Kvadrat funksiya grafigining xarakteristikasi. Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin? Kvadrat funksiyaning grafigini tuzish

- — [] kvadrat funktsiya y= ax2 + bx + c (a ? 0) ko'rinishdagi funktsiya. Grafik K.f. - cho'qqisi koordinatalari [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] bo'lgan, parabolaning a>0 shoxlari bo'lgan parabola ... ...

KVADRAT FUNKSIYA, qiymati mustaqil o'zgaruvchining kvadratiga bog'liq bo'lgan matematik funktsiya, x va mos ravishda kvadratik POLINOMIAL tomonidan beriladi, masalan: f(x) = 4x2 + 17 yoki f(x) = x2 + 3x + 2. shuningdek qarang: Kvadrat tenglama... Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

Kvadrat funksiya- Kvadrat funksiya - y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) ko'rinishdagi funksiya. Grafik K.f. - cho'qqisi koordinatalari [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] bo'lgan parabola, a> 0 uchun parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, a uchun.< 0 –вниз… …

- (kvadrat) ega bo'lgan funktsiya keyingi ko'rinish: u=ah2+bx+s, bu yerda a≠0 va eng yuqori daraja x - kvadrat. Kvadrat tenglama y=ax2 +bx+c=0 quyidagi formula yordamida ham yechish mumkin: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Bu ildizlar haqiqiy ... Iqtisodiy lug'at

S affin fazodagi affin kvadratik funksiya har qanday Q funksiyadir: S→K vektorlashgan shaklda Q(x)=q(x)+l(x)+c ko‘rinishga ega, bu yerda q kvadratik funksiya, l. chiziqli funksiya, c doimiy. Mundarija 1 Malumot nuqtasini o'zgartirish 2 ... ... Vikipediya

Affin fazodagi affin kvadratik funktsiya vektorlashgan shaklda ko'rinishga ega bo'lgan har qanday funktsiyadir, bu erda simmetrik matritsa, chiziqli funktsiya, doimiy. Mundarija... Vikipediya

Vektor koordinatalarida ikkinchi darajali bir jinsli ko'phad bilan aniqlangan vektor fazodagi funksiya. Mundarija 1 Ta'rif 2 Tegishli ta'riflar... Vikipediya

- statistik qarorlar nazariyasida kuzatilgan ma'lumotlar asosida noto'g'ri qaror qabul qilish natijasidagi yo'qotishlarni tavsiflovchi funktsiyadir. Agar shovqin fonida signal parametrini baholash muammosi hal qilinsa, u holda yo'qotish funktsiyasi nomuvofiqlik o'lchovidir... ... Vikipediya

maqsad funktsiyasi- - [Ya.N.Luginskiy, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kabirov. Elektrotexnika va energetikaning inglizcha-ruscha lug'ati, Moskva, 1999] maqsad funktsiyasi Ekstremal masalalarda minimal yoki maksimalni topish kerak bo'lgan funktsiya. Bu…… Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Ob'ektiv funktsiya- ekstremal masalalarda minimal yoki maksimalni topish kerak bo'lgan funksiya. Bu optimal dasturlashda asosiy tushunchadir. C.f ekstremumini topib. va shuning uchun unga o'tadigan boshqariladigan o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlab, ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Kitoblar

• Jadvallar to'plami. Matematika. Funktsiyalar grafiklari (10 ta jadval), . 10 varaqdan iborat o'quv albomi. Chiziqli funksiya. Funksiyalarning grafik va analitik belgilanishi. Kvadrat funksiya. Grafik konvertatsiya kvadratik funktsiya. y=sinx funktsiyasi. Funktsiya y=cosx.…
• Maktab matematikasining eng muhim vazifasi kvadratik - muammolar va echimlarda, Petrov N.N.. Kvadrat funktsiya asosiy funktsiyadir. maktab kursi matematika. Bu ajablanarli emas. Bir tomondan, bu funktsiyaning soddaligi va boshqa tomondan, chuqur ma'no. Maktabning ko'plab vazifalari ...

Ko'pgina muammolar maksimal yoki hisoblashni talab qiladi minimal qiymat kvadratik funktsiya. Agar asl funktsiya yozilgan bo'lsa, maksimal yoki minimalni topish mumkin standart shakl: yoki parabolaning uchi koordinatalari orqali: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Bundan tashqari, har qanday kvadratik funktsiyaning maksimal yoki minimal qiymatini matematik amallar yordamida hisoblash mumkin.

Qadamlar

Kvadrat funksiya standart shaklda yoziladi

Funksiyani standart shaklda yozing. Kvadrat funksiya - bu tenglamasi o'zgaruvchini o'z ichiga olgan funksiya x 2 (\displaystyle x^(2)). Tenglama o'zgaruvchini o'z ichiga olishi yoki bo'lmasligi mumkin x (\displaystyle x). Agar tenglama ko'rsatkichi 2 dan katta bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olsa, u kvadrat funktsiyani tavsiflamaydi. Agar kerak bo'lsa, shunga o'xshash shartlarni taqdim eting va funksiyani standart shaklda yozish uchun ularni o'zgartiring.

• Masalan, funksiya berilgan f (x) = 3 x + 2 x - x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). O'zgaruvchi bilan atamalar qo'shing x 2 (\displaystyle x^(2)) va o'zgaruvchiga ega a'zolar x (\displaystyle x) tenglamani standart shaklda yozish uchun:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir. Parabola shoxlari yuqoriga yoki pastga yo'naltirilgan. Agar koeffitsient bo'lsa a (\displaystyle a) o'zgaruvchi bilan x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x - 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Bu yerga a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = - 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Demak, bu erda parabola pastga yo'naltirilgan.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Bu yerga a = 1 (\displaystyle a=1), shuning uchun parabola yuqoriga yo'naltirilgan.
   • Agar parabola yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, siz uning minimalini qidirishingiz kerak. Agar parabola pastga qaragan bo'lsa, uning maksimal qiymatini qidiring.

2. Hisoblash -b/2a. Ma'nosi − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) koordinatasi hisoblanadi x (\displaystyle x) parabolaning uchlari. Kvadrat funksiya standart shaklda yozilsa a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), uchun koeffitsientlardan foydalaning x (\displaystyle x) Va x 2 (\displaystyle x^(2)) quyida bayon qilinganidek:

   • Funktsiya koeffitsientlarida a = 1 (\displaystyle a=1) Va b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = - 10 (2) (1) (\ displaystyle x = - (\ frac (10) ((2) (1))))
     • x = - 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Ikkinchi misol sifatida, funktsiyani ko'rib chiqing. Bu yerga a = - 3 (\displaystyle a=-3) Va b = 6 (\displaystyle b=6). Shuning uchun parabola cho'qqisining "x" koordinatasini quyidagicha hisoblang:
     • x = - b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\ displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. f(x) ning mos qiymatini toping. f(x) ning mos keladigan qiymatini topish uchun topilgan “x” qiymatini asl funktsiyaga ulang. Shu tarzda siz funktsiyaning minimal yoki maksimal qiymatini topasiz.

   • Birinchi misolda f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) siz parabola cho'qqisining x koordinatasi ekanligini hisoblab chiqdingiz x = - 5 (\displaystyle x=-5). Asl funktsiyada, o'rniga x (\displaystyle x) almashtirmoq − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = - 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Ikkinchi misolda f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) parabola cho'qqisining x koordinatasi ekanligini topdingiz x = 1 (\displaystyle x=1). Asl funktsiyada, o'rniga x (\displaystyle x) almashtirmoq 1 (\displaystyle 1) uning maksimal qiymatini topish uchun:
     • f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Javobingizni yozib qoldiring. Muammo bayonotini qayta o'qing. Agar siz parabola cho'qqisining koordinatalarini topishingiz kerak bo'lsa, javobingizda ikkala qiymatni ham yozing. x (\displaystyle x) Va y (\displaystyle y)(yoki f (x) (\displaystyle f(x))). Agar siz funktsiyaning maksimal yoki minimalini hisoblashingiz kerak bo'lsa, javobingizda faqat qiymatni yozing y (\displaystyle y)(yoki f (x) (\displaystyle f(x))). Yana koeffitsient belgisiga qarang a (\displaystyle a) maksimal yoki minimalni hisoblaganingizni tekshirish uchun.

   • Birinchi misolda f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) ma'nosi a (\displaystyle a) ijobiy, shuning uchun siz minimalni hisoblab chiqdingiz. Parabolaning cho'qqisi koordinatalari bo'lgan nuqtada yotadi (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), va funksiyaning minimal qiymati − 26 (\displaystyle -26).
   • Ikkinchi misolda f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) ma'nosi a (\displaystyle a) salbiy, shuning uchun siz maksimalni topdingiz. Parabolaning cho'qqisi koordinatalari bo'lgan nuqtada yotadi (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), va funksiyaning maksimal qiymati − 1 (\displaystyle -1).

5. Parabolaning yo'nalishini aniqlang. Buning uchun koeffitsient belgisiga qarang a (\displaystyle a). Agar koeffitsient bo'lsa a (\displaystyle a) ijobiy, parabola yuqoriga yo'naltirilgan. Agar koeffitsient bo'lsa a (\displaystyle a) manfiy, parabola pastga yo'naltirilgan. Masalan:

   • . Bu yerga a = 2 (\displaystyle a=2), ya'ni koeffitsient musbat, shuning uchun parabola yuqoriga yo'naltirilgan.
   • . Bu yerga a = - 3 (\displaystyle a=-3), ya'ni koeffitsient manfiy, shuning uchun parabola pastga yo'naltirilgan.
   • Agar parabola yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, siz funktsiyaning minimal qiymatini hisoblashingiz kerak. Agar parabola pastga yo'naltirilgan bo'lsa, siz funktsiyaning maksimal qiymatini topishingiz kerak.

6. Funksiyaning minimal yoki maksimal qiymatini toping. Agar funktsiya parabola tepasining koordinatalari orqali yozilsa, minimal yoki maksimal koeffitsient qiymatiga teng bo'ladi. k (\displaystyle k). Yuqoridagi misollarda:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Bu yerga k = - 4 (\displaystyle k=-4). Bu funktsiyaning minimal qiymati, chunki parabola yuqoriga yo'naltirilgan.
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Bu yerga k = 2 (\displaystyle k=2). Bu funktsiyaning maksimal qiymati, chunki parabola pastga yo'naltirilgan.

7. Parabolaning uchi koordinatalarini toping. Agar muammo parabolaning uchini topishni talab qilsa, uning koordinatalari shunday bo'ladi (h , k) (\displaystyle (h,k)). Esda tutingki, kvadratik funktsiya parabola tepasining koordinatalari orqali yozilsa, ayirish amali qavs ichiga olinishi kerak. (x − h) (\displaystyle (x-h)), shuning uchun qiymat h (\displaystyle h) qarama-qarshi belgi bilan olinadi.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Bu yerda qo‘shish amali (x+1) qavslar ichiga olinadi, uni quyidagicha qayta yozish mumkin: (x-(-1)). Shunday qilib, h = - 1 (\displaystyle h=-1). Demak, bu funktsiyaning parabola cho'qqisining koordinatalari teng (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Bu erda qavs ichida ifoda (x-2) joylashgan. Demak, h = 2 (\displaystyle h=2). Tepalikning koordinatalari (2,2).

Matematik operatsiyalar yordamida minimal yoki maksimalni qanday hisoblash mumkin

1. Birinchidan, tenglamaning standart shaklini ko'rib chiqaylik. Kvadrat funksiyani standart shaklda yozing: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Agar kerak bo'lsa, o'xshash shartlarni qo'shing va standart tenglamani olish uchun ularni qayta tartibga soling.

   • Masalan: .

2. Birinchi hosilani toping. Kvadrat funksiyaning standart shaklda yozilgan birinchi hosilasi ga teng f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 - 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Ushbu funktsiyaning birinchi hosilasi quyidagicha hisoblanadi:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Hosilni nolga tenglashtiring. Eslatib o'tamiz, funktsiyaning hosilasi funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi qiyaligiga teng. Minimal yoki maksimal qiyalik nolga teng. Shuning uchun funktsiyaning minimal yoki maksimal qiymatini topish uchun hosila nolga teng bo'lishi kerak. Bizning misolimizda.

15-dars.
Imkoniyatlarning ta'siria, b VaBilan joyga
kvadratik funksiya grafigi

Maqsadlar: kvadratik funktsiyaning grafigini tuzish va uning xossalarini sanab o'tish qobiliyatini rivojlantirishni davom ettirish; koeffitsientlarning ta'sirini aniqlash A, b Va Bilan kvadratik funktsiya grafigining joylashuvi bo'yicha.

Darsning borishi

I. Tashkiliy moment.

II. Og'zaki ish.

Rasmda qaysi funktsiya grafigi ko'rsatilganligini aniqlang:

da = X 2 – 2X – 1;

da = –2X 2 – 8X;

da = X 2 – 4X – 1;

da = 2X 2 + 8X + 7;

da = 2X 2 – 1.

b)

da = X 2 – 2X;

da = –X 2 + 4X + 1;

da = –X 2 – 4X + 1;

da = –X 2 + 4X – 1;

da = –X 2 + 2X – 1.

III. Ko'nikma va malakalarni shakllantirish.

Mashqlar:

1. № 127 (a).

Yechim

Streyt da = 6X + b parabolaga tegadi da = X 2 + 8, ya'ni 6 tenglama bo'lsa, u bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega X + b = X 2 + 8 o'ziga xos echimga ega bo'ladi.

Bu tenglama kvadrat, uning diskriminantini topamiz:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 + bo'lsa, 1 = 0 b= 0, ya'ni b= –1.

Javob: b= –1.

3. Koeffitsientlarning ta'sirini aniqlang A, b Va Bilan funktsiya grafigining joylashuvi bo'yicha da = Oh 2 + bx + Bilan.

Talabalar bu vazifani mustaqil bajarish uchun yetarli bilimga ega. Ular koeffitsientlarning har birining "asosiy" rolini ta'kidlab, barcha topilmalarini daftarga yozishni taklif qilishlari kerak.

1) koeffitsient A parabolaning shoxlari yo'nalishiga ta'sir qiladi: qachon A> 0 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, bilan A < 0 – вниз.

2) koeffitsient b parabola cho'qqisining joylashishiga ta'sir qiladi. At b= 0 cho'qqisi o'qda yotadi oh.

3) koeffitsient Bilan parabolaning o'qi bilan kesishish nuqtasini ko'rsatadi Op-amp.

Shundan so'ng, koeffitsientlar haqida nima deyish mumkinligini ko'rsatish uchun misol keltirilishi mumkin A, b Va Bilan funksiya grafigiga ko'ra.

Ma'nosi Bilan aniq chaqirish mumkin: chunki grafik o'qni kesib o'tadi Op-amp nuqtada (0; 1), keyin Bilan = 1.

Koeffitsient A nol bilan solishtirish mumkin: parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilganligi sababli A < 0.

Koeffitsient belgisi b parabolaning uchining abssissasini aniqlovchi formuladan bilib olish mumkin: T= , beri A < 0 и T= 1, keyin b> 0.

4. Koeffitsientlar qiymatidan kelib chiqib, rasmda qaysi funktsiya grafigi ko'rsatilganligini aniqlang A, b Va Bilan.

da = –X 2 + 2X;

da = X 2 + 2X + 2;

da = 2X 2 – 3X – 2;

da = X 2 – 2.

Yechim

A, b Va Bilan:

A> 0, chunki parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan;

b Op-amp;

Bilan= –2, chunki parabola ordinatani (0; –2) nuqtada kesishadi.

da = 2X 2 – 3X – 2.

da = X 2 – 2X;

da = –2X 2 + X + 3;

da = –3X 2 – X – 1;

da = –2,7X 2 – 2X.

Yechim

Ko'rsatilgan grafik asosida koeffitsientlar bo'yicha quyidagi xulosalar chiqaramiz A, b Va Bilan:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, chunki parabolaning tepasi o'qda yotmaydi Op-amp;

Bilan= 0, chunki parabola o'qni kesib o'tadi Op-amp nuqtada (0; 0).

Bu shartlarning barchasi faqat funktsiya tomonidan qondiriladi da = –2,7X 2 – 2X.

5. Funksiya grafigiga ko`ra da = Oh 2 + bx + Bilan A, b Va Bilan:

A) b)

Yechim

a) Parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, shuning uchun A > 0.

Parabola pastki yarim tekislikda ordinata o'qini kesib o'tadi, shuning uchun Bilan < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Parabola cho'qqisining abssissasini topish uchun formuladan foydalanamiz: T= . Grafikdan buni ko'rish mumkin T < 0, и мы определим, что A> 0. Shuning uchun b> 0.

b) Xuddi shunday, koeffitsientlarning belgilarini aniqlaymiz A, b Va Bilan:

A < 0, Bilan > 0, b< 0.

Akademik jihatdan kuchli talabalarga 247-sonni to'ldirish uchun qo'shimcha imkoniyat berilishi mumkin.

Yechim

da = X 2 + px + q.

a) Vyeta teoremasiga ko'ra, ma'lumki, agar X 1 va X 2 – tenglamaning ildizlari X 2 +
+ px + q= 0 (ya'ni, bu funktsiyaning nollari), keyin X 1 · X 2 = q Va X 1 + X 2 = –r. Biz buni tushunamiz q= 3 4 = 12 va r = –(3 + 4) = –7.

b) Parabolaning o'q bilan kesishish nuqtasi Op-amp parametr qiymatini beradi q, ya'ni q= 6. Agar funktsiya grafigi o'qni kesib o'tsa OH nuqtada (2; 0), u holda 2 raqami tenglamaning ildizi bo'ladi X 2 + px + q= 0. Qiymatni almashtirish X Bu tenglamada = 2, biz buni olamiz r = –5.

c) Bu kvadrat funktsiya parabola cho'qqisida minimal qiymatiga etadi, shuning uchun r= –12. Shart bo'yicha, funktsiyaning qiymati da = X 2 – 12X + q nuqtada x= 6 ga teng 24. O'rnini bosish x= 6 va da= 24 V bu funksiya, biz buni topamiz q= 60.

IV. Test ishi.

Variant 1

1. Funksiyaning grafigini chizing da = 2X 2 + 4X– 6 va grafik yordamida toping:

a) funksiyaning nollari;

b) intervallar da> 0 va y < 0;

G) eng kichik qiymat funktsiyalari;

e) funksiya diapazoni.

2. Funksiyaning grafigini tuzmasdan da = –X 2 + 4X, toping:

a) funksiyaning nollari;

c) funksiya diapazoni.

3. Funksiya grafigiga ko`ra da = Oh 2 + bx + Bilan koeffitsientlarning belgilarini aniqlang A, b Va Bilan:

Variant 2

1. Funksiyaning grafigini chizing da = –X 2 + 2X+ 3 va grafik yordamida toping:

a) funksiyaning nollari;

b) intervallar da> 0 va y < 0;

v) ortib boruvchi va kamayuvchi funksiya intervallari;

G) eng yuqori qiymat funktsiyalari;

e) funksiya diapazoni.

2. Funksiyaning grafigini tuzmasdan da = 2X 2 + 8X, toping:

a) funksiyaning nollari;

b) ortib boruvchi va kamayuvchi funksiya intervallari;

c) funksiya diapazoni.

3. Funksiya grafigiga ko`ra da = Oh 2 + bx + Bilan koeffitsientlarning belgilarini aniqlang A, b Va Bilan:

V. Darsning xulosasi.

Tez-tez beriladigan savollar:

– Kvadrat funksiyani qurish algoritmini aytib bering.

– Funktsiyaning xususiyatlarini sanab bering da = Oh 2 + bx + Bilan da A> 0 va da A < 0.

- Imkoniyatlar qanday ta'sir qiladi A, b Va Bilan kvadratik funksiya grafigining joylashuvi bo'yicha?

Uy vazifasi: No 127 (b), No 128, 248-son.

QO'SHIMCHA: № 130.

Maktabdagi matematika darslarida siz funktsiyaning eng oddiy xossalari va grafigi bilan allaqachon tanishgansiz. y = x 2. Keling, bilimlarimizni kengaytiraylik kvadratik funktsiya.

Vazifa 1.

Funksiyaning grafigini tuzing y = x 2. Masshtab: 1 = 2 sm Oy o'qida nuqtani belgilang F(0; 1/4). Kompas yoki qog'oz chizig'idan foydalanib, nuqtadan masofani o'lchang F bir nuqtaga M parabolalar. Keyin chiziqni M nuqtasiga mahkamlang va vertikal bo'lguncha uni shu nuqta atrofida aylantiring. Ipning oxiri x o'qidan biroz pastga tushadi (1-rasm). X o'qidan qanchalik uzoqqa cho'zilganini chiziqda belgilang. Endi parabolaning yana bir nuqtasini oling va o'lchovni yana takrorlang. Chiziqning cheti x o'qidan qancha pastga tushgan?

Natija: y = x 2 parabolaning qaysi nuqtasini olsangiz ham, bu nuqtadan F(0; 1/4) nuqtagacha bo'lgan masofa bir xil nuqtadan abscissa o'qiga bo'lgan masofadan har doim bir xil songa katta bo'ladi - 1/4 tomonidan.

Buni boshqacha aytishimiz mumkin: parabolaning istalgan nuqtasidan (0; 1/4) nuqtagacha bo‘lgan masofa parabolaning bir xil nuqtasidan y = -1/4 to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofaga teng. Bu ajoyib nuqta F(0; 1/4) deyiladi diqqat parabolalar y = x 2 va to'g'ri chiziq y = -1/4 - direktor bu parabola. Har bir parabolada direktrisa va fokus mavjud.

Parabolaning qiziqarli xususiyatlari:

1. Parabolaning har qanday nuqtasi qaysidir nuqtadan teng masofada joylashgan bo'lib, uni parabolaning fokusi deb ataladi va qandaydir to'g'ri chiziq uning direktrisasi deb ataladi.

2. Agar siz parabolani simmetriya o‘qi atrofida aylantirsangiz (masalan, y = x 2 parabolani Oy o‘qi atrofida), siz inqilob paraboloidi deb ataladigan juda qiziq sirtga ega bo‘lasiz.

Aylanadigan idishdagi suyuqlik yuzasi inqilob paraboloidi shakliga ega. To'liq bo'lmagan stakan choyda qoshiq bilan kuchli aralashtirib, keyin qoshiqni olib tashlasangiz, bu sirtni ko'rishingiz mumkin.

3. Agar toshni ufqqa ma'lum burchak ostida bo'shliqqa tashlasangiz, u parabolada uchadi. (2-rasm).

4. Agar konusning sirtini uning har qanday generatrisasiga parallel tekislik bilan kesib o‘tsangiz, kesma natijasida parabola hosil bo‘ladi. (3-rasm).

5. Ko‘ngilochar bog‘larda ba’zan “Mo‘jizalar Paraboloidi” deb nomlangan qiziqarli sayohat o‘tkaziladi. Aylanadigan paraboloid ichida turgan har bir kishiga u erda turganga o'xshaydi, qolgan odamlar esa qandaydir tarzda mo''jizaviy tarzda devorlarni ushlab turishadi.

6. Ko'rsatuvchi teleskoplarda parabolik nometalllardan ham foydalaniladi: teleskop oynasiga tushgan parallel nurda kelayotgan uzoq yulduzning yorug'ligi fokusga to'planadi.

7. Projektorlar odatda paraboloid shaklidagi oynaga ega. Agar siz yorug'lik manbasini paraboloidning markaziga qo'ysangiz, u holda nurlar aks etadi parabolik oyna, parallel nur hosil qiladi.

Kvadrat funksiyaning grafigini tuzish

Matematika darslarida siz y = x 2 funktsiya grafigidan ko'rinishdagi funktsiyalarning grafiklarini qanday olishni o'rgandingiz:

1) y = bolta 2– y = x 2 grafigini |a|da Oy o‘qi bo‘ylab cho‘zish marta ( |a| bilan< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, guruch. 4).

2) y = x 2 + n– grafikni Oy o‘qi bo‘yicha n ta birlikka siljitish, agar n > 0 bo‘lsa, siljish yuqoriga, agar n bo‘lsa< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafikning Ox o'qi bo'ylab m birlikka siljishi: agar m< 0, то вправо, а если m >0, keyin chap, (5-rasm).

4) y = -x 2– y = x 2 grafigining Ox o'qiga nisbatan simmetrik displey.

Keling, funktsiyaning grafigini batafsil ko'rib chiqaylik y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ko'rinishdagi kvadrat funktsiya har doim shaklga keltirilishi mumkin.

y = a(x – m) 2 + n, bu yerda m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Keling, buni isbotlaylik.

Haqiqatan ham,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Keling, yangi belgilar bilan tanishamiz.

Mayli m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

u holda y = a(x – m) 2 + n yoki y – n = a(x – m) 2 ni olamiz.

Yana bir qancha almashtirishlarni amalga oshiramiz: y – n = Y, x – m = X (*) bo‘lsin.

Keyin grafigi parabola bo'lgan Y = aX 2 funksiyani olamiz.

Parabolaning tepasi koordinata boshida joylashgan. X = 0; Y = 0.

Cho'qqi koordinatalarini (*) ga almashtirib, y = a(x – m) 2 + n grafik cho'qqisining koordinatalarini olamiz: x = m, y = n.

Shunday qilib, sifatida ifodalangan kvadratik funktsiyani chizish uchun

y = a(x – m) 2 + n

o'zgartirishlar orqali siz quyidagilarni davom ettirishingiz mumkin:

a) y = x 2 funksiya grafigini tuzing;

b) Ox o'qi bo'ylab m birlik va Oy o'qi bo'ylab n birlik bilan parallel ko'chirish orqali - parabola cho'qqisini koordinatali nuqtaga (m; n) o'tkazing. (6-rasm).

O'zgarishlarni yozib olish:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Misol.

Transformatsiyalardan foydalanib, dekart koordinata tizimidagi y = 2(x – 3) 2 funksiya grafigini tuzing. – 2.

Yechim.

Transformatsiyalar zanjiri:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Chizma rasmda ko'rsatilgan guruch. 7.

Kvadrat funktsiyalarning grafiklarini o'zingiz mashq qilishingiz mumkin. Masalan, transformatsiyalar yordamida y = 2(x + 3) 2 + 2 funktsiyasining grafigini tuzing. Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki o'qituvchidan maslahat olmoqchi bo'lsangiz, unda sizda o'tkazish imkoniyati mavjud onlayn o'qituvchi bilan bepul 25 daqiqalik dars ro'yxatdan o'tgandan keyin. uchun keyingi ish O'qituvchingiz bilan siz o'zingizga mos tarif rejasini tanlashingiz mumkin.

Hali ham savollaringiz bormi? Kvadrat funksiyaning grafigini qanday tuzishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.