Funktsiya intervalgacha ortadi. Funktsiyani oshirish va kamaytirishning etarli belgilari

O'sish funksiyasining ta'rifi.

Funktsiya y=f(x) oraliqda ortadi X, agar mavjud bo'lsa va tengsizlik mavjud. Boshqa so'zlar bilan aytganda - yuqoriroq qiymat argument funksiyaning kattaroq qiymatiga mos keladi.

Kamayuvchi funktsiyaning ta'rifi.

Funktsiya y=f(x) oraliqda kamayadi X, agar mavjud bo'lsa va tengsizlik mavjud . Boshqacha qilib aytganda, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

QAYD: agar funktsiya o'sish yoki pasayish oralig'ining oxirida aniqlangan va uzluksiz bo'lsa (a;b), ya'ni qachon x=a Va x=b, keyin bu nuqtalar ortish yoki pasayish oralig'iga kiradi. Bu oraliqdagi ortib boruvchi va kamayuvchi funksiya ta'riflariga zid emas X.

Masalan, asosiy elementar funksiyalarning xossalaridan shuni bilamiz y=sinx argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlangan va uzluksiz. Demak, oraliqda sinus funksiyasining ortishidan uning oraliqda ortib borishini aytishimiz mumkin.

Funksiyaning ekstremal nuqtalari, ekstremal nuqtalari.

Nuqta deyiladi maksimal nuqta funktsiyalari y=f(x), agar hamma uchun x uning qo'shniligidan tengsizlik o'rinlidir. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati deyiladi funktsiyaning maksimal qiymati va belgilang.

Nuqta deyiladi minimal nuqta funktsiyalari y=f(x), agar hamma uchun x uning qo'shniligidan tengsizlik o'rinlidir. Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymati deyiladi minimal funktsiya va belgilang.

Nuqtaning qo‘shnisi deganda interval tushuniladi , bu yerda yetarlicha kichik musbat son.

Minimal va maksimal nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar, va ekstremum nuqtalarga mos keladigan funktsiya qiymatlari deyiladi funktsiyaning ekstremal qismi.

Funktsiyaning ekstremalini funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari bilan aralashtirib yubormang.

Birinchi rasmda eng yuqori qiymat oraliqdagi funktsiyalar maksimal nuqtada erishiladi va funktsiyaning maksimal qiymatiga teng bo'ladi va ikkinchi rasmda - nuqtada funktsiyaning eng yuqori qiymatiga erishiladi. x=b, bu maksimal nuqta emas.

Funktsiyalarni oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlar.

Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar (belgilar) asosida funksiyaning ortish va kamayish intervallari topiladi.

Intervaldagi o'sish va kamayuvchi funktsiyalar belgilarining formulalari:

funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun ijobiy x oraliqdan X, keyin funksiya ga ortadi X;

funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun salbiy x oraliqdan X, keyin funktsiya ga kamayadi X.

Shunday qilib, funktsiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

Algoritmni tushuntirish uchun funksiyalarning ortish va kamayish oraliqlarini topish misolini ko‘rib chiqamiz.

Misol.

Funksiyaning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini toping.

Yechim.

Birinchi qadam funktsiyaning ta'rifini topishdir. Bizning misolimizda maxrajdagi ifoda nolga chiqmasligi kerak, demak, .

Funktsiyaning hosilasini topishga o'tamiz:

Etarli mezon asosida funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash uchun ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechamiz. Interval usulini umumlashtirishdan foydalanamiz. Numeratorning yagona haqiqiy ildizi x = 2, va maxraj da nolga tushadi x=0. Bu nuqtalar aniqlanish sohasini funktsiyaning hosilasi o'z belgisini saqlab qoladigan intervallarga ajratadi. Keling, bu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz. Biz shartli ravishda hosila ijobiy yoki salbiy bo'lgan oraliqlarni ortiqcha va minuslar bilan belgilaymiz. Quyidagi o'qlar sxematik ravishda mos keladigan intervalda funktsiyaning ortishi yoki kamayishini ko'rsatadi.

Juda muhim ma'lumotlar funktsiyaning xatti-harakati haqida ortish va pasayish intervallarini ta'minlaydi. Ularni topish funksiyani tekshirish va grafikni tuzish jarayonining bir qismidir. Bundan tashqari, o'sishdan pasayishga yoki pasayishdan o'sishga o'tish bo'lgan ekstremum nuqtalar berilgan. alohida e'tibor ma'lum bir oraliqda funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishda.

Ushbu maqolada biz beramiz zarur ta'riflar, keling, oraliqda funktsiyaning ortishi va kamayishi uchun etarli mezonni va ekstremum mavjudligi uchun etarli shartlarni tuzamiz va bu nazariyani misollar va muammolarni hal qilishda qo'llaymiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Intervalda o'sish va kamaytirish funksiyasi.

O'sish funksiyasining ta'rifi.

y=f(x) funksiya X oraliqda, agar mavjud bo'lsa va bo'lsa ortadi tengsizlik mavjud. Boshqacha qilib aytganda, kattaroq argument qiymati kattaroq funktsiya qiymatiga mos keladi.

Kamayuvchi funktsiyaning ta'rifi.

y=f(x) funksiya X oraliqda va agar mavjud bo'lsa, kamayadi tengsizlik mavjud . Boshqacha qilib aytganda, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

ESLATMA: agar funktsiya ortib boruvchi yoki kamayuvchi interval (a;b) uchlarida, ya’ni x=a va x=b nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, u holda bu nuqtalar ortib boruvchi yoki kamayuvchi intervalga kiritiladi. Bu X oraliqdagi ortib boruvchi va kamayuvchi funksiya ta’riflariga zid emas.

Masalan, asosiyning xususiyatlaridan elementar funktsiyalar y=sinx argumentning barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlangan va uzluksiz ekanligini bilamiz. Demak, oraliqda sinus funksiyasining ortishidan uning oraliqda ortib borishini aytishimiz mumkin.

Funksiyaning ekstremal nuqtalari, ekstremal nuqtalari.

Nuqta deyiladi maksimal nuqta y=f(x) funksiya, agar tengsizlik uning qo‘shnisidagi barcha x uchun to‘g‘ri bo‘lsa. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati deyiladi funktsiyaning maksimal qiymati va belgilang.

Nuqta deyiladi minimal nuqta y=f(x) funksiya, agar tengsizlik uning qo‘shnisidagi barcha x uchun to‘g‘ri bo‘lsa. Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymati deyiladi minimal funktsiya va belgilang.

Nuqtaning qo‘shnisi deganda interval tushuniladi , bu yerda yetarlicha kichik musbat son.

Minimal va maksimal nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar, va ekstremum nuqtalarga mos keladigan funktsiya qiymatlari deyiladi funktsiyaning ekstremal qismi.

Funktsiyaning ekstremalini funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari bilan aralashtirib yubormang.

Birinchi rasmda funksiyaning segmentdagi eng katta qiymatiga maksimal nuqtada erishiladi va funksiyaning maksimal qiymatiga teng, ikkinchi rasmda esa funksiyaning eng katta qiymatiga x=b nuqtada erishiladi. , bu maksimal nuqta emas.

Funktsiyalarni oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlar.

Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar (belgilar) asosida funksiyaning ortish va kamayish intervallari topiladi.

Intervaldagi o'sish va kamayuvchi funktsiyalar belgilarining formulalari:

• agar y=f(x) funksiyaning hosilasi X oraliqdan istalgan x uchun musbat bo‘lsa, funksiya X ga ortadi;
• agar y=f(x) funksiyaning hosilasi X oraliqdan istalgan x uchun manfiy bo‘lsa, funksiya X da kamayadi.

Shunday qilib, funktsiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

Algoritmni tushuntirish uchun funksiyalarning ortish va kamayish oraliqlarini topish misolini ko‘rib chiqamiz.

Misol.

Funksiyaning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini toping.

Yechim.

Birinchi qadam funksiyani aniqlash sohasini topishdir. Bizning misolimizda maxrajdagi ifoda nolga chiqmasligi kerak, demak, .

Funktsiyaning hosilasini topishga o'tamiz:

Etarli mezon asosida funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash uchun ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechamiz. Interval usulini umumlashtirishdan foydalanamiz. Numeratorning yagona haqiqiy ildizi x = 2 bo'lib, maxraj x=0 da nolga tushadi. Bu nuqtalar aniqlanish sohasini funktsiyaning hosilasi o'z belgisini saqlab qoladigan intervallarga ajratadi. Keling, bu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz. Biz shartli ravishda hosila ijobiy yoki salbiy bo'lgan oraliqlarni ortiqcha va minuslar bilan belgilaymiz. Quyidagi o'qlar sxematik ravishda mos keladigan intervalda funktsiyaning ortishi yoki kamayishini ko'rsatadi.

