Ikki o'zgaruvchili irratsional tenglamani qanday yechish mumkin. Irratsional tenglama: ildiz ajratish usuli yordamida yechishni o'rganish

Irratsional tenglama - bu ildiz belgisi ostida funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama. Masalan:

Bunday tenglamalar har doim 3 bosqichda yechiladi:

1. Ildizni ajratib oling. Boshqacha qilib aytganda, tenglik belgisining chap tomonida, ildizdan tashqari, boshqa raqamlar yoki funktsiyalar mavjud bo'lsa, bularning barchasi belgini o'zgartirib, o'ngga ko'chirilishi kerak. Bunday holda, faqat radikal chapda qolishi kerak - hech qanday koeffitsientsiz.
2. 2. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiring. Shu bilan birga, biz ildiz qiymatlari diapazoni barcha manfiy bo'lmagan raqamlar ekanligini eslaymiz. Shuning uchun, o'ngdagi funktsiya ir ratsional tenglama manfiy bo'lmasligi ham kerak: g(x) ≥ 0.
3. Uchinchi bosqich mantiqiy ravishda ikkinchisidan kelib chiqadi: siz tekshirishni amalga oshirishingiz kerak. Gap shundaki, ikkinchi bosqichda biz qo'shimcha ildizlarga ega bo'lishimiz mumkin. Va ularni kesib tashlash uchun siz olingan nomzod raqamlarini asl tenglamaga almashtirishingiz va tekshirishingiz kerak: to'g'ri raqamli tenglik haqiqatan ham olinganmi?

Irratsional tenglamani yechish

Keling, darsning boshida berilgan irratsional tenglamamizni ko'rib chiqaylik. Bu erda ildiz allaqachon izolyatsiya qilingan: tenglik belgisining chap tomonida ildizdan boshqa hech narsa yo'q. Ikkala tomonni kvadratga aylantiring:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Olingan kvadrat tenglamani diskriminant orqali yechamiz:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Qolgan narsa bu raqamlarni asl tenglamaga almashtirishdir, ya'ni. tekshirishni bajaring. Lekin bu erda ham siz yakuniy qarorni soddalashtirish uchun to'g'ri ish qilishingiz mumkin.

Yechimni qanday soddalashtirish mumkin

O'ylab ko'raylik: nega biz irratsional tenglamani yechish oxirida tekshirishni ham amalga oshiramiz? Biz ildizlarimizni almashtirganimizda, tenglik belgisining o'ng tomonida manfiy bo'lmagan son bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Axir, biz allaqachon chap tomonda manfiy bo'lmagan son mavjudligini aniq bilamiz, chunki arifmetik kvadrat ildiz (shuning uchun tenglamamiz irratsional deb ataladi) ta'rifi bo'yicha noldan kam bo'lishi mumkin emas.

Shuning uchun, biz tekshirishimiz kerak bo'lgan narsa, tenglik belgisining o'ng tomonida joylashgan g (x) = 5 − x funktsiyasi manfiy emas:

g(x) ≥ 0

Biz ildizlarimizni ushbu funktsiyaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Olingan qiymatlardan kelib chiqadiki, x 1 = 6 ildizi bizga mos kelmaydi, chunki asl tenglamaning o'ng tomoniga almashtirilganda biz manfiy raqam olamiz. Ammo x 2 = -2 ildiz biz uchun juda mos keladi, chunki:

1. Bu ildiz yechimdir kvadrat tenglama, har ikki tomonning qurilishi natijasida olingan irratsional tenglama kvadratga.
2. Ildiz x 2 = -2 o'rniga qo'yilganda, dastlabki irratsional tenglamaning o'ng tomoni musbat songa aylanadi, ya'ni. arifmetik ildiz qiymatlari diapazoni buzilmaydi.

Bu butun algoritm! Ko'rib turganingizdek, radikallar bilan tenglamalarni yechish unchalik qiyin emas. Asosiysi, olingan ildizlarni tekshirishni unutmaslikdir, aks holda keraksiz javoblarni olish ehtimoli juda yuqori.

Irratsional tenglamalarni yechish.

Ushbu maqolada biz echimlar haqida gapiramiz eng oddiy irratsional tenglamalar.

Irratsional tenglama ildiz belgisi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglama.

Keling, ikkita turni ko'rib chiqaylik irratsional tenglamalar, ular bir qarashda juda o'xshash, lekin mohiyatiga ko'ra bir-biridan juda farq qiladi.

(1)

(2)

Birinchi tenglamada noma'lum uchinchi darajali ildiz belgisi ostida ekanligini ko'ramiz. ning g'alati ildizini olishimiz mumkin salbiy raqam, shuning uchun bu tenglamada na ildiz belgisi ostidagi ifodaga, na tenglamaning o'ng tomonidagi ifodaga hech qanday cheklovlar yo'q. Ildizdan qutulish uchun tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'tarishimiz mumkin. Biz ekvivalent tenglamani olamiz:

Tenglamaning o'ng va chap tomonlarini g'alati kuchga ko'targanda, biz begona ildizlarni olishdan qo'rqmaymiz.

1-misol. Keling, tenglamani yechamiz

Tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'taramiz. Biz ekvivalent tenglamani olamiz:

Keling, barcha shartlarni bir tomonga o'tkazamiz va qavs ichidan x qo'yamiz:

Keling, har bir omilni nolga tenglashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: (0;1;2)

Keling, ikkinchi tenglamani diqqat bilan ko'rib chiqaylik: . Tenglamaning chap tomonida kvadrat ildiz joylashgan bo'lib, u faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi. Demak, tenglamaning yechimlari bo'lishi uchun o'ng tomoni ham manfiy bo'lmasligi kerak. Shunday qilib, tenglamaning o'ng tomoniga shart qo'yiladi:

Sarlavha="g(x)>=0"> - это !} ildizlarning mavjudligi uchun shart.

Ushbu turdagi tenglamani echish uchun tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirishingiz kerak:

(3)

Kvadratchalar begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin, shuning uchun bizga tenglamalar kerak:

Sarlavha="f(x)>=0"> (4)!}

Biroq, (3) shartdan (4) tengsizlik kelib chiqadi: agar tenglikning o'ng tomonida qandaydir ifodaning kvadrati bo'lsa va har qanday ifodaning kvadrati faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qilishi mumkin, shuning uchun chap tomoni salbiy ham bo'lmasligi kerak. Shuning uchun (4) shart avtomatik ravishda (3) va bizning shartlardan kelib chiqadi tenglama tizimga teng:

Title="delim(lbrace)(matritsa(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

2-misol. Keling, tenglamani yechamiz:

.

Keling, ekvivalent tizimga o'tamiz:

Title="delim(lbrace)(matritsa(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Keling, sistemaning birinchi tenglamasini yechamiz va qaysi ildizlar tengsizlikni qanoatlantirishini tekshiramiz.

Tengsizlik sarlavhasi="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Javob: x=1

Diqqat! Agar echish jarayonida biz tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak, unda begona ildizlar paydo bo'lishi mumkinligini yodda tutishimiz kerak. Shuning uchun siz ekvivalent tizimga o'tishingiz kerak yoki yechim oxirida TEKSHIRING: ildizlarni toping va ularni asl tenglamaga almashtiring.

3-misol. Keling, tenglamani yechamiz:

Bu tenglamani yechish uchun ikkala tomonning kvadratini ham olishimiz kerak. Keling, ODZ va bu tenglamada ildizlarning mavjudligi sharti bilan bezovta qilmaylik, faqat yechim oxirida tekshirishni amalga oshiramiz.

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

Keling, ildizni o'z ichiga olgan atamani chapga, qolgan barcha atamalarni o'ngga siljitamiz:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga aylantiramiz:

Vyeta mavzusida:

Keling, tekshirib ko'raylik. Buning uchun topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtiramiz. Shubhasiz, da da, dastlabki tenglamaning o'ng tomoni manfiy, chap tomoni esa musbat.

Biz to'g'ri tenglikni olamiz.

Ildiz belgisi ostida o'zgaruvchi mavjud bo'lgan tenglamalar irratsional deyiladi.

Irratsional tenglamalarni yechish usullari odatda irratsional tenglamani dastlabki irratsional tenglamaga ekvivalent yoki uning natijasi bo'lgan ratsional tenglama bilan almashtirish imkoniyatiga asoslanadi. Ko'pincha tenglamaning ikkala tomoni bir xil kuchga ko'tariladi. Bu asl tenglamaning natijasi bo'lgan tenglamani hosil qiladi.

Irratsional tenglamalarni yechishda quyidagilarni hisobga olish kerak:

1) agar radikal ko'rsatkich juft son bo'lsa, radikal ifoda manfiy bo'lmasligi kerak; bu holda ildizning qiymati ham manfiy emas (juft darajali ildizning ta'rifi);

2) agar ildiz ko'rsatkichi bo'lsa toq raqam, u holda radikal ifoda har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin; bunda ildizning belgisi radikal ifoda belgisi bilan mos keladi.

1-misol. Tenglamani yeching

Keling, tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz.
x 2 - 3 = 1;
Tenglamaning chap tomonidan -3 ni o'ngga o'tkazamiz va o'xshash hadlarni qisqartirishni bajaramiz.
x 2 = 4;
Olingan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama ikkita ildizga ega -2 va 2.

Olingan ildizlarni x o'zgaruvchining qiymatlarini asl tenglamaga almashtirish orqali tekshiramiz.
Imtihon.
Qachon x 1 = -2 - rost:
Qachon x 2 = -2 - rost.
Bundan kelib chiqadiki, dastlabki irratsional tenglama ikkita ildizga ega -2 va 2.

2-misol. Tenglamani yeching .

Ushbu tenglamani birinchi misoldagi kabi bir xil usul yordamida echish mumkin, ammo biz buni boshqacha qilamiz.

Ushbu tenglamaning ODZ ni topamiz. Ta'rifdan kvadrat ildiz Bundan kelib chiqadiki, bu tenglamada bir vaqtning o'zida ikkita shart bajarilishi kerak:

Ushbu darajadagi ODZ: x.

Javob: ildiz yo'q.

3-misol. Tenglamani yeching =+ 2.

Ushbu tenglamada ODZni topish juda qiyin ish. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Tekshirgandan so'ng, biz x 2 =0 qo'shimcha ildiz ekanligini aniqlaymiz.
Javob: x 1 = 1.

4-misol. x = tenglamani yeching.

Unda ODZ misoli topish oson. Bu tenglamaning ODZ: x[-1;).

Bu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz va natijada x 2 = x + 1 tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlari:

Topilgan ildizlarni tekshirish qiyin. Ammo, ikkala ildiz ham ODZga tegishli bo'lishiga qaramay, ikkala ildiz ham asl tenglamaning ildizi ekanligini ta'kidlash mumkin emas. Bu xatoga olib keladi. IN Ushbu holatda Irratsional tenglama ikkita tengsizlik va bitta tenglamaning kombinatsiyasiga ekvivalentdir:

x+10 Va x0 Va x 2 = x + 1, shundan kelib chiqadiki, irratsional tenglama uchun manfiy ildiz begonadir va uni olib tashlash kerak.

5-misol.+= 7 tenglamani yeching.

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz va o'xshash hadlarni kamaytirishni bajaramiz, hadlarni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o'tkazamiz va ikkala tomonini 0,5 ga ko'paytiramiz. Natijada biz tenglamani olamiz
= 12, (*) bu asl nusxaning natijasidir. Keling, tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga aylantiramiz. Biz (x + 5)(20 - x) = 144 tenglamani olamiz, bu asl natijaning natijasidir. Olingan tenglama x 2 - 15x + 44 =0 ko'rinishga keltiriladi.

Bu tenglama (shuningdek, asl tenglamaning natijasi) x 1 = 4, x 2 = 11 ildizlarga ega. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, ikkala ildiz ham asl tenglamani qondiradi.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Izoh. Tenglamalarni kvadratlashtirishda talabalar ko'pincha (*) kabi tenglamalardagi radikal ifodalarni ko'paytiradilar, ya'ni = 12 tenglama o'rniga tenglamani yozadilar. = 12. Bu xatolikka olib kelmaydi, chunki tenglamalar tenglamalarning natijasidir. Ammo shuni yodda tutish kerakki, umumiy holatda radikal ifodalarni bunday ko'paytirish teng bo'lmagan tenglamalarni beradi.

Yuqorida muhokama qilingan misollarda birinchi navbatda radikallardan birini tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazish mumkin. Keyin tenglamaning chap tomonida bitta radikal qoladi va tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirgandan so'ng, tenglamaning chap tomonida ratsional funktsiya olinadi. Ushbu usul (radikalni izolyatsiya qilish) irratsional tenglamalarni echishda juda tez-tez ishlatiladi.

6-misol. Tenglamani yeching-= 3.

Birinchi radikalni ajratib, biz tenglamani olamiz
=+ 3, asl nusxaga teng.

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz tenglamani olamiz

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, tenglamaga ekvivalent

4x - 5 = 3(*). Bu tenglama asl tenglamaning natijasidir. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz tenglamaga erishamiz
16x 2 - 40x + 25 = 9 (x 2 - 3x + 3) yoki

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Bu tenglama (*) tenglamaning natijasidir (demak, asl tenglama) va ildizlari bor. Birinchi ildiz x 1 = 2 asl tenglamani qanoatlantiradi, ikkinchisi esa x 2 = emas.

Javob: x = 2.

E'tibor bering, agar biz darhol radikallardan birini ajratmasdan, dastlabki tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak, biz juda mashaqqatli transformatsiyalarni bajarishimiz kerak bo'ladi.

Irratsional tenglamalarni yechishda radikallarni ajratib olishdan tashqari, boshqa usullardan ham foydalaniladi. Noma'lumni almashtirish usulini qo'llash misolini ko'rib chiqamiz (yordamchi o'zgaruvchini kiritish usuli).

Irratsional tenglamalarni yechish usullari.

Dastlabki tayyorgarlik darsga: Talabalar irratsional tenglamalarni turli usullarda yecha olishlari kerak.

Ushbu darsdan uch hafta oldin talabalar 1-sonli uy vazifasini oladilar: turli xil irratsional tenglamalarni yechish. (Talabalar mustaqil ravishda 6 xil irratsional tenglamani topadilar va ularni juftlik bilan yechadilar.)

Ushbu darsdan bir hafta oldin talabalar 2-sonli uy vazifasini oladilar, ular yakka tartibda bajaradilar.

1. Tenglamani yechingturli yo'llar bilan.

2. Har bir usulning afzalliklari va kamchiliklarini baholang.

3. Xulosalarni jadval shaklida yozib oling.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:talabalarning ushbu mavzu bo'yicha bilimlarini umumlashtirish, ko'rsatish turli usullar irratsional tenglamalarni yechish, talabalarning tenglamalarni yechishga tadqiqot nuqtai nazaridan yondashish qobiliyati.

Tarbiyaviy:mustaqillikni, boshqalarni tinglash va guruhlarda muloqot qilish qobiliyatini tarbiyalash, fanga qiziqishni oshirish.

Rivojlanish:rivojlanish mantiqiy fikrlash, algoritmik madaniyat, o‘z-o‘zini tarbiyalash ko‘nikmalari, o‘z-o‘zini tashkil etish, uy vazifasini bajarishda juftlikda ishlash, tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish va xulosa chiqarish ko‘nikmalari.

Uskunalar: kompyuter, proyektor, ekran, “Irratsional tenglamalarni yechish qoidalari” jadvali, M.V.dan iqtibosli plakat. Lomonosov "Matematikani faqat keyin o'rgatish kerak, chunki u ongni tartibga soladi", kartalar.

Irratsional tenglamalarni yechish qoidalari.

Dars turi: dars-seminar (5-6 kishilik guruhlarda ishlash, har bir guruhda kuchli talabalar bo'lishi kerak).

Darslar davomida

I . Tashkiliy vaqt

(dars mavzusi va maqsadlari haqida ma'lumot)

II . Taqdimot tadqiqot ishi"Irratsional tenglamalarni yechish usullari"

(Ishni bajargan talaba taqdim etadi.)

III . Uy vazifasini yechish usullarini tahlil qilish

(Har bir guruhdan bittadan o‘quvchi taklif qilgan yechim usullarini doskaga yozadi. Har bir guruh yechim usullaridan birini tahlil qiladi, ijobiy va salbiy tomonlarini baholaydi va xulosa chiqaradi. Guruhlardagi o‘quvchilar kerak bo‘lsa qo‘shadilar. Guruhning tahlil va xulosalari. Javoblar aniq va to'liq bo'lishi kerak.)

Birinchi usul: tenglamaning ikkala tomonini bir xil kuchga ko'tarish va keyin tekshirish.

Yechim.

Keling, tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga aylantiramiz:

Bu yerdan

Imtihon:

1. Agarx=keyin 42, bu raqamni bildiradi42 tenglamaning ildizi emas.

2. Agarx=2, keyin, bu raqamni bildiradi2 tenglamaning ildizidir.

Javob:2.

Xulosa. Irratsional tenglamalarni tenglamaning ikkala tomonini bir xil darajaga ko'tarish orqali yechishda og'zaki yozuvni saqlash kerak, bu esa yechimni tushunarli va qulay qiladi. Biroq, majburiy tekshirish ba'zan murakkab va ko'p vaqt talab qiladi. Bu usul yordamida 1-2 radikaldan iborat oddiy irratsional tenglamalarni yechish mumkin.

Ikkinchi usul: ekvivalent transformatsiyalar.

Yechim:Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

Javob:2.

Xulosa. Ekvivalent o'tishlar usuli yordamida irratsional tenglamalarni yechishda siz tizim belgisini qachon qo'yishni va agregatning belgisini qachon qo'yishni aniq bilishingiz kerak. Yozishning noqulayligi va tizim va kombinatsiya belgilarining turli kombinatsiyasi ko'pincha xatolarga olib keladi. Shu bilan birga, ekvivalent o'tishlar ketma-ketligi, og'zaki tavsifsiz aniq mantiqiy belgi, tekshirishni talab qilmaydi, bu usulning shubhasiz afzalliklari hisoblanadi.

Uchinchi usul: funksional-grafik.

Yechim.

Keling, funktsiyalarni ko'rib chiqaylikVa.

1. Funktsiyatinchlantiruvchi; ortib bormoqda, chunki eksponent musbat (butun emas) sondir.

D(f).

Keling, qiymatlar jadvalini tuzamizxVaf( x).

2. Funktsiyatinchlantiruvchi; kamayib bormoqda.

Funksiyani aniqlash sohasini topamizD( g).

Keling, qiymatlar jadvalini tuzamizxVag( x).

Bu funksiya grafiklarini bitta koordinatalar tizimida tuzamiz.

Funksiyalarning grafiklari abtsissa nuqtasida kesishadiChunki funktsiyasif( x) ortadi va funksiyag( x) kamayadi, u holda tenglamaning faqat bitta yechimi bo'ladi.

Javob: 2.

Xulosa. Funktsional-grafik usul vizual bo'lib, yechimlar sonini topish imkonini beradi, lekin ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning grafiklarini osongina tuzib, to'g'ri javob olish mumkin bo'lganda undan foydalanish yaxshidir. Agar javob taxminiy bo'lsa, unda boshqa usuldan foydalanish yaxshiroqdir.

To'rtinchi usul: yangi o'zgaruvchini kiritish.

Yechim.Keling, yangi o'zgaruvchilarni bildiramizBiz tizimning birinchi tenglamasini olamiz

Tizimning ikkinchi tenglamasini tuzamiz.

O'zgaruvchi uchun:

O'zgaruvchi uchun

Shunung uchun

ga nisbatan ikkita ratsional tenglamalar tizimini olamizVa

O'zgaruvchiga qaytish, olamiz

Soddalashtirish - tarkibida radikallar bo'lmagan tenglamalar tizimini olish

1. Yangi o'zgaruvchilarning DID ni kuzatish zarurati

2. Asl o'zgaruvchiga qaytish zarurati

Xulosa. Bu usuldan turli darajadagi radikallar yoki ildiz belgisi ostidagi va ildiz belgisi ortidagi bir xil polinomlar yoki ildiz belgisi ostidagi oʻzaro ifodalarni oʻz ichiga olgan irratsional tenglamalar uchun eng yaxshi qoʻllaniladi.

- Shunday qilib, bolalar, har bir irratsional tenglama uchun siz eng ko'p tanlashingiz kerak qulay usul echimlar: aniq. Foydalanish mumkin, mantiqiy va malakali ishlab chiqilgan. Qo'lingizni ko'taring, qaysi biringiz afzal:

1) tenglamaning ikkala tomonini tekshirish bilan bir xil kuchga ko'tarish usuli;

2) ekvivalent transformatsiyalar usuli;

3) funksional-grafik usul;

4) yangi o'zgaruvchini kiritish usuli.

IV . Amaliy qism

(Guruhlarda ishlash. Har bir guruh o‘quvchilari tenglama yozilgan kartani oladi va uni daftarlariga yechadi. Bu vaqtda guruhdan bittadan vakil doskada misol yechadi. Har bir guruh o‘quvchilari bir xil misolni a’zo sifatida yechadilar. o'z guruhi va doskada to'g'ri bajarilishini nazorat qilish, agar doskada javob beradigan kishi xatolarga yo'l qo'ygan bo'lsa, ularni ko'rgan kishi qo'lini ko'taradi va dars davomida har bir o'quvchi hal qiladi o'z guruhi tomonidan guruhlarga taklif qilingan boshqalarni daftarga yozib qo'yishi va ularni uyda hal qilishi kerak.)

1-guruh.

2-guruh.

3-guruh.

V . Mustaqil ish

(Guruhlarda avval muhokama qilinadi, so'ngra talabalar topshiriqni bajarishga kirishadilar. To'g'ri yechim o'qituvchi tomonidan tayyorlangan ekranda ko'rsatiladi.)

VI . Darsni yakunlash

Endi bilasizki, irratsional tenglamalarni yechish uchun sizdan yaxshi nazariy bilim, ularni amalda qo‘llay bilish, diqqat, mehnatsevarlik, aql-zakovat talab etiladi.

Uy vazifasi

Dars davomida guruhlarga berilgan tenglamalarni yechish.

Munitsipal ta'lim muassasasi

“Kuedino 2-sonli umumta’lim maktabi”

Irratsional tenglamalarni yechish usullari

Muallif: Olga Egorova,

Nazoratchi:

O'qituvchi

matematika,

eng yuqori malaka

Kirish....……………………………………………………………………………………… 3

1-bo'lim.Irratsional tenglamalarni yechish usullari…………………………………6

1.1 C qismining irratsional tenglamalarini yechish……….….….…………………21

2-bo'lim. Individual vazifalar…………………………………………….....………...24

Javoblar………………………………………………………………………………………….25

Adabiyotlar ro'yxati…….…………………………………………………………………….26

Kirish

Matematik ta'lim yilda olingan o'rta maktab, eng muhim komponent hisoblanadi umumiy ta'lim va umumiy madaniyat zamonaviy odam. Zamonaviy odamni o'rab turgan deyarli hamma narsa matematika bilan bog'liq. Va fizika, muhandislik va axborot texnologiyalari sohasidagi so'nggi yutuqlar kelajakda ishlarning holati o'zgarishsiz qolishiga shubha qoldirmaydi. Shuning uchun ko'plab amaliy muammolarni hal qilish hal qilishdan kelib chiqadi har xil turlari yechishni o'rganishingiz kerak bo'lgan tenglamalar. Bu turlardan biri irratsional tenglamalardir.

Irratsional tenglamalar

Radikal belgisi ostida noma'lum (yoki noma'lum uchun ratsional algebraik ifoda) bo'lgan tenglama deyiladi. irratsional tenglama. IN boshlang'ich matematika irratsional tenglamalarning yechimlari haqiqiy sonlar to‘plamida topiladi.

Har qanday irratsional tenglamani elementar algebraik amallar (ko‘paytirish, bo‘lish, tenglamaning har ikki tomonini butun son darajaga ko‘tarish) yordamida ratsional algebraik tenglamaga keltirish mumkin. Shuni yodda tutish kerakki, natijada olingan ratsional algebraik tenglama dastlabki irratsional tenglamaga ekvivalent bo'lmasligi mumkin, ya'ni u asl irratsional tenglamaning ildizi bo'lmagan "qo'shimcha" ildizlarni o'z ichiga olishi mumkin. Shuning uchun, natijada oqilona ildizlarini topib algebraik tenglama, ratsional tenglamaning barcha ildizlari irratsional tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak.

Umuman olganda, biron bir narsani ko'rsatish qiyin universal usul Har qanday irratsional tenglamaning yechimlari, chunki dastlabki irratsional tenglamani o'zgartirish natijasida natijada faqat ba'zi bir ratsional algebraik tenglama bo'lishi ma'qul, uning ildizlari orasida berilgan irratsional tenglamaning ildizlari bo'ladi. mumkin bo'lgan eng kichik darajali ko'phadlardan tuzilgan ratsional algebraik tenglama. Iloji boricha kichik darajali polinomlardan hosil bo'lgan ratsional algebraik tenglamani olish istagi tabiiydir, chunki ratsional algebraik tenglamaning barcha ildizlarini topishning o'zi juda qiyin vazifa bo'lib chiqishi mumkin, biz buni faqat to'liq hal qila olamiz. juda cheklangan miqdordagi hollarda.

Irratsional tenglamalar turlari

Juft darajadagi irratsional tenglamalarni yechish har doim sabab bo'ladi ko'proq muammolar toq darajadagi irratsional tenglamalarni yechishdan ko'ra. Toq darajadagi irratsional tenglamalarni yechishda OD o'zgarmaydi. Shuning uchun quyida darajasi juft bo'lgan irratsional tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Irratsional tenglamalarning ikki turi mavjud:

2..

Keling, ulardan birinchisini ko'rib chiqaylik.

ODZ tenglamalari: f(x)≥ 0. ODZda tenglamaning chap tomoni har doim manfiy bo'lmaydi - shuning uchun yechim faqat quyidagi hollarda mavjud bo'lishi mumkin. g(x)≥ 0. Bu holda tenglamaning ikkala tomoni manfiy emas va darajali 2 n ekvivalent tenglamani beradi. Biz buni tushunamiz

Keling, bu holatda bir narsaga e'tibor qaratamiz ODZ avtomatik ravishda amalga oshiriladi va siz uni yozishingiz shart emas, lekin shartg(x) ≥ 0 ni tekshirish kerak.

Eslatma: Bu juda muhim shart ekvivalentlik. Birinchidan, u talabani tekshirish zaruratidan ozod qiladi va yechim topgach, f(x) ≥ 0 shartini - radikal ifodaning manfiy emasligini tekshiring. Ikkinchidan, u holatni tekshirishga qaratilgang(x) ≥ 0 - o'ng tomonning manfiy emasligi. Axir, kvadratlashdan keyin tenglama yechiladi Ya'ni, ikkita tenglama bir vaqtning o'zida hal qilinadi (lekin raqamli o'qning turli oraliqlarida!):

1. - qayerda g(x)≥ 0 va

2. - bu yerda g(x) ≤ 0.

Shu bilan birga, ko'pchilik maktabdan tashqarida ODZni topish odat tusiga kiradi, bunday tenglamalarni yechishda mutlaqo teskari harakat qiladi:

a) yechimlarni topgandan so'ng, arifmetik xatolarga yo'l qo'yib, noto'g'ri natija olgan holda f(x) ≥ 0 (avtomatik ravishda bajariladi) shartini tekshiradilar;

b) shartga e'tibor bermaslikg(x) ≥ 0 - va yana javob noto'g'ri bo'lib chiqishi mumkin.

Eslatma: Ekvivalentlik sharti, ayniqsa, trigonometrik tenglamalarni yechishda foydalidir, bunda ODZni topish trigonometrik tengsizliklarni echishni o'z ichiga oladi, bu trigonometrik tenglamalarni yechishdan ancha qiyin. Belgilanish trigonometrik tenglamalar hatto sharoitlar ham g(x)≥ 0 ni qilish har doim ham oson emas.

Irratsional tenglamalarning ikkinchi turini ko'rib chiqamiz.

. Tenglama berilsin . Uning ODZ:

ODZda ikkala tomon ham manfiy emas va kvadratlashtirish ekvivalent tenglamani beradi. f(x) =g(x). Shuning uchun, ODZda yoki

Ushbu yechim usuli bilan funktsiyalardan birining salbiy emasligini tekshirish kifoya - siz oddiyroqni tanlashingiz mumkin.

1-bo'lim.Irratsional tenglamalarni yechish usullari

1 usul. Tenglamaning ikkala tomonini ketma-ket mos keladigan tabiiy quvvatga ko'tarish orqali radikallardan xalos bo'lish

Irratsional tenglamalarni yechishda eng koʻp qoʻllaniladigan usul bu tenglamaning har ikki tomonini ketma-ket tegishli tabiiy quvvatga koʻtarish orqali radikallarni yoʻq qilish usulidir. Shuni yodda tutish kerakki, tenglamaning ikkala tomoni toq darajaga ko'tarilganda, hosil bo'lgan tenglama asl tenglamaga ekvivalent bo'ladi va tenglamaning ikkala tomoni teng darajaga ko'tarilganda, hosil bo'lgan tenglama odatda gapirganda, asl tenglamaga ekvivalent bo'lmaslik. Bu tenglamaning ikkala tomonini istalgan teng kuchga ko'tarish orqali osongina tekshirilishi mumkin. Ushbu operatsiyaning natijasi tenglamadir , yechimlar to'plami yechimlar to'plamining birlashmasi bo'lgan: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Biroq , bu kamchilikka qaramay, bu tenglamaning har ikki tomonini ba'zi (ko'pincha hatto) quvvatga ko'tarish protsedurasi irratsional tenglamani ratsional tenglamaga kamaytirishning eng keng tarqalgan protsedurasidir.

Tenglamani yeching:

Qayerda - ba'zi polinomlar. Haqiqiy sonlar to'plamida ildiz chiqarish operatsiyasining ta'rifi tufayli noma'lumning ruxsat etilgan qiymatlari https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 balandligi" dir. =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

1-tenglamaning ikkala tomoni kvadrat bo'lganligi sababli, 2-tenglamaning barcha ildizlari asl tenglamaning yechimi bo'lmasligi mumkin;

Tenglamani yeching:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Tenglamaning ikkala tomonini kublar, biz olamiz

Shuni hisobga olsak https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Oxirgi tenglama, umuman olganda, ildiz bo'lmagan ildizlarga ega bo'lishi mumkin. tenglama ).

Bu tenglamaning ikkala tomonini ham kub qilamiz: . Tenglamani x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 shaklida qayta yozamiz. Tekshirish orqali biz x1 = 0 tenglamaning begona ildizi ekanligini aniqlaymiz (-2 ≠ 1), x2 = 1 esa aslni qanoatlantiradi. tenglama.

Javob: x = 1.

2-usul. Qo'shni shartlar tizimini almashtirish

Juft tartibli radikallarni o'z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechishda javoblarda begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin, ularni aniqlash har doim ham oson emas. Chet ildizlarni aniqlash va yo'q qilishni osonlashtirish uchun irratsional tenglamalarni echishda u darhol qo'shni shartlar tizimi bilan almashtiriladi. Tizimdagi qo'shimcha tengsizliklar aslida echilayotgan tenglamaning ODZ ni hisobga oladi. Siz ODZni alohida topishingiz va uni keyinroq hisobga olishingiz mumkin, ammo shartlarning aralash tizimlaridan foydalanish afzalroqdir: tenglamani echish jarayonida biror narsani unutish yoki uni hisobga olmaslik xavfi kamroq. Shuning uchun ba'zi hollarda aralash tizimlarga o'tish usulini qo'llash yanada oqilona.

Tenglamani yeching:

Javob: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Bu tenglama tizimiga teng

Javob: tenglamaning yechimlari yo'q.

3-usul. n-chi ildiz xususiyatlaridan foydalanish

Irratsional tenglamalarni yechishda n- ildizning xossalaridan foydalaniladi. Arifmetik ildiz n- th orasidan darajalar A manfiy bo'lmagan raqamga qo'ng'iroq qiling n- i kimning kuchi teng A. Agar n - hatto( 2n), keyin a ≥ 0, aks holda ildiz mavjud emas. Agar n - g'alati( 2 n+1), u holda a har qanday va = - ..gif" width="45" height="19"> Keyin:

2.

3.

4.

5.

Ushbu formulalardan birini qo'llashda, rasmiy ravishda (belgilangan cheklovlarni hisobga olmagan holda), ularning har birining chap va o'ng qismlarining VA har xil bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak. Masalan, ifoda bilan aniqlanadi f ≥ 0 Va g ≥ 0, ifoda esa xuddi shunday f ≥ 0 Va g ≥ 0, va bilan f ≤ 0 Va g ≤ 0.

1-5 formulalarning har biri uchun (belgilangan cheklovlarni hisobga olmagan holda) uning o'ng tomonidagi ODZ chap tomondagi ODZdan kengroq bo'lishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, "chapdan o'ngga" 1-5 formulalardan rasmiy foydalanish bilan tenglamani o'zgartirish (ular yozilganidek) asl tenglamaning natijasi bo'lgan tenglamaga olib keladi. Bunday holda, asl tenglamaning begona ildizlari paydo bo'lishi mumkin majburiy bosqich asl tenglamani yechishda tekshirish hisoblanadi.

1-5 formulalarini rasmiy ravishda "o'ngdan chapga" ishlatgan holda tenglamalarni o'zgartirish qabul qilinishi mumkin emas, chunki asl tenglamaning OD ni va natijada ildizlarning yo'qolishini baholash mumkin.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

bu asl nusxaning natijasidir. Bu tenglamani yechish tenglamalar to‘plamini yechishga qisqartiradi .

Ushbu to'plamning birinchi tenglamasidan biz topadigan joydan https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27">ni topamiz. Shunday qilib, ildizlari. bu tenglama faqat (-1) va (-2) raqamlari bo'lishi mumkin. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, ikkala topilgan ildiz ham bu tenglamani qanoatlantiradi.

Javob: -1,-2.

Tenglamani yeching: .

Yechish: identifikatorlarga asoslanib, birinchi hadni bilan almashtiring. E'tibor bering, chap tomondagi ikkita manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi sifatida. Modulni "olib tashlang" va shunga o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng, tenglamani yeching. Chunki, biz tenglamani olamiz. beri , keyin https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=" >.gif" eni="145" balandligi="21 src=">

Javob: x = 4.25.

4-usul Yangi o'zgaruvchilarni kiritish

Irratsional tenglamalarni yechishning yana bir misoli yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli bo'lib, unga nisbatan oddiyroq irratsional tenglama yoki ratsional tenglama olinadi.

Tenglamani uning natijasi bilan almashtirish (keyin ildizlarni tekshirish) orqali irratsional tenglamalarni yechish quyidagicha amalga oshirilishi mumkin:

1. Asl tenglamaning ODZ ni toping.

2. Tenglamadan uning natijasiga o'ting.

3. Hosil bo‘lgan tenglamaning ildizlarini toping.

4. Topilgan ildizlar asl tenglamaning ildizi ekanligini tekshiring.

Tekshiruv quyidagicha:

A) har bir topilgan ildizning dastlabki tenglamaga tegishliligi tekshiriladi. ODZga tegishli bo'lmagan ildizlar asl tenglamaga begonadir.

B) dastlabki tenglamaning ODZ ga kiritilgan har bir ildiz uchun dastlabki tenglamani yechish jarayonida yuzaga keladigan va teng darajaga ko'tarilgan har bir tenglamaning chap va o'ng tomonlari bir xil belgilarga ega ekanligi tekshiriladi. Har qanday tenglamaning qismlari teng kuchga ega bo'lgan ildizlar turli belgilar, asl tenglamaga begona.

C) faqat dastlabki tenglamaning ODZ ga tegishli bo'lgan va dastlabki tenglamani yechish jarayonida yuzaga keladigan va teng darajaga ko'tarilgan har bir tenglamaning ikkala tomoni bir xil belgilarga ega bo'lgan ildizlar to'g'ridan-to'g'ri tenglamaga almashtirish orqali tekshiriladi. asl tenglama.

Belgilangan tekshirish usuli bilan hal qilish usuli oxirgi tenglamaning topilgan har bir ildizini to'g'ridan-to'g'ri asl tenglamaga almashtirishda noqulay hisob-kitoblardan qochish imkonini beradi.

Irratsional tenglamani yeching:

.

Ushbu tenglama uchun haqiqiy qiymatlar to'plami:

ni qo'yib, almashtirgandan so'ng biz tenglamani olamiz

yoki ekvivalent tenglama

ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida qaralishi mumkin. Ushbu tenglamani yechish orqali biz olamiz

.

Demak, dastlabki irratsional tenglamaning yechimlar to‘plami quyidagi ikkita tenglamaning yechimlar to‘plamining birlashuvidan iborat:

, .

Ushbu tenglamalarning har ikkala tomonini kubga ko'tarib, ikkita ratsional algebraik tenglamaga ega bo'lamiz:

, .

Ushbu tenglamalarni yechish orqali biz ushbu irratsional tenglamaning bitta ildizi x = 2 ekanligini aniqlaymiz (hech qanday tekshirish shart emas, chunki barcha transformatsiyalar ekvivalentdir).

Javob: x = 2.

Irratsional tenglamani yeching:

2x2 + 5x – 2 = t ni belgilaymiz. Keyin asl tenglama shaklni oladi . Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, o'xshash a'zolarni keltirib, biz avvalgisining natijasi bo'lgan tenglamani olamiz. Undan topamiz t=16.

Noma'lum x ga qaytsak, biz 2x2 + 5x - 2 = 16 tenglamasini olamiz, bu asl nusxaning natijasidir. Tekshirish orqali biz uning ildizlari x1 = 2 va x2 = - 9/2 asl tenglamaning ildizlari ekanligiga amin bo'lamiz.

Javob: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 usul. Tenglamani bir xil o'zgartirish

Irratsional tenglamalarni yechishda tenglamaning har ikki tomonini tabiiy kuchga ko‘tarish, irratsional tenglamaning yechimini ratsional algebraik tenglamaning yechimiga qisqartirishga urinib, tenglamani yechishni boshlamaslik kerak. Avval biz tenglamaning yechimini sezilarli darajada soddalashtiradigan bir xil o'zgartirishni amalga oshirish mumkinligini ko'rishimiz kerak.

Tenglamani yeching:

Ushbu tenglama uchun maqbul qiymatlar to'plami: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Keling, bu tenglamani ga bo'laylik.

.

Biz olamiz:

a = 0 bo'lganda tenglamaning yechimlari bo'lmaydi; tenglamani quyidagicha yozish mumkin bo'lganda

bu tenglamaning yechimlari yo'q, chunki har qanday uchun X, tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari to'plamiga tegishli, tenglamaning chap tomonidagi ifoda ijobiy;

tenglama yechimga ega bo'lganda

Tenglamaning ruxsat etilgan yechimlari to'plami shart bilan aniqlanganligini hisobga olib, biz nihoyat olamiz:

Bu irratsional tenglamani yechishda https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> tenglamaning yechimi bo'ladi. Boshqa barcha qiymatlar uchun X tenglamaning yechimlari yo'q.

10-Misol:

Irratsional tenglamani yeching: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Tizimning kvadrat tenglamasini yechish natijasida ikkita ildiz olinadi: x1 = 1 va x2 = 4. Olingan ildizlarning birinchisi sistemaning tengsizligini qanoatlantirmaydi, shuning uchun x = 4.

Eslatmalar

1) Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish sizni tekshirmasdan amalga oshirishga imkon beradi.

2) x – 3 ≥0 tengsizlik tenglamaning aniqlanish sohasiga emas, balki identifikatsiya o‘zgarishlariga tegishli.

3) Tenglamaning chap tomonida kamayuvchi funktsiya, bu tenglamaning o'ng tomonida esa ortib boruvchi funksiya mavjud. Ta'rif sohalari kesishmasida kamayib boruvchi va ortib boruvchi funktsiyalarning grafiklari bittadan ko'p bo'lmasligi mumkin. umumiy nuqta. Shubhasiz, bizning holatimizda x = 4 - grafiklarning kesishish nuqtasining abtsissasi.

Javob: x = 4.

6 usul. Tenglamalarni yechishda funksiyalar sohasidan foydalanish

Bu usul https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechishda va uning maydoni ta'riflarini topishda eng samarali hisoblanadi. (f)..gif" kengligi "53" balandligi "21"> .gif" width="88" height="21 src=">, keyin interval oxirida tenglama to'g'ri yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak va agar< 0, а b >0, keyin intervallarni tekshirish kerak (a;0) Va . E(y) dagi eng kichik butun son 3 ga teng.