Kvadrat tenglama masalalari ham o'rganiladi maktab o'quv dasturi va universitetlarda. Ular a*x^2 + b*x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni anglatadi, bu erda x- o'zgaruvchi, a, b, c – konstantalar; a<>0 . Vazifa tenglamaning ildizlarini topishdir.

Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi

Kvadrat tenglama bilan ifodalangan funksiyaning grafigi paraboladir. Yechimlar (ildizlar) kvadrat tenglama- bular parabolaning abscissa o'qi (x) bilan kesishish nuqtalari. Bundan kelib chiqadiki, uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:
1) parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtalari yo'q. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalari yuqoriga yoki pastki qismida shoxlari pastga tushadi. Bunday hollarda kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas (uning ikkita murakkab ildizi bor).

2) parabola Ox o'qi bilan bitta kesishgan nuqtaga ega. Bunday nuqta parabolaning uchi deb ataladi va undagi kvadrat tenglama uning minimal yoki maksimal qiymatini oladi. Bunday holda, kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga (yoki ikkita bir xil ildizga) ega.

3) Oxirgi holat amalda qiziqroq - parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtasi mavjud. Bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi borligini anglatadi.

O'zgaruvchilarning vakolatlari koeffitsientlarini tahlil qilish asosida parabolaning joylashuvi haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.

1) a koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi, agar u manfiy bo'lsa, parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

2) Agar b koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, agar u manfiy qiymat olsa, o'ngda joylashgan.

Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish

Kvadrat tenglamadan doimiyni o'tkazamiz

teng belgisi uchun ifodani olamiz

Ikkala tomonni 4a ga ko'paytiring

Chap tomonda to'liq kvadrat olish uchun ikkala tomonga b ^ 2 qo'shing va transformatsiyani bajaring

Bu erdan topamiz

Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi

Diskriminant - bu radikal ifodaning qiymati, agar u musbat bo'lsa, u holda tenglama formula bo'yicha hisoblangan ikkita haqiqiy ildizga ega Diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta yechimga ega (ikki mos keladigan ildiz), uni D=0 uchun yuqoridagi formuladan osongina olish mumkin, agar diskriminant manfiy bo'lsa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi. Biroq, kvadrat tenglamaning yechimlari kompleks tekislikda topiladi va ularning qiymati formuladan foydalanib hisoblanadi.

Vyeta teoremasi

Kvadrat tenglamaning ikkita ildizini ko'rib chiqamiz va ular asosida kvadrat tenglama tuzamiz. u holda uning ildizlari yig'indisi dan olingan p koeffitsientiga teng bo'ladi qarama-qarshi belgi, va tenglama ildizlarining mahsuloti q erkin hadiga teng. Yuqoridagi formula shunday ko'rinadi: Agar klassik tenglamada a doimiysi nolga teng bo'lmasa, unda siz butun tenglamani unga bo'lishingiz va keyin Viet teoremasini qo'llashingiz kerak.

Koeffitsientli kvadrat tenglamalar jadvali

Vazifa qo'yilsin: kvadrat tenglamani ko'paytiring. Buning uchun birinchi navbatda tenglamani yechamiz (ildizlarni topamiz). Keyinchalik, topilgan ildizlarni kvadrat tenglamaning kengayish formulasiga almashtiramiz, bu muammoni hal qiladi.

Kvadrat tenglama masalalari

Vazifa 1. Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

x^2-26x+120=0 .

Yechish: Koeffitsientlarni yozing va ularni diskriminant formulasiga qo'ying

Ushbu qiymatning ildizi 14 ni tashkil qiladi, uni kalkulyator yordamida topish yoki tez-tez ishlatib eslab qolish oson, ammo qulaylik uchun maqolaning oxirida men sizga tez-tez duch keladigan raqamlar kvadratlari ro'yxatini beraman. bunday muammolar.
Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz

va biz olamiz

Vazifa 2. Tenglamani yeching

2x 2 +x-3=0.

Yechish: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor, koeffitsientlarni yozing va diskriminantni toping


tomonidan ma'lum formulalar kvadrat tenglamaning ildizlarini topish

Vazifa 3. Tenglamani yeching

9x 2 -12x+4=0.

Yechish: Bizda to‘liq kvadrat tenglama bor. Diskriminantni aniqlash

Bizda ildizlar bir-biriga mos keladigan holat bor. Formuladan foydalanib, ildizlarning qiymatlarini toping

Vazifa 4. Tenglamani yeching

x^2+x-6=0 .

Yechish: x uchun kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan hollarda Vyeta teoremasini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Uning sharti bo'yicha biz ikkita tenglamani olamiz

Ikkinchi shartdan ko'paytma -6 ga teng bo'lishi kerakligini aniqlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan yechimlar juftligi (-3;2), (3;-2) mavjud. Birinchi shartni hisobga olgan holda, biz ikkinchi juft echimni rad etamiz.
Tenglamaning ildizlari teng

Masala 5. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 18 sm, maydoni 77 sm 2 bo‘lsa, uning tomonlari uzunliklarini toping.

Yechish: To‘rtburchak perimetrining yarmi yig‘indiga teng qo'shni partiyalar. x ni belgilaymiz - katta tomoni, keyin 18-x uning kichik tomoni. To'rtburchakning maydoni ushbu uzunliklarning mahsulotiga teng:
x(18-x)=77;
yoki
x 2 -18x+77=0.
Tenglamaning diskriminantini topamiz

Tenglamaning ildizlarini hisoblash

Agar x=11, Bu 18 = 7 , buning aksi ham to‘g‘ri (agar x=7 bo‘lsa, 21 lar=9).

6-masala. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tenglamani ko‘paytiring.

Yechish: Tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz, buning uchun diskriminantni topamiz

Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz va hisoblaymiz

Kvadrat tenglamani ildizlar bo'yicha parchalash formulasini qo'llaymiz

Qavslarni ochib, biz shaxsni olamiz.

Parametrli kvadrat tenglama

Misol 1. Qaysi parametr qiymatlarida A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tenglama bitta ildizga egami?

Yechish: a=3 qiymatini to‘g‘ridan-to‘g‘ri almashtirsak, uning yechimi yo‘qligini ko‘ramiz. Keyinchalik, biz nol diskriminant bilan tenglama 2 ko'plikning bitta ildiziga ega ekanligidan foydalanamiz. Keling, diskriminantni yozamiz

Keling, uni soddalashtiramiz va uni nolga tenglashtiramiz

Biz a parametriga nisbatan kvadrat tenglamani oldik, uning yechimini Vyeta teoremasi yordamida osongina olish mumkin. Ildizlarning yig'indisi 7 ga, mahsuloti esa 12 ga teng. Oddiy qidiruv orqali biz 3,4 raqamlari tenglamaning ildizi bo'lishini aniqlaymiz. Biz hisob-kitoblarning boshida a=3 yechimini rad etganimiz sababli, yagona to'g'ri bo'ladi - a=4. Shunday qilib, a=4 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

Misol 2. Qaysi parametr qiymatlarida A , tenglama a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 bir nechta ildiz bormi?

Yechim: Keling, avval ko'rib chiqaylik yagona nuqtalar, ular a=0 va a=-3 qiymatlari bo'ladi. a=0 bo‘lganda, tenglama 6x-9=0 ko‘rinishga soddalashtiriladi; x = 3/2 va bitta ildiz bo'ladi. a= -3 uchun 0=0 identifikatsiyasini olamiz.
Diskriminantni hisoblaylik

a ning musbat bo‘lgan qiymatini toping

Birinchi shartdan biz a>3 ni olamiz. Ikkinchisi uchun biz tenglamaning diskriminantini va ildizlarini topamiz


Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni aniqlaymiz. a=0 nuqtani almashtirib, biz hosil bo'lamiz 3>0 . Demak, (-3;1/3) oraliqdan tashqari funktsiya manfiy. Nuqtani unutmang a=0, Buni chiqarib tashlash kerak, chunki asl tenglamada bitta ildiz bor.
Natijada muammoning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita intervalni olamiz

Amalda shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi, vazifalarni o'zingiz aniqlashga harakat qiling va bir-birini istisno qiladigan shartlarni hisobga olishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni echish uchun formulalarni yaxshi o'rganing, ular ko'pincha hisoblashda kerak bo'ladi; turli vazifalar va fanlar.

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganganingizdan so'ng, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topishni o'rganasiz.

Diskriminantdan foydalanib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish uchun faqat to'liq kvadrat tenglamalar echiladi, siz "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish" maqolasida topasiz.

Qanday kvadrat tenglamalar to'liq deyiladi? Bu ax 2 + b x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda a, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Demak, toʻliq kvadrat tenglamani yechish uchun D diskriminantini hisoblashimiz kerak.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantning qiymatiga qarab, biz javobni yozamiz.

Agar diskriminant bo'lsa manfiy raqam(D< 0),то корней нет.

Diskriminant nolga teng bo'lsa, x = (-b)/2a. Diskriminant musbat son bo'lsa (D > 0),

keyin x 1 = (-b - √D)/2a va x 2 = (-b + √D)/2a.

Masalan. Tenglamani yeching x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Javob: 2.

2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Javob: ildiz yo'q.

2-tenglamani yeching x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Javob: – 3,5; 1.

Shunday qilib, keling, 1-rasmdagi diagrammadan foydalanib, to'liq kvadrat tenglamalarning yechimini tasavvur qilaylik.

Ushbu formulalar yordamida siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani echishingiz mumkin. Siz shunchaki ehtiyot bo'lishingiz kerak tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozildi

A x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 = 0 tenglamasini yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin

a = 1, b = 3 va c = 2. Keyin

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 va keyin tenglamaning ikkita ildizi bor. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misol yechimiga qarang).

Shuning uchun, agar tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozilmagan bo'lsa, birinchi navbatda to'liq kvadrat tenglama standart shakldagi ko'phad sifatida yozilishi kerak (eng katta ko'rsatkichga ega monom birinchi bo'lishi kerak, ya'ni A x 2 , keyin kamroq bilan – bx va keyin bepul a'zo Bilan.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama va juft koeffitsientli kvadrat tenglamani ikkinchi hadda yechishda siz boshqa formulalardan foydalanishingiz mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishaylik. Agar to'liq kvadrat tenglamada ikkinchi hadning juft koeffitsienti (b = 2k) bo'lsa, unda siz 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishingiz mumkin.

Agar koeffitsient at bo'lsa, to'liq kvadrat tenglama qisqartirilgan deb ataladi x 2 birga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q = 0. Bunday tenglamani yechish uchun berish mumkin yoki tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish yo'li bilan olish mumkin. A, da turgan x 2 .

3-rasmda qisqartirilgan kvadratni yechish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Keling, ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqaylik.

Misol. Tenglamani yeching

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu tenglamani 1-rasmdagi diagrammada ko‘rsatilgan formulalar yordamida yechamiz.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3

Bu tenglamadagi x ning koeffitsienti juft son, ya'ni b = 6 yoki b = 2k, bundan k = 3 ekanligini ko'rishingiz mumkin. Keyin D rasmining diagrammasida ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishga harakat qilaylik. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linishini ko'rib, bo'linishni bajarib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadrat uchun formulalar yordamida yeching.
tenglamalar 3-rasm.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3.

Ko'rib turganingizdek, bu tenglamani turli formulalar yordamida yechishda biz bir xil javob oldik. Shuning uchun, 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni puxta o'zlashtirib, siz har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani yecha olasiz.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Birinchi daraja

Kvadrat tenglamalar. To'liq qo'llanma (2019)

"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadrat" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama majburiy ravishda o'zgaruvchining (o'sha x) kvadratini o'z ichiga olishi kerak va uchinchi (yoki katta) darajaga xes bo'lmasligi kerak.

Ko'p tenglamalarni yechish kvadrat tenglamalarni yechishga to'g'ri keladi.

Keling, bu boshqa tenglama emas, balki kvadrat tenglama ekanligini aniqlashni o'rganamiz.

1-misol.

Keling, maxrajdan qutulib, tenglamaning har bir hadini ga ko'paytiramiz

Keling, hamma narsani ko'chiraylik chap tomoni va hadlarni x ning darajalarining kamayish tartibida tartiblang

Endi biz buni ishonch bilan aytishimiz mumkin berilgan tenglama kvadrat!

2-misol.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Bu tenglama, garchi dastlab unda bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol.

Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:

Qo'rqinchlimi? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirsak, biz oddiy kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni ko'ramiz:

4-misol.

U borga o'xshaydi, lekin keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz:

Qarang, u qisqartirildi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik, qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

Misollar:

Javoblar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat emas;
4. kvadrat emas;
5. kvadrat emas;
6. kvadrat;
7. kvadrat emas;
8. kvadrat.

Matematiklar shartli ravishda barcha kvadrat tenglamalarni quyidagi turlarga ajratadilar:

• To‘liq kvadrat tenglamalar- koeffitsientlari va, shuningdek, c erkin termini nolga teng bo'lmagan tenglamalar (misoldagi kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida berilgan- bu koeffitsient bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki qisqartirilgan!)

• Tugallanmagan kvadrat tenglamalar- koeffitsienti va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglamalar:

  Ular to'liq emas, chunki ularda biron bir element etishmayapti. Lekin tenglama har doim x kvadratini o'z ichiga olishi kerak!!! Aks holda, u endi kvadrat tenglama emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.

Nega ular bunday bo'linish bilan kelishdi? X kvadrati borga o'xshaydi va yaxshi. Bu bo'linish yechim usullari bilan aniqlanadi. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishga e'tibor qarataylik - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning turlari mavjud:

1. , bu tenglamada koeffitsient teng.
2. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
3. , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

1. i. Chunki biz qazib olishni bilamiz Kvadrat ildiz, keyin bu tenglamadan ifodalaymiz

Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi, shuning uchun: agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.

Va agar bo'lsa, biz ikkita ildiz olamiz. Bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Asosiysi, siz bundan kam bo'lmasligini bilishingiz va doimo yodda tutishingiz kerak.

Keling, ba'zi misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani yeching

Endi chap va o'ng tomondan ildizni olish qoladi. Axir, ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgili ildizlar haqida hech qachon unutmang!!!

6-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

7-misol:

Tenglamani yeching

Oh! Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildiz yo'q!

Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi bilan kelishdi - (bo'sh to'plam). Va javobni quyidagicha yozish mumkin:

Javob:

Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarmadik.
8-misol:

Tenglamani yeching

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Shunday qilib,

Bu tenglamaning ikkita ildizi bor.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (ularning barchasi oddiy bo'lsa-da, to'g'rimi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Biz bu erda misollarsiz qilamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish

Sizga eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erdagi tenglamaning tenglamasidir

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish ularga qaraganda biroz qiyinroq (birozgina).

Eslab qoling, Har qanday kvadrat tenglamani diskriminant yordamida yechish mumkin! Hatto to'liq emas.

Boshqa usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'zlashtiring.

1. Kvadrat tenglamalarni diskriminant yordamida yechish.

Ushbu usul yordamida kvadrat tenglamalarni echish juda oddiy, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar, u holda tenglamaning ildizi bor. Maxsus e'tibor qadam tashla. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini bildiradi.

• Agar bo'lsa, unda qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama faqat ildizga ega bo'ladi.
• Agar, biz qadamda diskriminantning ildizini ajratib ololmaymiz. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani yeching

1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu tenglamaning ikkita ildizi borligini anglatadi.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Demak, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu biz diskriminantning ildizini ajratib ololmasligimizni anglatadi. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob: ildizlari yo'q

2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish.

Esingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglama turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:

Ildizlar yig'indisi berilgan kvadrat tenglama teng, ildizlarning hosilasi esa teng.

12-misol:

Tenglamani yeching

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki .

Tenglamaning ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot teng:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

14-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama berilgan, ya'ni:

Javob:

KVADRATIK TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda - noma'lum, - ba'zi sonlar va.

Raqam eng yuqori yoki deyiladi birinchi koeffitsient kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, A - bepul a'zo.

Nega? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lib qolsa, chunki yo'qoladi.

Bu holda va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu kafedrada tenglama to'liq emas deb ataladi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq bo'ladi.

Har xil turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqaylik - ular oddiyroq.

Quyidagi turdagi tenglamalarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

I., bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

II. , bu tenglamada koeffitsient teng.

III. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.

Keling, ushbu kichik turlarning har birining echimini ko'rib chiqaylik.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:

agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;

agar bizda ikkita ildiz bo'lsa

Bu formulalarni eslab qolish shart emas. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlar haqida hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildizlari yo'q.

Muammoning yechimi yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Javob:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:

Demak, bu kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va ildizlarini topamiz:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liqsiz.

Ildizlar formulasida diskriminantdan ildizni payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.

• Agar, tenglamaning ildizlari bo'lsa:
• Agar tenglama bir xil ildizlarga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.

• Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizlari yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun turli xil ildizlar soni mumkin? ga murojaat qilaylik geometrik ma'no kvadrat tenglama. Funktsiyaning grafigi parabola:

Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda, . Demak, kvadrat tenglamaning ildizlari abscissa o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtalardir. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola tepasi o'qda yotsa) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar bo'lsa, pastga yo'naltiriladi.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob: .

Javob:

Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Javob: .

2. Vyeta teoremasi

Vyeta teoremasidan foydalanish juda oson: ko‘paytmasi tenglamaning erkin hadiga teng bo‘lgan, yig‘indisi esa qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo‘lgan bir juft sonni tanlash kifoya.

Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki . Boshqa koeffitsientlar: ; .

Tenglama ildizlarining yig'indisi:

Va mahsulot teng:

Ko'paytmasi teng bo'lgan juft sonlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob: ; .

2-misol:

Yechim:

Keling, mahsulotda keladigan raqamlar juftligini tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

va: ular jami beradi.

va: ular jami beradi. Olish uchun taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirish kifoya: va, albatta, mahsulot.

Javob:

3-misol:

Yechim:

Tenglamaning erkin muddati manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti manfiy sondir. Bu faqat ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsa mumkin. Shuning uchun ildizlarning yig'indisi ga teng ularning modullaridagi farqlar.

Keling, mahsulotda beradigan va farqi teng bo'lgan bunday juft raqamlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli moduli kichikroq ildiz manfiy bo'lishi kerak: . Biz tekshiramiz:

Javob:

4-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Erkin atama manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bir ildizi salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lganda mumkin.

Keling, mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda manfiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

5-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun, bu ikkala ildizning ham minus belgisi borligini anglatadi.

Mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Qabul qiling, bu yomon diskriminantni sanash o'rniga, ildizlarni og'zaki ravishda topish juda qulay. Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.

Ammo ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun Vyeta teoremasi kerak. Undan foydalanishdan foyda olish uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolni hal qiling. Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi:

Mustaqil ish uchun vazifalar yechimlari:

1-topshiriq. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoremasiga ko'ra:

Odatdagidek, tanlovni parcha bilan boshlaymiz:

Miqdori tufayli mos emas;

: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob: ; .

Vazifa 2.

Va yana bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi teng bo'lishi kerak va mahsulot teng bo'lishi kerak.

Ammo bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).

Javob: ; .

Vazifa 3.

Hmm... Bu qayerda?

Barcha shartlarni bir qismga ko'chirishingiz kerak:

Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.

Yaxshi, to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vyeta teoremasi faqat berilgan tenglamalarda amal qiladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani berishingiz kerak. Agar siz etakchilik qila olmasangiz, bu fikrdan voz keching va boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglama berish etakchi koeffitsientni tenglashtirishni anglatadi:

Ajoyib. Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsulotga teng bo'ladi.

Bu erda armutni otish kabi oson tanlash mumkin: axir, bu asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob: ; .

Vazifa 4.

Bepul a'zo salbiy. Buning nimasi alohida? Va haqiqat shundaki, ildizlar turli belgilarga ega bo'ladi. Va endi, tanlov paytida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullaridagi farqni tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.

Demak, ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Vyeta teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.

Javob: ; .

Vazifa 5.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani keltiring:

Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus kattaroq ildizga ega bo'ladi.

Javob: ; .

Xulosa qilib beraman:

1. Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
2. Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki erkin terminning mos omillar jufti topilmasa, unda butun ildizlar yo'q va siz uni boshqa usulda (masalan, diskriminant orqali) echishingiz kerak.

3. To'liq kvadratni tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indining kvadrati yoki farq - u holda o'zgaruvchilar almashtirilgandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida taqdim etilishi mumkin.

Masalan:

1-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

2-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

IN umumiy ko'rinish transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki: .

Sizga hech narsani eslatmayaptimi? Bu kamsituvchi narsa! Aynan shu tarzda biz diskriminant formulasini oldik.

KVADRATIK TENGLAMALAR. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglama- bu ko'rinishdagi tenglama, bu erda - noma'lum, - kvadrat tenglama koeffitsientlari, - erkin muddat.

To‘liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni: .

Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:

• koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: ,
• agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
• agar va bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: .

1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Noma'lumni ifodalaymiz: ,

2) ifoda belgisini tekshiring:

• agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
• bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz: ,

2) Komillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega: .

2. Qayerda ko`rinishdagi to`liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

2.1. Diskriminant yordamida yechim

1) tenglamani ga kamaytiramiz standart ko'rinish: ,

2) Diskriminantni formuladan foydalanib hisoblaymiz: , bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u formula bilan topiladi:
• bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.

2.2. Vieta teoremasi yordamida yechim

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (bu erdagi shakl tenglamasi) teng, ildizlarning ko'paytmasi esa teng, ya'ni. , A.

2.3. To'liq kvadratni tanlash usuli bilan yechim

Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Inson qadim zamonlarda tenglamalardan foydalangan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Diskriminant yordamida har qanday kvadrat tenglamani echishga imkon beradi umumiy formula, bu shunday ko'rinadi:

Diskriminant formulasi polinom darajasiga bog'liq. Yuqoridagi formula kvadrat tenglamalarni yechish uchun mos keladi quyidagi tur:

Diskriminant bor quyidagi xususiyatlar bilishingiz kerak bo'lgan narsalar:

* Ko'phadning bir nechta ildizlari (teng ildizlar) bo'lganda "D" 0 ga teng;

* "D" ko'phadning ildizlariga nisbatan simmetrik ko'phad va shuning uchun uning koeffitsientlarida ko'phad hisoblanadi; bundan tashqari, bu ko'phadning koeffitsientlari ildizlar olingan kengaytmadan qat'i nazar, butun sonlardir.

Aytaylik, bizga quyidagi shakldagi kvadrat tenglama berildi:

1 tenglama

Formulaga ko'ra bizda:

\ dan boshlab tenglama 2 ta ildizga ega. Keling, ularni aniqlaymiz:

Diskriminant onlayn hal qiluvchi yordamida tenglamani qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, siz bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday hal qilishni bilib olishingiz mumkin va agar sizda biron bir savol bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizdan so'rashingiz mumkin http://vk.com/pocketteacher. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Ushbu maqolada biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishni ko'rib chiqamiz.

Lekin birinchi navbatda, qanday tenglamalar kvadratik deb atalishini takrorlaymiz. ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama, bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c koeffitsientlari esa ba'zi sonlar va a ≠ 0 deyiladi. kvadrat. Ko'rib turganimizdek, x 2 uchun koeffitsient nolga teng emas va shuning uchun x yoki erkin muddat uchun koeffitsientlar nolga teng bo'lishi mumkin, bu holda biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar uch xil boʻladi:

1) Agar b = 0, c ≠ 0 bo'lsa, ax 2 + c = 0;

2) Agar b ≠ 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 + bx = 0;

3) Agar b = 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 = 0.

• Keling, qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.

Tenglamani yechish uchun erkin c hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, olamiz

bolta 2 = ‒s. a ≠ 0 bo'lgani uchun biz tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'lamiz, keyin x 2 = ‒c/a.

Agar ‒s/a > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi

x = ±√(–c/a) .

Agar ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Keling, misollar bilan bunday tenglamalarni qanday yechish kerakligini tushunishga harakat qilaylik.

1-misol. 2x 2 ‒ 32 = 0 tenglamani yeching.

Javob: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2-misol. 2x 2 + 8 = 0 tenglamani yeching.

Javob: tenglamaning yechimlari yo'q.

• Keling, buni qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.

ax 2 + bx = 0 tenglamasini yechish uchun uni faktorlarga ajratamiz, ya'ni qavs ichidan x ni chiqaramiz, x(ax + b) = 0 ni olamiz. Ko'paytmalardan kamida bittasi teng bo'lsa, ko'paytma nolga teng bo'ladi. nolga. U holda yoki x = 0, yoki ax + b = 0. ax + b = 0 tenglamasini yechishda ax = - b ni olamiz, bundan x = - b/a. ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglama har doim ikkita ildizga ega x 1 = 0 va x 2 = ‒ b/a. Ushbu turdagi tenglamalarning yechimi diagrammada qanday ko'rinishini ko'ring.

Keling, bilimlarimizni aniq bir misol bilan mustahkamlaymiz.

3-misol. 3x 2 ‒ 12x = 0 tenglamani yeching.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 yoki 3x – 12 = 0

Javob: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Uchinchi turdagi tenglamalar ax 2 = 0 juda oddiy hal qilinadi.

Agar ax 2 = 0 bo'lsa, x 2 = 0. Tenglama ikkitaga ega teng ildizlar x 1 = 0, x 2 = 0.

Aniqlik uchun diagrammani ko'rib chiqaylik.

4-misolni yechishda ushbu turdagi tenglamalarni juda sodda yechish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik.

4-misol. 7x 2 = 0 tenglamani yeching.

Javob: x 1, 2 = 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning qaysi turini hal qilishimiz har doim ham darhol aniq emas. Quyidagi misolni ko'rib chiqing.

5-misol. Tenglamani yeching

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring umumiy maxraj, ya'ni 30 ga

Keling, uni qisqartiraylik

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Qavslarni ochamiz

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

Keling, shunga o'xshash narsalarni beraylik

99 ni tenglamaning chap tomonidan o'ngga, ishorani teskari tomonga o'zgartiramiz.

Javob: ildiz yo'q.

Biz toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini koʻrib chiqdik. Umid qilamanki, endi siz bunday vazifalarni bajarishda qiyinchiliklarga duch kelmaysiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning turini aniqlashda ehtiyot bo'ling, shunda muvaffaqiyatga erishasiz.

Agar sizda ushbu mavzu bo'yicha savollaringiz bo'lsa, mening darslarimga yoziling, paydo bo'lgan muammolarni birgalikda hal qilamiz.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.