Murakkab funktsiyaning hosilasi qanday echiladi. Funktsiyaning hosilasi. Yakuniy qoʻllanma (2019)
Birinchi daraja
Funktsiyaning hosilasi. Yakuniy qoʻllanma (2019)
Keling, tepalikdan o'tadigan tekis yo'lni tasavvur qilaylik. Ya'ni, u yuqoriga va pastga tushadi, lekin o'ngga yoki chapga burilmaydi. Agar o'q yo'l bo'ylab gorizontal va vertikal yo'naltirilgan bo'lsa, u holda yo'l chizig'i ba'zi uzluksiz funktsiyaning grafigiga juda o'xshash bo'ladi:
Eksa - bu hayotda biz dengiz sathidan foydalanamiz.
Bunday yo'l bo'ylab oldinga siljish bilan biz ham yuqoriga yoki pastga harakat qilamiz. Bundan tashqari, aytishimiz mumkin: argument o'zgarganda (abtsissa o'qi bo'ylab harakatlanish), funktsiyaning qiymati o'zgaradi (ordinata o'qi bo'ylab harakat). Keling, yo'limizning "tikligini" qanday aniqlash haqida o'ylab ko'raylik? Bu qanday qiymat bo'lishi mumkin? Bu juda oddiy: ma'lum masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik o'zgaradi. Darhaqiqat, yo'lning turli qismlarida bir kilometr oldinga (x o'qi bo'ylab) harakatlanayotganda, biz dengiz sathiga nisbatan (y o'qi bo'ylab) boshqa metrga ko'tariladi yoki pasayamiz.
Keling, taraqqiyotni belgilaylik ("delta x" ni o'qing).
Matematikada yunoncha harf (delta) odatda "o'zgarish" ma'nosini bildiruvchi prefiks sifatida ishlatiladi. Ya'ni, bu miqdorning o'zgarishi, - o'zgarish; keyin bu nima? To'g'ri, kattalikning o'zgarishi.
Muhim: ifoda bitta butun, bitta o'zgaruvchidir. Hech qachon "delta" ni "x" yoki boshqa harflardan ajratmang! Ya'ni, masalan, .
Shunday qilib, biz oldinga, gorizontal, tomonidan harakat qildik. Agar funktsiya grafigi bilan yo'l chizig'ini solishtirsak, unda ko'tarilishni qanday belgilaymiz? Albatta, . Ya'ni, biz oldinga siljishimiz bilan yuqoriga ko'tarilamiz.
Qiymatni hisoblash oson: agar boshida biz balandlikda bo'lgan bo'lsak va harakatdan keyin o'zimizni balandlikda topsak, keyin. Agar oxirgi nuqta boshlang'ich nuqtadan pastroq bo'lsa, u salbiy bo'ladi - bu biz ko'tarilmayapmiz, lekin tushayotganimizni anglatadi.
Keling, "tiklik" ga qaytaylik: bu bir birlik masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik (tik) oshishini ko'rsatadigan qiymat:
Faraz qilaylik, yo'lning qaysidir qismida bir kilometr oldinga siljishda yo'l bir kilometrga ko'tariladi. Keyin bu joydagi qiyalik teng bo'ladi. Va agar yo'l m ga oldinga siljish paytida km ga tushib ketgan bo'lsa? Keyin qiyalik teng bo'ladi.
Endi tepalikning tepasiga qaraylik. Agar uchastkaning boshini cho‘qqiga yarim kilometr qolganda, oxirini esa undan yarim kilometr keyin olsak, balandligi deyarli bir xil ekanligini ko‘rish mumkin.
Ya'ni, bizning mantiqqa ko'ra, bu yerdagi nishab deyarli nolga teng bo'lib chiqadi, bu aniq emas. Bir necha kilometr masofada ko'p narsa o'zgarishi mumkin. Tiklikni yanada adekvat va aniq baholash uchun kichikroq maydonlarni hisobga olish kerak. Misol uchun, agar siz bir metr harakatlanayotganda balandlikning o'zgarishini o'lchasangiz, natija ancha aniqroq bo'ladi. Ammo bu aniqlik ham bizga yetarli bo‘lmasligi mumkin – axir, yo‘lning o‘rtasida ustun bo‘lsa, biz shunchaki o‘tib ketamiz. Keyin qaysi masofani tanlashimiz kerak? Santimetr? Millimetr? Kamroq - yaxshiroq!
Haqiqiy hayotda masofani eng yaqin millimetrgacha o'lchash juda etarli. Ammo matematiklar doimo mukammallikka intiladilar. Shuning uchun kontseptsiya ixtiro qilindi cheksiz kichik, ya'ni mutlaq qiymat biz nomlashimiz mumkin bo'lgan har qanday raqamdan kichikdir. Masalan, siz aytasiz: trilliondan biri! Qancha kamroq? Va siz bu raqamni - ga bo'lasiz va bundan ham kamroq bo'ladi. Va hokazo. Agar biz miqdorni cheksiz kichik deb yozmoqchi bo'lsak, biz shunday yozamiz: (biz "x nolga intiladi" o'qiymiz). Buni tushunish juda muhimdir bu raqam nolga teng emas! Ammo unga juda yaqin. Bu shuni anglatadiki, siz unga bo'linishingiz mumkin.
Cheksiz kichikga qarama-qarshi tushuncha cheksiz katta (). Ehtimol, siz tengsizliklar ustida ishlayotganingizda bunga duch kelgansiz: bu raqam siz o'ylagan har qanday raqamdan modul kattaroqdir. Agar siz eng katta raqamni topsangiz, uni ikkiga ko'paytirsangiz, undan ham katta raqamga ega bo'lasiz. Va cheksizlik sodir bo'layotgan narsadan ham kattaroqdir. Aslida, cheksiz katta va cheksiz kichik bir-biriga teskari, ya'ni at va aksincha: at.
Endi yo'limizga qaytaylik. Ideal hisoblangan qiyalik yo'lning cheksiz kichik qismi uchun hisoblangan qiyalikdir, ya'ni:
Shuni ta'kidlaymanki, cheksiz kichik siljish bilan balandlikning o'zgarishi ham cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shuni eslatib o'tamanki, cheksiz kichiklik nolga teng degani emas. Agar siz cheksiz kichik sonlarni bir-biriga bo'lsangiz, siz butunlay oddiy sonni olishingiz mumkin, masalan, . Ya'ni, bitta kichik qiymat boshqasidan to'liq marta katta bo'lishi mumkin.
Bularning barchasi nima uchun? Yo'l, tik ... Biz avtoralliga bormaymiz, lekin biz matematikadan dars beramiz. Va matematikada hamma narsa bir xil, faqat boshqacha nomlanadi.
Hosila tushunchasi
Funktsiyaning hosilasi - bu funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati.
Bosqichma-bosqich matematikada ular o'zgarish deb ataladi. Argument () o'q bo'ylab harakatlanayotganda qanchalik o'zgarishi deyiladi argument ortishi va belgilangan masofaga o'q bo'ylab oldinga siljishda funktsiya (balandlik) qancha o'zgarganligi deyiladi funktsiyaning o'sishi va belgilanadi.
Demak, funktsiyaning hosilasi qachonga nisbatdir. Biz hosilani funktsiya bilan bir xil harf bilan belgilaymiz, faqat yuqori o'ngdagi tub belgisi bilan: yoki oddiygina. Shunday qilib, keling, hosila formulasini quyidagi belgilar yordamida yozamiz:
Yo'l o'xshashligida bo'lgani kabi, bu erda funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi.
Hosila nolga teng bo'lishi mumkinmi? Albatta. Misol uchun, agar biz tekis gorizontal yo'lda harakatlanayotgan bo'lsak, tiklik nolga teng. Va bu haqiqat, balandlik umuman o'zgarmaydi. Hosilda ham shunday: doimiy funktsiyaning hosilasi (doimiy) nolga teng:
chunki bunday funktsiyaning o'sishi har qanday uchun nolga teng.
Keling, tepalikdagi misolni eslaylik. Ma'lum bo'lishicha, segmentning uchlarini tepaning qarama-qarshi tomonlarida shunday joylashtirish mumkin ediki, uchlaridagi balandlik bir xil bo'lib chiqadi, ya'ni segment o'qga parallel bo'ladi:
Ammo katta segmentlar noto'g'ri o'lchov belgisidir. Biz segmentimizni o'ziga parallel ravishda ko'taramiz, keyin uning uzunligi kamayadi.
Oxir-oqibat, biz tepaga cheksiz yaqin bo'lganimizda, segmentning uzunligi cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shu bilan birga, u o'qga parallel bo'lib qoldi, ya'ni uning uchlaridagi balandlik farqi nolga teng (u moyil emas, lekin tengdir). Shunday qilib, hosila
Buni shunday tushunish mumkin: biz eng tepada turganimizda, chapga yoki o'ngga ozgina siljish bo'yimizni sezilarli darajada o'zgartiradi.
Bundan tashqari, sof algebraik tushuntirish mavjud: tepalikning chap tomonida funktsiya ortadi, o'ngda esa u kamayadi. Yuqorida bilib olganimizdek, funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi. Ammo u silliq, sakrashsiz o'zgaradi (chunki yo'l hech qanday joyda keskin o'zgarmaydi). Shuning uchun salbiy va ijobiy qiymatlar o'rtasida bo'lishi kerak. Bu funktsiya o'smaydigan yoki kamaymaydigan joyda - cho'qqi nuqtasida bo'ladi.
Xuddi shu narsa truba uchun ham amal qiladi (chapdagi funktsiya pasayib, o'ngda o'sadigan maydon):
O'sishlar haqida bir oz ko'proq.
Shunday qilib, biz argumentni kattalikka o'zgartiramiz. Biz qaysi qiymatdan o'zgartiramiz? Endi bu (bahs) nimaga aylandi? Biz istalgan nuqtani tanlashimiz mumkin va endi biz undan raqsga tushamiz.
Koordinatali nuqtani ko'rib chiqing. Undagi funksiyaning qiymati teng. Keyin biz bir xil o'sishni qilamiz: biz koordinatani oshiramiz. Endi qanday dalil bor? Juda oson: . Endi funktsiyaning qiymati qanday? Argument qayerga ketsa, funksiya ham shunday bo'ladi: . Funktsiyani oshirish haqida nima deyish mumkin? Hech qanday yangilik yo'q: bu hali ham funktsiya o'zgargan miqdor:
O'sishlarni topishni mashq qiling:
- Argumentning o'sishi teng bo'lgan nuqtadagi funktsiyaning o'sishini toping.
- Xuddi shu narsa bir nuqtadagi funktsiya uchun ham amal qiladi.
Yechimlar:
Bir xil argument o'sishi bilan turli nuqtalarda funktsiya o'sishi boshqacha bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, har bir nuqtada hosila har xil bo'ladi (biz buni boshida muhokama qildik - yo'lning tikligi turli nuqtalarda har xil). Shuning uchun, hosila yozganimizda, qaysi nuqtada ko'rsatishimiz kerak:
Quvvat funktsiyasi.
Quvvat funktsiyasi - bu argument ma'lum darajada bo'lgan funktsiya (mantiqiy, to'g'rimi?).
Bundan tashqari - har qanday darajada: .
Eksponent bo'lganda eng oddiy holat:
Bir nuqtada uning hosilasini topamiz. Keling, hosila ta'rifini eslaylik:
Shunday qilib, argument dan ga o'zgaradi. Funktsiyaning o'sishi nima?
O'sish - bu. Ammo funktsiya har qanday nuqtada uning argumentiga teng. Shunung uchun:
Hosil quyidagiga teng:
ning hosilasi quyidagilarga teng:
b) Endi kvadrat funktsiyani (): ni ko'rib chiqing.
Endi buni eslaylik. Bu shuni anglatadiki, o'sish qiymatini e'tiborsiz qoldirish mumkin, chunki u cheksiz kichik va shuning uchun boshqa atama fonida ahamiyatsiz:
Shunday qilib, biz boshqa qoidaga keldik:
v) Mantiqiy qatorni davom ettiramiz: .
Bu ifodani turli yo'llar bilan soddalashtirish mumkin: yig'indining kubini qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib birinchi qavsni oching yoki kublar formulasidan foydalanib, butun ifodani faktorlarga ajrating. Tavsiya etilgan usullardan birini ishlatib, buni o'zingiz qilishga harakat qiling.
Shunday qilib, men quyidagilarni oldim:
Va yana bir bor eslaylik. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin:
Biz olamiz: .
d) Xuddi shunday qoidalarni katta kuchlar uchun ham olish mumkin:
e) Aniqlanishicha, bu qoidani butun son emas, ixtiyoriy darajali darajali funksiya uchun umumlashtirish mumkin:
| (2) |
Qoidani quyidagi so'zlar bilan shakllantirish mumkin: "daraja koeffitsient sifatida oldinga suriladi, keyin esa ga kamayadi."
Biz bu qoidani keyinroq isbotlaymiz (deyarli oxirida). Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Funksiyalarning hosilasini toping:
- (ikki usulda: formula bo'yicha va hosila ta'rifidan foydalangan holda - funktsiyaning o'sishini hisoblash orqali);
- . Ishoning yoki ishonmang, bu quvvat funktsiyasi. Agar sizda “Bu qanday? Diplom qayerda?", "" mavzusini eslang!
Ha, ha, ildiz ham daraja, faqat kasr: .
Bu shuni anglatadiki, bizning kvadrat ildizimiz shunchaki ko'rsatkichli kuchdir:
.
Biz yaqinda o'rganilgan formuladan foydalanib hosilani qidiramiz:Agar shu nuqtada yana noaniq bo'lib qolsa, "" mavzusini takrorlang!!! (salbiy darajali daraja haqida)
- . Endi ko'rsatkich:
Va endi ta'rif orqali (hali unutdingizmi?):
;
.
Endi, odatdagidek, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan atamani e'tiborsiz qoldiramiz:
. - . Oldingi holatlarning kombinatsiyasi: .
Trigonometrik funktsiyalar.
Bu erda biz oliy matematikadan bitta faktdan foydalanamiz:
Ifodasi bilan.
Siz dalilni institutning birinchi yilida o'rganasiz (va u erga borish uchun siz Yagona davlat imtihonini yaxshi topshirishingiz kerak). Endi men buni faqat grafik tarzda ko'rsataman:
Funktsiya mavjud bo'lmaganda - grafikdagi nuqta kesilganini ko'ramiz. Ammo qiymatga qanchalik yaqin bo'lsa, funktsiya shunchalik yaqinroq bo'ladi.
Bundan tashqari, siz kalkulyator yordamida ushbu qoidani tekshirishingiz mumkin. Ha, ha, uyalmang, kalkulyatorni oling, biz hali yagona davlat imtihonida emasmiz.
Shunday qilib, harakat qilaylik: ;
Kalkulyatorni Radians rejimiga o'tkazishni unutmang!
va hokazo. Ko'ramiz, qanchalik kichik bo'lsa, nisbat qiymati shunchalik yaqinroq bo'ladi.
a) funktsiyani ko'rib chiqing. Odatdagidek, uning o'sishini topamiz:
Keling, sinuslar farqini mahsulotga aylantiraylik. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz ("" mavzusini eslang): .
Endi hosila:
Keling, almashtiramiz: . U holda cheksiz kichik uchun u ham cheksiz kichikdir: . uchun ifoda quyidagi shaklni oladi:
Va endi biz buni ifoda bilan eslaymiz. Shuningdek, yig'indida cheksiz kichik miqdorni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa-chi (ya'ni, at).
Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz: sinusning hosilasi kosinusga teng:
Bular asosiy (“jadvalli”) hosilalardir. Mana ular bitta ro'yxatda:
Keyinchalik biz ularga yana bir nechtasini qo'shamiz, lekin bular eng muhimi, chunki ular tez-tez ishlatiladi.
Amaliyot:
- Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping;
- Funktsiyaning hosilasini toping.
Yechimlar:
- Birinchidan, hosilani umumiy shaklda topamiz va keyin uning qiymatini almashtiramiz:
;
. - Bu erda bizda quvvat funktsiyasiga o'xshash narsa bor. Keling, uni olib kelishga harakat qilaylik
Oddiy ko'rinish:
.
Ajoyib, endi siz formuladan foydalanishingiz mumkin:
.
. - . Eeeeeee..... Bu nima????
OK, siz haqsiz, biz bunday hosilalarni qanday topishni hali bilmaymiz. Bu erda biz bir nechta turdagi funktsiyalarning kombinatsiyasiga egamiz. Ular bilan ishlash uchun siz yana bir nechta qoidalarni o'rganishingiz kerak:
Ko'rsatkich va natural logarifm.
Matematikada shunday funksiya borki, uning har qanday qiymat uchun hosilasi bir vaqtning o‘zida funksiyaning o‘zi qiymatiga teng bo‘ladi. U "eksponent" deb ataladi va eksponensial funktsiyadir
Bu funksiyaning asosi - doimiy - cheksiz o'nli kasr, ya'ni irratsional son (masalan,). U "Eyler raqami" deb ataladi, shuning uchun u harf bilan belgilanadi.
Shunday qilib, qoida:
Eslash juda oson.
Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:
Bizning holatda, asosiy raqam:
Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.
Bu nimaga teng? Albatta, .
Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:
Misollar:
- Funktsiyaning hosilasini toping.
- Funktsiyaning hosilasi nima?
Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.
Farqlash qoidalari
Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...
Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.
Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.
Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:
Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.
Konstanta hosila belgisidan olinadi.
Agar - ba'zi doimiy son (doimiy), keyin.
Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .
Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.
Misollar.
Funksiyalarning hosilalarini toping:
- bir nuqtada;
- bir nuqtada;
- bir nuqtada;
- nuqtada.
Yechimlar:
- (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiyadir, esingizdami?);
Mahsulotning hosilasi
Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:
Hosil:
Misollar:
- va funksiyalarining hosilalarini toping;
- Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.
Yechimlar:
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi
Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).
Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.
Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:
Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:
Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.
Bo'ldimi?
Mana, o'zingizni tekshiring:
Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.
Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:
Javoblar:
Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.
Logarifmik funktsiyaning hosilasi
Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:
Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:
Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:
Buning o'rniga faqat hozir yozamiz:
Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:
Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.
Murakkab funktsiyaning hosilasi.
"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.
Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun teskari bosqichlarni teskari tartibda bajarish kerak.
Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.
Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.
Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya: .
Birinchi misol uchun, .
Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .
Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).
Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:
Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada
- Avval qaysi harakatni bajaramiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiya.
Va asl vazifasi ularning tarkibi: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .
Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.
Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:
Yana bir misol:
Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?
Keling, misollar bilan tekshiramiz:
Yechimlar:
1) ichki: ;
Tashqi: ;
2) ichki: ;
(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)
3) Ichki: ;
Tashqi: ;
Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (biz shokoladni qo'yamiz. o'rash va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.
Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.
Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Harakat qanchalik kechroq bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgidek:
Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.
1. Radikal ifoda. .
2. Ildiz. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Hammasini birlashtirib:
HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:
Asosiy hosilalar:
Farqlash qoidalari:
Konstanta hosila belgisidan olinadi:
Yig'indining hosilasi:
Mahsulot hosilasi:
Ko'rsatkichning hosilasi:
Murakkab funktsiyaning hosilasi:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
- Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
- Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
- Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.
Va murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi teorema, formulasi quyidagicha:
1) $u=\varphi (x)$ funksiyasi biror nuqtada $x_0$ hosilasi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ bo'lsin, 2) $y=f(u)$ funksiyasi bo'lsin. tegishli nuqtada $u_0=\varphi (x_0)$ hosilasi $y_(u)"=f"(u)$ bo'lsin. U holda ko'rsatilgan nuqtadagi $y=f\left(\varphi (x) \right)$ kompleks funksiyasi ham $f(u)$ va $\varphi ( funksiyalar hosilalarining hosilasiga teng hosilaga ega bo'ladi. x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \o'ng)\cdot \varphi"(x_0) $$
yoki qisqaroq yozuvda: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Ushbu bo'limdagi misollarda barcha funksiyalar $y=f(x)$ ko'rinishga ega (ya'ni, biz faqat bitta $x$ o'zgaruvchining funksiyalarini ko'rib chiqamiz). Shunga ko'ra, barcha misollarda $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan $y"$ hosilasi olinadi. Hosil $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan olinganligini ta'kidlash uchun $y o'rniga $y"_x$ ko'pincha yoziladi. "$.
1, 2 va 3-sonli misollarda murakkab funksiyalarning hosilasini topishning batafsil jarayoni ko‘rsatilgan. 4-misol lotin jadvalini to'liqroq tushunish uchun mo'ljallangan va u bilan tanishish mantiqan.
1-3-misollardagi materialni o'rganib chiqqandan so'ng, 5-sonli, 6-sonli va 7-sonli misollarni mustaqil yechishga o'tish tavsiya etiladi. №5, 6 va 7-misollar qisqacha yechimni o'z ichiga oladi, shunda o'quvchi o'z natijasining to'g'riligini tekshirishi mumkin.
Misol № 1
$y=e^(\cos x)$ funksiyaning hosilasini toping.
$y"$ kompleks funksiyasining hosilasini topishimiz kerak. $y=e^(\cos x)$ ekan, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ hosilasini toping, hosilalar jadvalidan 6-sonli formuladan foydalanamiz. 6-sonli formuladan foydalanish uchun bizning holatimizda $u=\cos x$ ekanligini hisobga olishimiz kerak. Keyingi yechim oddiygina $u$ o‘rniga $\cos x$ ifodasini №6 formulaga almashtirishdan iborat:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Endi $(\cos x)"$ ifodasining qiymatini topishimiz kerak. Undan 10-formulani tanlab, yana hosilalar jadvaliga murojaat qilamiz. 10-formulaga $u=x$ ni almashtirsak, hosil boʻladi. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Endi topilgan natija bilan to'ldirib, tenglikni (1.1) davom ettiramiz:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \teg (1.2) $$
$x"=1$ ekan, biz tenglikni davom ettiramiz (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Demak, (1.3) tenglikdan bizda: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Tabiiyki, odatda tushuntirishlar va oraliq tengliklar o'tkazib yuboriladi, hosila topilmasi bir qatorga yoziladi, tenglikda bo'lgani kabi ( 1.3 ) Demak, kompleks funksiyaning hosilasi topildi, javobni yozishgina qoladi.
Javob: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Misol № 2
$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ funksiyaning hosilasini toping.
Biz $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ hosilasini hisoblashimiz kerak. Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, doimiy (ya'ni 9 raqami) hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \o'ng)" \teg (2.1) $$
Endi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifodasiga murojaat qilamiz. Hosilalar jadvalidan kerakli formulani tanlashni osonlashtirish uchun ifodani taqdim etaman. ushbu shaklda savol: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Endi 2-sonli formuladan foydalanish kerakligi aniq, ya'ni. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Bu formulaga $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ va $\alpha=12$ ni almashtiramiz:
Olingan natija bilan tenglikni (2.1) to'ldirib, bizda:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \teg (2.2) $$
Bunday holatda, birinchi bosqichda hal qiluvchi formula o'rniga $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ formulasini tanlaganida xatolik yuzaga keladi. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Gap shundaki, tashqi funktsiyaning hosilasi birinchi bo'lib kelishi kerak. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifodasiga qaysi funksiya tashqi boʻlishini tushunish uchun $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifodasining qiymatini hisoblayotganingizni tasavvur qiling. x)$ qandaydir qiymatda $x$. Avval siz $5^x$ qiymatini hisoblab chiqasiz, so'ngra natijani 4 ga ko'paytirasiz va $4\cdot 5^x$ olasiz. Endi biz ushbu natijadan $\arctg(4\cdot 5^x)$ ni qo'lga kiritib, arktangentni olamiz. Keyin olingan sonni o'n ikkinchi darajaga ko'taramiz, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ olamiz. Oxirgi harakat, ya'ni. 12 ning kuchiga ko'tarish tashqi funktsiya bo'ladi. Va shundan kelib chiqib, biz tenglikda bajarilgan hosilani topishni boshlashimiz kerak (2.2).
Endi biz $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ topishimiz kerak. Biz hosilalar jadvalining №19 formulasidan foydalanamiz va unga $u=4\cdot \ln x$ almashtiramiz:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Olingan ifodani $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ni hisobga olgan holda biroz soddalashtiramiz.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Tenglik (2.2) endi quyidagicha bo'ladi:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \teg (2.3) $$
$(4\cdot \ln x)"$ ni topish qoladi. Hosil belgisidan doimiyni (ya'ni 4) chiqaramiz: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$ ni topish uchun $u=x$ o'rniga №8 formuladan foydalanamiz: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. $x"=1$ ekan, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) Olingan natijani (2.3) formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Eslatib o‘taman, murakkab funksiyaning hosilasi oxirgi tenglikda yozilganidek, ko‘pincha bir qatorda topiladi. Shuning uchun, standart hisob-kitoblarni yoki nazorat ishlarini tayyorlashda, yechimni bunday batafsil tavsiflashning hojati yo'q.
Javob: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Misol № 3
$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ funksiyasining $y"$ ni toping.
Birinchidan, radikalni (ildiz) quvvat sifatida ifodalagan holda $y$ funksiyasini biroz o‘zgartiramiz: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Endi hosilani topishni boshlaylik. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ boʻlgani uchun:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)" \teg (3.1) $$
Keling, hosilalar jadvalidagi 2-formuladan foydalanamiz, unga $u=\sin(5\cdot 9^x)$ va $\alpha=\frac(3)(7)$ almashtiramiz:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Olingan natijadan foydalanib, tenglikni (3.1) davom ettiramiz:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Endi biz $(\sin(5\cdot 9^x))"$ ni topishimiz kerak. Buning uchun hosilalar jadvalidagi 9-formuladan foydalanamiz va unga $u=5\cdot 9^x$ almashtiramiz:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Olingan natija bilan tenglikni (3.2) to'ldirib, biz:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \teg (3.3) $$
$(5\cdot 9^x)"$ ni topish qoladi. Birinchidan, hosila belgisidan tashqaridagi doimiyni ($5$ raqamini) olaylik, ya'ni $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ hosilasini topish uchun hosilalar jadvalining №5 formulasini unga $a=9$ va $u=x$ oʻrniga qoʻying: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ ekan, u holda $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Endi tenglikni davom ettiramiz (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\o'ng) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
$\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ni $\ shaklida yozib, yana kuchlardan radikallarga (ya'ni, ildizlarga) qaytishimiz mumkin. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) cdot 9^x)))$. Keyin hosila quyidagi shaklda yoziladi:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Javob: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
Misol № 4
Hosilalar jadvalining 3 va 4-sonli formulalari ushbu jadvalning 2-sonli formulasining alohida holati ekanligini ko'rsating.
Hosilalar jadvalining 2-formulasida $u^\alpha$ funksiyaning hosilasi mavjud. $\alpha=-1$ ni 2-formulaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\teg (4.1)$$
$u^(-1)=\frac(1)(u)$ va $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ boʻlgani uchun (4.1) tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu hosilalar jadvalining 3-formulasidir.
Keling, hosilalar jadvalining 2-formulasiga yana murojaat qilaylik. Unga $\alpha=\frac(1)(2)$ ni almashtiramiz:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\teg (4.2) $$
Chunki $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ va $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, keyin tenglikni (4.2) quyidagicha qayta yozish mumkin:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Olingan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ tenglik hosilalar jadvalining 4-formulasidir. Ko'rib turganingizdek, hosilaviy jadvalning No3 va 4-formulalari 2-formuladan mos keladigan $\alpha$ qiymatini almashtirish orqali olinadi.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordamida hosilalarni hisoblashga misollar keltirilgan.
Bu erda biz quyidagi funktsiyalarning hosilalarini hisoblash misollarini keltiramiz:
;
;
;
;
.
Agar funktsiyani murakkab funktsiya sifatida quyidagi shaklda ko'rsatish mumkin bo'lsa:
,
u holda uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Quyidagi misollarda biz ushbu formulani quyidagicha yozamiz:
.
Qayerda.
Bu yerda hosila belgisi ostida joylashgan yoki pastki belgisi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchilarni bildiradi.
Odatda, hosilalar jadvallarida x o'zgaruvchidan funksiyalarning hosilalari beriladi. Biroq, x rasmiy parametrdir. X o'zgaruvchisi istalgan boshqa o'zgaruvchi bilan almashtirilishi mumkin. Shuning uchun funktsiyani o'zgaruvchidan farqlashda biz hosilalar jadvalidagi x o'zgaruvchisini shunchaki u o'zgaruvchiga o'zgartiramiz.
Oddiy misollar
1-misol
Murakkab funksiyaning hosilasini toping
.
Yechim
Berilgan funksiyani ekvivalent shaklda yozamiz:
.
Sanoat jadvalida biz quyidagilarni topamiz:
;
.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:
.
Bu yerga .
Javob
2-misol
Hosilini toping
.
Yechim
Biz doimiy 5 ni hosila belgisidan chiqaramiz va hosilalar jadvalidan topamiz:
.
.
Bu yerga .
Javob
3-misol
Hosilini toping
.
Yechim
Biz doimiyni chiqaramiz -1
hosila belgisi uchun va hosilalar jadvalidan topamiz:
;
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.
Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Bu yerga .
Javob
Keyinchalik murakkab misollar
Murakkabroq misollarda biz murakkab funksiyani farqlash qoidasini bir necha marta qo'llaymiz. Bunday holda biz lotinni oxiridan hisoblaymiz. Ya'ni, funksiyani uning tarkibiy qismlariga ajratamiz va undan foydalanib, eng oddiy qismlarning hosilalarini topamiz hosilalar jadvali. Biz ham foydalanamiz summalarni farqlash qoidalari, mahsulotlar va fraksiyalar. Keyin almashtirishlarni amalga oshiramiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
4-misol
Hosilini toping
.
Yechim
Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va uning hosilasini topamiz. .
.
Bu erda biz belgidan foydalandik
.
Olingan natijalardan foydalanib, asl funktsiyaning keyingi qismining hosilasini topamiz. Yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
.
Yana bir bor murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga .
Javob
5-misol
Funktsiyaning hosilasini toping
.
Yechim
Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va hosilalar jadvalidan hosilasini topamiz. .
Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga
.
"Eski" darsliklarda "zanjir" qoidasi ham deyiladi. Shunday qilib, agar y = f (u) va u = ph (x), ya'ni
y = f (ph (x))
kompleks - kompozit funksiya (funksiyalar tarkibi) keyin
Qayerda 
, hisoblashdan so'ng da ko'rib chiqiladi u = ph (x).
E'tibor bering, bu erda biz bir xil funktsiyalardan "turli" kompozitsiyalarni oldik va farqlash natijasi tabiiy ravishda "aralashtirish" tartibiga bog'liq bo'lib chiqdi.
Zanjir qoidasi tabiiy ravishda uch yoki undan ortiq funktsiyali kompozitsiyalarga taalluqlidir. Bunday holda, lotinni tashkil etuvchi "zanjir" da uch yoki undan ortiq "bog'lanish" bo'ladi. Bu erda ko'paytirish bilan o'xshashlik: "bizda" hosilalar jadvali; "u erda" - ko'paytirish jadvali; "Biz bilan" - zanjir qoidasi va "u erda" - "ustun" ko'paytirish qoidasi. Bunday "murakkab" hosilalarni hisoblashda, albatta, yordamchi argumentlar (u¸v va boshqalar) kiritilmaydi, lekin kompozitsiyada ishtirok etadigan funktsiyalarning soni va ketma-ketligini o'zlari qayd etib, tegishli havolalar "torlanadi". ko'rsatilgan tartibda.
. Bu yerda “y” ma’nosini olish uchun “x” bilan beshta amal bajariladi, ya’ni beshta funksiya tarkibi mavjud: “tashqi” (ularning oxirgisi) - eksponensial - e ; keyin teskari tartibda, quvvat. (♦) 2; trigonometrik sin(); tinchlantiruvchi. () 3 va nihoyat logarifmik ln.(). Shunung uchun
Quyidagi misollar bilan biz "bir tosh bilan bir nechta qushni o'ldiramiz": biz murakkab funktsiyalarni farqlashni mashq qilamiz va elementar funktsiyalarning hosilalari jadvaliga qo'shamiz. Shunday qilib:
4. Quvvat funksiyasi uchun - y = x a - uni taniqli "asosiy logarifmik identifikatsiya" - b=e ln b - yordamida x a = x a ln x ko'rinishida qayta yozamiz.
5. Ixtiyoriy eksponensial funktsiya uchun, xuddi shu texnikadan foydalanib, biz ega bo'lamiz
6. Ixtiyoriy logarifmik funktsiya uchun yangi bazaga o'tishning mashhur formulasidan foydalanib, biz izchil ravishda olamiz.
.
7. Tangensni (kotangensni) differensiallash uchun biz kotirovkalarni farqlash qoidasidan foydalanamiz:
Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalarini olish uchun ikkita o‘zaro teskari funksiyaning hosilalari qanoatlantiriladigan munosabatdan, ya’ni munosabatlar bilan bog‘langan ph (x) va f (x) funksiyalardan foydalanamiz:
Bu nisbat
O'zaro teskari funktsiyalar uchun bu formuladan
Va 
,
Va nihoyat, keling, quyidagi jadvalda osongina olinadigan ushbu va boshqa hosilalarni umumlashtiramiz.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Ta'rif.\(y = f(x)\) funksiya uning ichidagi \(x_0\) nuqtani o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda aniqlansin. Keling, argumentga \(\Delta x \) ortishini beraylik, shunda u bu oraliqdan chiqmaydi. \(\Delta y \) funksiyaning mos o'sishini topamiz (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) va \(\frac(\Delta) munosabatini tuzamiz. y)(\Delta x) \). Agar \(\Delta x \o'ng ko'rsatkich 0\) da bu nisbat chegarasi bo'lsa, belgilangan chegara deyiladi. funktsiyaning hosilasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi, y" = f(x) yangi funktsiyadir, lekin tabiiy ravishda y = f(x) funktsiyasi bilan bog'liq bo'lib, yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan barcha x nuqtalarida aniqlanadi. Bu funktsiya quyidagicha chaqiriladi: y = f(x) funksiyaning hosilasi.
Hosilning geometrik ma'nosi quyidagicha. Agar y = f(x) funktsiya grafigiga y o'qiga parallel bo'lmagan abtsissa x=a nuqtada teginish mumkin bo'lsa, u holda f(a) teginish qiyaligini ifodalaydi. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tan(a) \) tengligi to'g'ri bo'ladi.
Endi hosila ta’rifini taqribiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaylik. \(y = f(x)\) funksiya ma'lum \(x\) nuqtasida hosilaga ega bo'lsin:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqta yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x) \), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot\ Delta x\). Natijada paydo bo'lgan taxminiy tenglikning mazmunli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti ma'lum x nuqtadagi hosilaning qiymatidir. Masalan, \(y = x^2\) funksiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tenglik amal qiladi. Agar hosila ta'rifini sinchiklab tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini bilib olamiz.
Keling, uni shakllantiramiz.
y = f(x) funksiyaning hosilasi qanday topiladi?
1. \(x\) qiymatini aniqlang, \(f(x)\) toping.
2. \(x\) argumentiga \(\Delta x\) qo'shimchasini bering, yangi nuqtaga o'ting \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) toping.
3. Funktsiyaning o'sish qismini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini yarating.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x nuqtadagi hosilasidir.
Agar y = f(x) funksiyaning x nuqtada hosilasi bo‘lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. y = f(x) funksiyaning hosilasini topish protsedurasi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.
Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi bir-biri bilan qanday bog'liq?
y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin M(x; f(x)) nuqtadagi funksiya grafigiga tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning burchak koeffitsienti f “(x) ga teng. Bunday grafik “buzilmaydi”. M nuqtada, ya'ni funksiya x nuqtada uzluksiz bo'lishi kerak.
Bular "qo'lda" argumentlar edi. Keling, yanada qat'iyroq fikr yuritamiz. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallansa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x\) bajariladi. Agar bu tenglikda \(\Delta x) \) nolga intiladi, keyin \(\Delta y \) nolga moyil bo'ladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.
Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha nuqtada uzluksizdir.
Teskari bayonot to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin “tushish nuqtasi” (0; 0) funksiya grafigiga teginish mavjud emas. Agar biror nuqtada funktsiya grafigiga tangensni chizish mumkin bo'lmasa, unda hosila shu nuqtada mavjud emas.
Yana bir misol. \(y=\sqrt(x)\) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. . Lekin bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni u abscissa o'qiga perpendikulyar bo'ladi, uning tenglamasi x = 0 ko'rinishga ega. Bunday to'g'ri chiziq burchak koeffitsientiga ega emas, ya'ni \(f. "(0)\) mavjud emas.
Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan qanday qilib uni differentsiallash mumkin degan xulosaga kelish mumkin?
Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish chizish mumkin bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funktsiya grafigining tangensi mavjud bo'lmasa yoki u abtsissa o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya differentsial bo'lmaydi.
Farqlash qoidalari
Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyani bajarishda siz ko'pincha bo'laklar, summalar, funktsiyalar mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz bu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son bo'lsa va f=f(x), g=g(x) ba'zi bir differentsiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi. farqlash qoidalari:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$