Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari. Kompleks logarifmik tengsizliklar

14.10.2019

Shuningdek o'qing

Tozalash faoliyati - bu nima?

Boshqa lug'atlarda "Sergey Anatolevich Storchak" nima ekanligini ko'ring Sergey Anatolevich Storchak

Hozirgi bosqichda pul-kredit siyosatining roli Davlatning pul-kredit siyosatidagi roli

Evrosiyoning umumiy xarakteristikasi

Aleksandr Starovoitov: tarjimai holi, siyosiy faoliyati Jamoat arbobi Aleksandr Starovoitov

Dars maqsadlari:

Didaktik:

1-daraja – logarifmning ta’rifi va logarifm xossalaridan foydalanib, eng oddiy logarifmik tengsizliklarni yechish usullarini o‘rgatish;
2-daraja – logarifmik tengsizliklarni yechish, o‘z yechim usulini tanlash;
3-bosqich - nostandart vaziyatlarda bilim va ko'nikmalarni qo'llay olish.

Tarbiyaviy: xotirani, e'tiborni rivojlantirish, mantiqiy fikrlash, taqqoslash ko'nikmalari, umumlashtirish va xulosalar chiqarish qobiliyati

Tarbiyaviy: aniqlik, bajarilayotgan vazifa uchun mas'uliyat va o'zaro yordamni tarbiyalash.

O'qitish usullari: og'zaki , ingl , amaliy , qisman qidiruv , o'zini o'zi boshqarish , boshqaruv.

Tashkilot shakllari kognitiv faoliyat talabalar: frontal , individual , juft bo'lib ishlamoq.

Uskunalar: test topshiriqlari to'plami, ma'lumotnoma xulosasi, yechimlar uchun bo'sh varaqlar.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment. Dars mavzusi va maqsadlari, dars ishlanmasi e’lon qilinadi: har bir o‘quvchiga baholash varaqasi beriladi, uni o‘quvchi dars davomida to‘ldiradi; talabalarning har bir juftligi uchun - topshiriqlar bilan bosma materiallar juftlikda bajarilishi kerak; bo'sh eritma varaqlari; qo'llab-quvvatlash varaqlari: logarifmning ta'rifi; logarifmik funksiya grafigi, uning xossalari; logarifmlarning xossalari; yechim algoritmi logarifmik tengsizliklar.

O'z-o'zini baholashdan keyin barcha qarorlar o'qituvchiga topshiriladi.

Talaba ballari varaqasi

2. Bilimlarni yangilash.

O'qituvchining ko'rsatmalari. Logarifm ta’rifini, logarifmik funksiya grafigini va uning xossalarini eslang. Buning uchun Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin va boshqalar tahriri ostidagi “Algebra va tahlilning ibtidolari 10–11” darsligining 88–90, 98–101-betlaridagi matnni oʻqing.

Talabalarga quyidagi varaqlar beriladi: logarifmning ta'rifi; logarifmik funktsiya grafigini va uning xossalarini ko'rsatadi; logarifmlarning xossalari; logarifmik tengsizliklarni yechish algoritmi, kvadratik tengsizlikka keltiruvchi logarifmik tengsizlikni yechish misoli.

3. Yangi materialni o'rganish.

Logarifmik tengsizliklarni yechish logarifmik funksiyaning monotonligiga asoslanadi.

Logarifmik tengsizliklarni yechish algoritmi:

A) Tengsizlikning aniqlanish sohasini toping (sublogarifmik ifoda noldan katta).
B) Tengsizlikning chap va o'ng tomonlarini (agar iloji bo'lsa) bir xil asosga logarifm sifatida ko'rsating.
C) ekanligini aniqlang logarifmik funktsiya: agar t>1 bo'lsa, u holda ortib boradi; agar 0 1, keyin kamayadi.
D) Ko'proq o'ting oddiy tengsizlik(sublogarifmik ifodalar), agar funksiya ortib ketsa, tengsizlik belgisi qoladi, kamaysa o‘zgaradi.

O'quv elementi №1.

Maqsad: eng oddiy logarifmik tengsizliklar yechimini birlashtirish

Talabalarning bilish faoliyatini tashkil etish shakli: individual ish.

uchun vazifalar mustaqil ish 10 daqiqa davomida. Har bir tengsizlik uchun bir nechta mumkin bo'lgan javoblar mavjud, siz to'g'risini tanlashingiz va uni kalit yordamida tekshirishingiz kerak.

Kalit: 13321, maksimal ball soni – 6 ball.

O'quv elementi №2.

Maqsad: logarifmik tengsizliklarni logarifmlarning xossalaridan foydalanib yechish usullarini mustahkamlash.

O'qituvchining ko'rsatmalari. Logarifmlarning asosiy xususiyatlarini eslang. Buning uchun 92, 103–104-betlardagi darslik matnini o‘qing.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar 10 daqiqa.

Kalit: 2113, maksimal ball soni – 8 ball.

O'quv elementi №3.

Maqsad: logarifmik tengsizliklarni kvadratga keltirish usuli bilan yechish usullarini o'rganish.

O'qituvchining ko'rsatmasi: tengsizlikni kvadratga qisqartirish usuli - bu tengsizlikni shunday ko'rinishga aylantirish, ma'lum bir logarifmik funktsiya yangi o'zgaruvchi bilan belgilanadi va shu bilan bu o'zgaruvchiga nisbatan kvadrat tengsizlik olinadi.

Interval usulidan foydalanamiz.

Siz materialni o'zlashtirishning birinchi bosqichidan o'tdingiz. Endi siz mustaqil ravishda barcha bilim va imkoniyatlaringizdan foydalangan holda logarifmik tenglamalarni yechish usulini tanlashingiz kerak bo'ladi.

O'quv elementi №4.

Maqsad: ratsional yechim usulini mustaqil tanlash orqali logarifmik tengsizliklar yechimini mustahkamlash.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar 10 daqiqa

O'quv elementi №5.

O'qituvchining ko'rsatmalari. Juda qoyil! Siz murakkablikning ikkinchi darajasidagi tenglamalarni echishni o'zlashtirgansiz. Sizning keyingi ishingizdan maqsad bilim va ko'nikmalaringizni yanada murakkab va nostandart vaziyatlarda qo'llashdir.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

O'qituvchining ko'rsatmalari. Agar siz butun vazifani bajargan bo'lsangiz, bu juda yaxshi. Juda qoyil!

Butun dars uchun baho barcha ta'lim elementlari uchun to'plangan ballar soniga bog'liq:

agar N ≥ 20 bo'lsa, siz "5" baho olasiz,
16 ≤ N ≤ 19 uchun – “4” ball,
8 ≤ N ≤ 15 uchun – “3” ball,
da N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Baholash varaqalarini o'qituvchiga topshiring.

5. Uy vazifasi: agar siz 15 balldan ko'p bo'lmagan ball to'plagan bo'lsangiz, xatolaringiz ustida ishlang (yechimlarni o'qituvchidan olish mumkin), agar siz 15 balldan ortiq ball to'plagan bo'lsangiz, "Logarifmik tengsizliklar" mavzusida ijodiy topshiriqni bajaring.

Ular bilan logarifmlar ichida joylashgan.

Misollar:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari:

Biz har qanday logarifmik tengsizlikni $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ ko'rinishga keltirishga harakat qilishimiz kerak ($˅$ belgisi dan istalganini bildiradi). Bu tip logarifmlar ostidagi ifodalarning tengsizligiga, ya'ni $f(x) ˅ g(x)$ ko'rinishiga o'tishni amalga oshirib, logarifmlar va ularning asoslaridan xalos bo'lishga imkon beradi.

Ammo bu o'tishni amalga oshirishda bitta muhim noziklik bor:
$-$ agar raqam bo'lsa va u 1 dan katta bo'lsa, o'tish paytida tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi,
$-$ agar asos 0 dan katta, lekin 1 dan kichik bo'lsa (nol va bir o'rtasida bo'lsa), unda tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgarishi kerak, ya'ni.

Misollar:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Yechim:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Javob: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(holatlar)2x-4>0\\x+1 > 0\end(holatlar)$
$\begin(holatlar)2x>4\\x > -1\end(holatlar)$ $\Chap oʻng oʻq$ $\boshlash(holatlar)x>2\\x > -1\end(holatlar) $ $\Chap o'ng o'q$ $x\in(2;\infty)$

Yechim:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Javob: $(2;5]$

Juda muhim! Har qanday tengsizlikda $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ ko'rinishidan logarifm ostidagi ifodalarni solishtirishga o'tish faqat quyidagi hollarda amalga oshirilishi mumkin:

Misol . Tengsizlikni yeching: $\log$$≤-1$

Yechim:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Qavslarni ochamiz va olib kelamiz.
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Biz tengsizlikni $-1$ ga ko'paytiramiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmaymiz.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Raqam chizig‘ini quramiz va undagi $\frac(7)(3)$ va $\frac(3)(2)$ nuqtalarni belgilaymiz. E'tibor bering, tengsizlik qat'iy emasligiga qaramay, maxrajdan nuqta olib tashlanadi. Gap shundaki, bu nuqta yechim bo'lmaydi, chunki tengsizlikka almashtirilganda u bizni nolga bo'linishga olib keladi.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Endi biz ODZni bir xil son o'qiga chizamiz va javob sifatida ODZga tushadigan intervalni yozamiz.
	Yakuniy javobni yozamiz.

Javob: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Misol . Tengsizlikni yeching: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Yechim:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: $x>0$	Keling, yechimga o'taylik.
Yechim: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Bu erda biz odatdagi kvadrat-logarifmik tengsizlikka egamiz. Keling buni bajaramiz.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Yotib qo'ying chap tomoni bo'yicha tengsizliklar.
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Endi biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak - x. Buning uchun bir xil yechimga ega bo'lgan ga o'tamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
$\left[ \begin(to'plangan) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	$2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$ oʻzgartiring.
$\left[ \begin(to'plangan) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Keling, dalillarni taqqoslashga o'tamiz. Logarifmlarning asoslari $1$ dan katta, shuning uchun tengsizliklar belgisi o'zgarmaydi.
$\left[ \begin(to'plangan) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Tengsizlik va ODZ yechimini bitta rasmda birlashtiramiz.
	Keling, javobni yozamiz.

Javob: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Agar tengsizlik logarifmik funktsiyani o'z ichiga olsa, u logarifmik deyiladi.

Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari ikkitadan farq qilmaydi.

Birinchidan, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligiga o'tishda quyidagilar zarur: hosil bo'lgan tengsizlik belgisiga amal qiling. U quyidagi qoidaga bo'ysunadi.

Agar logarifmik funktsiyaning asosi $1$ dan katta boʻlsa, logarifmik tengsizlikdan sublogarifmik funksiyalar tengsizligiga oʻtganda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, agar u $1$ dan kichik boʻlsa, u teskari tomonga oʻzgaradi. .

Ikkinchidan, har qanday tengsizlikning yechimi intervaldir va shuning uchun sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligini echish oxirida ikkita tengsizlik tizimini yaratish kerak: bu tizimning birinchi tengsizligi sublogarifmik funktsiyalarning tengsizligi bo'ladi, ikkinchisi esa logarifmik tengsizlikka kiruvchi logarifmik funksiyalarni aniqlash sohasi oralig'i bo'ladi.

Amaliyot.

Tengsizliklarni yechamiz:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logarifmning asosi $2>1$, shuning uchun belgisi o'zgarmaydi. Logarifm ta'rifidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in)

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Qavslarni ochamiz va olib kelamiz.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Biz tengsizlikni \(-1\) ga ko'paytiramiz, taqqoslash belgisini teskari o'zgartirishni unutmaymiz.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Raqam chizig‘ini quramiz va undagi \(\frac(7)(3)\) va \(\frac(3)(2)\) nuqtalarni belgilaymiz. E'tibor bering, tengsizlik qat'iy emasligiga qaramay, maxrajdan nuqta olib tashlanadi. Gap shundaki, bu nuqta yechim bo'lmaydi, chunki tengsizlikka almashtirilganda u bizni nolga bo'linishga olib keladi.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Endi biz ODZni bir xil son o'qiga chizamiz va javob sifatida ODZga tushadigan intervalni yozamiz.
	Yakuniy javobni yozamiz.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Keling, ODZni yozamiz.
ODZ: \(x>0\)	Keling, yechimga o'taylik.
Yechim: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Bu erda biz odatdagi kvadrat-logarifmik tengsizlikka egamiz. Keling buni bajaramiz.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Yotib qo'ying chap tomoni bo'yicha tengsizliklar.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Endi biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak - x. Buning uchun bir xil yechimga ega bo'lgan ga o'tamiz va teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
\(\left[ \begin(to'plangan) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	\(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\) oʻzgartiring.
\(\left[ \begin(to'plangan) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Keling, dalillarni taqqoslashga o'tamiz. Logarifmlarning asoslari \(1\) dan katta, shuning uchun tengsizliklar belgisi o'zgarmaydi.
\(\left[ \begin(to'plangan) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Tengsizlik va ODZ yechimini bitta rasmda birlashtiramiz.
	Keling, javobni yozamiz.