Kvadrat ildiz tengsizligini qanday yechish mumkin. Chiziqli tengsizliklarni yechish usullari

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Nima bo'ldi "kvadrat tengsizlik"? Savol yo'q!) Agar olsangiz har qanday kvadrat tenglama va undagi belgini almashtiring "=" (teng) har qanday tengsizlik belgisiga ( > ≥ < ≤ ≠ ), kvadrat tengsizlikni olamiz. Masalan:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Xo'sh, tushunasiz ...)

Bu yerda tenglamalar va tengsizliklarni bog‘laganim bejiz emas. Gap shundaki, hal qilishda birinchi qadam har qanday kvadrat tengsizlik - bu tengsizlik tuzilgan tenglamani yeching. Shu sababli - qaror qabul qila olmaslik kvadrat tenglamalar avtomatik ravishda tengsizliklarda to'liq muvaffaqiyatsizlikka olib keladi. Maslahat aniqmi?) Agar biror narsa bo'lsa, har qanday kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqing. U erda hamma narsa batafsil tasvirlangan. Va bu darsda biz tengsizliklar bilan shug'ullanamiz.

Yechish uchun tayyor tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega: chap tomonda kvadrat uchburchak joylashgan ax 2 +bx+c, o'ngda - nol. Tengsizlik belgisi mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin. Birinchi ikkita misol bu erda qaror qabul qilishga allaqachon tayyor. Uchinchi misol hali tayyorlanishi kerak.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Tengsizlik belgilari haqida nimani bilishingiz kerak? Belgilar bilan tengsizliklar Ko'proq (> ), yoki Ozroq (< ) deyiladi qattiq. Belgilar bilan ko'proq yoki teng (≥ ), kamroq yoki teng (≤ ) deyiladi qattiq emas. Belgi teng emas (≠ ) bir-biridan ajralib turadi, lekin siz ham doim ushbu belgi bilan misollarni yechishingiz kerak. Va biz qaror qilamiz.)

Belgining o'zi hal qilish jarayoniga katta ta'sir ko'rsatmaydi. Ammo qaror oxirida, yakuniy javobni tanlashda, belgining ma'nosi to'liq kuchda namoyon bo'ladi! Buni biz quyida misollarda ko'ramiz. U yerda qandaydir hazillar bor...

Tenglik kabi tengsizliklar ham mavjud sodiq va bevafo. Bu erda hamma narsa oddiy, hiyla yo'q. Aytaylik, 5 > 2 - haqiqiy tengsizlik. 5 < 2 - noto'g'ri.

Ushbu tayyorgarlik tengsizliklar uchun ishlaydi har qanday va dahshat darajasida oddiy.) Siz ikkita (faqat ikkita!) elementar harakatni to'g'ri bajarishingiz kerak. Bu harakatlar hamma uchun tanish. Lekin xarakterli jihati shundaki, bu harakatlardagi xatolar tengsizliklarni yechishdagi asosiy xatodir, ha... Shuning uchun bu harakatlar takrorlanishi kerak. Ushbu harakatlar quyidagicha nomlanadi:

Tengsizliklarning bir xil o'zgarishlari.

Tengsizliklarni bir xil o'zgartirishlar tenglamalarning bir xil o'zgarishlariga juda o'xshash. Aslida, bu asosiy muammo. Farqlar sizning boshingizdan o'tadi va ... mana siz.) Shuning uchun, men bu farqlarni alohida ta'kidlayman. Shunday qilib, tengsizliklarning birinchi bir xil o'zgarishi:

1. Bir xil son yoki ifodani tengsizlikning ikkala tomoniga qo‘shish (ayirish) mumkin. Har qanday. Bu tengsizlik belgisini o'zgartirmaydi.

Amalda bu qoida atamalarni tengsizlikning chap tomonidan o'ngga (va aksincha) belgisini o'zgartirish bilan o'tkazish sifatida ishlatiladi. Tengsizlik emas, atama belgisining o'zgarishi bilan! Yakkama-yakka qoida tenglamalar qoidasi bilan bir xil. Ammo tengsizliklardagi quyidagi bir xil o'zgarishlar tenglamalardagidan sezilarli darajada farq qiladi. Shuning uchun men ularni qizil rang bilan ta'kidlayman:

2. Tengsizlikning ikkala tomonini bir xil narsaga ko'paytirish (bo'lish) mumkinijobiyraqam. Har qanday uchunijobiy O'zgarmaydi.

3. Tengsizlikning ikkala tomonini bir xil narsaga ko'paytirish (bo'lish) mumkinsalbiy raqam. Har qanday uchunsalbiyraqam. Bundan tengsizlik belgisiaksincha o'zgaradi.

Esingizdami (umid qilamanki ...) tenglamani har qanday narsaga ko'paytirish/bo'lish mumkin. Va har qanday raqam uchun va X bilan ifoda uchun. Agar u nol bo'lmasa edi. Bu uni qiladi, tenglama, na issiq, na sovuq.) Bu o'zgarmaydi. Ammo tengsizliklar ko'paytirish/bo'lish uchun ko'proq sezgir.

Yaxshi misol uzoq xotira uchun. Shubha tug'dirmaydigan tengsizlikni yozamiz:

5 > 2

Ikkala tomonni ko'paytiring +3, olamiz:

15 > 6

E'tirozlar bormi? Hech qanday e'tiroz yo'q.) Va agar biz asl tengsizlikning ikkala tomonini ko'paytirsak -3, olamiz:

15 > -6

Va bu ochiq yolg'on.) To'liq yolg'on! Xalqni aldash! Ammo tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartirsangiz, hamma narsa joyiga tushadi:

15 < -6

Men yolg'on va yolg'on haqida qasam ichmayman.) "Tenglik belgisini o'zgartirishni unutibman ..."- Bu uy tengsizliklarni yechishdagi xato. Bu arzimas va oddiy qoida juda ko'p odamlarni xafa qildi! Qaysi ular unutgan ...) Shunday qilib, men qasam ichaman. Balki eslayman...)

Ayniqsa diqqatli odamlar tengsizlikni X bilan ko'paytirib bo'lmasligini payqashadi. Ehtiyotkorlarga hurmat!) Nega? Javob oddiy. Biz X bilan bu ifodaning belgisini bilmaymiz. Ijobiy, manfiy bo'lishi mumkin... Shuning uchun ko'paytirishdan keyin qaysi tengsizlik belgisini qo'yishni bilmaymiz. Uni o'zgartirishim kerakmi yoki yo'qmi? Noma'lum. Albatta, bu cheklovni (tengsizlikni x bilan ifodaga ko'paytirish/bo'lish taqiqlanishi) chetlab o'tish mumkin. Agar sizga haqiqatan ham kerak bo'lsa. Ammo bu boshqa darslar uchun mavzu.

Bu tengsizliklarning barcha bir xil o'zgarishlari. Ular uchun ishlashlarini yana bir bor eslatib o'taman har qanday tengsizliklar Endi siz ma'lum turlarga o'tishingiz mumkin.

Chiziqli tengsizliklar. Yechim, misollar.

Chiziqli tengsizliklar x birinchi darajali va x ga bo'linmaydigan tengsizliklardir. Turi:

x+3 > 5x-5

Bunday tengsizliklar qanday hal qilinadi? Ularni hal qilish juda oson! Ya'ni: yordamida biz eng chalkash chiziqli tengsizlikni kamaytiramiz to'g'ridan-to'g'ri javobga. Bu yechim. Men qarorning asosiy nuqtalarini ta'kidlayman. Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun.)

Keling, ushbu tengsizlikni hal qilaylik:

x+3 > 5x-5

Biz uni chiziqli tenglama bilan bir xil tarzda hal qilamiz. Faqatgina farq bilan:

Biz tengsizlik belgisini diqqat bilan kuzatib boramiz!

Birinchi qadam eng keng tarqalgan. X bilan - chapga, Xsiz - o'ngga... Bu birinchi bir xil o'zgartirish, oddiy va muammosiz.) Faqat uzatilgan atamalarning belgilarini o'zgartirishni unutmang.

Tengsizlik belgisi qoladi:

x-5x > -5-3

Mana shunga o'xshashlar.

Tengsizlik belgisi qoladi:

4x > -8

Oxirgi bir xil o'zgartirishni qo'llash qoladi: ikkala tomonni -4 ga bo'ling.

ga bo'ling salbiy raqam.

Tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi:

X < 2

Bu javob.

Barcha chiziqli tengsizliklar shu tarzda echiladi.

Diqqat! 2-nuqta oq chizilgan, ya'ni. bo'yalmagan. Ichi bo'sh. Bu uning javobga kiritilmaganligini anglatadi! Men uni ataylab sog'lom chizganman. Matematikada bunday nuqta (bo'sh, sog'lom emas!)) deyiladi teshilgan nuqta.

Eksadagi qolgan raqamlar belgilanishi mumkin, lekin kerak emas. Bizning tengsizligimiz bilan bog'liq bo'lmagan begona raqamlar chalkash bo'lishi mumkin, ha ... Faqat raqamlar o'q yo'nalishi bo'yicha ortib borishini esga olishingiz kerak, ya'ni. 3, 4, 5 raqamlari va boshqalar. bor O'ngga ikkilik, raqamlar esa 1, 0, -1 va hokazo. - Chapga.

Tengsizlik x < 2 - qattiq. X qat'iy ravishda ikkitadan kamroq. Agar shubhangiz bo'lsa, tekshirish oddiy. Biz shubhali raqamni tengsizlikka almashtiramiz va o'ylaymiz: "Ikki ikkitadan kammi?" Aynan shunday. Tengsizlik 2 < 2 noto'g'ri. Buning evaziga ikkitasi mos emas.

Bittasi yaxshimi? Albatta. Kamroq ... Va nol yaxshi, va -17 va 0,34 ... Ha, ikkitadan kichik bo'lgan barcha raqamlar yaxshi! Va hatto 1.9999.... Hech bo'lmaganda bir oz, lekin kamroq!

Shunday qilib, keling, ushbu raqamlarning barchasini raqamlar o'qida belgilaymiz. Qanaqasiga? Bu erda variantlar mavjud. Birinchi variant - soya qilish. Biz sichqonchani rasm ustiga olib boramiz (yoki planshetdagi rasmga tegizamiz) va x shartiga javob beradigan barcha x ning maydoni soyalanganligini ko'ramiz. < 2 . Ana xolos.

Keling, ikkinchi misol yordamida ikkinchi variantni ko'rib chiqaylik:

X ≥ -0,5

O'qni chizing va -0,5 raqamini belgilang. Mana bunday:

Farqga e'tibor bering?) Xo'sh, ha, buni sezmaslik qiyin ... Bu nuqta qora! Bo'yalgan. Bu -0,5 degan ma'noni anglatadi javobga kiritilgan. Bu erda, aytmoqchi, tekshirish kimnidir chalkashtirib yuborishi mumkin. Keling, almashtiramiz:

-0,5 ≥ -0,5

Qanaqasiga? -0,5 -0,5 dan oshmaydi! Va yana bir belgi bor ...

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Zaif tengsizlikda belgiga mos keladigan hamma narsa mos keladi. VA teng yaxshi, va Ko'proq yaxshi. Shuning uchun javobga -0,5 kiritiladi.

Shunday qilib, biz o'qda -0,5 ni belgiladik; -0,5 dan katta bo'lgan barcha raqamlarni belgilash qoladi. Bu safar men hududni belgilayapman mos qiymatlar X ta'zim(so'zidan yoy), soya qilishdan ko'ra. Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va bu kamonni ko'ramiz.

Soya va qo'llar o'rtasida alohida farq yo'q. O'qituvchi aytganidek qiling. Agar o'qituvchi bo'lmasa, kamarlarni torting. Ko'proq qiyin vazifalar soyalanish kamroq aniq. Siz chalkashib ketishingiz mumkin.

Chiziqli tengsizliklar o'qga shunday chiziladi. Keling, tengsizliklarning keyingi xususiyatiga o'tamiz.

Tengsizliklarga javob yozish.

Tenglamalar yaxshi edi.) Biz x topdik va javobni yozdik, masalan: x=3. Tengsizliklarda javob yozishning ikki shakli mavjud. Ulardan biri yakuniy tengsizlik shaklida. Oddiy holatlar uchun yaxshi. Masalan:

X< 2.

Bu to'liq javob.

Ba'zan siz bir xil narsani yozishingiz kerak, lekin boshqa shaklda, raqamlar oralig'ida. Keyin yozuv juda ilmiy ko'rinishni boshlaydi):

x ∈ (-∞; 2)

Belgi ostida ∈ so'z yashirin "egalik".

Kirish quyidagicha o'qiladi: x minus cheksizlikdan ikkigacha bo'lgan intervalga tegishli shu jumladan emas. Juda mantiqiy. X barcha mumkin bo'lgan raqamlardan minus cheksizlikdan ikkitagacha bo'lgan istalgan son bo'lishi mumkin. Qo'sh X bo'lishi mumkin emas, bu so'z bizga aytadi "shu jumladan emas".

Va javobning qayerida bu aniq "shu jumladan emas"? Bu fakt javobda qayd etilgan dumaloq ikkitadan keyin darhol qavs. Agar ikkitasi kiritilgan bo'lsa, qavs bo'lar edi kvadrat. Mana:]. IN quyidagi misol bunday qavs ishlatiladi.

Javobni yozamiz: x ≥ -0,5 intervallarda:

x ∈ [-0,5; +∞)

O'qiladi: x minus 0,5 oralig'iga tegishli, shu jumladan, ortiqcha cheksizlikka.

Infinity hech qachon yoqilmaydi. Bu raqam emas, bu belgi. Shuning uchun bunday belgilarda cheksizlik har doim qavsga qo'shni bo'ladi.

Yozib olishning ushbu shakli bir nechta bo'shliqlardan iborat murakkab javoblar uchun qulaydir. Lekin - faqat yakuniy javoblar uchun. Qo'shimcha yechim kutilayotgan oraliq natijalarda odatdagi shakldan, shaklda foydalanish yaxshiroqdir oddiy tengsizlik. Buni tegishli mavzularda ko'rib chiqamiz.

Tengsizliklar bilan mashhur vazifalar.

Chiziqli tengsizliklarning o'zi oddiy. Shuning uchun vazifalar ko'pincha qiyinlashadi. Shuning uchun o'ylash kerak edi. Bu, agar siz bunga o'rganmagan bo'lsangiz, unchalik yoqimli emas.) Lekin bu foydali. Men bunday vazifalarning misollarini ko'rsataman. Siz ularni o'rganishingiz uchun emas, bu keraksiz. Va bunday misollarni uchratishda qo'rqmaslik uchun. Bir oz o'ylab ko'ring - va bu juda oddiy!)

1. 3x - 3 tengsizligining istalgan ikkita yechimini toping< 0

Agar nima qilish kerakligi aniq bo'lmasa, matematikaning asosiy qoidasini eslang:

Agar sizga nima kerakligini bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!)

X < 1

Nima bo `pti? Hech qanday maxsus narsa yo'q. Ular bizdan nimani so'rayapti? Bizdan tengsizlikning yechimi bo'lgan ikkita aniq sonni topish so'raladi. Bular. javobga mos. Ikki har qanday raqamlar. Aslida, bu chalkash.) Bir juft 0 va 0,5 mos keladi. Juftlik -3 va -8. Ha, bu juftliklar cheksiz to'plam! Qaysi javob to'g'ri?!

Men javob beraman: hamma narsa! Har biri bittadan kichik bo'lgan har qanday juft raqamlar, to'g'ri javob bo'ladi. Qaysi birini xohlayotganingizni yozing. Keling, davom etaylik.

2. Tengsizlikni yeching:

4x - 3 ≠ 0

Ushbu shakldagi vazifalar kamdan-kam uchraydi. Ammo, yordamchi tengsizliklar sifatida, masalan, ODZ ni topishda yoki funktsiyani aniqlash sohasini topishda ular doimo yuzaga keladi. Bunday chiziqli tengsizlikni oddiy chiziqli tenglama sifatida yechish mumkin. Faqat "=" belgisidan tashqari hamma joyda ( teng) belgi qo'ying " ≠ " (teng emas). Javobga tengsizlik belgisi bilan shunday yondashasiz:

X ≠ 0,75

Ko'proq murakkab misollar, narsalarni boshqacha qilish yaxshiroq. Tenglikdan tengsizlik hosil qiling. Mana bunday:

4x - 3 = 0

O'rgatilgandek xotirjamlik bilan hal qiling va javobni oling:

x = 0,75

Asosiysi, yakuniy javobni yozayotganda, biz x topilganimizni unutmang, bu beradi tenglik. Va bizga kerak - tengsizlik. Shuning uchun, bizga bu X kerak emas.) Va biz uni to'g'ri belgi bilan yozishimiz kerak:

X ≠ 0,75

Ushbu yondashuv bilan bu chiqadi kamroq xatolar. Tenglamalarni avtomatik yechiydiganlar. Tenglamalarni yechmaydiganlar uchun esa tengsizliklar, aslida, foydasiz...) Ommabop topshiriqning yana bir misoli:

3. Tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping:

3(x - 1) < 5x + 9

Avval biz tengsizlikni oddiygina hal qilamiz. Biz qavslarni ochamiz, ularni siljitamiz, o'xshashlarini keltiramiz ... Biz olamiz:

X > - 6

Shunday bo'lmadimi!? Belgilarga amal qildingizmi? Va a'zolar belgilari ortida va tengsizlik belgisi ortida ...

Keling, yana bir bor o'ylab ko'raylik. Javobga ham, shartga ham mos keladigan aniq raqamni topishimiz kerak "eng kichik butun son". Agar u darhol sizga tushmasa, siz istalgan raqamni olib, uni aniqlab olishingiz mumkin. Ikki minus oltimi? Albatta! Tegishli kichikroq raqam bormi? Albatta. Masalan, nol -6 dan katta. Va hatto kamroqmi? Bizga eng kichik narsa kerak! Minus uch - minus oltidan ko'p! Siz allaqachon namunani qo'lga olishingiz va raqamlarni ahmoqona o'tkazishni to'xtatishingiz mumkin, shunday emasmi?)

Keling, -6 ga yaqinroq sonni olaylik. Masalan, -5. Javob bajarildi, -5 > - 6. -5 dan kichik, lekin -6 dan katta boshqa sonni topish mumkinmi? Siz, masalan, -5,5... To'xtang! Bizga aytiladi butun yechim! Aylanmaydi -5,5! Minus olti haqida nima deyish mumkin? Uh-uh! Tengsizlik qat'iy, minus 6 minus 6 dan kam emas!

Shuning uchun to'g'ri javob -5.

Umid qilamanki, qiymatlarni tanlash bilan umumiy yechim hammasi tushunarli. Yana bir misol:

4. Tengsizlikni yeching:

7 < 3x+1 < 13

Voy-buy! Bu ifoda deyiladi uch karra tengsizlik. To'g'ri aytganda, bu tengsizliklar tizimining qisqartirilgan shakli. Ammo bunday uch karra tengsizliklarni hali ham ba'zi vazifalarda hal qilish kerak ... Hech qanday tizimsiz hal qilish mumkin. Xuddi shu o'zgarishlarga ko'ra.

Biz soddalashtirishimiz, bu tengsizlikni sof X ga keltirishimiz kerak. Lekin... Nimani qaerga o'tkazish kerak?! Bu erda chapga va o'ngga harakat qilish kerakligini eslash vaqti keldi qisqartirilgan shakl birinchi identifikatsiya konvertatsiyasi.

Va to'liq shakl shunday eshitiladi: Har qanday son yoki ifoda tenglamaning har ikki tomoniga (tengsizlik) qo‘shilishi/ayirilishi mumkin.

Bu erda uchta qism mavjud. Shunday qilib, biz har uch qismga bir xil o'zgarishlarni qo'llaymiz!

Shunday qilib, keling, tengsizlikning o'rta qismidan xalos bo'laylik. Keling, butun o'rta qismdan bittasini ayiraylik. Tengsizlik o'zgarmasligi uchun qolgan ikki qismdan bittasini ayiramiz. Mana bunday:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu yaxshiroq, to'g'rimi?) Barcha uch qismni uchga bo'lish qoladi:

2 < X < 4

Ana xolos. Bu javob. X ikkitadan (shu jumladan emas) to'rtgacha (shu jumladan emas) har qanday raqam bo'lishi mumkin. Bu javob oraliqda ham yoziladi, bunday yozuvlar kvadrat tengsizliklarda bo'ladi; U erda ular eng keng tarqalgan narsa.

Dars oxirida men eng muhim narsani takrorlayman. Chiziqli tengsizliklarni yechishdagi muvaffaqiyat chiziqli tenglamalarni o'zgartirish va soddalashtirish qobiliyatiga bog'liq. Agar bir vaqtning o'zida tengsizlik belgisiga e'tibor bering, hech qanday muammo bo'lmaydi. Sizga shuni tilayman. Muammosiz.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Tuzilishi va tuzilishi jihatidan o'xshash tengsizliklarni qanday yechish kerakligini hamma ham bilmaydi o'ziga xos xususiyatlar tenglamalar bilan. Tenglama ikki qismdan tashkil topgan mashq bo‘lib, ular orasida tenglik belgisi, tengsizlik qismlari orasida esa “ko‘p” yoki “kichik” belgisi bo‘lishi mumkin. Shunday qilib, ma'lum bir tengsizlikning echimini topishdan oldin, agar ikkala tomonni har qanday ifoda bilan ko'paytirish zarurati tug'ilsa, raqamning belgisini (ijobiy yoki manfiy) hisobga olish kerakligini tushunishimiz kerak. Agar tengsizlikni yechish uchun kvadratlashtirish zarur bo'lsa, xuddi shu faktni hisobga olish kerak, chunki kvadratlashtirish ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.

Tengsizliklar tizimini qanday yechish mumkin

Tengsizliklar tizimini yechish oddiy tengsizliklarga qaraganda ancha qiyin. Tengsizliklarni qanday yechish mumkin 9-sinf, keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar. Shuni tushunish kerakki, kvadrat tengsizliklar (tizimlar) yoki boshqa tengsizliklar tizimini echishdan oldin har bir tengsizlikni alohida yechish, keyin ularni solishtirish kerak. Tengsizlik tizimining yechimi ijobiy yoki salbiy javob bo'ladi (tizimning yechimi bormi yoki yo'qmi).

Vazifa tengsizliklar to'plamini hal qilishdir:

Har bir tengsizlikni alohida yechamiz

Biz yechimlar to'plamini tasvirlaydigan raqamlar chizig'ini quramiz

To'plam yechimlar to'plamining birlashmasi bo'lganligi sababli, raqamlar qatoridagi bu to'plam kamida bitta chiziq bilan chizilgan bo'lishi kerak.

Modulli tengsizliklarni yechish

Ushbu misol modulli tengsizliklarni qanday hal qilishni ko'rsatadi. Shunday qilib, bizda ta'rif mavjud:

Tengsizlikni yechishimiz kerak:

Bunday tengsizlikni yechishdan oldin moduldan (belgidan) qutulish kerak.

Keling, ta'rif ma'lumotlariga asoslanib yozamiz:

Endi siz tizimlarning har birini alohida hal qilishingiz kerak.

Keling, yechimlar to'plamini tasvirlaydigan bitta raqam chizig'ini quraylik.

Natijada, bizda ko'plab echimlarni birlashtirgan to'plam mavjud.

Kvadrat tengsizliklarni yechish

Son qatoridan foydalanib, kvadrat tengsizliklarni yechish misolini ko‘rib chiqamiz. Bizda tengsizlik bor:

Kvadrat uch a’zoning grafigi parabola ekanligini bilamiz. Bundan tashqari, agar a>0 bo'lsa, parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligini bilamiz.

x 2 -3x-4< 0

Vyeta teoremasidan foydalanib, x 1 = - 1 ildizlarni topamiz; x 2 = 4

Keling, parabolani, aniqrog'i, uning eskizini chizamiz.

Shunday qilib, biz kvadrat uch a'zoning qiymatlari - 1 dan 4 gacha bo'lgan oraliqda 0 dan kichik bo'lishini aniqladik.

Ko'pchilik g (x) kabi qo'shaloq tengsizliklarni yechishda savollarga ega.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Aslida, tengsizliklarni hal qilishning bir necha usullari mavjud, shuning uchun siz foydalanishingiz mumkin murakkab tengsizliklar grafik usuli.

Kasrli tengsizliklarni yechish

Ular yanada ehtiyotkor yondashuvni talab qiladi kasrli tengsizliklar. Buning sababi, ayrim kasrli tengsizliklarni yechish jarayonida belgi o'zgarishi mumkin. Kasrli tengsizliklarni yechishdan oldin ularni yechishda interval usuli qo‘llanilishini bilish kerak. Kasr tengsizlik belgining bir tomoni kasrli ratsional ifodaga, ikkinchi tomoni esa "- 0" ga o'xshab ko'rinadigan tarzda taqdim etilishi kerak. Tengsizlikni shu tarzda o'zgartirib, natijada f(x)/g(x) > ( ni olamiz.

Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish

Interval texnikasi to'liq induksiya usuliga asoslanadi, ya'ni tengsizlikning yechimini topish uchun hamma narsadan o'tish kerak. mumkin bo'lgan variantlar. Bu usul 8-sinf o'quvchilari uchun echimlar talab qilinmasligi mumkin, chunki ular tengsizliklarni qanday hal qilishni bilishlari kerak 8-sinf, bu oddiy mashqlar. Ammo eski sinflar uchun bu usul ajralmas hisoblanadi, chunki u kasrli tengsizliklarni hal qilishga yordam beradi. Ushbu texnikadan foydalangan holda tengsizliklarni echish, shuningdek, doimiy funktsiyaning 0 ga aylanadigan qiymatlar orasidagi belgini saqlash kabi xususiyatiga asoslanadi.

Polinomning grafigini tuzamiz. Bu 0 qiymatini 3 marta qabul qiladigan uzluksiz funksiya, ya'ni ko'phadning ildizlari x 1, x 2 va x 3 nuqtalarda f(x) 0 ga teng bo'ladi. Bu nuqtalar orasidagi intervallarda funksiyaning belgisi saqlanib qoladi.

f(x)>0 tengsizlikni yechish uchun funksiyaning ishorasi kerak bo‘lganligi sababli, grafikni qoldirib, koordinata chizig‘iga o‘tamiz.

x(x 1 ; x 2) va x(x 3 ;) uchun f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) va x da (x 2 ; x 3)

Grafikda f(x)f(x)>0 tengsizliklarning yechimlari aniq ko‘rsatilgan (birinchi tengsizlikning yechimi ko‘k rangda, ikkinchisining yechimi qizil rangda). Funksiyaning oraliqdagi ishorasini aniqlash uchun nuqtalardan biridagi funksiya ishorasini bilish kifoya. Bu texnika chap tomoni faktorlangan tengsizliklarni tezda echishga imkon beradi, chunki bunday tengsizliklarda ildizlarni topish juda oson.

Ko'pchilik eksponensial tengsizliklar murakkab va tushunarsiz narsa deb o'ylaydi. Va ularni hal qilishni o'rganish deyarli buyuk san'at bo'lib, uni faqat tanlanganlar tushunishi mumkin ...

To'liq bema'nilik! Eksponensial tengsizliklar oson. Va ular har doim oddiy hal qilinadi. Xo'sh, deyarli har doim. :)

Bugun biz ushbu mavzuni ichki va tashqi tomondan ko'rib chiqamiz. Ushbu dars maktab matematikasining ushbu bo'limini endigina tushuna boshlaganlar uchun juda foydali bo'ladi. dan boshlaylik oddiy vazifalar va biz ko'proq tomon harakat qilamiz murakkab masalalar. Bugun hech qanday qiyin ish bo'lmaydi, lekin siz o'qimoqchi bo'lgan narsa barcha turdagi testlar va testlardagi ko'plab tengsizliklarni hal qilish uchun etarli bo'ladi. mustaqil ish. Va sizning imtihoningizda ham.

Har doimgidek, ta'rifdan boshlaylik. Eksponensial tengsizlik - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tengsizlik. Boshqacha qilib aytganda, u har doim shaklning tengsizligiga tushirilishi mumkin

\[((a)^(x)) \gt b\]

Rolda $b$ qayerda bo'lishi mumkin? oddiy raqam, va, ehtimol, qattiqroq narsa. Misollar? Ha iltimos:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(tekislash)\]

Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi, so'ngra $x$ topish so'raladi. Ayniqsa, klinik holatlarda $x$ o'zgaruvchisi o'rniga ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin.

Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Masalan:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Yoki bu ham:

Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular baribir oddiy qurilish $((a)^(x)) \gt b$gacha kamayadi. Va biz qandaydir tarzda bunday qurilishni aniqlaymiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz sizga bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rgatamiz.

Oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish

Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Va endi mening qo'llarim $x \gt 2$ javobini olish uchun kuchlar asoslaridagi ikkitasini "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani kesib tashlashdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik:

\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\]

Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish raqami shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kapa! – deb hayqiradi o‘quvchilardan biri. Bu boshqachami? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Masalan:

\[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni, yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketlik o'rtasidagi farq faqat bazada bo'ladi:

• Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi ortishi bilan $((a)^(n))$ soni ham ortadi;
• Va aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi ortgan sari $((a)^(n))$ soni kamayadi.

Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz butun qarorga asoslanadigan eng muhim bayonotni olamiz eksponensial tengsizliklar:

Agar $a \gt 1$ boʻlsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent boʻladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar taglik bittadan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, lekin ayni paytda siz tengsizlik belgisini o'zgartirishingiz kerak bo'ladi.

E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik yuzaga keladi. Aytaylik, $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechiladi? Har qanday kuchga bittasi yana beradi - biz hech qachon uchta yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q.

Salbiy sabablar bilan hamma narsa yanada qiziqarli. Masalan, ushbu tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\]

Bir qarashda hamma narsa oddiy:

To'g'rimi? Lekin yoq! $x$ o'rniga bir juft juft va bir juftni almashtirish kifoya toq raqamlar yechim noto'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(tuzala)\]

Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Ammo kasr vakolatlari va boshqa bema'nilik ham bor. Masalan, $((\left(-2 \o'ng))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkini yettining kuchiga) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas!

Shuning uchun, aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Umuman olganda, asosiy qoidani yana bir bor eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin tengsizlik belgisi o'zgaradi.

Yechimlarga misollar

Shunday qilib, keling, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(tekislash)\]

Barcha holatlarda birlamchi vazifa bir xil: tengsizliklarni eng oddiy ko'rinishga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan aynan shunday qilamiz va shu bilan birga darajalar va eksponensial funksiyalarning xossalarini takrorlaymiz. Xo'sh, ketaylik!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Bu yerda nima qila olasiz? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon indikativ iboraga egamiz - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz!

Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini eslaylik:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(tekislash)\]

Bu nima degani? Birinchidan, biz kasrni manfiy ko'rsatkichli kuchga aylantirib, osonlik bilan qutulamiz. Ikkinchidan, maxrajning ildizi bor ekan, uni kuchga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan.

Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \o'ng))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \o'ng))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'targanda, bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, u bilan ishlashda eksponensial tenglamalar va tengsizliklar uchun hech bo'lmaganda kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish kerak:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(tekislash)\]

Aslida, oxirgi qoida biz shunchaki qo'llaymiz. Shunday qilib, bizning asl tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Endi biz ikkita bazadan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\]

Bu yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali o'zgartirishda: uni diqqat bilan va tezda eng oddiy shaklga keltirishingiz kerak.

Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Shunday. Bu erda bizni o'nlik kasrlar kutmoqda. Ko'p marta aytganimdek, har qanday vakolatli iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - bu tez va oddiy echimni ko'rishning yagona yo'li. Bu erda biz qutulamiz:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end(tekislash)\]

Bu erda yana eng oddiy tengsizlikka egamiz va hatto 1/10 asosi bilan, ya'ni. bittadan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "ko'proq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

\[\boshlang(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(tekislash)\]

Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Iltimos, diqqat qiling: javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklidagi qurilish. Chunki formal jihatdan bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas!

Muhim eslatma. Bu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala tomonni birdan kattaroq bazaga ega bo'lgan kuchga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Bunday o'zgartirishdan so'ng biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu shuni anglatadiki, biz shunchaki o'nlikni kesib tashlashimiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil edi. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan qutqardik va umuman olganda har qanday qoidalarni eslaymiz :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasining o'zi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun, avvalo, 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz:

\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki taglik ikkita - birdan katta raqam.

Funksiyaning raqamlar qatoridagi nollari

Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir.

Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yana biz asosda o'nli kasrga ega eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \o'ng))^(1+(x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\]

IN Ushbu holatda Biz ilgari berilgan izohdan foydalandik - keyingi yechimimizni soddalashtirish uchun bazani 5 > 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Ikkala transformatsiyani hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\]

Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan oshadi. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz shunchaki beshlikni "chizamiz" va juda oddiy iborani olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko‘pchilik o‘quvchilar tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi yozishni yaxshi ko‘radilar. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak. , chunki aniq kvadratning ildizi modul va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi emas:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\]

Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, shunday emasmi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Biz yana raqamlar chizig'ida olingan nuqtalarni belgilaymiz va belgilarga qaraymiz:

Iltimos, diqqat qiling: nuqtalar soyali

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - bu interval emas, balki segment.

Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklar haqida hech qanday murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga to'g'ri keladi:

• Biz barcha darajalarni kamaytiradigan asosni toping;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi tengsizlikni olish uchun o‘zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga koʻproq boʻlishi mumkin murakkab funktsiyalar, lekin ma'no o'zgarmaydi;
• Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunday holda, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa, tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin.

Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytadigan boshqa hamma narsa - bu transformatsiyani soddalashtiradigan va tezlashtiradigan aniq texnikalar va fokuslar. Endi biz ushbu usullardan biri haqida gaplashamiz. :)

Ratsionalizatsiya usuli

Keling, boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Xo‘sh, ularda nimasi o‘ziga xos? Ular engil. Garchi, to'xtang! p soni bir darajaga ko'tarildimi? Qanday bema'nilik?

$2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib quvvatga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammo mualliflari ishga o'tirishdan oldin juda ko'p Hawthorn ichishgan.

Aslida, bu vazifalarda qo'rqinchli narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi bittadan tashqari istalgan musbat sondir. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - ularni nol bilan solishtirsangiz, buni tushunish oson.

Ma'lum bo'lishicha, bu "qo'rqinchli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydimi? Va ular xuddi shu tarzda hal qilinadimi? Ha, bu mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga vaqtni sezilarli darajada tejaydigan bitta texnikani ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $.

Bu butun usul :) Boshqa o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo tom ma'noda bir satrda yozilgan bu oddiy haqiqat ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\]

Shunday qilib, boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolishingiz shart emas. Lekin paydo bo'ladi yangi muammo: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] koʻpaytuvchi bilan nima qilish kerak? Bu nima haqida ekanligini bilmaymiz aniq qiymat raqamlari p. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni haqiqatdan ham qiziqtirmaydi - biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. bu musbat doimiy va biz tengsizlikning ikkala tomonini unga bo'lishimiz mumkin:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir daqiqada biz minus birga bo'linishimiz kerak edi - va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida Viet teoremasidan foydalanib kvadrat trinomiyani kengaytirdim - ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=-1$ ga teng ekanligi aniq. . Keyin hamma narsa hal qilinadi klassik usul intervallar:

Tengsizlikni interval usuli yordamida yechish

Barcha nuqtalar o'chiriladi, chunki asl tengsizlik qat'iydir. Bizni salbiy qiymatlari bo'lgan mintaqa qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim :)

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Bu erda hamma narsa odatda oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, bitta nol darajaga ko'tarilgan har qanday raqam. Agar bu raqam chap tomondagi asosda irratsional ifoda bo'lsa ham:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(tekislash)\]

Xo'sh, keling, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Faqat belgilarni aniqlash qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koeffitsienti $x$ oʻzgaruvchisini oʻz ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy boʻlib, uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\]

Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki salbiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizalang)\]

Endi hamma narsa butunlay ayon bo'ladi. Ildizlar kvadratik trinomial, o'ng tomonda: $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz:

Bizni yon oraliqlar qiziqtiradigan holat

Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Faqat javobni yozish qoladi:

Keling, keyingi misolga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\]

Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pastga qarab \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x \o'ng)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizalang)\]

Ko'rib turganingizdek, transformatsiya jarayonida biz ko'paytirishimiz kerak edi manfiy raqam, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgargan. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni koeffitsient qilish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - har kim buni raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni hisoblash orqali tekshirishi mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ko'rib turganingizdek, bazada yana irratsional son, o'ng tomonda esa yana birlik mavjud. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\]

Biz ratsionalizatsiyani qo'llaymiz:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana salbiy konstanta bo'lib, unga tengsizlikning ikkala tomonini bo'lish mumkin:

\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Boshqa bazaga o'ting

Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda nimani asos qilib olish va bu asos darajasiga qarab nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas.

Lekin tashvishlanmang: bu erda sehr yoki "maxfiy" texnologiya yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bu kabi:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\]

Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Tovuqni asfaltga urishdan ko'ra osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Menimcha, bu erda hamma narsa aniq:

Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani ikkita asosga qisqartiramiz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\]

Ha, ha, siz to'g'ri eshitdingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: bizda kasr-ratsional tengsizlik bor (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biz biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma narsani tenglashtirishimiz kerak. umumiy maxraj va doimiy omildan xalos bo'ling.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan jami uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar belgilangan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz:

Ko'proq qiyin ish: uchta ildiz

Siz taxmin qilganingizdek, soyalar chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni belgilaydi. Shunday qilib, yakuniy javob bir vaqtning o'zida ikkita intervalni o'z ichiga oladi:

Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni qo'shimcha tekshirish talab qilinmaydi. Shu munosabat bilan ko'rsatkichli tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: ODZ yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo.

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Bu erda ham hech qanday muammo yo'q, chunki biz allaqachon $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ekanligini bilamiz, shuning uchun butun tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\O‘ng strelka ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \o'ng) \o'ng. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

E'tibor bering: uchinchi qatorda men arzimas narsalarga vaqt sarflamaslikka va darhol hamma narsani (−2) ga bo'lishga qaror qildim. Minul birinchi qavsga kirdi (endi hamma joyda plyuslar bor), ikkitasi esa doimiy omil bilan qisqartirildi. Mustaqil va haqiqiy displeylarni tayyorlashda aynan shunday qilish kerak testlar— har bir harakat va o‘zgarishlarni tasvirlashning hojati yo‘q.

Keyinchalik, tanish bo'lgan intervallar usuli o'ynaydi. Numerator nollari: lekin ular yo'q. Chunki diskriminant salbiy bo'ladi. O'z navbatida, maxraj faqat $x=0$ bo'lganda tiklanadi - xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi. Xo'sh, $x=0$ ning o'ng tomonida kasr ijobiy qiymatlarni olishi aniq, chapda esa - salbiy. Bizni salbiy qiymatlar qiziqtirganligi sababli, yakuniy javob quyidagicha: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1\]

Eksponensial tengsizliklarda o'nli kasrlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri: ulardan xalos bo'ling, ularni oddiy narsalarga aylantiring. Bu erda biz tarjima qilamiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\O'ng strelka ((\chap(0,16 \o'ng))^(1+2x)) =(\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Oʻng strelka ((\chap(6.25 \oʻng))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\o'ng))^(x)). \\\end(tekislash)\]

Xo'sh, biz eksponensial funktsiyalarning asoslarida nimani oldik? Va biz ikkita o'zaro teskari raqamni oldik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1))\O'ng strelka ((\chap(\frac(25)(4) \ o'ng))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1)) \o'ng))^(x))=((\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (-x)) \]

Shunday qilib, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \o'ng) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x+\left(-x \o'ng)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0) ). \\\end(tekislash)\]

Albatta, bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi, bu ikkinchi qatorda sodir bo'lgan. Bundan tashqari, biz o'ngdagi birlikni, shuningdek, 4/25 bazasida quvvat sifatida ifodaladik. Faqat ratsionalizatsiya qilish qoladi:

\[((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0)) \O'ng strelka \left(x+1-0 \o'ng)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \o'ng)\ge 0\]

E'tibor bering, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ya'ni. ikkinchi omil manfiy konstanta bo'lib, unga bo'linganda tengsizlik belgisi o'zgaradi:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \right]. \\\end(hizala)\]

Va nihoyat, joriy "to'plam" dan oxirgi tengsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \o'ng))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Aslida, bu erda yechim g'oyasi ham aniq: hamma narsa eksponensial funktsiyalar, tengsizlikka kiritilgan, "3" bazasiga qisqartirilishi kerak. Ammo buning uchun siz ildizlar va kuchlar bilan biroz o'ylashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\to'rt 81=((3)^(4)). \\\end(tekislash)\]

Ushbu faktlarni hisobga olgan holda, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \o'ng))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\o'ng))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(tekislash)\]

Hisob-kitoblarning 2 va 3 qatorlariga e'tibor bering: tengsizlik bilan biror narsa qilishdan oldin, uni darsning boshidanoq gaplashgan shaklga keltiring: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Chap yoki o'ng tomonda ba'zi chap qo'l omillari, qo'shimcha doimiylar va boshqalar mavjud ekan, asoslarni ratsionalizatsiya qilish yoki "chizib tashlash" mumkin emas! Buni tushunmaslik tufayli son-sanoqsiz topshiriqlar noto'g'ri bajarilgan oddiy fakt. Men ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni tahlil qilishni boshlaganimizda, o'quvchilarim bilan doimo bu muammoni kuzataman.

Ammo keling, vazifamizga qaytaylik. Keling, bu safar ratsionalizatsiyasiz bajarishga harakat qilaylik. Esda tutaylik: daraja asosi birdan katta, shuning uchun uchliklarni shunchaki kesib tashlash mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\ frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(tuzalash)\]

Ana xolos. Yakuniy javob: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Barqaror ifodani ajratish va o'zgaruvchini almashtirish

Xulosa qilib, men tayyorlanmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan yana to'rtta eksponensial tengsizlikni echishni taklif qilaman. Ular bilan kurashish uchun siz darajalar bilan ishlash qoidalarini eslab qolishingiz kerak. Xususan, umumiy omillarni qavs ichidan chiqarish.

Lekin eng muhimi, qavslardan aniq nimani olib tashlash mumkinligini tushunishni o'rganishdir. Bunday ifoda barqaror deyiladi - u yangi o'zgaruvchi bilan belgilanishi va shu bilan eksponensial funktsiyadan xalos bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Birinchi qatordan boshlaylik. Bu tengsizlikni alohida yozamiz:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ekanligini unutmang, shuning uchun o'ng qo'l tomoni qayta yozilishi mumkin:

E'tibor bering, tengsizlikda $((5)^(x+1))$ dan boshqa eksponensial funksiyalar mavjud emas. Va umuman olganda, $x$ o'zgaruvchisi boshqa joyda ko'rinmaydi, shuning uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $((5)^(x+1))=t$. Biz quyidagi qurilishni olamiz:

\[\boshlang(tuzala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz ($t=((5)^(x+1))$) va shu bilan birga 1=5 0 ekanligini eslaymiz. Bizda ... bor:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(tekislash)\]

Bu yechim! Javob: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ikkinchi tengsizlikka o'tamiz:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Bu erda hamma narsa bir xil. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ ekanligini unutmang. Keyin chap tomoni qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \o‘ng. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\O'ng strelka x\in \chapda[ 2;+\infty \o'ngda). \\\end(tekislash)\]

Haqiqiy testlar va mustaqil ish uchun echimni taxminan shunday tuzishingiz kerak.

Xo'sh, keling, yanada murakkabroq narsani sinab ko'raylik. Masalan, bu erda tengsizlik:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Bu yerda qanday muammo bor? Avvalo, chapdagi ko'rsatkichli funktsiyalarning asoslari har xil: 5 va 25. Biroq, 25 = 5 2, shuning uchun birinchi hadni o'zgartirish mumkin:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(tekislash) )\]

Ko'rib turganingizdek, avval biz hamma narsani olib keldik bir xil asos, va keyin birinchi atama osongina ikkinchisiga qisqartirilishi mumkinligini payqadim - shunchaki eksponentni kengaytirish kerak. Endi siz yangi o'zgaruvchini xavfsiz kiritishingiz mumkin: $((5)^(2x+2))=t$ va butun tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Va yana, hech qanday qiyinchilik yo'q! Yakuniy javob: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Keling, bugungi darsdagi yakuniy tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa, albatta, kasr birinchi darajali asosda. Undan xalos bo'lish va shu bilan birga barcha eksponensial funktsiyalarni bir xil bazaga - "2" raqamiga keltirish kerak:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\O'ng strelka ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \o'ng))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Oʻng strelka ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \oʻng))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Ajoyib, biz birinchi qadamni tashladik - hamma narsa bir xil poydevorga olib keldi. Endi siz tanlashingiz kerak barqaror ifoda. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ ekanligini unutmang. Agar biz yangi $((2)^(4x+6))=t$ oʻzgaruvchisini kiritsak, asl tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\boshlang(hatlang) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(tekislash)\]

Tabiiyki, savol tug'ilishi mumkin: biz 256 = 2 8 ekanligini qanday aniqladik? Afsuski, bu erda siz faqat ikkita (va bir vaqtning o'zida uch va besh) kuchlarini bilishingiz kerak. Xo'sh, yoki natijani olmaguncha 256 ni 2 ga bo'ling (siz bo'lishingiz mumkin, chunki 256 juft sondir). Bu shunday ko'rinadi:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(tekislash) )\]

Xuddi shu narsa uchta (9, 27, 81 va 243 raqamlari uning darajalari) va ettita (49 va 343 raqamlarini eslab qolish yaxshi bo'lardi). Xo'sh, beshta siz bilishingiz kerak bo'lgan "chiroyli" darajalarga ega:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(tekislash)\]

Albatta, agar xohlasangiz, bu raqamlarning barchasini ketma-ket bir-biriga ko'paytirish orqali ongingizda tiklashingiz mumkin. Biroq, agar siz bir nechta eksponensial tengsizliklarni echishingiz kerak bo'lsa va har bir keyingisi oldingisiga qaraganda qiyinroq bo'lsa, siz o'ylashni istagan oxirgi narsa - bu ba'zi raqamlarning kuchlari. Va shu ma'noda, bu muammolar intervalli usul bilan hal qilinadigan "klassik" tengsizliklarga qaraganda ancha murakkab.