Turli xil maxrajli butun kasrlarni qanday ayirish mumkin. Oddiy kasrlarni ayirish: qoidalar, misollar, yechimlar

Ushbu darsda qo'shish va ayirish haqida gap boradi. algebraik kasrlar bir xil maxrajlar bilan. Biz o'xshash maxrajli oddiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. O'xshash maxrajli kasrlar bilan ishlashni o'rganish algebraik kasrlar bilan ishlashni o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish yanada murakkab mavzuni - kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirishni osonlashtiradi. turli denominatorlar. Darsning bir qismi sifatida biz o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek tahlil qilamiz. butun chiziq tipik misollar

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih kasrlari birdan-sizdan -mi. know-me-na-te-la-mi (bu oddiy zarbalar uchun o'xshash qoidaga to'g'ri keladi): Bu al-geb-ra-i-che-skih kasrlarini bir-siz bilan qo'shish yoki hisoblash uchun. know-me-on-te-la-mi zarur -ho-di-mo raqamlarning tegishli al-geb-ra-i-che-sumini tuzish va belgisi-me-na-tel hech qanday holda tark.

Biz bu qoidani oddiy ven-draws misolida ham, al-geb-ra-i-che-hit misolida ham tushunamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Keling, kasr sonini qo'shamiz va belgini bir xil qo'yamiz. Shundan so'ng, biz raqamni ajratamiz va oddiy ko'plik va kombinatsiyalarga kiramiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: o'xshash turdagi misollarni echishda ruxsat etilgan standart xato, - uchun quyidagi mumkin bo'lgan yechimga kiritilgan: . Bu qo'pol xato, chunki belgi asl kasrlarda bo'lgani kabi qoladi.

Misol 2. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim

Bu avvalgisidan hech qanday farq qilmaydi: .

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Oddiy dro-beatsdan biz al-geb-ra-i-che-skimga o'tamiz.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-i-che-kasrlarning tarkibi odatdagi otishma janglari kabi so'zdan farq qilmaydi. Shuning uchun hal qilish usuli bir xil: .

4-misol. Siz kasrsiz: .

Yechim

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih kasrlar dan-qo'shishdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida ishlatilgan kasrlar sonidagi farq bilan. Shunung uchun .

Misol 5. Siz kasrsiz: .

Yechim: .

Misol 6. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qisqartirilgan qoidani qo'llash misollari

Kombinatsiyalash yoki hisoblash natijasida bir xil ma'noga ega bo'lgan kasrda nia mumkin. Bundan tashqari, siz al-geb-ra-i-che-skih fraktsiyalarining ODZ haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring: .

Yechim: .

Qayerda. Umuman olganda, agar boshlang'ich kasrlarning ODZ jami ODZga to'g'ri kelsa, uni o'tkazib yuborish mumkin (axir, javobda kasr tegishli muhim o'zgarishlar bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ishlatilgan kasrlarning ODZ va javob mos kelmasa, ODZni ko'rsatish kerak.

Misol 8. Soddalashtiring: .

Yechim: . Shu bilan birga, y (boshlang'ich kasrlarning ODZi natijaning ODZiga to'g'ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish

Har xil nou-me-on-the-la-mi bo'lgan al-geb-ra-i-che-kasrlarni qo'shish va o'qish uchun oddiy-ven-ny kasrlar bilan ana-lo -giyu qilamiz va uni al-gebga o'tkazamiz. -ra-i-che-kasrlar.

Keling, oddiy kasrlar uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Keling, kasrlarni qo'shish qoidalarini eslaylik. Kasr bilan boshlash uchun uni umumiy belgiga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy belgi rolida siz harakat qilasiz eng kichik umumiy karra(NOK) dastlabki belgilar.

Ta'rif

Bir vaqtning o'zida raqamlarga bo'lingan eng kichik raqam va.

MOQni topish uchun siz bilimlarni oddiy to'plamlarga bo'lishingiz kerak, so'ngra ikkala belgining bo'linishiga kiritilgan juda ko'p narsalarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy bilimlarni topgandan so'ng, kasrlarning har biri to'liq ko'plik rezidentini topishi kerak (aslida, mos keladigan kasr belgisiga umumiy belgi qo'yish).

Keyin har bir kasr yarim to'liq omilga ko'paytiriladi. Keling, o'zingiz bilgan kasrlardan bir nechta kasrlarni olamiz, ularni qo'shing va ularni o'qing - oldingi darslarda o'rganilgan.

Keling ovqatlanamiz: .

Javob:.

Keling, al-geb-ra-i-che-kasrlarning turli xil belgilari bilan tarkibini ko'rib chiqamiz. Keling, kasrlarni ko'rib chiqaylik va raqamlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Qarorning Al-go-ritmi ab-so-lyut-lekin oldingi misolga ana-lo-gi-chen. Berilgan kasrlarning umumiy belgisini olish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha ko'paytirgichlar.

.

Javob:.

Shunday qilib, shakllanamiz kompozitsiyaning al-go-ritmi va turli belgilarga ega al-geb-ra-i-che-kasrlarni hisoblash.:

1. Kasrning eng kichik umumiy belgisini toping.

2. Har bir kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping (haqiqatan ham, belgining umumiy belgisi --chi kasr berilgan).

3. Tegishli to'liq ko'paytmalar bo'yicha ko'p sonlar.

4. Kichik o'ng qo'shimchalar yordamida kasrlarni qo'shing yoki hisoblang va bir xil bilimga ega bo'lgan kasrlarni hisoblang -me-na-te-la-mi.

Endi kasrlar bilan bir misolni ko'rib chiqamiz, uning belgisida siz -nia harflari mavjud.

Bizga matematikadan ma'lumki, kasr son sanoqchi va maxrajdan iborat. Numerator tepada, maxraj esa pastda.

Bir xil maxrajli kasr miqdorlarni qo'shish yoki ayirish bo'yicha matematik amallarni bajarish juda oddiy. Siz faqat hisoblagichdagi raqamlarni qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak (yuqorida) va bir xil pastki raqam o'zgarishsiz qoladi.

Masalan, 7/9 kasr sonini olaylik, bu erda:

• tepadagi "etti" raqami - bu raqam;
• pastdagi "to'qqiz" soni maxrajdir.

1-misol. Qo'shimcha:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

2-misol. Ayirish:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Turli xil denominatorlarga ega bo'lgan oddiy kasr qiymatlarini ayirish

Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan miqdorlarni ayirishning matematik amalini bajarish uchun avval ularni bitta maxrajga kamaytirish kerak. Ushbu vazifani bajarayotganda, siz ushbu qoidaga rioya qilishingiz kerak umumiy maxraj eng kichik bo'lishi kerak mumkin bo'lgan variantlar.

3-misol

Turli xil maxrajli (pastki raqamlar) ikkita oddiy miqdor berilgan: 7/8 va 2/9.

Birinchi qiymatdan ikkinchisini olib tashlash kerak.

Yechim bir necha bosqichlardan iborat:

1. Umumiy kichik sonni toping, ya'ni. birinchi kasrning pastki qiymatiga ham, ikkinchisiga ham bo'linadigan narsa. Bu 72 raqami bo'ladi, chunki u sakkiz va to'qqiz raqamlarining ko'paytmasidir.

2. Har bir kasrning pastki raqami ortdi:

• 7/8 kasrdagi “sakkiz” soni to‘qqiz barobar oshdi - 8*9=72;
• 2/9 kasrdagi "to'qqiz" soni sakkiz baravar ko'paydi - 9*8=72.

3. Agar maxraj (pastki raqam) o'zgargan bo'lsa, u holda hisoblagich (yuqori raqam) ham o'zgarishi kerak. Mavjud matematik qoidaga ko'ra, yuqori raqam pastki raqam bilan bir xil miqdorda oshirilishi kerak. Ya'ni:

• birinchi kasrdagi (7/8) "etti" soni "to'qqiz" soniga ko'paytiriladi - 7*9=63;
• Ikkinchi kasrdagi (2/9) "ikki" sonini "sakkiz" soniga ko'paytiramiz - 2*8=16.

4. Bizning harakatlarimiz natijasida biz ikkita yangi miqdorga ega bo'ldik, ammo ular asl miqdori bilan bir xil.

• birinchi: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• ikkinchisi: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Endi bir kasr sonni boshqasidan ayirish mumkin:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Ushbu harakatni bajarib, biz bir xil pastki raqamlari (maxrajlari) bilan kasrlarni ayirish mavzusiga qaytamiz. Bu shuni anglatadiki, ayirish harakati yuqorida, hisoblagichda amalga oshiriladi va pastki raqam o'zgarishsiz o'tkaziladi.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

4-misol

Yechish uchun pastki qismida turli, lekin bir nechta sonli bir nechta kasrlarni olib, masalani murakkablashtiramiz.

Berilgan qiymatlar: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Ularni bir-biridan bu ketma-ketlikda olib tashlash kerak.

1. Yuqoridagi usul yordamida kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bu “24” raqami bo‘ladi:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - biz bu oxirgi qiymatni o'zgarishsiz qoldiramiz, chunki denominator umumiy soni"24".

2. Barcha miqdorlarni ayiramiz:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Hosil bo‘lgan kasrning payi va maxraji bir songa bo‘linadigan bo‘lgani uchun ularni “uch” soniga bo‘lish yo‘li bilan kamaytirish mumkin:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Javobni quyidagicha yozamiz:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

5-misol

Ko'p bo'lmagan maxrajli uchta kasr berilgan: 3/4; 2/7; 1/13.

Siz farqni topishingiz kerak.

1. Biz birinchi ikkita raqamni umumiy maxrajga keltiramiz, bu "28" raqami bo'ladi:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Birinchi ikkita kasrni bir-biridan ayiring:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Olingan qiymatdan uchinchi berilgan kasrni ayiring:

4. Biz raqamlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Agar bir xil maxrajni ko'proq tanlash imkoni bo'lmasa oson yo'l, keyin siz faqat barcha maxrajlarni ketma-ketlikda bir-biriga ko'paytirish orqali harakatlarni bajarishingiz kerak, hisoblagichning qiymatini bir xil raqamga oshirishni unutmang. Ushbu misolda biz buni qilamiz:

• 13/28 = 13 * 13 / 28 * 13 = 169/364, bu erda 13 - 5/13 ning pastki raqami;
• 5/13 = 5 * 28 / 13 * 28 = 140/364, bu erda 28 - 13/28 dan pastki raqam.

5. Olingan kasrlarni ayirish:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Javob: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Aralash fraktsiyalar

Yuqorida muhokama qilingan misollarda faqat to'g'ri kasrlar ishlatilgan.

Misol tariqasida:

• 8/9 - to'g'ri kasr;
• 9/8 noto'g'ri.

Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantirish mumkin emas, lekin uni aylantirish mumkin aralashgan. Qolgan sonni olish uchun nima uchun yuqori raqamni (numerator) pastki (maxraj) ga bo'lasiz? Bo'lish natijasida hosil bo'lgan butun son shunday yoziladi, qolgan qismi yuqoridagi hisoblagichga yoziladi va pastki qismdagi maxraj o'zgarmaydi. Buni aniqroq qilish uchun ko'rib chiqaylik aniq misol:

6-misol

Noto'g'ri kasr 9/8ni to'g'ri kasrga aylantiring.

Buning uchun "to'qqiz" sonini "sakkiz" ga bo'ling, natijada butun son va qoldiq bilan aralash kasr hosil bo'ladi:

9: 8 = 1 va 1/8 (bu 1+1/8 sifatida boshqacha yozilishi mumkin), bu erda:

• 1 raqami - bo'linish natijasida hosil bo'lgan butun son;
• boshqa raqam 1 - qolgan;
• 8 soni maxraj bo'lib, o'zgarishsiz qoladi.

Butun son natural son deb ham ataladi.

Qolgan va maxraj yangi, lekin to'g'ri kasrdir.

1 raqamini yozishda u 1/8 to'g'ri kasrdan oldin yoziladi.

Turli xil maxrajli aralash sonlarni ayirish

Yuqoridagilardan biz aralash kasr sonning ta'rifini beramiz: "Aralash raqam - bu butun son va to'g'ri oddiy kasr yig'indisiga teng bo'lgan miqdor. Bunday holda, butun qism chaqiriladi natural son, qolgan raqam esa uniki kasr qismi».

7-misol

Berilgan: butun son va to'g'ri kasrdan iborat ikkita aralash kasr miqdori:

• birinchi qiymat 9 va 4/7, ya'ni (9+4/7);
• ikkinchi qiymat 3 va 5/21, ya'ni (3+5/21).

Bu miqdorlar orasidagi farqni topish talab qilinadi.

1. 9+4/7 dan 3+5/21ni ayirish uchun avval bir-biridan butun sonlarni ayirish kerak:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Ikki aralash son orasidagi ayirma natijasi 6 natural (butun) son va 7/21 = 1/3 to‘g‘ri kasrdan iborat bo‘ladi:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Barcha mamlakatlarning matematiklari aralash miqdorlarni yozishda "+" belgisini qo'ymaslik va kasr oldidan faqat butun sonni hech qanday belgisiz qoldirish mumkinligi haqida kelishib oldilar.

Bittasi eng muhim fanlar, qo'llanilishi kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda ko'rish mumkin, bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish sizga ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish va diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. Matematika kursida alohida e'tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo'shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qanday ayirish mumkin

Kasrlar - bu turli xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin bo'lgan bir xil raqamlar. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda ularning ayrim xususiyatlari va qoidalarini o'rganish kerak. Eng oddiy holat ayirishdir oddiy kasrlar, ularning maxrajlari bir xil son sifatida ifodalanadi. Agar siz oddiy qoidani bilsangiz, ushbu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:

• Bir kasrdan soniyani ayirish uchun kamaytirilayotgan kasr sonidan ayirilgan kasrning payini ayirish kerak. Bu raqamni ayirma soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k/m - b/m = (k-b)/m.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni ayirish misollari

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" kasrning hisoblagichidan biz ayirilishi kerak bo'lgan "3" kasrning sonini ayirib, "4" ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - "19".

Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga o'xshash misollar ko'rsatilgan.

Keling, o'xshash maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni ayirish uchun murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” kasr sonidan keyingi barcha kasrlarning soni - “3”, “8”, “2”, “7” navbat bilan ayirish yo'li bilan kamaytiriladi. Natijada, biz javobning numeratoriga yozgan "9" natijasini olamiz va maxrajda biz barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni yozamiz - "47".

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsipga amal qiladi.

• Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish kerak. Olingan son yig‘indining sanoqchisi bo‘lib, maxraj bir xil bo‘lib qoladi: k/m + b/m = (k + b)/m.

Keling, misol yordamida bu qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kasrning birinchi hadining hisoblagichiga - "1" - kasrning ikkinchi hadining hisoblagichi - "2" qo'shing. Natija - "3" - yig'indining numeratoriga yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgani kabi qoldiriladi - "4".

Turli xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish

Biz allaqachon bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani ko'rib chiqdik. Ko'rib turganimizdek, bilish oddiy qoidalar, bunday misollarni yechish juda oson. Ammo har xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan sarosimaga tushishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu erda ham qoida bor, ularsiz bunday kasrlarni echish mumkin emas.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga kamaytirish kerak.



Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.

Kasrning xossasi

Bir necha kasrni bir xil maxrajga keltirish uchun eritmada kasrning asosiy xususiyatidan foydalanish kerak: pay va maxrajni bo'lish yoki ko'paytirishdan keyin. bir xil raqam berilganga teng kasr olasiz.

Shunday qilib, masalan, 2/3 kasrda "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlar bo'lishi mumkin, ya'ni u "3" ga karrali har qanday son shakliga ega bo'lishi mumkin. Numerator va maxrajni "2" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 4/6 kasrni olamiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash amalni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday aylantirish mumkin

Keling, bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqaylik. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni olaylik. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Ishni osonlashtirish uchun keling, mavjud maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.

1/2 kasrning maxraji va 2/3 kasrni koeffitsientlarga ajratish mumkin emas. 7/9 maxraji ikkita omilga ega 7/9 = 7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6 = 5/(2 x 3). Endi biz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashimiz kerak. Birinchi kasr maxrajda “2” raqamiga ega bo‘lgani uchun u barcha maxrajlarda bo‘lishi kerak, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya’ni ularning har ikkalasi ham maxrajda bo‘lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olib, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3 = 18 ga teng.



Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik - 1/2. Uning maxrajida "2" bor, lekin bitta "3" raqami yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uchga ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uch barobarga ko'paytirishimiz kerak:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Qolgan kasrlar bilan bir xil operatsiyalarni bajaramiz.

• 2/3 - maxrajda bitta uch va bitta ikkitasi etishmayapti:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 yoki 7/(3 x 3) - maxrajda ikkitasi etishmayapti:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchtasi etishmayapti:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hammasi birgalikda quyidagicha ko'rinadi:



Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qanday ayirish va qo'shish

Yuqorida aytib o'tilganidek, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak, keyin esa bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirish qoidalaridan foydalanish kerak, ular allaqachon muhokama qilingan.

Keling, buni misol sifatida ko'rib chiqaylik: 4/18 - 3/15.

18 va 15 sonlarning karralisini toping:

• 18 raqami 3 x 2 x 3 dan iborat.
• 15 raqami 5 x 3 dan iborat.
• Umumiy ko'paytma quyidagi omillar bo'ladi: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Maxraj topilgandan so'ng, har bir kasr uchun har xil bo'ladigan koeffitsientni hisoblash kerak, ya'ni faqat maxrajni emas, balki hisoblagichni ham ko'paytirish kerak bo'lgan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) kasrning maxrajiga ajratamiz, buning uchun qo'shimcha omillarni aniqlashimiz kerak.

• 90 15 ga bo'linadi. Natijada "6" soni 3/15 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.
• 90 18 ga bo'linadi. Natijada "5" soni 4/18 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Bizning yechimimizning keyingi bosqichi har bir kasrni "90" maxrajiga kamaytirishdir.

Bu qanday amalga oshirilganligi haqida biz allaqachon gaplashdik. Keling, bu misolda qanday yozilganligini ko'rib chiqaylik:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Agar kasrlar kichik raqamlarga ega bo'lsa, quyidagi rasmda ko'rsatilgan misolda bo'lgani kabi, umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.



Xuddi shu narsa turli xil denominatorlarga ega bo'lganlar uchun ham amal qiladi.

Ayirish va butun qismlarga ega bo'lish

Biz allaqachon kasrlarni ayirish va ularni qo'shishni batafsil ko'rib chiqdik. Ammo kasr mavjud bo'lsa, qanday ayirish kerak butun qismi? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:

• Butun qismga ega bo'lgan barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring. Gapirmoqda oddiy so'zlar bilan, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning sonini kasrning maxrajiga ko'paytiring va hosil bo'lgan ko'paytmani hisoblagichga qo'shing. Ushbu harakatlardan keyin chiqadigan raqam noto'g'ri kasrning soni hisoblanadi. Maxraj o'zgarishsiz qoladi.
• Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak.
• Xuddi shu maxrajlar bilan qo'shish yoki ayirish amallarini bajaring.
• Noto'g'ri kasrni olganingizda, butun qismni tanlang.



Butun qismlarga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun qismlar bilan alohida, kasrlar bilan esa alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.



Keltirilgan misol bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ular bir xil qiymatga keltirilishi kerak, so'ngra misolda ko'rsatilganidek, amallarni bajarish kerak.

Butun sonlardan kasrlarni ayirish

Kasrlar bilan ishlashning yana bir turi - bu kasrni ayirish kerak bo'lganda, bunday misolni yechish qiyin ko'rinadi. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Uni yechish uchun butun sonni kasrga va ayirilgan kasrdagi bir xil maxrajga aylantirish kerak. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Bir misolda u shunday ko'rinadi:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ushbu maqolada keltirilgan kasrlarni olib tashlash (6-sinf) ko'proq narsani hal qilish uchun asosdir murakkab misollar, ular keyingi darslarda muhokama qilinadi. Ushbu mavzu bo'yicha bilimlar keyinchalik funksiyalar, hosilalar va boshqalarni yechish uchun ishlatiladi. Shuning uchun yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan operatsiyalarni tushunish va tushunish juda muhimdir.

Bu darsda har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish masalalari ko‘rib chiqiladi. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish eng muhim va qiyin mavzular 8-sinf kursida. Bundan tashqari, ushbu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida paydo bo'ladi. Darsning bir qismi sifatida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek, bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

Keling, ko'rib chiqaylik eng oddiy misol oddiy kasrlar uchun.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Kasrlarni qo'shish qoidasini eslaylik. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy maxraj eng kichik umumiy karra Asl maxrajlarning (LCM).

Ta'rif

Eng kam natural son, bu bir vaqtning o'zida va raqamlariga bo'linadi.

LCM ni topish uchun maxrajlarni qismlarga ajratish kerak asosiy omillar, va keyin ikkala maxrajni kengaytirishga kiritilgan barcha asosiy omillarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy maxrajni topgandan so'ng, har bir kasr uchun qo'shimcha koeffitsientni topishingiz kerak (aslida umumiy maxrajni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'ling).

Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.

Biz olamiz: .

Javob:.

Keling, har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshaydi. Bu kasrlarning umumiy maxrajini topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.

.

Javob:.

Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:

1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.

2. Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).

3. Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiring.

4. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.

Keling, maxraji harfli ifodalarni o'z ichiga olgan kasrlarga misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Ikkala maxrajdagi harf ifodalari bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, ushbu misolning yechimi quyidagicha ko'rinadi:.

Javob:.

4-misol. Kasrlarni ayirish: .

Yechim:

Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga qo'sha olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda umumiy maxraj sifatida ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini olishingiz kerak.

Javob:.

Umuman olganda, bunday misollarni echishda, eng ko'p qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdan iborat.

Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Umumiy maxrajni topishda, avvalo, asl kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).

Bu alohida holatda:

Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: .

Biz qo'shimcha omillarni aniqlaymiz va ushbu misolni hal qilamiz:

Javob:.

Endi maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rnatamiz.

6-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Javob:.

7-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

.

Javob:.

Keling, ikkita emas, balki uchta kasr qo'shilgan misolni ko'rib chiqaylik (axir, qo'shish va ayirish qoidalari Ko'proq kasrlar bir xil bo'lib qoladi).

8-misol. Soddalashtiring: .

Oddiy kasr sonlar birinchi navbatda maktab o'quvchilari bilan 5-sinfda uchrashadi va ularga butun umri davomida hamroh bo'ladi, chunki kundalik hayotda ko'pincha ob'ektni bir butun sifatida emas, balki alohida qismlarda ko'rib chiqish yoki ishlatish kerak. Ushbu mavzuni o'rganishni boshlang - aktsiyalar. Aktsiyalar teng qismlardan iborat, u yoki bu ob'ekt bo'linadi. Axir, har doim ham, masalan, mahsulotning uzunligi yoki narxini bir butun son sifatida ifodalash mumkin emas, ba'zi o'lchovlarning qismlari yoki kasrlari hisobga olinishi kerak; "Bo'lish" - qismlarga bo'lish fe'lidan hosil bo'lgan va arab ildizlariga ega bo'lgan "kasr" so'zining o'zi 8-asrda rus tilida paydo bo'lgan.

Kasrli iboralar azaldan matematikaning eng qiyin sohasi hisoblanib kelgan. 17-asrda, matematika bo'yicha birinchi darsliklar paydo bo'lganida, ular "buzilgan raqamlar" deb nomlangan, bu odamlar uchun tushunish juda qiyin edi.

Zamonaviy ko'rinish Qismlari gorizontal chiziq bilan ajratilgan oddiy kasr qoldiqlari birinchi marta Fibonachchi - Pizalik Leonardo tomonidan ilgari surilgan. Uning asarlari 1202 yilga tegishli. Ammo ushbu maqolaning maqsadi o'quvchiga turli xil maxrajli aralash kasrlar qanday ko'paytirilishini sodda va aniq tushuntirishdir.

Har xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish

Dastlab, buni aniqlashga arziydi kasrlar turlari:

• to'g'ri;
• noto'g'ri;
• aralashgan.

Keyinchalik, bir xil denominatorlarga ega bo'lgan kasr raqamlari qanday ko'paytirilishini eslab qolishingiz kerak. Ushbu jarayonning qoidasi mustaqil ravishda shakllantirish oson: ko'paytirish natijasi oddiy kasrlar bir xil maxrajlar bilan kasr ifodasi bo'lib, uning soni sanoqlarning ko'paytmasi, maxraji esa shu kasrlarning maxrajlarining ko'paytmasi bo'ladi. Ya'ni, aslida, yangi maxraj dastlab mavjud bo'lganlardan birining kvadratidir.

Ko'paytirishda har xil maxrajli oddiy kasrlar Ikki yoki undan ortiq omillar uchun qoida o'zgarmaydi:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Yagona farq shundaki, kasr chizig'i ostidagi natija turli raqamlarning ko'paytmasi va tabiiy ravishda bittaning kvadrati bo'ladi. raqamli ifoda uni nomlash mumkin emas.

Misollar yordamida turli xil maxrajli kasrlarni ko'paytirishni ko'rib chiqishga arziydi:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Misollar kasrli ifodalarni qisqartirish usullaridan foydalanadi. Siz faqat kasr chizig'ining ustidagi yoki ostidagi qo'shni omillarga ega bo'lgan pay raqamlarini qisqartirishingiz mumkin;

Oddiy bilan bir qatorda kasr sonlar, aralash kasrlar tushunchasi mavjud. Aralash son butun son va kasr qismdan iborat, ya'ni bu sonlarning yig'indisidir:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ko'paytirish qanday ishlaydi?

Ko'rib chiqish uchun bir nechta misollar keltirilgan.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Misolda sonni ko'paytirish qo'llaniladi oddiy kasr qismi, bu harakat qoidasi quyidagicha yozilishi mumkin:

a* b/c = a*b /c.

Aslida, bunday mahsulot bir xil kasr qoldiqlari yig'indisidir va atamalar soni bu natural sonni ko'rsatadi. Maxsus holat:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Raqamni kasr qoldig'iga ko'paytirishning yana bir yechimi bor. Siz shunchaki maxrajni ushbu raqamga bo'lishingiz kerak:

d* e/f = e/f: d.

Ushbu usulni maxrajni natural songa qoldiqsiz yoki, ular aytganidek, butun songa bo'lishda qo'llash foydalidir.

Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring va mahsulotni yuqorida tavsiflangan usulda oling:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ushbu misol taqdimot usulini o'z ichiga oladi aralash fraktsiya noto'g'ri, shaklda ham ifodalanishi mumkin umumiy formula:

a bc = a*b+ c/c, maxraj qayerda yangi kasr butun qismni maxrajga ko‘paytirib, uni asl kasr qoldiqning sanoqchisi bilan qo‘shish orqali hosil bo‘ladi va maxraj o‘zgarmasdan qoladi.

Bu jarayon ham ishlaydi teskari tomon. Butun qismni va kasr qoldig'ini ajratish uchun "burchak" yordamida noto'g'ri kasrning hisobini uning maxrajiga bo'lish kerak.

Ko'paytirish noto'g'ri fraktsiyalar umumiy qabul qilingan usulda ishlab chiqariladi. Bitta kasr chizig'i ostida yozishda ushbu usul yordamida sonlarni kamaytirish va natijani hisoblashni osonlashtirish uchun kerak bo'lganda kasrlarni kamaytirish kerak.

Internetda hatto murakkab matematik muammolarni hal qilish uchun ko'plab yordamchilar mavjud turli xil o'zgarishlar dasturlari. Bunday xizmatlarning etarli soni kasrlarni ko'paytirishni hisoblashda yordam beradi turli raqamlar denominatorlarda - kasrlarni hisoblash uchun onlayn kalkulyatorlar. Ular nafaqat ko'paytirishga, balki oddiy kasrlar va boshqa barcha oddiy arifmetik amallarni bajarishga qodir. aralash raqamlar. U bilan ishlash qiyin emas, veb-sayt sahifasida tegishli maydonlarni to'ldiring, matematik operatsiya belgisini tanlang va "hisoblash" tugmasini bosing. Dastur avtomatik ravishda hisoblaydi.

Kasrlar bilan arifmetik amallar mavzusi o'rta va yuqori sinf o'quvchilarining ta'lim jarayonida dolzarbdir. O'rta maktabda ular endi eng oddiy turlarni hisobga olmaydilar, lekin butun kasrli ifodalar, lekin ilgari olingan o'zgartirish qoidalari va hisob-kitoblar haqidagi bilimlar asl shaklida qo'llaniladi. Yaxshi o'rganilgan asosiy bilim to'liq ishonch bildirish muvaffaqiyatli qaror eng murakkab vazifalar.

Xulosa qilib aytganda, Lev Nikolaevich Tolstoyning quyidagi so'zlarini keltirish mantiqan to'g'ri keladi: "Inson - kasr. O'z hisobini - savoblarini oshirish insonning qo'lida emas, balki har kim o'z maxrajini - o'zi haqidagi fikrini kamaytirishi mumkin va bu kamayishi bilan uning kamolotiga yaqinlashadi.