Oddiy kasrlarni farqli maxrajlar bilan qanday ayirish mumkin. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirishni qanday o'rganish kerak

Numerator va bo'linadigan narsa maxrajdir.

Kasrni yozish uchun avval hisoblagichni yozing, so'ngra raqam ostiga gorizontal chiziq chizing va chiziq ostiga maxrajni yozing. Numerator va maxrajni ajratib turuvchi gorizontal chiziq kasr chizig'i deyiladi. Ba'zan u qiya "/" yoki "∕" sifatida tasvirlangan. Bunda hisob satrning chap tomoniga, maxraj esa o'ng tomoniga yoziladi. Shunday qilib, masalan, "uchdan ikki" kasr 2/3 sifatida yoziladi. Aniqlik uchun hisoblagich odatda satrning yuqori qismida, maxraj esa pastki qismida yoziladi, ya'ni 2/3 o'rniga siz quyidagilarni topishingiz mumkin: ⅔.

Kasrlar ko'paytmasini hisoblash uchun birinchi navbatda bittaning payini ko'paytiring kasrlar numerator uchun farq qiladi. Natijani yangining numeratoriga yozing kasrlar. Shundan so'ng, denominatorlarni ko'paytiring. Yangiga umumiy qiymatni kiriting kasrlar. Masalan, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchi navbatda birinchisining sonini ikkinchisining maxrajiga ko'paytirish kerak. Ikkinchi kasr (bo'luvchi) bilan ham xuddi shunday qiling. Yoki barcha harakatlarni bajarishdan oldin, birinchi navbatda, bo'linuvchini "aylantiring", agar siz uchun qulayroq bo'lsa: maxraj hisoblagich o'rnida paydo bo'lishi kerak. Keyin dividendning maxrajini bo'luvchining yangi maxrajiga ko'paytiring va sonlarni ko'paytiring. Masalan, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Manbalar:

• Asosiy kasr masalalari

Kasr sonlar bilan ifodalanishi mumkin turli shakllarda aniq qiymat miqdorlar. Butun sonlar bilan bir xil matematik operatsiyalarni kasrlar bilan bajarishingiz mumkin: ayirish, qo'shish, ko'paytirish va bo'lish. Qaror qabul qilishni o'rganish kasrlar, biz ularning ba'zi xususiyatlarini esga olishimiz kerak. Ular turiga bog'liq kasrlar, butun qismning, umumiy maxrajning mavjudligi. Ba'zi arifmetik amallar bajarilgandan so'ng natijaning kasr qismini kamaytirishni talab qiladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator

Ko'rsatmalar

Raqamlarga diqqat bilan qarang. Agar kasrlar orasida o'nli va tartibsizlar bo'lsa, ba'zida birinchi navbatda o'nli kasrlar bilan amallarni bajarish, keyin ularni tartibsiz shaklga o'tkazish qulayroqdir. Tarjima qila olasizmi kasrlar bu shaklda dastlab, sanoqdagi kasrdan keyin qiymat yoziladi va maxrajga 10 qo'yiladi. Agar kerak bo'lsa, yuqoridagi va pastdagi raqamlarni bitta bo'linuvchiga bo'lish orqali kasrni kamaytiring. Ajralib turadigan kasrlar butun qismi, uni maxrajga ko'paytirish va natijaga sonni qo'shish orqali noto'g'ri shaklga qo'ying. Bu qiymat yangi numeratorga aylanadi kasrlar. Dastlab noto'g'ri qismdan butun qismni tanlash uchun kasrlar, siz hisoblagichni maxrajga bo'lishingiz kerak. dan butun natijani yozing kasrlar. Va bo'linishning qolgan qismi yangi hisoblagich, maxrajga aylanadi kasrlar u o'zgarmaydi. Butun qismli kasrlar uchun avval butun son, keyin esa kasr qismlari uchun amallarni alohida bajarish mumkin. Masalan, 1 2/3 va 2 ¾ yig'indisini hisoblash mumkin:
- Kasrlarni noto'g'ri shaklga o'tkazish:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- atamalarning alohida butun va kasr qismlari yig'indisi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Ularni “:” ajratgich yordamida qayta yozing va oddiy bo‘linish bilan davom eting.

Yakuniy natijaga erishish uchun pay va maxrajni bitta butun songa bo'lish orqali hosil bo'lgan kasrni kamaytiring. Ushbu holatda. Bunday holda, chiziq ustida va ostida butun sonlar bo'lishi kerak.

Eslatma

Maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bilan arifmetikani bajarmang. Shunday raqam tanlangki, har bir kasrning pay va maxrajini unga ko'paytirsangiz, ikkala kasrning maxrajlari teng bo'ladi.

Foydali maslahat

Yozish paytida kasr sonlar Dividend satrning tepasida yoziladi. Bu miqdor kasrning numeratori sifatida belgilanadi. Kasrning bo'luvchisi yoki maxraji chiziq ostida yoziladi. Masalan, bir yarim kilogramm guruch kasr sifatida quyidagicha yoziladi: 1 ½ kg guruch. Agar kasrning maxraji 10 bo'lsa, kasr kasr deyiladi. Bunda numerator (dividend) butun qismning o'ng tomoniga vergul bilan ajratilgan holda yoziladi: 1,5 kg guruch. Hisoblash qulayligi uchun bunday kasr har doim noto'g'ri shaklda yozilishi mumkin: 1 2/10 kg kartoshka. Soddalashtirish uchun siz hisoblagich va maxraj qiymatlarini bitta butun songa bo'lish orqali kamaytirishingiz mumkin. Ushbu misolda siz 2 ga bo'lishingiz mumkin. Natijada 1 1/5 kg kartoshka bo'ladi. Arifmetikani bajarmoqchi bo'lgan raqamlar bir xil shaklda berilganligiga ishonch hosil qiling.

Ushbu darsda qo'shish va ayirish haqida gap boradi. algebraik kasrlar Bilan turli xil maxrajlar. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish eng muhim va qiyin mavzular 8-sinf kursida. Bundan tashqari, bu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida paydo bo'ladi. Darsning bir qismi sifatida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek tahlil qilamiz. butun chiziq tipik misollar.

Keling, ko'rib chiqaylik eng oddiy misol Uchun oddiy kasrlar.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Kasrlarni qo'shish qoidasini eslaylik. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy maxraj eng kichik umumiy karra Asl maxrajlarning (LCM).

Ta'rif

Eng kam natural son, bu bir vaqtning o'zida va raqamlariga bo'linadi.

LCM ni topish uchun maxrajlarni qismlarga ajratish kerak asosiy omillar, va keyin ikkala maxrajning kengayishida paydo bo'ladigan barcha asosiy omillarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy maxrajni topgandan so'ng, kasrlarning har biri qo'shimcha koeffitsientni topishi kerak (aslida bo'linish). umumiy maxraj mos keladigan kasrning maxrajiga).

Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.

Biz olamiz: .

Javob:.

Keling, har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshash. Bu kasrlarning umumiy maxrajini topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.

.

Javob:.

Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:

1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.

2. Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).

3. Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiring.

4. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.

Keling, maxraji harfli ifodalarni o'z ichiga olgan kasrlarga misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Ikkala maxrajdagi harf ifodalari bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, ushbu misolning yechimi quyidagicha ko'rinadi:.

Javob:.

4-misol. Kasrlarni ayirish: .

Yechim:

Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga qo'sha olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda umumiy maxraj sifatida ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini olishingiz kerak.

Javob:.

Umuman olganda, bunday misollarni echishda, eng ko'p qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdan iborat.

Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Umumiy maxrajni topishda, avvalo, asl kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).

Bu alohida holatda:

Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: .

Biz qo'shimcha omillarni aniqlaymiz va ushbu misolni hal qilamiz:

Javob:.

Endi maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rnatamiz.

6-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Javob:.

7-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

.

Javob:.

Keling, ikkita emas, balki uchta kasr qo'shilgan misolni ko'rib chiqaylik (axir, qo'shish va ayirish qoidalari Ko'proq kasrlar bir xil bo'lib qoladi).

8-misol. Soddalashtiring: .

Bu dars o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirishni o'z ichiga oladi. Biz o'xshash maxrajli oddiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. O'xshash maxrajli kasrlar bilan ishlashni o'rganish algebraik kasrlar bilan ishlashni o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish murakkabroq mavzuni - har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirishni osonlashtiradi. Darsning bir qismi sifatida biz o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek, bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih kasrlari birdan-sizdan -mi. nou-na-te-la-mi (bu oddiy zarbalar uchun o'xshash qoidaga to'g'ri keladi): Ya'ni al-geb-ra-i-che-skih kasrlarini bir-biringizga-siz bilasiz- bilan qo'shish yoki hisoblash uchun. me-on-the-la-mi zarur -ho-di-mo-kompilyatsiya tegishli al-geb-ra-i-che-summasini raqamlar, va belgisi-me-na-tel hech qanday holda tark.

Biz bu qoidani oddiy ven-draws misolida ham, al-geb-ra-i-che-hit misolida ham tushunamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Keling, kasrlar sonini qo'shamiz va belgini bir xil qoldiramiz. Shundan so'ng, biz raqamni ajratamiz va oddiy ko'plik va kombinatsiyalarga kiramiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: quyidagi mumkin bo'lgan yechimda -klu-cha-et-sya uchun o'xshash turdagi misollarni echishda ruxsat etilgan standart xato: . Bu qo'pol xato, chunki belgi asl kasrlarda bo'lgani kabi qoladi.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Bu avvalgisidan hech qanday farq qilmaydi: .

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Oddiy dro-beatsdan biz al-geb-ra-i-che-skimga o'tamiz.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-i-che-kasrlarning tarkibi odatdagi otishma janglari kabi so'zdan farq qilmaydi. Shuning uchun yechim usuli bir xil: .

4-misol. Siz kasrsiz: .

Yechim

Siz-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih kasrlarni qo'shishdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida foydalanilgan kasrlar sonidagi farq bilan. Shunung uchun .

5-misol. Siz kasrsiz: .

Yechim: .

Misol 6. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qisqartirilgan qoidani qo'llash misollari

Qo'shma yoki hisoblash natijasida bir xil ma'noga ega bo'lgan kasrda birikmalar nia mumkin. Bundan tashqari, siz al-geb-ra-i-che-skih fraktsiyalarining ODZ haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qayerda. Umuman olganda, agar boshlang'ich kasrlarning ODZ jami ODZga to'g'ri kelsa, uni o'tkazib yuborish mumkin (axir, javobda kasr tegishli muhim o'zgarishlar bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ishlatilgan kasrlarning ODZ va javob mos kelmasa, ODZni ko'rsatish kerak.

Misol 8. Soddalashtiring: .

Yechim: . Shu bilan birga, y (boshlang'ich kasrlarning ODZi natijaning ODZiga to'g'ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish

Har xil nou-me-on-the-la-mi bo'lgan al-geb-ra-i-che-kasrlarni qo'shish va o'qish uchun oddiy-ven-ny kasrlar bilan ana-lo -giyu qilamiz va uni al-gebga o'tkazamiz. -ra-i-che-kasrlar.

Keling, oddiy kasrlar uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Keling, kasrlarni qo'shish qoidalarini eslaylik. Boshlash uchun kasrni umumiy belgiga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy belgi rolida siz harakat qilasiz eng kichik umumiy karra(NOK) dastlabki belgilar.

Ta'rif

Bir vaqtning o'zida raqamlarga bo'lingan eng kichik raqam va.

MOQni topish uchun siz bilimlarni oddiy to'plamlarga bo'lishingiz kerak, so'ngra ikkala belgining bo'linishiga kiritilgan juda ko'p narsalarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy bilimlarni topgandan so'ng, kasrlarning har biri to'liq ko'plik rezidentini topishi kerak (aslida, tegishli kasr belgisiga umumiy belgini quyish kerak).

Keyin har bir kasr yarim to'liq omilga ko'paytiriladi. Keling, o'zingiz bilgan bir xil kasrlarni olamiz, ularni qo'shing va ularni o'qing - oldingi darslarda o'rganilgan.

Keling ovqatlanamiz: .

Javob:.

Keling, al-geb-ra-i-che-kasrlarning turli xil belgilari bilan tarkibini ko'rib chiqaylik. Keling, kasrlarni ko'rib chiqaylik va raqamlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Qarorning Al-go-ritmi ab-so-lyut-lekin oldingi misolga ana-lo-gi-chen. Berilgan kasrlarning umumiy belgisini olish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha ko'paytirgichlar.

.

Javob:.

Shunday qilib, shakllanamiz al-go-ritmi turli ishorali al-geb-ra-i-che-skih kasrlarni qo‘shish va hisoblash.:

1. Kasrning eng kichik umumiy belgisini toping.

2. Har bir kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping (haqiqatan ham, belgining umumiy belgisi --chi kasr berilgan).

3. Tegishli to'liq ko'paytmalar bo'yicha ko'p sonlar.

4. Kichik o'ng qo'shimchalar yordamida kasrlarni qo'shing yoki hisoblang va bir xil bilimga ega bo'lgan kasrlarni hisoblang -me-na-te-la-mi.

Endi kasrlar bilan bir misolni ko'rib chiqamiz, uning belgisida siz -nia harflari mavjud.

Kasrli iboralarni bola tushunishi qiyin. Aksariyat odamlar qiyinchiliklarga duch kelishadi. "Bütün sonlar bilan kasrlarni qo'shish" mavzusini o'rganayotganda, bola muammoni hal qilishda qiyinchilik tug'dirib, bema'nilikka tushadi. Ko'pgina misollarda, harakatni bajarishdan oldin, bir qator hisob-kitoblarni bajarish kerak. Masalan, kasrlarni o'zgartiring yoki noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantiring.

Keling, buni bolaga aniq tushuntirib beraylik. Keling, uchta olma olamiz, ulardan ikkitasi butun bo'ladi va uchinchisini 4 qismga ajratamiz. Kesilgan olmadan bir bo'lakni ajratib oling va qolgan uchtasini ikkita butun meva yoniga qo'ying. Biz olmaning bir tomonida ¼ qismini, ikkinchisida esa 2 ¾ qismini olamiz. Agar biz ularni birlashtirsak, biz uchta olma olamiz. Keling, 2 ¾ olmani ¼ ga kamaytirishga harakat qilaylik, ya'ni yana bir bo'lakni olib tashlang, biz 2 2/4 olma olamiz.

Keling, butun sonlarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan operatsiyalarni batafsil ko'rib chiqaylik:

Birinchidan, umumiy maxrajli kasrli iboralar uchun hisoblash qoidasini eslaylik:

Bir qarashda hamma narsa oson va sodda. Lekin bu faqat konvertatsiya qilishni talab qilmaydigan iboralar uchun amal qiladi.

Maxrajlari har xil bo'lgan ifodaning qiymatini qanday topish mumkin

Ba'zi topshiriqlarda siz maxrajlar har xil bo'lgan iboraning ma'nosini topishingiz kerak. Keling, aniq bir holatni ko'rib chiqaylik:
3 2/7+6 1/3

Ikki kasr uchun umumiy maxraj topib, bu ifodaning qiymatini topamiz.

7 va 3 raqamlari uchun bu 21. Biz butun son qismlarini bir xil qoldiramiz va kasr qismlarini 21 ga keltiramiz, buning uchun birinchi kasrni 3 ga, ikkinchisini 7 ga ko'paytiramiz, biz olamiz:
6/21+7/21, butun qismlarni aylantirib bo'lmasligini unutmang. Natijada, biz bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrni olamiz va ularning yig'indisini hisoblaymiz:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Agar qo'shish natijasi allaqachon butun qismga ega bo'lgan noto'g'ri kasr bo'lsa nima bo'ladi?
2 1/3+3 2/3
Bunday holda, biz butun son va kasr qismlarni qo'shamiz, biz quyidagilarni olamiz:
5 3/3, bilganingizdek, 3/3 bir, ya'ni 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Yig'indini topish aniq, keling ayirishni ko'rib chiqaylik:

Aytilganlarning barchasidan, harakat qoidasi tugadi aralash raqamlar, bu shunday eshitiladi:

• Agar kasr ifodasidan butun sonni ayirish kerak bo'lsa, ikkinchi sonni kasr sifatida ko'rsatish shart emas, amalni faqat butun son qismlarida bajarish kifoya.

Keling, iboralarning ma'nosini o'zimiz hisoblashga harakat qilaylik:

Keling, buni tartibga solaylik ko'proq misol"m" harfi ostida:

4 5/11-2 8/11, birinchi kasrning soni ikkinchisidan kichik. Buning uchun biz birinchi kasrdan bitta butun sonni olamiz, biz olamiz,
3 5/11+11/11=3 butun 16/11, birinchi kasrdan ikkinchisini ayiring:
3 16/11-2 8/11=1 butun 8/11

• Vazifani bajarishda ehtiyot bo'ling, noto'g'ri kasrlarni aralash kasrlarga aylantirishni unutmang, butun qismni ta'kidlang. Buni amalga oshirish uchun siz hisoblagichning qiymatini maxraj qiymatiga bo'lishingiz kerak, sodir bo'lgan narsa butun qismning o'rnini egallaydi, qolgan qismi hisoblagich bo'ladi, masalan:

19/4=4 ¾, tekshiramiz: 4*4+3=19, maxraj 4 o'zgarishsiz qoladi.

Xulosa qiling:

Kasrlar bilan bog'liq vazifani bajarishni boshlashdan oldin, uning qanday ifoda ekanligini, yechim to'g'ri bo'lishi uchun kasrda qanday o'zgarishlarni amalga oshirish kerakligini tahlil qilishingiz kerak. Ko'proq qidiring oqilona yo'l yechimlar. Qiyin yo'ldan bormang. Barcha harakatlarni rejalashtiring, ularni birinchi navbatda qoralama shaklida hal qiling, keyin ularni maktab daftaringizga o'tkazing.

Kasrli iboralarni echishda chalkashmaslik uchun siz izchillik qoidasiga amal qilishingiz kerak. Hamma narsani ehtiyotkorlik bilan, shoshilmasdan hal qiling.

Bittasi eng muhim fanlar, qo'llanilishi kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda ko'rish mumkin, bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish sizga ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish va diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. Matematika kursida alohida e'tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo'shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qanday ayirish mumkin

Kasrlar - bu turli xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin bo'lgan bir xil raqamlar. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda ularning ayrim xususiyatlari va qoidalarini o'rganish kerak. Eng oddiy holat - maxrajlari bir xil son sifatida ifodalangan oddiy kasrlarni ayirish. Agar siz oddiy qoidani bilsangiz, ushbu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:

• Bir kasrdan soniyani ayirish uchun kamaytirilayotgan kasr sonidan ayirilgan kasrning payini ayirish kerak. Bu raqamni ayirma soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k/m - b/m = (k-b)/m.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni ayirish misollari

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" kasrning hisoblagichidan biz ayirilishi kerak bo'lgan "3" kasrning sonini ayirib, "4" ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - "19".

Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga o'xshash misollar ko'rsatilgan.

Keling, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni ayirish uchun murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” kasr sonidan keyingi barcha kasrlarning soni - “3”, “8”, “2”, “7” navbat bilan ayirish yo'li bilan kamaytiriladi. Natijada, biz javobning numeratoriga yozgan "9" natijasini olamiz va maxrajda biz barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni yozamiz - "47".

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsipga amal qiladi.

• Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish kerak. Olingan son yig'indining numeratoridir va maxraj bir xil bo'lib qoladi: k/m + b/m = (k + b)/m.

Keling, misol yordamida bu qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kasrning birinchi hadining hisoblagichiga - "1" - kasrning ikkinchi hadining hisoblagichi - "2" qo'shing. Natija - "3" - yig'indining numeratoriga yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgani kabi qoladi - "4".

Turli xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish

Biz allaqachon bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani ko'rib chiqdik. Ko'rib turganimizdek, bilish oddiy qoidalar, bunday misollarni yechish juda oson. Ammo har xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan sarosimaga tushishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu erda ham qoida bor, ularsiz bunday kasrlarni echish mumkin emas.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga kamaytirish kerak.



Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.

Kasrning xossasi

Bir necha kasrni bir xil maxrajga keltirish uchun eritmada kasrning asosiy xususiyatidan foydalanish kerak: pay va maxrajni bo'lish yoki ko'paytirishdan keyin. bir xil raqam berilganga teng kasr olasiz.

Shunday qilib, masalan, 2/3 kasrda "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlar bo'lishi mumkin, ya'ni u "3" ga karrali har qanday son shakliga ega bo'lishi mumkin. Numerator va maxrajni "2" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 4/6 kasrni olamiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash amalni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Qanday qilib bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga aylantirish mumkin

Keling, bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqaylik. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni olaylik. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Ishni osonlashtirish uchun keling, mavjud maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.

1/2 kasrning maxraji va 2/3 kasrni koeffitsientlarga ajratish mumkin emas. 7/9 maxraji ikkita omilga ega 7/9 = 7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6 = 5/(2 x 3). Endi biz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashimiz kerak. Birinchi kasr maxrajda “2” raqamiga ega bo‘lgani uchun u barcha maxrajlarda bo‘lishi kerak, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya’ni ularning har ikkalasi ham maxrajda bo‘lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olib, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3 = 18 ga teng.



Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik - 1/2. Uning maxrajida "2" bor, lekin bitta "3" raqami yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uchga ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uch barobarga ko'paytirishimiz kerak:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Qolgan kasrlar bilan bir xil operatsiyalarni bajaramiz.

• 2/3 - maxrajda bitta uch va bitta ikkitasi yo'q:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 yoki 7/(3 x 3) - maxrajda ikkitasi etishmayapti:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchtasi etishmayapti:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hammasi birgalikda quyidagicha ko'rinadi:



Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qanday ayirish va qo'shish

Yuqorida aytib o'tilganidek, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak, keyin esa bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirish qoidalaridan foydalanish kerak, ular allaqachon muhokama qilingan.

Keling, buni misol sifatida ko'rib chiqaylik: 4/18 - 3/15.

18 va 15 sonlarning karralisini toping:

• 18 raqami 3 x 2 x 3 dan iborat.
• 15 raqami 5 x 3 dan iborat.
• Umumiy ko'paytma quyidagi omillar bo'ladi: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Maxraj topilgandan so'ng, har bir kasr uchun har xil bo'ladigan koeffitsientni hisoblash kerak, ya'ni faqat maxrajni emas, balki sonni ham ko'paytirish kerak bo'lgan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) qo'shimcha omillarni aniqlash kerak bo'lgan kasrning maxrajiga bo'ling.

• 90 15 ga bo'linadi. Natijada "6" soni 3/15 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.
• 90 18 ga bo'linadi. Natijada "5" soni 4/18 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Bizning yechimimizning keyingi bosqichi har bir kasrni "90" maxrajiga kamaytirishdir.

Bu qanday amalga oshirilganligi haqida biz allaqachon gaplashdik. Keling, bu misolda qanday yozilganligini ko'rib chiqaylik:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Agar kasrlar kichik raqamlarga ega bo'lsa, quyidagi rasmda ko'rsatilgan misolda bo'lgani kabi, umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.



Xuddi shu narsa turli xil denominatorlarga ega bo'lganlar uchun ham amal qiladi.

Ayirish va butun qismlarga ega bo'lish

Biz allaqachon kasrlarni ayirish va ularni qo'shishni batafsil ko'rib chiqdik. Ammo kasrda butun son bo'lsa, qanday ayirish mumkin? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:

• Butun qismga ega bo'lgan barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring. Gapirmoqda oddiy so'zlar bilan, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning sonini kasrning maxrajiga ko'paytiring va hosil bo'lgan ko'paytmani hisoblagichga qo'shing. Ushbu harakatlardan keyin chiqadigan raqam hisoblagichdir noto'g'ri kasr. Maxraj o'zgarishsiz qoladi.
• Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak.
• Xuddi shu maxrajlar bilan qo'shish yoki ayirish amallarini bajaring.
• Noto'g'ri kasrni olganingizda, butun qismni tanlang.



Butun qismlarga ega kasrlarni qo'shish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun qismlar bilan alohida, kasrlar bilan esa alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.



Keltirilgan misol bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ular bir xil qiymatga keltirilishi kerak, so'ngra misolda ko'rsatilganidek, amallarni bajarish kerak.

Butun sonlardan kasrlarni ayirish

Kasrlar bilan ishlashning yana bir turi - bu kasrni ayirish kerak bo'lgan holat, birinchi qarashda bunday misolni yechish qiyin. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Buni hal qilish uchun siz butun sonni kasrga va ayirilgan kasrdagi bir xil maxrajga aylantirishingiz kerak. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Bir misolda u shunday ko'rinadi:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ushbu maqolada berilgan kasrlarni ayirish (6-sinf) ko'proq yechish uchun asosdir murakkab misollar, ular keyingi darslarda muhokama qilinadi. Bu mavzu bo'yicha bilimlar keyinchalik funksiyalar, hosilalar va hokazolarni yechish uchun ishlatiladi. Shuning uchun yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan operatsiyalarni tushunish va tushunish juda muhimdir.