Qisqacha nazariya

Agar hodisa faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan birining sodir bo'lishi sharti bilan sodir bo'lsa, u holda tegishli shartli ehtimollik hamyoni bo'yicha har bir hodisaning ehtimolliklari ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'ladi.

Bunda hodisalar gipoteza, ehtimollar esa apriori deb ataladi. Bu formula umumiy ehtimollik formulasi deb ataladi.

Hodisalarning to‘liq guruhini tashkil etuvchi har qanday hodisa bilan birga paydo bo‘ladigan hodisa sodir bo‘lganda va gipotezalarning ehtimolliklarini miqdoriy qayta baholash zarur bo‘lganda, Bayes formulasi amaliy masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Apriori (tajribadan oldin) ehtimollar ma'lum. Posterior (tajribadan keyin) ehtimolliklarni hisoblash talab qilinadi, ya'ni. asosan shartli ehtimollarni topishingiz kerak. Bayes formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Keyingi sahifada muammo muhokama qilinadi.

Muammoni hal qilish misoli

1-topshiriqning sharti

Zavodda 1, 2 va 3-mashinalar mos ravishda barcha qismlarning 20%, 35% va 45% ni ishlab chiqaradi. Ularning mahsulotlarida nuqsonlar mos ravishda 6%, 4%, 2% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan mahsulotning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday? Uning ishlab chiqarilganligi ehtimoli qanday: a) 1-mashinada; b) 2-mashina; c) 3-mashina?

Muammoning yechimi 1

Keling, standart mahsulotning nuqsonli ekanligini hodisa bilan belgilaylik.

Voqea faqat uchta hodisadan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin:

Mahsulot 1-mashinada ishlab chiqarilgan;

Mahsulot 2-mashinada ishlab chiqariladi;

Mahsulot 3-mashinada ishlab chiqariladi;

Shartli ehtimollarni yozamiz:

Umumiy ehtimollik formulasi

Agar voqea mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lgandagina sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, u holda hodisaning ehtimolligi formula bilan hisoblanadi.

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz hodisaning ehtimolini topamiz:

Bayes formulasi

Bayes formulasi sizga “sabab va natijani qayta tartibga solish” imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.

1-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarish ehtimoli:

Nosoz mahsulot 2-mashinada ishlab chiqarilganligi ehtimoli:

3-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:

Muammo holati 2

Guruh tarkibiga 1 nafar a’lochi, 5 nafar a’lochi va 14 nafar o‘rtamiyona talabalar kiradi. A’lochi talaba 5 va 4 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, a’lochi o‘quvchi 5, 4 va 3 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, o‘rtacha o‘quvchi esa 4, 3 va 2 ga teng ehtimollik bilan javob beradi. Tasodifiy tanlab olingan talaba javob berdi 4. O'rta darajadagi o'quvchini chaqirish ehtimoli qanday?

2-muammoning yechimi

Gipotezalar va shartli ehtimollar

Quyidagi farazlar mumkin:

A’lochi talaba javob berdi;

Yaxshi yigit javob berdi;

- javob berdi o'rtamiyona talaba;

Voqea - talaba 4 ga ega bo'lsin.

Shartli ehtimollar:

Javob:

O'rtacha testni hal qilish narxi 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun kamida 300 rubl). Narxga qarorning shoshilinchligi (bir kundan bir necha soatgacha) katta ta'sir ko'rsatadi. Imtihon/test uchun onlayn yordam narxi 1000 rubldan. chiptani hal qilish uchun.

Oldindan topshiriq shartlarini yuborganingizdan so'ng va sizga kerak bo'lgan yechim uchun vaqt oralig'i haqida xabar berib, so'rovni bevosita chatda qoldirishingiz mumkin. Javob vaqti bir necha daqiqa.

Sibir davlat telekommunikatsiya va informatika universiteti

Oliy matematika kafedrasi

“Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan

"To'liq ehtimollik formulasi va Bayes (Bayes) formulasi va ularning qo'llanilishi"

Bajarildi:

Rahbar: professor B.P.Zelentsov

Novosibirsk, 2010 yil

Kirish 3

1. Umumiy ehtimollik formulasi 4-5

2. Bayes formulasi (Bayes) 5-6

3. 7-11 yechimlari bilan bog’liq masalalar

4. Bayes formulasini qo'llashning asosiy yo'nalishlari (Bayes) 11

Xulosa 12

Adabiyot 13

Kirish

Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga ega. Bu fan sohasining asoslarini buyuk matematiklar qo‘yganlar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman.
Keyinchalik, ehtimollar nazariyasining rivojlanishi ko'plab olimlarning ishlarida aniqlandi.
Mamlakatimiz olimlari ehtimollar nazariyasiga katta hissa qo'shdilar:
P.L.Chebishev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorov. Ehtimoliy va statistik usullar endi ilovalarga chuqur kirib bordi. Ular fizika, texnologiya, iqtisodiyot, biologiya va tibbiyotda qo'llaniladi. Ularning roli, ayniqsa, kompyuter texnikasining rivojlanishi bilan bog'liq holda ortdi.

Masalan, fizik hodisalarni o'rganish uchun kuzatishlar yoki tajribalar o'tkaziladi. Ularning natijalari odatda ba'zi kuzatiladigan miqdorlarning qiymatlari shaklida qayd etiladi. Tajribalarni takrorlashda biz ularning natijalarining tarqalishini aniqlaymiz. Misol uchun, ma'lum sharoitlarni (harorat, namlik va boshqalar) saqlagan holda bir xil miqdordagi o'lchovlarni bir xil qurilma bilan takrorlash orqali biz bir-biridan kamida bir oz farq qiladigan natijalarga erishamiz. Hatto takroriy o'lchovlar ham keyingi o'lchov natijasini aniq bashorat qilishga imkon bermaydi. Shu ma'noda, ular o'lchov natijasi tasodifiy o'zgaruvchidir, deyishadi. Tasodifiy o'zgaruvchining yanada yorqin misoli lotereyadagi yutuq chiptasining soni. Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa ko'plab misollarini keltirish mumkin. Shunga qaramay, tasodiflar olamida ma'lum naqshlar ochiladi. Bunday naqshlarni o'rganish uchun matematik apparat ehtimollar nazariyasi bilan ta'minlangan.
Shunday qilib, ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalar va ular bilan bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik tahlili bilan shug'ullanadi.

1. Umumiy ehtimollik formulasi.

Bir guruh tadbirlar bo'lsin H 1 ,H 2 ,..., Hn, quyidagi xususiyatlarga ega:

1) barcha hodisalar juftlik bilan mos kelmaydi: H i

Hj =Æ; i , j =1,2,...,n ; i ¹ j ;

2) ularning birlashuvi W elementar natijalar makonini tashkil qiladi:

.

8-rasm

Bunday holda, biz buni aytamiz H 1 , H 2 ,...,Hn shakl voqealarning to'liq guruhi. Bunday hodisalar ba'zan deyiladi farazlar .

Mayli A- ba'zi voqea: AÌW (Venn diagrammasi 8-rasmda ko'rsatilgan). Keyin ushlab turadi umumiy ehtimollik formulasi:

P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /Hn)P (Hn) =

Isbot. Shubhasiz: A=

, va barcha hodisalar ( i = 1,2,...,n) juftlikda mos kelmaydi. Bu yerdan, ehtimollarni qo'shish teoremasidan foydalanib, biz olamiz

P (A) = P (

) + P () +...+ P (

Agar ko'paytirish teoremasi bilan shuni hisobga olsak P (

) = P (A/H i) P (H i) ( i = 1,2,...,n), keyin oxirgi formuladan yuqoridagi umumiy ehtimollik formulasini olish oson.

Misol. Do'konda uchta zavod tomonidan ishlab chiqarilgan elektr lampalar sotiladi, birinchi zavodning ulushi 30%, ikkinchisi 50%, uchinchisi esa 20%. Ularning mahsulotlaridagi nuqsonlar mos ravishda 5%, 3% va 2% ni tashkil qiladi. Do'konda tasodifiy tanlangan chiroqning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?

Tadbirga ruxsat bering H 1 - tanlangan chiroq birinchi zavodda ishlab chiqariladi, H ikkinchisida 2, H 3 - uchinchi zavodda. Shubhasiz:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Tadbirga ruxsat bering A tanlangan chiroq nuqsonli bo'lib chiqdi; A/H i da ishlab chiqarilgan lampalardan nuqsonli chiroq tanlangan hodisani anglatadi i- o'simlik. Muammo bayonotidan quyidagicha:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz olamiz

2. Bayes formulasi (Bayes)

Mayli H 1 ,H 2 ,...,Hn- hodisalarning to'liq guruhi va A M W qandaydir hodisa. Keyin, shartli ehtimollik formulasiga ko'ra

(1)

Bu yerga P (Hk /A) – hodisaning shartli ehtimoli (gipoteza) Hk yoki buning ehtimoli Hk sodir bo'lishi sharti bilan amalga oshiriladi A sodir bo'ldi.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra, (1) formulaning numeratori quyidagicha ifodalanishi mumkin.

P = P = P (A /Hk)P (Hk)

Formulaning (1) maxrajini ifodalash uchun siz umumiy ehtimollik formulasidan foydalanishingiz mumkin

P (A)

Endi (1) dan formulani olishimiz mumkin Bayes formulasi :

Bayes formulasi gipotezaning amalga oshishi ehtimolini hisoblab chiqadi Hk hodisa bo'lishi sharti bilan A sodir bo'ldi. Bayes formulasi ham deyiladi gipotezalarning ehtimollik formulasi. Ehtimollik P (Hk) gipotezaning oldingi ehtimolligi deyiladi Hk, va ehtimollik P (Hk /A) – posterior ehtimollik.

Teorema. Sinovdan keyingi gipotezaning ehtimoli sinovdan oldingi gipotezaning ehtimolligi va sinov paytida sodir bo'lgan hodisaning tegishli shartli ehtimoli ko'paytmasiga teng bo'lib, ushbu hodisaning umumiy ehtimoliga bo'linadi.

Misol. Elektr lampalar haqidagi yuqoridagi muammoni ko'rib chiqaylik, faqat muammoning savolini o'zgartiring. Faraz qilaylik, xaridor ushbu do'kondan elektr chiroq sotib oldi va u nuqsonli bo'lib chiqdi. Ushbu lampaning ikkinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping. Kattalik P (H 2) = 0,5 bu holda sotib olingan chiroq ikkinchi zavodda ishlab chiqarilgan hodisaning apriori ehtimoli. Xarid qilingan chiroqning nuqsonli ekanligi haqida ma'lumot olganimizdan so'ng, biz ushbu hodisaning orqa ehtimolini hisoblash orqali ushbu chiroqni ikkinchi zavodda ishlab chiqarish imkoniyati haqidagi taxminimizni to'g'rilashimiz mumkin.

Bayes formulasi

Bayes teoremasi- kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat ba'zi bir qisman ma'lumotlar ma'lum bo'lgan sharoitlarda sodir bo'lish ehtimolini aniqlaydigan elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri. Bayes formulasidan foydalanib, avval ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni ham, yangi kuzatishlar ma'lumotlarini ham hisobga olgan holda, ehtimollikni aniqroq qayta hisoblash mumkin.

"Jismoniy ma'no" va terminologiya

Bayes formulasi sizga “sabab va natijani qayta tartibga solish” imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.

Bu holatda "sabablar" harakatini aks ettiruvchi hodisalar odatda deyiladi farazlar, chunki ular da'vo qilingan bunga olib kelgan voqealar. Gipotezaning to'g'ri bo'lishining shartsiz ehtimoli deyiladi a priori(sabab qanchalik ehtimol umuman) va shartli - voqea faktini hisobga olgan holda - a posteriori(sabab qanchalik ehtimol voqea ma'lumotlarini hisobga olgan holda chiqdi).

Natija

Bayes formulasining muhim natijasi - bu hodisaning umumiy ehtimolining formulasi bir nechta nomuvofiq farazlar ( va faqat ulardan!).

- voqea sodir bo'lish ehtimoli B, bir qator farazlarga bog'liq A i, agar bu farazlarning ishonchlilik darajasi ma'lum bo'lsa (masalan, eksperimental tarzda o'lchanadi);

Formulaning kelib chiqishi

Agar hodisa faqat sabablarga bog'liq bo'lsa A i, keyin sodir bo'lgan bo'lsa, demak, sabablardan biri sodir bo'lgan bo'lishi kerak, ya'ni.

Bayes formulasiga ko'ra

Transfer orqali P(B) o'ng tomonda biz kerakli ifodani olamiz.

Spamni filtrlash usuli

Bayes teoremasiga asoslangan usul spamni filtrlashda muvaffaqiyatli qo'llanilishini topdi.

Tavsif

Filtrni o'rgatishda harflarda uchraydigan har bir so'z uchun uning "og'irligi" hisoblab chiqiladi va saqlanadi - bu so'zli xatning spam bo'lish ehtimoli (eng oddiy holatda - ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: "spamdagi ko'rinishlar / jami ko'rinishlar").

Yangi kelgan xatni tekshirganda, uning spam bo'lish ehtimoli turli xil farazlar uchun yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblanadi. Bunday holda, "gipotezalar" so'zlar bo'lib, har bir so'z uchun "gipotezaning ishonchliligi" harfdagi ushbu so'zning% ni va "hodisaning gipotezaga bog'liqligini" bildiradi. P(B | A i) - so'zning oldindan hisoblangan "og'irligi". Ya'ni, bu holda xatning "og'irligi" uning barcha so'zlarining o'rtacha "og'irligi" dan boshqa narsa emas.

Xat "og'irligi" foydalanuvchi tomonidan belgilangan ma'lum darajadan (odatda 60-80%) oshib ketishiga qarab "spam" yoki "spam bo'lmagan" deb tasniflanadi. Xat bo'yicha qaror qabul qilingandan so'ng, unga kiritilgan so'zlar uchun "vaznlar" ma'lumotlar bazasida yangilanadi.

Xarakterli

Ushbu usul oddiy (algoritmlar oddiy), qulay ("qora ro'yxatlar" va shunga o'xshash sun'iy texnikalarsiz bajarishga imkon beradi), samarali (etarli darajada katta namunada mashq qilgandan so'ng, spamni 95-97% gacha qisqartiradi va har qanday xatolik bo'lsa, u qayta o'qitilishi mumkin). Umuman olganda, uni keng qo'llash uchun barcha ko'rsatmalar mavjud, bu amalda sodir bo'ladi - deyarli barcha zamonaviy spam-filtrlar uning asosida qurilgan.

Biroq, usulning asosiy kamchiligi ham bor: u taxminga asoslanadi, Nima ba'zi so'zlar spamda ko'proq uchraydi, boshqalari esa oddiy elektron pochta xabarlarida, va agar bu taxmin noto'g'ri bo'lsa, samarasiz bo'ladi. Biroq, amaliyot shuni ko'rsatadiki, hatto odam bunday spamni "ko'z bilan" aniqlay olmaydi - faqat xatni o'qish va uning ma'nosini tushunish orqali.

Amalga oshirish bilan bog'liq asosiy bo'lmagan yana bir kamchilik - bu usul faqat matn bilan ishlaydi. Ushbu cheklovni bilgan spamerlar rasmga reklama ma'lumotlarini kiritishni boshladilar, ammo xatdagi matn yo yo'q edi yoki ma'nosiz edi. Bunga qarshi turish uchun siz matnni aniqlash vositalaridan ("qimmat" protsedura, faqat zarurat tug'ilganda qo'llaniladi) yoki eski filtrlash usullaridan - "qora ro'yxatlar" va oddiy iboralardan (chunki bunday harflar ko'pincha stereotipik shaklga ega) foydalanishingiz kerak.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Havolalar

Adabiyot

• Kivi qush. Reverend Bayes teoremasi. // Computerra jurnali, 2001 yil 24 avgust.
• Pol Grem. Spam uchun reja (inglizcha). // Pol Gremning shaxsiy sayti.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Bayes Formula" nima ekanligini ko'ring:

Formulaga ega bo'lgan formula: bu erda a1, A2,..., An mos kelmaydigan hodisalar, f.v ning qo'llanilishining umumiy sxemasi. g.: agar B hodisasi boshqacha sodir bo'lishi mumkin bo'lsa Tajribadan oldin ma'lum bo'lgan P(A1), ... ehtimolliklari bilan n ta gipoteza A1, A2, ..., An tuzilgan shartlar. Geologik ensiklopediya

Muayyan gipotezalarni nazarda tutgan holda ushbu hodisaning shartli ehtimollari, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimollari orqali qiziqish hodisasi ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilsin va to'liq guruh juft bo'lsin... ... Vikipediya

Muayyan gipotezalarni nazarda tutgan holda ushbu hodisaning shartli ehtimollari, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimollari orqali qiziqish hodisasi ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilsin va hodisalarning to'liq guruhi, masalan... ... Vikipediya

- (yoki Bayes formulasi) ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, u faqat bilvosita dalillar (maʼlumotlar) mavjud boʻlganda qandaydir hodisa sodir boʻlish ehtimolini (gipoteza) aniqlash imkonini beradi, bu notoʻgʻri boʻlishi mumkin... Vikipediya.

Bayes teoremasi elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat baʼzi bir qisman maʼlumotlar maʼlum boʻlgan sharoitda sodir boʻlish ehtimolini belgilaydi. Bayes formulasidan foydalanib, siz... ... Vikipediya

Bayes, Tomas Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 (1702) Tug'ilgan joyi ... Vikipediya

Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 Tug'ilgan joyi: London ... Vikipediya

Bayes xulosasi - bu statistik xulosa chiqarish usullaridan biri bo'lib, unda Bayes formulasi dalillar olinganda gipotezalar haqiqatining ehtimollik baholarini aniqlashtirish uchun ishlatiladi. Bayesian yangilanishidan foydalanish ayniqsa... ... Vikipediyada muhim ahamiyatga ega

Ushbu maqolani yaxshilash maqsadga muvofiqmi?: Izohlar ko'rinishida yozilganlarni tasdiqlovchi nufuzli manbalarga havolalarni toping va tartibga soling. Izohlarni qo'shgandan so'ng, manbalarni aniqroq ko'rsating. Pere... Vikipediya

Mahbuslar o'zlarining g'arazli manfaatlariga ergashib, bir-birlariga xiyonat qiladilarmi yoki ular jim bo'lib, shu bilan umumiy jazoni minimallashtiradimi? Prisoner's dilemma (inglizcha: Prisoner's dilemma, kamroq qo'llaniladigan "dilemma ... Vikipediya" nomi

Kitoblar

• Masalalarda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: 360 dan ortiq masala va mashqlar, D. Borzix taklif etilayotgan qo'llanma turli darajadagi murakkablikdagi masalalarni o'z ichiga oladi. Biroq, asosiy e'tibor o'rtacha murakkablikdagi vazifalarga qaratilgan. Bu talabalarni rag'batlantirish uchun ataylab qilingan ...

Umumiy ehtimollik formulasini tuzing va isbotlang. Uning qo'llanilishiga misol keltiring.

Agar H 1, H 2, ..., H n hodisalari juft-juft mos kelmasa va har bir sinov davomida bu hodisalardan kamida bittasi roʻy berishi shart boʻlsa, har qanday A hodisasi uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

P(A)= P H1 (A)P(H 1)+ P H2 (A)P(H 2)+…+ P Hn (A)P(H n) – umumiy ehtimollik formulasi. Bunda H 1, H 2, …, H n gipotezalar deyiladi.

Isbot: A hodisasi variantlarga bo'linadi: AH 1, AH 2, ..., AH n. (A H 1 va boshqalar bilan birga keladi) Boshqacha aytganda, bizda A = AH 1 + AH 2 +…+ AH n. H 1, H 2, …, H n juftlik mos kelmasligi sababli AH 1, AH 2, …, AH n hodisalari ham mos kelmaydi. Qo‘shish qoidasini qo‘llagan holda, topamiz: P(A)= P(AH 1)+ P(AH 2)+…+ P(AH n). O'ng tarafdagi har bir atama P(AH i) ni P Hi (A)P(H i) mahsuloti bilan almashtirsak, biz kerakli tenglikni olamiz.

Misol:

Aytaylik, bizda ikkita qismlar to'plami bor. Birinchi to'plamning bir qismi standart bo'lish ehtimoli 0,8 ga, ikkinchisi esa 0,9 ga teng. Tasodifiy olingan qismning standart bo‘lish ehtimoli topilsin.

P (A) = 0,5 * 0,8 + 0,5 * 0,9 = 0,85.

Bayes formulasini tuzing va isbotlang. Uning qo'llanilishiga misol keltiring.

Bayes formulasi:

Bu A hodisasi ma'lum bo'lgan test natijalaridan keyin gipotezalarning ehtimolini qayta baholashga imkon beradi.

Isbot: A hodisasi H 1 , H 2 , …, H n mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir boʻlganda toʻliq guruh hosil qilgan holda sodir boʻlsin. Ushbu hodisalarning qaysi biri sodir bo'lishi oldindan ma'lum bo'lmaganligi sababli, ular gipoteza deb ataladi.

A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli umumiy ehtimollik formulasi bilan aniqlanadi:

P(A)= P H1 (A)P(H 1)+ P H2 (A)P(H 2)+…+ P Hn (A)P(H n) (1)

Faraz qilaylik, test o'tkazildi, natijada A hodisasi paydo bo'ldi, A hodisasi allaqachon sodir bo'lganligi sababli gipotezalarning ehtimollari qanday o'zgarganligini aniqlaylik. Boshqacha qilib aytganda, biz shartli ehtimollarni qidiramiz

P A (H 1), P A (H 2), ..., P A (H n).

Ko'paytirish teoremasi bo'yicha bizda:

P(AH i) = P(A) P A (H i) = P(H i)P Salom (A)

Bu erda (1) formula bo'yicha P (A) ni almashtiramiz, biz olamiz

Misol:

Uchta bir xil ko'rinishdagi qutilar mavjud. Birinchi qutida n=12 oq shar, ikkinchisida m=4 oq va n-m=8 qora shar, uchinchisida n=12 qora shar bor. Oq to'p tasodifiy tanlangan qutidan olinadi. To‘pning ikkinchi qutidan chiqarilishi P ehtimolligini toping.

Yechim.

4) Ehtimollik formulasini chiqaringkseriyadagi muvaffaqiyatnBernulli sxemasi bo'yicha testlar.

Keling, u ishlab chiqarilgan ishni ko'rib chiqaylik n bir xil va mustaqil tajribalar, ularning har biri faqat 2 ta natijaga ega ( A;). Bular. ba'zi tajribalar takrorlanadi n marta va har bir tajribada qandaydir hodisa A ehtimollik bilan paydo bo'lishi mumkin P(A)=q yoki ehtimollik bilan paydo bo'lmaydi P()=q-1=p .

Har bir test seriyasining elementar hodisalar maydoni nuqtalar yoki belgilar ketma-ketligini o'z ichiga oladi A Va . Bunday ehtimollik fazosiga Bernulli sxemasi deyiladi. Vazifa ma'lum bir narsa uchun buni ta'minlashdir k ehtimolini toping n- tajriba hodisasining bir necha marta takrorlanishi A keladi k bir marta.

Aniqroq bo'lishi uchun keling, voqeaning har bir hodisasi bo'yicha kelishib olaylik A muvaffaqiyat, ilg'orlik deb hisoblang A - muvaffaqiyatsizlikka o'xshaydi. Bizning maqsadimiz - bu ehtimollikni topish n tajribalar aniq k muvaffaqiyatli bo'ladi; bu hodisani vaqtincha bilan belgilaymiz B.

Tadbir IN bir qator voqealar yig'indisi sifatida taqdim etiladi - voqea variantlari IN. Muayyan variantni yozish uchun siz muvaffaqiyatli yakunlangan tajribalar sonini ko'rsatishingiz kerak. Masalan, mumkin bo'lgan variantlardan biri

. Barcha variantlar soni ga teng va tajribalarning mustaqilligi tufayli har bir variantning ehtimoli ga teng. Shunday qilib, hodisaning ehtimoli IN ga teng. Olingan ifodaning bog'liqligini ta'kidlash n Va k, uni belgilaylik . Shunday qilib, .

5) Laplasning integral taqribiy formulasidan foydalanib, A hodisaning nisbiy chastotasining bir tajribada A hodisasining p ehtimolligidan chetlanishini baholash formulasini chiqaring.

Bernulli sxemasi sharoitida berilgan e>0 uchun n va p ning berilgan qiymatlari bilan biz hodisaning ehtimolini baholaymiz, bu erda k - n ta tajribadagi muvaffaqiyatlar soni. Bu tengsizlik |k-np|£en ga ekvivalent, ya'ni. -en £ k-np £ en yoki np-en £ k £ np+en. Shunday qilib, biz k 1 £ k £ k 2 hodisaning ehtimolligi uchun taxminni olish haqida gapiramiz, bu erda k 1 = np-en, k 2 = np+en. Laplasning integral taqribiy formulasini qo'llagan holda, biz quyidagilarga erishamiz: P( » Laplas funksiyasining g'alatiligini hisobga olib, P( » 2F ga yaqin tenglikni olamiz.

Eslatma : chunki shart bo'yicha n=1, keyin n o'rniga bittani almashtiramiz va yakuniy javobni olamiz.

6) Mayli X- faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladigan va matematik taxminga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi m. Buni isbotlang P(X≥ 4) ≤ m/ 4 .

m= (birinchi had musbat bo'lgani uchun, agar uni olib tashlasangiz, u kamroq bo'ladi) ³ (almashtirish a 4 ga bo'lsa, u faqat kamroq bo'ladi) ³ = =4× P(X³4). Bu yerdan P(X≥ 4) ≤ m/ 4 .

(4 o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

7) Agar buni isbotlang X Va Y ular cheklangan qiymatlar to'plamini qabul qiladigan mustaqil diskret tasodifiy o'zgaruvchilardir M(XY)=M(X)M(Y)

x 1	x 2	…
p 1	p2	…

chaqirilgan raqam M(XY)= x 1 p 1 + x 2 p 2 + ...

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y mustaqil bo'lsa, u holda ularning mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng bo'ladi (matematik kutishlarni ko'paytirish teoremasi).

Isbot: Mumkin qiymatlar X belgilaylik x 1 , x 2, …, mumkin bo'lgan qiymatlar Y - y 1, y 2, … A p ij =P(X=x i , Y=y j). XY M(XY)= Miqdorlarning mustaqilligi tufayli X Va Y bizda ... bor: P(X= x i , Y=y j)= P(X=x i) P(Y=y j). Belgilangan holda P(X=x i)=r i , P(Y=y j)=s j, biz bu tenglikni shaklda qayta yozamiz p ij =r i s j

Shunday qilib, M(XY)= =. Olingan tenglikni o'zgartirib, biz quyidagilarga erishamiz: M(XY)=()() = M(X)M(Y), Q.E.D.

8) Agar buni isbotlang X Va Y ular cheklangan qiymatlar to'plamini qabul qiladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilardir M(X+Y) = M(X) +M(Y).

Taqsimot qonuni bilan diskret tasodifiy miqdorni matematik kutish

x 1	x 2	…
p 1	p2	…

chaqirilgan raqam M(XY)= x 1 p 1 + x 2 p 2 + ...

Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M(X+Y)= M(X)+M(Y).

Isbot: Mumkin qiymatlar X belgilaylik x 1 , x 2, …, mumkin bo'lgan qiymatlar Y - y 1, y 2, … A p ij =P(X=x i , Y=y j). Kattalikni taqsimlash qonuni X+Y tegishli jadvalda ifodalanadi. M(X+Y)= .Ushbu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: M(X+Y)= .O'ng tomonning birinchi yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Ifoda har qanday hodisaning yuz berish ehtimoli (X=x i, Y=y 1), (X=x i, Y=y 2), ... Shuning uchun bu ifoda P(X=x i) ga teng. . Bu yerdan . Xuddi shunday, . Natijada, bizda: M(X+Y)= M(X)+M(Y), bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

9) Mayli X– parametrlari bilan binomial taqsimot qonuniga muvofiq taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor n Va R. Buni isbotlang M(X)=nr, D(X)=nr(1-r).

Ishlab chiqarilsin n mustaqil sinovlar, ularning har birida A hodisasi ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin R, shuning uchun qarama-qarshi hodisaning ehtimoli Ā ga teng q=1-p. Keling, quyidagilarni ko'rib chiqaylik. hajmi X- hodisaning sodir bo'lish soni A V n tajribalar. Keling, X ni har bir sinov uchun A hodisasi ko'rsatkichlarining yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik: X=X 1 +X 2 +…+X n. Endi buni isbotlaylik M(X i)=p, D(X i)=np. Buning uchun sl taqsimot qonunini ko'rib chiqing. miqdorlar, bu quyidagicha ko'rinadi:

X
R	R	q

Bu aniq M(X)=p, X 2 tasodifiy miqdor bir xil taqsimot qonuniga ega, shuning uchun D(X)=M(X 2)-M 2 (X)=r-r 2 =r(1-r)=rq. Shunday qilib, M(X i)=p, D(X i)=pq. Matematik kutilmalarni qo'shish teoremasi bo'yicha M(X)=M(X 1)+..+M(X n)=nr. Tasodifiy o'zgaruvchilardan beri Xi mustaqil bo'lsa, u holda farqlar ham qo'shiladi: D(X)=D(X 1)+…+D(X n)=npq=np(1-p).

10) Mayli X– l parametrli Puasson qonuniga muvofiq taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor. Buni isbotlang M(X) = λ .

Puasson qonuni quyidagi jadvalda keltirilgan:

Bu erdan bizda:

Shunday qilib, bu Puasson taqsimotini tavsiflovchi parametr l X qiymatining matematik kutilishidan boshqa narsa emas.

11) X parametrli p bilan geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor bo‘lsin. M (X) = ekanligini isbotlang.

Geometrik taqsimot qonuni 1-muvaffaqiyatli A hodisasigacha Bernulli sinovlarining ketma-ketligi bilan bog'liq. Bir sinovda A hodisasining paydo bo'lish ehtimoli p, qarama-qarshi hodisa q = 1-p. X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni - testlar soni - quyidagi shaklga ega:

X			…	n	…
R	R	pq	…	pq n-1	…

Qavs ichida yozilgan qator geometrik progressiyaning hadlar bo'yicha differensiallash yo'li bilan olinadi

Demak, .

12) X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti shartni qanoatlantirishini isbotlang.

Ta'rif: Ikki tasodifiy o'zgaruvchining korrelyatsiya koeffitsienti ularning kovariatsiyasining ushbu o'zgaruvchilarning standart og'ishlari ko'paytmasiga nisbati: . .

Isbot: Z = tasodifiy miqdorni ko'rib chiqamiz. Keling, uning dispersiyasini hisoblaylik. Chap tomon salbiy bo'lmagani uchun o'ng tomon salbiy emas. Shuning uchun, , |r|≤1.

13) Zichlik bilan uzluksiz taqsimlanishda dispersiya qanday hisoblanadi f(x)? Buni tasodifiy o'zgaruvchi uchun isbotlang X zichligi bilan dispersiya D(X) mavjud emas va matematik kutish M(X) mavjud.

Zichlik funksiyasi f(x) va matematik kutilma m = M(X) bo‘lgan absolyut uzluksiz X tasodifiy o‘zgaruvchining dispersiyasi diskret o‘zgaruvchi bilan bir xil tenglik bilan aniqlanadi.

Mutlaq uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X oraliqda to'plangan bo'lsa,

∞ - integral ajralib chiqadi, shuning uchun dispersiya mavjud emas.

14) Tarqatish zichligi funksiyasiga ega normal X tasodifiy miqdor uchun ekanligini isbotlang matematik kutish M(X) = m.

Formula

m ning matematik kutish ekanligini isbotlaylik.

Uzluksiz r.v.ning matematik kutilishini aniqlash uchun,

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Bu yerdan. Integratsiyaning yangi chegaralari eskilariga teng ekanligini hisobga olib, biz olamiz

Integratsiya funktsiyasining g'alatiligi tufayli hadlarning birinchisi nolga teng. Shartlarning ikkinchisi teng μ (Puasson integrali ).

Shunday qilib, M(X)=m, ya'ni. normal taqsimotning matematik kutilishi parametrga teng μ.

15) Tarqatish zichligi funksiyasiga ega normal X tasodifiy miqdor uchun ekanligini isbotlang dispresiya D(X) = s 2 .

Formula uzluksiz tasodifiy miqdorning normal ehtimollik taqsimotining zichligini tavsiflaydi.

Bu normal taqsimotning standart og'ishi ekanligini isbotlaylik. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz z=(x-m)/ . Bu yerdan . Integratsiyaning yangi chegaralari eskilariga teng ekanligini hisobga olib, biz qismlar bo'yicha integratsiyani olamiz, u=z, topamiz Shuning uchun, .Demak, normal taqsimotning standart og'ishi parametrga teng.

16) Parametrli ko'rsatkichli qonun bo'yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdor uchun matematik kutilma ekanligini isbotlang.

Faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qiladigan X tasodifiy o'zgaruvchisi, agar biron bir musbat parametr l>0 uchun zichlik funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa, eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan deyiladi:

Matematik taxminni topish uchun biz formuladan foydalanamiz

Bayes teoremasi alohida maqolada batafsil tavsiflangan. Bu ajoyib asar, lekin u 15 000 so'zdan iborat. Kalid Azaddan maqolaning xuddi shu tarjimasi teoremaning mohiyatini qisqacha tushuntiradi.

• Tadqiqot va sinov natijalari voqea emas. Saraton kasalligini aniqlash usuli mavjud va hodisaning o'zi ham bor - kasallikning mavjudligi. Algoritm xatda spam bor-yo'qligini tekshiradi, ammo voqea (spam haqiqatan ham pochta orqali kelgan) uning ish natijasidan alohida ko'rib chiqilishi kerak.
• Sinov natijalarida xatolar mavjud. Ko'pincha bizning tadqiqot usullari mavjud bo'lmagan narsalarni (noto'g'ri ijobiy) aniqlaydi va nima (noto'g'ri salbiy) ekanligini aniqlamaydi.
• Sinovlar yordamida biz ma'lum bir natijaning ehtimolini olamiz. Ko'pincha biz test natijalarini mustaqil ravishda ko'rib chiqamiz va usul xatolarini hisobga olmaymiz.
• Noto'g'ri ijobiy natijalar rasmni buzadi. Aytaylik, siz juda kam uchraydigan hodisani aniqlashga harakat qilyapsiz (1 000 000 ta holat). Sizning usulingiz to'g'ri bo'lsa ham, sizning ijobiy natijangiz noto'g'ri ijobiy bo'lishi ehtimoli bor.
• Natural sonlar bilan ishlash qulayroq. Aytish yaxshiroq: 1% emas, 10000 dan 100 ta. Ushbu yondashuv bilan, ayniqsa, ko'paytirishda kamroq xatolar bo'ladi. Aytaylik, biz ushbu 1% bilan ishlashni davom ettirishimiz kerak. Foizlarda mulohaza yuritish noqulay: "1% holatlarning 80 foizida ijobiy natija bo'ldi." Ma'lumotni quyidagicha qabul qilish ancha oson: "100 ta holatdan 80 tasida ijobiy natija kuzatildi".
• Hatto fanda ham har qanday fakt faqat usulni qo'llash natijasidir. Falsafiy nuqtai nazardan, ilmiy eksperiment shunchaki xatolik ehtimoli bo'lgan sinovdir. Kimyoviy moddani yoki qandaydir hodisani ochib beradigan usul bor va hodisaning o'zi bor - bu hodisaning mavjudligi. Sinov usullarimiz noto'g'ri natijalar berishi mumkin va barcha jihozlar o'ziga xos xatolikka ega.

Bayes teoremasi test natijalarini hodisalar ehtimoliga aylantiradi.

• Agar biz hodisaning ehtimolini va noto'g'ri musbat va noto'g'ri salbiy ehtimolini bilsak, o'lchash xatolarini tuzatishimiz mumkin.
• Teorema hodisaning ehtimolini ma'lum bir natija ehtimoli bilan bog'laydi. Biz Pr(A|X) ni bog‘lashimiz mumkin: A hodisasining ehtimoli, berilgan X natijasi va Pr(X|A): A hodisasi berilgan X natija ehtimoli.

Keling, usulni tushunaylik

Ushbu inshoning boshida bog'langan maqolada ko'krak bezi saratonini aniqlaydigan diagnostika usuli (mammogramma) ko'rib chiqiladi. Keling, ushbu usulni batafsil ko'rib chiqaylik.

• Barcha ayollarning 1 foizi ko'krak bezi saratoniga chalinadi (va shunga mos ravishda 99 foizi uni yuqtirmaydi)
• Mammogrammalarning 80% kasallikni haqiqatda mavjud bo'lganda aniqlaydi (va shunga mos ravishda 20% uni aniqlamaydi)
• Sinovlarning 9,6 foizi saraton kasalligini yo'q bo'lganda aniqlaydi (va shunga mos ravishda 90,4 foizi salbiy natijani to'g'ri aniqlaydi)

Endi shunday jadval tuzamiz:

Ushbu ma'lumotlar bilan qanday ishlash kerak?

• Ayollarning 1 foizi ko'krak saratoniga chalinadi
• Agar bemorga kasallik tashxisi qo'yilgan bo'lsa, birinchi ustunga qarang: usul to'g'ri natija berganligining 80% ehtimoli va test natijasi noto'g'ri (noto'g'ri salbiy) bo'lishining 20% ​​ehtimoli bor.
• agar bemorning kasalligi aniqlanmagan bo'lsa, ikkinchi ustunga qarang. 9,6% ehtimol bilan biz tadqiqotning ijobiy natijasi noto'g'ri, 90,4% ehtimol bilan bemor haqiqatan ham sog'lom deb aytishimiz mumkin.

Usul qanchalik to'g'ri?

Keling, ijobiy test natijasini ko'rib chiqaylik. Odamning haqiqatan ham kasal bo'lish ehtimoli qanday: 80%, 90%, 1%?

Keling, o'ylab ko'raylik:

• Ijobiy natija bor. Keling, barcha mumkin bo'lgan natijalarni ko'rib chiqaylik: natija haqiqiy ijobiy yoki noto'g'ri ijobiy bo'lishi mumkin.
• Haqiqiy ijobiy natija ehtimoli quyidagilarga teng: kasallikni yuqtirish ehtimoli testning haqiqatda kasallikni aniqlaganligi ehtimoliga ko'paytiriladi. 1% * 80% = .008
• Noto'g'ri ijobiy natija ehtimoli quyidagilarga teng: kasallikning yo'qligi ehtimolligi usul kasallikni noto'g'ri aniqlash ehtimoliga ko'paytiriladi. 99% * 9,6% = .09504

Endi jadval quyidagicha ko'rinadi:

Agar ijobiy mamogramma olingan bo'lsa, odamning haqiqatan ham kasal bo'lish ehtimoli qanday? Hodisa ehtimoli - bu hodisaning mumkin bo'lgan natijalari sonining barcha mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati.

Hodisa ehtimoli = hodisaning natijalari / barcha mumkin bo'lgan natijalar

Haqiqiy ijobiy natija ehtimoli .008 ga teng. Ijobiy natija ehtimoli - haqiqiy ijobiy natija ehtimoli + noto'g'ri ijobiy natija ehtimoli.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Shunday qilib, ijobiy test natijasi bilan kasallik ehtimoli quyidagicha hisoblanadi: .008/.10304 = 0.0776. Bu qiymat taxminan 7,8% ni tashkil qiladi.

Ya'ni, ijobiy mamogramma natijasi faqat kasallik ehtimoli 80% emas, balki 7,8% ekanligini anglatadi (oxirgi qiymat faqat usulning taxminiy aniqligi). Bu natija dastlab tushunarsiz va g'alati tuyuladi, lekin siz e'tiborga olishingiz kerak: usul 9,6% hollarda noto'g'ri ijobiy natija beradi (bu juda ko'p), shuning uchun namunada juda ko'p noto'g'ri ijobiy natijalar bo'ladi. Kamdan kam uchraydigan kasallik uchun ijobiy natijalarning aksariyati noto'g'ri ijobiy bo'ladi.

Keling, jadvalni ko'rib chiqaylik va teoremaning ma'nosini intuitiv ravishda tushunishga harakat qilaylik. Agar bizda 100 kishi bo'lsa, ulardan faqat bittasida kasallik bor (1%). Bu odam uchun usulning ijobiy natija berishining 80% ehtimoli bor. Qolgan 99% dan 10% ijobiy natijalarga ega bo'ladi, bu bizga taxminan 100 tadan 10 ta noto'g'ri ijobiy natija beradi. Agar barcha ijobiy natijalarni hisobga olsak, 11 tadan faqat 1 tasi to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, agar ijobiy natija olinsa, kasallik ehtimoli 1/11 ni tashkil qiladi.

Yuqorida biz bu ehtimollik 7,8% ekanligini hisoblab chiqdik, ya'ni. Bu raqam aslida 1/13 ga yaqinroq, ammo bu erda oddiy mulohaza yuritish bilan biz kalkulyatorsiz taxminiy taxminni topa oldik.

Bayes teoremasi

Keling, Bayes teoremasi deb nomlangan formuladan foydalanib, fikrlash pog'onasini tasvirlaylik. Ushbu teorema tadqiqot natijalarini noto'g'ri ijobiy natijalar bilan kiritilgan buzilishlarga muvofiq tuzatishga imkon beradi:

• Pr (A | X) = ijobiy natija (X) berilgan kasallik (A) ehtimoli. Bu biz bilmoqchi bo'lgan narsa: agar natija ijobiy bo'lsa, hodisaning ehtimoli qanday. Bizning misolimizda bu 7,8% ni tashkil qiladi.
• Pr (X | A) = bemor haqiqatan ham kasal bo'lgan taqdirda ijobiy natija (X) ehtimoli (A). Bizning holatda, bu haqiqiy ijobiy qiymat - 80%
• Pr(A) = kasallanish ehtimoli (1%)
• Pr(A emas) = ​​kasal bo'lmaslik ehtimoli (99%)
• Pr (X | A emas) = ​​kasallik bo'lmasa, tadqiqotning ijobiy natijasi ehtimoli. Bu noto'g'ri ijobiy ko'rsatkich - 9,6%.

Xulosa qilishimiz mumkin: hodisaning ehtimolini olish uchun siz haqiqiy ijobiy natija ehtimolini barcha ijobiy natijalar ehtimoliga bo'lishingiz kerak. Endi biz tenglamani soddalashtirishimiz mumkin:
Pr(X) - normalizatsiya konstantasi. Bu bizga yaxshi xizmat qildi: usiz testning ijobiy natijasi bizga voqea sodir bo'lishining 80% imkoniyatini bergan bo'lardi.
Pr (X) - bemorlarni o'rganishda haqiqiy ijobiy natija (1%) yoki sog'lom odamlarni o'rganishda noto'g'ri ijobiy natija (99%) bo'ladimi, har qanday ijobiy natija ehtimoli.

Bizning misolimizda Pr (X) juda katta raqam, chunki noto'g'ri musbat ehtimollik yuqori.

Pr (X) 7,8% natija beradi, bu birinchi qarashda qarama-qarshi ko'rinadi.

Teoremaning ma'nosi

Ishlarning haqiqiy holatini aniqlash uchun testlar o'tkazmoqdamiz. Agar testlarimiz mukammal va to'g'ri bo'lsa, unda testlarning ehtimollari va hodisalarning ehtimollari mos keladi. Barcha ijobiy natijalar haqiqatan ham ijobiy bo'ladi va barcha salbiy natijalar salbiy bo'ladi. Ammo biz haqiqiy dunyoda yashayapmiz. Va bizning dunyomizda testlar noto'g'ri natijalar beradi. Bayes teoremasi noto'g'ri natijalarni hisobga oladi, xatolarni tuzatadi, populyatsiyani qayta tiklaydi va haqiqiy ijobiy ehtimolini topadi.

Spam filtri

Bayes teoremasi spam filtrlarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Bizda bor:

• A hodisasi - xatdagi spam
• test natijasi - xatdagi ba'zi so'zlarning mazmuni:

Filtr sinov natijalarini (maktubdagi ma'lum so'zlarning mazmunini) hisobga oladi va xatda spam bor yoki yo'qligini taxmin qiladi. Har bir inson, masalan, "Viagra" so'zi oddiy harflardan ko'ra ko'proq spamda topilganligini tushunadi.

Qora ro'yxatga asoslangan spam-filtrning kamchiliklari bor - u ko'pincha noto'g'ri ijobiy natijalar beradi.

Bayes teoremasi spam filtri muvozanatli va aqlli yondashuvdan foydalanadi: u ehtimollar bilan ishlaydi. Elektron pochtadagi so'zlarni tahlil qilganimizda, ha/yo'q qarorlarini qabul qilishdan ko'ra, elektron pochtaning spam bo'lish ehtimolini hisoblashimiz mumkin. Agar xatda spam bo'lish ehtimoli 99% bo'lsa, xat haqiqatan ham shunday.

Vaqt o'tishi bilan filtr kattaroq namunaga o'rgatiladi va ehtimolliklarni yangilaydi. Shunday qilib, Bayes teoremasi asosida yaratilgan ilg'or filtrlar qatordagi ko'plab so'zlarni tekshiradi va ularni ma'lumot sifatida ishlatadi.

Qo'shimcha manbalar:

Teglar: teglar qo'shish