Burchak va uning belgilanishini aniqlang. Burchaklar. Burchaklar turlari. Burchak birliklari. Chizmadagi burchaklarni belgilash

Burchaklarni o'lchash ularning mos keladigan yoylarini o'lchashga quyidagicha tushadi. Burchakning birligi to'g'ri burchakning 1/90 qismi bo'lgan burchak sifatida qabul qilinadi. Bu birlik deyiladi burchak darajasi .

Bir xil radiusli yoylar birligi burchak darajasiga teng bo'lgan markaziy burchakka mos keladigan bir xil radiusli yoy sifatida qabul qilinadi. Bu yoy deyiladi yoy darajasi.

To'g'ri markaziy burchak aylananing 1/4 qismiga to'g'ri kelganligi sababli, burchak darajasi doiraning chorak qismining 1/90 qismiga to'g'ri keladi. Bu shuni anglatadiki, yoy darajasi butun doiraning 1/360 qismidir.

Faraz qilaylik, AOB burchagini o'lchash kerak, ya'ni bu burchakning MNP burchak darajasiga nisbati topilsin, buning uchun CD va EF yoylarini ixtiyoriy, lekin bir xil radiusli burchaklar cho'qqilaridan tasvirlaymiz.

Keyin bizda quyidagilar bo'ladi:

Bu nisbatning chap nisbati AOB burchagini yoy darajalarida o'lchaydigan raqamdir.

Shuning uchun bu nisbatni quyidagicha ifodalash mumkin: burchakni yoy graduslarida o'lchaydigan raqam yoy darajalarida mos keladigan yoyni o'lchaydigan raqamga teng.

Qisqartirish uchun bu ibora odatda shunday ifodalanadi: Burchak mos keladigan yoy bilan o'lchanadi.

Burchak yoki yoyning darajalari bo'linadi 60 teng qismlar deb ataladi daqiqa(burchak yoki yoy).

Daqiqa ga bo'linadi 60 teng qismlar deb ataladi soniya(burchak yoki yoy).

Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, burchakda qancha yoy darajalari, daqiqalar va soniyalar mavjud bo'lsa, tegishli yoyda yoy darajalari, daqiqalar va soniyalar mavjud.

Agar, masalan, arc CD 40 darajani o'z ichiga olsa. 25 min. va 13,5 soniya (yoy), keyin AOB burchagi 40 daraja. 25 min. 13,5 sek. (burchak). Bu qisqacha quyidagicha ifodalanadi:

∠AOB = 40°25' 13,5'',

mos ravishda (°), ('), ('') darajalar, daqiqalar va soniyalar bilan belgilab beradi.

To'g'ri burchak 90 ° ni o'z ichiga olganligi sababli, u holda:

1. har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng;

2. to‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklarining yig‘indisi 90°;

3. teng yonli uchburchakning har bir burchagi 60°;

4. N tomoni bo'lgan qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisi 180° (n - 2).

O'tkazgich - Burchaklarni o'lchash uchun ishlatiladigan bu qurilma yoyi 180 gradusga bo'lingan yarim doiradir.

AOB burchagini o'lchash uchun qurilmani shunday joylashtiringki, yarim doira markazi burchakning tepasiga, OM radiusi esa AO tomoniga to'g'ri keladi. Keyin PN yoyidagi darajalar soni AOB burchagining kattaligini ko'rsatadi. Bundan tashqari, ma'lum darajalarni o'z ichiga olgan burchakni chizish uchun transportyordan foydalanishingiz mumkin.

Albatta, bunday qurilmada nafaqat soniyalarni, balki daqiqalarni ham hisoblash mumkin emas. O'lchash va chizish faqat taxminan amalga oshirilishi mumkin.

Burchaklarni o'lchash ularni o'lchov birligi sifatida olingan burchak bilan solishtirishga asoslangan. Odatda, burchaklar uchun o'lchov birligi daraja - ochilgan burchakning 1/180 qismiga teng burchak.

O'tkazgich

Bir daraja va uning qismlari ma'lum bir burchakka necha marta to'g'ri kelishini ko'rsatadigan musbat songa burchakning daraja o'lchovi deyiladi. Burchaklarni o'lchash uchun transportyordan foydalaniladi (1-rasm).

∠AOB = 150°

2-rasmda daraja o'lchovi 150 ° bo'lgan AOB burchagi ko'rsatilgan. Odatda ular qisqacha aytadilar: "AOB burchagi 150 °" - va yozadilar: Z AOB = 150 °.

Darajaning 1/60 qismi daqiqa, 1/60 qismi esa soniya deb ataladi. Daqiqalar “′” belgisi bilan, soniyalar esa “″” belgisi bilan belgilanadi. Masalan, 68 gradus, 32 daqiqa va 27 sekundlik burchak quyidagicha ko'rsatilgan: 68 ° 32'27 ″.

Agar ikkita burchak teng bo'lsa, daraja va uning qismlari bu burchaklarga bir xil sonli marta joylashtiriladi, ya'ni teng burchaklar teng daraja o'lchovlariga ega. Agar bir burchak boshqasidan kichikroq bo'lsa, unda daraja (yoki uning qismi) boshqa burchakka qaraganda kamroq marta joylashtiriladi, ya'ni kichikroq burchak kichikroq daraja o'lchoviga ega.

Daraja 1/180 bo'lgani uchun: to'g'ri burchakning bir qismi, keyin to'g'ri burchak 180 ° dir. Burilmagan burchak 180 ° dan kichik, chunki u rivojlangandan kichikroq.

∠AOC = 40°, ∠COB= 120°, ∠AOB = 160°

3-rasmda boshlanishi O nuqtada bo'lgan nurlar ko'rsatilgan. Rey OC AOB burchagini ikkita burchakka ajratadi: AOC va COB. Biz buni ko'ramiz ∠ AOC = 40°, ∠ COB = 120°, ∠ AOB = 160°.

Shunday qilib, ∠ AOC + ∠ COB = ∠ AOB.

Ma'lumki, boshqa barcha holatlarda, nur burchakni ikki burchakka ajratganda, butun burchakning daraja o'lchovi bu burchaklarning daraja o'lchovlari yig'indisiga teng bo'ladi.

Burchak deyiladi:

bevosita, agar u 90 ° ga teng bo'lsa (4-rasm, a);

keskin, agar u 90 ° dan kam bo'lsa, ya'ni to'g'ri burchakdan kamroq bo'lsa (4-rasm, b);

ahmoq, agar u 90 ° dan ortiq bo'lsa, lekin 180 ° dan kam bo'lsa, ya'ni to'g'ri burchakdan ko'proq, lekin tekis burchakdan kamroq (4-rasm, c).

1-misol. Ray l - 50° ga teng hk burchakning bissektrisasi. hi va Ik burchaklarining daraja o'lchovlarini toping.

Yechim. l hk burchakning bissektrisasi bo'lgani uchun hl va lk burchaklarning har birining daraja o'lchovlari teng. Ulardan birining daraja o'lchovini x bilan belgilaymiz. Keyin 2x = 50 °, bundan x = 25 °. Demak, hl va lk burchaklarning har birining daraja o'lchovlari 25° va 25° ga teng.

2-misol. Ray OS AOB burchagini ikki burchakka ajratadi. Agar ∠ AOB = 155° boʻlsa va AOC burchagi COB burchagidan 15° katta boʻlsa, AOC burchagini toping.

Yechim. AOC burchagining daraja o'lchamini x bilan belgilaymiz. Keyin COB burchagining daraja o'lchovi x - 15 ° bo'ladi. Endi shartga ko'ra x + x - 15 ° = 155 ° yoki 2x = 170 °, bu erdan x = 85 °.

3-misol. 120° ga teng cd burchakning tomonlari orasidan a nuri o'tadi. Agar ularning daraja o'lchovlari 4:2 nisbatda bo'lsa, kanad burchaklarini toping.

Yechim. cd burchakning tomonlari orasidan a nuri o'tadi, bu ∠ ca + ∠ ad = ∠ cd degan ma'noni anglatadi.
Daraja o‘lchovlari ∠ca va ∠ad 4:2 nisbatda bo‘lgani uchun $$∠ ca = \frac(120°)(6) 4 = 80° ,\space ∠ ad = \frac(120°)(6) ) 2 = 40°.$$

Burchak asosiy geometrik shakl bo'lib, biz butun mavzu bo'ylab tahlil qilamiz. Ta'riflar, o'rnatish usullari, burchakni belgilash va o'lchash. Keling, chizmalardagi burchaklarni ta'kidlash tamoyillarini ko'rib chiqaylik. Butun nazariya tasvirlangan va ko'p sonli vizual chizmalarga ega.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Burchak- geometriyadagi oddiy muhim raqam. Burchak to'g'ridan-to'g'ri nurning ta'rifiga bog'liq bo'lib, u o'z navbatida nuqta, to'g'ri chiziq va tekislikning asosiy tushunchalaridan iborat. To'liq o'rganish uchun siz mavzularni chuqurroq o'rganishingiz kerak tekislikdagi to'g'ri chiziq - kerakli ma'lumotlar Va samolyot - kerakli ma'lumotlar.

Burchak tushunchasi shu tekislikda tasvirlangan nuqta, tekislik va to'g'ri chiziq tushunchalaridan boshlanadi.

Ta'rif 2

Tekislikda a to'g'ri chiziq berilgan. Undagi ma'lum O nuqtani belgilaymiz. To'g'ri chiziq nuqta bilan ikki qismga bo'linadi, ularning har biri o'z nomiga ega Rey, va O nuqta - nurning boshlanishi.

Boshqacha qilib aytganda, nur yoki yarim tekis - u chiziqning boshlang'ich nuqtasiga nisbatan bir tomonda joylashgan, ya'ni O nuqtadan iborat bo'lgan bir qismidir.

Nurni belgilash ikkita variantda ruxsat etiladi: lotin alifbosining bitta kichik yoki ikkita katta harfi. Ikki harf bilan belgilansa, nur ikki harfdan iborat nomga ega. Keling, rasmni batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, burchakni aniqlash tushunchasiga o'tamiz.

Ta'rif 3

Burchak umumiy kelib chiqishiga ega boʻlgan ikkita divergent nurlardan hosil boʻlgan, berilgan tekislikda joylashgan figura. Burchak tomoni nurdir cho'qqi– tomonlarning umumiy kelib chiqishi.

Burchakning tomonlari to'g'ri chiziq vazifasini bajarishi mumkin bo'lgan holat mavjud.

Ta'rif 4

Agar burchakning ikkala tomoni bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa yoki uning tomonlari bitta to'g'ri chiziqning qo'shimcha yarim chiziqlari bo'lib xizmat qilsa, bunday burchak deyiladi. kengaytirilgan.

Quyidagi rasmda aylantirilgan burchak ko'rsatilgan.

To'g'ri chiziqdagi nuqta burchakning cho'qqisidir. Ko'pincha u O nuqtasi bilan belgilanadi.

Matematikadagi burchak “∠” belgisi bilan belgilanadi. Agar burchakning tomonlari kichik lotin harflari bilan belgilangan bo'lsa, burchakni to'g'ri aniqlash uchun tomonlarga mos keladigan qatorga harflar yoziladi. Agar ikki tomon k va h deb belgilansa, burchak ∠ k h yoki ∠ h k deb belgilanadi.

Belgilanish katta harflarda bo'lsa, burchakning tomonlari mos ravishda O A va O B deb nomlanadi. Bunday holda, burchak lotin alifbosining uchta harfidan tashkil topgan nomga ega bo'lib, markazda tepada - ∠ A O B va ∠ B O A bilan bir qatorda yozilgan. Burchaklarda nomlar yoki harf belgilari bo'lmasa, raqamlar ko'rinishida belgi mavjud. Quyida burchaklar turli yo'llar bilan ko'rsatilgan rasm mavjud.

Burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Agar burchak burilmagan bo'lsa, unda tekislikning bir qismi chaqiriladi ichki burchak maydoni, boshqa - tashqi burchak maydoni. Quyida samolyotning qaysi qismlari tashqi va qaysilari ichki ekanligini tushuntiruvchi rasm mavjud.

Tekislikda rivojlangan burchakka bo'linganda, uning biron bir qismi rivojlangan burchakning ichki hududi hisoblanadi.

Burchakning ichki maydoni - bu burchakning ikkinchi ta'rifi uchun xizmat qiluvchi element.

Ta'rif 5

Burchak umumiy kelib chiqishi va mos keladigan ichki burchak maydoniga ega bo'lgan ikkita divergent nurlardan tashkil topgan geometrik figura deb ataladi.

Bu ta'rif avvalgisidan ko'ra qattiqroq, chunki unda ko'proq shartlar mavjud. Ikkala ta'rifni alohida ko'rib chiqish tavsiya etilmaydi, chunki burchak bir nuqtadan chiqadigan ikkita nur yordamida o'zgartirilgan geometrik figuradir. Burchak bilan harakatlarni bajarish zarur bo'lganda, ta'rif umumiy boshlanish va ichki maydonga ega bo'lgan ikkita nurning mavjudligini anglatadi.

Ikki burchak deyiladi qo'shni, agar umumiy tomon bo'lsa va qolgan ikkitasi qo'shimcha yarim chiziqlar bo'lsa yoki to'g'ri burchak hosil qiladi.

Rasmda ko'rinib turibdiki, qo'shni burchaklar bir-birini to'ldiradi, chunki ular bir-birining davomi.

Ta'rif 7

Ikki burchak deyiladi vertikal, agar birining tomonlari ikkinchisining to'ldiruvchi yarim chiziqlari bo'lsa yoki ikkinchisining tomonlarining davomi bo'lsa. Quyidagi rasmda vertikal burchaklar tasviri ko'rsatilgan.

To'g'ri chiziqlar kesishganda, 4 juft qo'shni va 2 juft vertikal burchak olinadi. Quyida rasmda ko'rsatilgan.

Maqolada teng va teng bo'lmagan burchaklarning ta'riflari ko'rsatilgan. Keling, qaysi burchak kattaroq, qaysi kichikroq va burchakning boshqa xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Ikki raqam, agar ular ustiga qo'yilganda, ular to'liq mos kelsa, teng hisoblanadi. Xuddi shu xususiyat burchaklarni solishtirish uchun ham amal qiladi.

Ikki burchak berilgan. Bu burchaklar teng yoki teng emas, degan xulosaga kelish kerak.

Ma'lumki, ikkita burchakning cho'qqilari va birinchi burchakning tomonlari ikkinchisining istalgan boshqa tomoni bilan bir-biriga yopishadi. Ya'ni, agar burchaklar qo'yilganda to'liq tasodif bo'lsa, berilgan burchaklarning tomonlari to'liq tekislanadi, burchaklar teng.

Ehtimol, ustiga qo'yilganda tomonlar tekislanmasligi mumkin, keyin burchaklar tengsiz, kichikroq boshqasidan tashkil topgan va Ko'proq butunlay boshqa burchakni o'z ichiga oladi. Quyida teng bo'lmagan burchaklar mavjud bo'lib, ular qo'yilganda tekislanmagan.

To'g'ri burchaklar tengdir.

Burchaklarni o'lchash o'lchanayotgan burchakning yon tomonini va uning ichki maydonini o'lchash, qaysi birlik burchaklar bilan to'ldirish va ularni bir-biriga qo'llashdan boshlanadi. Qo'yilgan burchaklar sonini hisoblash kerak, ular o'lchangan burchakning o'lchovini oldindan belgilaydi.

Burchak birligi har qanday o'lchanadigan burchak bilan ifodalanishi mumkin. Fan va texnikada qo'llaniladigan umumiy qabul qilingan o'lchov birliklari mavjud. Ular boshqa nomlarga ixtisoslashgan.

Eng ko'p ishlatiladigan tushuncha daraja.

Ta'rif 8

Bir daraja to'g'ri burchakning yuz saksondan bir qismiga ega bo'lgan burchak deyiladi.

Bir daraja uchun standart belgi "°", keyin bir daraja 1 ° dir. Demak, to'g'ri burchak shunday bir gradusli 180 ta burchakdan iborat. Barcha mavjud burchaklar bir-biriga mahkam yotqizilgan va oldingi tomonning yon tomonlari keyingisiga to'g'ri keladi.

Ma'lumki, burchakdagi graduslar soni burchakning o'lchovidir. Ochilmagan burchak o'z tarkibida 180 ta to'plangan burchakka ega. Quyidagi rasmda burchak 30 marta, ya'ni ochilganning oltidan bir qismi va 90 marta, ya'ni yarmi yotqizilgan misollar ko'rsatilgan.

Daqiqalar va soniyalar burchaklarni aniq o'lchash uchun ishlatiladi. Ular burchak qiymati butun daraja belgisi bo'lmaganda qo'llaniladi. Darajaning bu fraktsiyalari aniqroq hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi.

Ta'rif 9

bir daqiqada darajaning oltmishdan biri deb ataladi.

Ta'rif 10

Bir soniyada daqiqaning oltmishdan biriga qo'ng'iroq qildi.

Bir daraja 3600 soniyani o'z ichiga oladi. Daqiqalar """ bilan belgilanadi, soniyalar esa """ bilan belgilanadi:

1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "", 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

va 17 daraja 3 daqiqa 59 soniya burchak uchun belgi 17 ° 3 "59"".

Ta'rif 11

Keling, 17 ° 3 "59 "" ga teng burchakning daraja o'lchovini belgilashga misol keltiraylik. Kirish boshqa shaklga ega: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Burchaklarni aniq o'lchash uchun o'lchash moslamasidan foydalaning, masalan, transportyor. ∠ A O B burchakni va uning daraja o'lchamini 110 daraja bilan belgilashda qulayroq belgi qo'llaniladi ∠ A O B = 110 °, unda "A O B burchagi 110 gradusga teng" deb o'qiladi.

Geometriyada (0, 180) oraliqdan burchak o'lchovi qo'llaniladi, trigonometriyada esa ixtiyoriy daraja o'lchovi deyiladi. aylanish burchaklari. Burchaklarning qiymati har doim haqiqiy son sifatida ifodalanadi. To'g'ri burchak- Bu 90 darajaga ega bo'lgan burchak. O'tkir burchak– 90 darajadan kam bo'lgan burchak va to'mtoq- Ko'proq.

O'tkir burchak oraliqda (0, 90), o'tmas burchak esa (90, 180) o'lchanadi. Quyida uch turdagi burchaklar aniq ko'rsatilgan.

Har qanday burchakning har qanday daraja o'lchovi bir xil qiymatga ega. Kattaroq burchak kichikroqdan ko'ra mos ravishda kattaroq darajaga ega. Bir burchakning daraja o'lchovi ichki burchaklarning barcha mavjud daraja o'lchovlarining yig'indisidir. Quyida AOC, COD va DOB burchaklaridan tashkil topgan AOB burchagi ko'rsatilgan rasm. Batafsil ma'noda shunday ko'rinadi: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Bunga asoslanib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin so'm hamma qo'shni burchaklar 180 darajaga teng, chunki ularning barchasi to'g'ri burchakni tashkil qiladi.

Bundan kelib chiqadiki, har qanday vertikal burchaklari teng. Agar buni misol tariqasida ko'rib chiqsak, A O B va C O D burchaklari vertikal (chizmada), u holda A O B va B O C, C O D va B O C burchaklar juftlari qo'shni hisoblanadi. Bunda ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° tenglik ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° bilan birgalikda yagona to'g'ri deb hisoblanadi. Demak, biz ∠ A O B = ∠ C O D ga egamiz. Quyida vertikal tutqichlarning tasviri va belgilanishiga misol keltirilgan.

Darajalar, daqiqalar va soniyalardan tashqari, boshqa o'lchov birligi ishlatiladi. U deyiladi radian. Ko'pincha uni trigonometriyada ko'pburchaklarning burchaklarini belgilashda topish mumkin. Radian nima deyiladi?

Ta'rif 12

Bir radian burchak aylana radiusi yoy uzunligiga teng bo'lgan markaziy burchak deb ataladi.

Rasmda radian aylana shaklida tasvirlangan, bu erda nuqta bilan ko'rsatilgan markaz mavjud bo'lib, aylananing ikki nuqtasi bir-biriga bog'langan va O A va O B radiuslariga aylantirilgan. Ta'rifga ko'ra, bu A O B uchburchak teng tomonli, ya'ni A B yoyining uzunligi O B va O A radiuslarining uzunliklariga teng.

Burchakning belgilanishi "rad" sifatida qabul qilinadi. Ya'ni, 5 radianni yozish 5 rad sifatida qisqartiriladi. Ba'zan siz pi deb nomlangan yozuvni topishingiz mumkin. Radianlar ma'lum doira uzunligiga bog'liq emas, chunki raqamlar berilgan burchakning tepasida joylashgan markaz bilan burchak va uning yoyi bilan ma'lum bir cheklovga ega. Ular o'xshash deb hisoblanadi.

Radianlar darajalar bilan bir xil ma'noga ega, faqat farq ularning kattaligida. Buni aniqlash uchun markaziy burchakning hisoblangan yoy uzunligini uning radiusi uzunligiga bo'lish kerak.

Amalda ular foydalanadilar darajalarni radianga va radianni darajaga aylantirish muammoni yanada qulayroq hal qilish uchun. Ushbu maqolada daraja o'lchovi va radian o'rtasidagi bog'liqlik haqida ma'lumot mavjud bo'lib, u erda siz darajadan radianga va aksincha o'zgarishlarni batafsil o'rganishingiz mumkin.

Chizmalar yoylar va burchaklarni vizual va qulay tasvirlash uchun ishlatiladi. U yoki bu burchakni, yoyni yoki nomni to'g'ri tasvirlash va belgilash har doim ham mumkin emas. Teng burchaklar bir xil sonli yoylar bilan, teng bo'lmagan burchaklar esa boshqa raqam bilan belgilanadi. Chizma o'tkir, teng va teng bo'lmagan burchaklarning to'g'ri belgilanishini ko'rsatadi.

3 dan ortiq burchakni belgilash kerak bo'lganda, to'lqinli yoki tirqishli kabi maxsus yoy belgilaridan foydalaniladi. Bu unchalik muhim emas. Quyida ularning belgilanishi ko'rsatilgan rasm.

Boshqa ma'nolarga xalaqit bermaslik uchun burchak belgilari oddiy bo'lishi kerak. Muammoni hal qilishda, butun chizmani chalkashtirmaslik uchun faqat yechim uchun zarur bo'lgan burchaklarni ajratib ko'rsatish tavsiya etiladi. Bu yechim va isbotga xalaqit bermaydi, shuningdek, chizilgan rasmga estetik ko'rinish beradi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu maqolada biz asosiy geometrik shakllardan biri - burchakni har tomonlama tahlil qilamiz. Keling, bizni burchak ta'rifiga olib keladigan yordamchi tushunchalar va ta'riflardan boshlaylik. Shundan so'ng biz burchaklarni belgilashning qabul qilingan usullarini taqdim etamiz. Keyinchalik, burchaklarni o'lchash jarayonini batafsil ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib, biz chizmadagi burchaklarni qanday belgilashingiz mumkinligini ko'rsatamiz. Materialni yaxshiroq eslab qolish uchun biz barcha nazariyani kerakli chizmalar va grafik tasvirlar bilan ta'minladik.

Sahifani navigatsiya qilish.

Burchak ta'rifi.

Burchak geometriyadagi eng muhim ko'rsatkichlardan biridir. Burchakning ta'rifi nurning ta'rifi orqali beriladi. O'z navbatida, nuqta, to'g'ri chiziq va tekislik kabi geometrik figuralarni bilmasdan nur haqida tasavvurga ega bo'lmaydi. Shuning uchun, burchak ta'rifi bilan tanishishdan oldin, biz nazariyani bo'limlardan va bo'limlardan ko'rib chiqishni tavsiya qilamiz.

Demak, biz nuqta, tekislikdagi chiziq va tekislik tushunchalaridan boshlaymiz.

Keling, avval nurning ta'rifini beraylik.

Bizga tekislikda qandaydir to'g'ri chiziq berilsin. Uni a harfi bilan belgilaymiz. O chiziqning qaysidir nuqtasi bo‘lsin. O nuqta a chiziqni ikki qismga ajratadi. Bu qismlarning har biri O nuqtasi bilan birga deyiladi nur, va O nuqta deyiladi nurning boshlanishi. Nurning nima deb atalishini ham eshitishingiz mumkin yarim to'g'ridan-to'g'ri.

Qisqalik va qulaylik uchun nurlar uchun quyidagi belgi kiritildi: nur kichik lotin harfi bilan (masalan, ray p yoki ray k) yoki ikkita katta lotin harfi bilan belgilanadi, ularning birinchisi boshiga mos keladi. nur, ikkinchisi esa bu nurning qaysidir nuqtasini bildiradi (masalan, ray OA yoki ray CD). Chizmadagi nurlarning tasviri va belgilanishini ko'rsatamiz.

Endi burchakning birinchi ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif.

Burchak- bu umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita divergent nurlardan tashkil topgan tekis geometrik figura (ya'ni butunlay ma'lum bir tekislikda yotgan). Nurlarning har biri deyiladi burchak tomoni, burchak tomonlarining umumiy kelib chiqishi deyiladi burchakning tepasi.

Burchakning tomonlari to'g'ri chiziq hosil qilishi mumkin. Bu burchakning o'z nomi bor.

Ta'rif.

Agar burchakning ikkala tomoni bitta to'g'ri chiziqda yotsa, bunday burchak deyiladi kengaytirilgan.

Sizning e'tiboringizga aylantirilgan burchakning grafik tasvirini taqdim etamiz.

Burchakni ko'rsatish uchun "" burchak belgisidan foydalaning. Agar burchakning tomonlari kichik lotin harflari bilan belgilansa (masalan, burchakning bir tomoni k, ikkinchi tomoni h), u holda bu burchakni belgilash uchun burchak belgisidan keyin tomonlarga mos keladigan harflar yoziladi. bir qator va yozish tartibi muhim emas (ya'ni, yoki). Agar burchakning tomonlari ikkita katta lotin harfi bilan belgilansa (masalan, burchakning bir tomoni OA, ikkinchi tomoni esa OB), u holda burchak quyidagicha belgilanadi: burchak belgisidan keyin uchta burchakning tomonlarini belgilashda ishtirok etadigan harflar yoziladi va burchakning tepasiga mos keladigan harf o'rtada joylashgan (bizning holatda, burchak yoki sifatida belgilanadi). Agar burchakning cho'qqisi boshqa burchakning cho'qqisi bo'lmasa, unda bunday burchakni burchakning cho'qqisiga mos keladigan harf bilan belgilash mumkin (masalan, ). Ba'zan siz chizmalardagi burchaklar raqamlar bilan (1, 2, va hokazo) belgilanganligini ko'rishingiz mumkin, bu burchaklar va hokazo. Aniqlik uchun biz burchaklar tasvirlangan va ko'rsatilgan chizmani taqdim etamiz.

Har qanday burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Bundan tashqari, agar burchak burilmagan bo'lsa, unda tekislikning bir qismi chaqiriladi ichki burchak maydoni, va boshqasi - tashqi burchak maydoni. Quyidagi rasmda tekislikning qaysi qismi burchakning ichki maydoniga va qaysi biri tashqi tomonga mos kelishini tushuntiradi.

Ochilmagan burchak tekislikni ajratadigan ikkita qismning har qanday qismini ochilgan burchakning ichki hududi deb hisoblash mumkin.

Burchakning ichki mintaqasini aniqlash bizni burchakning ikkinchi ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

Burchak umumiy kelib chiqishi va burchakning mos keladigan ichki maydoniga ega bo'lgan ikkita ajralgan nurlardan tashkil topgan geometrik figura.

Shuni ta'kidlash kerakki, burchakning ikkinchi ta'rifi birinchisiga qaraganda qattiqroq, chunki u ko'proq shartlarni o'z ichiga oladi. Biroq, burchakning birinchi ta'rifini rad etmaslik kerak, shuningdek, burchakning birinchi va ikkinchi ta'riflarini alohida ko'rib chiqish kerak emas. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik. Geometrik shakl sifatida burchak haqida gapiradigan bo'lsak, u holda burchak umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita nurdan tashkil topgan figura sifatida tushuniladi. Agar bu burchak bilan biron bir harakatni amalga oshirish zarurati tug'ilsa (masalan, burchakni o'lchash), u holda burchakni allaqachon umumiy boshlanishi va ichki maydoni bo'lgan ikkita nur deb tushunish kerak (aks holda ikki tomonlama vaziyat yuzaga keladi). burchakning ichki va tashqi maydonlarining mavjudligi ).

Keling, qo'shni va vertikal burchaklarning ta'riflarini ham beraylik.

Ta'rif.

Qo'shni burchaklar- bu ikki burchak bo'lib, ularning bir tomoni umumiy, qolgan ikkitasi esa ochilgan burchak hosil qiladi.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, qo'shni burchaklar burchak aylantirilgunga qadar bir-birini to'ldiradi.

Ta'rif.

Vertikal burchaklar- bu bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarining davomi bo'lgan ikkita burchak.

Rasmda vertikal burchaklar ko'rsatilgan.

Shubhasiz, ikkita kesishgan chiziq to'rt juft qo'shni burchak va ikki juft vertikal burchak hosil qiladi.

Burchaklarni taqqoslash.

Maqolaning ushbu bandida biz teng va teng bo'lmagan burchaklarning ta'riflarini tushunamiz, shuningdek, teng bo'lmagan burchaklar holatida qaysi burchak kattaroq va qaysi biri kichikroq deb hisoblanishini tushuntiramiz.

Eslatib o'tamiz, ikkita geometrik figurani bir-birining ustiga qo'yish orqali birlashtirish mumkin bo'lsa, ular teng deb ataladi.

Bizga ikkita burchak berilsin. Keling, "Bu ikki burchak tengmi yoki teng emasmi?" Degan savolga javob topishga yordam beradigan ba'zi dalillarni keltiramiz.

Shubhasiz, biz har doim ikkita burchakning uchlarini, shuningdek, birinchi burchakning bir tomonini ikkinchi burchakning har ikki tomoni bilan moslashtira olamiz. Birinchi burchakning yon tomonini ikkinchi burchakning u tomoni bilan shunday tekislaymizki, burchaklarning qolgan tomonlari burchaklarning birlashgan tomonlari yotadigan to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'lsin. Keyin, agar burchaklarning qolgan ikki tomoni mos tushsa, u holda burchaklar deyiladi teng.

Agar burchaklarning qolgan ikki tomoni mos kelmasa, burchaklar deyiladi tengsiz, va kichikroq boshqasining bir qismini tashkil etuvchi burchak hisobga olinadi ( katta boshqa burchakni to'liq o'z ichiga olgan burchak).

Shubhasiz, ikkita to'g'ri burchak tengdir. Bundan tashqari, rivojlangan burchak har qanday rivojlanmagan burchakdan kattaroq ekanligi aniq.

Burchaklarni o'lchash.

Burchaklarni o'lchash o'lchanayotgan burchakni o'lchov birligi sifatida olingan burchak bilan solishtirishga asoslangan. Burchaklarni o'lchash jarayoni quyidagicha ko'rinadi: o'lchanayotgan burchakning bir tomonidan boshlab, uning ichki maydoni ketma-ket bir-birining yoniga mahkam joylashtirilib, bitta burchak bilan to'ldiriladi. Shu bilan birga, yotqizilgan burchaklar soni esga olinadi, bu o'lchangan burchakning o'lchovini beradi.

Aslida, har qanday burchak burchaklar uchun o'lchov birligi sifatida qabul qilinishi mumkin. Shu bilan birga, fan va texnikaning turli sohalari bilan bog'liq ko'plab umumiy qabul qilingan burchak o'lchov birliklari mavjud bo'lib, ular maxsus nomlarga ega.

Burchaklarni o'lchash birliklaridan biri daraja.

Ta'rif.

Bir daraja- bu burilish burchagining yuz saksondan biriga teng burchak.

Bir daraja "" belgisi bilan belgilanadi, shuning uchun bir daraja sifatida belgilanadi.

Shunday qilib, aylantirilgan burchakda biz 180 burchakni bir darajaga sig'dira olamiz. Bu 180 ta teng bo'laklarga kesilgan yarim dumaloq pirogga o'xshaydi. Juda muhim: "pirojnoe bo'laklari" bir-biriga mahkam o'rnashgan (ya'ni burchaklarning yon tomonlari tekislangan), birinchi burchakning yon tomoni ochilgan burchakning bir tomoniga va oxirgi birlik burchagining tomoniga to'g'ri keladi. ochilgan burchakning boshqa tomoniga to'g'ri keladi.

Burchaklarni o'lchashda, o'lchanayotgan burchakning ichki maydoni to'liq qoplanmaguncha, o'lchanayotgan burchakka necha marta gradus (yoki boshqa burchak o'lchov birligi) qo'yilganligini bilib oling. Yuqorida aytib o'tganimizdek, aylantirilgan burchakda daraja aniq 180 marta. Quyida bir daraja burchak aniq 30 marta (bunday burchak ochilgan burchakning oltidan bir qismi) va to'liq 90 marta (ochilmagan burchakning yarmi) mos keladigan burchaklarga misollar keltirilgan.

Bir darajadan kichik burchaklarni (yoki burchaklarning boshqa o'lchov birligidan) o'lchash uchun va burchakni butun darajalar soni bilan o'lchash mumkin bo'lmagan hollarda (o'lchov birliklari) gradusning qismlarini (o'lchov birliklari) ishlatish kerak. qabul qilingan o'lchov birliklari). Darajaning ayrim qismlariga maxsus nomlar beriladi. Eng keng tarqalgan daqiqalar va soniyalar deb ataladi.

Ta'rif.

Daqiqa darajaning oltmishdan bir qismidir.

Ta'rif.

Ikkinchi daqiqaning oltmishdan biri.

Boshqacha qilib aytganda, bir daqiqada oltmish soniya, gradusda esa oltmish daqiqa (3600 soniya) bor. “” belgisi daqiqalarni, “” belgisi esa soniyalarni belgilash uchun ishlatiladi (hosil va ikkinchi hosila belgilari bilan aralashtirmang). Keyin, kiritilgan ta'riflar va belgilar bilan biz bor va 17 daraja 3 daqiqa va 59 soniya mos keladigan burchakni deb belgilash mumkin.

Ta'rif.

Burchakning daraja o'lchovi daraja va uning qismlari berilgan burchakka necha marta toʻgʻri kelishini koʻrsatadigan musbat sondir.

Masalan, rivojlangan burchakning daraja o'lchovi bir yuz sakson, burchakning daraja o'lchovi .

Burchaklarni o'lchash uchun maxsus o'lchash asboblari mavjud bo'lib, ulardan eng mashhuri transportdir.

Agar burchakning belgilanishi (masalan, ) va uning daraja o'lchovi (110 bo'lsin) ma'lum bo'lsa, shaklning qisqacha yozuvidan foydalaning. va ular: "AOB burchagi yuz o'n darajaga teng", deyishadi.

Burchakning ta'riflaridan va burchakning gradus o'lchovidan kelib chiqadiki, geometriyada burchakning gradusdagi o'lchami (0, 180] oraliqdagi haqiqiy son bilan ifodalanadi (trigonometriyada ixtiyoriy darajali burchaklar). o'lchov hisobga olinadi, ular deyiladi). to'g'ri burchak. 90 darajadan kichik burchakka deyiladi o'tkir burchak. To'qson darajadan katta burchak deyiladi to'g'ri burchak. Demak, o'tkir burchakning o'lchami gradusda (0, 90) oraliqdagi raqam bilan, o'tmas burchakning o'lchami (90, 180) oraliqdagi raqam bilan, to'g'ri burchak ga teng bo'ladi. to'qson daraja. Bu erda o'tkir burchak, to'g'ri burchak va to'g'ri burchakning rasmlari keltirilgan.

Burchaklarni o'lchash printsipidan kelib chiqadiki, teng burchaklarning gradus o'lchovlari bir xil, kattaroq burchakning daraja o'lchovi kichikroqning daraja o'lchovidan kattaroq va bir nechta burchaklardan tashkil topgan burchakning daraja o'lchovi. burchaklar komponent burchaklarining daraja o'lchovlari yig'indisiga teng. Quyidagi rasmda bu holda AOC, COD va DOB burchaklaridan tashkil topgan AOB burchagi ko'rsatilgan.

Shunday qilib, qo'shni burchaklar yig'indisi bir yuz sakson daraja, chunki ular to'g'ri burchak hosil qiladi.

Ushbu bayonotdan shunday xulosa kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar AOB va COD burchaklari vertikal bo'lsa, u holda AOB va BOC burchaklari qo'shni va COD va BOC burchaklari ham qo'shni bo'ladi, shuning uchun tenglik va tenglikni anglatadi.

Daraja bilan bir qatorda burchaklar uchun qulay o'lchov birligi deyiladi radian. Radian o'lchovi trigonometriyada keng qo'llaniladi. Keling, radianni aniqlaylik.

Ta'rif.

Bir radian burchak- Bu markaziy burchak, bu mos keladigan doira radiusining uzunligiga teng bo'lgan yoy uzunligiga mos keladi.

Keling, bitta radianli burchakning grafik rasmini keltiramiz. Chizmada OA radiusining uzunligi (shuningdek, OB radiusi) AB yoyi uzunligiga teng, shuning uchun ta'rifga ko'ra, AOB burchagi bir radianga teng.

"Rad" qisqartmasi radyanlarni bildirish uchun ishlatiladi. Masalan, 5 rad yozuvi 5 radianni bildiradi. Biroq, yozma ravishda "rad" belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Masalan, burchak pi ga teng deb yozilsa, bu pi rad demakdir.

Alohida ta'kidlash joizki, radianlarda ifodalangan burchakning kattaligi aylana radiusining uzunligiga bog'liq emas. Buning sababi shundaki, berilgan burchak bilan chegaralangan figuralar va markazi berilgan burchakning tepasida joylashgan aylananing yoyi bir-biriga o'xshashdir.

Radianlarda burchaklarni o'lchash burchaklarni gradusda o'lchash bilan bir xil tarzda amalga oshirilishi mumkin: bitta radianning burchagi (va uning qismlari) berilgan burchakka necha marta mos kelishini aniqlang. Yoki mos keladigan markaziy burchakning yoy uzunligini hisoblashingiz va keyin uni radius uzunligiga bo'lishingiz mumkin.

Amaliy maqsadlar uchun daraja va radian o'lchovlari bir-biriga qanday bog'liqligini bilish foydalidir, chunki ularning ko'pchiligini bajarish kerak. Ushbu maqola burchakning daraja va radian o'lchovlari o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi va darajalarni radianga va aksincha aylantirish misollarini beradi.

Chizmadagi burchaklarni belgilash.

Chizmalarda qulaylik va ravshanlik uchun burchaklarni yoylar bilan belgilash mumkin, ular odatda burchakning ichki qismida burchakning bir tomonidan boshqasiga tortiladi. Teng burchaklar bir xil sonli yoylar bilan, teng bo'lmagan burchaklar turli xil yoylar bilan belgilanadi. Chizmadagi to'g'ri burchaklar burchakning bir tomonidan boshqasiga to'g'ri burchakning ichki maydonida tasvirlangan "" shaklining belgisi bilan ko'rsatilgan.

Agar siz chizmada juda ko'p turli burchaklarni belgilashingiz kerak bo'lsa (odatda uchdan ortiq), u holda burchaklarni belgilashda oddiy yoylardan tashqari, biron bir maxsus turdagi yoylardan foydalanishga ruxsat beriladi. Masalan, siz qirrali yoylarni yoki shunga o'xshash narsalarni tasvirlashingiz mumkin.

Shuni ta'kidlash kerakki, siz chizmalardagi burchaklarni belgilash bilan shug'ullanmasligingiz va chizmalarni chalkashtirmasligingiz kerak. Biz faqat yechim yoki isbotlash jarayonida zarur bo'lgan burchaklarni belgilashni tavsiya qilamiz.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometriya. 7-9-sinflar: umumta'lim muassasalari uchun darslik.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometriya. Umumta’lim maktablarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Pogorelov A.V., Geometriya. Umumta’lim muassasalarining 7-11-sinflar uchun darslik.

Ushbu maqolada asosiy geometrik shakllardan biri - burchak muhokama qilinadi. Ushbu kontseptsiyaga umumiy kirishdan so'ng, biz bunday raqamning o'ziga xos turiga e'tibor qaratamiz. To'g'ri burchak geometriyadagi muhim tushuncha bo'lib, ushbu maqolaning asosiy mavzusi bo'ladi.

Geometrik burchakka kirish

Geometriyada barcha fanlarning asosini tashkil etuvchi bir qancha ob'ektlar mavjud. Burchak ularga tegishli va nur tushunchasi yordamida aniqlanadi, shuning uchun keling, undan boshlaylik.

Bundan tashqari, burchakning o'zini aniqlashni boshlashdan oldin, siz geometriyadagi bir nechta muhim narsalarni eslab qolishingiz kerak - bu nuqta, tekislikdagi to'g'ri chiziq va tekislikning o'zi. To'g'ri chiziq - boshi ham, oxiri ham bo'lmagan eng oddiy geometrik figura. Samolyot - bu ikki o'lchamga ega bo'lgan sirt. Xo'sh, geometriyadagi nur (yoki yarim chiziq) - bu boshlanishi bor, lekin oxiri yo'q chiziqning bir qismi.

Ushbu tushunchalardan foydalanib, biz burchak to'liq ma'lum bir tekislikda yotadigan va umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita divergent nurlardan tashkil topgan geometrik figura degan fikrni aytishimiz mumkin. Bunday nurlar burchak tomonlari deb ataladi va tomonlarning umumiy boshlanishi uning cho'qqisidir.

Burchaklar va geometriya turlari

Biz burchaklar butunlay boshqacha bo'lishi mumkinligini bilamiz. Shuning uchun, bir oz quyida burchak turlarini va ularning asosiy xususiyatlarini yaxshiroq tushunishga yordam beradigan kichik tasnif bo'ladi. Shunday qilib, geometriyada bir necha turdagi burchaklar mavjud:

1. To'g'ri burchak. U 90 graduslik qiymat bilan tavsiflanadi, ya'ni uning tomonlari har doim bir-biriga perpendikulyar.
2. O'tkir burchak. Bu burchaklar hajmi 90 darajadan kam bo'lgan ularning barcha vakillarini o'z ichiga oladi.
3. O'tkir burchak. Bu erda 90 dan 180 darajagacha bo'lgan barcha burchaklar bo'lishi mumkin.
4. Ochilgan burchak. Uning o'lchami qat'iy 180 daraja va tashqi tomondan uning tomonlari bitta to'g'ri chiziqni tashkil qiladi.

To'g'ri burchak tushunchasi

Endi aylangan burchakni batafsil ko'rib chiqaylik. Ikkala tomon ham bir xil to'g'ri chiziqda yotsa, bu holat biroz pastroq rasmda aniq ko'rinadi. Bu shuni anglatadiki, biz ishonch bilan ayta olamizki, teskari burchakda uning tomonlaridan biri boshqasining davomi hisoblanadi.

Shuni esda tutish kerakki, bunday burchakni har doim uning tepasidan chiqadigan nur yordamida bo'lish mumkin. Natijada biz ikkita burchakka ega bo'lamiz, ular geometriyada qo'shni deb ataladi.

Bundan tashqari, ochilgan burchak bir nechta xususiyatlarga ega. Ulardan birinchisi haqida gapirish uchun siz "burchak bissektrisasi" tushunchasini eslab qolishingiz kerak. Eslatib o'tamiz, bu har qanday burchakni yarmiga bo'ladigan nurdir. Ochilmagan burchakka kelsak, uning bissektrisasini shunday ajratadiki, 90 graduslik ikkita to'g'ri burchak hosil bo'ladi. Buni matematik tarzda hisoblash juda oson: 180˚ (aylangan burchak darajasi): 2 = 90˚.

Agar aylangan burchakni butunlay ixtiyoriy nur bilan ajratsak, natijada biz har doim ikkita burchakka ega bo'lamiz, ulardan biri o'tkir, ikkinchisi o'tmas bo'ladi.

Aylanadigan burchaklarning xossalari

Ushbu burchakni uning barcha asosiy xususiyatlarini birlashtirgan holda ko'rib chiqish qulay bo'ladi, biz ushbu ro'yxatda nima qildik:

1. Teskari burchakning tomonlari antiparallel bo'lib, to'g'ri chiziq hosil qiladi.
2. Burilish burchagi har doim 180˚.
3. Ikki qo'shni burchak birgalikda har doim to'g'ri burchak hosil qiladi.
4. 360˚ bo'lgan to'liq burchak ikkita ochilgan burchakdan iborat va ularning yig'indisiga teng.
5. To'g'ri burchakning yarmi to'g'ri burchakdir.

Shunday qilib, bu turdagi burchaklarning barcha xususiyatlarini bilib, biz ulardan bir qator geometrik muammolarni hal qilishda foydalanishimiz mumkin.

Qaytilgan burchaklar bilan bog'liq muammolar

To'g'ri burchak tushunchasini tushunganingizni bilish uchun quyidagi bir nechta savollarga javob berishga harakat qiling.

1. To‘g‘ri burchakning tomonlari vertikal chiziq hosil qilsa, uning kattaligi qancha bo‘ladi?
2. Birinchisi 72˚, ikkinchisi 118˚ bo'lsa, ikkita burchak qo'shni bo'ladimi?
3. Agar to'liq burchak ikkita teskari burchakdan iborat bo'lsa, unda nechta to'g'ri burchak bor?
4. To'g'ri burchak nur bilan ikki burchakka bo'linadi, ularning daraja o'lchovlari 1: 4 nisbatda bo'ladi. Olingan burchaklarni hisoblang.

Yechimlar va javoblar:

1. Qaytilgan burchak qanday joylashganidan qat'i nazar, u har doim ta'rifi bo'yicha 180˚ ga teng.
2. Qo'shni burchaklarning umumiy tomoni bor. Shuning uchun, ular birgalikda yaratadigan burchakning o'lchamini hisoblash uchun siz faqat ularning daraja o'lchovlari qiymatini qo'shishingiz kerak. Bu 72 +118 = 190 degan ma'noni anglatadi. Lekin ta'rifga ko'ra, teskari burchak 180˚ ga teng, ya'ni berilgan ikkita burchak qo'shni bo'lolmaydi.
3. To'g'ri burchak ikkita to'g'ri burchakni o'z ichiga oladi. Va to'liq ikkita ochilgan bo'lgani uchun, bu 4 ta to'g'ri chiziq bo'lishini anglatadi.
4. Agar kerakli burchaklarni a va b deb atasak, ular uchun x proporsionallik koeffitsienti bo'lsin, ya'ni a=x va shunga mos ravishda b=4x. Burilish burchagi gradusda 180˚. Va uning xususiyatlariga ko'ra, burchakning daraja o'lchovi har doim uning tomonlari orasidan o'tadigan har qanday ixtiyoriy nurga bo'lingan burchaklarning daraja o'lchovlari yig'indisiga teng bo'ladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin: x + 4x = 180˚ , bu 5x = 180˚ degan ma'noni anglatadi. Bu yerdan biz topamiz: x = a = 36˚ va b = 4x = 144˚. Javob: 36˚ va 144˚.

Agar siz ushbu savollarning barchasiga so'rovlarsiz va javoblarga e'tibor bermasdan javob bera olgan bo'lsangiz, unda siz keyingi geometriya darsiga o'tishga tayyormiz.