Ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash formulasi. GPS koordinatalari orasidagi masofani qanday hisoblash mumkin

NAZARIY MASALALAR

SAVOLOTDAGI ANALITIK GENEOMETRIYA

1. Koordinata usuli: son qatori, chiziqdagi koordinatalar; tekislikdagi to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalar tizimi; qutb koordinatalari.

Keling, qandaydir to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. Undagi yo'nalishni (keyin u o'qga aylanadi) va 0 nuqtani (koordinatalarning kelib chiqishi) tanlaymiz. Yo'nalishi va kelib chiqishi tanlangan to'g'ri chiziq deyiladi koordinatali chiziq(biz o'lchov birligi tanlangan deb taxmin qilamiz).

Mayli M– koordinata chizig‘idagi ixtiyoriy nuqta. Keling, buni fikrga mos ravishda qo'yaylik M haqiqiy raqam x, qiymatga teng OM segment: x=OM. Raqam x nuqtaning koordinatasi deb ataladi M.

Shunday qilib, koordinata chizig'idagi har bir nuqta ma'lum bir haqiqiy songa - uning koordinatasiga mos keladi. Buning aksi ham to'g'ri: har bir haqiqiy son x koordinata chizig'idagi ma'lum bir nuqtaga, ya'ni shunday nuqtaga to'g'ri keladi. M, uning koordinatasi x. Bu yozishmalar deyiladi birma-bir.

Shunday qilib, haqiqiy sonlar koordinata chizig'ining nuqtalari bilan ifodalanishi mumkin, ya'ni. Koordinata chizig'i barcha haqiqiy sonlar to'plamining tasviri bo'lib xizmat qiladi. Shuning uchun barcha haqiqiy sonlar to'plami deyiladi raqamlar qatori, va har qanday raqam bu chiziqdagi nuqtadir. Raqam chizig'idagi nuqta yaqinida ko'pincha raqam ko'rsatiladi - uning koordinatasi.

Tekislikdagi to'rtburchaklar (yoki dekart) koordinatalar tizimi.

Ikki o'zaro perpendikulyar o'q x haqida Va Y haqida umumiy kelib chiqishiga ega HAQIDA va bir xil o'lchov birligi, shakl tekislikdagi to'rtburchaklar (yoki dekart) koordinatalar tizimi.

Eksa OH abscissa o'qi, o'qi deb ataladi OY- ordinata o'qi. Nuqta HAQIDA o'qlarning kesishishi boshlang'ich deyiladi. O'qlar joylashgan tekislik OH Va OY, koordinata tekisligi deyiladi va belgilanadi xy haqida.

Shunday qilib, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi tekislikning barcha nuqtalari to'plami va raqamlar juftligi to'plami o'rtasida birma-bir moslikni o'rnatadi, bu esa qo'llash imkonini beradi. algebraik usullar. Koordinata o'qlari tekislikni 4 qismga ajratadi, ular deyiladi choraklarda, kvadrat yoki koordinata burchaklari.

Polar koordinatalar.

Qutbli koordinatalar tizimi ma'lum bir nuqtadan iborat HAQIDA, chaqirildi qutb, va undan chiqadigan nur O.E, chaqirildi qutb o'qi. Bundan tashqari, segmentlar uzunligini o'lchash uchun o'lchov birligi o'rnatiladi. Qutbli koordinatalar sistemasi berilsin va M– tekislikning ixtiyoriy nuqtasi. bilan belgilaymiz R- nuqta masofasi M nuqtadan HAQIDA, va orqali φ - qutb o'qini nur bilan tekislash uchun nurni soat sohasi farqli ravishda aylantiradigan burchak OM.

Polar koordinatalar ball M qo'ng'iroq raqamlari R Va φ . Raqam R birinchi koordinata hisoblanadi va deyiladi qutb radiusi, raqam φ – ikkinchi koordinata deyiladi qutb burchagi.

Nuqta M qutb koordinatalari bilan R Va φ quyidagicha belgilanadi: M( ;ph). Nuqtaning qutb koordinatalari bilan uning to‘rtburchak koordinatalari o‘rtasida bog‘lanish o‘rnatamiz.
Bunday holda, to'rtburchaklar koordinata tizimining kelib chiqishi qutbda, abscissaning musbat yarim o'qi qutb o'qi bilan mos keladi deb faraz qilamiz.

M nuqta to'rtburchak koordinatalarga ega bo'lsin X Va Y va qutb koordinatalari R Va φ .

(1)

Isbot.

Nuqtalardan tushirish M 1 Va M 2 perpendikulyarlar M 1 V Va M 1 A,. chunki (x 2 ; y 2). Teorema bo'yicha, agar M 1 (x 1) Va M 2 (x 2) har qanday ikkita nuqta va a ular orasidagi masofa, u holda a = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Matematika bo'yicha muammolarni hal qilish ko'pincha talabalar uchun juda ko'p qiyinchiliklar bilan birga keladi. Talabaga ushbu qiyinchiliklarni engishga yordam bering, shuningdek, uni hal qilishda mavjud nazariy bilimlarini qo'llashga o'rgating. aniq vazifalar"Matematika" fanining barcha bo'limlarida - saytimizning asosiy maqsadi.

Mavzuga oid masalalarni yechishni boshlashda talabalar uning koordinatalaridan foydalangan holda tekislikda nuqta qurishni, shuningdek, berilgan nuqtaning koordinatalarini topishni bilishlari kerak.

Tekislikda olingan ikkita A(x A; y A) va B(x B; y B) nuqtalar orasidagi masofani hisoblash formula yordamida amalga oshiriladi. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), bu erda d - tekislikdagi ushbu nuqtalarni bog'laydigan segment uzunligi.

Agar segment uchlaridan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to‘g‘ri kelsa, ikkinchisining koordinatalari M(x M; y M) bo‘lsa, u holda d ni hisoblash formulasi OM = √(x M 2 + y M 2) ko‘rinishini oladi. ).

1. Ushbu nuqtalarning berilgan koordinatalari asosida ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash

1-misol.

Koordinata tekisligidagi A(2; -5) va B(-4; 3) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma uzunligini toping (1-rasm).

Yechim.

Masala bayonida aytiladi: x A = 2; x B = -4; y A = -5 va y B = 3. d ni toping.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 formulasini qo‘llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Berilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash

2-misol.

Uchta A(7; -1) va B(-2; 2) va C(-1; -5) nuqtalardan teng masofada joylashgan O 1 nuqtaning koordinatalarini toping.

Yechim.

Masala shartlarini tuzishdan O 1 A = O 1 B = O 1 C. O 1 kerakli nuqtaning koordinatalari (a; b) bo lsin. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Keling, ikkita tenglama tizimini yarataylik:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Tenglamalarning chap va o'ng tomonlarini kvadratga aylantirgandan so'ng, biz yozamiz:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Soddalashtirib, yozamiz

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Tizimni yechib, biz quyidagilarga erishamiz: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) nuqta bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan shartda ko'rsatilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan. Bu nuqta uchtadan o'tadigan aylananing markazidir berilgan ballar (2-rasm).

3. Abscissa (ordinata) o'qida yotgan va berilgan nuqtadan ma'lum masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.

3-misol.

B(-5; 6) nuqtadan Ox o'qida yotgan A nuqtagacha bo'lgan masofa 10. A nuqtani toping.

Yechim.

Masala shartlarini tuzishdan kelib chiqadiki, A nuqtaning ordinatasi nolga teng va AB = 10.

A nuqtaning abssissasini a bilan belgilab, A(a; 0) ni yozamiz.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 tenglamani olamiz. Uni soddalashtirib, bizda shunday bo'ladi.

a 2 + 10a - 39 = 0.

Bu tenglamaning ildizlari a 1 = -13; va 2 = 3.

Biz ikkita nuqtani olamiz A 1 (-13; 0) va A 2 (3; 0).

Imtihon:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Olingan ikkala nuqta ham muammoning shartlariga mos keladi (3-rasm).

4. Abscissa (ordinata) o'qida yotgan va berilgan ikkita nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.

4-misol.

Oy o'qida A (6, 12) va B (-8, 10) nuqtalardan bir xil masofada joylashgan nuqtani toping.

Yechim.

Masala shartlari talab qiladigan nuqtaning Oy o'qida yotgan koordinatalari O 1 (0; b) bo'lsin (Oy o'qida yotgan nuqtada abssissa nolga teng). O 1 A = O 1 B shartidan kelib chiqadi.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Bizda √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) yoki 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 tenglamamiz bor.

Soddalashtirilgandan so'ng biz olamiz: b – 4 = 0, b = 4.

O 1 nuqta (0; 4) masala shartlari bilan talab qilinadi (4-rasm).

5. Koordinata o'qlaridan bir xil masofada joylashgan nuqta va ba'zi berilgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.

5-misol.

Koordinata tekisligida koordinata o'qlaridan va A(-2; 1) nuqtadan bir xil masofada joylashgan M nuqtani toping.

Yechim.

Kerakli M nuqta, A(-2; 1) nuqtasi kabi ikkinchisida joylashgan koordinata burchagi, chunki u A, P 1 va P 2 nuqtalardan teng masofada joylashgan (5-rasm). M nuqtaning koordinata o'qlaridan masofalari bir xil, shuning uchun uning koordinatalari (-a; a) bo'ladi, bu erda a > 0.

Masala shartlaridan MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

bular. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:

MA = √((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Keling, tenglama tuzamiz:

√((-a + 2) 2 + (a – 1) 2) = a.

Kvadratlash va soddalashtirishdan keyin bizda: a 2 – 6a + 5 = 0. Tenglamani yeching, 1 = 1 ni toping; va 2 = 5.

Masalaning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita M 1 (-1; 1) va M 2 (-5; 5) nuqtalarni olamiz.

6. Abscissa (ordinata) o'qidan va berilgan nuqtadan bir xil belgilangan masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.

6-misol.

M nuqtani topingki, uning ordinata o'qidan va A(8; 6) nuqtadan masofasi 5 ga teng bo'lsin.

Yechim.

Masala shartlaridan kelib chiqadiki, MA = 5 va M nuqtaning abssissasi 5 ga teng. M nuqtaning ordinatasi b ga teng bo'lsin, u holda M(5; b) bo'lsin. (6-rasm).

Formulaga ko'ra d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) bizda:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Keling, tenglama tuzamiz:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Uni soddalashtirib, hosil bo‘ladi: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu tenglamaning ildizlari b 1 = 2; b 2 = 10. Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita nuqta mavjud: M 1 (5; 2) va M 2 (5; 10).

Ma'lumki, ko'plab talabalar mustaqil qaror muammolar ularni hal qilish texnikasi va usullari bo'yicha doimiy maslahatlashuvni talab qiladi. Ko'pincha talaba o'qituvchi yordamisiz muammoni hal qilish yo'lini topa olmaydi. Talaba bizning veb-saytimizda muammolarni hal qilish bo'yicha kerakli maslahatlarni olishi mumkin.

Hali ham savollaringiz bormi? Samolyotdagi ikki nuqta orasidagi masofani qanday topishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Koordinatalardan foydalanib, ob'ektning joylashishini aniqlang globus. Koordinatalar kenglik va uzunlik bo'yicha ko'rsatilgan. Kengliklar har ikki tomonning ekvator chizig'idan o'lchanadi. Shimoliy yarim sharda kengliklar musbat, janubiy yarimsharda esa manfiy. Uzunlik asosiy meridiandan sharqiy yoki g'arbdan o'lchanadi, mos ravishda sharqiy yoki g'arbiy uzunlik olinadi.

Umumiy qabul qilingan pozitsiyaga ko'ra, asosiy meridian Grinvichdagi eski Grinvich rasadxonasidan o'tuvchi deb hisoblanadi. Joylashuvning geografik koordinatalarini GPS-navigator yordamida olish mumkin. Ushbu qurilma signallarni qabul qiladi sun'iy yo'ldosh tizimi WGS-84 koordinata tizimida joylashishni aniqlash, butun dunyo uchun bir xil.

Navigator modellari ishlab chiqaruvchi, funksionallik va interfeysda farqlanadi. Hozirgi vaqtda ba'zi modellarda o'rnatilgan GPS navigatorlari ham mavjud mobil telefonlar. Lekin har qanday model nuqta koordinatalarini yozib olishi va saqlashi mumkin.

GPS koordinatalari orasidagi masofa

Sanoatning ayrim tarmoqlarida amaliy va nazariy masalalarni yechish uchun nuqtalar orasidagi masofani ularning koordinatalari orqali aniqlay bilish kerak. Buni amalga oshirishning bir necha usullari mavjud. Kanonik shakl geografik koordinatalarni ifodalash: daraja, daqiqa, soniya.

Masalan, quyidagi koordinatalar orasidagi masofani aniqlashingiz mumkin: 1-nuqta - kenglik 55°45'07″ N, uzunlik 37°36'56″ E; 2-nuqta - kenglik 58°00'02″ N, uzunlik 102°39'42″ E.

Ikki nuqta orasidagi uzunlikni hisoblash uchun kalkulyatordan foydalanish eng oson yo'lidir. Brauzer qidiruv tizimida siz quyidagi qidiruv parametrlarini o'rnatishingiz kerak: onlayn - ikki koordinata orasidagi masofani hisoblash uchun. Onlayn kalkulyatorda kenglik va uzunlik qiymatlari birinchi va ikkinchi koordinatalar uchun so'rov maydonlariga kiritiladi. Hisoblashda onlayn kalkulyator natija berdi - 3 800 619 m.

Keyingi usul ko'proq mehnat talab qiladi, lekin ayni paytda ingl. Har qanday mavjud xaritalash yoki navigatsiya dasturidan foydalanishingiz kerak. Koordinatalar yordamida nuqtalar yaratish va ular orasidagi masofani o'lchash mumkin bo'lgan dasturlarga quyidagi ilovalar kiradi: BaseCamp (MapSource dasturining zamonaviy analogi), Google Earth, SAS.Planet.

Yuqoridagi barcha dasturlar har qanday tarmoq foydalanuvchisi uchun mavjud. Masalan, Google Earth-da ikkita koordinata orasidagi masofani hisoblash uchun siz birinchi nuqta va ikkinchi nuqtaning koordinatalarini ko'rsatadigan ikkita teg yaratishingiz kerak. Keyin, "Ruler" vositasidan foydalanib, birinchi va ikkinchi belgilarni chiziq bilan ulashingiz kerak, dastur avtomatik ravishda o'lchov natijasini ko'rsatadi va Yerning sun'iy yo'ldosh tasviridagi yo'lni ko'rsatadi.

Yuqorida keltirilgan misolda Google Earth dasturi natijani qaytardi - 1-sonli nuqta va №2 nuqta orasidagi masofaning uzunligi 3 817 353 m.

Nima uchun masofani aniqlashda xatolik yuz beradi

Koordinatalar orasidagi kenglikning barcha hisoblari yoy uzunligini hisoblashga asoslanadi. Yoy uzunligini hisoblashda Yerning radiusi ishtirok etadi. Ammo Yerning shakli tekis ellipsoidga yaqin bo'lgani uchun Yerning radiusi ma'lum nuqtalarda o'zgarib turadi. Koordinatalar orasidagi masofani hisoblash uchun Yer radiusining o'rtacha qiymati olinadi, bu o'lchashda xatolik beradi. O'lchanadigan masofa qanchalik katta bo'lsa, xato shunchalik katta bo'ladi.

Nuqtalar orasidagi masofani tekislikdagi koordinatalari asosida hisoblash Yer yuzasida biroz murakkabroq: nuqtalar orasidagi masofani va boshlang'ich azimutni proyeksiyalarsiz o'lchashni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, terminologiyani tushunaylik.

Kirish

Katta aylana yoyi uzunligi- shar yuzasida joylashgan har qanday ikkita nuqta orasidagi eng qisqa masofa, bu ikki nuqtani bog'laydigan chiziq bo'ylab o'lchanadi (bunday chiziq ortodromiya deb ataladi) va shar yuzasi yoki boshqa aylanish yuzasi bo'ylab o'tadi. Sferik geometriya oddiy Evklid geometriyasidan farq qiladi va masofa tenglamalari ham boshqa shaklga ega. Evklid geometriyasida ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa to'g'ri chiziqdir. Sferada to'g'ri chiziqlar yo'q. Sferadagi bu chiziqlar katta doiralarning bir qismidir - markazlari sharning markaziga to'g'ri keladigan doiralar. Dastlabki azimut- azimut, A nuqtadan harakatni boshlaganda, B nuqtaga eng qisqa masofada katta aylana bo'ylab harakatlanayotganda, oxirgi nuqta B nuqta bo'ladi. A nuqtadan B nuqtaga katta aylana chizig'i bo'ylab harakatlanayotganda, hozirgi holat so'nggi B nuqtasiga doimo o'zgarib turadi. Boshlang'ich azimut doimiydan farq qiladi, undan keyin joriy nuqtadan oxirgi nuqtagacha bo'lgan azimut o'zgarmaydi, lekin kuzatilgan marshrut ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa emas.

Sfera yuzasidagi har qanday ikkita nuqta orqali, agar ular bir-biriga to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshi bo'lmasa (ya'ni, ular antipod bo'lmasa), noyob katta doira chizish mumkin. Ikki nuqta katta doirani ikkita yoyga ajratadi. Qisqa yoyning uzunligi ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofadir. Ikki antipodal nuqta orasiga cheksiz miqdordagi katta doiralar chizish mumkin, lekin ular orasidagi masofa har qanday aylanada bir xil bo'ladi va aylananing yarmiga teng bo'ladi yoki p*R, bu erda R - sharning radiusi.

Tekislikda (to'rtburchaklar koordinatalar tizimida) katta doiralar va ularning bo'laklari, yuqorida aytib o'tilganidek, gnomonikdan tashqari barcha proyeksiyalarda yoylarni ifodalaydi, bu erda katta doiralar to'g'ri chiziqlardir. Amalda, bu samolyotlar va boshqa havo transporti har doim marshrutdan foydalanishini anglatadi minimal masofa yonilg'i tejash uchun nuqtalar o'rtasida, ya'ni parvoz katta doira masofa bo'ylab amalga oshiriladi samolyotda u yoyga o'xshaydi;

Yerning shakli shar sifatida tasvirlanishi mumkin, shuning uchun katta doira masofasi tenglamalari Yer yuzasidagi nuqtalar orasidagi eng qisqa masofani hisoblash uchun muhimdir va ko'pincha navigatsiyada qo'llaniladi. Ushbu usul bo'yicha masofani hisoblash prognoz qilingan koordinatalar uchun (to'rtburchaklar koordinata tizimlarida) hisoblashdan ko'ra samaraliroq va ko'p hollarda aniqroqdir, chunki birinchidan, tarjimani talab qilmaydi. geografik koordinatalar to'g'ri burchakli koordinatalar tizimiga (proyeksiya o'zgarishlarini amalga oshirish) va ikkinchidan, ko'plab proyeksiyalar, agar noto'g'ri tanlangan bo'lsa, proyeksiya buzilishlarining xarakteristikalari tufayli sezilarli uzunlikdagi buzilishlarga olib kelishi mumkin. Ma'lumki, bu shar emas, balki Yerning shaklini aniqroq tasvirlaydigan ellipsoid, ammo bu maqolada hisob-kitoblar uchun 6 372 795 metr radiusli shardan foydalanilgan; 0,5% tartibdagi masofalarni hisoblashda xatolikka olib kelishi mumkin.

Formulalar

Katta doira sharsimon masofani hisoblashning uchta usuli mavjud. 1. Sferik kosinus teoremasi Kichik masofalar va kichik hisoblash chuqurligi (o'nlik kasrlar soni) bo'lsa, formuladan foydalanish muhim yaxlitlash xatolariga olib kelishi mumkin. ph1, l1; ph2, l2 - radiandagi ikki nuqtaning kengligi va uzunligi DD - uzunlikdagi koordinatalar farqi DD - burchak farqi DD = arccos (sin ph1 sin ph2 + cos ph1 cos ph2 cos DL) Metrikni aylantirish uchun, burchak farqini Yer radiusi (6372795 metr) bilan ko'paytiring, oxirgi masofa birliklari radius ifodalangan birliklarga teng bo'ladi (da Ushbu holatda- metr). 2. Haversin formulasi Qisqa masofalar bilan bog'liq muammolarni oldini olish uchun foydalaniladi. 3. Antipodlar uchun modifikatsiya Oldingi formula ham uni hal qilish uchun antipodal nuqtalar muammosiga bo'ysunadi, quyidagi modifikatsiya qo'llaniladi;

PHP da mening amaliyotim

// Yer radiusini aniqlash("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Ikki nuqta orasidagi masofa * $phA, $lA - 1-nuqtaning kengligi, uzunligi, * $phB, $lB - 2-nuqtaning kengligi, uzunligi * http://gis-lab.info/ asosida yozilgan qa/great-circles.html * Mixail Kobzarev * */ funktsiyasini hisoblashTheDistance ($phA, $lA, $phB, $lB) ( // koordinatalarni radianga aylantirish $lat1 = $phA * M_PI / 180; $lat2 = $phB * M_PI / 180; $long1 = $lA * M_PI / 180 $long2 = $lB * M_PI / 180 // kenglik va uzunliklarning sinuslari $cl1 = $sl1 = sin(); $lat1); $sl2 = sin($lat2); // hisoblar katta doira uzunligi $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $); cdelta, 2)); cl1 * $cl2 * $cdelta; // $dist = $ad * EARTH_RADIUS ) Funktsiya chaqiruviga misol: $lat1 =; 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo accountTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metr"; // Qaytish "17166029 metr"

Tekislikning har bir A nuqtasi uning koordinatalari (x, y) bilan tavsiflanadi. Ular 0 nuqtadan chiqadigan 0A vektorining koordinatalari - koordinatalarning kelib chiqishi bilan mos keladi.

A va B koordinatalari (x 1 y 1) va (x 2, y 2) bo‘lgan tekislikning ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin.

Keyin AB vektori aniq koordinatalarga ega (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ma'lumki, vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yig'indisiga teng. Shuning uchun A va B nuqtalar orasidagi d masofa yoki bir xil bo'lgan AB vektorining uzunligi shart bo'yicha aniqlanadi.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Olingan formula, agar bu nuqtalarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, tekislikdagi istalgan ikkita nuqta orasidagi masofani topishga imkon beradi.

Har safar tekislikdagi muayyan nuqtaning koordinatalari haqida gapirganda, biz aniq belgilangan x0y koordinata tizimini nazarda tutamiz. Umuman olganda, tekislikdagi koordinatalar tizimini turli usullar bilan tanlash mumkin. Demak, x0y koordinata tizimi o‘rniga eski koordinata o‘qlarini 0 boshlang‘ich nuqtasi atrofida aylantirish natijasida olingan xִy koordinata tizimini ko‘rib chiqishimiz mumkin. soat miliga teskari burchakdagi o'qlar α .

Agar x0y koordinatalar sistemasidagi tekislikning qaysidir nuqtasi (x, y) koordinatalariga ega bo‘lsa, unda yangi tizim koordinatalar xִy, u turli koordinatalarga ega bo'ladi (x, y).

Misol tariqasida, 0x o'qida joylashgan va 0 nuqtadan 1 masofada ajratilgan M nuqtasini ko'rib chiqing.

Shubhasiz, x0y koordinatalar tizimida bu nuqta koordinatalariga ega (cos α ,gunoh α ), xִy koordinatalar tizimida esa koordinatalar (1,0) ga teng.

A va B tekislikdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalari ushbu tekislikda koordinatalar sistemasi qanday ko'rsatilganiga bog'liq. Va bu erda bu nuqtalar orasidagi masofa koordinata tizimini ko'rsatish usuliga bog'liq emas .

Boshqa materiallar