Ifoda ma'nosining oqilona usuli nima. Ratsional (algebraik) kasrlarni o`zgartirish, o`zgartirish turlari, misollar

Ushbu darsda ratsional ifodalar va ularni o'zgartirish haqida asosiy ma'lumotlar, shuningdek, ratsional ifodalarni o'zgartirish misollari ko'rib chiqiladi. Ushbu mavzu biz hozirgacha o'rgangan mavzularni umumlashtiradi. Ratsional ifodalarni o'zgartirish qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarishni o'z ichiga oladi. algebraik kasrlar, qisqartirish, faktorlarga ajratish va hokazo. Dars doirasida biz ratsional ifoda nima ekanligini ko'rib chiqamiz, shuningdek, ularni o'zgartirish misollarini tahlil qilamiz.

Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars:Ratsional ifodalar va ularning o'zgarishi haqida asosiy ma'lumotlar

Ta'rif

Ratsional ifoda sonlar, oʻzgaruvchilar, arifmetik amallar va daraja koʻrsatish amalidan iborat ifodadir.

Keling, ratsional ifoda misolini ko'rib chiqaylik:

Ratsional ifodalarning maxsus holatlari:

1-darajali: ;

2. monomial: ;

3. kasr: .

Ratsional ifodani aylantirish ratsional ifodani soddalashtirishdir. Ratsional ifodalarni o'zgartirishda harakatlar tartibi: avval qavs ichidagi amallar, keyin ko'paytirish (bo'lish) amallari, keyin esa qo'shish (ayirish) amallari.

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Yechim:

Keling, ushbu misolni bosqichma-bosqich hal qilaylik. Qavs ichidagi amal avval bajariladi.

Javob:

2-misol

Yechim:

Javob:

3-misol

Yechim:

Javob: .

Eslatma: Ehtimol, siz ushbu misolni ko'rganingizda, bir fikr paydo bo'ldi: uni kamaytirishdan oldin kasrni kamaytiring umumiy maxraj. Darhaqiqat, bu mutlaqo to'g'ri: avval ifodani iloji boricha soddalashtirish, keyin uni o'zgartirish tavsiya etiladi. Keling, xuddi shu misolni ikkinchi usulda hal qilishga harakat qilaylik.

Ko'rib turganingizdek, javob mutlaqo o'xshash bo'lib chiqdi, ammo yechim biroz soddaroq bo'lib chiqdi.

Ushbu darsda biz ko'rib chiqdik ratsional ifodalar va ularni o'zgartirish, shuningdek, bir nechta aniq misollar transformatsiya ma'lumotlari.

Ma'lumotnomalar

1. Bashmakov M.I. Algebra 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 8. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.

Algebra kursidan maktab o'quv dasturi Keling, aniqliklarga o'taylik. Ushbu maqolada biz batafsil o'rganamiz maxsus turdagi ratsional ifodalar - ratsional kasrlar, shuningdek, qanday xarakteristikani bir xil ekanligini ko'rib chiqing ratsional kasrlarni konvertatsiya qilish sodir bo'ladi.

Darhol ta’kidlaymizki, ratsional kasrlar biz quyida belgilagan ma’nodagi ayrim algebra darsliklarida algebraik kasrlar deb ataladi. Ya'ni, ushbu maqolada biz ratsional va algebraik kasrlarni bir xil ma'noni anglatishini tushunamiz.

Odatdagidek, ta'rif va misollar bilan boshlaylik. Keyinchalik ratsional kasrni yangi maxrajga keltirish va kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish haqida gapiramiz. Shundan so'ng, biz kasrlarni qanday kamaytirishni ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ratsional kasrni bir necha kasrlar yig‘indisi sifatida ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Biz barcha ma'lumotlarni misollar bilan taqdim etamiz batafsil tavsiflar qarorlar.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional kasrlarning ta'rifi va misollari

Ratsional kasrlar 8-sinf algebra darslarida o‘rganiladi. Biz 8-sinf uchun algebra darsligida Yu N. Makarychev va boshqalar tomonidan berilgan ratsional kasr ta'rifidan foydalanamiz.

IN bu ta'rif ratsional kasrning pay va maxrajidagi ko‘phadlar ko‘phad bo‘lishi kerakmi yoki yo‘qligi aniqlanmagan. standart ko'rinish yoki yo'qmi. Shuning uchun biz ratsional kasrlar uchun yozuvlar standart va nostandart ko'phadlarni o'z ichiga olishi mumkin deb taxmin qilamiz.

Mana bir nechtasi ratsional kasrlarga misollar. Shunday qilib, x/8 va - ratsional kasrlar. Va kasrlar va ratsional kasrning berilgan ta'rifiga mos kelmaydi, chunki ularning birinchisida ayiruvchi ko'phadni o'z ichiga olmaydi, ikkinchisida esa ayiruvchi ham, maxraji ham ko'phad bo'lmagan ifodalarni o'z ichiga oladi.

Ratsional kasrning ayiruvchi va maxrajini aylantirish

Har qanday kasrning hisoblagichi va maxraji ratsional kasrlarda o'z-o'zidan etarli bo'lgan matematik ifodalar, bular ma'lum bir holatda, monomlar va sonlar; Demak, har qanday ifoda kabi ratsional kasrning soni va maxraji bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ratsional kasrning numeratoridagi ifoda xuddi maxraj kabi bir xil teng ifoda bilan almashtirilishi mumkin.

Ratsional kasrning numeratori va maxrajida bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishingiz mumkin. Masalan, hisoblagichda o'xshash atamalarni guruhlash va kamaytirish mumkin, maxrajda esa bir nechta sonlarning ko'paytmasini uning qiymati bilan almashtirish mumkin. Ratsional kasrning soni va maxraji ko'phad bo'lganligi sababli, ular yordamida ko'phadlarga xos bo'lgan o'zgartirishlarni amalga oshirish mumkin, masalan, standart shaklga keltirish yoki mahsulot ko'rinishida tasvirlash.

Aniqlik uchun keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ratsional kasrni aylantirish shunday qilib, hisoblagichda standart shakldagi ko'phad, maxrajda esa ko'phadlar ko'paytmasi mavjud.

Yechim.

Ratsional kasrlarni yangi maxrajga keltirish birinchi navbatda ratsional kasrlarni qo'shish va ayirishda qo'llaniladi.

Kasr oldida, shuningdek, uning soni va maxrajidagi belgilarni o'zgartirish

Kasrning asosiy xususiyatidan kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Darhaqiqat, ratsional kasrning soni va maxrajini -1 ga ko'paytirish ularning belgilarini o'zgartirishga teng bo'ladi va natijada berilgan kasrga bir xil teng bo'ladi. Ratsional kasrlar bilan ishlashda bu o'zgartirish juda tez-tez ishlatilishi kerak.

Shunday qilib, agar siz bir vaqtning o'zida kasrning numeratori va maxraji belgilarini o'zgartirsangiz, siz asl kasrga teng kasr olasiz. Bu bayonotga tenglik bilan javob beriladi.

Keling, misol keltiraylik. Ratsional kasr shaklning hisoblagichi va maxrajining belgilari o'zgargan bir xil teng kasr bilan almashtirilishi mumkin.

Kasrlar yordamida siz boshqa bir xil o'zgartirishni amalga oshirishingiz mumkin, bunda raqam yoki maxrajning belgisi o'zgaradi. Keling, tegishli qoidani aytaylik. Agar siz kasr belgisini hisoblagich yoki maxraj belgisi bilan almashtirsangiz, siz asl qismga teng bo'lgan kasr olasiz. Yozma bayonot tengliklarga mos keladi va .

Bu tenglikni isbotlash qiyin emas. Isbot raqamlarni ko'paytirish xususiyatlariga asoslanadi. Ulardan birinchisini isbotlaylik: . Shunga o'xshash o'zgarishlar yordamida tenglik isbotlanadi.

Masalan, kasrni yoki ifodasi bilan almashtirish mumkin.

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz yana ikkita foydali tenglikni taqdim etamiz va . Ya'ni, agar siz faqat sanoqchi yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi. Masalan, Va .

Kasr hadlari belgisini o'zgartirishga imkon beruvchi ko'rib chiqilayotgan o'zgarishlar kasr ratsional ifodalarini o'zgartirishda ko'pincha qo'llaniladi.

Ratsional kasrlarni kamaytirish

Ratsional kasrlarning qisqarishi deb ataladigan ratsional kasrlarning keyingi o'zgarishi kasrning bir xil asosiy xususiyatiga asoslanadi. Bu o'zgartirish tenglikka mos keladi, bu erda a, b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas.

Yuqoridagi tenglikdan ma'lum bo'ladiki, ratsional kasrni kamaytirish uning soni va maxrajidagi umumiy omildan xalos bo'lishni nazarda tutadi.

Misol.

Ratsional kasrni bekor qiling.

Yechim.

Umumiy omil 2 darhol ko'rinadi, keling, u orqali qisqartirishni amalga oshiramiz (yozayotganda, qisqarayotgan umumiy omillarni kesib tashlash qulay). Bizda ... bor . x 2 =x·x va y 7 =y 3 ·y 4 (kerak bo'lsa qarang) bo'lgani uchun, x y 3 kabi hosil bo'lgan kasrning pay va maxrajining umumiy ko'paytmasi ekanligi aniq. Keling, ushbu omillar bilan kamaytiraylik: . Bu qisqartirishni yakunlaydi.

Yuqorida biz ratsional kasrlarni ketma-ket qisqartirishni amalga oshirdik. Yoki kasrni darhol 2 x y 3 ga qisqartirib, bir bosqichda qisqartirishni amalga oshirish mumkin edi. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

.

Ratsional kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy omilni topish yoki uning yo'qligini tekshirish uchun siz ratsional kasrning soni va maxrajini koeffitsientga kiritishingiz kerak. Agar umumiy omil bo'lmasa, asl ratsional kasrni kamaytirish kerak emas, aks holda qisqartirish amalga oshiriladi.

Ratsional kasrlarni kamaytirish jarayonida muammolar paydo bo'lishi mumkin. turli nuanslar. Asosiy nozikliklar maqolada misollar yordamida algebraik kasrlarni qisqartirish va batafsil muhokama qilinadi.

Ratsional kasrlarni qisqartirish haqidagi suhbatni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, bu transformatsiya bir xil bo'lib, uni amalga oshirishdagi asosiy qiyinchilik ko'phad va maxrajdagi ko'phadlarni faktoring qilishdadir.

Ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Bir nechta kasrlar yig'indisi yoki butun ifoda va kasr yig'indisi sifatida ifodalanishidan iborat bo'lgan ratsional kasrni aylantirish juda o'ziga xos, ammo ba'zi hollarda juda foydali.

Numeratori bir nechta monomiylarning yig'indisini ifodalovchi ko'phadni o'z ichiga olgan ratsional kasrni har doim bir xil maxrajli kasrlar yig'indisi sifatida yozish mumkin, ularning soni tegishli monomlarni o'z ichiga oladi. Masalan, . Bu ko'rinish o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi bilan izohlanadi.

Umuman olganda, har qanday ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ko'p turli usullar bilan ifodalash mumkin. Misol uchun, a/b kasr ikki kasr yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin - ixtiyoriy kasr c/d va a/b va c/d kasrlar orasidagi farqga teng kasr. Bu gap to'g'ri, chunki tenglik amal qiladi . Masalan, ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin turli yo'llar bilan: Keling, asl kasrni butun son ifodasi va kasrning yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik. Numeratorni maxrajga ustun bilan bo'lish orqali biz tenglikni olamiz . Har qanday n butun son uchun n 3 +4 ifodaning qiymati butun sondir. Kasrning qiymati esa, agar uning maxraji 1, -1, 3 yoki -3 bo'lsa, butun son bo'ladi. Bu qiymatlar mos ravishda n=3, n=1, n=5 va n=−1 qiymatlariga mos keladi.

Javob:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Ma'lumotnomalar.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 da 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 13-nashr, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: kasal. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Maqolada ratsional ifodalarni o'zgartirish haqida so'z boradi. Ratsional ifodalarning turlari, ularning o‘zgarishi, guruhlanishi va umumiy omilni qavsga qo‘yishni ko‘rib chiqamiz. Kasrli ratsional ifodalarni ratsional kasrlar ko`rinishida ifodalashni o`rganamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ratsional ifodalarning ta'rifi va misollari

Raqamlar, oʻzgaruvchilar, qavslar, darajalardan iborat boʻlgan qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish amallari bilan kasr chizigʻi ishtirokida tuzilgan ifodalar deyiladi. ratsional ifodalar.

Masalan, bizda 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3.

Ya'ni, bu o'zgaruvchilar bilan ifodalarga bo'linmagan ifodalardir. Ratsional ifodalarni o'rganish 8-sinfdan boshlanadi, bu erda ular kasr ratsional ifodalar deb ataladi, ular ayirboshlash qoidalari yordamida o'zgartiriladi.

Bu bizga ixtiyoriy shakldagi ratsional kasrlarni o'zgartirishga o'tishga imkon beradi. Bunday ifodani ratsional kasrlar va harakat belgilari bilan butun sonli ifodalar ishtirokidagi ifoda deb hisoblash mumkin.

Ratsional ifodalarni o'zgartirishning asosiy turlari

Ratsional ifodalar bir xil o'zgartirishlar, guruhlarga ajratish, o'xshashlarni keltirish va raqamlar bilan boshqa amallarni bajarish uchun ishlatiladi. Bunday iboralarning maqsadi soddalashtirishdir.

1-misol

Ratsional ifodani 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 ga aylantiring.

Yechim

Ko'rinib turibdiki, bunday ratsional ifoda 3 x x y - 1 va 2 x x y - 1 o'rtasidagi farqdir. Biz ularning maxraji bir xil ekanligini ko'ramiz. Bu shunga o'xshash atamalarning qisqarishi shaklga ega bo'lishini anglatadi

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Javob: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

2-misol

2 x y 4 (- 4) x 2 ni aylantiring: (3 x - x) .

Yechim

Dastlab biz 3 · x - x = 2 · x qavs ichidagi amallarni bajaramiz. Biz bu ifodani 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x shaklida taqdim etamiz. Biz bir bosqichli amallarni o'z ichiga olgan, ya'ni qo'shish va ayirishga ega bo'lgan ifodaga kelamiz.

Bo'lish xususiyatidan foydalanib, qavslardan qutulamiz. Keyin biz 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x ni olamiz.

Biz sonli omillarni x o'zgaruvchisi bilan guruhlaymiz, shundan so'ng biz kuchlar bilan operatsiyalarni bajarishimiz mumkin. Biz buni tushunamiz

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Javob: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

3-misol

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 ko'rinishdagi ifodani o'zgartiring.

Yechim

Birinchidan, biz hisoblagich va maxrajni o'zgartiramiz. Keyin (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 ko'rinishdagi ifodani olamiz va birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi. Numeratorda amallar bajariladi va omillar guruhlanadi. Keyin x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x ko'rinishdagi ifodani olamiz. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2.

Biz hisoblagichdagi kvadratlar formulasining farqini o'zgartiramiz, keyin biz buni olamiz

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Javob: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Ratsional kasrning ifodalanishi

Algebraik kasrlar ko'pincha echilganda soddalashtiriladi. Har bir ratsionallik bunga qisqartiriladi turli yo'llar bilan. Ratsional ifoda oxir-oqibat ratsional kasrni berishi uchun ko'phadlar bilan barcha kerakli amallarni bajarish kerak.

4-misol

Ratsional kasr sifatida a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Yechim

Bu ifodani 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a shaklida ifodalash mumkin. Ko'paytirish birinchi navbatda qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

Biz ko'paytirishdan boshlashimiz kerak, keyin biz buni olamiz

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a) + 5) = a - 5 (a + 3) a

Olingan natijani asl nusxa bilan taqdim etamiz. Biz buni tushunamiz

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Endi ayirish amalini bajaramiz:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Shundan so'ng, asl ibora 16 a 2 - 9 ko'rinishini olishi aniq.

Javob: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9.

5-misol

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ni ratsional kasr sifatida ifodalang.

Yechim

Berilgan ifoda kasr shaklida yoziladi, uning soni x x + 1 + 1, maxraji 2 x - 1 1 + x. X x + 1 + 1 o'zgarishlarini amalga oshirish kerak. Buning uchun kasr va raqamni qo'shishingiz kerak. Biz x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + ni olamiz. 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Bundan kelib chiqadiki, x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Olingan kasrni 2 x + 1 x + 1 shaklida yozish mumkin: 2 x - 1 1 + x.

Bo'lingandan so'ng biz shaklning ratsional qismiga kelamiz

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

Buni boshqacha hal qilishingiz mumkin.

2 x - 1 1 + x ga bo'lish o'rniga, biz uning teskari 1 + x 2 x - 1 ga ko'paytiramiz. Keling, taqsimlash xususiyatini qo'llaymiz va buni topamiz

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Javob: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Uzoq o'tmishda, sanoq tizimi hali ixtiro qilinmaganida, odamlar hamma narsani barmoqlari bilan sanashdi. Arifmetika va matematika asoslarining paydo bo'lishi bilan tovarlar, mahsulotlar, shuningdek, hisoblarni yuritish ancha oson va amaliy bo'ldi. uy-ro'zg'or buyumlari. Biroq, u nimaga o'xshaydi? zamonaviy tizim hisob: mavjud raqamlar qanday turlarga bo'linadi va nima qiladi " mantiqiy qarash raqamlar"? Keling, buni aniqlaylik.

Matematikada sonlarning nechta turi mavjud?

"Raqam" tushunchasi har qanday ob'ektning miqdoriy, qiyosiy yoki tartibli ko'rsatkichlarini tavsiflovchi ma'lum bir birligini anglatadi. Muayyan narsalarning sonini to'g'ri hisoblash yoki raqamlar bilan ma'lum matematik operatsiyalarni bajarish (qo'shish, ko'paytirish va h.k.) uchun siz birinchi navbatda shu raqamlarning navlari bilan tanishishingiz kerak.

Shunday qilib, mavjud raqamlarni quyidagi toifalarga bo'lish mumkin:

1. Natural sonlar - biz ob'ektlar sonini hisoblaydigan raqamlar (eng kichik natural son - 1, ketma-ketlik mantiqan to'g'ri keladi. natural sonlar cheksiz, ya'ni eng katta natural son yo'q). Natural sonlar to'plami odatda N harfi bilan belgilanadi.
2. Butun sonlar. Ushbu to'plam hamma narsani o'z ichiga oladi, shu bilan birga unga salbiy qiymatlar, shu jumladan "nol" raqami ham qo'shiladi. Butun sonlar to'plamining belgilanishi lotincha Z harfi bilan yoziladi.
3. Ratsional sonlar - biz aqliy ravishda kasrga aylantira oladigan sonlar bo'lib, ularning soni butun sonlar to'plamiga, maxraji esa natural sonlar to'plamiga tegishli bo'ladi. Quyida biz "ratsional son" nimani anglatishini batafsil ko'rib chiqamiz va ba'zi misollar keltiramiz.
4. - barcha ratsionallarni o'z ichiga olgan va bilan belgilanadigan to'plam berilgan to'plam R harfi.
5. Kompleks sonlar haqiqiy sonning bir qismini va o'zgaruvchan sonning bir qismini o'z ichiga oladi. Ular turli xil kub tenglamalarni echishda qo'llaniladi, bu esa, o'z navbatida, formulalarda salbiy ifodaga ega bo'lishi mumkin (i 2 = -1).

"Ratsional" nimani anglatadi: keling, misollarni ko'rib chiqaylik

Agar ratsional sonlar shaklda ifodalashimiz mumkin bo'lgan raqamlar deb hisoblansa oddiy kasr, keyin barcha musbat va manfiy butun sonlar ham ratsionallar to'plamiga kiritilganligi ma'lum bo'ladi. Axir, har qanday butun son, masalan, 3 yoki 15, kasr sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda maxraj bitta bo'ladi.

Kasrlar: -9/3; 7/5, 6/55 - bu erda misollar ratsional sonlar.

"Ratsional ifoda" nimani anglatadi?

Keling, davom etaylik. Biz allaqachon raqamlarning oqilona shakli nimani anglatishini muhokama qildik. Keling, yig'indi, ayirma, mahsulot yoki qismdan tashkil topgan matematik ifodani tasavvur qilaylik. turli raqamlar va o'zgaruvchilar. Mana bir misol: kasr, unda ayiruvchi ikki yoki undan ortiq butun sonlar yig‘indisi bo‘lib, maxrajda ham butun son, ham ba’zi o‘zgaruvchilar mavjud. Aynan shu ifoda ratsional deb ataladi. "Siz nolga bo'la olmaysiz" qoidasiga asoslanib, siz ushbu o'zgaruvchining qiymati maxraj qiymati nolga aylanadigan bo'lishi mumkin emasligini taxmin qilishingiz mumkin. Shuning uchun ratsional ifodani yechishda avvalo o'zgaruvchining diapazonini aniqlash kerak. Masalan, agar maxraj quyidagi ifodaga ega bo'lsa: x+5-2, u holda "x" -3 ga teng bo'lishi mumkin emas. Darhaqiqat, bu holda, butun ifoda nolga aylanadi, shuning uchun hal qilishda ushbu o'zgaruvchi uchun -3 butun sonini chiqarib tashlash kerak.

Ratsional tenglamalarni qanday to‘g‘ri yechish mumkin?

Ratsional ifodalar juda ko'p sonlarni va hatto 2 o'zgaruvchini o'z ichiga olishi mumkin, shuning uchun ba'zida ularni echish qiyin bo'ladi. Bunday ifodaning yechimini osonlashtirish uchun ma'lum operatsiyalarni oqilona bajarish tavsiya etiladi. Xo'sh, "ratsional tarzda" nimani anglatadi va qaror qabul qilishda qanday qoidalar qo'llanilishi kerak?

1. Birinchi tur, ifodani soddalashtirish uchun etarli bo'lganda. Buning uchun siz hisoblagich va maxrajni kamaytirilmaydigan qiymatga kamaytirish operatsiyasiga murojaat qilishingiz mumkin. Misol uchun, agar hisoblagichda 18x ifodasi bo'lsa va maxrajda 9x bo'lsa, unda ikkala ko'rsatkichni 9x ga qisqartirish orqali biz shunchaki 2 ga teng butun sonni olamiz.
2. Ikkinchi usul esa, hisobda monom va maxrajda ko'phad mavjud bo'lganda amaliy bo'ladi. Bir misolni ko'rib chiqaylik: hisoblagichda bizda 5x, maxrajda esa - 5x + 20x 2. Bunday holda, maxrajdagi o'zgaruvchini qavs ichidan olish yaxshidir, biz olamiz keyingi ko'rinish maxraj: 5x(1+4x). Endi siz birinchi qoidadan foydalanishingiz va hisoblagich va maxrajdagi 5x ni bekor qilish orqali ifodani soddalashtirishingiz mumkin. Natijada, biz 1/1+4x shaklining bir qismini olamiz.

Ratsional sonlar bilan qanday amallarni bajarish mumkin?

Ratsional sonlar to'plami bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ularning ko'pchiligi butun va natural sonlarda mavjud bo'lgan xususiyatlarga juda o'xshash, chunki ikkinchisi har doim ratsionallar to'plamiga kiritilgan. Bu erda har qanday ratsional ifodani osongina echishingiz mumkinligini bilib, ratsional sonlarning bir nechta xossalari mavjud.

1. Kommutativ xususiyat ikki yoki undan ortiq raqamlarni, ularning tartibidan qat'i nazar, yig'ish imkonini beradi. Oddiy qilib aytganda, atamalarning joylarini o'zgartirish yig'indini o'zgartirmaydi.
2. Tarqatish xususiyati taqsimot qonunidan foydalangan holda muammolarni hal qilish imkonini beradi.
3. Va nihoyat, qo'shish va ayirish amallari.

Hatto maktab o'quvchilari ham "sonlarning oqilona shakli" nimani anglatishini va bunday iboralar asosida muammolarni qanday hal qilishni bilishadi, shuning uchun o'qimishli kattalar hech bo'lmaganda ratsional sonlar to'plamining asoslarini eslab qolishlari kerak.