Raqamni o'nlik kasrga qanday oshirish mumkin. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish

Dars kasrlarni ko'paytirishning yanada umumlashtirilgan versiyasini ko'rib chiqadi - kuchga ko'tarish. Avvalo, biz kasrlarning tabiiy kuchlari va kasrlar bilan o'xshash operatsiyalarni ko'rsatadigan misollar haqida gapiramiz. Darsning boshida biz butun iboralarni tabiiy kuchlarga ko'tarishni ko'rib chiqamiz va bu keyingi misollarni hal qilish uchun qanday foydali bo'lishini bilib olamiz.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars: Qurilish algebraik kasr darajaga qadar

1. Kasrlar va butun ifodalarni elementar misollar bilan tabiiy darajalarga ko‘tarish qoidalari

Oddiy va algebraik kasrlarni tabiiy kuchga ko'tarish qoidasi:

Siz butun iboraning darajasi bilan o'xshashlikni chizishingiz va uni kuchga ko'tarish nimani anglatishini eslab qolishingiz mumkin:

1-misol. .

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrni kuchga ko'tarish maxsus holat oldingi darsda o'rganilgan kasrlarni ko'paytirish.

2-misol. a) , b) - minus yo'qoladi, chunki biz ifodani teng kuchga ko'tardik.

Darajalar bilan ishlash qulayligi uchun tabiiy darajaga ko'tarishning asosiy qoidalarini eslaylik:

- kuchlar mahsuloti;

- darajalarni taqsimlash;

Ilmiy darajani darajaga ko'tarish;

Mahsulot darajasi.

3-misol. - biz buni “Bütün iboralar ko'rsatkichi” mavzusidan bilamiz, bitta holatdan tashqari: u mavjud emas.

2. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarishning eng oddiy misollari

Misol 4. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Bir tekis quvvatga ko'tarilganda, minus yo'qoladi:

Misol 5. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Endi biz alohida jadvalsiz darhol darajani darajaga ko'tarish qoidalaridan foydalanamiz:

.

Keling, kasrlarni darajalarga ko'tarish, ularni ko'paytirish va bo'lish kerak bo'lgan birlashtirilgan muammolarni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Keyinchalik siz kamaytirishni amalga oshirishingiz kerak. Keling, buni qanday qilishimizni bir marta batafsil tasvirlab beramiz, keyin esa natijani darhol analogiya bilan ko'rsatamiz: . Xuddi shunday (yoki hokimiyat taqsimoti qoidasiga ko'ra). Bizda ... bor: .

Misol 7. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Qisqartirish yuqorida muhokama qilingan misolga o'xshash tarzda amalga oshirildi.

Misol 8. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Ushbu misolda biz ushbu usulni birlashtirish uchun kasrlarda vakolatlarni qisqartirish jarayonini yana bir bor batafsil bayon qildik.

3. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun murakkabroq misollar (belgilarni hisobga olgan holda va qavs ichidagi atamalar bilan)

9-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda biz kasrlarni alohida ko'paytirishni o'tkazib yuboramiz va darhol ularni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz va ularni bitta maxraj ostida yozamiz. Shu bilan birga, biz belgilarga amal qilamiz - bu holda, kasrlar teng kuchlarga ko'tariladi, shuning uchun minuslar yo'qoladi. Oxirida biz qisqartirishni amalga oshiramiz.

10-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda kasrlarning bo'linishi bor, bu holda birinchi kasr ikkinchisiga ko'paytiriladi, lekin teskari.

Tanishish vaqti keldi algebraik kasrni darajaga ko'tarish. Daraja ma'nosida algebraik kasrlar bilan bu operatsiya bir xil kasrlarni ko'paytirishga keltiriladi. Ushbu maqolada biz tegishli qoidani beramiz va algebraik kasrlarni tabiiy kuchga ko'tarish misollarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti

Algebraik kasrni bir darajaga ko'tarish haqida gapirishdan oldin, kuch bazasida bir xil omillarning mahsuloti nima ekanligini eslash zarar qilmaydi va ularning soni eksponent bilan belgilanadi. Masalan, 2 3 =2·2·2=8.

Endi eksponentsiya qoidasini eslaylik oddiy kasr- buning uchun siz hisoblagichni ko'rsatilgan quvvatga alohida ko'tarishingiz kerak va alohida - maxraj. Masalan, . Bu qoida algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun amal qiladi.

Algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarish yangi kasrni beradi, uning numeratori dastlabki kasrning ko'rsatilgan darajasini va maxraji - maxrajning darajasini o'z ichiga oladi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda bu qoida tenglikka mos keladi , bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar (ayniqsa, monomlar yoki raqamlar), b esa nolga teng bo'lmagan polinom, n esa .

Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasining isboti tabiiy ko'rsatkichli darajani aniqlashga va algebraik kasrlarni ko'paytirishni qanday aniqlaganimizga asoslanadi: .

Misollar, yechimlar

Oldingi paragrafda olingan qoida algebraik kasrni darajaga ko'tarishni asl kasrning hisoblagichi va maxrajini ushbu darajaga ko'tarishga kamaytiradi. Va asl algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji polinomlar (muayyan holatda, monomlar yoki raqamlar) bo'lganligi sababli, asl vazifa polinomlarni bir darajaga ko'tarishdan iborat. Ushbu amalni bajargandan so'ng, asl algebraik kasrning belgilangan darajasiga teng bo'lgan yangi algebraik kasr olinadi.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Algebraik kasrning kvadrati.

Yechim.

Keling, darajani yozamiz. Endi biz algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasiga murojaat qilamiz, bu bizga tenglikni beradi . Hosil bo'lgan kasrni monomiallarni bir darajaga ko'tarish orqali algebraik kasr shakliga aylantirish qoladi. Shunday qilib .

Odatda, algebraik kasrni darajaga ko'tarishda yechim tushuntirilmaydi, lekin yechim qisqacha yoziladi. Bizning misolimiz kirishga mos keladi .

Javob:

.

Agar algebraik kasrning hisoblagichi va/yoki maxrajida ko‘phadlar, ayniqsa binomlar bo‘lsa, uni bir darajaga ko‘tarishda tegishli qisqartirilgan ko‘paytirish formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Misol.

Algebraik kasrni tuzing ikkinchi darajaga.

Yechim.

Kasrni kuchga ko'tarish qoidasiga ko'ra, bizda bor .

Olingan ifodani numeratorga aylantirish uchun biz foydalanamiz kvadrat ayirma formulasi, va maxrajda - uchta hadlar yig'indisining kvadrati formulasi:

Javob:

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar kamaytirilmaydigan algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarsak, natijada ham qaytarilmas kasr bo'ladi. Agar dastlabki kasr kamaytiriladigan bo'lsa, uni bir darajaga ko'tarishdan oldin algebraik kasrni bir darajaga ko'targandan keyin kamaytirishni amalga oshirmaslik uchun uni kamaytirishni amalga oshirish tavsiya etiladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Www.saytning hech qanday qismi, shu jumladan ichki materiallar Va tashqi dizayn, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

Raqamning kuchi haqida suhbatni davom ettirib, kuchning qiymatini qanday topish mumkinligini aniqlash mantiqan to'g'ri keladi. Bu jarayon deyiladi eksponentsiya. Ushbu maqolada biz ko'rsatkichlar qanday amalga oshirilishini o'rganamiz, shu bilan birga barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalamiz - natural, butun, ratsional va irratsional. Va an'anaga ko'ra, biz raqamlarni turli kuchlarga ko'tarish misollarini batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

"Eksponentatsiya" nimani anglatadi?

Keling, eksponentsiya deb ataladigan narsani tushuntirishdan boshlaylik. Bu erda tegishli ta'rif.

Ta'rif.

Ko'rsatkichlar- bu raqamning kuchining qiymatini topish.

Shunday qilib, ko'rsatkichi r bo'lgan a sonining kuchining qiymatini topish va a sonini r darajaga ko'tarish bir xil narsadir. Masalan, agar vazifa "kuchning (0,5) 5 qiymatini hisoblash" bo'lsa, uni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: "0,5 raqamini 5 kuchga ko'taring."

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri eksponentsiya bajariladigan qoidalarga o'tishingiz mumkin.

Raqamni tabiiy kuchga ko'tarish

Amalda, ga asoslangan tenglik odatda shaklda qo'llaniladi. Ya'ni, a sonni m/n kasr darajasiga ko'tarishda avval a sonining n-chi ildizi olinadi, shundan so'ng olingan natija m butun darajaga ko'tariladi.

Keling, kasr darajasiga ko'tarish misollari yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Darajaning qiymatini hisoblang.

Yechim.

Biz ikkita yechimni ko'rsatamiz.

Birinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha. Ildiz belgisi ostidagi daraja qiymatini hisoblab chiqamiz va keyin chiqaramiz kub ildizi: .

Ikkinchi yo'l. Kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashda va ildizlarning xususiyatlariga asoslanib, quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi: . Endi biz ildizni chiqaramiz , nihoyat, biz uni butun son darajasiga ko'taramiz .

Shubhasiz, kasr quvvatiga ko'tarishda olingan natijalar mos keladi.

Javob:

E'tibor bering, kasr ko'rsatkichi quyidagicha yozilishi mumkin kasr yoki aralash raqam, bu hollarda u mos keladigan oddiy kasr bilan almashtirilishi kerak, keyin esa kuchga ko'tarilishi kerak.

Misol.

Hisoblang (44.89) 2.5.

Yechim.

Ko'rsatkichni oddiy kasr shaklida yozamiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): . Endi biz kasr darajasiga ko'taramiz:

Javob:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Shuni ham aytish kerakki, raqamlarni ratsional darajalarga ko'tarish juda ko'p mehnat talab qiladigan jarayondir (ayniqsa, kasr ko'rsatkichining numeratori va maxraji etarlicha katta raqamlarni o'z ichiga olgan bo'lsa), bu odatda yordamida amalga oshiriladi. kompyuter texnologiyasi.

Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, nol sonini kasr darajasiga ko'tarish haqida to'xtalib o'tamiz. Shaklning nolning kasr kuchiga quyidagi ma'noni berdik: bizda , va noldan m / n quvvati aniqlanmagan. Demak, kasrda nol ijobiy daraja nolga teng, masalan, . Kasrli manfiy quvvatdagi nol esa mantiqiy emas, masalan, 0 -4,3 iboralari mantiqiy emas.

Mantiqsiz kuchga ko'tarilish

Ba'zan irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan sonning kuchining qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Bunday holda, amaliy maqsadlar uchun odatda ma'lum bir belgiga aniqlik darajasining qiymatini olish kifoya qiladi. Darhol ta'kidlaymizki, bu qiymat amalda elektron kompyuterlar yordamida hisoblab chiqiladi, chunki ir ga ko'tariladi ratsional daraja qo'lda juda ko'p mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo biz hali ham tasvirlab beramiz umumiy kontur harakatning mohiyati.

Irratsional darajali a sonining kuchining taxminiy qiymatini olish uchun darajaning bir necha o'nli yaqinlashuvi olinadi va darajaning qiymati hisoblanadi. Bu qiymat a sonining irratsional ko'rsatkichli kuchining taxminiy qiymatidir. Raqamning o'nlik yaqinlashuvi dastlab qanchalik to'g'ri bo'lsa, shuncha ko'p aniq qiymat oxirida diplom olinadi.

Misol tariqasida 2 1,174367... quvvatining taxminiy qiymatini hisoblab chiqamiz. Irratsional ko'rsatkichning quyidagi o'nli yaqinlashuvini olaylik: . Endi biz 2 ni 1,17 ratsional kuchga ko'taramiz (biz oldingi xatboshida bu jarayonning mohiyatini tasvirlab bergan edik), biz 2 1,17 ≈2,250116 ni olamiz. Shunday qilib, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Agar biz, masalan, irratsional ko'rsatkichning aniqroq o'nli yaqinlashuvini olsak, biz asl ko'rsatkichning aniqroq qiymatini olamiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.

Har qanday kasrni ixtiyoriy darajaga ko'targanda, biz kasrning sonini va maxrajini ushbu darajaga alohida ko'tarishimiz kerak, shundan so'ng biz bu darajalarni sanashimiz va shu bilan darajaga ko'tarilgan kasrni olishimiz kerak.

Masalan:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3

Salbiy daraja

Agar biz salbiy daraja bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda biz birinchi navbatda "Kasrni teskari" qilishimiz kerak va shundan keyingina uni yuqorida yozilgan qoidaga muvofiq darajaga ko'tarishimiz kerak.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Harf darajasi

“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.

Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.

Harf koʻrsatkichi x^y

Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar biz bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirsak, unda bazaning o'zi bir xil bo'lib qoladi va biz ko'rsatkichlarni qo'shamiz. Agar biz darajalarni baham ko'rsak xuddi shu asoslarda, u holda daraja asosi ham bir xil bo'lib qoladi va darajalar ayiriladi.

Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.

Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish

Bir darajali kasrni yana bir darajaga ko'targanda, biz avval ichki darajani ko'rsatishimiz kerak, keyin esa darajaning tashqi qismiga o'tishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz bu kuchlarni oddiygina ko'paytirishimiz va kasrni hosil bo'lgan kuchga ko'tarishimiz mumkin.

Masalan:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz

Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.

Oddiy kvadrat ildizni kasrning kuchi sifatida ham ifodalash mumkin

Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)

Agar biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak kvadrat ildiz kasr qaysi ostida joylashgan bo'lsa, unda biz bu kasrni hisoblagichida tasavvur qilishimiz mumkin, uning 2-darajali kvadrat ildizi bo'ladi (chunki u kvadrat ildizdir)

Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.

Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.

Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!

Bundan tashqari, kasr uchun juda muhim eslatma haqida unutmang, masalan, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak. Kelajakda ko'plab tenglamalarda biz ODZ deb nomlangan ushbu cheklovdan foydalanamiz - ruxsat etilgan qiymatlar oralig'i

Bir xil asosga ega, ammo kuchlari har xil bo'lgan ikkita kasrni solishtirganda, qanchalik katta bo'lsa, kuchi kattaroq bo'ladi va kichikroq bo'lsa, faqat asoslar emas, balki kuchlar ham teng bo'lsa; kasr bir xil deb hisoblanadi.