Koordinatalarini bilgan holda vektor uzunligini qanday topish mumkin. Dummies uchun vektorlar. Vektorlar bilan amallar. Vektor koordinatalari. Vektorlar bilan eng oddiy masalalar

Oksi

HAQIDA A O.A.

, qayerda O.A .

Shunday qilib, .

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Yechim.

:

Javob:

Oxyz kosmosda.

A O.A diagonal bo'ladi.

Bu holda (chunki O.A O.A .

Shunday qilib, vektor uzunligi .

Misol.

Vektor uzunligini hisoblang

Yechim.

, shuning uchun,

Javob:

Samolyotda to'g'ri chiziq

Umumiy tenglama

Ax + By + C (> 0).

Vektor = (A; B) normal vektor hisoblanadi.

Vektor shaklida: + C = 0, bu yerda - chiziqdagi ixtiyoriy nuqtaning radius vektori (4.11-rasm).

Maxsus holatlar:

1) By + C = 0- o'qqa parallel to'g'ri chiziq ho'kiz;

2) Ax + C = 0- o'qqa parallel to'g'ri chiziq Oy;

3) Ax + By = 0- to'g'ri chiziq koordinatalar boshi orqali o'tadi;

4) y = 0- eksa ho'kiz;

5) x = 0- eksa Oy.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

Qayerda a, b- koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning qiymatlari.

Oddiy chiziq tenglamasi(4.11-rasm)

qayerda chiziq va o'qqa normal hosil bo'lgan burchak ho'kiz; p- boshlang'ich nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini normal shaklga keltirish:

Bu erda chiziqning normallashtirilgan omili; belgisi tanlanadi qarama-qarshi belgi C, agar va o'zboshimchalik bilan, agar C=0.

Koordinatalardan vektor uzunligini topish.

Vektor uzunligini bilan belgilaymiz. Ushbu belgi tufayli vektorning uzunligi ko'pincha vektorning moduli deb ataladi.

Koordinatalar yordamida tekislikdagi vektor uzunligini topishdan boshlaylik.

Tekislikka to'g'ri to'rtburchak dekart koordinatalar tizimini kiritamiz Oksi. Unda vektor ko'rsatilsin va koordinatalari bo'lsin. Biz va koordinatalari orqali vektor uzunligini topishga imkon beruvchi formulani olamiz.

Keling, koordinatalarning kelib chiqishini chetga surib qo'yaylik (nuqtadan HAQIDA) vektor. Nuqtaning proyeksiyalarini belgilaylik A yoqilgan koordinata o'qlari kabi va mos ravishda va diagonali bo'lgan to'rtburchakni ko'rib chiqing O.A.

Pifagor teoremasi tufayli tenglik , qayerda . To'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi vektor koordinatalarining ta'rifidan shuni ta'kidlashimiz mumkinki va , va qurish orqali uzunligi O.A vektor uzunligiga teng, shuning uchun .

Shunday qilib, vektor uzunligini topish formulasi tekislikdagi koordinatalariga ko'ra shaklga ega .

Agar vektor koordinata vektorlarida kengayish sifatida ifodalansa , keyin uning uzunligi bir xil formula yordamida hisoblanadi , chunki bu holda koeffitsientlar va berilgan koordinatalar tizimidagi vektorning koordinatalari.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Dekart koordinata sistemasida berilgan vektor uzunligini toping.

Yechim.

Koordinatalardan vektor uzunligini topish uchun formulani darhol qo'llang :

Javob:

Endi vektor uzunligini topish formulasini olamiz to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi koordinatalari bo'yicha Oxyz kosmosda.

Vektorni koordinata boshidan boshlab, nuqta proyeksiyalarini belgilaymiz A va kabi koordinata o'qlarida. Keyin tomonlarga to'rtburchaklar parallelepipedni qurishimiz mumkin, unda O.A diagonal bo'ladi.

Bu holda (chunki O.A- diagonal to'rtburchaklar parallelepiped), qayerda . Vektorning koordinatalarini aniqlash tenglik va uzunlikni yozishga imkon beradi O.A kerakli vektor uzunligiga teng, shuning uchun .

Shunday qilib, vektor uzunligi fazoda uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng, ya'ni formula bo'yicha topiladi .

Misol.

Vektor uzunligini hisoblang , bu erda to'rtburchaklar koordinata tizimining birlik vektorlari.

Yechim.

Bizga vektorni shaklning koordinata vektorlariga ajratish berilgan , shuning uchun, . Keyin koordinatalardan vektor uzunligini topish uchun formuladan foydalanib, biz .

Avvalo, vektor tushunchasini tushunishimiz kerak. Geometrik vektorning ta'rifi bilan tanishish uchun segment nima ekanligini eslaylik. Keling, quyidagi ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif 1

Segment nuqtalar ko'rinishida ikkita chegaraga ega bo'lgan chiziqning bir qismidir.

Segment 2 ta yo'nalishga ega bo'lishi mumkin. Yo'nalishni belgilash uchun segment chegaralaridan birini uning boshlanishi, ikkinchi chegarasini esa oxiri deb ataymiz. Yo'nalish segmentning boshidan oxirigacha ko'rsatilgan.

Ta'rif 2

Biz vektor yoki yo'naltirilgan segmentni segmentning qaysi chegarasi boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ma'lum bo'lgan segment deb ataymiz.

Belgilanishi: Ikki harfda: $\overline(AB)$ - (bu erda $A$ uning boshlanishi va $B$ oxiri).

Bitta kichik harfda: $\overline(a)$ (1-rasm).

Keling, to'g'ridan-to'g'ri vektor uzunliklari tushunchasini kiritaylik.

Ta'rif 3

$\overline(a)$ vektorining uzunligi $a$ segmentining uzunligi bo'ladi.

Belgilash: $|\overline(a)|$

Vektor uzunligi tushunchasi, masalan, ikkita vektorning tengligi kabi tushuncha bilan bog'liq.

Ta'rif 4

Ikki vektor ikkita shartni qanoatlantirsa, ularni teng deb ataymiz: 1. Ular koordinatali; 1. Ularning uzunliklari teng (2-rasm).

Vektorlarni aniqlash uchun koordinatalar tizimini kiriting va kiritilgan tizimdagi vektor uchun koordinatalarni aniqlang. Ma'lumki, har qanday vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ko'rinishida parchalanishi mumkin, bunda $m$ va $n$ haqiqiy sonlar va $\overline (i )$ va $\overline(j)$ mos ravishda $Ox$ va $Oy$ oʻqlaridagi birlik vektorlari.

Ta'rif 5

$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ vektorining kengayish koeffitsientlarini kiritilgan koordinatalar sistemasidagi bu vektorning koordinatalari deb ataymiz. Matematik jihatdan:

$\overline(c)=(m,n)$

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Koordinatalari berilgan ixtiyoriy vektor uzunligini hisoblash formulasini olish uchun quyidagi masalani ko'rib chiqing:

1-misol

Berilgan: $\overline(a)$ vektori $(x,y)$ koordinatalari bilan. Toping: bu vektorning uzunligi.

Samolyotga $xOy$ Dekart koordinata tizimini joriy qilaylik. Keling, kiritilgan koordinatalar tizimining kelib chiqishidan $\overline(OA)=\overline(a)$ ni ajratib qo'yaylik. Tuzilgan vektorning $OA_1$ va $OA_2$ proyeksiyalarini mos ravishda $Ox$ va $Oy$ oʻqlarida tuzamiz (3-rasm).

Biz tuzgan $\overline(OA)$ vektori $A$ nuqtasi uchun radius vektori bo‘ladi, shuning uchun u $(x,y)$ koordinatalariga ega bo‘ladi, ya’ni

$=x$, $[OA_2]=y$

Endi biz Pifagor teoremasi yordamida kerakli uzunlikni osongina topishimiz mumkin, biz olamiz

$|\overline(a)|^2=^2+^2$

$|\overline(a)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(a)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Javob: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Xulosa: Koordinatalari berilgan vektor uzunligini topish uchun bu koordinatalar yig'indisi kvadratining ildizini topish kerak.

Namuna vazifalari

2-misol

Quyidagi koordinatalarga ega bo'lgan $X$ va $Y$ nuqtalari orasidagi masofani toping: mos ravishda $(-1,5)$ va $(7,3)$.

Har qanday ikkita nuqta vektor tushunchasi bilan osongina bog'lanishi mumkin. Masalan, $\overline(XY)$ vektorini ko'rib chiqaylik. Bizga ma'lumki, bunday vektorning koordinatalarini yakuniy nuqtaning ($Y$) koordinatalaridan boshlang'ich nuqtasi ($X$) mos keladigan koordinatalarini ayirish yo'li bilan topish mumkin. Biz buni tushunamiz

Maktab kunlarimizdan beri biz bu nima ekanligini bilamiz vektor yo'nalishiga ega bo'lgan va xarakterli bo'lgan segmentdir raqamli qiymat ball juftligini buyurtma qildi. Asos bo'lib xizmat qiladigan segment uzunligiga teng son sifatida aniqlanadi vektor uzunligi . Uni aniqlash uchun biz foydalanamiz koordinata tizimi. Biz yana bir xususiyatni ham hisobga olamiz - segment yo'nalishi . Vektor uzunligini topish uchun siz ikkita usuldan foydalanishingiz mumkin. Eng oddiy narsa o'lchagichni olish va uning nima bo'lishini o'lchashdir. Yoki formuladan foydalanishingiz mumkin. Endi biz ushbu variantni ko'rib chiqamiz.

Kerakli:

— koordinatalar tizimi (x, y);
- vektor;
- algebra va geometriyadan bilim.

Ko'rsatmalar:

• Yo'naltirilgan segment uzunligini aniqlash formulasi uni quyidagicha yozamiz r²= x²+y². ning kvadrat ildizini olish r² va natijada olingan raqam natija bo'ladi. Vektor uzunligini topish uchun quyidagi amallarni bajaramiz. Biz koordinatalarning boshlang'ich nuqtasini belgilaymiz (x1;y1), yakuniy nuqta (x2;y2). topamiz x Va y yo'naltirilgan segmentning oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farq bilan. Boshqacha aytganda, raqam (X) quyidagi formula bilan aniqlanadi x=x2-x1, va raqam (y) mos ravishda y=y2-y1.
• Formuladan foydalanib koordinatalar yig‘indisining kvadratini toping x²+y². Olingan sonning kvadrat ildizini chiqaramiz, bu vektor uzunligi bo'ladi (r). Agar yo'naltirilgan segmentning koordinatalarining dastlabki ma'lumotlari darhol ma'lum bo'lsa, qo'yilgan muammoning echimi soddalashtiriladi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlarni formulaga ulashdir.
• Diqqat! Vektor koordinata tekisligida emas, balki fazoda bo'lishi mumkin, bu holda formulaga yana bitta qiymat qo'shiladi va u bo'ladi. keyingi ko'rinish: r²= x²+y²+ z², qayerda - (z) kosmosda yo'naltirilgan segmentning hajmini aniqlashga yordam beradigan qo'shimcha o'q.

Nihoyat men keng va uzoq kutilgan mavzuga ega bo'ldim analitik geometriya. Birinchidan, ushbu bo'lim haqida bir oz oliy matematika…. Albatta, siz ko'plab teoremalar, ularning dalillari, chizmalari va boshqalardan iborat maktab geometriya kursini eslaysiz. Nimani yashirish kerak, o'quvchilarning muhim qismi uchun sevilmaydigan va ko'pincha qorong'i mavzu. Analitik geometriya, g'alati, qiziqarliroq va qulayroq ko'rinishi mumkin. “Analitik” sifatdoshi nimani anglatadi? Ikkita klişe matematik iboralar darhol yodga tushadi: "grafik yechim usuli" va "analitik yechim usuli". Grafik usul , albatta, grafik va chizmalarni qurish bilan bog'liq. Analitik yoki usuli muammolarni hal qilishni o'z ichiga oladi asosan algebraik amallar orqali. Shu munosabat bilan, analitik geometriyaning deyarli barcha muammolarini hal qilish algoritmi oddiy va shaffofdir, ko'pincha kerakli formulalarni diqqat bilan qo'llash kifoya - va javob tayyor! Yo'q, albatta, biz buni chizmalarsiz umuman qila olmaymiz va bundan tashqari, materialni yaxshiroq tushunish uchun men ularni zaruratdan tashqari keltirishga harakat qilaman.

Geometriya bo'yicha yangi ochilgan darslar nazariy jihatdan to'liq bo'lib ko'rinmaydi, u amaliy muammolarni hal qilishga qaratilgan. Men o'z ma'ruzalarimga faqat mening nuqtai nazarimdan amaliy jihatdan muhim bo'lgan narsalarni kiritaman. Agar biron-bir bo'lim bo'yicha to'liqroq yordam kerak bo'lsa, men quyidagi juda qulay adabiyotlarni tavsiya qilaman:

1) Hazil emas, bir necha avlodlar tanish bo'lgan narsa: Geometriya bo'yicha maktab darslik, mualliflar - L.S. Atanasyan va kompaniya. Bu maktab echinish xonasi ilgichi allaqachon 20 (!) Qayta nashrdan o'tgan, bu, albatta, chegara emas.

2) Geometriya 2 jildda. Mualliflar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu adabiyot uchun o'rta maktab, sizga kerak bo'ladi birinchi jild. Kamdan-kam uchraydigan vazifalar mening ko'z o'ngimdan tushishi mumkin va Qo'llanma bebaho yordam beradi.

Har ikkala kitobni ham onlayn bepul yuklab olish mumkin. Bundan tashqari, siz mening arxivimdan foydalanishingiz mumkin tayyor echimlar, sahifada topish mumkin Oliy matematika bo'yicha misollar yuklab olish.

Asboblar orasida men yana o'z ishlab chiqishimni taklif qilaman - dasturiy ta'minot to'plami analitik geometriyada, bu hayotni sezilarli darajada soddalashtiradi va ko'p vaqtni tejaydi.

O'quvchi asosiy geometrik tushunchalar va raqamlar bilan tanish deb taxmin qilinadi: nuqta, chiziq, tekislik, uchburchak, parallelogramm, parallelepiped, kub va boshqalar. Ba'zi teoremalarni, hech bo'lmaganda Pifagor teoremasini eslab qolish tavsiya etiladi, takrorlovchilarga salom)

Va endi biz ketma-ket ko'rib chiqamiz: vektor tushunchasi, vektorlar bilan harakatlar, vektor koordinatalari. Men qo'shimcha o'qishni tavsiya qilaman eng muhim maqola Vektorlarning nuqta mahsuloti, va shuningdek Vektorlarning vektor va aralash mahsuloti. Mahalliy vazifa - bu borada segmentni taqsimlash ham ortiqcha bo'lmaydi. Yuqoridagi ma'lumotlarga asoslanib, siz o'zlashtirishingiz mumkin tekislikdagi chiziq tenglamasi Bilan yechimlarning eng oddiy misollari, bu imkon beradi geometriya masalalarini yechishni o'rganish. Quyidagi maqolalar ham foydalidir: Kosmosdagi tekislik tenglamasi, Fazodagi chiziq tenglamalari, To`g`ri chiziq va tekislikka oid asosiy masalalar, analitik geometriyaning boshqa bo`limlari. Tabiiyki, yo'lda standart vazifalar ko'rib chiqiladi.

Vektor tushunchasi. Bepul vektor

Birinchidan, vektorning maktab ta'rifini takrorlaymiz. Vektor chaqirdi yo'naltirilgan boshi va oxiri ko'rsatilgan segment:

IN Ushbu holatda segmentning boshi - nuqta, segmentning oxiri - nuqta. Vektorning o'zi bilan belgilanadi. Yo'nalish juda muhim, agar siz o'qni segmentning boshqa uchiga o'tkazsangiz, siz vektor olasiz va bu allaqachon butunlay boshqacha vektor. Vektor tushunchasi harakat bilan qulay tarzda aniqlanadi jismoniy tana: Rozi, institut eshigidan kirish yoki institut eshigidan chiqish butunlay boshqa narsalar.

Samolyot yoki makonning alohida nuqtalarini deb atalmish deb hisoblash qulay nol vektor. Bunday vektor uchun oxiri va boshlanishi mos keladi.

!!! Eslatma: Bu erda va bundan keyin siz vektorlar bir xil tekislikda yotadi yoki ular kosmosda joylashgan deb taxmin qilishingiz mumkin - taqdim etilgan materialning mohiyati ham tekislik, ham kosmos uchun amal qiladi.

Belgilar: Ko'pchilik darhol belgida o'qsiz tayoqni payqadi va tepada o'q ham borligini aytishdi! To'g'ri, siz uni o'q bilan yozishingiz mumkin: , lekin bu ham mumkin men kelajakda foydalanadigan yozuv. Nega? Ko'rinishidan, bu odat amaliy sabablarga ko'ra rivojlangan; O'quv adabiyotlarida ular ba'zan mixxat yozuvi bilan umuman bezovta qilmaydilar, lekin qalin harflarni ajratib ko'rsatishadi: , bu vektor ekanligini anglatadi.

Bu stilistika edi va endi vektorlarni yozish usullari haqida:

1) Vektorlarni ikkita katta lotin harflari bilan yozish mumkin:
va hokazo. Bunday holda, birinchi harf Majburiy vektorning boshlanish nuqtasini, ikkinchi harf esa vektorning oxirgi nuqtasini bildiradi.

2) Vektorlar ham kichik lotin harflari bilan yoziladi:
Xususan, bizning vektorimiz qisqalik uchun kichik lotin harfi bilan qayta belgilanishi mumkin.

Uzunlik yoki modul nolga teng bo'lmagan vektor segment uzunligi deb ataladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng. Mantiqiy.

Vektor uzunligi modul belgisi bilan belgilanadi: ,

Biz vektor uzunligini qanday topishni (yoki kimga qarab takrorlaymiz) birozdan keyin bilib olamiz.

Bu barcha maktab o'quvchilariga tanish bo'lgan vektorlar haqidagi asosiy ma'lumotlar edi. Analitik geometriyada, deyiladi bepul vektor.

Oddiy qilib aytganda - vektor istalgan nuqtadan chizilishi mumkin:

Biz bunday vektorlarni teng deb atashga odatlanganmiz (teng vektorlarning ta'rifi quyida keltirilgan), ammo sof matematik nuqtai nazardan, ular bir xil VEKTOR yoki bepul vektor. Nega bepul? Chunki muammolarni echish jarayonida siz u yoki bu vektorni samolyot yoki fazoning istalgan nuqtasiga “birikishingiz” mumkin. Bu juda ajoyib xususiyat! Ixtiyoriy uzunlik va yo'nalishdagi vektorni tasavvur qiling - uni cheksiz ko'p marta "klonlash" mumkin va kosmosning istalgan nuqtasida, aslida u HAR YERDA mavjud. Talabaning gapi bor: Har bir o'qituvchi vektor haqida qayg'uradi. Axir, bu shunchaki aqlli qofiya emas, hamma narsa matematik jihatdan to'g'ri - vektorni u erga ham biriktirish mumkin. Lekin xursand bo'lishga shoshilmang, ko'pincha talabalarning o'zlari azob chekishadi =)

Shunday qilib, bepul vektor- Bu bir guruh bir xil yo'naltirilgan segmentlar. Paragrafning boshida berilgan vektorning maktab ta'rifi: "Yo'naltirilgan segment vektor deb ataladi ..." xos dan olingan segment berilgan to'plam, bu tekislik yoki fazoda ma'lum bir nuqtaga bog'langan.

Shuni ta'kidlash kerakki, fizika nuqtai nazaridan erkin vektor tushunchasi umuman noto'g'ri va vektorni qo'llash nuqtasi muhimdir. Haqiqatan ham, mening ahmoqona misolimni rivojlantirish uchun etarli bo'lgan bir xil kuchning burun yoki peshonaga to'g'ridan-to'g'ri zarbasi turli xil oqibatlarga olib keladi. Biroq, erkin emas vektorlar ham vyshmat kursida topiladi (u erga bormang :)).

Vektorlar bilan amallar. Vektorlarning kollinearligi

IN maktab kursi geometriya, vektorlar bilan bir qator harakatlar va qoidalar ko'rib chiqiladi: uchburchak qoidasiga ko`ra qo`shish, parallelogramma qoidasiga ko`ra qo`shish, vektor ayirma qoidasi, vektorni songa ko`paytirish, vektorlarning skalar ko`paytmasi va hokazo. Boshlanish nuqtasi sifatida analitik geometriya masalalarini hal qilish uchun ayniqsa dolzarb bo'lgan ikkita qoidani takrorlaymiz.

Uchburchak qoidasi yordamida vektorlarni qo'shish qoidasi

Ikki ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektorni ko'rib chiqing va:

Ushbu vektorlarning yig'indisini topishingiz kerak. Barcha vektorlar bepul deb hisoblanganligi sababli, biz vektorni chetga surib qo'yamiz oxiri vektor:

Vektorlar yig'indisi vektor hisoblanadi. Qoidani yaxshiroq tushunish uchun unga jismoniy ma'no qo'yish tavsiya etiladi: ba'zi tana vektor bo'ylab, keyin esa vektor bo'ylab harakatlansin. Keyin vektorlar yig'indisi natijada boshlangan yo'lning vektori ketish nuqtasida va oxiri kelish nuqtasida bo'ladi. Shunga o'xshash qoida har qanday vektorlar yig'indisi uchun tuzilgan. Ular aytganidek, tana o'z yo'lini zigzag bo'ylab yoki balki avtopilotda - natijada yig'indi vektori bo'ylab juda suyangan holda borishi mumkin.

Aytgancha, agar vektor dan kechiktirilsa boshlandi vektor, keyin biz ekvivalentni olamiz parallelogramma qoidasi vektorlarni qo'shish.

Birinchidan, vektorlarning kollinearligi haqida. Ikki vektor deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa. Taxminan aytganda, biz parallel vektorlar haqida gapiramiz. Ammo ularga nisbatan "kollinear" sifatdoshi doimo ishlatiladi.

Ikkitasini tasavvur qiling kollinear vektor. Agar bu vektorlarning o'qlari bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, unda bunday vektorlar deyiladi birgalikda rahbarlik qilgan. Agar o'qlar tomon ishora qilsa turli tomonlar, keyin vektorlar bo'ladi qarama-qarshi yo'nalishlar.

Belgilar: vektorlarning kollinearligi odatiy parallellik belgisi bilan yoziladi: , detallashtirish mumkin bo'lsa: (vektorlar birgalikda yo'naltirilgan) yoki (vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan).

Ish Sondagi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi ga teng bo'lgan vektor va vektorlari ga birgalikda va teskari yo'naltirilgan.

Vektorni raqamga ko'paytirish qoidasini rasm yordamida tushunish osonroq:

Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik:

1) Yo'nalish. Agar multiplikator manfiy bo'lsa, u holda vektor yo‘nalishini o‘zgartiradi teskarisiga.

2) Uzunlik. Agar multiplikator yoki ichida bo'lsa, u holda vektor uzunligi kamayadi. Shunday qilib, vektorning uzunligi vektor uzunligining yarmiga teng. Agar multiplikatorning moduli birdan katta bo'lsa, u holda vektor uzunligi ortadi o'z vaqtida.

3) E'tibor bering barcha vektorlar kollineardir, bir vektor boshqasi orqali ifodalangan bo'lsa, masalan, . Buning teskarisi ham to'g'ri: agar bir vektorni boshqa vektor orqali ifodalash mumkin bo'lsa, unda bunday vektorlar albatta kollinear bo'ladi. Shunday qilib: agar vektorni songa ko'paytirsak, biz kollinear bo'lamiz(asl nusxaga nisbatan) vektor.

4) Vektorlar birgalikda yo'naltirilgan. Vektorlar va birgalikda boshqariladi. Birinchi guruhning har qanday vektori ikkinchi guruhning istalgan vektoriga nisbatan qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Qaysi vektorlar teng?

Ikki vektor bir xil yo'nalishda bo'lsa va uzunligi bir xil bo'lsa, tengdir. E'tibor bering, ko'p yo'nalishlilik vektorlarning kollinearligini anglatadi. Agar biz shunday desak, ta'rif noto'g'ri (ortiqcha) bo'ladi: "Ikki vektor, agar ular bir-biriga mos keladigan, ko'proq yo'nalishli va bir xil uzunlikka ega bo'lsa, tengdir".

Erkin vektor tushunchasi nuqtai nazaridan, teng vektorlar oldingi paragrafda muhokama qilinganidek, bir xil vektordir.

Tekislikdagi va fazodagi vektor koordinatalari

Birinchi nuqta - tekislikdagi vektorlarni ko'rib chiqish. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini tasvirlaymiz va uni koordinatalarning kelib chiqishidan boshlab chizamiz. yagona vektorlar va:

Vektorlar va ortogonal. Ortogonal = Perpendikulyar. Asta-sekin atamalarga ko'nikishingizni tavsiya qilaman: parallellik va perpendikulyarlik o'rniga mos ravishda so'zlardan foydalanamiz. kollinearlik Va ortogonallik.

Belgilash: Vektorlarning ortogonalligi odatiy perpendikulyarlik belgisi bilan yoziladi, masalan: .

Ko'rib chiqilayotgan vektorlar deyiladi koordinata vektorlari yoki orts. Bu vektorlar hosil bo'ladi asos yuzada. Asos nima, menimcha, ko'pchilik uchun intuitiv tarzda tushunarli batafsil ma'lumot maqolasida topish mumkin Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari Oddiy so'zlar bilan aytganda, koordinatalarning asosi va kelib chiqishi butun tizimni belgilaydi - bu to'liq va boy geometrik hayot qaynaydigan o'ziga xos poydevordir.

Ba'zan qurilgan asos deyiladi ortonormal tekislikning asosi: "orto" - koordinata vektorlari ortogonal bo'lgani uchun, "normallashtirilgan" sifatdoshi birlikni anglatadi, ya'ni. bazis vektorlarining uzunliklari birga teng.

Belgilash: asos odatda qavs ichida yoziladi, uning ichida qat'iy ketma-ketlikda bazis vektorlari keltirilgan, masalan: . Koordinata vektorlari bu taqiqlangan qayta tartibga solish.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l quyidagicha ifodalangan:
, qayerda - raqamlar deb ataladi vektor koordinatalari shu asosda. Va ifodaning o'zi chaqirdi vektor parchalanishiasosida .

Kechki ovqat beriladi:

Keling, alifboning birinchi harfidan boshlaylik: . Chizma aniq ko'rsatib turibdiki, vektorni asosga ajratishda yuqorida muhokama qilinganlardan foydalaniladi:
1) vektorni songa ko'paytirish qoidasi: va ;
2) uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shish: .

Endi samolyotning istalgan boshqa nuqtasidan vektorni aqliy ravishda chizing. Uning tanazzulga uchrashi "tinimsiz ergashishi" aniq. Mana, vektorning erkinligi - vektor "hamma narsani o'zi bilan olib yuradi". Bu xususiyat, albatta, har qanday vektor uchun to'g'ri keladi. Ajablanarlisi shundaki, asosiy (erkin) vektorlarning o'zlari boshlang'ichdan chizilgan bo'lishi shart emas, masalan, pastki chapda, ikkinchisini esa o'ng tomonda chizish mumkin va hech narsa o'zgarmaydi! To'g'ri, buni qilishning hojati yo'q, chunki o'qituvchi ham o'ziga xoslikni ko'rsatadi va sizni kutilmagan joyda "kredit" oladi.

Vektorlar vektorni songa ko'paytirish qoidasini aniq ko'rsatadi, vektor asosiy vektor bilan ko'proq yo'nalishli, vektor asosiy vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ushbu vektorlar uchun koordinatalardan biri nolga teng, siz uni diqqat bilan quyidagicha yozishingiz mumkin:


Aytgancha, asosiy vektorlar shunday: (aslida ular o'zlari orqali ifodalanadi).

Va nihoyat: , . Aytgancha, vektorni ayirish nima va nega ayirish qoidasi haqida gapirmadim? Chiziqli algebrada qayerda ekanligini eslay olmayman, ayirish ekanligini ta'kidladim maxsus holat qo'shimcha. Shunday qilib, "de" va "e" vektorlarining kengayishlari osongina yig'indi sifatida yoziladi: , . Shartlarni qayta tartibga soling va chizmada uchburchak qoidasiga ko'ra eski vektor qo'shilishi bu vaziyatlarda qanchalik yaxshi ishlashini ko'ring.

Shaklning ko'rib chiqilayotgan parchalanishi ba'zan vektor parchalanishi deb ataladi ort tizimida(ya'ni birlik vektorlar tizimida). Ammo bu vektor yozishning yagona usuli emas:

Yoki teng belgisi bilan:

Bazis vektorlarining o'zi quyidagicha yoziladi: va

Ya'ni vektorning koordinatalari qavs ichida ko'rsatilgan. Amaliy masalalarda yozuvning uchta varianti ham qo'llaniladi.

Gapirishga shubha qildim, lekin baribir aytaman: vektor koordinatalarini qayta tartibga solish mumkin emas. Birinchi o'rinda qat'iy biz birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz, qat'iy ikkinchi o'rinda birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz. Haqiqatan ham, ular ikki xil vektordir.

Biz samolyotdagi koordinatalarni aniqladik. Keling, uch o'lchamli fazodagi vektorlarni ko'rib chiqaylik, bu erda deyarli hamma narsa bir xil! U yana bitta koordinata qo'shadi. Uch o'lchamli chizmalarni yaratish qiyin, shuning uchun men o'zimni bitta vektor bilan cheklayman, soddaligi uchun uni asl nusxasidan ajratib qo'yaman:

Har qanday 3D kosmik vektor yagona yo'l ortonormal asosda kengaytiring:
, bu asosda vektorning (son) koordinatalari qayerda.

Rasmdan misol: . Keling, bu erda vektor qoidalari qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Birinchidan, vektorni raqam bilan ko'paytirish: (qizil o'q), (yashil o'q) va (malinali o'q). Ikkinchidan, bu erda bir nechta qo'shish misoli uchta holat, vektorlar: . Yig'indi vektor boshlang'ich jo'nash nuqtasidan (vektorning boshlanishi) boshlanadi va oxirgi kelish nuqtasida (vektorning oxiri) tugaydi.

Uch o'lchovli fazoning barcha vektorlari, tabiiyki, vektorni boshqa har qanday nuqtadan ajratishga harakat qiling va siz uning parchalanishi "u bilan birga qolishini" tushunasiz.

Yassi kassaga o'xshash, yozishdan tashqari qavsli versiyalar keng qo'llaniladi: yoki .

Agar kengaytirishda bitta (yoki ikkita) koordinata vektori etishmayotgan bo'lsa, ularning o'rniga nollar qo'yiladi. Misollar:
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) – yozamiz;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) – yozamiz;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) - yozaylik.

Bazis vektorlari quyidagicha yoziladi:

Bu, ehtimol, analitik geometriya muammolarini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha minimal nazariy bilimlardir. Ko'p atamalar va ta'riflar bo'lishi mumkin, shuning uchun men choynaklarga ushbu ma'lumotni qayta o'qish va tushunishni tavsiya qilaman. Va har qanday o'quvchi uchun materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun vaqti-vaqti bilan asosiy darsga murojaat qilish foydali bo'ladi. Kollinearlik, ortogonallik, ortonormal asos, vektor dekompozitsiyasi - bu va boshqa tushunchalar kelajakda tez-tez qo'llaniladi. Shuni ta'kidlashni istardimki, sayt materiallari nazariy test yoki geometriya bo'yicha kollokviumdan o'tish uchun etarli emas, chunki men barcha teoremalarni (va isbotsiz) ehtiyotkorlik bilan shifrlayman - zararga. ilmiy uslub taqdimot, lekin mavzuni tushunishingiz uchun ortiqcha. Batafsil nazariy ma'lumotni olish uchun professor Atanasyanga ta'zim qiling.

Va biz amaliy qismga o'tamiz:

Analitik geometriyaning eng oddiy masalalari.
Koordinatalarda vektorlar bilan amallar

To'liq avtomatik ravishda ko'rib chiqiladigan vazifalarni va formulalarni qanday hal qilishni o'rganish juda tavsiya etiladi yodlash, hatto maxsus eslamang, ular o'zlarini eslab qolishadi =) Bu juda muhim, chunki eng oddiy elementar misollar boshqa analitik geometriya masalalari asoslangan va piyonlarni yeyish uchun qo'shimcha vaqt sarflash uyat bo'ladi. Ko'ylakning yuqori tugmalarini mahkamlashning hojati yo'q, ko'p narsalar sizga maktabdan tanish.

Materialning taqdimoti parallel ravishda amalga oshiriladi - samolyot uchun ham, kosmos uchun ham. Chunki barcha formulalar... o'zingiz ko'rasiz.

Ikki nuqtadan vektorni qanday topish mumkin?

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Agar fazoda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Ya'ni, vektor oxirining koordinatalaridan tegishli koordinatalarni olib tashlashingiz kerak vektorning boshlanishi.

Mashq: Xuddi shu nuqtalar uchun vektorning koordinatalarini topish formulalarini yozing. Dars oxiridagi formulalar.

1-misol

Samolyotning ikkita nuqtasi berilgan va . Vektor koordinatalarini toping

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Shu bilan bir qatorda, quyidagi yozuvdan foydalanish mumkin:

Estetiklar buni hal qiladi:

Shaxsan men yozuvning birinchi versiyasiga o‘rganib qolganman.

Javob:

Shartga ko'ra, chizma yaratish shart emas edi (bu analitik geometriya muammolari uchun xos), ammo manikyurlar uchun ba'zi fikrlarni aniqlashtirish uchun men dangasa bo'lmayman:

Siz, albatta, tushunishingiz kerak nuqta koordinatalari va vektor koordinatalari o'rtasidagi farq:

Nuqta koordinatalari- bu to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi oddiy koordinatalar. Menimcha, hamma 5-6-sinfdan boshlab koordinata tekisligida nuqtalarni qanday chizishni biladi. Har bir nuqtaning samolyotda qat'iy o'rni bor va ularni hech qanday joyga ko'chirish mumkin emas.

Vektorning koordinatalari- bu uning asosga ko'ra kengayishi, bu holda. Har qanday vektor bepul, shuning uchun agar kerak bo'lsa, biz uni tekislikning boshqa nuqtasidan osongina uzoqlashtirishimiz mumkin. Qizig'i shundaki, vektorlar uchun siz o'qlarni yoki to'rtburchaklar koordinata tizimini umuman qurishingiz shart emas, bu holda sizga faqat asos kerak, bu holda tekislikning ortonormal asosi;

Nuqtalarning koordinatalari va vektorlar koordinatalarining yozuvlari o'xshash ko'rinadi: , va koordinatalarning ma'nosi mutlaqo boshqacha, va siz bu farqni yaxshi bilishingiz kerak. Bu farq, albatta, kosmosga ham tegishli.

Xonimlar va janoblar, keling, qo'llarimizni to'ldiraylik:

2-misol

a) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
b) Ballar beriladi Va . Vektorlarni toping va .
c) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
d) Ballar beriladi. Vektorlarni toping .

Balki bu yetarlidir. Bular uchun misollar mustaqil qaror, ularni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling, bu o'z samarasini beradi ;-). Chizmalar qilishning hojati yo'q. Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Analitik geometriya masalalarini yechishda nima muhim?“Ikki ortiqcha ikki nolga teng” degan mohirona xatoga yo'l qo'ymaslik uchun O'TA Ehtiyotkor bo'lish kerak. Agar biror joyda xato qilsam, darhol uzr so'rayman =)

Segment uzunligini qanday topish mumkin?

Uzunlik, yuqorida aytib o'tilganidek, modul belgisi bilan ko'rsatilgan.

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, u holda segment uzunligini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Agar fazoda ikkita nuqta va berilgan bo'lsa, u holda segmentning uzunligi formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin

Eslatma: Tegishli koordinatalar almashtirilsa, formulalar to'g'ri bo'lib qoladi: va , lekin birinchi variant standartroq

3-misol

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aniqlik uchun men rasm chizaman

Chiziq segmenti - bu vektor emas, va, albatta, siz uni boshqa joyga ko'chira olmaysiz. Bundan tashqari, agar siz o'lchovga chizsangiz: 1 birlik. = 1 sm (ikkita daftar xujayrasi), keyin olingan javobni to'g'ridan-to'g'ri segment uzunligini o'lchash orqali oddiy o'lchagich bilan tekshirish mumkin.

Ha, yechim qisqa, lekin unda yana bir nechta narsa bor muhim nuqtalar Men aniqlik kiritmoqchiman:

Birinchidan, javobda biz o'lchamni qo'yamiz: "birliklar". Shart NIMA ekanligini, millimetr, santimetr, metr yoki kilometrni aytmaydi. Shuning uchun, matematik jihatdan to'g'ri echim umumiy formula bo'ladi: "birliklar" - "birliklar" deb qisqartiriladi.

Ikkinchidan, maktab materialini takrorlaymiz, bu nafaqat ko'rib chiqilgan vazifa uchun foydalidir:

e'tibor bering muhim texnika – multiplikatorni ildiz ostidan olib tashlash. Hisob-kitoblar natijasida bizda natija bor va yaxshi matematik uslub omilni ildiz ostidan olib tashlashni o'z ichiga oladi (agar iloji bo'lsa). Batafsilroq, jarayon quyidagicha ko'rinadi: . Albatta, javobni o‘z holicha qoldirish xato bo‘lmaydi – lekin bu, albatta, kamchilik va o‘qituvchining gap-so‘zlari uchun jiddiy dalil bo‘lardi.

Bu erda boshqa keng tarqalgan holatlar:

Ko'pincha ildizda etarli katta raqam, Masalan . Bunday hollarda nima qilish kerak? Kalkulyator yordamida sonning 4 ga bo'linishini tekshiramiz: . Ha, u butunlay bo'lingan, shunday qilib: . Yoki bu raqamni yana 4 ga bo'lish mumkinmi? . Shunday qilib: . Raqamning oxirgi raqami toq, shuning uchun uchinchi marta 4 ga bo'lish ishlamasligi aniq. Keling, to'qqizga bo'lishga harakat qilaylik: . Natijada:
Tayyor.

Xulosa: agar ildiz ostida biz bir butun sifatida chiqarib bo'lmaydigan raqamni olsak, u holda biz koeffitsientni ildiz ostidan olib tashlashga harakat qilamiz - kalkulyator yordamida raqamning bo'linishini tekshiramiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 va boshqalar.

Qaror qabul qilish paytida turli vazifalar ildizlar keng tarqalgan bo'lib, o'qituvchining izohlari asosida yechimlarni yakunlashda past baho va keraksiz muammolarni oldini olish uchun har doim ildiz ostidan omillarni ajratib olishga harakat qiling.

Keling, kvadrat ildizlarni va boshqa kuchlarni takrorlaymiz:

Darajalar bilan harakatlar qoidalari umumiy ko'rinish algebra bo'yicha maktab darsligida topish mumkin, lekin menimcha, berilgan misollardan hamma narsa yoki deyarli hamma narsa allaqachon aniq.

Kosmosdagi segment bilan mustaqil hal qilish vazifasi:

4-misol

Ballar va beriladi. Segment uzunligini toping.

Yechim va javob dars oxirida.

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Agar tekislik vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi.

Agar fazo vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi .

Avvalo, vektor tushunchasini tushunishimiz kerak. Geometrik vektorning ta'rifi bilan tanishish uchun segment nima ekanligini eslaylik. Keling, quyidagi ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif 1

Segment nuqtalar ko'rinishida ikkita chegaraga ega bo'lgan chiziqning bir qismidir.

Segment 2 ta yo'nalishga ega bo'lishi mumkin. Yo'nalishni belgilash uchun segment chegaralaridan birini uning boshlanishi, ikkinchi chegarasini esa oxiri deb ataymiz. Yo'nalish segmentning boshidan oxirigacha ko'rsatilgan.

Ta'rif 2

Biz vektor yoki yo'naltirilgan segmentni segmentning qaysi chegarasi boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ma'lum bo'lgan segment deb ataymiz.

Belgilanishi: Ikki harfda: $\overline(AB)$ - (bu erda $A$ uning boshlanishi va $B$ oxiri).

Bitta kichik harfda: $\overline(a)$ (1-rasm).

Keling, to'g'ridan-to'g'ri vektor uzunliklari tushunchasini kiritaylik.

Ta'rif 3

$\overline(a)$ vektorining uzunligi $a$ segmentining uzunligi bo'ladi.

Belgilash: $|\overline(a)|$

Vektor uzunligi tushunchasi, masalan, ikkita vektorning tengligi kabi tushuncha bilan bog'liq.

Ta'rif 4

Ikki vektor ikkita shartni qanoatlantirsa, ularni teng deb ataymiz: 1. Ular koordinatali; 1. Ularning uzunliklari teng (2-rasm).

Vektorlarni aniqlash uchun koordinatalar tizimini kiriting va kiritilgan tizimdagi vektor uchun koordinatalarni aniqlang. Ma'lumki, har qanday vektor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ko'rinishida parchalanishi mumkin, bunda $m$ va $n$ haqiqiy sonlar va $\overline (i )$ va $\overline(j)$ mos ravishda $Ox$ va $Oy$ oʻqlaridagi birlik vektorlari.

Ta'rif 5

$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ vektorining kengayish koeffitsientlarini kiritilgan koordinatalar sistemasidagi bu vektorning koordinatalari deb ataymiz. Matematik jihatdan:

$\overline(c)=(m,n)$

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Koordinatalari berilgan ixtiyoriy vektor uzunligini hisoblash formulasini olish uchun quyidagi masalani ko'rib chiqing:

1-misol

Berilgan: $\overline(a)$ vektori $(x,y)$ koordinatalari bilan. Toping: bu vektorning uzunligi.

Samolyotga $xOy$ Dekart koordinata tizimini joriy qilaylik. Keling, kiritilgan koordinatalar tizimining kelib chiqishidan $\overline(OA)=\overline(a)$ ni ajratib qo'yaylik. Tuzilgan vektorning $OA_1$ va $OA_2$ proyeksiyalarini mos ravishda $Ox$ va $Oy$ oʻqlarida tuzamiz (3-rasm).

Biz tuzgan $\overline(OA)$ vektori $A$ nuqtasi uchun radius vektori bo‘ladi, shuning uchun u $(x,y)$ koordinatalariga ega bo‘ladi, ya’ni

$=x$, $[OA_2]=y$

Endi biz Pifagor teoremasi yordamida kerakli uzunlikni osongina topishimiz mumkin, biz olamiz

$|\overline(a)|^2=^2+^2$

$|\overline(a)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(a)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Javob: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Xulosa: Koordinatalari berilgan vektor uzunligini topish uchun bu koordinatalar yig'indisi kvadratining ildizini topish kerak.

Namuna vazifalari

2-misol

Quyidagi koordinatalarga ega bo'lgan $X$ va $Y$ nuqtalari orasidagi masofani toping: mos ravishda $(-1,5)$ va $(7,3)$.

Har qanday ikkita nuqta vektor tushunchasi bilan osongina bog'lanishi mumkin. Masalan, $\overline(XY)$ vektorini ko'rib chiqaylik. Bizga ma'lumki, bunday vektorning koordinatalarini yakuniy nuqtaning ($Y$) koordinatalaridan boshlang'ich nuqtasi ($X$) mos keladigan koordinatalarini ayirish yo'li bilan topish mumkin. Biz buni tushunamiz