Bitta noma'lum tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin. Onlayn kalkulyator. Ikki o'zgaruvchili ikkita chiziqli tenglamalar tizimini yechish. O'zgartirish va qo'shish usuli

Maqolada tenglamalar tizimini aniqlash va uning yechimi tushunchasi keltirilgan. Tizim yechimlarining tez-tez uchraydigan holatlari ko'rib chiqiladi. Taqdim etilgan misollar yechimni batafsil tushuntirishga yordam beradi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tenglamalar sistemasiga ta'rif

Tenglamalar tizimini aniqlashga o'tish uchun siz ikkita nuqtaga e'tibor berishingiz kerak: yozuv turi va uning ma'nosi. Buni tushunish uchun har bir turga batafsil to'xtalib o'tishimiz kerak, keyin tenglamalar tizimining ta'rifiga o'tishimiz mumkin.

Masalan, ikkita 2 x + y = - 3 va x = 5 tenglamalarini olaylik va keyin ularni quyidagi kabi jingalak qavs bilan birlashtiramiz:

2 x + y = - 3, x = 5.

Jingalak qavslar bilan birlashtirilgan tenglamalar tenglamalar sistemalarining yozuvlari hisoblanadi. Ular berilgan tizim tenglamalarining yechimlari to‘plamini belgilaydi. Har bir qaror hammaning qarori bo'lishi kerak berilgan tenglamalar.

Boshqacha qilib aytganda, bu birinchi tenglamaning har qanday yechimlari tizim tomonidan birlashtirilgan barcha tenglamalarning echimi bo'lishini anglatadi.

Ta'rif 1

Tenglamalar sistemalari- bu jingalak qavs bilan birlashtirilgan, bir vaqtning o'zida butun tizim uchun yechim bo'lgan tenglamalarning ko'plab echimlariga ega bo'lgan ma'lum miqdordagi tenglamalar.

Tenglamalar sistemalarining asosiy turlari

Tenglamalar tizimi kabi tenglamalarning juda ko'p turlari mavjud. Yechish va o'rganish uchun qulay bo'lishi uchun ular ma'lum belgilarga ko'ra guruhlarga bo'linadi. Bu alohida turdagi tenglamalar tizimini ko'rib chiqishda yordam beradi.

Boshlash uchun tenglamalar tenglamalar soni bo'yicha tasniflanadi. Agar faqat bitta tenglama bo'lsa, u oddiy tenglama, agar ko'proq bo'lsa, unda biz ikki yoki undan ortiq tenglamadan iborat tizim bilan ishlaymiz.

Yana bir tasnif o'zgaruvchilar soniga tegishli. O'zgaruvchilar soni 1 bo'lsa, biz bitta noma'lum tenglamalar tizimi bilan ishlaymiz, 2 bo'lsa - ikkita o'zgaruvchi bilan ishlaymiz. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Shubhasiz, tenglamalar tizimi ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga oladi x va y.

Bunday tenglamalarni yozishda yozuvda mavjud bo'lgan barcha o'zgaruvchilar soni hisobga olinadi. Har bir tenglamada ularning mavjudligi shart emas. Kamida bitta tenglama bitta o'zgaruvchiga ega bo'lishi kerak. Tenglamalar sistemasiga misol keltiramiz

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Bu tizim 3 ta o'zgaruvchiga ega x, y, z. Birinchi tenglama aniq x va yashirin y va z ga ega. Yashirin o'zgaruvchilar koeffitsientida 0 ga ega bo'lgan o'zgaruvchilardir. Ikkinchi tenglamada x va z bor, y esa yashirin o'zgaruvchidir. Aks holda shunday yozish mumkin

2 x + 0 y + 0 z = 11

Boshqa tenglama esa x + 0 · y - 3 · z = 0.

Tenglamalarning uchinchi tasnifi tipdir. Ular maktabda o'tkaziladi oddiy tenglamalar va ikkita sistemadan boshlab tenglamalar tizimlari chiziqli tenglamalar ikkita o'zgaruvchi bilan . Bu shuni anglatadiki, tizim 2 ta chiziqli tenglamani o'z ichiga oladi. Masalan, ko'rib chiqing

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 va - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

Bular eng oddiy chiziqli tenglamalardir. Keyinchalik, siz 3 yoki undan ortiq noma'lumlarni o'z ichiga olgan tizimlarga duch kelishingiz mumkin.

9-sinfda ikkita o‘zgaruvchili va chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechadilar. Butun tenglamalarda murakkablikni oshirish uchun daraja oshiriladi. Bunday tizimlar ma'lum miqdordagi tenglamalar va noma'lumlarga ega bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimi deb ataladi. Keling, bunday tizimlarning misollarini ko'rib chiqaylik

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 va x = y 3 x y = - 5

Ikkala tizim ham ikkita o'zgaruvchiga ega va ikkalasi ham chiziqli emas.

Yechishda duch kelishi mumkin kasrli ratsional tenglamalar. Masalan

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Ular qaysi biri ekanligini ko'rsatmasdan, uni oddiygina tenglamalar tizimi deb atashlari mumkin. Tizim turining o'zi kamdan-kam hollarda belgilanadi.

Yuqori sinflar irratsional, trigonometrik va o'rganishga o'tadi eksponensial tenglamalar. Masalan,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · p 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Oliy oʻquv yurtlari chiziqli tizimlar boʻyicha yechimlarni oʻrganadi va tadqiq qiladi algebraik tenglamalar(SLAU). Chap tomon Bunday tenglamalardan birinchi darajali ko'phadlar, o'ng qo'lda esa ba'zi raqamlar mavjud. Maktabdagilardan farqi shundaki, o'zgaruvchilar soni va tenglamalar soni o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, ko'pincha bir xil emas.

Tenglamalar tizimini yechish

Ta'rif 2

Ikki o‘zgaruvchili tenglamalar sistemasini yechish o'zgaruvchilar juftligi bo'lib, ular almashtirilganda har bir tenglamani to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiradi, ya'ni u berilgan tizimning har bir tenglamasi uchun yechimdir.

Masalan, x = 5 va y = 2 qiymatlari juftligi x + y = 7, x - y = 3 tenglamalar tizimining yechimidir. Chunki almashtirilganda tenglamalar 5 + 2 = 7 va 5 - 2 = 3 to'g'ri sonli tengsizliklarga aylanadi. Agar biz x = 3 va y = 0 juftligini almashtirsak, tizim hal etilmaydi, chunki almashtirish to'g'ri tenglamani bermaydi, ya'ni biz 3 + 0 = 7 ni olamiz.

Keling, bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan tizimlar uchun ta'rifni shakllantiramiz.

Ta'rif 3

Bitta o'zgaruvchili tenglamalar tizimini yechish- bu tizim tenglamalarining ildizi bo'lgan o'zgaruvchining qiymati, ya'ni barcha tenglamalar to'g'ri raqamli tenglikka aylantiriladi.

Bitta o‘zgaruvchisi t bo‘lgan tenglamalar sistemasi misolini ko‘rib chiqamiz

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

- 2 soni tenglamaning yechimidir, chunki (− 2) · 2 = 4 va 5 · (− 2 + 2) = 0 haqiqiy sonli tenglikdir. t = 1 da tizim hal etilmaydi, chunki almashtirishda biz ikkita noto'g'ri tenglikni olamiz 12 = 4 va 5 · (1 + 2) = 0.

Ta'rif 4

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega tizimni yechish tizimning barcha tenglamalarini to'g'ri tenglikka aylantiradigan mos ravishda uch, to'rt va keyingi qiymatlarni chaqiradilar.

Agar bizda x = 1, y = 2, z = 0 o'zgaruvchilar qiymatlari bo'lsa, ularni tenglamalar tizimiga almashtiramiz 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 va 1 + 2 + 0 = 3 ni olamiz. Demak, bu sonli tengsizliklar to'g'ri. Va qiymatlar (1, 0, 5) yechim bo'lmaydi, chunki qiymatlarni almashtirgandan so'ng, ularning ikkinchisi noto'g'ri bo'ladi, uchinchisi ham noto'g'ri bo'ladi: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Tenglamalar tizimlarining yechimlari umuman bo'lmasligi yoki bo'lishi mumkin cheksiz to'plam. Buni ushbu mavzuni chuqur o'rganish orqali tekshirish mumkin. Shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, tenglamalar sistemasi uning barcha tenglamalari yechimlari to‘plamlarining kesishishidir. Keling, bir nechta ta'riflarga to'xtalib o'tamiz:

Ta'rif 5

Mos kelmaydi Tenglamalar sistemasi yechimlari bo'lmaganda deyiladi, aks holda u deyiladi qo'shma.

Ta'rif 6

Noaniq tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lganda chaqiriladi va aniq cheklangan miqdordagi echimlar bilan yoki ular yo'q bo'lganda.

Bunday atamalar maktabda kamdan-kam qo'llaniladi, chunki ular oliy ta'lim dasturlari uchun mo'ljallangan. ta'lim muassasalari. Ekvivalent tizimlar bilan tanishish sizning tenglamalar tizimini echish bo'yicha mavjud bilimlaringizni chuqurlashtiradi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

1. O'zgartirish usuli: sistemaning istalgan tenglamasidan bir noma’lumni boshqasi orqali ifodalaymiz va uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz.

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Tizimning birinchi tenglamasidan biz ifodalaymiz da orqali X va uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiring. Keling, tizimni olamiz asl nusxasiga teng.

Shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Ikkinchi tenglamadan biz topamiz: . Ushbu qiymatni tenglamaga almashtirish da = 2 - 2X, olamiz da= 3. Demak, bu sistemaning yechimi sonlar juftligidir.

2. Algebraik qo'shish usuli: Ikkita tenglamani qo'shish orqali siz bitta o'zgaruvchiga ega tenglamaga ega bo'lasiz.

Vazifa. Tizim tenglamasini yeching:

Yechim. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini 2 ga ko'paytirsak, biz tizimni olamiz asl nusxasiga teng. Ushbu tizimning ikkita tenglamasini qo'shib, biz tizimga kelamiz

Shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, ushbu tizim quyidagi shaklni oladi: Ikkinchi tenglamadan biz topamiz. Ushbu qiymatni 3- tenglamaga almashtirish X + 4da= 5, olamiz , qayerda. Shuning uchun bu tizimning yechimi bir juft sondir.

3. Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli: biz tizimda ba'zi takrorlanuvchi iboralarni qidirmoqdamiz, biz ularni yangi o'zgaruvchilar bilan belgilaymiz va shu bilan tizimning ko'rinishini soddalashtiramiz.

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Keling, yozamiz bu tizim aks holda:

Mayli x + y = u, xy = v. Keyin biz tizimni olamiz

Keling, uni almashtirish usuli yordamida hal qilaylik. Tizimning birinchi tenglamasidan biz ifodalaymiz u orqali v va uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiring. Keling, tizimni olamiz bular.

Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz topamiz v 1 = 2, v 2 = 3.

Ushbu qiymatlarni tenglamaga almashtirish u = 5 - v, olamiz u 1 = 3,
u 2 = 2. Keyin bizda ikkita tizim mavjud

Birinchi tizimni yechishda biz ikkita juft sonni olamiz (1; 2), (2; 1). Ikkinchi tizimda hech qanday yechim yo'q.

Mustaqil ishlash uchun mashqlar

1. Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yeching.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Tenglamalar tizimlari. O'zgartirish usuli, qo'shish usuli, yangi o'zgaruvchini kiritish usuli"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

9-sinf uchun Integral onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Atanasyan L.S. tomonidan darsliklar uchun simulyator. Darsliklar uchun simulyator Pogorelova A.V.

Tengsizliklar sistemalarini yechish usullari

Bolalar, biz tenglamalar tizimini o'rgandik va ularni grafiklar yordamida yechish usullarini o'rgandik. Keling, tizimlarni hal qilishning yana qanday usullari mavjudligini ko'rib chiqaylik?
Ularni hal qilishning deyarli barcha usullari biz 7-sinfda o'rgangan usullardan farq qilmaydi. Endi biz yechishni o'rgangan tenglamalar bo'yicha ba'zi tuzatishlar kiritishimiz kerak.
Ushbu darsda tasvirlangan barcha usullarning mohiyati tizimni ekvivalent tizim bilan ko'proq bilan almashtirishdir oddiy ko'rinish va hal qilish usuli. Bolalar, ekvivalent tizim nima ekanligini eslang.

O'zgartirish usuli

Ikki o'zgaruvchili tenglamalar tizimini echishning birinchi usuli bizga yaxshi ma'lum - bu almashtirish usuli. Bu usuldan chiziqli tenglamalarni yechishda foydalandik. Endi umumiy holatda tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqamiz?

Qaror qabul qilishda qanday harakat qilish kerak?
1. O‘zgaruvchilardan birini boshqasi bilan ifodalang. Tenglamalarda eng ko'p ishlatiladigan o'zgaruvchilar x va y dir. Tenglamalardan birida biz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalaymiz. Maslahat: Yechishni boshlashdan oldin ikkala tenglamani diqqat bilan ko'rib chiqing va o'zgaruvchini ifodalash osonroq bo'lganini tanlang.
2. Olingan o‘zgaruvchi o‘rniga ikkinchi tenglamaga olingan ifodani qo‘ying.
3. Olingan tenglamani yeching.
4. Olingan yechimni ikkinchi tenglamaga almashtiring. Agar bir nechta echimlar mavjud bo'lsa, bir nechta echimlarni yo'qotmaslik uchun ularni ketma-ket almashtirishingiz kerak.
5. Natijada siz $(x;y)$ juft raqamlarini olasiz, ular javob sifatida yozilishi kerak.

Misol.
Ikki o‘zgaruvchili tizimni almashtirish usuli yordamida yeching: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Yechim.
Keling, tenglamalarimizni diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Shubhasiz, birinchi tenglamada y ni x bilan ifodalash ancha sodda.
$\begin(holatlar)y=5-x, \\xy=6\end(holatlar)$.
Birinchi ifodani ikkinchi tenglamaga $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ almashtiramiz.
Ikkinchi tenglamani alohida yechamiz:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Biz $x_1=2$ va $x_2=3$ ikkinchi tenglamaning ikkita yechimini oldik.
Ikkinchi tenglamaga ketma-ket almashtiring.
Agar $x=2$ boʻlsa, $y=3$. Agar $x=3$ boʻlsa, $y=2$.
Javob ikki juft raqam bo'ladi.
Javob: $(2;3)$ va $(3;2)$.

Algebraik qo'shish usuli

Biz bu usulni 7-sinfda ham o‘rganganmiz.
Ma'lumki ratsional tenglama ikkita o'zgaruvchidan biz tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirishni unutmasdan, istalgan songa ko'paytirishimiz mumkin. Biz tenglamalardan birini ma'lum songa ko'paytirdik, natijada olingan tenglamani tizimning ikkinchi tenglamasiga qo'shganda, o'zgaruvchilardan biri yo'q qilindi. Keyin qolgan o'zgaruvchi uchun tenglama echildi.
Bu usul hali ham ishlaydi, garchi o'zgaruvchilardan birini yo'q qilish har doim ham mumkin emas. Ammo bu sizga tenglamalardan birining shaklini sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

Misol.
Tizimni yeching: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Yechim.
Birinchi tenglamani 2 ga ko'paytiramiz.
$\begin(holatlar)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(holatlar)$.
Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib olaylik.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Ko'rib turganingizdek, hosil bo'lgan tenglamaning shakli asl tenglamaga qaraganda ancha sodda. Endi biz almashtirish usulidan foydalanishimiz mumkin.
$\begin(holatlar)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(holatlar)$.
Hosil bo‘lgan tenglamada x ni y bilan ifodalaymiz.
$\begin(holatlar)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(holatlar)$.
Bizda $y=-1$ va $y=-3$ bor.
Keling, ushbu qiymatlarni birinchi tenglamaga ketma-ket almashtiramiz. Biz ikkita juft raqamni olamiz: $(1;-1)$ va $(-1;-3)$.
Javob: $(1;-1)$ va $(-1;-3)$.

Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli

Biz bu usulni ham o'rganib chiqdik, lekin keling, yana bir bor ko'rib chiqaylik.

Misol.
Tizimni yeching: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Yechim.
$t=\frac(x)(y)$ o'rnini kiritamiz.
Birinchi tenglamani yangi o‘zgaruvchi bilan qayta yozamiz: $t+\frac(2)(t)=3$.
Olingan tenglamani yechamiz:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Bizda $t=2$ yoki $t=1$ bor. $t=\frac(x)(y)$ teskari o'zgarishini kiritamiz.
Biz oldik: $x=2y$ va $x=y$.

Har bir ibora uchun asl tizim alohida yechilishi kerak:
$\begin(holatlar)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(holatlar)$.    $\begin(holatlar)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(holatlar)$.    $\begin(holatlar)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=2y, \\7y^2=1\end(holatlar)$.       $\begin(holatlar)x=2y, \\y^2=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(holatlar)$.      $\begin(holatlar)x=y, \\y=±1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(holatlar)$.     $\begin(holatlar)x=±1, \\y=±1\end(holatlar)$.
Biz to'rt juft yechim oldik.
Javob: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Misol.
Tizimni yeching: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(holatlar)$.

Yechim.
O'zgartirishni kiritamiz: $z=\frac(2)(x-3y)$ va $t=\frac(3)(2x+y)$.
Keling, asl tenglamalarni yangi o'zgaruvchilar bilan qayta yozamiz:
$\begin(holatlar)z+t=2, \\4z-3t=1\end(holatlar)$.
Keling, algebraik qo'shish usulidan foydalanamiz:
$\begin(holatlar)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)7z=7, \\4z-3t=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)z=1, \\-3t=1-4\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)z=1, \\t=1\end(holatlar)$.
Teskari almashtirishni kiritamiz:
$\begin(holatlar)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x-3y=2, \\2x+y=3\end(holatlar)$.
Keling, almashtirish usulidan foydalanamiz:
$\begin(holatlar)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=2+3y, \\7y=-1\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(holatlar)$.
$\begin(holatlar)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(holatlar)$.
Javob: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Mustaqil yechish uchun tenglamalar sistemasiga oid masalalar

Tizimlarni hal qilish:
1. $\begin(holatlar)2x-2y=6,\\xy =-2\end(holatlar)$.
2. $\begin(holatlar)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(holatlar)$.
3. $\begin(holatlar)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(holatlar)$.
4. $\begin(holatlar)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ end(holatlar)$.
5. $\begin(holatlar)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(holatlar)$.
Keling, tenglamalar tizimining ikki xil echimini tahlil qilaylik:

1. Tizimni almashtirish usuli yordamida yechish.
2. Tizimni tizim tenglamalarini haddan bir muddat qo'shish (ayirish) usuli bilan yechish.

Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli bilan Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Ekspress. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Olingan qiymatni ifodalangan o'zgaruvchi o'rniga boshqa tenglamaga almashtiramiz.
3. Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.

Yechish uchun muddatga qo‘shish (ayirish) usuli bo‘yicha tizim kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlar yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Biz tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchili tenglama hosil bo'ladi.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.

Tizimning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.

Keling, misollar yordamida tizimlarning echimini batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol:

Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik

Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yechish

2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)

1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, ya'ni ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng osondir.
x=3+10y

2.Uni ifodalab bo‘lgach, birinchi tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga 3+10y ni qo‘yamiz.
2(3+10y)+5y=1

3. Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
2(3+10y)+5y=1 (qavslarni oching)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Tenglamalar tizimining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalari, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat bo'lib, biz uni ifodalagan birinchi nuqtada y ni almashtiramiz .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Nuqtalarni yozish odat tusiga kiradi, birinchi navbatda x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'rinda esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)

2-misol:

Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli yordamida yechamiz.

Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli yordamida yechish

3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)

1. Biz o‘zgaruvchini tanlaymiz, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va olamiz umumiy koeffitsient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X o'zgaruvchidan qutulish uchun birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamaga almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamaga.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)

Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.

Tizimni hal qiling ikkita noma'lum bilan - bu berilgan tenglamalarning har birini qondiradigan o'zgaruvchan qiymatlarning barcha juftlarini topishni anglatadi. Har bir bunday juftlik deyiladi tizimli yechim.

Misol:
\(x=3\);\(y=-1\) qiymatlar juftligi birinchi tizimning yechimi hisoblanadi, chunki tizimga bu uchlik va minus birliklar oʻrniga \(x\) va \ (y\), ikkala tenglama ham to'g'ri tenglikka aylanadi \(\begin(holatlar)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( holatlar)\)

Lekin \(x=1\); \(y=-2\) - birinchi tizimning yechimi emas, chunki almashtirilgandan so'ng ikkinchi tenglama "yakınmaydi" \(\begin(holatlar)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(holatlar)\)

E'tibor bering, bunday juftliklar ko'pincha qisqaroq yoziladi: "\(x=3\); \(y=-1\)" o'rniga ular shunday yozadilar: \((3;-1)\).

Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?

Chiziqli tenglamalar tizimini echishning uchta asosiy usuli mavjud:

1. O'zgartirish usuli.

\(\begin(holatlar)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(holatlar)\)\(\Chap o'ng strelka\) \(\boshlash(holatlar)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(holatlar)\)\(\Chap oʻng oʻq\)

Bu oʻzgaruvchi oʻrniga olingan ifodani sistemaning boshqa tenglamasiga almashtiring.

\(\Chap o'ng strelka\) \(\boshlash(holatlar)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(holatlar)\)\(\Chap o'ng yo'l\)

1. \(\begin(holatlar)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(holatlar)\)

   Ikkinchi tenglamada har bir a'zo juft, shuning uchun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali soddalashtiramiz.
   

   \(\begin(holatlar)13x+9y=17\\6x-y=13\end(holatlar)\)

   Ushbu tizimni quyidagi usullarning har qandayida hal qilish mumkin, ammo menimcha, bu erda almashtirish usuli eng qulaydir. Ikkinchi tenglamadan y ni ifodalaymiz.
   

   \(\begin(holatlar)13x+9y=17\\y=6x-13\end(holatlar)\)

   Birinchi tenglamadagi \(y\) o‘rniga \(6x-13\) ni qo‘yaylik.
   

   \(\begin(holatlar)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(holatlar)\)

   Birinchi tenglama oddiy tenglamaga aylandi. Keling, buni hal qilaylik.

   Birinchidan, qavslarni ochamiz.
   

   \(\begin(holatlar)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(holatlar)\)

   Keling, \(117\) o'ngga siljiymiz va shunga o'xshash atamalarni keltiramiz.

   \(\begin(holatlar)67x=134\\y=6x-13\end(holatlar)\)

   Birinchi tenglamaning ikkala tomonini \(67\) ga ajratamiz.

   \(\boshlash(holatlar)x=2\\y=6x-13\end(holatlar)\)

   Huray, biz \(x\) ni topdik! Uning qiymatini ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va \(y\) ni topamiz.

   \(\begin(holatlar)x=2\\y=12-13\end(holatlar)\)\(\Chap o'ng o'q\)\(\begin(holatlar)x=2\\y=-1\end(holatlar) )\)

   Keling, javobni yozamiz.