Shunday qilib, Va .

Shu nuqtada x=2 funksiya aniqlangan va uzluksiz, shuning uchun uni o'sish va kamayish oraliqlariga qo'shish kerak. X=0 nuqtada funksiya aniqlanmagan, shuning uchun biz bu nuqtani kerakli intervallarga kiritmaymiz.

U bilan olingan natijalarni solishtirish uchun funksiyaning grafigini taqdim etamiz.

Javob:

Funktsiya sifatida ortadi , (0;2] oraliqda kamayadi.

Funksiyaning ekstremumi uchun yetarli shartlar.

Funksiyaning maksimal va minimallarini topish uchun ekstremumning uchta belgisidan istalganidan foydalanish mumkin, albatta, agar funksiya ularning shartlarini qondirsa. Eng keng tarqalgan va qulay - ulardan birinchisi.

Ekstremum uchun birinchi etarli shart.

y=f(x) funksiya nuqtaning -qo‘shnisida differensiallanuvchi va nuqtaning o‘zida uzluksiz bo‘lsin.

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Funksiya ekstremumining birinchi belgisi asosida ekstremum nuqtalarini topish algoritmi.

• Funktsiyani aniqlash sohasini topamiz.
• Funktsiyaning hosilasini aniqlanish sohasi bo'yicha topamiz.
• Numeratorning nollarini, hosila maxrajining nollarini va hosila mavjud bo'lmagan ta'rif sohasining nuqtalarini aniqlaymiz (barcha sanab o'tilgan nuqtalar deyiladi) mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar, bu nuqtalardan o'tib, hosila faqat o'z belgisini o'zgartirishi mumkin).
• Bu nuqtalar funktsiyani aniqlash sohasini hosila o'z belgisini saqlaydigan intervallarga ajratadi. Har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz (masalan, ma'lum bir oraliqning istalgan nuqtasida funktsiya hosilasining qiymatini hisoblash yo'li bilan).
• Biz funktsiya uzluksiz bo'lgan nuqtalarni tanlaymiz va u orqali lotin belgisi o'zgaradi - bu ekstremal nuqtalar.

Juda koʻp soʻzlar bor, keling, funksiya ekstremumining birinchi yetarli shartidan foydalanib, funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallarini topishning bir nechta misollarini koʻrib chiqaylik.

Misol.

Funksiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim.

Funksiyaning sohasi x=2 dan tashqari haqiqiy sonlarning butun to‘plamidir.

Hosilini topish:

Numeratorning nollari x=-1 va x=5 nuqtalari bo'lib, x=2 da maxraj nolga tushadi. Ushbu nuqtalarni raqamlar o'qida belgilang

Buni amalga oshirish uchun har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz, har bir oraliqning istalgan nuqtasida, masalan, x=-2, x=0, x=3 va nuqtalarda hosila qiymatini hisoblaymiz; x=6.

Shuning uchun, intervalda hosila ijobiy bo'ladi (rasmda biz ushbu oraliqda ortiqcha belgisi qo'yamiz). Xuddi shunday

Shuning uchun, biz minusni ikkinchi intervaldan, minusni uchinchidan, ortiqcha to'rtinchidan yuqoriga qo'yamiz.

Funktsiya uzluksiz bo'lgan va uning hosilasi belgisini o'zgartiradigan nuqtalarni tanlash qoladi. Bu ekstremal nuqtalar.

Shu nuqtada x=-1 funksiya uzluksiz va hosila belgisini plyusdan minusga o'zgartiradi, shuning uchun ekstremumning birinchi belgisiga ko'ra, x=-1 maksimal nuqta, funktsiyaning maksimali unga mos keladi. .

Shu nuqtada x=5 funksiya uzluksiz va hosila belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, shuning uchun x=-1 minimal nuqta, funktsiyaning minimumi unga mos keladi. .

Grafik illyustratsiya.

Javob:

DIQQAT: ekstremum uchun birinchi yetarli mezon funksiyaning nuqtadagi farqlanishini talab qilmaydi.

Misol.

Funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallarini toping .

Yechim.

Funksiya sohasi haqiqiy sonlarning butun to‘plamidir. Funktsiyaning o'zi quyidagicha yozilishi mumkin:

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Shu nuqtada x=0 hosila mavjud emas, chunki argument nolga intilganda bir tomonlama chegaralarning qiymatlari mos kelmaydi:

Shu bilan birga, asl funktsiya x=0 nuqtada uzluksizdir (uzluksizlik uchun funktsiyani o'rganish bo'limiga qarang):

Keling, hosila nolga tushadigan argumentning qiymatini topamiz:

Olingan barcha nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va har bir intervalda hosila belgisini aniqlaymiz. Buning uchun biz lotin qiymatlarini har bir intervalning ixtiyoriy nuqtalarida hisoblaymiz, masalan, da x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Ya'ni,

Shunday qilib, ekstremumning birinchi belgisiga ko'ra, minimal nuqtalar , maksimal ball .

Funktsiyaning mos keladigan minimalini hisoblaymiz

Funktsiyaning mos keladigan maksimallarini hisoblaymiz

Grafik illyustratsiya.

Javob:

.

Funksiya ekstremumining ikkinchi belgisi.

Ko'rib turganingizdek, funksiya ekstremumining bu belgisi nuqtada hech bo'lmaganda ikkinchi tartibli hosilaning mavjudligini talab qiladi.

Yakuniy ish V Yagona davlat imtihon shakli 11-sinf o'quvchilari uchun u funktsiyaning chegaralarini, kamayishi va ortib boruvchi hosilalarini hisoblash, ekstremum nuqtalarni qidirish va grafiklarni tuzish bo'yicha vazifalarni o'z ichiga oladi. Ushbu mavzu bo'yicha yaxshi bilim sizga bir nechta imtihon savollariga to'g'ri javob berishga va keyingi kasbiy tayyorgarlikda qiyinchiliklarga duch kelmaslikka imkon beradi.

Asoslar differensial hisob- matematikaning asosiy mavzularidan biri zamonaviy maktab. U o'zgaruvchilarning bog'liqligini o'rganish uchun hosiladan foydalanishni o'rganadi - bu hosila orqali funktsiyaning o'sishi va kamayishini chizmaga murojaat qilmasdan tahlil qilish mumkin.

Bitiruvchilarni har tomonlama tayyorlash yagona davlat imtihonidan o'tish yoqilgan ta'lim portali"Shkolkovo" sizga differentsiatsiya tamoyillarini chuqur tushunishga yordam beradi - nazariyani batafsil tushunish, echimlar misollarini o'rganish tipik vazifalar va mustaqil ishda o'z kuchingizni sinab ko'ring. Biz sizga bilimlardagi bo'shliqlarni yopishga yordam beramiz - mavzuning leksik tushunchalari va miqdorlarning bog'liqligi haqidagi tushunchangizni aniqlang. Talabalar monotonlik oraliqlarini qanday topish mumkinligini ko'rib chiqa oladilar, ya'ni chegara nuqtalari topilgan intervallarga kiritilmaganda ma'lum bir segmentda funktsiya hosilasi ko'tariladi yoki kamayadi.

Tematik muammolarni to'g'ridan-to'g'ri hal qilishni boshlashdan oldin, birinchi navbatda "Nazariy ma'lumot" bo'limiga o'tishni va tushunchalar, qoidalar va jadval formulalarining ta'riflarini takrorlashni tavsiya qilamiz. Bu yerda siz hosilaviy grafikdagi o'sish va kamayuvchi funktsiyaning har bir intervalini qanday topish va yozishni o'qishingiz mumkin.

Taklif etilgan barcha ma'lumotlar tushunish uchun eng qulay shaklda, deyarli noldan boshlab taqdim etiladi. Veb-sayt bir nechta idrok etish va assimilyatsiya qilish uchun materiallarni taqdim etadi turli shakllar- o'qish, video ko'rish va rahbarlik ostida to'g'ridan-to'g'ri o'qitish tajribali o'qituvchilar. Professional o'qituvchilar Ular sizga analitik va grafik usullar yordamida funktsiyaning hosilalarini oshirish va kamaytirish oraliqlarini qanday topishni batafsil aytib beradi. Veb-seminarlar davomida siz nazariy va aniq muammolarni hal qilish bo'yicha har qanday savolni berishingiz mumkin.

Mavzuning asosiy fikrlarini eslab, imtihon variantlaridagi vazifalarga o'xshash funktsiyaning hosilasini oshirish misollarini ko'rib chiqing. O'rganganlaringizni mustahkamlash uchun "Katalog" ni ko'rib chiqing - bu erda siz amaliy mashg'ulotlarni topasiz. mustaqil ish. Bo'limdagi vazifalar ko'nikmalarni rivojlantirishni hisobga olgan holda turli darajadagi qiyinchilik darajasida tanlanadi. Masalan, ularning har biri yechim algoritmlari va to'g'ri javoblar bilan birga keladi.

“Konstruktor” bo‘limini tanlab, talabalar funktsiya hosilasining o‘sish va kamayishini realda o‘rganishni mashq qilishlari mumkin bo‘ladi. Yagona davlat imtihonlari variantlari, so'nggi o'zgarishlar va yangiliklarni hisobga olgan holda doimiy ravishda yangilanadi.

Hosil. Agar funktsiyaning hosilasi intervalning istalgan nuqtasi uchun musbat bo'lsa, u manfiy bo'lsa, u kamayadi;

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish uchun uning aniqlanish sohasini, hosilasini topish, F’(x) > 0 va F’(x) ko’rinishdagi tengsizliklarni yechish kerak.

Yechim.

3. y’ > 0 va y’ 0 tengsizliklarni yeching;
(4 - x)/x³

Yechim.
1. Funksiyaning aniqlanish sohasini topamiz. Shubhasiz, maxrajdagi ifoda har doim noldan farq qilishi kerak. Shuning uchun 0 ta’rif sohasidan chiqarib tashlanadi: funksiya x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) uchun aniqlanadi.

2. Funktsiyaning hosilasini hisoblang:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x²) + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4) - x)/x³.

3. y’ > 0 va y’ 0 tengsizliklarni yeching;
(4 - x)/x³

4. Chap tomon tengsizlik bitta haqiqiy x = 4 ga ega va x = 0 da ga aylanadi. Shuning uchun x = 4 qiymati ham intervalga, ham kamayish oralig'iga kiradi va 0 nuqtasi kiritilmaydi.
Demak, kerakli funksiya x ∈ (-∞; 0) ∪ oraliqda ortadi.

4. Tengsizlikning chap tomoni bitta haqiqiy x = 4 ga ega va x = 0 da ga aylanadi. Shuning uchun x = 4 qiymati ham intervalga, ham kamayish oralig'iga kiradi va 0 nuqta kiritilmaydi.
Demak, kerakli funksiya x ∈ (-∞; 0) ∪ oraliqda ortadi.

Manbalar:

• funktsiyaning kamayuvchi oraliqlarini qanday topish mumkin

Funksiya bir sonning boshqasiga qatʼiy bogʻliqligini yoki (y) funksiya qiymatini (x) argumentga ifodalaydi. Har bir jarayon (nafaqat matematikada) o'ziga xos funktsiyaga ega bo'lishi bilan tavsiflanishi mumkin xarakterli xususiyatlar: kamayish va ortish intervallari, minimal va maksimal nuqtalar va hokazo.

Sizga kerak bo'ladi

• - qog'oz;
• - qalam.

Ko'rsatmalar

2-misol.
f(x)=sinx +x kamayish oraliqlarini toping.
Bu funksiyaning hosilasi quyidagicha bo'ladi: f’(x)=cosx+1.
cosx+1 tengsizligini yechish

Interval monotonlik funktsiyani oraliq deb atash mumkin, bunda funktsiya faqat ortadi yoki faqat kamayadi. Bir qator aniq harakatlar funksiya uchun bunday diapazonlarni topishga yordam beradi, bu ko'pincha bunday turdagi algebraik masalalarda talab qilinadi.

Ko'rsatmalar

Funksiyaning monotonik ortishi yoki kamayishi oraliqlarini aniqlash masalasini yechishdagi birinchi qadam bu funksiyani hisoblashdan iborat. Buning uchun funktsiya qiymatini topishingiz mumkin bo'lgan barcha argument qiymatlarini (x o'qi bo'ylab qiymatlar) toping. Uzilishlar kuzatiladigan nuqtalarni belgilang. Funktsiyaning hosilasini toping. Hosilni ifodalovchi ifodani aniqlaganingizdan so'ng uni nolga tenglashtiring. Shundan so'ng, siz hosil bo'lgan ildizlarni topishingiz kerak. Ruxsat etilgan maydon haqida emas.

Funktsiya yoki uning hosilasi nolga teng bo'lgan nuqtalar intervallar chegaralarini ifodalaydi. monotonlik. Ushbu diapazonlar, shuningdek ularni ajratuvchi nuqtalar jadvalga ketma-ket kiritilishi kerak. Hosil bo‘lgan intervallardagi funksiya hosilasining belgisini toping. Buning uchun intervaldan istalgan argumentni hosilaga mos keladigan ifodaga almashtiring. Agar natija ijobiy bo'lsa, bu diapazondagi funktsiya oshadi, aks holda u kamayadi; Natijalar jadvalga kiritiladi.

f'(x) funktsiyasining hosilasini bildiruvchi qatorda argumentlarning tegishli qiymatlari yoziladi: "+" - hosila ijobiy bo'lsa, "-" - manfiy yoki "0" - nolga teng. Keyingi qatorda asl iboraning monotonligiga e'tibor bering. Yuqoriga o'q o'sishga, pastga o'q esa pasayishga mos keladi. Funktsiyalarni tekshiring. Bu hosila nolga teng bo'lgan nuqtalardir. Ekstremum maksimal nuqta yoki minimal nuqta bo'lishi mumkin. Agar funktsiyaning oldingi qismi oshsa va joriy qismi kamaygan bo'lsa, bu maksimal nuqtadir. Agar funktsiya ma'lum bir nuqtadan oldin kamaygan bo'lsa va endi u ortib borayotgan bo'lsa, bu minimal nuqtadir. Jadvalga ekstremum nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini kiriting.

Manbalar:

• monotoniyaning ta'rifi nima

Argumentga murakkab bog'liqlikka ega bo'lgan funksiyaning xatti-harakati hosila yordamida o'rganiladi. Loyidagi o'zgarishlarning tabiati bo'yicha siz kritik nuqtalarni va funktsiyaning o'sishi yoki kamayishi sohalarini topishingiz mumkin.

Monoton

Juda muhim mulk funktsiyasi uning monotonligidir. Turli xil maxsus funktsiyalarning ushbu xususiyatini bilib, turli xil jismoniy, iqtisodiy, ijtimoiy va boshqa ko'plab jarayonlarning xatti-harakatlarini aniqlash mumkin.

Ajratish quyidagi turlar Funktsiyalarning monotonligi:

1) funktsiyasi ortadi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, agar har qanday ikkita nuqta uchun va bu oraliq shundayki, u shunday tutadi. Bular. kattaroq argument qiymati kattaroq funktsiya qiymatiga mos keladi;

2) funktsiyasi kamayadi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, agar har qanday ikkita nuqta uchun va bu oraliq shundayki, u shunday tutadi. Bular. kattaroq argument qiymati kichikroq funktsiya qiymatiga mos keladi;

3) funktsiyasi kamaymaydigan, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, agar har qanday ikki nuqta uchun va bu interval shundayki;

4) funktsiyasi oshmaydi, agar ma'lum bir oraliqda bo'lsa, agar har qanday ikkita nuqta uchun va bu oraliq shundayki, u shunday tutadi.

2. Birinchi ikki holat uchun "qat'iy monotonlik" atamasi ham qo'llaniladi.

3. Oxirgi ikki holat o'ziga xos bo'lib, odatda bir nechta funksiyalar tarkibi sifatida ko'rsatiladi.

4. Alohida ta'kidlaymizki, funksiya grafigining o'sishi va kamayishi chapdan o'ngga qarab ko'rib chiqilishi kerak va boshqa hech narsa emas.

2. Juft/toq.

Funktsiya g'alati deb ataladi, agar argumentning belgisi o'zgarganda, u o'z qiymatini aksincha o'zgartiradi. Buning formulasi quyidagicha ko'rinadi . Bu shuni anglatadiki, "minus x" qiymatlarini barcha x o'rniga funktsiyaga almashtirgandan so'ng, funktsiya o'z belgisini o'zgartiradi. Bunday funktsiyaning grafigi boshlang'ichga nisbatan simmetrikdir.

G'alati funktsiyalarga misollar va boshqalar.

Masalan, grafik aslida kelib chiqishga nisbatan simmetriyaga ega:

Funktsiya juft deb ataladi, agar argumentning belgisi o'zgarganda, u o'z qiymatini o'zgartirmaydi. Buning formulasi quyidagicha ko'rinadi. Bu shuni anglatadiki, "minus x" qiymatlarini barcha x o'rniga funktsiyaga almashtirgandan so'ng, funktsiya natijada o'zgarmaydi. Bunday funktsiyaning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir.

Juft funksiyalarga misollar va boshqalar.

Misol uchun, o'qga nisbatan grafikning simmetriyasini ko'rsatamiz:

Agar funktsiya biriga tegishli bo'lmasa belgilangan turlari, keyin u na juft, na toq yoki deyiladi funktsiyasi umumiy ko'rinish . Bunday funktsiyalar simmetriyaga ega emas.

Bunday funktsiya, masalan, biz yaqinda ko'rib chiqdik chiziqli funksiya jadvali bilan:

3. Maxsus mulk funktsiyalari hisoblanadi davriylik.

Gap shundaki, standartda ko'rib chiqilgan davriy funktsiyalar maktab o'quv dasturi, faqat trigonometrik funksiyalardir. Tegishli mavzuni o'rganayotganda biz ular haqida batafsil gaplashdik.

Davriy funktsiya argumentga ma'lum bir doimiy nolga teng bo'lmagan son qo'shilganda o'z qiymatlarini o'zgartirmaydigan funktsiyadir.

Bu minimal raqam deyiladi funktsiya davri va harf bilan belgilanadi.

Buning uchun formula quyidagicha ko'rinadi: .

Keling, sinus grafik misolidan foydalanib, ushbu xususiyatni ko'rib chiqaylik:

Va funksiyalarining davri va is, va davri va ekanligini eslaylik.

Biz allaqachon bilganimizdek, uchun trigonometrik funktsiyalar murakkab argument bilan nostandart davr bo'lishi mumkin. Bu haqida formaning funktsiyalari haqida:

Ularning davri teng. Va funktsiyalar haqida:

Ularning davri teng.

Ko'rib turganingizdek, yangi davrni hisoblash uchun standart davr oddiygina argumentdagi omilga bo'linadi. Bu funktsiyaning boshqa modifikatsiyalariga bog'liq emas.

Cheklov.

Funktsiya y=f(x) X⊂D(f) to‘plamda pastdan chegaralangan deb ataladi, agar har qanday xsX uchun f(x) tengsizlik bajariladigan a son bo‘lsa.< a.

Funktsiya y=f(x) X⊂D(f) to'plamda yuqoridan chegaralangan deb ataladi, agar har qanday xsX uchun f(x) tengsizlik bajariladigan a son bo'lsa.< a.

Agar X oralig'i ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha cheklangan deb hisoblanadi. Yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan funksiya chegaralangan deyiladi.

Funktsiyaning cheklanishini grafikdan o'qish oson. Siz y=a qatorini chizishingiz mumkin va agar funktsiya bu chiziqdan yuqori bo'lsa, u pastdan chegaralanadi.

Agar quyida bo'lsa, unda mos ravishda yuqorida. Quyida quyida chegaralangan funksiya grafigi keltirilgan. Jadval cheklangan funksiya Bolalar, uni o'zingiz chizishga harakat qiling.

Mavzu: Funksiyalarning xossalari: ortish va kamayish intervallari; eng katta va eng kichik qiymat; ekstremum nuqtalari (mahalliy maksimal va minimal), funksiyaning qavariqligi.

O'sish va kamayish intervallari.

Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar (belgilar) asosida funksiyaning ortish va kamayish intervallari topiladi.

Intervaldagi o'sish va kamayuvchi funktsiyalar belgilarining formulalari:

· funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun ijobiy x oraliqdan X, keyin funksiya ga ortadi X;

· funktsiyaning hosilasi bo'lsa y=f(x) har kim uchun salbiy x oraliqdan X, keyin funktsiya ga kamayadi X.

Shunday qilib, funktsiyaning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

· funksiyaning aniqlanish sohasini topish;

· funksiyaning hosilasini toping;

· ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechish;