Fraktsional jihatdan oqilona. Butun va kasr ratsional tenglamalarni yechish
Shuningdek o'qing
« Ratsional tenglamalar polinomlar bilan" testdagi eng keng tarqalgan mavzulardan biridir Yagona davlat imtihon topshiriqlari matematikada. Shuning uchun ularni takrorlashga arziydi alohida e'tibor. Ko'pgina talabalar diskriminantni topish, ko'rsatkichlarni o'ng tomondan chapga o'tkazish va tenglamani umumiy maxrajga olib kelish muammosiga duch kelishadi, shuning uchun bunday topshiriqlarni bajarish qiyinchilik tug'diradi. Bizning veb-saytimizda Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda ratsional tenglamalarni echish har qanday murakkablikdagi muammolarni tezda engishga va sinovdan o'tishga yordam beradi.
Yagona matematika imtihoniga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rish uchun Shkolkovo ta'lim portalini tanlang!
Noma'lumlarni hisoblash qoidalarini bilish va osonlik bilan olish to'g'ri natijalar, onlayn xizmatimizdan foydalaning. Shkolkovo portali tayyorlanish uchun zarur bo'lgan hamma narsani o'z ichiga olgan yagona platformadir Yagona davlat imtihonlari materiallari. O'qituvchilarimiz barcha matematik qoidalarni tizimlashtirib, tushunarli shaklda taqdim etishdi. Bundan tashqari, biz maktab o'quvchilarini standart ratsional tenglamalarni echishda o'zlarini sinab ko'rishga taklif qilamiz, ularning asoslari doimiy ravishda yangilanadi va kengaytiriladi.
Sinovga samaraliroq tayyorgarlik ko'rish uchun biz quyidagi tavsiyalarga amal qilamiz maxsus usul va qoidalar va echimlarni takrorlashdan boshlang oddiy vazifalar, asta-sekin murakkabroqlarga o'tish. Shunday qilib, bitiruvchi o'zi uchun eng qiyin mavzularni aniqlay oladi va ularni o'rganishga e'tibor qaratadi.
Bugun Shkolkovo bilan yakuniy testga tayyorgarlik ko'ring va natijalar uzoq kutilmaydi! Berilganlardan eng oson misolni tanlang. Agar siz iborani tezda o'zlashtirsangiz, ko'proq narsaga o'ting qiyin vazifa. Shunday qilib, siz matematika bo'yicha USE vazifalarini ixtisoslashtirilgan darajada hal qilish darajasiga qadar bilimingizni oshirishingiz mumkin.
Ta'lim nafaqat Moskvadagi bitiruvchilar, balki boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari uchun ham mavjud. Masalan, bizning portalimizda kuniga bir necha soat o'qishga sarflang va tez orada siz har qanday murakkablikdagi tenglamalarni engishingiz mumkin bo'ladi!
Biz allaqachon kvadrat tenglamalarni echishni o'rgandik. Endi o'rganilgan usullarni ratsional tenglamalarga kengaytiramiz.
Ratsional ifoda nima? Biz bu tushunchaga allaqachon duch kelganmiz. Ratsional ifodalar raqamlar, oʻzgaruvchilar, ularning quvvatlari va matematik amallarning belgilaridan tashkil topgan ifodalardir.
Shunga ko'ra, ratsional tenglamalar quyidagi ko'rinishdagi tenglamalardir: , bu erda 
- ratsional ifodalar.
Ilgari biz faqat chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, kvadratik tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Tenglamani yeching: .
Yechim:
Kasr 0 ga teng bo'ladi, agar uning soni 0 ga teng bo'lsa va maxraji 0 ga teng bo'lmasa.
Biz quyidagi tizimni olamiz:
Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglama. Uni yechishdan oldin uning barcha koeffitsientlarini 3 ga bo'lamiz.
Biz ikkita ildiz olamiz: ; .
2 hech qachon 0 ga teng bo'lmagani uchun ikkita shart bajarilishi kerak: 
. Yuqorida olingan tenglamaning hech bir ildizi ikkinchi tengsizlikni yechishda olingan oʻzgaruvchining notoʻgʻri qiymatlariga toʻgʻri kelmasligi sababli, ularning ikkalasi ham yechimdir. berilgan tenglama.
Javob:.
Shunday qilib, ratsional tenglamalarni yechish algoritmini tuzamiz:
1. Barcha shartlarni quyidagiga o'tkazing chap tomoni, shuning uchun o'ng tomoni 0 ga aylanadi.
2. Chap tomonni o'zgartiring va soddalashtiring, barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.
3. Quyidagi algoritm yordamida olingan kasrni 0 ga tenglashtiring: 
.
4. Birinchi tenglamada olingan ildizlarni yozing va javobda ikkinchi tengsizlikni qanoatlantiring.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
2-misol
Tenglamani yeching: 
.
Yechim
Eng boshida biz barcha shartlarni chapga siljitamiz, shunda o'ng tomonda 0 qoladi:
Endi tenglamaning chap tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:
Ushbu tenglama tizimga teng:
Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglamadir.
Bu tenglamaning koeffitsientlari: . Diskriminantni hisoblaymiz:
Biz ikkita ildiz olamiz: ; .
Endi ikkinchi tengsizlikni yechamiz: omillarning ko‘paytmasi 0 ga teng bo‘lmaydi, agar omillarning hech biri 0 ga teng bo‘lmasa.
Ikki shart bajarilishi kerak: 
. Birinchi tenglamaning ikkita ildizidan faqat bittasi mos ekanligini topamiz - 3.
Javob:.
Ushbu darsda biz ratsional ifoda nima ekanligini esladik, shuningdek, kvadrat tenglamalarga keltiruvchi ratsional tenglamalarni yechish usullarini o'rgandik.
Keyingi darsda ratsional tenglamalarni real vaziyatlarning modellari sifatida ko'rib chiqamiz, shuningdek, harakat masalalarini ko'rib chiqamiz.
Ma'lumotnomalar
- Bashmakov M.I. Algebra, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra, 8. 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.
- Nikolskiy S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
- Festival pedagogik g'oyalar "Ochiq dars" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
§ 1 Butun va kasr ratsional tenglamalar
Bu darsda ratsional tenglama, ratsional ifoda, butun ifoda, kasr ifodasi kabi tushunchalar bilan tanishamiz. Ratsional tenglamalarni yechishni ko'rib chiqamiz.
Ratsional tenglama - bu chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglama.
Ratsional ifodalar:
Fraksiyonel.
Butun ifoda sonlardan, o‘zgaruvchilardan, butun son darajalaridan iborat bo‘lib, noldan boshqa songa qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari yordamida amalga oshiriladi.
Masalan:
Kasrli ifodalar oʻzgaruvchiga yoki oʻzgaruvchiga ega boʻlgan ifodaga boʻlinishni oʻz ichiga oladi. Masalan:
Kasr ifodasi unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun mantiqiy emas. Masalan, ifoda
x = -9 da bu mantiqiy emas, chunki x = -9 da maxraj nolga tushadi.
Bu shuni anglatadiki, ratsional tenglama butun yoki kasr bo'lishi mumkin.
Butun ratsional tenglama - bu chap va o'ng tomonlari butun ifodalar bo'lgan ratsional tenglama.
Masalan:
Kasrli ratsional tenglama - bu chap yoki o'ng tomonlari kasr ifodalari bo'lgan ratsional tenglama.
Masalan:
§ 2 Butun ratsional tenglamaning yechimi
Butun ratsional tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz.
Masalan:
Tenglamaning ikkala tomonini eng kichigiga ko'paytiring umumiy maxraj unga kiritilgan kasrlarning maxrajlari.
Buning uchun:
1. 2, 3, 6 maxrajlarning umumiy maxrajini toping. 6 ga teng;
2. har bir kasr uchun qo'shimcha ko'rsatkichni toping. Buning uchun umumiy maxraj 6 ni har bir maxrajga bo'ling
kasr uchun qo'shimcha omil
kasr uchun qo'shimcha omil
3. kasrlarning numeratorlarini ularga mos keladigan qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring. Shunday qilib, biz tenglamani olamiz
bu berilgan tenglamaga teng
Chapdagi qavslarni ochamiz, o'ng qismini chapga o'tkazamiz, qarama-qarshi tomonga o'tkazilganda atama belgisini o'zgartiramiz.
Polinomning o'xshash shartlarini keltiramiz va olamiz
Biz tenglama chiziqli ekanligini ko'ramiz.
Uni yechib, x = 0,5 ekanligini topamiz.
§ 3 Kasr ratsional tenglamani yechish
Kasrli ratsional tenglamani yechishni ko‘rib chiqamiz.
Masalan:
1.Tenglamaning ikkala tomonini unga kiritilgan ratsional kasrlarning maxrajlarining eng kichik umumiy maxrajiga ko‘paytiring.
X + 7 va x - 1 maxrajlarining umumiy maxrajini topamiz.
Bu ularning mahsulotiga (x + 7) (x - 1) teng.
2. Har bir ratsional kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytma topilsin.
Buning uchun umumiy maxrajni (x + 7)(x - 1) har bir maxrajga bo'ling. Kasrlar uchun qo'shimcha multiplikator
x - 1 ga teng,
kasr uchun qo'shimcha omil
x+7 ga teng.
3.Kasrlarning sanoqlarini mos keladigan qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring.
Biz (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) tenglamani olamiz, bu tenglamaga ekvivalentdir.
4.Binomni chap va o‘ngdagi binomga ko‘paytiring va quyidagi tenglamani oling.
5. Qarama-qarshi tomonga o'tishda har bir atamaning belgisini o'zgartirib, o'ng tomonni chapga siljitamiz:
6. Ko‘phadning o‘xshash shartlarini keltiramiz:
7. Ikkala qismni -1 ga bo'lish mumkin. Biz kvadrat tenglamani olamiz:
8. Uni hal qilib, biz ildizlarni topamiz
Chunki tenglamada.
chap va o'ng tomonlar kasr ifodalari bo'lib, kasrli ifodalarda o'zgaruvchilarning ba'zi qiymatlari uchun maxraj nolga aylanishi mumkin, keyin x1 va x2 topilganda umumiy maxraj nolga tushmasligini tekshirish kerak. .
x = -27 da umumiy maxraj (x + 7)(x - 1) x = -1 da yo'qolmaydi, umumiy maxraj ham nolga teng emas.
Demak, -27 va -1 ikkala ildiz tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Kasrli ratsional tenglamani yechishda darhol mintaqani ko'rsatish yaxshiroqdir qabul qilinadigan qiymatlar. Umumiy maxraj nolga tushadigan qiymatlarni olib tashlang.
Kasrli ratsional tenglamani yechishning yana bir misolini ko'rib chiqamiz.
Masalan, tenglamani yechamiz
Tenglamaning o'ng tomonidagi kasrning maxrajini faktorlarga ajratamiz
Biz tenglamani olamiz
(x - 5), x, x(x - 5) maxrajlarining umumiy maxraji topilsin.
Bu x(x - 5) ifodasi bo'ladi.
Endi tenglamaning qabul qilinadigan qiymatlari diapazonini topamiz
Buning uchun umumiy maxrajni x(x - 5) = 0 ga tenglashtiramiz.
Biz tenglamani olamiz, uni yechishda x = 0 yoki x = 5 da umumiy maxraj nolga borishini topamiz.
Bu degani, x = 0 yoki x = 5 tenglamamizning ildizi bo'la olmaydi.
Endi qo'shimcha multiplikatorlarni topish mumkin.
Ratsional kasrlar uchun qo'shimcha omil
kasr uchun qo'shimcha omil
bo'ladi (x - 5),
va kasrning qo'shimcha omili
Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz.
Biz x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) tenglamani olamiz.
Chap va o'ngdagi qavslarni ochamiz, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
O'tkazilgan shartlarning belgisini o'zgartirib, shartlarni o'ngdan chapga siljiymiz:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Va shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, biz x2 - 3x - 10 = 0 kvadrat tenglamani olamiz. Uni yechib, x1 = -2 ildizlarini topamiz; x2 = 5.
Ammo x = 5 da umumiy maxraj x(x - 5) nolga borishini allaqachon bilib oldik. Shuning uchun tenglamamizning ildizi
x = -2 bo'ladi.
§ 4 Qisqacha xulosa dars
Esda tutish muhim:
Kasrli ratsional tenglamalarni yechishda quyidagi amallarni bajaring:
1. Tenglamaga kiritilgan kasrlarning umumiy maxrajini toping. Bundan tashqari, agar kasrlarning maxrajlarini koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lsa, ularni ko'paytiring va keyin umumiy maxrajni toping.
2.Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko‘paytiring: qo‘shimcha ko‘rsatkichlarni toping, sonlarni qo‘shimcha ko‘paytmalarga ko‘paytiring.
3.Olingan butun tenglamani yeching.
4. Uning ildizidan umumiy maxrajni yo‘qotadiganlarni yo‘q qiling.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
- Makarychev Yu.N., N.G Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovskiy S.A. tahriri ostida. Algebra: darslik. 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar. - M.: Ta'lim, 2013 yil.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf: Ikki qismdan iborat. 1-qism: Darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar. - M .: Mnemosin.
- Rurukin A.N. Algebradan dars ishlanmalari: 8-sinf - M.: VAKO, 2010.
- Algebra 8-sinf: dars ishlanmalari Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Aut.-komp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: O'qituvchi, 2005 yil.
Biz yuqoridagi tenglamani 7-§da kiritdik. Birinchidan, ratsional ifoda nima ekanligini eslaylik. Bu tabiiy koʻrsatkich bilan qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish va darajaga koʻtarish amallari yordamida sonlar va x oʻzgaruvchisidan tashkil topgan algebraik ifodadir.
Agar r(x) ratsional ifoda bo’lsa, r(x) = 0 tenglama ratsional tenglama deyiladi.
Biroq, amalda "ratsional tenglama" atamasining biroz kengroq talqinini qo'llash qulayroqdir: bu h(x) = q(x) ko'rinishdagi tenglama, bu erda h(x) va q(x) ratsional ifodalar.
Shu paytgacha biz hech qanday ratsional tenglamani yecha olmadik, faqat bitta tenglama turli xil o'zgarishlar va mulohaza yuritish natijasida tenglamaga qisqartirildi. chiziqli tenglama. Endi bizning imkoniyatlarimiz ancha katta: biz nafaqat chiziqli tenglamani kamaytiradigan ratsional tenglamani yecha olamiz.
mu, balki kvadrat tenglamaga ham.
Keling, avval ratsional tenglamalarni qanday yechganimizni eslaylik va yechim algoritmini shakllantirishga harakat qilaylik.
1-misol. Tenglamani yeching
Yechim. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz
Bu holatda, odatdagidek, biz A = B va A - B = 0 tengliklari A va B o'rtasidagi bir xil munosabatni ifodalashidan foydalanamiz. Bu bizga atamani tenglamaning chap tomoniga ko'chirishga imkon berdi. qarama-qarshi belgi.
Keling, tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz. Bizda ... bor
Keling, tenglik shartlarini eslaylik kasrlar nol: agar va faqat ikkita munosabat bir vaqtning o'zida qondirilsa:
1) kasrning numeratori nolga teng (a = 0); 2) kasrning maxraji noldan farq qiladi).
(1) tenglamaning chap tomonidagi kasr sonini nolga tenglashtirib, biz hosil bo'lamiz.
Yuqorida ko'rsatilgan ikkinchi shartning bajarilishini tekshirish qoladi. (1) tenglama uchun munosabat degani. X 1 = 2 va x 2 = 0,6 qiymatlari ko'rsatilgan munosabatlarni qondiradi va shuning uchun (1) tenglamaning ildizlari va ayni paytda berilgan tenglamaning ildizlari bo'lib xizmat qiladi.
1) Tenglamani shaklga aylantiramiz
2) Ushbu tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz:
(bir vaqtning o'zida hisoblagichdagi belgilarni o'zgartirdi va
kasrlar).
Shunday qilib, berilgan tenglama shaklni oladi
3) x 2 - 6x + 8 = 0 tenglamani yeching. Toping
4) Topilgan qiymatlar uchun shartning bajarilishini tekshiring 
. 4 raqami bu shartni qondiradi, lekin 2 raqami bu shartni qondirmaydi. Demak, 4 berilgan tenglamaning ildizi, 2 esa begona ildizdir.
JAVOB: 4.
2. Ratsional tenglamalarni yangi o‘zgaruvchini kiritish orqali yechish
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli sizga tanish, biz uni bir necha marta ishlatganmiz; Keling, ratsional tenglamalarni yechishda qanday ishlatilishini misollar bilan ko'rsatamiz.
3-misol. x 4 + x 2 - 20 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. y = x 2 yangi o'zgaruvchini kiritamiz. x 4 = (x 2) 2 = y 2 bo'lgani uchun, berilgan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin.
y 2 + y - 20 = 0.
Bu kvadrat tenglama bo'lib, uning ildizlarini ma'lum yordamida topish mumkin formulalar; y 1 = 4, y 2 = - 5 ni olamiz.
Ammo y = x 2, ya'ni muammo ikkita tenglamani echishga qisqartirildi:
x 2 =4; x 2 = -5.
Birinchi tenglamadan biz ikkinchi tenglamaning ildizi yo'qligini aniqlaymiz.
Javob: .
ax 4 + bx 2 +c = 0 ko'rinishdagi tenglama bikvadrat tenglama deb ataladi ("bi" - ikkita, ya'ni "ikki kvadrat" tenglamaning bir turi). Hozirgina yechilgan tenglama aniq bikvadrat edi. Har qanday bikvadrat tenglama 3-misoldagi tenglamaga o‘xshab yechiladi: yangi y = x 2 o‘zgaruvchisini kiriting, hosil bo‘lgan kvadrat tenglamani y o‘zgaruvchiga nisbatan yeching va keyin x o‘zgaruvchisiga qayting.
4-misol. Tenglamani yeching
Yechim. E'tibor bering, bir xil x 2 + 3x ifodasi bu erda ikki marta paydo bo'ladi. Bu y = x 2 + 3x yangi o'zgaruvchini kiritish mantiqiy ekanligini anglatadi. Bu sizga tenglamani oddiyroq va qayta yozish imkonini beradi chiroyli ko'rinish(aslida, bu yangisini joriy etishdan maqsad o'zgaruvchan- va yozishni soddalashtirish
aniqroq bo'ladi va tenglamaning tuzilishi aniqroq bo'ladi):
Endi ratsional tenglamani yechish algoritmidan foydalanamiz.
1) Keling, tenglamaning barcha shartlarini bir qismga o'tkazamiz:
= 0
2) Tenglamaning chap tomonini aylantiring
Shunday qilib, biz berilgan tenglamani shaklga o'tkazdik
3) Tenglamadan - 7y 2 + 29y -4 = 0 ni topamiz (siz va men juda ko'p kvadrat tenglamalarni hal qildik, shuning uchun darslikda har doim batafsil hisob-kitoblarni berishning hojati yo'q).
4) Topilgan ildizlarni 5-shart (y - 3) (y + 1) yordamida tekshiramiz. Ikkala ildiz ham bu shartni qondiradi.
Shunday qilib, yangi o'zgaruvchi y uchun kvadrat tenglama yechilgan: 
y = x 2 + 3x va y, biz aniqlaganimizdek, ikkita qiymatni qabul qilganligi sababli: 4 va , biz hali ham ikkita tenglamani yechishimiz kerak: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Birinchi tenglamaning ildizlari 1 va - 4 raqamlari, ikkinchi tenglamaning ildizlari raqamlardir.
Ko'rib chiqilgan misollarda yangi o'zgaruvchini kiritish usuli, matematiklar aytganidek, vaziyatga adekvat edi, ya'ni unga yaxshi mos keldi. Nega? Ha, chunki tenglamada bir xil ibora bir necha marta aniq paydo bo'lgan va bu ifodani belgilash uchun sabab bor edi yangi xat. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi, ba'zida yangi o'zgaruvchi faqat transformatsiya jarayonida "paydo bo'ladi". Keyingi misolda aynan shunday bo'ladi.
5-misol. Tenglamani yeching
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Yechim. Bizda ... bor
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Zx+2.
Demak, berilgan tenglamani shaklda qayta yozish mumkin
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Endi yangi o'zgaruvchi "paydo bo'ldi": y = x 2 - 3x.
Uning yordami bilan tenglamani y (y + 2) = 24 va keyin y 2 + 2y - 24 = 0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Bu tenglamaning ildizlari 4 va -6 raqamlaridir.
Dastlabki x o'zgaruvchisiga qaytsak, ikkita tenglamani olamiz x 2 - 3x = 4 va x 2 - 3x = - 6. Birinchi tenglamadan biz x 1 = 4, x 2 = - 1 ni topamiz; ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q.
JAVOB: 4, - 1.
Ushbu maqolada men sizga ko'rsataman yetti turdagi ratsional tenglamalarni yechish algoritmlari, o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali kvadratga keltirilishi mumkin. Aksariyat hollarda almashtirishga olib keladigan o'zgarishlar juda ahamiyatsiz va ular haqida o'zingiz taxmin qilish juda qiyin.
Har bir turdagi tenglama uchun men unda o'zgaruvchini qanday o'zgartirishni tushuntiraman va keyin tegishli video darsida batafsil echimni ko'rsataman.
Sizda tenglamalarni o'zingiz yechishni davom ettirishingiz, keyin esa yechimingizni video dars bilan tekshirishingiz mumkin.
Shunday ekan, boshlaylik.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
E'tibor bering, tenglamaning chap tomonida to'rtta qavsning ko'paytmasi, o'ng tomonida esa raqam mavjud.
1. Qavslarni ikkiga guruhlaymiz, shunda erkin hadlar yig'indisi bir xil bo'ladi.
2. Ularni ko'paytiring.
3. O‘zgaruvchining o‘zgarishini kiritamiz.
Tenglamamizda birinchi qavsni uchinchi bilan, ikkinchisini to'rtinchisi bilan guruhlaymiz, chunki (-1)+(-4)=(-7)+2:
Bu vaqtda o'zgaruvchini almashtirish aniq bo'ladi:
Biz tenglamani olamiz 
Javob: 
2 .
Ushbu turdagi tenglama bir farq bilan oldingisiga o'xshaydi: tenglamaning o'ng tomonida sonning ko'paytmasi va . Va u butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi:
1. Erkin atamalarning hosilasi bir xil bo'lishi uchun qavslarni ikkiga guruhlaymiz.
2. Har bir qavs juftligini ko'paytiring.
3. Har bir omildan x ni chiqaramiz.
4. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling.
5. Biz o'zgaruvchining o'zgarishini kiritamiz.
Ushbu tenglamada biz birinchi qavsni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan guruhlaymiz, chunki:
E'tibor bering, har bir qavsda koeffitsient va bo'sh muddat bir xil. Keling, har bir qavsdan bir omil chiqaramiz:
x=0 asl tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lamiz. Biz olamiz:
Biz tenglamani olamiz: 
Javob: 
3
. 
E'tibor bering, ikkala kasrning maxrajlari kvadrat trinomlar, ular uchun etakchi koeffitsient va erkin muddat bir xil. Ikkinchi turdagi tenglamadagi kabi qavsdan x ni chiqaramiz. Biz olamiz:
Har bir kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:
Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni kiritishimiz mumkin:
t o'zgaruvchisi uchun tenglamani olamiz:
4 .
E'tibor bering, tenglamaning koeffitsientlari markaziyga nisbatan nosimmetrikdir. Bu tenglama deyiladi qaytarilishi mumkin .
Uni hal qilish uchun,
1. Tenglamaning har ikki tomonini (X=0 tenglamaning ildizi bo‘lmagani uchun biz buni qila olamiz.) ga bo‘lamiz:
2. Keling, atamalarni shunday guruhlaymiz:
3. Har bir guruhda qavs ichidagi umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz:
4. O'zgartirishni kiritamiz:
5. Ifodani t orqali ifodalang:
Bu yerdan 
t uchun tenglamani olamiz:
Javob:
5. Bir jinsli tenglamalar.
Bir hil tuzilishga ega bo'lgan tenglamalar ko'rsatkichli, logarifmik va trigonometrik tenglamalar, shuning uchun siz uni tanib olishingiz kerak.
Bir jinsli tenglamalar quyidagi tuzilishga ega:
Bu tenglikda A, B va C raqamlar, kvadrat va aylana esa bir xil ifodalarni bildiradi. Ya'ni, bir hil tenglamaning chap tomonida bir xil darajaga ega bo'lgan monomlar yig'indisi mavjud (da Ushbu holatda monomiallarning darajasi 2), va bo'sh atama yo'q.
Bir hil tenglamani yechish uchun ikkala tomonni ga bo'ling
Diqqat! Tenglamaning o'ng va chap tomonlarini noma'lumni o'z ichiga olgan ifodaga bo'lishda siz ildizlarni yo'qotishingiz mumkin. Shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini bo'ladigan ifodaning ildizlari dastlabki tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak.
Keling, birinchi yo'lga boraylik. Biz tenglamani olamiz:
Endi biz o'zgaruvchini almashtirishni joriy qilamiz:
Keling, ifodani soddalashtiramiz va t uchun bikvadrat tenglamani olamiz:
Javob: yoki
7
. 
Ushbu tenglama quyidagi tuzilishga ega:
Uni hal qilish uchun tenglamaning chap tomonida to'liq kvadratni tanlashingiz kerak.
To'liq kvadratni tanlash uchun mahsulotning ikki barobarini qo'shish yoki ayirish kerak. Keyin yig'indi yoki farqning kvadratini olamiz. Bu o'zgaruvchanni muvaffaqiyatli almashtirish uchun juda muhimdir.
Keling, mahsulotning ikki barobarini topishdan boshlaylik. Bu o'zgaruvchini almashtirish uchun kalit bo'ladi. Bizning tenglamamizda mahsulot ikki barobarga teng
Keling, biz uchun nima qulayroq ekanligini aniqlaylik - yig'indi kvadrati yoki farq. Avval iboralar yig'indisini ko'rib chiqamiz:
Ajoyib! Bu ifoda mahsulotning ikki barobariga to'liq teng. Keyin, qavs ichida yig'indining kvadratini olish uchun siz qo'shilish va ayirish kerak:
