Raqamning kvadrat ildizini qo'lda qanday topish mumkin. Ildizlarni ajratib olish: usullar, misollar, echimlar

Agar sizning qo'lingizda kalkulyator bo'lsa, har qanday raqamning kub ildizini ajratib olish hech qanday muammo tug'dirmaydi. Ammo agar sizda kalkulyator bo'lmasa yoki shunchaki boshqalarni hayratda qoldirmoqchi bo'lsangiz, kub ildizini qo'lda toping. Ko'pchilik bu erda tasvirlangan jarayonni juda murakkab deb biladi, ammo amaliyot bilan, kub ildizlari ancha osonlashadi. Ushbu maqolani o'qishni boshlashdan oldin, kub raqamlari bilan asosiy matematik operatsiyalar va hisob-kitoblarni eslang.

Qadamlar

1-qism

Vazifani yozing. Kub ildizlarini qo'lda olish uzoq bo'linishga o'xshaydi, lekin ba'zi nuances bilan. Birinchidan, vazifani ma'lum bir shaklda yozing.

• Kub ildizini olmoqchi bo'lgan raqamni yozing. Raqamni o'nli kasrdan boshlab uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'ling. Misol uchun, siz 10 ning kub ildizini olishingiz kerak. Bu raqamni quyidagicha yozing: 10 000 000 qo'shimcha nollar natijaning aniqligini oshirish uchun mo'ljallangan.
• Raqamning yonida va tepasida ildiz belgisini chizing. Buni bo'lish paytida chizilgan gorizontal va vertikal chiziqlar sifatida tasavvur qiling. Faqatgina farq - bu ikki belgining shakli.
• Gorizontal chiziq ustidagi kasr nuqtasini qo'ying. Buni to'g'ridan-to'g'ri asl raqamning kasr nuqtasi ustida bajaring.

1. Kubli butun sonlarning natijalarini eslang. Ular hisob-kitoblarda qo'llaniladi.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Javobning birinchi raqamini toping. Eng yaqin, lekin uchta raqamdan iborat birinchi guruhdan kichikroq butun sonning kubini tanlang.

   • Bizning misolimizda uchta raqamdan iborat birinchi guruh 10 raqamidir. 10 dan kichik bo'lgan eng katta kubni toping. Bu kub 8 ga, 8 ning kub ildizi esa 2 ga teng.
   • 10 raqami ustidagi gorizontal chiziq ustiga 2 raqamini yozing. Keyin operatsiya qiymatini yozing. 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 10 ostida 8. Chiziq chizing va 10 dan 8 ni olib tashlang (muntazam uzun bo'linishda bo'lgani kabi). Natija 2 (bu birinchi qoldiq).
   • Shunday qilib, siz javobning birinchi raqamini topdingiz. Yo'qligini o'ylab ko'ring bu natija ancha aniq. Aksariyat hollarda bu juda qo'pol javob bo'ladi. Natijaning asl raqamga qanchalik yaqinligini bilish uchun uni kubga aylantiring. Bizning misolimizda: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, bu 10 ga juda yaqin emas, shuning uchun hisob-kitoblarni davom ettirish kerak.

3. Javobning keyingi raqamini toping. Birinchi qoldiqga uchta raqamdan iborat ikkinchi guruhni qo'shing va natijada olingan raqamning chap tomoniga vertikal chiziq torting. Olingan raqamdan foydalanib, siz javobning ikkinchi raqamini topasiz. Bizning misolimizda 2000 raqamini olish uchun birinchi qoldiqga (2) uchta raqamdan iborat ikkinchi guruhni (000) qo'shishimiz kerak.

   • Vertikal chiziqning chap tomonida siz uchta raqamni yozasiz, ularning yig'indisi ma'lum bir birinchi omilga teng. Ushbu raqamlar uchun bo'sh joylarni qoldiring va ular orasiga plyus belgilarini qo'ying.

4. Birinchi hadni toping (uchtadan). Birinchi bo'sh joyga 300 raqamini javobning birinchi raqamining kvadratiga ko'paytirish natijasini yozing (u ildiz belgisi ustida yozilgan). Bizning misolimizda javobning birinchi raqami 2 ga teng, shuning uchun 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Birinchi bo'sh joyga 1200 ni yozing. Birinchi atama 1200 raqamidir (topish uchun yana ikkita raqam).

   Javobning ikkinchi raqamini toping. Natija yaqin bo'lishi uchun 1200 ni qaysi raqamga ko'paytirish kerakligini aniqlang, lekin 2000 dan oshmaydi. Bu raqam faqat 1 bo'lishi mumkin, chunki 2 * 1200 = 2400, bu 2000 dan ortiq. 1 ni yozing (ikkinchi raqam javob) 2 dan keyin va ildiz belgisi ustidagi kasr nuqtasi.

   Ikkinchi va uchinchi shartlarni toping (uchtadan). Ko'paytiruvchi uchta raqamdan (terminlardan) iborat bo'lib, ulardan birinchisini siz allaqachon topdingiz (1200). Endi qolgan ikkita shartni topishimiz kerak.

   • 3 ni 10 ga va javobning har bir raqamiga ko'paytiring (ular ildiz belgisi ustida yozilgan). Bizning misolimizda: 3*10*2*1 = 60. Ushbu natijani 1200 ga qo'shing va 1260 ni oling.
   • Nihoyat, javobingizning oxirgi raqamini kvadratga aylantiring. Bizning misolimizda javobning oxirgi raqami 1, shuning uchun 1^2 = 1. Shunday qilib, birinchi koeffitsient quyidagi raqamlar yig'indisiga teng: 1200 + 60 + 1 = 1261. Bu raqamni chapga yozing. vertikal bar.

5. Ko'paytirish va ayirish. Javobning oxirgi raqamini (bizning misolimizda u 1) topilgan koeffitsientga (1261) ko'paytiring: 1*1261 = 1261. Bu raqamni 2000 ning ostiga yozing va 2000 dan ayiring. Siz 739 ni olasiz (bu ikkinchi qoldiq). ).

6. Siz olgan javob etarlicha to'g'ri yoki yo'qligini o'ylab ko'ring. Har safar boshqa ayirishni tugatganingizda buni bajaring. Birinchi ayirishdan keyin javob 2 edi, bu aniq natija emas. Ikkinchi ayirishdan keyin javob 2.1.

   • Javobingizning to'g'riligini tekshirish uchun uni kubga aylantiring: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Agar javobni etarlicha aniq deb hisoblasangiz, hisob-kitoblarni davom ettirishingiz shart emas; aks holda, boshqa ayirishni bajaring.

7. Ikkinchi omilni toping. Hisob-kitoblarni mashq qilish va aniqroq natijaga erishish uchun yuqoridagi amallarni takrorlang.

   • Ikkinchi qoldiqga (739) uchta raqamdan iborat uchinchi guruhni (000) qo'shing. Siz 739000 raqamini olasiz.
   • 300 ni ildiz belgisi (21) ustida yozilgan sonning kvadratiga ko'paytiring: 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Javobning uchinchi raqamini toping. Natija 739000 ga yaqin bo'lishi uchun 132300 ni qaysi raqamga ko'paytirish kerakligini bilib oling. Bu raqam 5: 5 * 132200 = 661500. Yuqoridagi 1 dan keyin 5 (javobning uchinchi raqami) ni yozing. ildiz belgisi.
   • 3 ni 10 ga 21 ga va javobning oxirgi raqamiga ko'paytiring (ular ildiz belgisi ustida yozilgan). Bizning misolimizda: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Nihoyat, javobingizning oxirgi raqamini kvadratga qo'ying. Bizning misolimizda javobning oxirgi raqami 5 ga teng, shuning uchun 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Shunday qilib, ikkinchi multiplikator: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Javobning oxirgi raqamini ikkinchi omilga ko'paytiring. Javobning ikkinchi omili va uchinchi raqamini topganingizdan so'ng, quyidagi amallarni bajaring:

   • Javobning oxirgi raqamini topilgan omilga ko'paytiring: 135475*5 = 677375.
   • Ayiring: 739000-677375 = 61625.
   • Siz olgan javob etarlicha to'g'ri yoki yo'qligini o'ylab ko'ring. Buning uchun uni kubga aylantiring: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94).

9. Javobingizni yozib qoldiring. Ildiz belgisi ustida yozilgan natija ikki kasrgacha aniq javobdir. Bizning misolimizda 10 ning kub ildizi 2,15 ga teng. Javobingizni kub shaklida tekshiring: 2.15^3 = 9.94, bu taxminan 10. Agar sizga aniqroq kerak boʻlsa, hisoblashni davom ettiring (yuqorida taʼriflanganidek).

   2-qism

   Baholash usuli yordamida kub ildizini ajratib olish

   1. Yuqorini aniqlash uchun raqamlar kublaridan foydalaning pastki chegaralar. Agar deyarli har qanday sonning kub ildizini olish kerak bo'lsa, berilgan raqamga yaqin bo'lgan kublarni (ba'zi raqamlarning) toping.

      • Misol uchun, 600 ning kub ildizini olishingiz kerak 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) Va 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), u holda 600 ning kub ildizining qiymati 8 va 9 orasida yotadi. Shuning uchun javobning yuqori va pastki chegaralari sifatida 512 va 729 raqamlaridan foydalaning.

   2. Ikkinchi raqamni hisoblang. Butun sonlar kublari haqidagi bilimingiz tufayli birinchi raqamni topdingiz. Endi butun sonni aylantiring kasr, unga (o'nli kasrdan keyin) 0 dan 9 gacha bo'lgan ma'lum sonni qo'shish. Kubigi yaqin bo'ladigan, lekin asl sondan kichik bo'lgan o'nli kasrni topish kerak.

      • Bizning misolimizda 600 raqami 512 va 729 raqamlari orasida joylashgan. Masalan, topilgan birinchi raqamga 5 raqamini qo'shing (8).
   3. • Bizning misolimizda: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Olingan sonning kubini asl raqam bilan solishtiring. Olingan sonning kubi asl raqamdan katta bo'lsa, kichikroq raqamni taxmin qilishga harakat qiling. Olingan sonning kubi asl raqamdan ancha kichik bo'lsa, ulardan birining kubi asl raqamdan oshguncha kattaroq raqamlarni baholang.

      • Bizning misolimizda: 8 , 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600. Shunday qilib, kichikroq raqamni 8,4 ga baholang. Ushbu raqamni kubga aylantiring va uni asl raqam bilan taqqoslang: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Bu natija asl raqamdan kamroq. Demak, 600 ning kub ildizi 8,4 dan 8,5 gacha.

   5. Baho keyingi raqam javobning aniqligini oshirish uchun. Oxirgi hisoblagan har bir raqam uchun aniq javob olguncha 0 dan 9 gacha raqam qo'shing. Har bir baholash bosqichida siz asl raqam o'rtasida joylashgan yuqori va pastki chegaralarni topishingiz kerak.

      • Bizning misolimizda: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7) Va 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8,5^(3)=614,1). Dastlabki 600 raqami 614 dan ko'ra 592 ga yaqinroq. Shuning uchun siz taxmin qilgan oxirgi raqamga 9 dan ko'ra 0 ga yaqinroq raqamni belgilang. Masalan, bunday raqam 4 ga teng. Shuning uchun 8,44 raqamini kub qiling.

   6. Agar kerak bo'lsa, boshqa raqamni hisoblang. Olingan sonning kubini asl raqam bilan solishtiring. Olingan sonning kubi asl raqamdan katta bo'lsa, kichikroq raqamni taxmin qilishga harakat qiling. Muxtasar qilib aytganda, kublari asl raqamdan biroz kattaroq va bir oz kichikroq bo'lgan ikkita raqamni topishingiz kerak.

      • Bizning misolimizda 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). Bu asl raqamdan biroz kattaroq, shuning uchun 8.43 kabi boshqa (kichikroq) raqamni taxmin qiling: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Shunday qilib, 600 ning kub ildizi 8,43 va 8,44 orasida yotadi.

   7. Siz mamnun bo'lgan javob olmaguningizcha tasvirlangan jarayonni bajaring. Keyingi raqamni taxmin qiling, uni asl raqam bilan taqqoslang, keyin kerak bo'lsa, boshqa raqamni taxmin qiling va hokazo. E'tibor bering, kasrdan keyingi har bir qo'shimcha raqam javobning aniqligini oshiradi.

      • Bizning misolimizda, 8.43 kubi asl raqamdan 1 dan kichikroq, agar sizga ko'proq aniqlik kerak bo'lsa, 8.434 kubini oling va quyidagilarni oling: 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), ya'ni natija dastlabki raqamdan 0,1 ga kam.

Biz allaqachon kalkulyatorsiz katta raqamni saralab oldik. Ushbu maqolada biz kub ildizini (uchinchi darajali ildiz) qanday chiqarishni ko'rib chiqamiz. Aytaylik, biz natural sonlar haqida gapiramiz. Sizningcha, ildizlarni og'zaki hisoblash uchun qancha vaqt ketadi, masalan:

Juda oz va agar siz 20 daqiqa davomida ikki yoki uch marta mashq qilsangiz, unda siz 5 soniya ichida har qanday ildizni og'zaki ravishda chiqarib olishingiz mumkin.

*Ta'kidlash joizki, gap ildiz ostidagi 0 dan 100 gacha bo'lgan kubik natural sonlar natijasi bo'lgan raqamlar haqida ketmoqda.

Biz buni bilamiz:

Shunday qilib, biz topadigan a raqami natural son 0 dan 100 gacha. Ushbu raqamlarning kublar jadvaliga qarang (uchinchi darajaga ko'tarish natijalari):

Ushbu jadvaldagi istalgan raqamning kub ildizini osongina ajratib olishingiz mumkin. Nimani bilishingiz kerak?

1. Bular o‘nga karrali sonlarning kublari:

Men hatto bu "chiroyli" raqamlar, ularni eslab qolish oson, deb aytardim. O'rganish oson.

2. Bu raqamlar hosil qilinganda ularning xossasidir.

Uning mohiyati shundan iboratki, ma'lum bir raqam uchinchi darajaga ko'tarilganda, natija o'ziga xos xususiyatga ega bo'ladi. Qaysi biri?

Masalan, 1, 11, 21, 31, 41 va hokazolarni kub qilaylik. Siz stolga qarashingiz mumkin.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

Ya'ni, oxirida birligi bo'lgan raqamni kubga aylantirsak, natijada har doim oxirida birlik bo'lgan raqam bo'ladi.

Oxirida ikkita bo'lgan raqamni kubga aylantirsangiz, natija har doim oxirida sakkiztasi bo'lgan raqam bo'ladi.

Keling, barcha raqamlar uchun jadvaldagi yozishmalarni ko'rsatamiz:

Taqdim etilgan ikkita fikrni bilish juda etarli.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

21952 ning kub ildizini oling.

Bu raqam 8000 dan 27000 oralig'ida. Bu ildiz natijasi 20 dan 30 gacha bo'lgan oraliqda yotadi, degan ma'noni anglatadi. 29952 raqami 2 bilan tugaydi. Bu variant faqat oxirida sakkiztasi bo'lgan raqam bo'lganda mumkin bo'ladi. kubik. Shunday qilib, ildizning natijasi 28 ga teng.

54852 ning kub ildizini toping.

Bu raqam 27000 dan 64000 oralig'ida. Bu ildiz natijasi 30 dan 40 gacha bo'lgan oraliqda yotadi, degan ma'noni anglatadi. 54852 raqami 2 bilan tugaydi. Bu variant faqat oxirida sakkiztasi bo'lgan raqam bo'lganda mumkin bo'ladi. kubik. Shunday qilib, ildizning natijasi 38 ga teng.

571787 ning kub ildizini oling.

Bu raqam 512000 dan 729000 gacha bo'lgan oraliqda. Bu ildiz natijasi 80 dan 90 gacha bo'lgan oraliqda yotadi, degan ma'noni anglatadi. 571787 raqami 7 bilan tugaydi. Bu variant faqat oxirida uchta bo'lgan raqam bo'lganda mumkin bo'ladi. kubik. Shunday qilib, ildizning natijasi 83 ga teng.

614125 ning kub ildizini oling.

Bu raqam 512000 dan 729000 gacha bo'lgan oraliqda. Bu ildiz natijasi 80 dan 90 gacha bo'lgan oraliqda yotadi degan ma'noni anglatadi. 614125 raqami 5 bilan tugaydi. Bu variant faqat oxirida besh bo'lgan raqam bo'lganda mumkin bo'ladi. kubik. Shunday qilib, ildizning natijasi 85 ga teng.

Menimcha, endi siz 681472 raqamining kub ildizini osongina chiqarib olishingiz mumkin.

Albatta, bunday ildizlarni og'iz orqali olish biroz mashq qiladi. Ammo ko'rsatilgan ikkita planshetni qog'ozga tiklab, har qanday holatda, bir daqiqa ichida bunday ildizni osongina chiqarib olishingiz mumkin.

Natijani topganingizdan so'ng, uni tekshirishni unutmang (uni uchinchi kuchga ko'taring). *Hech kim ustunga ko'paytirishni bekor qilmagan 😉

Aslida Yagona davlat imtihon muammolari bunday "xunuk" ildizlar bilan, yo'q. Masalan, 1728 ning kub ildizini chiqarib olishingiz kerak. Menimcha, bu endi siz uchun muammo emas.

Kalkulyatorsiz hisob-kitoblarning qiziqarli usullarini bilsangiz, ularni yuboring, men ularni o'z vaqtida e'lon qilaman.Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

Kalkulyatorlardan oldin talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Hisoblashning bir necha usullari mavjud kvadrat ildiz raqamlarni qo'lda. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Radikal sonni kvadrat raqamlarga aylantiring. Radikal raqamga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, radikal sonni kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

• Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'l bilan). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
• Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

1. Ayrim hadlar ko‘paytmasining kvadrat ildizi har bir hadning kvadrat ildizlari ko‘paytmasiga teng, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini olish uchun ushbu qoidadan foydalaning va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

   • Bizning misolimizda 25 va 16 ning ildizini oling.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Agar radikal son ikkiga bo'linmasa kvadrat omil(va bu ko'p hollarda sodir bo'ladi), siz aniq javobni butun son shaklida topa olmaysiz. Ammo siz radikal sonni kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va umumiy omilning ildizini olasiz.

   • Misol uchun, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping), uni radikal songa eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildiz qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

   • Keling, misolimizga qaytaylik. Radikal raqam 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida joylashgan. √3 qiymati, ehtimol, 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun, bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 = 11,9. Agar siz hisobni kalkulyatorda qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
     • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Radikal raqam 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 orasida joylashgan. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ta kichik), biz √35 ni 6 dan bir oz kichik deb aytishimiz mumkin. Kalkulyatorni tekshiring 5.92 - biz haq edik.

4. Yana bir usul - radikal sonni tub omillarga kiritish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bir qatordagi tub omillarni yozing va bir xil omillar juftlarini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

   • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Radikal sonni tub omillarga ajratamiz: 45 = 9 x 5 va 9 = 3 x 3. Shunday qilib, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisi sifatida chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
   • Yana bir misolni ko'rib chiqamiz: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Siz 2 ning uchta ko'paytmasini oldingiz; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan tashqariga o'tkazing.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi siz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishingiz mumkin.

   Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

   Uzoq bo'linishdan foydalanish

   1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga, vertikal chiziqqa gorizontal chiziq torting. Endi radikal sonni o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab juft raqamlarga bo'ling. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikki chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va berilgan raqamni yuqori chap tomonda "7 80, 14" shaklida yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Siz javobni (bu raqamning ildizini) yuqori o'ng tomonga yozasiz.

   2. Chapdagi birinchi raqamlar juftligi (yoki bitta raqam) uchun kvadrati ko'rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo'lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichikroq kvadrat sonni toping va uning kvadrat ildizini oling. kvadrat raqami; n raqamini olasiz. Yuqori o'ng tomonga topilgan n ni yozing va pastki o'ngga n ning kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Chapdagi birinchi juft sondan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

   4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqam ikki marta 4 ni beradi. Pastki o'ng tomonda "4_×_=" yozing.

   5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 = 384 bo'ladi, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 qiladi. Chiziqlar o'rniga 7 yozing va oling: 47 x 7 = 329. Yuqori o'ng tomonda 7 yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

   6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chapdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va uni ayirboshlash ostida yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

   7. 4-bosqichni takrorlang. Agar o'tkazilayotgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlari orasiga ajratuvchi (vergul) qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini tushiring. Yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda, o'chirilishi kerak bo'lgan keyingi raqamlar juftligi 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni tushiring va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ngdagi (27) raqamni ikki baravar oshiring - 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

   8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Birini toping eng katta raqam o'ngdagi chiziqchalar o'rniga (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni almashtirishingiz kerak), shuning uchun ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kvadrat ildiz uchun ko'proq o'nli kasrlarni topish kerak bo'lsa, joriy raqamning chap tomoniga bir nechta nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Javob aniqligini (o'nli kasrlar soni) olguncha amallarni takrorlang. kerak.

   Jarayonni tushunish

   Assimilyatsiya qilish uchun bu usul Kvadrat ildizini topmoqchi bo'lgan sonni S kvadratning maydoni deb o'ylab ko'ring. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L ning qiymatini L² = S qilib hisoblaymiz.

   Javobdagi har bir raqam uchun harf bering. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilaymiz (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

   Birinchi raqamlarning har bir jufti uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamlarni S b bilan belgilaymiz va hokazo.

   Ushbu usul va uzoq bo'linish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuning. Xuddi bo'linishda bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan raqamning keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam orqali ishlaymiz (kvadrat ildiz qiymatida keyingi bitta raqamni olish uchun) .

   1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kerakli kvadrat ildiz qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A ni qidiramiz, shunda tengsizlik A² ≤ Sa bo'ladi.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B = L (uchun ikki xonali raqam) yoki 100A + 10V + C = L (uchun uch xonali raqam) va hokazo.

      • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B bu raqam bo'lib, unda B raqami birliklarni, A raqami esa o'nlikni bildiradi. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 soniga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A²- katta ichki kvadratning maydoni, B²- kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B- ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.

Buni tartibga solish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday kishiga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi salbiy raqam b.

Quyida biz ildizlarni birma-bir ajratib olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. Agar qo'lingizda bo'lmasa, ildizni ajratib olish usulidan foydalanish mantiqan to'g'ri bo'ladi, bu radikal sonni asosiy omillarga ajratishni o'z ichiga oladi.

Toq ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun nima mumkinligini alohida ta'kidlash kerak.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topish imkonini beruvchi usulni ko'rib chiqaylik.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda, kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlash orqali kulrang fonda joylashgan bo'lib, u 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorni va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Har bir katak ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va birliklarning 3-ustunining kesishmasida 83 sonining kvadrati bo'lgan 6889 raqamli katakcha mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ulardan foydalanish tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonining n-chi ildizini olishimiz kerak, a soni esa n-darajali darajalar jadvalida joylashgan. Ushbu jadvaldan foydalanib, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, 19,683 ning kub ildizini olish uchun kub jadvalidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ko'rinib turibdiki, n-darajali jadvallar ildizlarni olish uchun juda qulaydir. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularni tuzish biroz vaqt talab etadi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday holda, siz ildizni olib tashlashning boshqa usullariga murojaat qilishingiz kerak.

Radikal sonni tub omillarga ajratish

Yetarli qulay tarzda, bu natural sondan ildiz ajratib olish imkonini beradi (agar, albatta, ildiz ajratilsa), radikal sonning tub omillarga parchalanishi. Uning gap shu: shundan keyin uni kuch sifatida ifodalash juda oson zarur ko'rsatkich, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik.

a natural sonning n- ildizi olinsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. b soni, har qanday natural son kabi, uning barcha tub omillari p 1, p 2, …, p m ko‘paytmasi sifatida p 1 ·p 2 ·…·p m ko‘rinishida va bu holda radikal son a ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. (p 1 ·p 2 ·…·p m) n shaklida ifodalanadi. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun radikal a sonning tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu esa ildiz qiymatini hisoblash imkonini beradi. kabi.

E'tibor bering, agar a radikal sonning tub omillarga bo'linishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sonning n-chi ildizi to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda buni aniqlaylik.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Oldingi xatboshida berilgan kvadratchalar jadvaliga qarasangiz, 144 = 12 2 ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi aniq.

Ammo bu fikrni hisobga olgan holda, biz 144 radikal sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2·2·2·2·3·3. Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Demak, .

Darajaning xossalari va ildizlarning xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildizning qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 radikal sonining tub koeffitsienti 243=3 5 ko'rinishga ega. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildiz qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun keling, radikal sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kubi sifatida ko'rsatish mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 bor. Olingan kengayish butun sonning kubi sifatida ifodalanmaydi, chunki daraja asosiy omil 7 soni uchga koʻpaytmasi emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizini to'liq ajratib bo'lmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Ildizni qanday qilib olish kerakligini aniqlash vaqti keldi kasr son. Kasr radikal son p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasrning ildizini ajratib olish qoidasi: Kasrning ildizi aylanmaning ildiziga boʻlingan qismga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Yechim.

Kvadratlar jadvalidan foydalanib, biz asl kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrning ildizini ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi radikal sonlarni oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 o'nlik kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Dastlabki o'nli kasrni oddiy kasr sifatida tasavvur qilaylik: 474,552=474552/1000. Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000 = 10 3, keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini olish

Salbiy raqamlardan ildizlarni olish haqida to'xtalib o'tishga arziydi. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildiz ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda ildiz belgisi ostida manfiy son bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bu yozuvlarga quyidagi maʼnoni berdik: manfiy son −a va 2 n−1 ildizning toq koʻrsatkichi uchun, . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini olib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildizning qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy son bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Hozir aralash raqam uni oddiy kasr bilan almashtiring: . Biz oddiy kasrning ildizini olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana bu yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Ildiz qiymatini bitli aniqlash

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan son mavjud. Ammo bu holda hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha ma'lum bir ildizning ma'nosini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning etarli miqdordagi raqamli qiymatlarini ketma-ket olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari radikal sondan oshib ketgan son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko'tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n kuchiga ko'targan raqam mos keladigan eng muhim raqamni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. 0, 10, 100, ... raqamlarini oling va biz 5 dan katta raqam olmaguncha ularni kvadratga aylantiring. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5, ya'ni eng muhim raqam birlar soni bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastki bo'lganlar, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi bitlarining qiymatlarini topib, eng yuqorisidan boshlab va eng pastiga o'tish orqali ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan. Misol uchun, birinchi qadamda ildizning qiymati 2, ikkinchisida - 2,2, uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... ga aylanadi. Keling, raqamlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Raqamlar 0, 1, 2, ..., 9 mumkin bo'lgan qiymatlarini qidirish orqali topiladi. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel hisoblab chiqiladi va ular radikal son bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, u holda oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va agar bu sodir bo'lmasa, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi; u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning xuddi shu misolidan foydalanib, ushbu fikrlarni tushuntiramiz.

Avval birlik raqamining qiymatini topamiz. Biz 0, 1, 2, ..., 9 qiymatlaridan o'tamiz, mos ravishda 0 2, 1 2, ..., 9 2 ni hisoblab, 5 radikal raqamidan kattaroq qiymatga ega bo'lgunimizcha. Ushbu hisob-kitoblarning barchasini jadval shaklida taqdim etish qulay:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (2 2 dan beri<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 radikal raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, u holda o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Beshning ildizining keyingi qiymati shunday topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Avval biz eng muhim raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. Biz 2 151 186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, u holda o'nliklarning qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar sonining qiymati 2 ga teng. Keling, o'ndan biriga o'taylik.

Hatto 12,9 3 2 151,186 radikal raqamidan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha aniq topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Ko'rsatmalar

Raqamni 1/3 quvvatga oshirish uchun raqamni kiriting, so'ngra eksponentatsiya tugmasini bosing va 1/3 - 0,333 ning taxminiy qiymatini kiriting. Ko'pgina hisob-kitoblar uchun bu aniqlik etarli. Biroq, hisob-kitoblarning aniqligini oshirish juda oson - kalkulyator indikatoriga mos keladigan darajada ko'p uchlik qo'shing (masalan, 0,333333333333333). Keyin "=" tugmasini bosing.

Kompyuter yordamida uchinchi ildizni hisoblash uchun Windows kalkulyator dasturini ishga tushiring. Uchinchi ildizni hisoblash tartibi yuqorida tavsiflanganga to'liq o'xshaydi. Yagona farq eksponentatsiya tugmasi dizaynida. Kalkulyatorning virtual klaviaturasida u "x^y" sifatida ko'rsatilgan.

Uchinchi ildizni MS Excelda ham hisoblash mumkin. Buning uchun istalgan katakka “=” kiriting va “insert” belgisini (fx) tanlang. Ko'rsatilgan oynada "DEGREE" funksiyasini tanlang va "OK" tugmasini bosing. Ko'rsatilgan oynada uchinchi ildizni hisoblamoqchi bo'lgan raqamning qiymatini kiriting. "Daraja" da "1/3" raqamini kiriting. 1/3 raqamini aynan shu shaklda yozing - oddiy kabi. Shundan so'ng, "OK" tugmasini bosing. Berilgan raqamning kub ildizi u yaratilgan jadval katakchasida paydo bo'ladi.

Uchinchi ildizni doimiy ravishda hisoblash kerak bo'lsa, yuqorida tavsiflangan usulni biroz yaxshilang. Ildizni chiqarmoqchi bo'lgan raqam uchun raqamning o'zini emas, balki jadval katakchasini ko'rsating. Shundan so'ng, har safar ushbu katakchaga asl raqamni kiriting - uning kub ildizi formulali hujayrada paydo bo'ladi.

Mavzu bo'yicha video

Eslatma

Xulosa. Ushbu maqola kub ildiz qiymatlarini hisoblashning turli usullarini ko'rib chiqdi. Ma'lum bo'lishicha, kub ildizining qiymatlarini iteratsiya usuli yordamida topish mumkin, siz kub ildizini ham taxmin qilishingiz, raqamni 1/3 ga oshirishingiz, uchinchi ildizning qiymatlarini qidirishingiz mumkin. Microsoft Office Ecxel, hujayralardagi formulalarni o'rnatish.

Foydali maslahat

Ikkinchi va uchinchi darajali ildizlar ayniqsa tez-tez ishlatiladi va shuning uchun maxsus nomlarga ega. Kvadrat ildiz: Bu holda, ko'rsatkich odatda o'tkazib yuboriladi va ko'rsatkichni ko'rsatmasdan "ildiz" atamasi ko'pincha kvadrat ildizni nazarda tutadi. Ildizlarni amaliy hisoblash n-darajali ildizni topish algoritmi. Kvadrat va kub ildizlari odatda barcha kalkulyatorlarda taqdim etiladi.

Manbalar:

• uchinchi ildiz
• Excelda kvadrat ildizni N-darajaga qanday olish mumkin

Ildizni topish operatsiyasi uchinchi daraja odatda "kubik" ildizni olish deb ataladi va u kubi radikal songa teng qiymatni beradigan haqiqiy sonni topishdan iborat. Har qanday arifmetik ildizni ajratib olish operatsiyasi daraja n 1/n quvvatga ko'tarish operatsiyasiga teng. Kub ildizlarini amalda hisoblash uchun bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin.