Ratsional tenglamalarni qanday to'g'ri yechish mumkin. Butun va kasr ratsional tenglamalarni yechish

Ushbu maqolada men sizga ko'rsataman yetti turdagi yechim algoritmlari ratsional tenglamalar , o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali kvadratga keltirilishi mumkin. Aksariyat hollarda almashtirishga olib keladigan o'zgarishlar juda ahamiyatsiz va ular haqida o'zingiz taxmin qilish juda qiyin.

Har bir turdagi tenglama uchun men unda o'zgaruvchini qanday o'zgartirishni tushuntiraman va keyin tegishli video darsida batafsil echimni ko'rsataman.

Sizda tenglamalarni o'zingiz yechishni davom ettirishingiz, keyin esa yechimingizni video dars bilan tekshirishingiz mumkin.

Shunday ekan, boshlaylik.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

E'tibor bering, tenglamaning chap tomonida to'rtta qavsning ko'paytmasi, o'ng tomonida esa raqam mavjud.

1. Qavslarni ikkiga guruhlaymiz, shunda erkin hadlar yig'indisi bir xil bo'ladi.

2. Ularni ko'paytiring.

3. O‘zgaruvchining o‘zgarishini kiritamiz.

Tenglamamizda birinchi qavsni uchinchi bilan, ikkinchisini to'rtinchisi bilan guruhlaymiz, chunki (-1)+(-4)=(-7)+2:

Bu vaqtda o'zgaruvchini almashtirish aniq bo'ladi:

Biz tenglamani olamiz

Javob:

2 .

Ushbu turdagi tenglama bir farq bilan oldingisiga o'xshaydi: tenglamaning o'ng tomonida sonning ko'paytmasi va . Va u butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi:

1. Erkin atamalarning hosilasi bir xil bo'lishi uchun qavslarni ikkiga guruhlaymiz.

2. Har bir qavs juftligini ko'paytiring.

3. Har bir omildan x ni chiqaramiz.

4. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling.

5. Biz o'zgaruvchining o'zgarishini kiritamiz.

Ushbu tenglamada biz birinchi qavsni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan guruhlaymiz, chunki:

E'tibor bering, har bir qavsda at koeffitsienti va bo'sh muddat bir xil. Keling, har bir qavsdan bir omil chiqaramiz:

x=0 asl tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lamiz. Biz olamiz:

Biz tenglamani olamiz:

Javob:

3 .

E'tibor bering, ikkala kasrning maxrajlari kvadrat trinomlar, ular uchun etakchi koeffitsient va erkin muddat bir xil. Ikkinchi turdagi tenglamadagi kabi qavsdan x ni chiqaramiz. Biz olamiz:

Har bir kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni kiritishimiz mumkin:

t o'zgaruvchisi uchun tenglamani olamiz:

4 .

E'tibor bering, tenglamaning koeffitsientlari markaziyga nisbatan nosimmetrikdir. Bu tenglama deyiladi qaytarilishi mumkin .

Uni hal qilish uchun,

1. Tenglamaning har ikki tomonini (X=0 tenglamaning ildizi bo‘lmagani uchun biz buni qila olamiz.) ga bo‘lamiz:

2. Keling, atamalarni shunday guruhlaymiz:

3. Har bir guruhda qavs ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz:

4. O'zgartirishni kiritamiz:

5. Ifodani t orqali ifodalang:

Bu yerdan

t uchun tenglamani olamiz:

Javob:

5. Bir jinsli tenglamalar.

Bir hil tuzilishga ega bo'lgan tenglamalar ko'rsatkichli, logarifmik va trigonometrik tenglamalar, shuning uchun siz uni tanib olishingiz kerak.

Bir jinsli tenglamalar quyidagi tuzilishga ega:

Bu tenglikda A, B va C raqamlar, kvadrat va aylana esa bir xil ifodalarni bildiradi. Ya'ni, bir hil tenglamaning chap tomonida bir xil darajaga ega bo'lgan monomlar yig'indisi mavjud (da Ushbu holatda monomiallarning darajasi 2), va bo'sh atama yo'q.

Bir jinsli tenglamani yechish uchun ikkala tomonni tenglamaga bo'ling

Diqqat! Tenglamaning o'ng va chap tomonlarini noma'lumni o'z ichiga olgan ifodaga bo'lishda siz ildizlarni yo'qotishingiz mumkin. Shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini bo'ladigan ifodaning ildizlari dastlabki tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak.

Keling, birinchi yo'lga boraylik. Biz tenglamani olamiz:

Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni joriy qilamiz:

Ifodani soddalashtiramiz va t uchun bikvadrat tenglamani olamiz:

Javob: yoki

7 .

Ushbu tenglama quyidagi tuzilishga ega:

Uni hal qilish uchun tenglamaning chap tomonida to'liq kvadratni tanlashingiz kerak.

To'liq kvadratni tanlash uchun siz mahsulotning ikki barobarini qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak. Keyin yig'indi yoki farqning kvadratini olamiz. Bu o'zgaruvchanni muvaffaqiyatli almashtirish uchun juda muhimdir.

Keling, mahsulotning ikki barobarini topishdan boshlaylik. Bu o'zgaruvchini almashtirish uchun kalit bo'ladi. Bizning tenglamamizda mahsulot ikki barobarga teng

Keling, biz uchun nima qulayroq ekanligini aniqlaylik - yig'indi kvadrati yoki farq. Avval iboralar yig'indisini ko'rib chiqamiz:

Ajoyib! Bu ifoda mahsulotning ikki barobariga to'liq teng. Keyin, qavs ichida yig'indining kvadratini olish uchun siz qo'shilish va ayirish kerak:

Keling, suhbatni davom ettiraylik tenglamalarni yechish. Ushbu maqolada biz bu haqda batafsil to'xtalamiz ratsional tenglamalar va bitta o'zgaruvchili ratsional tenglamalarni yechish tamoyillari. Birinchidan, qanday turdagi tenglamalar ratsional deb ataladiganligini aniqlaymiz, butun ratsional va kasr ratsional tenglamalarga ta'rif beramiz va misollar keltiramiz. Keyinchalik, biz ratsional tenglamalarni echish algoritmlarini olamiz va, albatta, barcha kerakli tushuntirishlar bilan tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Belgilangan ta'riflarga asoslanib, biz ratsional tenglamalarga bir nechta misollar keltiramiz. Masalan, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , barcha ratsional tenglamalardir.

Ko'rsatilgan misollardan ko'rinib turibdiki, ratsional tenglamalar, shuningdek, boshqa turdagi tenglamalar bitta o'zgaruvchili yoki ikkita, uchta va boshqalar bilan bo'lishi mumkin. o'zgaruvchilar. Keyingi paragraflarda bitta o'zgaruvchili ratsional tenglamalarni yechish haqida gapiramiz. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni yechish va ularning ko'pligi alohida e'tiborga loyiqdir.

Ratsional tenglamalarni noma'lum o'zgaruvchilar soniga bo'lishdan tashqari, ular butun va kasrlarga ham bo'linadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Ratsional tenglama deyiladi butun, agar uning chap va o'ng tomonlari butun sonli ratsional ifodalar bo'lsa.

Ta'rif.

Agar ratsional tenglama qismlaridan kamida bittasi kasr ifodasi bo'lsa, bunday tenglama deyiladi. kasr jihatdan oqilona(yoki kasr ratsional).

Ko'rinib turibdiki, butun tenglamalar o'zgaruvchiga bo'linishni o'z ichiga olmaydi, aksincha, kasr ratsional tenglamalar o'zgaruvchiga (yoki maxrajdagi o'zgaruvchiga) bo'linishni o'z ichiga oladi; Demak, 3 x+2=0 va (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5- bu butun ratsional tenglamalar, ularning ikkala qismi ham butun ifodalardir. A va x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kasr ratsional tenglamalarga misoldir.

Ushbu fikrni yakunlab, shu nuqtaga ma'lum bo'lgan chiziqli tenglamalar va kvadrat tenglamalar butun ratsional tenglamalar ekanligiga e'tibor qaratamiz.

Butun tenglamalarni yechish

Butun tenglamalarni echishning asosiy usullaridan biri ularni ekvivalentlarga qisqartirishdir algebraik tenglamalar. Buni har doim tenglamaning quyidagi ekvivalent o'zgarishlarini bajarish orqali amalga oshirish mumkin:

• birinchidan, asl butun son tenglamaning o'ng tomonidagi ifoda o'tkaziladi chap tomoni Bilan qarama-qarshi belgi o'ng tomonda nolni olish;
• shundan so'ng, tenglamaning chap tomonida hosil bo'ladi standart ko'rinish.

Natija algebraik tenglama, bu asl butun son tenglamasiga teng. Shunday qilib, eng oddiy hollarda, butun tenglamalarni echish chiziqli yoki echishga qisqartiriladi kvadrat tenglamalar, umumiy holatda esa - n darajali algebraik tenglamaning yechimiga. Aniqlik uchun, keling, misolning yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Butun tenglamaning ildizlarini toping 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Yechim.

Bu butun tenglamaning yechimini ekvivalent algebraik tenglamaning yechimiga keltiraylik. Buning uchun, birinchi navbatda, biz ifodani o'ngdan chapga o'tkazamiz, natijada biz tenglamaga erishamiz. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Ikkinchidan, biz chap tomonda hosil bo'lgan ifodani kerakli shartlarni to'ldirib, standart shakldagi ko'phadga aylantiramiz: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Shunday qilib, asl butun sonli tenglamani yechish x 2 −5·x−6=0 kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi.

Biz uning diskriminantini hisoblaymiz D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, bu musbat, ya'ni tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi bor, biz ularni kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib topamiz:

To'liq ishonch hosil qilish uchun keling, buni qilaylik tenglamaning topilgan ildizlarini tekshirish. Avval biz 6-ildizni tekshiramiz, uni asl butun tenglamadagi x o'zgaruvchisi o'rniga almashtiramiz: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, bu bir xil, 63=63. Bu haqiqiy sonli tenglama, shuning uchun x=6 tenglamaning ildizi hisoblanadi. Endi biz −1 ildizini tekshiramiz, bizda bor 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, qaerdan, 0=0 . x=−1 bo‘lganda, dastlabki tenglama ham to‘g‘ri sonli tenglikka aylanadi, shuning uchun x=−1 ham tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob:

6 , −1 .

Bu erda yana shuni ta'kidlash kerakki, "butun tenglamaning darajasi" atamasi butun tenglamani algebraik tenglama ko'rinishida ifodalash bilan bog'liq. Keling, tegishli ta'rifni beramiz:

Ta'rif.

Butun tenglamaning kuchi ekvivalent algebraik tenglamaning darajasi deyiladi.

Ushbu ta'rifga ko'ra, oldingi misoldagi barcha tenglama ikkinchi darajaga ega.

Bu butun ratsional tenglamalarni echishning oxiri bo'lishi mumkin edi, agar bitta narsa bo'lmasa .... Ma'lumki, ikkinchidan yuqori darajali algebraik tenglamalarni echish jiddiy qiyinchiliklar bilan bog'liq va to'rtinchi darajali tenglamalar uchun hech qanday qiyinchilik yo'q. umumiy formulalar ildizlar. Shunday qilib, uchinchi, to'rtinchi va boshqalarning butun tenglamalarini echish uchun yuqori darajalar Ko'pincha siz boshqa yechim usullariga murojaat qilishingiz kerak.

Bunday hollarda butun ratsional tenglamalarni yechishga asoslangan yondashuv faktorizatsiya usuli. Bunday holda, quyidagi algoritmga amal qilinadi:

• Birinchidan, ular buning uchun tenglamaning o'ng tomonida nol borligini ta'minlaydilar, ular ifodani butun tenglamaning o'ng tomonidan chapga o'tkazadilar;
• keyin, chap tomonda hosil bo'lgan ifoda bir nechta omillarning mahsuloti sifatida taqdim etiladi, bu bizga bir nechta oddiy tenglamalar to'plamiga o'tish imkonini beradi.

Butun tenglamani faktorizatsiya orqali yechish uchun berilgan algoritm misol yordamida batafsil tushuntirishni talab qiladi.

Misol.

Butun tenglamani yeching (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Yechim.

Birinchidan, odatdagidek, biz ifodani tenglamaning o'ng tomonidan chap tomoniga o'tkazamiz, belgini o'zgartirishni unutmaymiz, biz olamiz (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Bu erda aniq ko'rinib turibdiki, hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonini standart ko'rinishdagi polinomga aylantirish maqsadga muvofiq emas, chunki bu shaklning to'rtinchi darajali algebraik tenglamasini beradi. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, uning yechimi qiyin.

Boshqa tomondan, hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonida biz x 2 −10 x+13 ni hosil qilishimiz va shu bilan uni mahsulot sifatida ko'rsatishimiz aniq. Bizda ... bor (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Olingan tenglama asl butun tenglamaga ekvivalent bo'lib, u o'z navbatida ikkita kvadrat tenglamalar to'plami bilan almashtirilishi mumkin x 2 −10·x+13=0 va x 2 −2·x−1=0. Ularning ildizlarini topish ma'lum formulalar diskriminant orqali ildizlar qiyin emas, ildizlar teng. Ular asl tenglamaning kerakli ildizlaridir.

Javob:

Butun ratsional tenglamalarni yechish uchun ham foydali yangi o'zgaruvchini kiritish usuli. Ba'zi hollarda, darajasi dastlabki butun tenglamaning darajasidan past bo'lgan tenglamalarga o'tishga imkon beradi.

Misol.

Ratsional tenglamaning haqiqiy ildizlarini toping (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Yechim.

Ushbu butun ratsional tenglamani algebraik tenglamaga qisqartirish, yumshoq qilib aytganda, unchalik yaxshi fikr emas, chunki bu holda biz ratsional ildizlarga ega bo'lmagan to'rtinchi darajali tenglamani yechish zaruratiga kelamiz. Shuning uchun siz boshqa yechim izlashingiz kerak bo'ladi.

Bu erda siz yangi y o'zgaruvchisini kiritishingiz va u bilan x 2 +3·x ifodasini almashtirishingiz mumkinligini ko'rish oson. Bu almashtirish bizni butun tenglamaga olib boradi (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , bu −2·(y−4) ifodani chap tomonga siljitgandan va keyinchalik ifodani o‘zgartirgandan so‘ng u yerda hosil bo‘lgan y 2 +4·y+3=0 kvadrat tenglamaga keltiriladi. Bu y=−1 va y=−3 tenglamaning ildizlarini topish oson, masalan, ularni Vyeta teoremasiga teskari teorema asosida tanlash mumkin.

Endi biz yangi o'zgaruvchini kiritish usulining ikkinchi qismiga, ya'ni teskari almashtirishni amalga oshirishga o'tamiz. Teskari almashtirishni amalga oshirgandan so'ng, biz x 2 +3 x=−1 va x 2 +3 x=−3 ikkita tenglamani olamiz, ularni x 2 +3 x+1=0 va x 2 +3 x+3 shaklida qayta yozish mumkin. =0. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, birinchi tenglamaning ildizlarini topamiz. Ikkinchi kvadrat tenglama esa haqiqiy ildizlarga ega emas, chunki uning diskriminanti manfiy (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Javob:

Umuman olganda, biz yuqori darajadagi butun tenglamalar bilan shug'ullanayotganimizda, biz doimo izlashga tayyor bo'lishimiz kerak nostandart usul yoki ularni hal qilishning sun'iy usuli.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish

Birinchidan, shaklning kasr ratsional tenglamalarini qanday echish kerakligini tushunish foydali bo'ladi, bu erda p (x) va q (x) butun sonli ratsional ifodalardir. Va keyin biz boshqa kasrli ratsional tenglamalar yechimini ko'rsatilgan turdagi tenglamalar yechimiga qanday kamaytirishni ko'rsatamiz.

Tenglamani yechishning yondashuvlaridan biri quyidagi bayonotga asoslanadi: raqamli kasr u/v , bu erda v nolga teng bo'lmagan son (aks holda biz duch kelamiz, bu aniqlanmagan), agar uning numeratori nolga teng bo'lsa, ya'ni u=0 bo'lsa, nolga teng bo'ladi. Ushbu bayonot tufayli tenglamani yechish p(x)=0 va q(x)≠0 ikkita shartni bajarishga keltiriladi.

Ushbu xulosa quyidagilarga mos keladi kasr ratsional tenglamani yechish algoritmi. Shaklning kasrli ratsional tenglamasini yechish uchun sizga kerak

• p(x)=0 butun ratsional tenglamani yeching;
• va topilgan har bir ildiz uchun q(x)≠0 sharti qanoatlantiriladimi yoki yo'qmi, tekshiriladi
• agar rost bo'lsa, bu ildiz asl tenglamaning ildizidir;
• qanoatlantirilmasa, bu ildiz begona, ya'ni asl tenglamaning ildizi emas.

Kasrli ratsional tenglamani yechishda e'lon qilingan algoritmdan foydalanish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu kasrli ratsional tenglama bo‘lib, p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0 ko‘rinishdagi.

Bu tipdagi kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmiga ko’ra, avvalo 3 x−2=0 tenglamani yechishimiz kerak. Bu ildizi x=2/3 bo'lgan chiziqli tenglama.

Bu ildiz borligini tekshirish, ya'ni 5 x 2 −2≠0 shartni qanoatlantirayotganini tekshirish qoladi. 2/3 sonini x o‘rniga 5 x 2 −2 ifodasiga qo‘yamiz va ni olamiz. Shart bajarildi, shuning uchun x=2/3 asl tenglamaning ildizidir.

Javob:

2/3 .

Kasrli ratsional tenglamani echishga biroz boshqacha pozitsiyadan yondashishingiz mumkin. Bu tenglama dastlabki tenglamaning x o‘zgaruvchisi bo‘yicha p(x)=0 butun sonli tenglamaga ekvivalentdir. Ya'ni, siz bunga yopishib olishingiz mumkin kasr ratsional tenglamani yechish algoritmi :

• p(x)=0 tenglamani yeching;
• x o'zgaruvchining ODZ ni toping;
• hududga tegishli ildiz otadi qabul qilinadigan qiymatlar, - ular dastlabki kasr ratsional tenglamaning kerakli ildizlaridir.

Masalan, kasrli ratsional tenglamani shu algoritm yordamida yechamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Avval x 2 −2·x−11=0 kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlarini hatto ikkinchi koeffitsient uchun ildiz formulasi yordamida hisoblash mumkin, bizda bor D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Va .

Ikkinchidan, dastlabki tenglama uchun x o'zgaruvchisining ODZ ni topamiz. U x 2 +3·x≠0 bo'lgan barcha sonlardan iborat bo'lib, bu x·(x+3)≠0 bilan bir xil bo'ladi, bundan x≠0, x≠−3.

Birinchi bosqichda topilgan ildizlarning ODZga kiritilganligini tekshirish qoladi. Shubhasiz ha. Demak, dastlabki kasrli ratsional tenglama ikkita ildizga ega.

Javob:

E'tibor bering, agar ODZni topish oson bo'lsa, bu yondashuv birinchisidan ko'ra foydaliroqdir va ayniqsa, p(x) = 0 tenglamaning ildizlari irratsional bo'lsa yoki ratsional bo'lsa, lekin juda katta hisoblagich va / yoki maxraj, masalan, 127/1101 va -31/59. Buning sababi shundaki, bunday hollarda q(x)≠0 shartini tekshirish katta hisoblash kuchini talab qiladi va ODZ yordamida begona ildizlarni istisno qilish osonroq.

Boshqa hollarda, tenglamani yechishda, ayniqsa, p(x) = 0 tenglamaning ildizlari butun sonlar bo‘lganda, berilgan algoritmlarning birinchisidan foydalanish foydaliroqdir. Ya'ni, darhol p(x)=0 tenglamaning ildizlarini topib, so'ngra ODZni topmasdan, q(x)≠0 sharti ular uchun qanoatlantirilishini tekshirib, keyin tenglamani yechish maqsadga muvofiqdir. Ushbu ODZda p(x)=0 . Buning sababi shundaki, bunday hollarda odatda DZni topishdan ko'ra tekshirish osonroq bo'ladi.

Belgilangan nuanslarni ko'rsatish uchun ikkita misolning echimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Birinchidan, butun tenglamaning ildizlarini topamiz (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kasr sonini ishlatib tuzilgan. Bu tenglamaning chap tomoni ko'paytma, o'ng tomoni esa nolga teng, shuning uchun tenglamalarni faktorizatsiya yo'li bilan yechish usuliga ko'ra, bu tenglama to'rtta tenglamalar to'plamiga ekvivalentdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu tenglamalardan uchtasi chiziqli, biri esa kvadratikdir; Birinchi tenglamadan x=1/2, ikkinchidan - x=6, uchinchidan - x=7, x=−2, to'rtinchidan - x=−1 ni topamiz.

Topilgan ildizlar bilan asl tenglamaning chap tomonidagi kasrning maxraji yo'q bo'lib ketishini tekshirish juda oson, ammo ODZni aniqlash, aksincha, unchalik oson emas, chunki buning uchun siz hal qilishingiz kerak bo'ladi. beshinchi darajali algebraik tenglama. Shuning uchun biz ildizlarni tekshirish foydasiga ODZni topishdan voz kechamiz. Buning uchun ifodadagi x o‘zgaruvchisi o‘rniga ularni birma-bir almashtiramiz x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, almashtirishdan keyin olinadi va ularni nol bilan solishtiring: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Shunday qilib, 1/2, 6 va −2 asl kasr ratsional tenglamaning kerakli ildizlari, 7 va −1 esa begona ildizlardir.

Javob:

1/2 , 6 , −2 .

Misol.

Kasrli ratsional tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Birinchidan, tenglamaning ildizlarini topamiz (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Bu tenglama ikkita tenglamalar to‘plamiga ekvivalentdir: kvadrat 5 x 2 −7 x−1=0 va chiziqli x−2=0. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, ikkita ildiz topamiz va ikkinchi tenglamadan biz x=2 ga ega bo'lamiz.

X ning topilgan qiymatlarida maxrajning nolga tushishini tekshirish juda yoqimsiz. Va asl tenglamada x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlash juda oddiy. Shuning uchun biz ODZ orqali harakat qilamiz.

Bizning holatimizda dastlabki kasrli ratsional tenglamaning x o‘zgaruvchisining ODZ i x 2 +5·x−14=0 sharti qanoatlantirilgandan tashqari barcha sonlardan iborat. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari x=−7 va x=2 bo‘lib, undan ODZ haqida xulosa chiqaramiz: u barcha x dan iborat bo‘ladi, shundayki.

Topilgan ildizlar va x = 2 qabul qilinadigan qiymatlar oralig'iga tegishli yoki yo'qligini tekshirish qoladi. Ildizlar tegishli, shuning uchun ular asl tenglamaning ildizlaridir va x=2 tegishli emas, shuning uchun u begona ildizdir.

Javob:

Ko'rinishdagi kasr ratsional tenglamada hisoblagichda son bo'lgan, ya'ni p(x) qandaydir son bilan ifodalangan holatlarga alohida to'xtalib o'tish ham foydali bo'ladi. Qayerda

• agar bu raqam nolga teng bo'lmasa, u holda tenglamaning ildizlari yo'q, chunki kasr nolga teng bo'ladi, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa;
• agar bu raqam nolga teng bo'lsa, u holda tenglamaning ildizi ODZ dan istalgan raqamdir.

Misol.

Yechim.

Tenglamaning chap tomonidagi kasrning numeratori nolga teng bo'lmagan sonni o'z ichiga olganligi sababli, har qanday x uchun bu kasrning qiymati nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Javob:

ildizlari yo'q.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Ushbu kasr ratsional tenglamaning chap tomonidagi kasrning soni nolni o'z ichiga oladi, shuning uchun bu kasrning qiymati mantiqiy bo'lgan har qanday x uchun nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamaning yechimi bu o'zgaruvchining ODZ dan x ning istalgan qiymati hisoblanadi.

Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlash uchun qoladi. U x ning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi, ular uchun x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 =0 tenglamaning yechimlari 0 va −5 ga teng, chunki bu tenglama x 3 (x+5)=0 tenglamaga ekvivalent va u oʻz navbatida ikkita x tenglama birikmasiga ekvivalentdir. 3 =0 va x +5=0, bu ildizlar ko'rinadigan joydan. Shuning uchun qabul qilinadigan qiymatlarning istalgan diapazoni x=0 va x=−5 dan tashqari har qanday x hisoblanadi.

Shunday qilib, kasr ratsional tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega, ular nol va minus beshdan tashqari har qanday raqamlardir.

Javob:

Nihoyat, ixtiyoriy shakldagi kasrli ratsional tenglamalarni echish haqida gapirish vaqti keldi. Ularni r(x)=s(x) shaklida yozish mumkin, bunda r(x) va s(x) ratsional ifodalar va ulardan kamida bittasi kasrdir. Oldinga qarab, aytaylik, ularning yechimi bizga allaqachon tanish bo'lgan shakldagi tenglamalarni echishga to'g'ri keladi.

Ma’lumki, hadni tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga qarama-qarshi belgi bilan o‘tkazish ekvivalent tenglamaga olib keladi, shuning uchun r(x)=s(x) tenglama r(x)−s(x) tenglamaga ekvivalentdir. )=0.

Biz shuni ham bilamizki, har qanday , xuddi shu ifodaga teng, mumkin. Shunday qilib, biz har doim r(x)−s(x)=0 tenglamaning chap tomonidagi ratsional ifodani shaklning bir xil teng ratsional kasrga aylantira olamiz.

Shunday qilib, biz dastlabki kasr ratsional tenglamadan r(x)=s(x) tenglamaga o‘tamiz va uning yechimi, yuqorida bilib olganimizdek, p(x)=0 tenglamani yechishgacha qisqartiradi.

Ammo bu erda shuni hisobga olish kerakki, r(x)−s(x)=0 ni , keyin esa p(x)=0 bilan almashtirganda x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni kengayishi mumkin. .

Binobarin, biz erishgan dastlabki r(x)=s(x) tenglama va p(x)=0 tenglama teng boʻlmasligi mumkin va p(x)=0 tenglamani yechish orqali biz ildizlarni olishimiz mumkin. Bu r(x)=s(x) tenglamaning tashqi ildizlari bo'ladi. Tekshirish orqali yoki asl tenglamaning ODZ ga tegishli ekanligini tekshirish orqali siz javobga begona ildizlarni aniqlab olishingiz va kiritmasligingiz mumkin.

Keling, ushbu ma'lumotni qisqacha bayon qilaylik kasr ratsional tenglamani yechish algoritmi r(x)=s(x). r(x)=s(x) kasr ratsional tenglamasini yechish uchun sizga kerak

• Qarama-qarshi belgi bilan ifodani o'ng tomondan siljitish orqali o'ng tomonda nolga erishing.
• Tenglamaning chap tomonida kasrlar va ko'phadlar bilan amallarni bajaring va shu bilan uni shaklning ratsional kasriga aylantiring.
• p(x)=0 tenglamani yeching.
• Chet ildizlarni aniqlang va yo'q qiling, bu ularni dastlabki tenglamaga almashtirish yoki ularning dastlabki tenglamaning ODZ ga tegishliligini tekshirish orqali amalga oshiriladi.

Aniqroq bo'lishi uchun biz kasrli ratsional tenglamalarni yechishning butun zanjirini ko'rsatamiz:
.

Keling, berilgan ma'lumotlar blokini aniqlashtirish uchun yechim jarayonini batafsil tushuntirish bilan bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasrli ratsional tenglamani yeching.

Yechim.

Biz hozirgina olingan yechim algoritmiga muvofiq harakat qilamiz. Va birinchi navbatda biz shartlarni tenglamaning o'ng tomonidan chapga o'tkazamiz, natijada biz tenglamaga o'tamiz.

Ikkinchi bosqichda hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonidagi kasr ratsional ifodasini kasr shakliga o'tkazishimiz kerak. Buning uchun biz gipsni bajaramiz ratsional kasrlar umumiy maxrajga va olingan ifodani soddalashtiring: . Shunday qilib, biz tenglamaga keldik.

Keyingi bosqichda −2·x−1=0 tenglamani yechishimiz kerak. Biz x=−1/2 topamiz.

Topilgan −1/2 soni asl tenglamaning begona ildizi emasligini tekshirish qoladi. Buning uchun dastlabki tenglamaning x o'zgaruvchisining VA ni tekshirish yoki topish mumkin. Keling, ikkala yondashuvni ham ko'rsatamiz.

Tekshirishdan boshlaylik. Dastlabki tenglamaga x oʻzgaruvchisi oʻrniga −1/2 sonini qoʻyamiz va xuddi shu narsani olamiz, −1=−1. O'zgartirish to'g'ri sonli tenglikni beradi, shuning uchun x=−1/2 asl tenglamaning ildizidir.

Endi biz algoritmning oxirgi nuqtasi ODZ orqali qanday bajarilishini ko'rsatamiz. Asl tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni -1 va 0 dan tashqari barcha raqamlar to'plamidir (x=−1 va x=0 da kasrlarning maxrajlari yo'qoladi). Oldingi bosqichda topilgan x=−1/2 ildiz ODZga tegishli, shuning uchun x=−1/2 asl tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob:

−1/2 .

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Biz kasrli ratsional tenglamani yechishimiz kerak, keling, algoritmning barcha bosqichlarini ko'rib chiqamiz.

Birinchidan, biz atamani o'ng tomondan chapga siljitamiz, biz olamiz.

Ikkinchidan, chap tomonda hosil bo'lgan ifodani o'zgartiramiz: . Natijada x=0 tenglamaga kelamiz.

Uning ildizi aniq - u nolga teng.

To'rtinchi bosqichda topilgan ildizning dastlabki kasr ratsional tenglamaga begona ekanligini aniqlash kerak. Dastlabki tenglamaga almashtirilsa, ifoda olinadi. Shubhasiz, bu mantiqiy emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, biz 0 - begona ildiz degan xulosaga keldik. Shuning uchun asl tenglamaning ildizlari yo'q.

7, bu tenglamaga olib keladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, chap tomonning maxrajidagi ifoda o'ng tomoniga teng bo'lishi kerak, ya'ni . Endi uchlikning har ikki tomonini ayiramiz: . O'xshatish bo'yicha, qaerdan va undan keyin.

Tekshirish shuni ko'rsatadiki, topilgan ikkala ildiz ham dastlabki kasr ratsional tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.

“Ko‘phadli ratsional tenglamalar” testdagi eng keng tarqalgan mavzulardan biridir Yagona davlat imtihon topshiriqlari matematika. Shuning uchun ularni takrorlashga arziydi Maxsus e'tibor. Ko'pgina talabalar diskriminantni topish, ko'rsatkichlarni o'ng tomondan chapga o'tkazish va tenglamani umumiy maxrajga olib kelish muammosiga duch kelishadi, shuning uchun bunday topshiriqlarni bajarish qiyinchilik tug'diradi. Bizning veb-saytimizda Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda ratsional tenglamalarni echish har qanday murakkablikdagi muammolarni tezda engishga va sinovdan o'tishga yordam beradi.

Yagona matematika imtihoniga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rish uchun Shkolkovo ta'lim portalini tanlang!

Noma'lumlarni hisoblash qoidalarini bilish va osonlik bilan olish to'g'ri natijalar, onlayn xizmatimizdan foydalaning. Shkolkovo portali tayyorlanish uchun zarur bo'lgan hamma narsani o'z ichiga olgan yagona platformadir Yagona davlat imtihon materiallari. O'qituvchilarimiz barcha matematik qoidalarni tizimlashtirib, tushunarli shaklda taqdim etishdi. Bundan tashqari, biz maktab o'quvchilarini standart ratsional tenglamalarni echishda o'zlarini sinab ko'rishga taklif qilamiz, ularning asoslari doimiy ravishda yangilanadi va kengaytiriladi.

Sinovga samaraliroq tayyorgarlik ko'rish uchun biz quyidagi tavsiyalarga amal qilamiz maxsus usul va qoidalar va echimlarni takrorlashdan boshlang oddiy vazifalar, asta-sekin murakkabroqlarga o'tish. Shunday qilib, bitiruvchi o'zi uchun eng qiyin mavzularni aniqlay oladi va ularni o'rganishga e'tibor qaratadi.

Bugun Shkolkovo bilan yakuniy testga tayyorgarlik ko'ring va natijalar uzoq kutilmaydi! Berilganlardan eng oson misolni tanlang. Agar siz iborani tezda o'zlashtirsangiz, ko'proq narsaga o'ting qiyin vazifa. Shunday qilib, siz matematika bo'yicha USE vazifalarini ixtisoslashtirilgan darajada hal qilish darajasiga qadar o'z bilimingizni oshirishingiz mumkin.

Ta'lim nafaqat Moskvadagi bitiruvchilar, balki boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari uchun ham mavjud. Masalan, bizning portalimizda kuniga bir necha soat o'qishga sarflang va tez orada siz har qanday murakkablikdagi tenglamalarni engishingiz mumkin bo'ladi!

§ 1 Butun va kasr ratsional tenglamalar

Bu darsda ratsional tenglama, ratsional ifoda, butun ifoda, kasr ifodasi kabi tushunchalar bilan tanishamiz. Ratsional tenglamalarni yechishni ko'rib chiqamiz.

Ratsional tenglama - bu chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglama.

Ratsional ifodalar:

Fraksiyonel.

Butun son ifodasi noldan boshqa songa qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish amallari yordamida sonlar, oʻzgaruvchilar, butun son darajalaridan iborat.

Masalan:

Kasrli ifodalar oʻzgaruvchiga yoki oʻzgaruvchiga ega boʻlgan ifodani oʻz ichiga oladi. Masalan:

Kasr ifodasi unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun mantiqiy emas. Masalan, ifoda

x = -9 da bu mantiqiy emas, chunki x = -9 da maxraj nolga tushadi.

Bu shuni anglatadiki, ratsional tenglama butun yoki kasr bo'lishi mumkin.

Butun ratsional tenglama - bu chap va o'ng tomonlari butun ifodalar bo'lgan ratsional tenglama.

Masalan:

Kasrli ratsional tenglama - bu chap yoki o'ng tomonlari kasr ifodalari bo'lgan ratsional tenglama.

Masalan:

§ 2 Butun ratsional tenglamaning yechimi

Butun ratsional tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz.

Masalan:

Tenglamaning ikkala tomonini eng kichigiga ko'paytiring umumiy maxraj unga kiritilgan kasrlarning maxrajlari.

Buning uchun:

1. 2, 3, 6 maxrajlarining umumiy maxrajini toping. 6 ga teng;

2. har bir kasr uchun qo'shimcha ko'rsatkichni toping. Buning uchun umumiy maxraj 6 ni har bir maxrajga bo'ling

kasr uchun qo'shimcha omil

kasr uchun qo'shimcha omil

3. kasrlarning numeratorlarini ularga mos keladigan qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring. Shunday qilib, biz tenglamani olamiz

bu berilgan tenglamaga teng

Chapdagi qavslarni ochamiz, o'ng qismini chapga o'tkazamiz, qarama-qarshi tomonga o'tkazilganda atama belgisini o'zgartiramiz.

Polinomning o'xshash shartlarini keltiramiz va olamiz

Biz tenglama chiziqli ekanligini ko'ramiz.

Uni hal qilib, biz x = 0,5 ekanligini topamiz.

§ 3 Kasr ratsional tenglamani yechish

Kasrli ratsional tenglamani yechishni ko‘rib chiqamiz.

Masalan:

1.Tenglamaning ikkala tomonini unga kiritilgan ratsional kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy maxrajiga ko‘paytiring.

X + 7 va x - 1 maxrajlarining umumiy maxrajini topamiz.

Bu ularning mahsulotiga (x + 7) (x - 1) teng.

2. Har bir ratsional kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytma topilsin.

Buning uchun umumiy maxrajni (x + 7)(x - 1) har bir maxrajga bo'ling. Kasrlar uchun qo'shimcha omil

x - 1 ga teng,

kasr uchun qo'shimcha omil

x+7 ga teng.

3.Kasrlarning sanoqlarini mos keladigan qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring.

Biz (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) tenglamani olamiz, bu tenglamaga ekvivalentdir.

4.Binomni chap va o‘ngdagi binomga ko‘paytiring va quyidagi tenglamani oling.

5. Qarama-qarshi tomonga o'tishda har bir atamaning belgisini o'zgartirib, o'ng tomonni chapga siljitamiz:

6. Ko‘phadning o‘xshash shartlarini keltiramiz:

7. Ikkala tomonni -1 ga bo'lish mumkin. Biz kvadrat tenglamani olamiz:

8. Uni hal qilib, biz ildizlarni topamiz

Chunki tenglamada.

chap va o'ng tomonlar kasr ifodalari bo'lib, kasrli ifodalarda o'zgaruvchilarning ba'zi qiymatlari uchun maxraj nolga aylanishi mumkin, keyin x1 va x2 topilganda umumiy maxraj nolga tushmasligini tekshirish kerak. .

x = -27 da umumiy maxraj (x + 7)(x - 1) x = -1 da yo'qolmaydi, umumiy maxraj ham nolga teng emas.

Demak, -27 va -1 ikkala ildiz tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Kasrli ratsional tenglamani yechishda darhol qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini ko'rsatish yaxshiroqdir. Umumiy maxraj nolga tushadigan qiymatlarni yo'q qiling.

Kasrli ratsional tenglamani yechishning yana bir misolini ko'rib chiqamiz.

Masalan, tenglamani yechamiz

Tenglamaning o'ng tomonidagi kasrning maxrajini faktorlarga ajratamiz

Biz tenglamani olamiz

(x - 5), x, x(x - 5) maxrajlarining umumiy maxraji topilsin.

Bu x(x - 5) ifodasi bo'ladi.

Endi tenglamaning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ini topamiz

Buning uchun umumiy maxrajni x(x - 5) = 0 ga tenglashtiramiz.

Biz tenglamani olamiz, uni yechishda x = 0 yoki x = 5 da umumiy maxraj nolga borishini topamiz.

Bu degani, x = 0 yoki x = 5 tenglamamizning ildizi bo'la olmaydi.

Endi qo'shimcha multiplikatorlarni topish mumkin.

Ratsional kasrlar uchun qo'shimcha omil

kasr uchun qo'shimcha omil

bo'ladi (x - 5),

va kasrning qo'shimcha omili

Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz.

Biz x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) tenglamani olamiz.

Chap va o'ngdagi qavslarni ochamiz, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

O'tkazilgan shartlarning belgisini o'zgartirib, shartlarni o'ngdan chapga siljiymiz:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Va shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, biz x2 - 3x - 10 = 0 kvadrat tenglamani olamiz. Uni yechib, x1 = -2 ildizlarini topamiz; x2 = 5.

Ammo x = 5 da umumiy maxraj x(x - 5) nolga borishini allaqachon bilib oldik. Shuning uchun tenglamamizning ildizi

x = -2 bo'ladi.

§ 4 Qisqacha xulosa dars

Esda tutish muhim:

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishda quyidagi amallarni bajaring:

1. Tenglamaga kiritilgan kasrlarning umumiy maxrajini toping. Bundan tashqari, agar kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratish mumkin bo'lsa, ularni ko'paytiring va keyin umumiy maxrajni toping.

2.Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko‘paytiring: qo‘shimcha ko‘rsatkichlarni toping, sonlarni qo‘shimcha ko‘paytmalarga ko‘paytiring.

3.Olingan butun tenglamani yeching.

4. Uning ildizidan umumiy maxrajni yo‘qotadiganlarni yo‘q qiling.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

1. Makarychev Yu.N., N.G ​​Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovskiy S.A. tahriri ostida. Algebra: darslik. 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar. - M.: Ta'lim, 2013 yil.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf: Ikki qismdan iborat. 1-qism: Darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar. - M .: Mnemosin.
3. Rurukin A.N. Algebradan dars ishlanmalari: 8-sinf - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8-sinf: dars ishlanmalari Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Aut.-m. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: O'qituvchi, 2005 yil.

"Kasr ratsional tenglamalarni yechish"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

kasr ratsional tenglamalar tushunchasini shakllantirish; kasr ratsional tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini, shu jumladan kasr nolga teng bo‘lgan shartni ko‘rib chiqish; kasr ratsional tenglamalarni algoritm yordamida yechishni o‘rgatish; mavzuni o`zlashtirish darajasini test ishini o`tkazish orqali tekshirish.

Rivojlanish:

Olingan bilimlar bilan to'g'ri ishlash va mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish; intellektual qobiliyatlarni rivojlantirish va aqliy operatsiyalar- tahlil, sintez, taqqoslash va sintez; tashabbusni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati va u erda to'xtab qolmaslik; rivojlanish tanqidiy fikrlash; tadqiqot ko'nikmalarini rivojlantirish.

Tarbiyalash:

tarbiya kognitiv qiziqish mavzuga; ta'lim muammolarini hal qilishda mustaqillikni tarbiyalash; yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat'iyatni tarbiyalash.

Dars turi: dars - yangi materialni tushuntirish.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment.

Salom bolalar! Doskada tenglamalar yozilgan, ularga diqqat bilan qarang. Bu tenglamalarning barchasini yecha olasizmi? Qaysi biri yo'q va nima uchun?

Chap va o'ng tomonlari kasr ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar kasr ratsional tenglamalar deyiladi. Sizningcha, bugun darsda nimani o'rganamiz? Dars mavzusini shakllantirish. Shunday qilib, daftarlaringizni oching va "Kasr ratsional tenglamalarni yechish" dars mavzusini yozing.

2. Bilimlarni yangilash. Frontal so'rov, sinf bilan og'zaki ish.

Va endi biz o'rganishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz yangi mavzu. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama deb nimaga aytiladi? ( O'zgaruvchi yoki o'zgaruvchi bilan tenglik.)

2. No1 tenglama qanday nomlanadi? ( Chiziqli.) Yechim chiziqli tenglamalar. (Noma'lum hamma narsani tenglamaning chap tomoniga, barcha raqamlarni o'ngga o'tkazing. Shunga o'xshash shartlarni keltiring. Noma'lum omilni toping).

3. No3 tenglama qanday nomlanadi? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni yechish usullari. ( Vyeta teoremasi va uning natijalaridan foydalangan holda formulalar yordamida to'liq kvadratni ajratib olish.)

4. Proporsiya nima? ( Ikki nisbatning tengligi.) Proporsiyaning asosiy xossasi. ( Agar mutanosiblik to‘g‘ri bo‘lsa, uning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.)

5. Tenglamalarni yechishda qanday xossalardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi. 2. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi..)

6. Kasr qachon nolga teng bo'ladi? ( Numerator nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng..)

3. Yangi materialni tushuntirish.

No2 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 10.

Qaysi kasrli ratsional tenglama Proporsiyaning asosiy xususiyatidan foydalanib yechishga harakat qila olasizmi? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

No4 tenglamani daftar va doskaga yeching.

Javob: 1,5.

Tenglamaning har ikki tomonini maxrajga ko‘paytirish orqali qanday kasrli ratsional tenglamani yechishga urinib ko‘rishingiz mumkin? (№ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Javob: 3;4.

Endi quyidagi usullardan biri yordamida 7-raqamli tenglamani yechishga harakat qiling.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Javob: 0;5;-2.			Javob: 5;-2.

Nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiring? Nima uchun bir holatda uchta, ikkinchisida ikkita ildiz bor? Ushbu kasrli ratsional tenglamaning ildizlari qanday raqamlardan iborat?

Hozirgacha talabalar begona ildiz tushunchasiga duch kelmaganlar, ular uchun bu nima uchun sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar sinfda hech kim bu holatni aniq tushuntira olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

No2 va 4 tenglamalar No5,6,7 tenglamalardan qanday farq qiladi? ( No 2 va 4 tenglamalarda maxrajdagi sonlar, 5-7 o'zgaruvchili ifodalar mavjud..) Tenglamaning ildizi nima? ( Tenglama rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymati.) Son tenglamaning ildizi ekanligini qanday aniqlash mumkin? ( Chek qiling.)

Sinov paytida ba'zi talabalar nolga bo'lishlari kerakligini payqashadi. Ular 0 va 5 raqamlari ildiz emas degan xulosaga kelishadi berilgan tenglama. Savol tug'iladi: bu xatoni bartaraf etishga imkon beruvchi kasrli ratsional tenglamalarni echishning bir usuli bormi? Ha, bu usul kasr nolga teng bo'lish shartiga asoslanadi.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Agar x=5 bo'lsa, x(x-5)=0, ya'ni 5 begona ildizdir.

Agar x=-2 bo'lsa, x(x-5)≠0.

Javob: -2.

Shu tarzda kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar algoritmni o'zlari tuzadilar.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Hamma narsani chap tomonga o'tkazing.

2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Tizim tuzing: pay nolga teng, maxraj esa nolga teng bo‘lmaganda kasr nolga teng bo‘ladi.

4. Tenglamani yeching.

5. Chet ildizlarni istisno qilish uchun tengsizlikni tekshiring.

6. Javobni yozing.

Munozara: agar siz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalansangiz va tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirsangiz, yechimni qanday rasmiylashtirish kerak. (Yechimga qo'shing: uning ildizidan umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang).

4. Yangi materialni dastlabki tushunish.

Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamani yechish usulini o‘zlari tanlaydilar. “Algebra 8” darsligidan topshiriqlar, 2007: No 000 (b, c, i); № 000(a, d, g). O'qituvchi topshiriqning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan savollarga javob beradi va past o'quvchilarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: javoblar doskaga yoziladi.

b) 2 – begona ildiz. Javob: 3.

c) 2 – begona ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1;1,5.

5. Uy vazifasini belgilash.

2. Kasr ratsional tenglamalarni yechish algoritmini bilib oling.

3. No 000 (a, d, e) daftarlarida yechish; № 000 (g, h).

4. 000(a) ni yechishga harakat qiling (ixtiyoriy).

6. O`rganilgan mavzu bo`yicha nazorat topshirig`ini bajarish.

Ish qog'oz varaqlarida amalga oshiriladi.

Misol topshiriq:

A) Qaysi tenglama kasr ratsional hisoblanadi?

B) Numerator ______________________ va maxraji _______________________ bo'lganda kasr nolga teng.

S) -3 soni 6-raqamli tenglamaning ildizimi?

D) No7 tenglamani yeching.

Topshiriqni baholash mezonlari:

Agar talaba topshiriqning 90% dan ortig'ini to'g'ri bajargan bo'lsa, "5" beriladi. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” topshiriqni 50% dan kam bajargan talabaga beriladi. Jurnalda 2 ball berilmaydi, 3 ball ixtiyoriy.

7. Reflektsiya.

Mustaqil ish varaqlariga yozing:

1 - agar dars siz uchun qiziqarli va tushunarli bo'lsa; 2 - qiziqarli, ammo aniq emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni yakunlash.

Shunday qilib, bugun darsda biz kasrli ratsional tenglamalar bilan tanishdik, bu tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. turli yo'llar bilan, trening yordamida bilimlarini sinab ko‘rdi mustaqil ish. Mustaqil ishingiz natijalarini keyingi darsda bilib olasiz va uyda o'z bilimlaringizni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechishning qaysi usuli, sizningcha, osonroq, qulayroq va oqilona? Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usulidan qat'i nazar, nimani yodda tutish kerak? Kasrli ratsional tenglamalarning "ayyorligi" nima?

Hammaga rahmat, dars tugadi.