus funktsiyalarini hisoblash va qiymatni kiritgandan so'ng tegishli interfeys tugmachasini (sin, cos, tg) bosish kifoya qiladi va ularning teskarilarini, arksinus, arkkosinuslarini topish uchun birinchi navbatda Inv katagiga belgi qo'yish kerak.

Bundan tashqari, alternativ usullar mavjud. Ulardan biri Nigma yoki Google qidiruv tizimining veb-saytiga o'tish va qidiruv so'rovi sifatida kerakli funktsiyani va uning argumentini kiritishdir (masalan, sin 0,47). Ushbu qidiruv tizimlarida o'rnatilgan kalkulyatorlar mavjud, shuning uchun bunday so'rovni yuborganingizdan so'ng siz kiritgan trigonometrik funktsiyaning qiymatini olasiz.

Mavzu bo'yicha video

Trigonometrik funktsiyalar dastlab to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchaklar qiymatlarining uning tomonlari uzunligiga bog'liqligini mavhum matematik hisoblash uchun vosita sifatida paydo bo'ldi. Endi ular inson faoliyatining ilmiy va texnik sohalarida juda keng qo'llaniladi. Berilgan argumentlarning trigonometrik funktsiyalarini amaliy hisoblash uchun siz turli xil vositalardan foydalanishingiz mumkin - ulardan bir nechtasi quyida tavsiflangan.

Foydalanilgan adabiyotlar:

Masalan, operatsion tizim bilan sukut bo'yicha o'rnatilgan kalkulyator dasturidan foydalaning. U "Barcha dasturlar" bo'limiga joylashtirilgan "Standart" bo'limidan "Utilitalar" papkasida "Kalkulyator" bandini tanlash orqali ochiladi. Ushbu bo'limni asosiy operatsion menyusidagi "Ishga tushirish" tugmasini bosish orqali ochish mumkin. Agar siz Windows 7 versiyasidan foydalanayotgan bo'lsangiz, asosiy menyuning "Dasturlar va fayllarni qidirish" maydoniga "Kalkulyator" ni kiritishingiz va qidiruv natijalaridagi tegishli havolani bosishingiz mumkin.

Trigonometrik funktsiyani hisoblamoqchi bo'lgan burchakni kiriting va keyin tegishli tugmani bosing - sin, cos yoki tan. Agar siz teskari trigonometrik funktsiyalarga qiziqsangiz (yoy sinusi, yoy kosinusi yoki ), keyin avval Inv deb nomlangan tugmani bosing - u boshqaruv tugmalariga tayinlangan funktsiyalarni qarama-qarshi bo'lganlarga o'zgartiradi.

OTning oldingi versiyalarida (masalan, Windows XP) trigonometrik funktsiyalarga kirish uchun kalkulyator menyusida "Ko'rish" bo'limini ochishingiz va "Muhandislik" qatorini tanlashingiz kerak. Bundan tashqari, Inv tugmasi o'rniga dasturning eski versiyalarining interfeysida xuddi shu yozuvga ega bo'lgan katakcha mavjud.

Internetga kirish imkoningiz bo'lsa, buni kalkulyatorsiz qilishingiz mumkin. Internetda turli yo'llar bilan tashkil etilgan trigonometrik funksiya kalkulyatorlarini taklif qiluvchi ko'plab xizmatlar mavjud. Eng qulaylaridan biri Nigma qidiruv tizimiga kiritilgan. Uning asosiy sahifasiga o'tib, qidiruv so'rovi maydoniga sizni qiziqtirgan qiymatni kiriting - masalan, "arc tangent 30". "Topish!" Tugmasini bosgandan so'ng qidiruv tizimi hisoblab chiqadi va hisob-kitob natijasini ko'rsatadi - 0,482347907101025.

Mavzu bo'yicha video

Trigonometriya - bu to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining gipotenuzadagi o'tkir burchaklar qiymatlariga turli bog'liqliklarini o'rganish uchun matematikaning bo'limi. Bunday funksiyalar trigonometrik deyiladi va ular bilan ishlashni soddalashtirish uchun trigonometrik funksiyalar olingan. identifikatsiyalar.

Kontseptsiya identifikatsiyalar Unga kiritilgan funksiyalar argumentlarining har qanday qiymatlari uchun amal qiladigan tenglikni bildiradi. Trigonometrik identifikatsiyalar trigonometrik formulalar bilan ishlashni osonlashtirish uchun tasdiqlangan va qabul qilingan trigonometrik funktsiyalarning tengliklari trigonometrik funktsiya - bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlaridan birining gipotenuzadagi o'tkir burchak kattaligiga bog'liqligining elementar funktsiyasi. Eng ko'p ishlatiladigan oltita asosiy trigonometrik funksiyalar sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangent), sek (sekant) va kosek (kosekant). Bu funktsiyalar to'g'ridan-to'g'ri deb ataladi;

T soni shundayki, har qanday x F(x + T) = F(x). Bu T soni funksiyaning davri deb ataladi.

Bir necha davrlar bo'lishi mumkin. Masalan, F = const funktsiyasi argumentning istalgan qiymati uchun bir xil qiymatni oladi va shuning uchun har qanday sonni uning davri deb hisoblash mumkin.

Odatda siz funktsiyaning nolga teng bo'lmagan eng kichik davriga qiziqasiz. Qisqartirish uchun u oddiygina davr deb ataladi.

Davriy funktsiyalarning klassik misoli trigonometrikdir: sinus, kosinus va tangens. Ularning davri bir xil va 2p ga teng, ya'ni sin(x) = sin(x + 2p) = sin(x + 4p) va hokazo. Biroq, albatta, trigonometrik funktsiyalar yagona davriy emas.

Oddiy, asosiy funktsiyalar uchun ularning davriy yoki davriy bo'lmaganligini aniqlashning yagona yo'li hisoblashdir. Ammo murakkab funktsiyalar uchun allaqachon bir nechta oddiy qoidalar mavjud.

Agar F(x) T davri bilan bo‘lsa va uning uchun hosila aniqlangan bo‘lsa, u holda bu hosila f(x) = F′(x) ham T davri bilan davriy funktsiyadir. Axir nuqtadagi hosilaning qiymati. x bu nuqtada uning anti hosilasi grafigining x o'qiga teginish burchagi tangensiga teng va u davriy ravishda takrorlanganligi uchun uni takrorlash kerak. Masalan, sin(x) funksiyaning hosilasi cos(x) ga teng va u davriydir. cos(x) ning hosilasini olish sizga –sin(x) ni beradi. Chastotasi o'zgarishsiz qoladi.

Biroq, buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Shunday qilib, f(x) = const funksiya davriy, lekin uning anti hosilasi F(x) = const*x + C emas.

Agar F(x) davriy funktsiya T davri bo'lsa, u holda G(x) = a*F(kx + b), bu erda a, b va k doimiylar va k nolga teng emas - ham davriy funktsiyadir. , va uning davri T/k. Masalan, sin(2x) davriy funksiya, davri esa p. Buni vizual tarzda quyidagicha ifodalash mumkin: x ni qandaydir raqamga ko'paytirish orqali siz funktsiyalarni gorizontal ravishda ko'p marta siqayotganga o'xshaysiz.

Agar F1(x) va F2(x) davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davrlari mos ravishda T1 va T2 ga teng bo‘lsa, bu funksiyalarning yig‘indisi davriy ham bo‘lishi mumkin. Biroq, uning davri T1 va T2 davrlarining oddiy yig'indisi bo'lmaydi. Agar T1/T2 bo'linish natijasi ratsional son bo'lsa, u holda funksiyalar yig'indisi davriy bo'lib, uning davri T1 va T2 davrlarining eng kichik umumiy karrali (LCM) ga teng. Masalan, birinchi funktsiyaning davri 12, ikkinchisining davri esa 15 bo'lsa, ularning yig'indisi davri LCM (12, 15) = 60 ga teng bo'ladi.

Buni vizual tarzda quyidagicha ifodalash mumkin: funktsiyalar har xil "qadam kengliklari" bilan birga keladi, lekin agar ularning kengligi nisbati oqilona bo'lsa, erta yoki (aniqrog'i, qadamlar LCM orqali) ular yana tenglashadi va ularning so'm yangi davrni boshlaydi.

Biroq, agar davrlar nisbati bo'lsa, u holda umumiy funktsiya umuman davriy bo'lmaydi. Masalan, F1(x) = x mod 2 (x 2 ga bo'linganda qoldiq) va F2(x) = sin(x) bo'lsin. Bu erda T1 2 ga, T2 esa 2p ga teng bo'ladi. Davrlar nisbati p ga teng - irratsional son. Shuning uchun sin(x) + x mod 2 funksiya davriy emas.

Manbalar:

• Funksiyalar haqida nazariy ma’lumotlar

Ko'pgina matematik funktsiyalar ularni qurishni osonlashtiradigan bir xususiyatga ega: davriylik, ya'ni grafikning koordinatalar to'rida muntazam oraliqlarda takrorlanishi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

Matematikada eng mashhur davriy funktsiyalar sinus va kosinusdir. Bu funktsiyalar to'lqinga o'xshash va 2P ga teng asosiy davrga ega. Shuningdek, davriy funktsiyaning maxsus holati f(x)=const. Har qanday raqam x pozitsiyasiga mos keladi, bu funktsiyada asosiy nuqta yo'q, chunki u to'g'ri chiziqdir.

Umuman olganda, funktsiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan va f(x)=f(x+N) qoidasini qanoatlantiradigan butun N son bo'lsa, bu takrorlanishini ta'minlaydi. Funksiya davri eng kichik N sondir, lekin nolga teng emas. Ya'ni, masalan, sin x funksiyasi sin (x+2PN) funksiyasiga teng, bunda N=±1, ±2 va hokazo.

Ba'zan funksiya ko'paytuvchiga ega bo'lishi mumkin (masalan, sin 2x), bu funktsiyaning davrini oshiradi yoki kamaytiradi. tomonidan davrni topish uchun