Ikki ildizli tengsizliklarni qanday yechish mumkin. Tengsizliklarni qanday hal qilish mumkin? Kasr va kvadrat tengsizliklarni yechish usullari

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur hollarda qonun hujjatlariga muvofiq sud tartibi, V sud va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Tengsizlik≤ yoki ≥ bilan ifodalangan ifodadir. Masalan, 3x - 5 Tengsizlikni yechish bu tengsizlik to'g'ri bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlarini topishni anglatadi. Bu raqamlarning har biri tengsizlikning yechimidir va barcha bunday echimlar to'plami uningdir ko'p echimlar. Yechimlar to‘plami bir xil bo‘lgan tengsizliklar deyiladi ekvivalent tengsizliklar.

Chiziqli tengsizliklar

Tengsizliklarni yechish tamoyillari tenglamalarni yechish tamoyillariga o'xshaydi.

Tengsizliklarni yechish tamoyillari
Har qanday haqiqiy a, b va c sonlar uchun:
Tengsizliklarni qo'shish printsipi: Agar a Tengsizliklarni ko'paytirish printsipi: Agar 0 rost bo'lsa, u holda ac Agar bc ham rost bo'lsa.
Shu kabi bayonotlar a ≤ b uchun ham amal qiladi.

Tengsizlikning ikkala tomoni ko'paytirilganda manfiy raqam, tengsizlik belgisini butunlay o'zgartirish kerak.
Birinchi darajali tengsizliklar, 1-misoldagi kabi (quyida) deyiladi chiziqli tengsizliklar.

1-misol Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching. Keyin yechimlar to'plamini chizing.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Yechim
11/5 dan kichik bo'lgan har qanday raqam yechimdir.
Yechimlar to‘plami (x|x
Tekshirish uchun y 1 = 3x - 5 va y 2 = 6 - 2x grafigini chizishimiz mumkin. Shunda x uchun bu aniq bo'ladi
Yechimlar to‘plami (x|x ≤ 1) yoki (-∞, 1]. Eritmalar to‘plamining grafigi quyida ko‘rsatilgan.

Ikki tomonlama tengsizliklar

Ikki tengsizlik so‘z bilan bog‘langanda Va, yoki, keyin hosil bo'ladi ikki tomonlama tengsizlik. Ikki tomonlama tengsizlik kabi
-3 Va 2x + 5 ≤ 7
chaqirdi ulangan, chunki u foydalanadi Va. Kirish -3 Qo'sh tengsizliklarni tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish tamoyillari yordamida yechish mumkin.

2-misol Yechish -3 Yechim Bizda bor

Yechimlar to‘plami (x|x ≤ -1 yoki x > 3). Yechimni intervalli belgi va belgisi yordamida ham yozishimiz mumkin uyushmalar yoki ikkala to'plamni o'z ichiga olgan holda: (-∞ -1] (3, ∞).Eritmalar to'plamining grafigi quyida ko'rsatilgan.

Tekshirish uchun y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 va y 3 = 1 ni chizamiz. (x|x ≤ -1) uchun e'tibor bering. yoki x > 3), y 1 ≤ y 2 yoki y 1 > y 3.

Mutlaq qiymatli tengsizliklar (modul)

Tengsizliklar ba'zan modullarni o'z ichiga oladi. Quyidagi xususiyatlar ularni hal qilishda foydalaniladi.
a > 0 uchun va algebraik ifoda x:
|x| |x| > a x yoki x > a ga ekvivalent.
|x| uchun o'xshash bayonotlar ≤ a va |x| ≥ a.

Masalan,
|x| |y| ≥ 1 y ≤ -1 ga ekvivalent yoki y ≥ 1;
va |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 ga teng.

4-misol Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching. Yechimlar to‘plamining grafigini tuzing.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Yechim
a) |3x + 2|

Yechimlar to‘plami (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Yechimlar to‘plami (x|x ≤ 2). yoki x ≥ 3), yoki (-∞, 2] .

Keling, o'rganganlarimizni umumlashtiramiz.
Aytaylik, tengsizliklar sistemasini yechish kerak: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Keyin interval ($x_1; x_2$) birinchi tengsizlikning yechimidir.
Interval ($y_1; y_2$) ikkinchi tengsizlikning yechimidir.
Tengsizliklar sistemasining yechimi har bir tengsizlikning yechimlarining kesishishidir.

Tengsizliklar sistemalari nafaqat birinchi tartibli tengsizliklardan, balki boshqa har qanday turdagi tengsizliklardan ham iborat bo'lishi mumkin.

Tengsizliklar tizimini yechishning muhim qoidalari.
Agar tizimning tengsizliklaridan birining yechimlari bo'lmasa, butun tizimning yechimlari yo'q.
Agar o'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun tengsizliklardan biri qondirilsa, tizimning yechimi boshqa tengsizlikning echimi bo'ladi.

Misollar.
Tengsizliklar tizimini yeching:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Yechim.
Keling, har bir tengsizlikni alohida yechamiz.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Ikkinchi tengsizlikni yechamiz.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Tengsizlikning yechimi intervaldir.
Ikkala intervalni ham bir chiziqqa chizamiz va kesmani topamiz.
Intervallarning kesishishi segmentdir (4; 6).
Javob: (4;6].

Tengsizliklar sistemasini yeching.
a) $\begin(holatlar)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(holatlar)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(holatlar) )$.

Yechim.
a) Birinchi tengsizlik x>1 yechimga ega.
Ikkinchi tengsizlik uchun diskriminant topilsin.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Qoidani eslaylik: tengsizliklardan birining yechimi bo'lmasa, butun tizimning yechimi yo'q.
Javob: Hech qanday yechim yo'q.

B) Birinchi tengsizlik x>1 yechimga ega.
Ikkinchi tengsizlik barcha x uchun noldan katta. U holda sistemaning yechimi birinchi tengsizlikning yechimi bilan mos tushadi.
Javob: x>1.

Mustaqil yechish uchun tengsizliklar sistemasiga oid masalalar

Tengsizliklar tizimini yechish:
a) $\begin(holatlar)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(holatlar)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(holatlar)x^2-25 d) $\begin(holatlar)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(holatlar)$
e) $\begin(holatlar)x^2+36

Boshlash uchun, intervalli usul hal qiladigan muammoni his qilish uchun ozgina she'r. Aytaylik, quyidagi tengsizlikni yechishimiz kerak:

(x − 5)(x + 3) > 0

Variantlar qanday? Aksariyat talabalarning xayoliga keladigan birinchi narsa "ortiqcha ortiqcha ortiqcha ortiqcha beradi" va "minus minus ortiqcha beradi" qoidalari. Shuning uchun ikkala qavs musbat bo'lgan holatni ko'rib chiqish kifoya: x − 5 > 0 va x + 3 > 0. Keyin ikkala qavs manfiy bo'lgan holatni ham ko'rib chiqamiz: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Ilg'or talabalar (ehtimol) chap tomonda ekanligini eslashadi kvadratik funktsiya, uning grafigi parabola. Bundan tashqari, bu parabola OX o'qini x = 5 va x = -3 nuqtalarda kesib o'tadi. Uchun keyingi ish qavslarni ochishingiz kerak. Bizda ... bor:

x 2 − 2x − 15 > 0

Endi parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligi aniq, chunki a = 1 > 0 koeffitsienti. Keling, ushbu parabolaning diagrammasini chizishga harakat qilaylik:

Funktsiya OX o'qidan o'tgan joyda noldan katta. Bizning holatda, bu (−∞ −3) va (5; +∞) oraliqlari - bu javob.

Iltimos, diqqat qiling: rasmda aniq ko'rsatilgan funktsiya diagrammasi, uning jadvali emas. Chunki haqiqiy grafik uchun siz koordinatalarni hisoblashingiz, siljishlarni hisoblashingiz kerak va hozircha biz uchun mutlaqo foydasi yo'q.

Nima uchun bu usullar samarasiz?

Shunday qilib, biz bir xil tengsizlikning ikkita yechimini ko'rib chiqdik. Ularning ikkalasi ham juda og'ir bo'lib chiqdi. Birinchi qaror paydo bo'ladi - bu haqda o'ylab ko'ring! — tengsizliklar sistemasi majmui. Ikkinchi yechim ham unchalik oson emas: siz parabola grafigini va boshqa bir qator kichik faktlarni eslab qolishingiz kerak.

Bu juda oddiy tengsizlik edi. U faqat 2 ta ko'paytirgichga ega. Endi tasavvur qiling-a, 2 emas, balki kamida 4 ko'paytiruvchi bo'ladi.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Bunday tengsizlikni qanday hal qilish mumkin? Ijobiy va kamchiliklarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalaridan o'tingmi? Ha, biz tezroq uxlab qolamiz yechim topamiz. Grafikni chizish ham variant emas, chunki bunday funktsiya koordinata tekisligida qanday ishlashi aniq emas.

Bunday tengsizliklar uchun maxsus yechim algoritmi kerak, biz bugun ko'rib chiqamiz.

Interval usuli nima

Intervalli usul f (x) > 0 va f (x) ko‘rinishdagi murakkab tengsizliklarni yechish uchun mo‘ljallangan maxsus algoritmdir.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 tenglamani yeching. Shunday qilib, tengsizlik o'rniga yechish ancha sodda bo'lgan tenglamani olamiz;
2. Olingan barcha ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Shunday qilib, to'g'ri chiziq bir necha oraliqlarga bo'linadi;
3. Eng o'ng oraliqdagi f (x) funksiyaning belgisini (ortiqcha yoki minus) toping. Buning uchun barcha belgilangan ildizlarning o'ng tomonida joylashgan har qanday raqamni f (x) ga almashtirish kifoya;
4. Qolgan oraliqlarda belgilarni belgilang. Buning uchun har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishini unutmang.

Ana xolos! Shundan so'ng, bizni qiziqtirgan intervallarni yozish qoladi. Agar tengsizlik f (x) > 0 ko'rinishda bo'lsa, ular "+" belgisi bilan yoki tengsizlik f (x) ko'rinishda bo'lsa, "-" belgisi bilan belgilanadi.< 0.

Bir qarashda, intervalli usul qandaydir tiniq narsadek tuyulishi mumkin. Lekin amalda hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Bir oz mashq qiling va hamma narsa aniq bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing va o'zingiz ko'ring:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x − 2)(x + 7)< 0

Interval usuli yordamida ishlaymiz. 1-qadam: tengsizlikni tenglama bilan almashtiring va uni yeching:

(x − 2)(x + 7) = 0

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Bizda ikkita ildiz bor. Keling, 2-bosqichga o'tamiz: bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Bizda ... bor:

Endi 3-qadam: funktsiyaning eng o'ng oraliqdagi belgisini toping (belgilangan nuqtaning o'ng tomonida x = 2). Buning uchun siz x = 2 sonidan katta bo'lgan istalgan raqamni olishingiz kerak. Masalan, x = 3 ni olaylik (lekin hech kim x = 4, x = 10 va hatto x = 10 000 ni olishni taqiqlamaydi). Biz olamiz:

f (x) = (x - 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Biz f (3) = 10 > 0 ekanligini topamiz, shuning uchun biz eng o'ng oraliqda ortiqcha belgisini qo'yamiz.

Keling, oxirgi nuqtaga o'tamiz - qolgan intervallardagi belgilarga e'tibor qaratishimiz kerak. Har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishi kerakligini eslaymiz. Misol uchun, x = 2 ildizining o'ng tomonida ortiqcha (biz oldingi bosqichda bunga ishonch hosil qilganmiz), shuning uchun chap tomonda minus bo'lishi kerak.

Bu minus butun intervalgacha (-7; 2) tarqaladi, shuning uchun x = -7 ildizning o'ng tomonida minus mavjud. Shuning uchun, x = −7 ildizining chap tomonida plyus mavjud. Bu belgilarni belgilash qoladi koordinata o'qi. Bizda ... bor:

Keling, quyidagi shaklga ega bo'lgan asl tengsizlikka qaytaylik:

(x − 2)(x + 7)< 0

Shunday qilib, funktsiya noldan kichik bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, bizni faqat bitta oraliqda paydo bo'ladigan minus belgisi qiziqtiradi: (−7; 2). Bu javob bo'ladi.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1-qadam: tenglashtirish chap tomoni nolga:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Esingizda bo'lsin: omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng. Shuning uchun biz har bir alohida qavsni nolga tenglashtirish huquqiga egamiz.

2-qadam: koordinata chizig'idagi barcha ildizlarni belgilang:

3-qadam: eng o'ngdagi bo'shliqning belgisini toping. Biz x = 1 dan katta bo'lgan har qanday sonni olamiz. Masalan, biz x = 10 ni olamiz. Bizda:

f (x) = (x + 9)(x - 3)(1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 · 7 · (-9) = - 1197;
f (10) = -1197< 0.

4-qadam: qolgan belgilarni joylashtirish. Har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishini eslaymiz. Natijada bizning rasmimiz quyidagicha ko'rinadi:

Ana xolos. Faqat javobni yozish qoladi. Asl tengsizlikka yana bir nazar tashlang:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Bu f(x) ko‘rinishdagi tengsizlikdir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Bu javob.

Funktsiya belgilari haqida eslatma

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, intervalli usulda eng katta qiyinchiliklar oxirgi ikki bosqichda paydo bo'ladi, ya'ni. belgilarni qo'yishda. Ko'pgina talabalar chalkashishni boshlaydilar: qaysi raqamlarni olish va belgilarni qaerga qo'yish kerak.

Nihoyat interval usulini tushunish uchun u asoslangan ikkita kuzatishni ko'rib chiqing:

1. Uzluksiz funksiya faqat shu nuqtalarda belgini o'zgartiradi bu erda u nolga teng. Bunday nuqtalar koordinata o'qini qismlarga ajratadi, ular ichida funktsiyaning belgisi hech qachon o'zgarmaydi. Shuning uchun ham f (x) = 0 tenglamani yechib, topilgan ildizlarni to‘g‘ri chiziqqa belgilaymiz. Topilgan raqamlar ijobiy va salbiy tomonlarini ajratib turadigan "chegara" nuqtalari.
2. Funksiyaning istalgan oraliqdagi ishorasini bilish uchun funksiyaga shu oraliqdagi istalgan sonni qo‘yish kifoya. Masalan, (−5; 6) oraliq uchun, agar xohlasak, x = −4, x = 0, x = 4 va hatto x = 1,29374 ni olish huquqiga egamiz. Nima uchun bu muhim? Ha, chunki shubhalar ko'plab talabalarni kemira boshlaydi. Masalan, x = −4 uchun ortiqcha, x = 0 uchun esa minus bo'lsa-chi? Ammo hech qachon bunday narsa bo'lmaydi. Xuddi shu oraliqdagi barcha nuqtalar bir xil belgini beradi. Buni eslab qoling.

Interval usuli haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa shu. Albatta, biz uni tubdan ajratib oldik oddiy versiya. Yana bor murakkab tengsizliklar- qat'iy bo'lmagan, kasrli va takrorlanuvchi ildizlar bilan. Siz ular uchun interval usulidan ham foydalanishingiz mumkin, ammo bu alohida katta dars uchun mavzu.

Endi men interval usulini sezilarli darajada soddalashtiradigan ilg'or texnikani ko'rib chiqmoqchiman. Aniqroq aytganda, soddalashtirish faqat uchinchi bosqichga ta'sir qiladi - chiziqning eng o'ng qismidagi belgini hisoblash. Ba'zi sabablarga ko'ra, bu texnika maktablarda o'qitilmaydi (hech bo'lmaganda menga buni hech kim tushuntirmadi). Lekin behuda - chunki aslida bu algoritm juda oddiy.

Demak, funksiyaning belgisi son qatorining o‘ng qismida joylashgan. Bu qism (a ; +∞) ko'rinishga ega bo'lib, bu erda a tenglamaning eng katta ildizi f (x) = 0. O'ylanmaslik uchun keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x);
(x - 1)(2 + x)(7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Bizda 3 ta ildiz bor. Ularni o‘sish tartibida sanab o‘tamiz: x = −2, x = 1 va x = 7. Shubhasiz, eng katta ildiz x = 7.

Grafik jihatdan mulohaza yuritishni oson topadiganlar uchun men bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilayman. Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik:

Eng o'ng oraliqda f (x) funksiyaning ishorasini topish talab qilinadi, ya'ni. gacha (7; +∞). Ammo biz allaqachon ta'kidlaganimizdek, belgini aniqlash uchun siz ushbu intervaldan istalgan raqamni olishingiz mumkin. Masalan, siz x = 8, x = 150 va hokazolarni olishingiz mumkin. Va endi - maktablarda o'qitilmaydigan o'sha texnika: cheksizlikni raqam sifatida olaylik. Aniqroq aytganda, ortiqcha cheksizlik, ya'ni. +∞.

“Siz toshbo'ronmisiz? Qanday qilib cheksizlikni funktsiyaga almashtirish mumkin? - deb so'rashingiz mumkin. Ammo o'ylab ko'ring: bizga funktsiyaning o'zi qiymati kerak emas, bizga faqat belgi kerak. Shuning uchun, masalan, f (x) = -1 va f (x) = -938 740 576 215 qiymatlari bir xil narsani anglatadi: bu oraliqdagi funktsiya manfiy. Shuning uchun sizdan talab qilinadigan narsa bu funksiyaning qiymatini emas, balki cheksizlikda paydo bo'ladigan belgini topishdir.

Aslida, cheksizlikni almashtirish juda oddiy. Funktsiyamizga qaytaylik:

f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x)

Tasavvur qiling-a, x juda ko'p katta raqam. Milliard yoki hatto trillion. Keling, har bir qavsda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Birinchi qavs: (x − 1). Agar milliarddan bittani ayirsangiz nima bo'ladi? Natijada milliarddan unchalik farq qilmaydigan raqam bo'ladi va bu raqam ijobiy bo'ladi. Xuddi shunday ikkinchi qavs bilan: (2 + x). Agar milliardni ikkiga qo'shsangiz, siz milliard va kopek olasiz - bu ijobiy raqam. Nihoyat, uchinchi qavs: (7 - x). Bu erda minus milliard bo'ladi, undan ettita ko'rinishidagi ayanchli parcha "kemirildi". Bular. natijada olingan raqam minus milliarddan unchalik farq qilmaydi - bu salbiy bo'ladi.

Qolgan narsa butun ishning belgisini topishdir. Birinchi qavslarda ortiqcha va oxirgisida minus bo'lganligi sababli biz quyidagi qurilishni olamiz:

(+) · (+) · (−) = (−)

Yakuniy belgi - minus! Va funktsiyaning o'zi qanday qiymatga ega ekanligi muhim emas. Asosiysi, bu qiymat salbiy, ya'ni. eng o'ngdagi interval minus belgisiga ega. Qolgan narsa oraliq usulining to'rtinchi bosqichini bajarishdir: barcha belgilarni tartibga soling. Bizda ... bor:

Dastlabki tengsizlik quyidagicha edi:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Shuning uchun biz minus belgisi bilan belgilangan oraliqlarga qiziqamiz. Javobni yozamiz:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Bu men sizga aytmoqchi bo'lgan butun hiyla edi. Xulosa qilib aytganda, cheksizlikdan foydalangan holda interval usuli bilan yechish mumkin bo'lgan yana bir tengsizlik. Yechimni vizual ravishda qisqartirish uchun men qadam raqamlari va batafsil sharhlarni yozmayman. Men faqat haqiqiy muammolarni hal qilishda yozishingiz kerak bo'lgan narsalarni yozaman:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Tengsizlikni tenglama bilan almashtiramiz va uni yechamiz:

x (2x + 8)(x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Biz koordinata chizig'ida barcha uchta ildizni belgilaymiz (bir vaqtning o'zida belgilar bilan):

Koordinata o'qining o'ng tomonida ortiqcha bor, chunki funktsiya quyidagicha ko'rinadi:

f (x) = x (2x + 8)(x - 3)

Va agar biz cheksizlikni (masalan, milliard) almashtirsak, biz uchta musbat qavs olamiz. Asl ifoda noldan katta bo'lishi kerakligi sababli, bizni faqat ijobiy tomonlar qiziqtiradi. Faqat javobni yozish qoladi:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

O'zgaruvchilar bilan tengsizliklar haqida dastlabki ma'lumotni olgandan so'ng, biz ularni yechish masalasiga o'tamiz. Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tengsizliklarni yechish va ularni yechishning barcha usullarini algoritmlar va misollar bilan tahlil qilamiz. Faqat bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar ko'rib chiqiladi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Chiziqli tengsizlik nima?

Avval siz chiziqli tenglamani aniqlashingiz va uni aniqlab olishingiz kerak standart ko'rinish va u boshqalardan qanday farq qiladi. Maktab kursidan biz tengsizliklar o'rtasida fundamental farq yo'qligini bilamiz, shuning uchun bir nechta ta'riflardan foydalanish kerak.

Ta'rif 1

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tengsizlik x - a · x + b > 0 ko'rinishdagi tengsizlik, > o'rniga istalgan tengsizlik belgisi qo'llanilganda.< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Ta'rif 2

Tengsizliklar a x< c или a · x >c, x o'zgaruvchi, a va c esa ba'zi sonlar deb ataladi bitta o'zgaruvchili chiziqli tengsizliklar.

Koeffitsient 0 ga teng bo'lishi mumkinligi haqida hech narsa aytilmaganligi sababli, 0 x > c va 0 x ko'rinishdagi qat'iy tengsizlik.< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ularning farqlari:

• yozuv birinchisida a · x + b > 0, ikkinchisida a · x > c – hosil qiladi;
• a koeffitsientining nolga teng bo'lishining maqbulligi, birinchisida a ≠ 0, ikkinchisida a = 0.

a · x + b > 0 va a · x > c tengsizliklari ekvivalent deb hisoblanadi, chunki ular hadni bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazish orqali olinadi. 0 x + 5 > 0 tengsizlikni yechish uni yechish kerak bo'lishiga olib keladi va a = 0 holati ishlamaydi.

Ta'rif 3

Bitta x o'zgaruvchidagi chiziqli tengsizliklar shakldagi tengsizliklar deb hisoblanadi a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Va a x + b ≥ 0, bu yerda a va b haqiqiy sonlar. X o'rniga oddiy raqam bo'lishi mumkin.

Qoidaga asoslanib, bizda 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2 bor.< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 chiziqliga qaytariladigan deyiladi.

Chiziqli tengsizlikni qanday yechish mumkin

Bunday tengsizliklarni yechishning asosiy usuli x elementar tengsizliklarni topish uchun ekvivalent o'zgartirishlardan foydalanishdir.< p (≤ , >, ≥), p ma'lum son, a ≠ 0 uchun va a ko'rinishdagi< p (≤ , >, ≥) a = 0 uchun.

Bitta o‘zgaruvchidagi tengsizliklarni yechish uchun interval usulidan foydalanish yoki uni grafik ko‘rinishda ko‘rsatish mumkin. Ularning har biri alohida ishlatilishi mumkin.

Ekvivalent transformatsiyalardan foydalanish

a x + b ko'rinishdagi chiziqli tengsizlikni yechish< 0 (≤ , >, ≥), ekvivalent tengsizlik o'zgarishlarini qo'llash kerak. Koeffitsient nolga teng bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik. Buni bilish uchun siz 3 nuqtadan iborat sxemaga rioya qilishingiz kerak: jarayonning mohiyati, algoritm va yechimning o'zi.

Ta'rif 4

Chiziqli tengsizlikni yechish algoritmi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) a ≠ 0 uchun

• b soni c tengsizlikning o'ng tomoniga ko'chiriladi qarama-qarshi belgi, bu bizga a x ekvivalentiga erishish imkonini beradi< − b (≤ , > , ≥) ;
• Tengsizlikning ikkala tomoni 0 ga teng bo'lmagan songa bo'linadi. Bundan tashqari, a musbat bo'lsa, a salbiy bo'lsa, u teskari tomonga o'zgaradi.

Keling, misollarni yechish uchun ushbu algoritmni qo'llashni ko'rib chiqaylik.

1-misol

3 x + 12 ≤ 0 ko‘rinishdagi tengsizlikni yeching.

Yechim

Bu chiziqli tengsizlik a = 3 va b = 12 ga ega. Bu x ning a koeffitsienti nolga teng emasligini bildiradi. Keling, yuqoridagi algoritmlarni qo'llaymiz va uni hal qilamiz.

12 hadni tengsizlikning boshqa qismiga o'tkazish va uning oldidagi belgini o'zgartirish kerak. Keyin 3 x ≤ - 12 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Ikkala qismni 3 ga bo'lish kerak. Belgisi o'zgarmaydi, chunki 3 ijobiy raqam. Biz (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ni olamiz, bu esa x ≤ − 4 natijasini beradi.

x ≤ - 4 ko'rinishdagi tengsizlik ekvivalentdir. Ya'ni, 3 x + 12 ≤ 0 ning yechimi 4 dan kichik yoki teng bo'lgan har qanday haqiqiy sondir. Javob x ≤ − 4 tengsizlik yoki (− ∞, − 4] ko‘rinishdagi son oralig‘i sifatida yoziladi.

Yuqorida tavsiflangan barcha algoritm quyidagicha yozilgan:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ - 4 .

Javob: x ≤ − 4 yoki (− ∞ , − 4 ] .

2-misol

− 2, 7 · z > 0 tengsizlikning barcha mavjud yechimlarini ko‘rsating.

Yechim

Shartdan z uchun a koeffitsienti - 2,7 ga, b esa aniq yo'q yoki nolga teng ekanligini ko'ramiz. Siz algoritmning birinchi bosqichidan foydalana olmaysiz, lekin darhol ikkinchisiga o'ting.

Tenglamaning ikkala tomonini - 2, 7 soniga ajratamiz. Raqam manfiy bo'lgani uchun tengsizlik belgisini teskari ko'rsatish kerak. Ya'ni, biz (− 2, 7 z) ni olamiz: (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Biz butun algoritmni yozamiz qisqa shakl:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Javob: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3-misol

5 x - 15 22 ≤ 0 tengsizlikni yeching.

Yechim

Shartga ko'ra, - 5 ga teng bo'lgan x o'zgaruvchisi uchun a koeffitsientli, kasr - 15 22 ga mos keladigan b koeffitsientli tengsizlikni yechish zarurligini ko'ramiz. Tengsizlikni algoritm bo'yicha yechish kerak, ya'ni: - 15 22 ni qarama-qarshi ishorali boshqa qismga o'tkazish, ikkala qismni - 5 ga bo'lish, tengsizlik belgisini o'zgartirish:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

O'ng tomon uchun oxirgi o'tish paytida raqamlarni bo'lish qoidasi bilan ishlatiladi turli belgilar 15 22: - 5 = - 15 22: 5, shundan so'ng biz bo'linishni amalga oshiramiz oddiy kasr natural songa - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22.

Javob: x ≥ - 3 22 va [ - 3 22 + ∞) .

a = 0 bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. a x + b ko'rinishning chiziqli ifodasi< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Hamma narsa tengsizlikning yechimini aniqlashga asoslanadi. X ning istalgan qiymati uchun b ko'rinishdagi sonli tengsizlikni olamiz< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Biz barcha hukmlarni 0 x + b chiziqli tengsizliklarni echish algoritmi shaklida ko'rib chiqamiz.< 0 (≤ , > , ≥) :

Ta'rif 5

Shaklning sonli tengsizligi b< 0 (≤ , >, ≥) toʻgʻri boʻlsa, asl tengsizlik har qanday qiymat uchun yechimga ega boʻlsa, asl tengsizlikning yechimlari boʻlmasa, u notoʻgʻri boʻladi.

4-misol

0 x + 7 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechim

Bu 0 x + 7 > 0 chiziqli tengsizlik har qanday x qiymatini qabul qilishi mumkin. Keyin 7 > 0 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Oxirgi tengsizlik to'g'ri deb hisoblanadi, ya'ni har qanday raqam uning yechimi bo'lishi mumkin.

Javob: interval (− ∞ , + ∞) .

5-misol

0 x − 12, 7 ≥ 0 tengsizlikning yechimini toping.

Yechim

Har qanday sonning x o‘zgaruvchisi o‘rniga qo‘yilganda tengsizlik − 12, 7 ≥ 0 ko‘rinishini olishiga erishamiz. Bu noto'g'ri. Ya'ni, 0 x − 12, 7 ≥ 0 ning yechimlari yo'q.

Javob: yechimlar yo'q.

Ikkala koeffitsient nolga teng bo'lgan chiziqli tengsizliklarni echishni ko'rib chiqaylik.

6-misol

0 x + 0 > 0 va 0 x + 0 ≥ 0 dan yechilmaydigan tengsizlikni aniqlang.

Yechim

X o‘rniga istalgan son qo‘yilganda 0 > 0 va 0 ≥ 0 ko‘rinishdagi ikkita tengsizlikni olamiz. Birinchisi noto'g'ri. Demak, 0 x + 0 > 0 ning yechimlari yo'q, 0 x + 0 ≥ 0 esa cheksiz miqdordagi yechimga, ya'ni istalgan songa ega.

Javob: 0 x + 0 > 0 tengsizligi yechimga ega emas, lekin 0 x + 0 ≥ 0 yechimga ega.

Ushbu usul maqolada muhokama qilinadi maktab kursi matematika. Intervalli usul hal qilishga qodir har xil turlari tengsizliklar, shuningdek, chiziqli.

Interval usuli chiziqli tengsizliklar uchun x koeffitsientining qiymati 0 ga teng bo'lmaganda qo'llaniladi. Aks holda, siz boshqa usul yordamida hisoblashingiz kerak bo'ladi.

Ta'rif 6

Interval usuli:

• y = a · x + b funksiyasini kiritish;
• ta'rif sohasini intervallarga bo'lish uchun nollarni qidirish;
• oraliqlarda ularning tushunchalari uchun belgilarni belgilash.

a x+b chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini yig‘amiz< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 uchun interval usuli yordamida:

• a · x + b = 0 ko'rinishdagi tenglamani yechish uchun y = a · x + b funksiyaning nollarini topish. Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda yechim x 0 belgisini oladigan yagona ildiz bo'ladi;
• koordinatasi x 0 bo'lgan nuqta tasviri bilan koordinata chizig'ini qurish, bilan qattiq tengsizlik nuqta teshilgan nuqta bilan yoki qattiq bo'lmasa, bo'yalgan nuqta bilan ko'rsatiladi;
• y = a · x + b funktsiyaning oraliqlar bo'yicha belgilarini aniqlash, buning uchun intervaldagi nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini topish kerak;
• koordinata chizig‘ida > yoki ≥ belgilari bo‘lgan tengsizlikni yechish, musbat intervalga soya qo‘shish;< или ≤ над отрицательным промежутком.

Chiziqli tengsizliklarni interval usuli yordamida yechishning bir qancha misollarini ko‘rib chiqamiz.

6-misol

− 3 x + 12 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechim

Algoritmdan kelib chiqadiki, avval siz − 3 x + 12 = 0 tenglamaning ildizini topishingiz kerak. Biz shuni olamiz - 3 · x = - 12 , x = 4 . 4-nuqtani belgilagan joyda koordinata chizig'ini chizish kerak. Teshiladi, chunki tengsizlik qat'iydir. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Belgilarni oraliqda aniqlash kerak. Uni (− ∞, 4) oraliqda aniqlash uchun y = − 3 x + 12 funksiyani x = 3 da hisoblash kerak. Bu erdan biz − 3 3 + 12 = 3 > 0 ni olamiz. Intervaldagi belgi ijobiy.

Biz (4, + ∞) oraliqdan belgini aniqlaymiz, keyin x = 5 qiymatini almashtiramiz. Bizda - 3 5 + 12 = - 3 bor< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Tengsizlikni > belgisi bilan yechamiz, soyalash esa musbat intervalda bajariladi. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, kerakli yechim (− ∞ , 4) yoki x ko'rinishga ega.< 4 .

Javob: (− ∞ , 4) yoki x< 4 .

Grafik jihatdan qanday tasvirlashni tushunish uchun misol sifatida 4 ta chiziqli tengsizlikni ko'rib chiqish kerak: 0, 5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 va 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ularning yechimlari x ning qiymatlari bo'ladi< 2 , x ≤ 2 , x >2 va x ≥ 2. Buning uchun grafik chizamiz chiziqli funksiya y = 0,5 x - 1 quyida berilgan.

Bu aniq

Ta'rif 7

• 0, 5 x − 1 tengsizlikni yechish< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• 0, 5 x − 1 ≤ 0 yechim y = 0, 5 x − 1 funksiya O x dan past yoki mos keladigan oraliq deb hisoblanadi;
• yechim 0, 5 · x - 1 > 0 oraliq deb hisoblanadi, funksiya O x dan yuqorida joylashgan;
• 0, 5 · x - 1 ≥ 0 yechim O x dan yuqoridagi grafik yoki mos keladigan interval deb hisoblanadi.

Ma'nosi grafik yechim Tengsizliklar - grafikda tasvirlanishi kerak bo'lgan intervallarni topish. Bunday holda, chap tomonda y = a · x + b, o'ng tomonda esa y = 0, O x bilan mos kelishini topamiz.

Ta'rif 8

y = a x + b funksiyaning grafigi chizilgan:

• a x + b tengsizlikni yechishda< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a · x + b ≤ 0 tengsizlikni yechishda grafik O x o'qi ostida tasvirlangan yoki mos keladigan interval aniqlanadi;
• a · x + b > 0 tengsizlikni yechishda grafik O x yuqorida tasvirlangan oraliq aniqlanadi;
• a · x + b ≥ 0 tengsizlikni yechishda oraliq grafik O x dan yuqori yoki mos keladigan joyda aniqlanadi.

7-misol

- 5 · x - 3 > 0 tengsizlikni grafik yordamida yeching.

Yechim

Chiziqli funksiya grafigini qurish kerak - 5 · x - 3 > 0. Bu chiziq kamayib bormoqda, chunki x koeffitsienti manfiy. Uning O x - 5 · x - 3 > 0 bilan kesishgan nuqtasining koordinatalarini aniqlash uchun - 3 5 qiymatini olamiz. Keling, buni grafik tarzda tasvirlaylik.

Tengsizlikni > belgisi bilan yechish, u holda O x dan yuqoridagi intervalga e'tibor berish kerak. Keling, samolyotning kerakli qismini qizil rang bilan ajratib ko'rsatamiz va buni olamiz

Kerakli bo'shliq O x qizil qismidir. Demak, ochiq sonli nur - ∞ , - 3 5 tengsizlikning yechimi bo'ladi. Agar shartga ko'ra bizda qat'iy bo'lmagan tengsizlik bo'lsa, u holda nuqtaning qiymati - 3 5 ham tengsizlikning echimi bo'lar edi. Va u O x bilan mos keladi.

Javob: - ∞ , - 3 5 yoki x< - 3 5 .

Grafik yechim chap tomoni y = 0 x + b funktsiyaga mos kelganda, ya'ni y = b bo'lsa ishlatiladi. Keyin to'g'ri chiziq O x ga parallel yoki b = 0 da to'g'ri keladi. Bu holatlar shuni ko'rsatadiki, tengsizlikning yechimlari bo'lmasligi yoki yechim har qanday son bo'lishi mumkin.

8-misol

0 x + 7 tengsizliklardan aniqlang< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Yechim

y = 0 x + 7 ning tasviri y = 7 bo'lsa, u holda O x ga parallel va O x dan yuqorida joylashgan chiziq bilan koordinata tekisligi beriladi. Shunday qilib, 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y = 0 x + 0 funksiyaning grafigi y = 0 deb hisoblanadi, ya'ni to'g'ri chiziq O x ga to'g'ri keladi. Demak, 0 x + 0 ≥ 0 tengsizligi ko‘p yechimga ega.

Javob: Ikkinchi tengsizlik x ning istalgan qiymati uchun yechimga ega.

Chiziqli holatga tushadigan tengsizliklar

Tengsizliklar yechimini yechimga keltirish mumkin chiziqli tenglama, ular chiziqli bo'lgan tengsizliklar deb ataladi.

Ushbu tengsizliklar maktab kursida ko'rib chiqildi, chunki ular tengsizliklarni echishning alohida holati bo'lib, qavslar ochilishiga va o'xshash atamalarning qisqarishiga olib keldi. Masalan, 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x ekanligini ko‘rib chiqaylik.

Yuqorida keltirilgan tengsizliklar har doim chiziqli tenglama ko'rinishiga keltiriladi. Keyin qavslar ochiladi va shunga o'xshash atamalar beriladi va dan o'tkaziladi turli qismlar, belgini teskarisiga o'zgartirish.

5 − 2 x > 0 tengsizlikni chiziqli holatga keltirishda biz uni − 2 x + 5 > 0 ko‘rinishga ega bo‘ladigan tarzda ifodalaymiz va soniyani kamaytirish uchun 7 (x − 1) + 3 ≤ ni olamiz. 4 x − 2 + x. Qavslarni ochish, o'xshash atamalarni olib kelish, barcha atamalarni chap tomonga siljitish va o'xshash atamalarni olib kelish kerak. Bu shunday ko'rinadi:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Bu chiziqli tengsizlikning yechimiga olib keladi.

Bu tengsizliklar chiziqli hisoblanadi, chunki ular bir xil yechim printsipiga ega, shundan so'ng ularni elementar tengsizliklarga kamaytirish mumkin.

Ushbu turdagi tengsizlikni yechish uchun uni chiziqli tengsizlikka kamaytirish kerak. Buni shunday qilish kerak:

Ta'rif 9

• ochiq qavslar;
• chapda o'zgaruvchilarni va o'ngda raqamlarni to'plash;
• o'xshash shartlarni berish;
• ikkala tomonni x koeffitsientiga bo'ling.

9-misol

5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 tengsizlikni yeching.

Yechim

Qavslarni ochamiz, keyin 5 x + 15 + x ≤ 6 x - 18 + 1 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Shunga o'xshash shartlarni qisqartirgandan so'ng, biz 6 x + 15 ≤ 6 x - 17 ga ega bo'lamiz. Shartlarni chapdan o'ngga siljitgandan so'ng, biz 6 x + 15 - 6 x + 17 ≤ 0 ekanligini topamiz. Demak, 0 x + 32 ≤ 0 ni hisoblash natijasida olingan tengsizlikdan 32 ≤ 0 ko'rinishdagi tengsizlik mavjud. Ko'rinib turibdiki, tengsizlik noto'g'ri, ya'ni shart bilan berilgan tengsizlikning yechimlari yo'q.

Javob: yechim yo'q.

Shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida ko'rsatilgan turdagi chiziqli yoki tengsizlikka tushirilishi mumkin bo'lgan boshqa ko'plab tengsizlik turlari mavjud. Masalan, 5 2 x − 1 ≥ 1 hisoblanadi eksponensial tenglama, bu chiziqli eritma 2 x - 1 ≥ 0 ga kamayadi. Ushbu turdagi tengsizliklarni yechishda bu holatlar ko'rib chiqiladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing