Kub qismini qanday qilish kerak. Kubning bo'limi

Dars turi: Birlashtirilgan dars.

Maqsad va vazifalar:

• tarbiyaviy – talabalarda fazoviy tushunchalarni shakllantirish va rivojlantirish; eng oddiy ko‘pburchakning kesimlarini qurish bilan bog‘liq masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish;
• tarbiyaviy - eng oddiy ko'pburchaklar kesimlarini qurishda yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash; Matematikani o'rganishga bo'lgan muhabbat va qiziqishni oshiring.
• rivojlanmoqda – talaba rivojlanishi mantiqiy fikrlash, fazoviy tasavvurlar, o'z-o'zini nazorat qilish qobiliyatlarini rivojlantirish.

Uskunalar: maxsus ishlab chiqilgan dasturga ega kompyuterlar, topshiriqlar bilan tayyor chizmalar ko'rinishidagi tarqatma materiallar, ko'pburchakning qattiq qismlari, uy vazifalari bilan individual kartochkalar.

Darsning tuzilishi:

1. Dars mavzusi va maqsadini ayting (2 min).
2. Kompyuterda topshiriqlarni bajarish bo'yicha ko'rsatmalar (2 min).
3. Yangilash fon bilimlari va talabalar malakasi (4 min).
4. O'z-o'zini tekshirish (3 daqiqa).
5. O’qituvchi tomonidan yechimini tushuntirish bilan masalalar yechish (15 min).
6. Mustaqil ish o'z-o'zini tekshirish bilan (10 daqiqa).
7. Sahnalashtirish uy vazifasi(2 daqiqa).
8. Xulosa (2 daqiqa).

Darslar davomida

1. Dars mavzusi va maqsadini etkazish

Sinfning darsga tayyorgarligini tekshirgandan so'ng, o'qituvchi bugun "Ko'pburchaklar kesmalarini qurish" mavzusida dars borligini, uning chetlariga tegishli uchta nuqtadan o'tadigan tekisliklari bilan ba'zi oddiy ko'pburchaklarning kesmalarini qurish masalalari ko'rib chiqilishini ma'lum qiladi; ko'p yuzli. Dars Power Point dasturida tayyorlangan kompyuter taqdimoti yordamida olib boriladi.

2. Kompyuter laboratoriyasida ishlashda xavfsizlik qoidalari

O'qituvchi. Men sizning e'tiboringizni kompyuter sinfida ishlashni boshlayotganingizga va kompyuterda ishlash va o'zini tutish qoidalariga rioya qilishingiz kerakligiga qaratmoqchiman. Qaytib olinadigan stol ustilarini mahkamlang va to'g'ri o'rnatilishini ta'minlang.

3. Talabalarning asosiy bilim va ko'nikmalarini yangilash

O'qituvchi. Ko‘pburchaklar bilan bog‘liq ko‘plab geometrik masalalarni yechish uchun turli tekisliklardan foydalangan holda chizmada ularning kesimlarini qurish, berilgan to‘g‘ri chiziqning berilgan tekislik bilan kesishish nuqtasini topish va berilgan ikkita tekislikning kesishish chizig‘ini topish foydalidir. . Oldingi darslarda biz ko'pburchakning qirralari va yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bo'yicha ko'pburchaklar bo'limlarini ko'rib chiqdik. Ushbu darsda biz ko'pburchaklar chetida joylashgan uchta nuqtadan o'tadigan tekislik bilan kesmalarni qurish bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqamiz. Buning uchun eng oddiy polihedrani ko'rib chiqing. Bu ko'pburchaklar nima? (Kub, tetraedr, muntazam to'rtburchak piramida va to'g'ri burchakli uchburchak prizmaning modellari ko'rsatilgan).

Talabalar ko'pburchakning turini aniqlashlari kerak.

O'qituvchi. Keling, ular monitor ekranida qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik. Sichqonchaning chap tugmachasini bosib rasmdan rasmga o'tamiz.

Ekranda birin-ketin nomli ko'p yuzli tasvirlar paydo bo'ladi.

O'qituvchi. Keling, ko'pburchakning bo'limi deb ataladigan narsani eslaylik.

Talaba. Yonlari ko'pburchakning yuzlariga tegishli bo'lgan segmentlar bo'lgan, uchlari ko'pburchakning chetlarida bo'lgan, ko'pburchakni ixtiyoriy kesuvchi tekislik bilan kesish orqali olingan ko'pburchak.

O'qituvchi. Qanday ko'pburchaklar bu ko'pburchaklarning bo'limlari bo'lishi mumkin.

Talaba. Kubning bo'limlari: uchta - olti burchakli. Tetraedrning bo'limlari: uchburchaklar, to'rtburchaklar. To'rtburchakli piramida va uchburchak prizmaning bo'limlari: uchta - beshburchak.

4. O'z-o'zini sinab ko'rish

O'qituvchi. Ko‘p yuzli kesimlar tushunchasi, stereometriya aksiomalari hamda chiziqlar va tekisliklarning fazodagi o‘zaro o‘rni haqidagi bilimlarga muvofiq test savollariga javob berish so‘raladi. Kompyuter sizni qadrlaydi. Maksimal ball 3 ball - 3 ta to'g'ri javob uchun. Har bir slaydda siz to'g'ri javob raqami ko'rsatilgan tugmani bosishingiz kerak. Siz juftlik bilan ishlaysiz, shuning uchun har biringiz bir xil narsani olasiz, kompyuter tomonidan ko'rsatilgan ballar soni. Keyingi slayd ko'rsatkichini bosing. Vazifani bajarish uchun 3 daqiqa vaqtingiz bor.

I. Qaysi rasmda kubning tekislik kesimi tasvirlangan ABC?

II. Qaysi rasmda piramidaning asos diagonalidan o'tuvchi tekislik bilan kesma ko'rsatilgan? BD chetiga parallel S.A.?

III. Qaysi rasmda nuqtadan o'tuvchi tetraedrning ko'ndalang kesimi ko'rsatilgan M tekislikka parallel ABS?

5. O`qituvchi tomonidan yechimini tushuntirish bilan masalalar yechish

O'qituvchi. Keling, to'g'ridan-to'g'ri muammolarni hal qilishga o'taylik. Keyingi slayd ko'rsatkichini bosing.

Muammo 1 Bu vazifa Keling, monitor ekranida qurilishni bosqichma-bosqich namoyish qilish bilan og'zaki ko'rib chiqaylik. O'tish sichqonchani bosish orqali amalga oshiriladi.

Kub berilgan ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 . Uning chetida BB 1 ball berilgan M. Chiziqning kesishish nuqtasini toping C 1 M kub yuzining tekisligi bilan A B C D.

Kub tasvirini ko'rib chiqing ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 nuqta bilan M chetida BB 1 ball M Va BILAN 1 samolyotga tegishli BB 1 BILAN 1 To'g'ri chiziq haqida nima deyish mumkin C 1 M ?

Talaba. Streyt C 1 M samolyotga tegishli BB 1 BILAN 1

O'qituvchi. Qidirilgan nuqta X qatoriga kiradi C 1 M, va shuning uchun samolyotlar BB 1 BILAN 1 . Bu qanday o'zaro tartibga solish samolyotlar BB 1 BILAN 1 va ABC?

Talaba. Bu tekisliklar to'g'ri chiziqda kesishadi Miloddan avvalgi.

O'qituvchi. Bu hamma narsani anglatadi umumiy nuqtalar samolyotlar BB 1 BILAN 1 va ABC qatorga tegishli Miloddan avvalgi. Qidirilgan nuqta X bir vaqtning o'zida ikkita yuzning tekisligiga tegishli bo'lishi kerak: A B C D Va BB 1 C 1 C; shundan kelib chiqadiki, X nuqta ularning kesishgan chizig'ida, ya'ni to'g'ri chiziqda yotishi kerak. Quyosh. Bu shuni anglatadiki, X nuqta bir vaqtning o'zida ikkita to'g'ri chiziqda yotishi kerak: BILAN 1 M Va Quyosh va shuning uchun ularning kesishish nuqtasidir. Monitor ekranida kerakli nuqtaning qurilishini ko'rib chiqamiz. Sichqonchaning chap tugmachasini bosish orqali qurilish ketma-ketligini ko'rasiz: davom eting BILAN 1 M Va Quyosh nuqtadagi chorrahagacha X, bu chiziqning kerakli kesishish nuqtasidir BILAN 1 M yuz tekisligi bilan A B C D.

O'qituvchi. Keyingi vazifaga o'tish uchun keyingi slayd ko'rsatkichidan foydalaning. Keling, ushbu muammoni qurilishning qisqacha tavsifi bilan ko'rib chiqaylik.

A) Nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kubning kesmasini tuzing A 1 , MD 1 C 1 va NDD 1 va b) Kesuvchi tekislikning kubning pastki asosi tekisligi bilan kesishish chizig‘ini toping.

Yechim. I. Kesuvchi tekislikning yuzi bor A 1 B 1 C 1 D 1 ikkita umumiy nuqta A 1 va M va shuning uchun u bilan shu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Nuqtalarni ulash A 1 va M to'g'ri chiziqli segmentdan foydalanib, biz kelajakdagi qismning tekisligi va yuqori yuzning tekisligining kesishish chizig'ini topamiz. Bu faktni quyidagicha yozamiz: A 1 M. Sichqonchaning chap tugmachasini bosing, yana bosish bu to'g'ri chiziqni yaratadi.

Xuddi shunday, biz kesish tekisligining yuzlar bilan kesishish chiziqlarini topamiz AA 1 D 1 D Va DD 1 BILAN 1 BILAN. Sichqoncha tugmasini bosish orqali siz qisqacha yozib olish va qurilish jarayonini ko'rasiz.

Shunday qilib, A 1 NM? kerakli bo'lim.

Keling, muammoning ikkinchi qismiga o'tamiz. Kesuvchi tekislikning kubning pastki asosi tekisligi bilan kesishish chizig'ini topamiz.

II. Kesuvchi tekislik kub asosining tekisligi bilan to'g'ri chiziqda kesishadi. Ushbu chiziqni tasvirlash uchun ushbu chiziqqa tegishli ikkita nuqtani topish kifoya, ya'ni. kesish tekisligi va yuz tekisligining umumiy nuqtalari A B C D. Oldingi masalaga asoslanib, bunday nuqtalar bo'ladi: nuqta X=. Tugmachani bosing, siz qisqa yozuv va qurilishni ko'rasiz. Va davr Y, siz nima deb o'ylaysiz, uni qanday olish mumkin?

Talaba. Y =

O'qituvchi. Keling, uning konstruktsiyasini ekranda ko'rib chiqaylik. Sichqoncha tugmasini bosing. Nuqtalarni ulash X Va Y(Yozuv X-Y), biz kerakli to'g'ri chiziqni olamiz - kubning pastki poydevorining tekisligi bilan kesish tekisligining kesishish chizig'i. Sichqonchaning chap tugmachasini bosing - qisqa yozish va qurish.

Muammo 3 Nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kubning kesmasini tuzing:

Bundan tashqari, sichqoncha tugmasini bosish orqali siz monitor ekranida qurilishning borishini va qisqacha yozuvni ko'rasiz. Kesim tushunchasiga asoslanib, kesuvchi tekislikning kesishish chizig'ini va kubning har bir yuzining tekisligini qurish uchun har bir yuz tekisligida ikkita nuqtani topish kifoya. Ballar M Va N samolyotga tegishli A 1 IN 1 BILAN 1 . Ularni ulash orqali biz kesish tekisligining kesishish chizig'ini va kubning yuqori yuzining tekisligini olamiz (sichqoncha tugmasini bosing). Keling, to'g'ri chiziqlarni davom ettiramiz MN Va D 1 C 1 kesishmasidan oldin. Keling, bir fikrni olaylik X, ikkala samolyotga tegishli A 1 IN 1 BILAN 1 va samolyot DD 1 C 1 (sichqonchani bosish). Ballar N Va TO samolyotga tegishli BB 1 BILAN 1 . Ularni ulash orqali biz kesish tekisligi va yuzning kesishish chizig'ini olamiz BB 1 BILAN 1 BILAN. (Sichqonchani bosish). Nuqtalarni ulash X Va TO, va to'g'ri davom eting HC chiziq bilan kesishgan joyga DC. Keling, bir fikrni olaylik R va segment KR - kesish tekisligi va yuzning kesishish chizig'i DD 1 C 1 C. (Sichqonchani bosish). To'g'ri davom eting KR Va DD 1 kesishmasidan oldin, biz nuqta olamiz Y, samolyotga tegishli AA 1 D 1 . (Sichqonchani bosish). Ushbu yuzning tekisligida bizga yana bitta nuqta kerak bo'lib, biz chiziqlarning kesishishi natijasida olamiz MN Va A 1 D 1 . Bu nuqta . (Sichqonchani bosish). Nuqtalarni ulash Y Va Z, olamiz Va . (Sichqonchani bosish). Ulanmoqda Q Va R, R Va M, olamizmi? kerakli bo'lim.

Qurilishning qisqacha tavsifi:

2) ;

6) ;

7) ;

13) ? kerakli bo'lim.

Kubning kesmalarini yasash bo'yicha topshiriqlarD1
C1
E
A1
B1
D
A
F
B
BILAN

Tasdiqlash ishi.

1 variant
Variant 2
1. tetraedr
1. parallelepiped
2. Parallelepipedning xossalari

Kubning kesish tekisligi - bu har ikki tomonida berilgan kubning nuqtalari joylashgan har qanday tekislik.

Sekant
tekislik kubning yuzlarini bo'ylab kesib o'tadi
segmentlar.
Tomonlari bo'lgan ko'pburchak
Bu segmentlar kubning kesimi deb ataladi.
Kubning bo'limlari uchburchaklar bo'lishi mumkin,
to'rtburchaklar, beshburchaklar va
olti burchakli.
Bo'limlarni qurishda buni hisobga olish kerak
haqiqat, agar kesish tekisligi ikkita kesishsa
ba'zi segmentlar bo'ylab qarama-qarshi yuzlar, keyin
bu segmentlar parallel. (Sababini tushuntiring).

B1
C1
D1
A1
M
K
MUHIM!
B
BILAN
D
Agar kesish tekisligi kesishsa
qarama-qarshi qirralar, keyin u
K DCC1
ularni parallel ravishda kesib o'tadi
M BCC1
segmentlar.

qirralarning o'rta nuqtalari bo'lgan uchta berilgan nuqta. Agar chekka bo'lsa, kesimning perimetrini toping

Kubning bir qismini tekislik o'tadigan qilib tuzing
qirralarning o'rta nuqtalari bo'lgan uchta berilgan nuqta.
Kubning cheti a ga teng bo'lsa, kesmaning perimetrini toping.
D1
N
K
A1
D
A
C1
B1
M
BILAN
B

Kubning uchlari bo'lgan uchta berilgan nuqtadan o'tadigan tekislik bilan kesmani tuzing. Agar kubning cheti bo'lsa, kesmaning perimetrini toping

Kubning bir qismini tekislik o'tadigan qilib tuzing
uning uchlari bo'lgan uchta berilgan nuqta. Toping
kubning cheti a ga teng bo'lsa, kesimning perimetri.
D1
C1
A1
B1
D
A
BILAN
B

D1
C1
A1
M
B1
D
A
BILAN
B

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing. Kubning cheti a ga teng bo'lsa, kesmaning perimetrini toping.

D1
C1
A1
B1
N
D
A
BILAN
B

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing, bu uning qirralarining o'rta nuqtalari.

C1
D1
B1
A1
K
D
BILAN
N
E
A
M
B

Tekislik yordamida kubning kesmalarini qurish bilan bog'liq masalalar, qoida tariqasida, masalan, piramida kesimlari bilan bog'liq masalalarga qaraganda oddiyroqdir.

Ikki nuqta bir tekislikda yotsa, ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. Kubning qismlarini qurishda, kesish tekisligining izini qurish uchun boshqa variant ham mumkin. Uchinchi tekislik ikkita parallel tekislikni parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tganligi sababli, agar yuzlarning birida to'g'ri chiziq allaqachon qurilgan bo'lsa, ikkinchisida esa kesma o'tadigan nuqta bo'lsa, biz bunga parallel chiziq chizishimiz mumkin. bu nuqta orqali ishora qiling.

Keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar tekislik yordamida kubning kesmalarini yasash.

1) A, C va M nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.

Ushbu turdagi masalalar kubning kesimlarini qurish uchun eng oddiy masalalardir. A va C nuqtalar bir tekislikda (ABC) yotganligi sababli ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. Uning izi AC segmentidir. Bu ko'rinmas, shuning uchun biz ACni zarba bilan tasvirlaymiz. Xuddi shunday, biz bir tekislikda yotuvchi M va C nuqtalarni (CDD1) va bir tekislikda joylashgan A va M nuqtalarni (ADD1) bog'laymiz. Uchburchak ACM - kerakli qism.

2) M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.

Bu erda faqat M va N nuqtalar bir tekislikda yotadi (ADD1), shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz va MN (ko'rinmas) izini olamiz. Kubning qarama-qarshi yuzlari parallel tekisliklarda yotganligi sababli, kesish tekisligi parallel tekisliklarni (ADD1) va (BCC1) parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi. Biz allaqachon parallel chiziqlardan birini qurdik - bu MN.

P nuqta orqali MN ga parallel chiziq chizamiz. U BB1 chetini S nuqtada kesib o'tadi. PS - yuzdagi kesish tekisligining izi (BCC1).

Bir tekislikda yotgan M va S nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz (ABB1). Biz MS izini oldik (ko'rinadigan).

Samolyotlar (ABB1) va (CDD1) parallel. Tekislikda (ABB1) allaqachon MS to'g'ri chiziq mavjud, shuning uchun tekislikdagi N nuqta (CDD1) orqali MS ga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Bu chiziq D1C1 chetini L nuqtada kesib o'tadi. Uning izi NL (ko'rinmas). P va L nuqtalar bir tekislikda yotadi (A1B1C1), shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.

Pentagon MNLPS - kerakli bo'lim.

3) M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.

M va N nuqtalar bir tekislikda yotadi (VSS1), shuning uchun ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Biz MN izini olamiz (ko'rinadigan). Tekislik (BCC1) tekislikka (ADD1) parallel, shuning uchun (ADD1) yotgan P nuqta orqali MN ga parallel chiziq chizamiz. U E nuqtada AD qirrasini kesib o'tadi. Biz iz PE (ko'rinmas) oldik.

Endi bitta tekislikda yotadigan nuqtalar yoki parallel tekisliklarda to'g'ri chiziq va nuqtalar yo'q. Shuning uchun, qo'shimcha nuqta olish uchun mavjud chiziqlardan birini davom ettirishimiz kerak.

Agar MN chizig'ini davom ettirsak, u holda u (BCC1) tekislikda yotganligi uchun MN ning shu tekislik chiziqlaridan biri bilan kesishish nuqtasini izlash kerak. CC1 va B1C1 bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud - bular M va N. Qolgan narsa BC va BB1 to'g'ri chiziqlardir. BC va MN ni K nuqtada kesishguncha davom ettiramiz. K nuqta BC to‘g‘rida yotadi, ya’ni u tekislikka (ABC) tegishli ekanligini bildiradi, shuning uchun biz u orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va shu tekislikda joylashgan E nuqtani o‘tkazamiz. CD qirrasini H nuqtada kesib o'tadi. EH - uning izi (ko'rinmas). H va N bir tekislikda (CDD1) yotganligi uchun ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Biz HN (ko'rinmas) izini olamiz.

Samolyotlar (ABC) va (A1B1C1) parallel. Ularning birida EH chiziq, ikkinchisida M nuqta bor. M orqali EH ga parallel chiziq chizishimiz mumkin. Biz MF izini olamiz (ko'rinadigan). M va F nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazing.

Olti burchakli MNHEPF talab qilinadigan qismdir.

Agar MN toʻgʻri chiziqni boshqa toʻgʻri tekislik (BCC1) BB1 bilan kesishguncha davom ettirsak, (ABB1) tekislikka tegishli G nuqtani olgan boʻlamiz. Bu shuni anglatadiki, G va P orqali biz izi PF bo'lgan to'g'ri chiziq chizishimiz mumkin. Keyinchalik, parallel tekisliklarda yotgan nuqtalar orqali to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz va bir xil natijaga erishamiz.

To'g'ri PE bilan ishlash bir xil bo'lim MNHEPFni beradi.

4) M, N, P nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.

Bu yerda bir tekislikda (A1B1C1) yotgan M va N nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Uning izi MN (ko'rinadigan). Xuddi shu tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotadigan nuqtalar yo'q.

MN to'g'ri chiziqni davom ettiramiz. U (A1B1C1) tekislikda yotadi, shuning uchun u faqat shu tekislikning to'g'ri chiziqlaridan biri bilan kesishishi mumkin. A1D1 va C1D1 - N va M bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud. Ushbu tekislikning yana ikkita to'g'ri chizig'i - A1B1 va B1C1. A1B1 va MN ning kesishish nuqtasi S. U A1B1 toʻgʻrida joylashgani uchun u (ABB1) tekislikka tegishli, yaʼni u orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin va bir tekislikda yotgan P nuqta. PS chizig'i AA1 qirrasini E nuqtasida kesib o'tadi. PE - uning izi (ko'rinadigan). Bir tekislikda (ADD1) yotgan N va E nuqtalar orqali siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin, uning izi NE (ko'rinmas). Tekislikda (ADD1) NE chiziq, unga parallel (BCC1) tekislikda P nuqta bor. P nuqta orqali NE ga parallel PL chiziqni o'tkazishimiz mumkin. U CC1 chetini L nuqtada kesib o'tadi. PL - bu chiziqning izi (ko'rinadigan). M va L nuqtalar bir tekislikda yotadi (CDD1), ya'ni ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Uning izi ML (ko'rinmas). Pentagon MLPEN - kerakli bo'lim.

NM toʻgʻri chiziqni har ikki yoʻnalishda davom ettirish va uning kesishish nuqtalarini nafaqat A1B1 toʻgʻri chiziq bilan, balki tekislikda (A1B1C1) yotuvchi B1C1 toʻgʻri chiziq bilan ham izlash mumkin edi. Bunday holda, P nuqta orqali biz bir vaqtning o'zida ikkita to'g'ri chiziq chizamiz: biri tekislikda (ABB1) P va S nuqtalari orqali, ikkinchisi esa tekislikda (BCC1), P va R nuqtalari orqali. Shundan so'ng ulanish qoladi. bir tekislikda yotgan nuqtalar: M c L, E - N bilan.

2-son I-IIIII darajali umumiy ta'lim maktabi

Kirovskoye shahar ma'muriyatining ta'lim bo'limi

“Samolyot bo'ylab kub shaklida

va ularni masalalarda amaliy qo‘llash”.

Matematika o'qituvchisi tomonidan tayyorlangan

o'qituvchi-metodist

Chumakova G.V.

2015 yil

Kirish:

O'rta maktab geometriya kurslarida ham, turli darajadagi imtihonlarda ham ko'p yuzli qismlarni qurish muammolari muhim o'rin tutadi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish stereometriya aksiomalarini o'zlashtirishga, bilim va ko'nikmalarni tizimlashtirishga, fazoviy tushunish va konstruktiv ko'nikmalarni rivojlantirishga yordam beradi. Bo'limlarni qurish bilan bog'liq muammolarni hal qilishda yuzaga keladigan qiyinchiliklar yaxshi ma'lum.

Kesimlarni qurish usulini tashkil etuvchi asosiy harakatlar to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasini topish, ikki tekislikning kesishish chiziqlarini qurish, tekislikka parallel to'g'ri chiziq qurish va tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqni qurishdir. samolyot.

Men bitta masala yordamida bo'limni qurishni tasvirlab beraman maktab kursi matematika:

№1. Kubning kamida ikkita qismini yaratingABCDA 1 B 1 C 1 D 1 samolyot AM 1 C, agar M nuqtasi bo'lsa 1 BB segmenti bo'ylab harakatlanadi 1 B dan B gacha 1 . M nuqtadan chizilgan kesmaning balandligini o'lchash chegaralarini toping 1 .

Yechim: M nuqtasini olib, ikkita talab qilinadigan bo'limni quramiz 1 B nuqtaga yaqinroq va M nuqta 2 B ga yaqinroq 1 . Har ikkala bo'lim ham M nuqtasida harakatning boshida ko'rsatilgan 1 faqat B nuqtasidan uzoqlashdi 1 , kesma asosi AC va balandligi M bo'lgan uchburchakdir 1 BO segmentidan biroz kattaroq bo'lgan O, ya'ni.
Agar M nuqtasi 1 M pozitsiyasini egallaydi 2 B nuqtasiga juda yaqin joylashgan 1 , Bu AM 2 C bilan deyarli mos keladi AB 1 C, balandligi esa M 1 O - B segmenti bilan 1 O, kimning uzunligi
(OB 1 =
=
).

Bu erdan, uzluksizlik uchun biz xulosa qilamiz:

Agar M 1 nuqta B cho'qqisining pozitsiyasini egallasa nima bo'lishini ayniqsa ko'rib chiqishingiz kerak.

№2. Kubning chetlarida yotgan A 1, E va L uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik bilan kesma yasang.

A 1 ADD 1 va DD 1 C 1 C yuzlar tekisliklari DD 1 to‘g‘ri chiziq bo‘ylab, A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C yuzlari esa D 1 to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi. C 1. A va E nuqtalarni tutashtirib, kesuvchi tekislikning AA 1 D 1 D yuz tekisligi bilan kesishgan to‘g‘ri chizig‘ini olamiz va uni davom ettirib, uchta tekislikka tegishli N nuqtani topamiz: kesuvchi tekislik va kesuvchi tekislik. yuzlar tekisliklari AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C.

Xuddi shunday, uchta tekislik uchun umumiy M nuqtani topamiz: kesma tekisligi va A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C yuzlari tekisliklari. Shunday qilib, N u M nuqtalar kesish tekisligiga va DD 1 C 1 C tekislikka tegishli; MN to'g'ri chiziq - kesma tekisligining DD 1 C 1 C yuz tekisligi bilan kesishish chizig'i, F va K esa uning CD u CC 1 kubining qirralari bilan kesishish nuqtalari. A 1 , E , F , K u L nuqtalarni to'g'ri chiziqlar bilan izchil bog'lab, A beshburchakni olamiz! EFKL, bu bizga kerakli bo'limni beradi.

Samolyot yordamida kubning kesimini qurishda X bo'limdagi nuqtalarning o'zboshimchalik bilan joylashishi bilan natija: uchburchak, trapezoid, to'rtburchak, beshburchak yoki olti burchakli. Tabiiyki, bo'limning turi ushbu bo'limni belgilaydigan nuqtalarning joylashuvi turiga qanday bog'liqligi haqida savol tug'ildi.

Buni bilish uchun tadqiqot o'tkazishga qaror qildim.

Bir cho'qqisi bo'lgan qirralarga tegishli uchta nuqta berilganda, kubning kesmalarini tekislik bilan tuzing.

Uchta A 1, D, C 1 nuqtalar olinadi, ular D 1 uchiga tegishli va o'zlari kubning uchlari hisoblanadi.

Kesma natijasida teng tomonli uchburchak hosil bo‘ladi, chunki A 1 C 1, A 1 D u DC 1 bu kub yuzlarining diagonallaridir.

Uch nuqta: A 1 u C 1 kubning uchlari, F nuqta esa DD 1 kubining chetiga tegishli. Nuqtalar D 1 tepasidan chiqadigan to'g'ri chiziqlarga tegishli.

F nuqtadan A 1 u C 1 teng masofada joylashganligi uchun kesma natijasida teng yonli uchburchak hosil bo‘ladi.

Uch nuqta: A 1 u C 1 kubning uchlari, F nuqta esa kub chetining DD 1 to'g'ri chizig'iga tegishli. Nuqtalar bitta D 1 cho'qqisidan chiquvchi to'g'ri chiziqlarga tegishli.

Ko'ndalang kesimda bu chiqadi teng yonli trapezoid, chunki F A 1 u C 1 nuqtalardan teng masofada joylashgan, ya’ni LA 1 =KC 1.

Bir uchi D 1 bo'lgan qirralarga tegishli uchta nuqta. F u M nuqtalari mos ravishda D 1 D u D 1 C qirralarning davomlariga tegishli bo'lib, A 1 nuqta kubning cho'qqisidir.

Kesma natijasida A 1 KLNG beshburchak hosil bo'ladi.

F, M va Q uchta nuqta shunday olinadiki, ular mos ravishda D 1 D, D 1 C 1 va D 1 A 1 qirralarning davomida yotadi.

Kesma natijasida olti burchakli KLNGJH hosil bo'ladi.

Bir uchi D 1 bo'lgan qirralarda uchta nuqta yotadi.

Kesma natijasida ixtiyoriy uchburchak hosil bo‘ladi, lekin nuqtalar D 1 Q =D 1 M =D 1 F bo‘ladigan tarzda joylashtirilsa, ya’ni ular D 1 cho‘qqisidan teng masofada joylashgan bo‘lsa, u holda kesma hosil bo‘ladi. teng qirrali uchburchakda.

Kesish tekisligi H, Q va M nuqtalar bilan aniqlanadi. Kesma parallelogramm hosil qiladi, chunki KC ││ MP va MK ││ PC ikkita kesishuv haqidagi teorema bo'yicha. parallel tekisliklar uchinchi.

Agar ball H, Q va M, kesish tekisligini D dan uzoqda, 2a masofada aniqlang, bu erda a kubning cheti uchun, keyin kesmada ACB 1 muntazam uchburchak olinadi.

Xulosa: kesimni aniqlaydigan uchta nuqta umumiy uchi bo'lgan kubning uchta chetiga tegishli yoki ularning davomi bo'lib, u holda kesma natijasida: uchburchak, beshburchak, olti burchakli, trapezoid, parallelogramm paydo bo'ladi.

Kub kesimini tekislik bo'yicha qurish, uchta nuqta berilganda, ulardan ikkitasi qo'shni qirralarda, uchinchi nuqta esa ularga qo'shni bo'lmagan chekkada joylashgan.

Uch nuqta M, K u F shunday olinadiki, M u F bir uchi A 1 bo'lgan qirralarga tegishli bo'lib, K nuqta ularga qo'shni bo'lmagan chekkada yotadi.

Kesma natijasida to'rtburchaklar hosil bo'ladi, chunki A 1 M = D 1 K va uchta perpendikulyar teorema yordamida MKLF to'rtburchak ekanligini isbotlash mumkin va agar A 1 M bo'lsa. D 1 K, keyin siz trapezoid yoki beshburchak olishingiz mumkin.

Uch nuqta shunday olinadiki, K u L bitta A 1 cho'qqisidan chiquvchi qirralarga, N nuqta esa ularga qo'shni emas, CC 1 chetiga tegishli bo'lsin. K, L u N qirralarning o'rta nuqtalarining A 1 A, A 1 B 1 u CC 1 - mos ravishda.

Kesma natijasida muntazam olti burchakli KLGNHM hosil bo'ladi

Uch nuqta shunday olinadiki, K u L bitta A 1 cho'qqisidan chiquvchi qirralarga, T nuqta esa DC chetiga tegishli bo'lsin.

Kesma natijasida olti burchakli KLFRTZ hosil bo'ladi.

Uch nuqta olinadiki, K u L bitta A 1 tepasidan kubning chetlariga, M nuqta esa DD 1 chetiga tegishli bo'lsin.

Kesma natijasida trapezoid LKQM hosil bo'ladi.

Uch nuqta Bir cho'qqisi A 1 va BC chetida joylashgan R nuqtaga ega bo'lgan qirralarga tegishli K u L.

Kesma natijasida beshburchak KLFRT hosil bo'ladi.

Xulosa: Agar kesish tekisligi uchta nuqta bilan aniqlangan bo'lsa, ulardan ikkitasi qo'shni qirralarda, uchinchisi esa ularga qo'shni bo'lmagan chekkada yotsa, u holda kesma natijasida to'rtburchak, beshburchak, olti burchakli, trapezoid paydo bo'lishi mumkin.

Kubning kesma qismida parallelogramma va uning maxsus holatlari mavjud.

Ballar Bo'limni belgilovchi T, H, J shunday joylashganki T.H. AD, H.J. AD. Kesma natijasida kvadrat HTKJ hosil bo'ladi.

Bo'lim DF = FD 1, BL = LB 1 bilan C, F, L nuqtalari bilan belgilanadi. Kesma AFCL rombini hosil qiladi.

Kesim C, G, H nuqtalari bilan belgilanadi. B 1 H = DG. Kesmada A 1 GCH parallelogrammasi mavjud.

Kesimni aniqlovchi nuqtalar kubning A, D, C 1 uchlaridir. Kesma natijasida to'rtburchaklar hosil bo'ladi

Kubning ko'ndalang kesimi muntazam ko'pburchaklar

ABC 1 uchburchagi teng yonli, chunki uning tomonlari kub yuzlarining diagonallaridir.

KMT uchburchagi teng yonli, chunki KV = MV = TV.

KMTE kvadratdir, chunki kesma M, K, E va MK nuqtalari bilan belgilanadi AD, E.K. AD.

Kesim muntazam olti burchakli KMTNEOga ega, chunki kesimni belgilovchi H, E, K nuqtalari mos ravishda CC 1, DC, AA 1 qirralarning o'rta nuqtalari hisoblanadi.

Kub va yagona davlat imtihonidan stereometriya bo'yicha bir nechta muammolar.

Qo'llanmada "Yagona davlat imtihoni 2005. Matematika. Tipik test masalalari” (Kornikova T. A. va boshqalar) Stereometriya bo‘yicha 10 ta masalani (C4) o‘z ichiga oladi, umumiy g‘oya bilan birlashtirilgan: ABCA uchburchak prizmasi berilgan. 1 IN 1 BILAN 1 AB va BC asosining tomonlari o'zaro perpendikulyar va BB chetiga perpendikulyar. 1 , AB=BC=BB 1 , A cho'qqisi - konusning cho'qqisi (yoki silindr asoslaridan birining markazi yoki sharning markazi), konusning asosi (shar yoki silindrning ikkinchi asosi) o'rtasidan o'tadi. prizmaning bir qirrasi, uning uzunligi ma'lum. Biz konusning (sfera, silindr) hajmini yoki sirtini topishimiz kerak.

Umumiy misol yechimlar:

Ushbu prizmani kubga qo'shing. Olti burchakli DEFKLM - kubning konus asosi tekisligi bo'yicha kesmasi, uning doirasi A 1 B 1 o'rtasidan o'tadi, A konusning tepasi yoki

DEFKLM - kubning silindr asosi tekisligi bo'yicha kesmasi, uning doirasi A 1 B 1 ning o'rtasidan o'tadi, A silindrning ikkinchi asosining markazi yoki u bir qismdir. kub A 1 B 1 ning o'rtasidan o'tadigan, markazi A bo'lgan sharning katta doirasi tekisligi bilan.

Olti burchakliDEFKLM– kubning A qirralarining o‘rtasidan o‘tuvchi tekislik bilan kesmasi 1 IN 1 , BB 1 , VSZh punktlarini qurishda olinadiK, L, M, mos keladigan qirralarning o'rta nuqtalari. Bu oltiburchakning tomonlari uchburchaklarning gipotenuzalaridirD.B. 1 E, EBF, FCK, KQL, LRM, M.A. 1 D, oyoqlari kubning chetining yarmiga teng. Keyin bu oltiburchakning markazi uning atrofida aylananing markazi bo'lib, kubning qirralarini nuqtalarda kesib o'tadi.D, E, F, K, Lva M, bu doiraning radiusi
, bu erda A 1 IN 1 = A .

A.O. E.L. T. Kimga. EAL - teng yon tomonlar:AL = A.E. .

( ABE u EAL- to'rtburchaklar,AB= AQ= A, BO'LING = L.Q. = )

EO =OL olti burchakli DEFKLM diagonali ELning o'rta nuqtasi sifatida, ya'ni AO mediana va uning xususiyatlariga ko'ra. teng yonli uchburchak va balandligi. AO xuddi shunday tarzda isbotlangan DK. AO olti burchakli tekislikning ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chizig‘iga perpendikulyar bo‘lgani uchun AO butun tekislikka perpendikulyar bo‘ladi.

Agar A - konusning tepasi bo'lsa, unda AO - uning balandligi, agar A - silindrning ikkinchi asosining markazi bo'lsa, AO - silindrning balandligi.

ABC: AC =
, P – kub asosi diagonallarining kesishish nuqtalari, AP=
, RR 1 =AA 1 = A . OR=RR 1 = , keyin to'rtburchakdan ROA OAJ =
. Va shuning uchun AO =
.

Keyin, agar biz konus haqida gapiradigan bo'lsak:

=

(dan
).

Javob:

Agar biz silindr haqida gapiradigan bo'lsak:

Javob:

Agar biz soha haqida gapiradigan bo'lsak:

Javob:

Kornikova T. A. va boshqa tipik test topshiriqlari. Yagona davlat imtihoni - 2005 yil

Variant 6.

Vazifa. ABCA 1 B 1 C 1 prizmasi va silindr berilgan. Prizma asosining AB va BC tomonlari BB 1 chetiga perpendikulyar va o'zaro perpendikulyar. Tsilindr asosining markazi A 1 nuqtadir, ikkinchi asosning doirasi A 1 B 1 chetining o'rtasidan o'tadi.

Hududni toping to'liq sirt silindr, agar BB 1 =AB=BC=10 bo'lsa. Uning hajmini toping.

Yechim:

.
.

"Sir uch ochko» Axborot va tadqiqot loyihasi

Loyihaning maqsadlari: uch nuqtadan o'tuvchi kub shaklida kesmalarni qurish; “Kubikni tekislik bilan kesish” mavzusida masalalar tuzish; taqdimot dizayni; nutqni tayyorlash.

Evklid geometriyasida qirollik yo'li yo'q

Stereometriya aksiomalari Fazodagi bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday uchta nuqta orqali bitta tekislik mavjud.

Kub bilan bog'liq ko'plab geometrik masalalarni yechish uchun turli tekisliklardan foydalanib, ularning kesmalarini chiza olish foydalidir. Kesim deganda biz har qanday tekislikni (kesuvchi tekislik deb ataymiz) tushunamiz, uning ikkala tomonida ham berilgan figuraning nuqtalari joylashgan. Kesuvchi tekislik ko'pburchakni segmentlar bo'ylab kesib o'tadi. Ushbu segmentlar tomonidan hosil bo'ladigan ko'pburchak shaklning kesimidir.

Ko'p yuzli kesimlarni qurish qoidalari: 1) bir tekislikda yotgan nuqtalar orqali to'g'ri chiziqlar o'tkazish; 2) kesuvchi tekislikning ko‘pburchak yuzlari bilan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kesishish joylarini qidiramiz, buning uchun: a) kesuvchi tekislikka tegishli to‘g‘ri chiziqning kesishgan nuqtalardan biriga tegishli to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtalarini qidiramiz. yuzlar (bir xil tekislikda yotish); b) kesuvchi tekislik parallel to'g'ri chiziqlar bo'ylab parallel yuzlarni kesib o'tadi.

Kubning olti tomoni bor. Uning ko'ndalang kesimi bo'lishi mumkin: uchburchaklar, to'rtburchaklar, beshburchaklar, olti burchaklar.

Keling, ushbu bo'limlarning qurilishini ko'rib chiqaylik.

Uchburchak

Olingan uchburchak EFG kerakli qism bo'ladi. Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini yasang.

A, C va M nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.

Bir tepadan chiqadigan kubning chetlarida yotgan nuqtalardan o'tuvchi kub kesimini qurish uchun bu nuqtalarni segmentlar bilan bog'lash kifoya. Kesma uchburchak hosil qiladi.

To'rtburchak

Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini yasang.

Olingan to'rtburchak BCFE kerakli qism bo'ladi. Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kub kesimini tuzing, buning uchun AE = DF. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalaridan o'tuvchi kesmasini qurish uchun E va F nuqtalarni bog'lang. EF chizig'i AD va shuning uchun BC ga parallel bo'ladi. Keling, E va B, F va C nuqtalarini bog'laymiz.

Kubning qirralari va B cho'qqisida yotgan E, F nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing. Yechim. Kubning E, F va B cho'qqilari orqali o'tuvchi kesimini qurish uchun E va B, F va B nuqtalarni segmentlar bilan bog'lang. E va F nuqtalar orqali mos ravishda BF va BE ga parallel chiziqlar chizamiz.

Olingan parallelogramma BFGE kerakli kesma bo'ladi, kub va B cho'qqilarida yotgan E, F nuqtalaridan o'tadigan tekislik bilan kubning kesmasini tuzing. Yechim. Kubning E, F va B cho'qqilari orqali o'tuvchi kesimini qurish uchun E va B, F va B nuqtalarni segmentlar bilan bog'lang. E va F nuqtalar orqali mos ravishda BF va BE ga parallel chiziqlar chizamiz.

Kesuvchi tekislik kubning chetlaridan biriga parallel yoki chetidan o'tadi (to'rtburchak) Kesuvchi tekislik kubning to'rtta parallel chetini kesib o'tadi (paralelogramma)

Pentagon

Hosil bo'lgan beshburchak EFSGQ kerakli kesma bo'ladi Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalaridan o‘tuvchi kesmasini qurish uchun EF to‘g‘ri chiziq chizib, uning AD bilan kesishgan nuqtasini P ni belgilang. PG to‘g‘ri chiziqning AB va DC bilan kesishish nuqtalarini Q, R bilan belgilaymiz. FR ning CC 1 bilan kesishgan nuqtasini S bilan belgilaymiz. E va Q, G va S nuqtalarni tutashtiramiz.

P nuqta orqali MN ga parallel chiziq chizamiz. U BB1 chetini S nuqtada kesib o'tadi. PS - yuzdagi kesish tekisligining izi (BCC1). Bir tekislikda yotgan M va S nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz (ABB1). Biz MS izini oldik (ko'rinadigan). Samolyotlar (ABB1) va (CDD1) parallel. Tekislikda (ABB1) allaqachon MS to'g'ri chiziq mavjud, shuning uchun tekislikdagi N nuqta (CDD1) orqali MS ga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Bu chiziq D1C1 chetini L nuqtada kesib o'tadi. Uning izi NL (ko'rinmas). P va L nuqtalar bir tekislikda yotadi (A1B1C1), shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Pentagon MNLPS - kerakli bo'lim.

Kub tekislik bilan kesilganda, ikkita juft parallel tomoni bo'lgan yagona beshburchak hosil bo'lishi mumkin.

Olti burchakli

Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini yasang. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalaridan o'tuvchi kesmasini qurish uchun, bir nuqtani topamiz EF to'g'ri chiziq va ABCD yuz tekisligi kesishuvining P. PG to‘g‘ri chiziqning AB va CD bilan kesishgan nuqtalarini Q, R bilan belgilaymiz. RF chizig'ini o'tkazamiz va uning CC 1 va DD 1 bilan kesishgan nuqtalarini S, T ni belgilaymiz. TE chizig'ini o'tkazamiz va uning A 1 D bilan kesishgan nuqtasini U ni belgilaymiz 1. E va Q, G va S, F nuqtalarni bog'laymiz. va U. Olingan olti burchakli EUFSGQ kerakli qism bo'ladi.

Kub tekislik bilan kesilganda, uchta juft parallel tomonlari bo'lgan yagona olti burchak hosil bo'lishi mumkin.

Berilgan: M€AA1 , N€B1C1,L€AD Build: (MNL)