30 tadan 1 tasi

Mavzu bo'yicha taqdimot: Nyuton-Leybnits formulasi

Slayd raqami 1

Slayd tavsifi:

Slayd № 2

Slayd tavsifi:

Slayd № 3

Slayd tavsifi:

Slayd № 4

Slayd tavsifi:

Nyuton va Leybnits Bizgacha yetib kelgan hujjatlardan fan tarixchilari aniqladilarki, Nyuton differensial va integral hisoblarni 1665-1666 yillarda kashf etgan, lekin uni 1704 yilgacha nashr etmagan. Leybnits o'zining hisob-kitob versiyasini mustaqil ravishda (1675 yildan) ishlab chiqdi, garchi uning fikrlashiga dastlabki turtki, ehtimol Nyutonda bunday hisob-kitoblarga ega bo'lganligi haqidagi mish-mishlar, shuningdek, Angliyadagi ilmiy suhbatlar va Nyuton bilan yozishmalar orqali paydo bo'lgan. Nyutondan farqli o'laroq, Leybnits darhol o'z versiyasini nashr etdi va keyinchalik Yoqub va Iogan Bernulli bilan birgalikda bu davrni yaratuvchi kashfiyotni butun Evropada keng targ'ib qildi. Qit'adagi ko'pchilik olimlar tahlilni Leybnits kashf etganiga shubha qilishmagan.

Slayd raqami 5

Slayd tavsifi:

Uning vatanparvarligiga da'vat etgan do'stlarining ishonchiga quloq solgan Nyuton o'zining "Elementlar" ning 2-kitobida (1687) shunday degan: "Taxminan o'n yil oldin men juda mohir matematik janob Leybnits bilan almashgan maktublarda men unga: maksimal va minimallarni aniqlash, tangenslarni chizish va shunga o'xshash savollarni echish usuli, ham ratsional, ham irratsional atamalarga teng qo'llaniladi va men usulni quyidagi jumlaning harflarini qayta tartibga solish orqali yashirdim: "hozirgi miqdorlarning istalgan sonini o'z ichiga olgan tenglama berilganda, oqimlarni va orqaga qaytishni toping". Eng mashhur odam menga shunday deb javob berdi, u ham shunday usulga hujum qildi va menga o'z usulini aytdi, bu mennikidan deyarli farq qilmaydi, keyin faqat formulalar va konturlar bo'yicha.

Slayd raqami 6

Slayd tavsifi:

1693 yilda Nyuton nihoyat birinchisini nashr etganida xulosa tahlilining o'z versiyasi, u Leybnits bilan do'stona maktublar almashdi. Nyuton dedi: "Bizning Uollis o'zining yaqinda paydo bo'lgan "Algebra" ga bir vaqtning o'zida men sizga yozgan xatlarimni qo'shdi. Shu bilan birga, u mendan o‘sha paytda sizdan yashirib yurgan usulimni harflarni tartiblash orqali ochiq aytib berishimni talab qildi; Men buni imkon qadar qisqa qildim. Umid qilamanki, men siz uchun yoqimsiz narsani yozmadim, lekin agar bu sodir bo'lgan bo'lsa, iltimos, menga xabar bering, chunki do'stlar men uchun matematik kashfiyotlardan ko'ra azizroq.

Slayd raqami 7

Slayd tavsifi:

Nyuton tahlilining birinchi batafsil nashri (Optikaga matematik ilova, 1704) Leybnitsning Acta eruditorum jurnalida paydo bo'lgandan so'ng, Nyutonga nisbatan haqoratli ishoralar bilan anonim sharh paydo bo'ldi. Sharh yangi hisob muallifi Leybnits ekanligini aniq ko'rsatdi. Leybnitsning o'zi taqrizni yozganligini qat'iyan rad etdi, ammo tarixchilar uning qo'lyozmasida yozilgan qoralamani topishga muvaffaq bo'lishdi. Nyuton Leybnitsning qog'ozini e'tiborsiz qoldirdi, ammo uning shogirdlari g'azab bilan javob berishdi, shundan so'ng "matematika tarixidagi eng sharmandali janjal" bo'lgan umumevropa ustuvor urushi boshlandi.

Slayd № 8

Slayd tavsifi:

1713 yil 31 yanvarda Qirollik jamiyati Leybnitsdan kelishuv formulasini o'z ichiga olgan maktub oldi: u Nyutonning tahlilga o'zi kelganiga rozi bo'ldi. umumiy tamoyillar biznikiga o'xshaydi." G'azablangan Nyuton ustuvorlikni aniqlash uchun xalqaro komissiya tuzishni talab qildi. Komissiyaga ko'p vaqt kerak emas edi: bir yarim oy o'tgach, Nyutonning Oldenburg va boshqa hujjatlar bilan yozishmalarini o'rganib chiqib, u bir ovozdan Nyutonning ustuvorligini tan oldi va bu safar Leybnitsga nisbatan haqoratli so'z bilan aytganda. Komissiya qarori barcha tasdiqlovchi hujjatlar ilova qilingan holda Jamiyat ishida e’lon qilindi.

Slayd № 9

Slayd tavsifi:

Bunga javoban, 1713-yilning yozidan Yevropa Leybnitsning ustuvorligini himoya qiluvchi va “Nyuton oʻziga tegishli boʻlgan sharafni oʻzi uchun qadrlaydi” degan anonim risolalar bilan toʻlib ketdi. Shuningdek, risolalarda Nyuton Huk va Flamstid natijalarini o‘g‘irlaganlikda ayblangan. Nyutonning do'stlari, o'z navbatida, Leybnitsning o'zini plagiatda aybladilar; ularning versiyasiga ko'ra, Londonda bo'lganida (1676) Leybnits Qirollik jamiyati Nyutonning nashr etilmagan asarlari va maktublari bilan tanishdi, shundan so'ng Leybnits u erda bildirilgan fikrlarni e'lon qildi va ularni o'ziniki deb e'lon qildi, 1716 yil dekabrgacha, Abbot Konti Nyutonga: "Leybnits vafot etdi - bahs tugadi.

Slayd № 10

Slayd tavsifi:

Slayd № 11

Slayd tavsifi:

Slayd № 12

Slayd tavsifi:

Keling, ixtiyoriy x € (a.b) qiymatini o'rnatamiz va yangi funktsiyani aniqlaymiz, u x € (a.b) ning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, chunki biz bilamizki, agar (a,b) ning integrali mavjud bo'lsa. Shuningdek, ʄ on (a ,b) dan integral bo'ladi, bu erda eslaylikki, ta'rif bo'yicha ko'rib chiqamiz.

Slayd № 13

Slayd tavsifi:

Slayd № 14

Slayd tavsifi:

Shunday qilib, ʄ uzilishlar bor yoki yo'qligidan qat'i nazar, (a,b) da F uzluksiz; ʄ ning (a,b) da integrallanishi muhim. Rasmda ʄ ning grafigi ko'rsatilgan. aABx o'zgaruvchisining maydoni F (X) ga teng, uning o'sishi F (X+h)-F(x) xBC(x+h) rasmining maydoniga teng. ʄ ning chegaralanganligi aniq nolga intiladi h→ 0, irodadan qat'iy nazar x uzluksizlik yoki uzilish nuqtasi bo'ladi ʄ masalan. nuqta x-d

Slayd № 15

Slayd tavsifi:

Slayd № 16

Slayd tavsifi:

Slayd № 17

Slayd tavsifi:

h→0 sifatida chegaraga o‘tish nuqtada F ning hosilasi mavjudligini va tenglikning haqiqiyligini ko‘rsatadi. x=a,b uchun biz bu erda mos ravishda o'ng va chap hosilalar haqida gapiramiz. Agar ʄ funktsiya (a,b) da uzluksiz bo'lsa, yuqorida isbotlangan narsaga asoslanib, mos keladigan funktsiya ga teng hosilaga ega bo'ladi.

Slayd № 18

Slayd tavsifi:

Biz (a,b) oraliqda uzluksiz bo'lgan ixtiyoriy funksiya ʄ tenglik bilan aniqlangan bu intervalda anti hosilaga ega ekanligini isbotladik. Bu intervalda uzluksiz har qanday funksiya uchun antiderivativ mavjudligini isbotlaydi. Endi (a,b) bo'yicha ʄ(x) funksiyaning ixtiyoriy anti hosilasi bo'lsin. Biz bilamizki, bu erda C qandaydir doimiydir. Bu tenglikda x=a deb faraz qilib, F(a)=0 ekanligini hisobga olsak, F(a)=C ni olamiz.

Slayd № 19

Slayd tavsifi:

Slayd № 20

Slayd tavsifi:

Integral Funktsiyaning integrali ketma-ketlik yig'indisining tabiiy analogidir. Tahlilning asosiy teoremasiga ko'ra, integratsiya differensiallanishning teskari amalidir. Integralni topish jarayoni integratsiya deb ataladi turli xil ta'riflar bilan farq qiluvchi integratsiya operatsiyalari texnik tafsilotlar. Biroq, ularning barchasi bir-biriga mos keladi, ya'ni integratsiyaning har qanday ikkita usuli, agar ularni berilgan funktsiyaga qo'llash mumkin bo'lsa, bir xil natijani beradi.

Slayd № 21

Slayd tavsifi:

Slayd № 22

Slayd tavsifi:

Tarix dx integral ʃ differensiatsiyasining belgilari birinchi marta 17-asr oxirida Leybnits tomonidan qo'llanilgan. Integral belgi S harfidan hosil bo'ladi - lotin so'zining qisqartmasi. jamlama (sum). Antik davrda integral Integratsiyani kuzatish mumkin qadimgi Misr, miloddan avvalgi 1800 yillar atrofida. e., Moskva matematik papirusi kesilgan piramida hajmining formulasi haqidagi bilimlarni namoyish etadi. Birinchidan ma'lum usul integrallarni hisoblash uchun Evdoksning (taxminan miloddan avvalgi 370-yil) tugash usuli hisoblanadi, u maydonlar va hajmlarni ularni qismlarga bo'lish orqali topishga harakat qildi. cheksiz to'plam maydoni yoki hajmi allaqachon ma'lum bo'lgan qismlar. Ushbu usul Arximed tomonidan qo'llanilgan va ishlab chiqilgan va parabolalarning maydonlarini hisoblash va aylananing maydonini taxmin qilish uchun ishlatilgan. Shunga o'xshash usullar Xitoyda eramizning III asrida Lyu Xuy tomonidan mustaqil ravishda ishlab chiqilgan bo'lib, ular aylana maydonini topishda foydalangan. Keyinchalik bu usul Ju Chongshi tomonidan sharning hajmini topish uchun ishlatilgan.

Slayd № 23

Slayd tavsifi:

Nyuton-Leybnits formulasining tarixiy ahamiyati va falsafiy ma'nosi Ushbu turkumning eng muhim tadqiqot vositalaridan biri Nyuton-Leybnits formulasi va uning hosilasini integrallash orqali anti hosila funksiyasini topish usulidir. Formulaning tarixiy ahamiyati cheksiz kichik miqdorlardan foydalanishda va berilgan savolga mutlaqo to'g'ri javob beradi. Matematik, fizikaviy va boshqa tabiatshunoslik masalalarini yechishda ushbu usuldan foydalanishning afzalliklari yaxshi ma’lum, masalan, doirani kvadratga solishning klassik muammosi – berilgan aylanaga teng o‘lchamdagi kvadratni qurish. Falsafiy ma'no - butun haqida uning cheksiz kichik qismidan ma'lumot olish imkoniyati, yuqorida aytib o'tilgan - muvaffaqiyatlar misolida tibbiyot va biologiyada aniq amalga oshiriladi. genetik muhandislik klonlashda - o'zaro o'xshash tirik mavjudotlarni yaratish. Tarix Nyuton-Leybnits formulasidan foydalangan fanlar ro'yxatida noyob istisno bo'lib qolmoqda. Ma'lumotni taqdim eta olmaslik tarixiy manbalar raqamlar shaklida - formula argumentlari - an'anaviy. Shunday qilib, hozirgacha formulaning falsafiy ma'nosi butunlay falsafiy emas, chunki u faqat tabiatshunoslik bilimlari, ijtimoiy va gumanitar bilimlarni bunday kuchli vositasiz qoldirish. Garchi, agar siz yopishib qolsangiz an'anaviy xususiyatlar ijtimoiy va gumanitar bilimlar, uning zaif tomonlari, ta'bir joiz bo'lsa, va unga mos keladigan narsa.

Slayd № 24

Slayd tavsifi:

Ammo keyingi ilmiy tahlil bizning davrimizda davom etayotgan jarayonning yangi, boshqacha tasvirini beradi. Hozirgi vaqtda fanda hukmron bo'lgan atom qarashlari materiyani mayda zarralar to'plamiga yoki doimiy ravishda joylashgan kuch markazlariga parchalaydi, ular abadiy turli xil harakatlarda bo'ladi. Xuddi shu tarzda, moddaga kirib boradigan efir doimo qo'zg'aladi va to'lqinlarda tebranadi. Materiya va efirning barcha bu harakatlari biz uchun cheksiz bo'lgan dunyo fazosi bilan eng yaqin va uzluksiz aloqada. Bizning aniq tasavvurimizga etib bo'lmaydigan bu g'oya fizika ma'lumotlaridan kelib chiqadi.

Slayd № 25

Slayd tavsifi:

Hatto tasavvuf va sehrli harakatlar ham bu holatni hisobga olishi kerak, garchi ular vaqt tushunchasiga boshqacha ma'no berish orqali bu haqiqatning umumiy dunyoqarashdagi ma'nosini butunlay yo'q qilishi mumkin. Demak, savol hissiyotlar bilan idrok etiladigan hodisalarga taalluqli bo‘lsa-da, hatto falsafa va dinning aniq bilimlardan uzoq bo‘lgan bu sohalari ham ikki va ikkita to‘rt ekanligini hisobga olishlari kabi, ilmiy jihatdan tasdiqlangan haqiqatni ham hisobga olishlari kerak. sezgi va aql bilimiga bo'ysunadigan soha.

Slayd № 26

Slayd tavsifi:

Shu bilan birga, insoniyat tomonidan to'plangan bilimlar hajmi allaqachon bu an'anani buzish uchun etarli. Aslida, Pifagorcha tarzda, “I Pyotr Venetsiyada Buyuk Elchixona davrida bo‘lgan” va “Buyuk Elchixona davrida Pyotr I Venetsiyada bo‘lmagan” iboralariga raqamli yozishmalarni izlashning hojati yo‘q. osonlik bilan Jorj Bul mantig'ining algebrasida argument bo'lib xizmat qilishi mumkin. Har bir tarixiy tadqiqot natijasi mohiyatan ana shunday dalillar to‘plamidir. Shunday qilib, mening fikrimcha, mantiq algebrasining argumentlari shaklida taqdim etilgan tarixiy tadqiqotlar to'plamidan integral funktsiya sifatida, mos ravishda antiderivativ sifatida - o'rganilganlarning eng ehtimoliy rekonstruktsiyasini olish uchun foydalanish oqlanadi. tarixiy voqea. Bu yo'lda ko'plab muammolar mavjud. Xususan: aniq bir tarixiy tadqiqotning taqdimoti - rekonstruksiya qilingan hodisaning hosilasi - mantiqiy iboralar to'plami ko'rinishida - masalan, oddiy kutubxona arxivini elektron kataloglashdan ko'ra murakkabroq operatsiya. Biroq, 20-asr oxiridagi axborot yutug'i XXI asrning boshi asr (juda yuqori daraja element bazasining integratsiyasi va axborot quvvatining oshishi) bunday vazifani amalga oshirishni juda real qiladi.

Slayd № 27

Slayd tavsifi:

Yuqoridagilarni hisobga olgan holda, yoqilgan zamonaviy bosqich Tarixiy tahlil - ehtimollik nazariyasi va mantiq algebrasi bilan matematik tahlil, izlanayotgan antiderivativ funktsiya esa tarixiy hodisaning ehtimolligi bo'lib, u umuman olganda fan g'oyasiga juda mos keladi va hatto uni to'ldiradi. hozirgi bosqich, chunki mohiyat tushunchasini funktsiya tushunchasi bilan almashtirish yangi davrda fanni tushunishda asosiy narsa - bu funktsiyani baholash bilan to'ldiriladi. Shuning uchun, zamonaviy tarixiy ma'no Leybnitsning "ikki faylasuf bitmas-tuganmas tortishuvlar o'rniga, xuddi ikkita matematik kabi, qo'llariga qalam olib, stolga o'tirib, bahsni hisob-kitob bilan almashtiradigan vaqt" haqidagi orzusini amalga oshirish imkoniyatidagi formulalar. Har bir tarixiy tadqiqot - xulosa mavjud bo'lish huquqiga ega, haqiqiy voqeani aks ettiradi va axborot tarixiy rasmni to'ldiradi. Degeneratsiya xavfi tarix fani rangsiz iboralar-bayonlar to'plamiga - taklif qilingan usulni qo'llash natijasi, insoniyat rivojlanishining hozirgi bosqichida musiqaning tovushlar to'plamiga aylanishi va ranglar to'plamiga bo'yalishidan kattaroq xavf yo'q. Men Nyuton-Leybnits formulasining 17-asr oxiri - 18-asr boshida taqdim etilgan yangi falsafiy maʼnosini shunday koʻraman.

Slayd № 28

Slayd tavsifi:

Aslida, ijtimoiy va gumanitar bilimlarning tashuvchilari tomonidan matematik belgilarni idrok etishning o'ziga xos xususiyatini hisobga olgan holda, bu tashuvchilarning bunday belgilarning har qanday ko'rinishidan vahima qo'rquvi bilan ifodalangan formulasini og'zaki shaklda taqdim etamiz: aniq integral. funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaga qarshi hosiladir. Aylanani kvadratga solish masalasining berilgan misoli bilan Dekart koordinata tizimida ixtiyoriy egri chiziq ostida joylashgan maydonni hisoblashning odatiy o‘quv-matematik misoli o‘rtasidagi qandaydir rasmiy farq, albatta, mohiyatni o‘zgartirmaydi.

Slayd № 29

Slayd tavsifi:

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. Brodskiy I.A. To'rt jildda ishlaydi. T.3. Sankt-Peterburg, 1994. 2. Vernadskiy V.I. Biosfera va noosfera. M., 2003. 3. Vundt, Vilgelm. Falsafaga kirish. M., 2001. 4. Gaydenko P.P. Fan tushunchasining evolyutsiyasi. M., 1980. 5. Dekart, Rene. Asl falsafa haqida mulohazalar. Sankt-Peterburg, 1995. 6. Karpov G.M. Pyotr I. Kaliningradning Buyuk elchixonasi, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Widman F. Falsafa: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malaxovskiy V.S. Matematika tarixidan tanlangan boblar. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Qisqa kurs oliy matematika. Sankt-Peterburg, 2001. 10. Engels F. Anti-Düring. M., 1988. 11. Sheremetevskiy V.P. Matematika tarixi bo'yicha insholar. M., 2004 Internet resurslari http://ru.wikipedia.org

Slayd № 30

Slayd tavsifi:

Nyuton-Leybnits formulasi

Tahlilning asosiy teoremasi yoki Nyuton-Leybnits formulasi ikki amal orasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash

Formulyatsiya

Funktsiyaning integralini ko'rib chiqing y = f(x) doimiy son ichida a raqamgacha x, biz o'zgaruvchini ko'rib chiqamiz. Keling, integralni yozamiz quyidagi shakl:

Ushbu turdagi integral o'zgaruvchan yuqori chegarali integral deb ataladi. Aniq integralda o'rtacha qiymat teoremasidan foydalanib, buni ko'rsatish oson bu funksiya uzluksiz va differentsial. Shuningdek, berilgan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi integrallanuvchi funksiyaning o‘ziga teng. Bundan kelib chiqadiki, har qanday uzluksiz funktsiya to'rtburchak ko'rinishidagi qarama-qarshi hosilaga ega: . Va f funktsiyasining antiderivativ funktsiyalari sinfi doimiy bilan farq qilganligi sababli, shuni ko'rsatish oson: f funktsiyasining aniq integrali b va a nuqtalaridagi antiderivativlarning qiymatlari farqiga teng.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

• Umumiy ehtimollik formulasi
• Rayleigh-Jins formulasi

Boshqa lug'atlarda "Nyuton-Leybnits formulasi" nima ekanligini ko'ring:

Nyuton-Leybnits formulasi- Analizning asosiy teoremasi yoki Nyutonning Leybnits formulasi ikki amal oʻrtasidagi bogʻliqlikni beradi: aniq integralni olish va anti hosilani hisoblash Formulyatsiya. y = f(x) funksiyaning integralini doimiy sondan a..gacha boʻlgan oraliqda koʻrib chiqamiz. . ... Vikipediya

Cheklangan o'sish formulasi- Bu atama boshqa ma'nolarga ega, Lagrange teoremasiga qarang. Cheklangan o'sish formulasi yoki Lagrangening o'rtacha qiymat teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar funktsiya intervalda uzluksiz bo'lsa va... Vikipediya

Stokes formulasi- Stokes teoremasi differensial geometriyaning asosiy teoremalaridan biridir va matematik tahlil tahlilning bir qancha teoremalarini umumlashtiruvchi differensial shakllarning integrasiyasi haqida. J. G. Stokes nomi bilan atalgan. Mundarija 1 Umumiy formula 2… … Vikipediya

Nyuton - Leybnits FORMULA- ning aniq integralining qiymatini ifodalovchi formula berilgan funksiya f bu funktsiyaning har qanday antiderivativi F segmentining uchlaridagi qiymatlar farqi ko'rinishidagi segment bo'ylab I. Nyuton va G. Leybnits nomi bilan atalgan, chunki qoida ... ... Matematik entsiklopediya

NYYTON-LEYBNITS FORMULA- integral hisobning asosiy formulasi. f(x) funktsiyaning aniq integrali bilan uning har qanday anti hosilalari F(x) o'rtasidagi bog'lanishni ifodalaydi ... Katta ensiklopedik lug'at

Leybnits formulasi- Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Leybnits nomidagi obʼyektlar roʻyxatiga qarang. Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Leybnits formulasi (maʼnolari). Integral hisobidagi Leybnits formulasi qoidadir... ... Vikipediya

Nyuton-Leybnits formulasi- Nyuton Leybnits formulasi, integral hisobning asosiy formulasi. f(x) funksiyaning aniq integrali bilan uning har qanday anti hosilalari F(x) o‘rtasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. . * * * NYYTON LEYBNITS FORMULA NYYTON LEYBNITS FORMULA, asosiy formula... ... ensiklopedik lug'at

To'rtburchaklar formulasi

Trapezoid formulasi - Aniq integral raqam maydoni sifatida Raqamli integratsiya ( tarixiy ism: kvadratura) ma'lum bir integralning qiymatini hisoblash (odatda taxminan), integralning qiymati son jihatdan maydonga teng ekanligiga asoslangan ... ... Vikipediya

Nyuton teoremasi- Nyutonning Leybnits formulasi yoki tahlilning asosiy teoremasi ikkita amal o'rtasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash. Agar u segmentda uzluksiz bo'lsa va bu segmentda uning har qanday antiderivativi ... Vikipediyaga ega bo'lsa

Ox o'qining ma'lum bir segmentida qandaydir uzluksiz f funksiya berilgan bo'lsin. Faraz qilaylik, bu funktsiya butun segment bo'ylab o'z belgisini o'zgartirmaydi.

Agar f ma'lum bir segmentdagi uzluksiz va manfiy bo'lmagan funktsiya bo'lsa va F bu segmentda uning qandaydir antiderivativi bo'lsa, u holda egri chiziqli trapezoid S ning maydoni ushbu segmentdagi antiderivativning o'sishiga teng bo'ladi.

Bu teorema quyidagicha yozilishi mumkin:

S = F(b) - F(a)

f(x) funksiyaning a dan b gacha integrali S ga teng bo‘ladi. Bu yerda va keyin ba’zi f(x) funksiyaning aniq integralini a dan b gacha bo‘lgan integrallash chegaralari bilan belgilash uchun dan foydalanamiz. quyidagi belgi (a;b)∫f( x). Quyida uning qanday ko'rinishiga misol keltirilgan.

Nyuton-Leybnits formulasi

Bu shuni anglatadiki, biz bu ikki natijani tenglashtirishimiz mumkin. Biz quyidagilarga erishamiz: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), agar F f on funksiyasi uchun antiderivativ bo'lsa. Bu formula deyiladi Nyuton - Leybnits formulalari. Bu intervaldagi har qanday uzluksiz f funksiya uchun to'g'ri bo'ladi.

Integrallarni hisoblash uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalaniladi. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol: integralni hisoblang. x 2 integrali funksiyasiga qarshi hosilani toping. Antiderivativlardan biri (x 3)/3 funktsiyasi bo'ladi.

Endi biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Javob: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

2-misol: (0;pi)∫sin(x)dx integralini hisoblang.

sin(x) integrali funksiyasi uchun anti hosilani toping. Antiderivativlardan biri -cos(x) funktsiyasi bo'ladi. Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Javob: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Ba'zan, yozib olishning soddaligi va qulayligi uchun F funktsiyasining (F(b)-F(a)) segmentidagi o'sishi quyidagicha yoziladi:

O'sish uchun ushbu belgidan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu faqat yozib olish qulayligi uchun qisqartma bo'lib, bu yozuv boshqa hech narsaga ta'sir qilmaydi; Bu belgi va (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) formulasi ekvivalent bo'ladi.

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotni oldindan ko'rishdan foydalanish uchun o'zingiz uchun hisob yarating ( hisob) Google va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Integral. Nyuton-Leybnits formulasi. Tuzuvchi: 27-sonli ta’lim muassasasi davlat ta’lim muassasasi matematika o‘qituvchisi Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilevna

Darsning maqsadi: Integral tushunchasi va uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash, antiderivativ va uni hisoblash qoidalari haqidagi bilimlardan foydalangan holda tanishtirish; Egri trapezoidning maydonini topish misollari yordamida integralning amaliy qo'llanilishini ko'rsating; Mashqlar davomida o'rganganlaringizni mustahkamlang.

Ta'rif: berilsin ijobiy funktsiya f(x) chekli segmentda aniqlangan [ a;b ] . f(x) funksiyaning [a;b ] dagi integrali uning egri chiziqli trapesiya maydonidir. y=f(x) b a 0 x y

Belgilanishi:  “x de x dan a dan b effgacha integral”

Tarixiy ma'lumotnoma: Leybnits integral belgisini "Summa" so'zining birinchi harfidan olgan. Nyuton o'z asarlarida integral uchun muqobil simvolizmni taklif qilmagan, garchi u harakat qilsa ham turli xil variantlar. Integral atamasining o'zi Jeykob Bernulli tomonidan kiritilgan. Umma Isaak Nyuton Gotfrid Vilgelm fon Leybnits Jeykob Bernulli

Eyler noaniq integralning yozuvini kiritdi. Jan Baptiste Jozef Furye Leonard Eyler Bizga tanish shakldagi aniq integral dizayni Furye tomonidan ixtiro qilingan.

Nyuton-Leybnits formulasi

Misol 1. Aniq integralni hisoblang: = Yechish:

2-misol. Aniq integrallarni hisoblang: 5 9 1

3-misol. S y x Chiziqlar va x o'qi bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang. Boshlanishiga nuqtalarni topamiz x o'qining funksiya grafigi bilan kesishishi. Buning uchun tenglamani yechamiz. = Yechish: S =

y x S A B D C 4-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang va S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 tenglamasini yechish orqali bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini (abtsissalar) toping. 1-misolga qarang. Yechim:

SINCWAIN QOIDALARI 1-qator – sinkvin mavzusi 1 so‘z 2-satr – mavzuning belgi va xossalarini tavsiflovchi 2 ta sifat 3-qator – harakat xarakterini ifodalovchi 3 ta fe’l 4-satr – qisqa jumla Mavzuga shaxsiy munosabatingizni ko'rsatadigan 4 so'zdan iborat 5 qator - 1 so'z, sinonim yoki mavzu mavzusi.

Integral 2. Aniq, musbat Sanoq, qo‘shish, ko‘paytirish 4. Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang 5. Maydon

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati: A.N.Kolmagorov. va boshqalar algebra va tahlilning boshlanishi 10 - 11 sinflar.

E'tiboringiz uchun rahmat! “ISTEDOD – 99% mehnat, 1% qobiliyat” xalq hikmati

1-misol. Aniq integralni hisoblang: = Yechish: 4-misol

Ko‘rib chiqish:

Mavzu: matematika (algebra va tahlil boshlanishi), sinf: 11-sinf.

Dars mavzusi: "Integral. Nyuton-Leybnits formulasi."

Dars turi: Yangi materialni o'rganish.

Dars davomiyligi: 45 daqiqa.

Dars maqsadlari: integral tushunchasi va uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash, anti hosila va uni hisoblash qoidalari haqidagi bilimlardan foydalangan holda tanishtirish; egri chiziqli trapezoidning maydonini topish misollari yordamida integralning amaliy qo'llanilishini ko'rsating; mashqlar davomida o'rganganlaringizni mustahkamlang.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

1. integral tushunchasini shakllantirish;
2. aniq integralni hisoblash malakalarini shakllantirish;
3. malakalarini shakllantirish amaliy qo'llash egri trapezoidning maydonini topish uchun integral.

Tarbiyaviy:

1. rivojlanish kognitiv qiziqish o'quvchilarning matematik nutqini, kuzatish, taqqoslash va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;
2. AKTdan foydalangan holda fanga qiziqishni rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

1. integralni hisoblash va chizmalarni tuzishda yangi bilimlarni egallashga, aniqlik va aniqlikni rivojlantirishga qiziqishni kuchaytirish.

Uskunalar: Kompyuter, operatsion tizim Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; multimedia proyektori, ekran.

Adabiyot: darslik Kolmagorov A.N. va boshqalar algebra va tahlilning boshlanishi 10-11 sinflar.

Texnologiyalar: AKT, individual trening.

Darslar davomida

Ko‘rib chiqish:

Mavzu bo'yicha asosiy xulosa "Integral. Nyuton-Leybnits formulasi."

Amaliy masalalarni yechish integralni hisoblashdan kelib chiqadi, lekin buni har doim ham aniq bajarish mumkin emas. Ba'zan ma'lum bir integralning qiymatini ma'lum darajada aniqlik bilan bilish kerak, masalan, minginchigacha.

Muayyan integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan topish kerak bo'lganda muammolar mavjud, keyin Simposniy usuli, trapezoidlar va to'rtburchaklar kabi raqamli integratsiya qo'llaniladi. Hamma holatlar uni ma'lum bir aniqlik bilan hisoblashimizga imkon bermaydi.

Ushbu maqola Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashni o'rganadi. Bu aniq integralni aniq hisoblash uchun zarur. Beriladi batafsil misollar, o'zgaruvchining aniq integraldagi o'zgarishlari hisobga olinadi va qismlar bo'yicha integrallashda aniq integralning qiymatlarini topamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nyuton-Leybnits formulasi

y = y (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ] va F (x) lardan biri antiderivativ funktsiyalar keyin bu segment Nyuton-Leybnits formulasi adolatli hisoblanadi. Buni shunday yozamiz: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Bu formula ko'rib chiqing integral hisoblashning asosiy formulasi.

Ushbu formulani isbotlash uchun mavjud o'zgaruvchan yuqori chegarasi bo'lgan integral tushunchasidan foydalanish kerak.

y = f (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ], keyin argumentning qiymati x ∈ a; b , integral esa ∫ a x f (t) d t ko‘rinishga ega va funksiya hisoblanadi. yuqori chegara. Funktsiyaning yozuvini olish kerak ∫ a x f (t) d t = P (x) , u uzluksiz va ∫ a x f (t) d t " = P " (x) = ko'rinishdagi tengsizlik bo'ladi. f (x) buning uchun amal qiladi.

PH (x) funktsiyaning o'sishi ∆ x argumentining o'sishiga to'g'ri kelishini aniqlaylik, aniq integralning beshinchi asosiy xususiyatidan foydalanish kerak va biz olamiz

P (x + ∆ x) - P x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

bu erda c ∈ x qiymati; x + ∆ x.

Tenglikni P (x + ∆ x) - PH (x) ∆ x = f (c) ko'rinishida tuzamiz. Funktsiya hosilasining ta'rifi bilan chegaraga ∆ x → 0 bo'lishi kerak, keyin P "(x) = f (x) ko'rinishdagi formulani olamiz. Biz P (x) ekanligini topamiz. y = f (x) ko'rinishdagi funktsiyaning antiderivativlaridan biri, aks holda, ifoda yozilishi mumkin;

F (x) = PH (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, bu erda C qiymati doimiy.

Aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib F (a) ni hisoblaymiz. Keyin biz buni olamiz

F (a) = P (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, shuning uchun biz C = F (a) ni olamiz. Natija F (b) ni hisoblashda qo'llaniladi va biz quyidagilarni olamiz:

F (b) = P (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), boshqacha aytganda, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Tenglik Nyuton-Leybnits formulasi bilan isbotlangan ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Funktsiyaning o'sishini F x a b = F (b) - F (a) deb olamiz. Belgilanishdan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ko'rinishini oladi.

Formulani qo'llash uchun y = f (x) integrali funksiyasining [ a segmentidan y = F (x) ga qarshi hosilalaridan birini bilish kerak; b ], ushbu segmentdan antiderivativning o'sishini hisoblang. Keling, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Aniq integral ∫ 1 3 x 2 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.

Yechim

y = x 2 ko rinishdagi integrasiya [ 1 ” oralig idan uzluksiz ekanligini hisobga oling; 3 ] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi. Jadvalga ko'ra noaniq integrallar y = x 2 funktsiyasi x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun antiderivativlar to'plamiga ega ekanligini ko'ramiz, bu x ∈ 1 ni bildiradi; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C shaklida yoziladi. C = 0 bo'lgan antiderivativni olish kerak, keyin biz F (x) = x 3 3 ni olamiz.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz va aniq integralni hisoblash ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ko'rinishda ekanligini aniqlaymiz.

Javob:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

2-misol

Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ni hisoblang.

Yechim

Berilgan funksiya segmentdan uzluksiz [ - 1 ; 2 ], ya'ni u integrallash mumkin. Noaniq integralning ∫ x · e x 2 + 1 d x qiymatini differensial belgi ostida yig'ish usuli yordamida topish kerak, keyin ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( ni olamiz) x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.

Demak, bizda y = x · e x 2 + 1 funksiyaning barcha x, x ∈ - 1 uchun o'rinli bo'lgan antiderivativlar to'plami mavjud; 2.

C = 0 da antiderivativni olish va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Javob:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

3-misol

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x va ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallarini hisoblang.

Yechim

Segment - 4; - 1 2 integral belgisi ostidagi funksiya uzluksiz ekanligini, ya’ni integrallanishini bildiradi. Bu yerdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyaning anti hosilalari to'plamini topamiz. Biz buni tushunamiz

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativni olish kerak, keyin Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda, biz hisoblab chiqiladigan integralni olamiz:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Biz ikkinchi integralni hisoblashga o'tamiz.

Segmentdan [- 1; 1 ] bizda integratsiya funksiyasi cheklanmagan deb hisoblanadi, chunki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , shundan kelib chiqadiki, zaruriy shart segmentdan integratsiyalashuv. U holda F (x) = 2 x 2 - 2 x [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 uchun antiderivativ emas; 1 ], chunki O nuqta segmentga tegishli, ammo ta'rif sohasiga kiritilmagan. Demak, [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Javob: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin aniq integral mavjudligi haqida aniq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak.

Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish

y = f (x) funksiya aniqlangan va [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b], keyin mavjud to'plam [a; b] a segmentida aniqlangan x = g (z) funksiya qiymatlari diapazoni deb hisoblanadi; b mavjud uzluksiz hosila bilan, bu erda g (a) = a va g b = b, bundan ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z ekanligini olamiz.

Bu formula ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak bo'lganda qo'llaniladi, bu erda noaniq integral ∫ f (x) d x ko'rinishga ega bo'lsa, biz almashtirish usuli yordamida hisoblaymiz.

4-misol

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi aniq integralini hisoblang.

Yechim

Integratsiya funksiyasi integrallash oralig'ida uzluksiz hisoblanadi, ya'ni aniq integral mavjud. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 yozuvini keltiramiz. X = 9 qiymati z = 2 9 - 9 = 9 = 3 ekanligini bildiradi va x = 18 uchun z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 ni olamiz, keyin g a = g (3) = 9, g b = g 3 3 = 18. Olingan qiymatlarni ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z formulasiga almashtirganda, biz buni olamiz

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Noaniq integrallar jadvaliga ko'ra, bizda 2 z 2 + 9 funksiyaning anti hosilalaridan biri 2 3 a r c t g z 3 qiymatini oladi. Keyin, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llaganimizda, biz buni olamiz

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r p -3 18

Topilma ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) · g " (z) d z formulasidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin edi.

Agar almashtirish usulidan foydalanib, ∫ 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi integraldan foydalansak, u holda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C natijaga kelishimiz mumkin.

Bu yerdan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va aniq integralni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz

 9 18 2 z 2 + 2 3 A r c t g 1 18 - 9 3 a r c t g 1 - p 4 - p 4 - p 4 - p 4 - 2 3 - 2 = p 18

Natijalar bir xil edi.

Javob: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = p 18

Aniq integralni hisoblashda qismlar bo'yicha integrallash

Agar segmentda [ a ; b ] u (x) va v (x) funktsiyalari aniqlangan va uzluksiz, keyin ularning birinchi tartibli hosilalari v " (x) · u (x) integrallanadi, shuning uchun integrallanadigan u "(x) funksiyasi uchun bu segmentdan. · v ( x) tenglik ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x to'g'ri.

Keyin formuladan foydalanish mumkin, ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak, ∫ f (x) d x esa uni qismlar bo'yicha integrallash yordamida izlash kerak edi.

5-misol

Aniq integral ∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x ni hisoblang.

Yechim

x · sin x 3 + p 6 funksiyasi - p 2 oraliqda integrallanadi; 3 p 2, bu uzluksizligini bildiradi.

u (x) = x, keyin d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + p 6 d x, va d (u (x)) = u " (x) d x = d x, va v (x) = - 3 cos p 3 + p 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x formulasidan biz shuni olamiz

∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x = - 3 x · cos x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 - ∫ - p 2 3 p 2 - 3 cos x 3 + p 6 d x = = - 3 · 3 p 2 · cos p 2 + p 6 - - 3 · - p 2 · cos - p 6 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 sin p 2 + p 6 - sin - p 6 + p 6 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 3 2 = 3 p 4 + 9 3 2

Misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, qismlar bo‘yicha integrallash orqali x · sin x 3 + p 6 funksiyaning anti hosilalari to‘plamini toping:

∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + p 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + p 6 = = - 3 cos x 3 + p 6 + 3 ∫ cos x 3 + p 6 d x = = - 3 x cos x 3 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 + C ⇒ ∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 d x = - 3 cos x 3 + p 6 + 9 sincos x 3 + p 6 - - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin - p 6 + p 6 = = 9 p 4 + 9 3 2 - 3 p 2 - 0 = 3 p 4 + 9 3 2

Javob: ∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = 3 p 4 + 9 3 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing