Birinchi daraja

Eksponensial tenglamalar. To'liq qo'llanma (2019)

Salom! Bugun biz siz bilan oddiy bo'lishi mumkin bo'lgan tenglamalarni qanday hal qilishni muhokama qilamiz (va umid qilamanki, ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng, ularning deyarli barchasi siz uchun shunday bo'ladi) va odatda "to'ldirish uchun" beriladi. Ko'rinishidan, nihoyat uxlab qolish uchun. Ammo men bu turdagi tenglamalarga duch kelganingizda muammoga duch kelmasligingiz uchun hamma narsani qilishga harakat qilaman. Men endi butaning atrofida urmayman, lekin darhol ochaman kichik sir: bugun biz o'qiymiz eksponensial tenglamalar.

Ularni hal qilish usullarini tahlil qilishga o'tishdan oldin, men sizga ushbu mavzuga hujum qilishga shoshilmasdan oldin takrorlashingiz kerak bo'lgan bir qator savollarni (juda kichik) aytib beraman. Shunday qilib, olish uchun eng yaxshi natija, Iltimos, takrorlang:

1. Xususiyatlar va
2. Yechish va tenglamalar

Takrorlanganmi? Ajoyib! Shunda tenglamaning ildizi son ekanligini payqash siz uchun qiyin bo'lmaydi. Buni qanday qilganimni aniq tushundingizmi? Bu rostmi? Keyin davom etaylik. Endi savolimga javob bering, uchinchi daraja nimaga teng? Siz mutlaqo haqsiz: . Ikkining qaysi kuchi sakkiz? To'g'ri - uchinchisi! Chunki. Xo'sh, endi quyidagi masalani yechishga harakat qilaylik: raqamni o'ziga bir marta ko'paytiraman va natijani chiqaraman. Savol shundaki, men o'zimga necha marta ko'paydim? Albatta, buni to'g'ridan-to'g'ri tekshirishingiz mumkin:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( tekislash)

Keyin men o'zimga marta ko'paytirdim, degan xulosaga kelishingiz mumkin. Buni yana qanday tekshirish mumkin? Mana shunday: to'g'ridan-to'g'ri daraja ta'rifi bo'yicha: . Ammo, tan olish kerakki, agar ikkini o'z-o'zidan necha marta ko'paytirish kerakligini so'rasam, deylik, siz menga aytasiz: men o'zimni aldamayman va yuzim ko'karguncha o'z-o'zidan ko'payaman. Va u mutlaqo haq bo'lar edi. Chunki qanday qilib barcha harakatlarni qisqacha yozing(va qisqalik - iste'dodning singlisi)

qaerda - bular bir xil "vaqt", siz o'zingizga ko'paytirsangiz.

O'ylaymanki, siz bilasiz (va agar bilmasangiz, zudlik bilan, zudlik bilan darajalarni takrorlang!), keyin mening muammom quyidagi shaklda yoziladi:

Qanday qilib mantiqiy xulosaga kelish mumkin:

Shunday qilib, e'tibor bermay, eng oddiyini yozdim eksponensial tenglama:

Va men hatto uni topdim ildiz. Hamma narsa mutlaqo ahamiyatsiz deb o'ylamaysizmi? Men ham xuddi shunday deb o'ylayman. Mana sizga yana bir misol:

Lekin nima qilish kerak? Axir, uni (oqilona) raqamning kuchi sifatida yozib bo'lmaydi. Keling, umidsizlikka tushmaylik va shuni ta'kidlaymizki, bu raqamlarning ikkalasi ham bir xil raqamning kuchi orqali mukammal ifodalangan. Qaysi biri? To'g'ri: . Keyin asl tenglama quyidagi shaklga o'zgartiriladi:

Qaerda, siz allaqachon tushunganingizdek, . Keling, endi kechiktirmay, yozaylik ta'rifi:

Bizning holatda: .

Ushbu tenglamalar ularni quyidagi ko'rinishga keltirish orqali hal qilinadi:

keyin tenglamani yechish

Aslida, biz buni oldingi misolda qildik: biz quyidagilarni oldik: Va biz eng oddiy tenglamani hal qildik.

Hech qanday murakkab narsa yo'qdek tuyuladi, to'g'rimi? Keling, eng oddiylari ustida mashq qilaylik misollar:

Biz yana tenglamaning o'ng va chap tomonlarini bitta raqamning darajalari sifatida ko'rsatish kerakligini ko'ramiz. To'g'ri, bu allaqachon chap tomonda qilingan, ammo o'ng tomonda raqam bor. Lekin bu yaxshi, chunki mening tenglamam mo''jizaviy tarzda bunga aylanadi:

Bu erda nima ishlatishim kerak edi? Qanday qoida? "Darajalar ichidagi darajalar" qoidasi qaysi o'qiydi:

Agar .. bo'lsa nima bo'ladi:

Bu savolga javob berishdan oldin quyidagi jadvalni to'ldiramiz:

Qanchalik kam bo'lsa, shuni payqashimiz oson kamroq qiymat, ammo shunga qaramay, bu qiymatlarning barchasi noldan katta. VA DOIM SHUNDAY BO'LADI!!! Xuddi shu xususiyat HAR QANDAY INDIKATOR BO'LGAN HAR QANDAY ASOS UCHUN amal qiladi!! (har qanday va uchun). Keyin tenglama haqida qanday xulosaga kelishimiz mumkin? Bu nima: bu ildizlari yo'q! Har qanday tenglamaning ildizi yo'qligi kabi. Endi mashq qilaylik va Keling, oddiy misollarni hal qilaylik:

Keling, tekshiramiz:

1. Bu erda siz kuchlarning xususiyatlarini bilishdan boshqa hech narsaga muhtoj bo'lmaysiz (aytmoqchi, men sizni takrorlashingizni so'radim!) Qoida tariqasida, hamma narsa eng kichik bazaga olib keladi: , . Keyin asl tenglama quyidagilarga teng bo'ladi: Menga kerak bo'lgan narsa - kuchlarning xususiyatlaridan foydalanish: Asoslari bir xil bo'lgan sonlarni ko'paytirishda darajalar qo'shiladi, bo'lishda esa ayiriladi. Keyin men olaman: Xo'sh, endi men aniq vijdon bilan eksponensial tenglamadan chiziqli tenglamaga o'taman: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end (tekislash)

2. Ikkinchi misolda biz ko'proq ehtiyot bo'lishimiz kerak: muammo shundaki, chap tomonda biz bir xil raqamni kuch bilan ifodalay olmaymiz. Bunday holda, ba'zan foydali bo'ladi bilan kuchlarning hosilasi sifatida raqamlarni ifodalaydi turli sabablarga ko'ra, lekin bir xil ko'rsatkichlar bilan:

Tenglamaning chap tomoni quyidagicha ko'rinadi: Bu bizga nima berdi? Mana nima: Asoslari har xil, lekin ko‘rsatkichlari bir xil bo‘lgan raqamlarni ko‘paytirish mumkin.Bunday holda, asoslar ko'paytiriladi, ammo indikator o'zgarmaydi:

Mening vaziyatimda bu beradi:

\begin (tekislash)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end (tekislash)

Yomon emas, to'g'rimi?

3. Menga keraksiz ravishda tenglamaning bir tomonida ikkita atama bo'lsa, boshqa tomonida esa hech biri bo'lmagani yoqmaydi (ba'zida, albatta, bu o'zini oqlaydi, lekin hozir bunday holat emas). Men minus atamani o'ngga o'tkazaman:

Endi, avvalgidek, men hamma narsani uchta kuch bo'yicha yozaman:

Men chapdagi darajalarni qo'shib, ekvivalent tenglamani olaman

Uning ildizini osongina topishingiz mumkin:

4. Uchinchi misolda bo'lgani kabi, minus termini o'ng tomonda joy egallaydi!

Chap tarafimda deyarli hamma narsa yaxshi, nimadan tashqari? Ha, ikkalasining "noto'g'ri darajasi" meni bezovta qilmoqda. Lekin buni yozish orqali osongina tuzataman: . Evrika - chap tomonda barcha asoslar boshqacha, ammo barcha darajalar bir xil! Keling, darhol ko'paytiraylik!

Bu erda yana hamma narsa aniq: (agar siz sehrli tarzda oxirgi tenglikni qo'lga kiritganimni tushunmasangiz, bir daqiqaga tanaffus qiling, nafas oling va darajaning xususiyatlarini yana diqqat bilan o'qing. Kim aytdiki, siz o'tkazib yuborishingiz mumkin. manfiy ko'rsatkichli daraja? Xo'sh, men hech kim bilan bir xil emasman). Endi men olaman:

\begin (tekislash)
& ((2)^(4\left((x) -9 \o'ng)=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end (tekislash)

Mana sizga mashq qilish uchun ba'zi muammolar, men ularga faqat javob beraman (lekin "aralash" shaklda). Ularni hal qiling, tekshiring va siz va men tadqiqotimizni davom ettiramiz!

Tayyormisiz? Javoblar bu kabilar:

1. har qanday raqam

Mayli, mayli, hazillashdim! Mana bir nechta yechim eskizlari (ba'zilari juda qisqa!)

Chapdagi bir kasr ikkinchisi "teskari" bo'lishi bejiz emas deb o'ylaysizmi? Bundan foydalanmaslik gunoh bo'ladi:

Ushbu qoida hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi eksponensial tenglamalar, yaxshi eslang!

Keyin asl tenglama quyidagicha bo'ladi:

Ushbu kvadrat tenglamani yechish orqali siz quyidagi ildizlarni olasiz:

2. Boshqa yechim: tenglamaning ikkala tomonini chapdagi (yoki o'ngdagi) ifodaga bo'lish. O'ng tomonda bo'lgan narsaga bo'ling, keyin men olaman:

Qaerda (nima uchun?!)

3. Men o'zimni takrorlashni ham xohlamayman, hamma narsa allaqachon juda ko'p "chaynalgan".

4. ekvivalent kvadrat tenglama, ildizlar

5. Birinchi masalada berilgan formuladan foydalanish kerak, shundan keyin siz quyidagilarni olasiz:

Tenglama har qanday kishi uchun to'g'ri bo'lgan ahamiyatsiz o'ziga xoslikka aylandi. Keyin javob har qanday haqiqiy raqam bo'ladi.

Xo'sh, endi siz hal qilishni mashq qildingiz oddiy eksponensial tenglamalar. Endi men sizga bir nechtasini bermoqchiman hayotiy misollar, bu sizga printsipial jihatdan nima uchun kerakligini tushunishga yordam beradi. Bu erda men ikkita misol keltiraman. Ulardan biri juda kundalik, ammo ikkinchisi amaliy emas, balki ilmiy qiziqish uyg'otadi.

1-misol (savdo) Sizda rubl bo'lsin, lekin siz uni rublga aylantirmoqchisiz. Bank sizga ushbu pulni sizdan yillik stavka bo'yicha foizlarni oylik kapitallashtirish (oylik hisob-kitob) bilan olishni taklif qiladi. Savol shundaki, kerakli yakuniy miqdorga erishish uchun necha oyga depozit ochish kerak? Juda oddiy ish, shunday emasmi? Shunga qaramay, uning yechimi mos keladigan eksponensial tenglamani qurish bilan bog'liq: Boshlang'ich yig'indi bo'lsin, - yakuniy miqdor, - davr uchun foiz stavkasi, - davrlar soni. Keyin:

Bizning holatda (agar stavka yillik bo'lsa, u har oyda hisoblanadi). Nima uchun u bo'linadi? Agar siz bu savolga javobni bilmasangiz, "" mavzusini eslang! Keyin bu tenglamani olamiz:

Bu eksponensial tenglamani faqat kalkulyator yordamida yechish mumkin tashqi ko'rinish bunga ishora qiladi va bu logarifmlarni bilishni talab qiladi, bu bilan biz biroz keyinroq tanishamiz), men buni qilaman: ... Shunday qilib, million olish uchun biz bir oy davomida depozit qo'yishimiz kerak bo'ladi ( juda tez emas, to'g'rimi?).

2-misol (aniqroq ilmiy). Uning bir oz "yakkalangan" munosabatiga qaramay, men unga e'tibor berishingizni maslahat beraman: u muntazam ravishda "Yagona davlat imtihoniga kiradi !! (muammo “haqiqiy” variantdan olingan) Radioaktiv izotopning yemirilishi jarayonida uning massasi qonunga muvofiq kamayadi, bu yerda (mg) izotopning boshlang‘ich massasi, (min.) izotopning parchalanishidan o‘tgan vaqt. boshlang'ich moment, (min.) - yarim yemirilish davri. Vaqtning dastlabki momentida izotopning massasi mg ni tashkil qiladi. Uning yarim yemirilish davri min. Necha daqiqadan so'ng izotopning massasi mg ga teng bo'ladi? Hechqisi yo'q: biz barcha ma'lumotlarni olib, bizga taklif qilingan formulaga almashtiramiz:

Keling, chap tomonda biz hazm bo'ladigan narsa olamiz degan umidda ikkala qismni ajratamiz:

Axir, biz juda omadlimiz! U chap tomonda, keyin ekvivalent tenglamaga o'tamiz:

Qayerda min.

Ko'rib turganingizdek, eksponensial tenglamalar to'liq mavjud haqiqiy dastur amalda. Endi men ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishning yana bir (oddiy) usulini ko‘rsatmoqchiman, bu umumiy omilni qavs ichidan chiqarib, so‘ngra atamalarni guruhlashga asoslangan. Mening gaplarimdan qo'rqmang, siz 7-sinfda polinomlarni o'rganayotganingizda bu usulga duch kelgansiz. Misol uchun, agar siz ifodani faktorga kiritishingiz kerak bo'lsa:

Guruhlashtiramiz: birinchi va uchinchi atamalar, shuningdek, ikkinchi va to'rtinchi. Birinchi va uchinchi kvadratlar farqi ekanligi aniq:

ikkinchi va to'rtinchisi esa uchta umumiy koeffitsientga ega:

Keyin asl ifoda bunga teng:

Umumiy omilni qaerdan olish endi qiyin emas:

Demak,

Eksponensial tenglamalarni yechishda biz taxminan shunday qilamiz: atamalar orasidan "umumiylik" ni qidiring va uni qavs ichidan olib tashlang, keyin - nima bo'lishidan qat'iy nazar, biz omadli bo'lishiga ishonaman =)) Masalan:

O'ng tomonda yetti kuchdan yiroq (men tekshirdim!) Va chap tomonda - bu biroz yaxshiroq, siz, albatta, birinchi davrdan boshlab a koeffitsientini ikkinchidan "kesishingiz" mumkin, keyin esa hal qilish mumkin. bor narsangiz bilan, lekin keling, siz bilan yanada ehtiyotkor bo'laylik. Men "tanlash" paytida muqarrar ravishda hosil bo'ladigan kasrlar bilan shug'ullanishni xohlamayman, shuning uchun uni olib tashlash kerak emasmi? Keyin menda kasrlar bo'lmaydi: ular aytganidek, bo'rilar boqilgan va qo'ylar xavfsiz:

Qavs ichidagi ifodani hisoblang. Sehrli, sehrli tarzda, ma'lum bo'ldi (hayratlanarli, ammo yana nimani kutishimiz kerak?).

Keyin tenglamaning ikkala tomonini shu koeffitsientga kamaytiramiz. Biz olamiz: , dan.

Mana murakkabroq misol (juda biroz, haqiqatan ham):

Qanday muammo! Bu yerda bizda umumiy fikr yo‘q! Hozir nima qilish kerakligi aniq emas. Keling, qo'limizdan kelganini qilaylik: birinchi navbatda, "to'rtlik" ni bir tomonga, "beshlik" ni boshqa tomonga o'tkazing:

Endi chap va o'ngdagi "umumiy" ni chiqaramiz:

Xo'sh, endi nima? Bunday ahmoq guruhdan nima foyda? Bir qarashda u umuman ko'rinmaydi, lekin chuqurroq qaraylik:

Xo'sh, endi biz chap tomonda faqat c iborasi borligiga ishonch hosil qilamiz, o'ngda esa - hamma narsa. Buni qanday qilamiz? Mana shunday: tenglamaning ikkala tomonini birinchi bo'lib (shuning uchun biz o'ngdagi ko'rsatkichdan xalos bo'lamiz), so'ngra ikkala tomonni ham bo'lamiz (shuning uchun biz chapdagi son koeffitsientidan xalos bo'lamiz). Nihoyat, biz olamiz:

Ajoyib! Chap tomonda bizda ifoda, o'ngda esa oddiy ifoda bor. Keyin biz darhol xulosa qilamiz

Sizni mustahkamlash uchun yana bir misol:

Men uning qisqacha yechimini beraman (tushuntirishlar bilan o'zimni bezovta qilmasdan), yechimning barcha "nozik tomonlarini" o'zingiz tushunishga harakat qiling.

Endi qoplangan materialning yakuniy konsolidatsiyasi uchun. Quyidagi muammolarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Men ularni hal qilish uchun qisqacha tavsiyalar va maslahatlar beraman:

1. Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz: Bu yerda:
2. Birinchi ifodani quyidagi shaklda keltiramiz: , ikkala tomonni bo'ling va shuni oling
3. , keyin asl tenglama ko'rinishga o'zgartiriladi: Xo'sh, endi bir maslahat - siz va men bu tenglamani allaqachon hal qilgan joyni qidiring!
4. Tasavvur qiling-a, qanday qilib, qanday qilib, ah, yaxshi, keyin ikkala tomonni bo'ling, shunda siz eng oddiy eksponensial tenglamani olasiz.
5. Uni qavslardan chiqarib oling.
6. Uni qavslardan chiqarib oling.

EKSPONENTAR TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

O'ylaymanki, birinchi maqolani o'qib chiqqandan so'ng eksponensial tenglamalar nima va ularni yechish usullari, siz o'zlashtirgansiz zarur minimum oddiy misollarni yechish uchun zarur bilim.

Endi men eksponensial tenglamalarni yechishning boshqa usulini ko'rib chiqaman, bu

"Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli" (yoki almashtirish). U eksponensial tenglamalar (va nafaqat tenglamalar) mavzusidagi eng "qiyin" muammolarni hal qiladi. Ushbu usul amaliyotda eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biridir. Birinchidan, men sizga mavzu bilan tanishishingizni tavsiya qilaman.

Nomidan allaqachon tushunganingizdek, ushbu usulning mohiyati o'zgaruvchining shunday o'zgarishini kiritishdan iboratki, sizning eksponentsial tenglama mo''jizaviy tarzda siz osongina echadigan tenglamaga aylanadi. Ushbu "soddalashtirilgan tenglama" ni yechganingizdan so'ng siz uchun qolgan narsa "teskari almashtirish" ni amalga oshirishdir: ya'ni almashtirilgandan almashtirilganga qaytish. Keling, hozirgina aytganimizni juda oddiy misol bilan ko'rsatamiz:

1-misol:

Bu tenglama matematiklar uni kamsituvchi tarzda chaqirganidek, "oddiy almashtirish" yordamida hal qilinadi. Aslida, bu erda almashtirish eng aniq. Faqat buni ko'rish kerak

Keyin asl tenglama quyidagicha bo'ladi:

Agar biz qo'shimcha ravishda qanday qilib tasavvur qilsak, unda nimani almashtirish kerakligi aniq: albatta, . Keyin asl tenglama nimaga aylanadi? Mana nima:

Uning ildizlarini o'zingiz osongina topishingiz mumkin: . Endi nima qilishimiz kerak? Asl o'zgaruvchiga qaytish vaqti keldi. Men nimani eslatishni unutdim? Ya'ni: ma'lum darajani yangi o'zgaruvchiga almashtirganda (ya'ni turni almashtirishda) meni qiziqtiradi faqat ijobiy ildizlar! Buning sababini o'zingiz osongina javob berishingiz mumkin. Shunday qilib, siz va men qiziq emasmiz, lekin ikkinchi ildiz biz uchun juda mos keladi:

Keyin qayerdan.

Javob:

Ko'rib turganingizdek, oldingi misolda, almashtirish faqat qo'llarimizni so'radi. Afsuski, bu har doim ham shunday emas. Biroq, keling, to'g'ridan-to'g'ri qayg'uli narsalarga bormaylik, lekin juda oddiy almashtirish bilan yana bir misol bilan mashq qilaylik.

2-misol.

Ko'rinib turibdiki, biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak (bu bizning tenglamamizga kiritilgan kuchlarning eng kichiki), lekin almashtirishni kiritishdan oldin, bizning tenglamamiz bunga "tayyorlanishi" kerak, xususan: , . Keyin siz o'zgartirishingiz mumkin, natijada men quyidagi iborani olaman:

Oh dahshat: uni hal qilish uchun mutlaqo dahshatli formulalar bilan kub tenglama (yaxshi, umumiy ma'noda). Lekin darhol umidsizlikka tushmaylik, lekin nima qilishimiz kerakligini o'ylab ko'raylik. Men aldashni taklif qilaman: biz bilamizki, "chiroyli" javob olish uchun biz uni uchta kuch shaklida olishimiz kerak (nega shunday bo'ladi, ha?). Keling, tenglamamizning kamida bitta ildizini taxmin qilishga harakat qilaylik (men uchta kuch bilan taxmin qilishni boshlayman).

Birinchi taxmin. Ildiz emas. Voy va oh ...

.
Chap tomoni teng.
O'ng qism:!
Yemoq! Birinchi ildizni taxmin qildim. Endi ishlar osonlashadi!

"Burchak" bo'linish sxemasi haqida bilasizmi? Albatta, siz bir raqamni boshqasiga bo'lganingizda foydalanasiz. Ammo ko'p nomlar bilan ham xuddi shunday qilish mumkinligini kam odam biladi. Bitta ajoyib teorema bor:

Mening vaziyatimga taalluqli bo'lsam, bu menga uning qoldiqsiz bo'linishini bildiradi. Bo'linish qanday amalga oshiriladi? Shunday qilib:

Aniq bo'lish uchun qaysi monomiyani ko'paytirishim kerakligini ko'rib chiqaman, keyin:

Olingan iborani ayirib, men olaman:

Endi, olish uchun nimani ko'paytirishim kerak? Shunda men olishim aniq:

va yana qolgan ifodadan olingan ifodani ayiring:

Xo'sh, oxirgi qadam qolgan ifodadan ko'paytirish va ayirishdir:

Huray, bo'linish tugadi! Biz shaxsiy hayotda nimani to'pladik? O'z-o'zidan: .

Keyin biz asl polinomning quyidagi kengaytmasini oldik:

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

Uning ildizlari bor:

Keyin asl tenglama:

uchta ildizga ega:

Biz, albatta, oxirgi ildizni olib tashlaymiz, chunki u noldan kichikdir. Va teskari almashtirishdan keyingi dastlabki ikkitasi bizga ikkita ildiz beradi:

Javob: ..

Men bu misol bilan sizni qo'rqitmoqchi emasdim, aksincha, mening maqsadim bizda juda oddiy o'rinbosar bo'lgan bo'lsa-da, bu juda yaxshi natijaga olib kelganligini ko'rsatish edi murakkab tenglama, uning yechimi bizdan ba'zi maxsus ko'nikmalarni talab qildi. Axir, hech kim bundan himoyalanmagan. Ammo almashtirish Ushbu holatda juda aniq edi.

Bu erda biroz kamroq aniq almashtirishga misol:

Biz nima qilishimiz kerakligi umuman aniq emas: muammo shundaki, bizning tenglamamizda ikki xil asos mavjud va bir asosni boshqasidan biron bir (oqilona, ​​tabiiy) kuchga ko'tarish orqali olish mumkin emas. Biroq, biz nimani ko'ramiz? Ikkala asos ham faqat belgi bilan farqlanadi va ularning mahsuloti birga teng kvadratlar farqidir:

Ta'rif:

Shunday qilib, bizning misolimizda asos bo'lgan raqamlar konjugatdir.

Bunday holda, aqlli qadam bo'ladi tenglamaning ikkala tomonini konjugat soniga ko'paytiring.

Masalan, on, keyin tenglamaning chap tomoni teng bo'ladi va o'ng. Agar almashtirishni amalga oshirsak, asl tenglamamiz quyidagicha bo'ladi:

uning ildizlari, keyin va buni eslab, biz buni tushunamiz.

Javob: , .

Qoida tariqasida, almashtirish usuli ko'pchilik "maktab" eksponensial tenglamalarni echish uchun etarli. Quyidagi topshiriqlar yagona davlat imtihonidan olingan C1 ( darajasi oshdi qiyinchiliklar). Siz allaqachon bu misollarni o'zingiz hal qilish uchun etarli darajada savodlisiz. Men faqat kerakli almashtirishni beraman.

1. Tenglamani yeching:
2. Tenglamaning ildizlarini toping:
3. Tenglamani yeching: . Ushbu tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini toping:

Va endi qisqacha tushuntirishlar va javoblar:

1. Shu o‘rinda shuni ta’kidlashimiz kifoya... Shunda asl tenglama bunga ekvivalent bo'ladi: Bu tenglamani o'zgartirish orqali yechish mumkin. Oxir-oqibat, sizning vazifangiz oddiy trigonometrik muammolarni hal qilish uchun qisqartiriladi (sinus yoki kosinusga qarab). Boshqa bo'limlarda shunga o'xshash misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.
2. Bu erda siz hatto almashtirmasdan ham qilishingiz mumkin: shunchaki ayirmani o'ngga siljiting va ikkala asosni ikkitaning vakolatlari orqali ifodalang: , va keyin to'g'ridan-to'g'ri kvadrat tenglamaga o'ting.
3. Uchinchi tenglama ham juda standart tarzda echilgan: keling, qanday qilib buni tasavvur qilaylik. Keyin, almashtirsak, kvadrat tenglamani olamiz: keyin,

   Logarifm nima ekanligini allaqachon bilasiz, to'g'rimi? Yo'qmi? Unda zudlik bilan mavzuni o'qing!

   Birinchi ildiz segmentga tegishli emasligi aniq, lekin ikkinchisi aniq emas! Ammo biz buni tez orada bilib olamiz! Shunday ekan (bu logarifmning xossasi!) Keling, taqqoslaylik:

   Ikkala tomondan ayirish, keyin biz olamiz:

   Chap tomon quyidagicha ifodalanishi mumkin:

   ikkala tomonni ko'paytiring:

   ga ko'paytirish mumkin, keyin

   Keyin solishtiring:

   O'shandan beri:

   Keyin ikkinchi ildiz kerakli intervalga tegishli

   Javob:

Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichli tenglamalarning ildizlarini tanlash etarli darajada talab qiladi chuqur bilim logarifmlarning xossalari, shuning uchun men sizga eksponensial tenglamalarni yechishda iloji boricha ehtiyot bo'lishingizni maslahat beraman. Siz tushunganingizdek, matematikada hamma narsa o'zaro bog'liq! Matematika o'qituvchim aytganidek: "Matematikani, xuddi tarix kabi, bir kechada o'qib bo'lmaydi".

Qoida tariqasida, hammasi C1 masalalarini yechishdagi qiyinchilik aynan tenglamaning ildizlarini tanlashdir. Yana bir misol bilan mashq qilaylik:

Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'zi juda oddiy hal qilinadi. O'zgartirishni amalga oshirib, biz asl tenglamamizni quyidagilarga qisqartiramiz:

Avval birinchi ildizni ko'rib chiqaylik. Keling, solishtiramiz va: beri, keyin. (mulk logarifmik funktsiya, da). Shunda birinchi ildiz bizning intervalimizga tegishli emasligi aniq bo'ladi. Endi ikkinchi ildiz: . Bu aniq (chunki at funksiyasi ortib bormoqda). Taqqoslash va ...

beri, keyin, bir vaqtning o'zida. Shu tarzda men va orasidagi "qoziqni haydab" olaman. Bu qoziq raqamdir. Birinchi ifoda kichikroq, ikkinchisi esa kattaroq. Keyin ikkinchi ifoda birinchisidan katta va ildiz intervalga tegishli.

Javob: .

Va nihoyat, almashtirish juda nostandart bo'lgan tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik:

Keling, darhol nima qilish mumkinligi va nima qilish mumkinligi bilan boshlaylik - printsipial jihatdan, buni qilish mumkin, lekin buni qilmaslik yaxshiroqdir. Siz hamma narsani uch, ikki va oltita kuchlar orqali tasavvur qilishingiz mumkin. Qayerga olib boradi? Bu hech narsaga olib kelmaydi: darajalar chalkashligi, ulardan ba'zilaridan qutulish juda qiyin bo'ladi. Keyin nima kerak? Shuni ta'kidlaymizki, a Va bu bizga nima beradi? Va bu misolning yechimini juda oddiy eksponensial tenglamaning yechimiga qisqartirishimiz mumkin! Birinchidan, tenglamamizni quyidagicha qayta yozamiz:

Endi hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:

Evrika! Endi biz almashtirishimiz mumkin, biz olamiz:

Xo'sh, endi namunali muammolarni hal qilish navbati sizda, men ularga faqat beraman qisqacha sharhlar toki adashmasligingiz uchun! Omad!

1. Eng qiyini! Bu erda o'rinbosarni ko'rish juda qiyin! Ammo shunga qaramay, ushbu misol yordamida butunlay hal qilish mumkin to'liq kvadratni ta'kidlash. Buni hal qilish uchun shuni ta'kidlash kifoya:

Keyin sizning o'rningiz:

(Iltimos, shuni esda tutingki, biz almashtirish paytida biz salbiy ildizni tashlay olmaymiz!!! Nima uchun deb o'ylaysiz?)

Endi misolni hal qilish uchun faqat ikkita tenglamani echishingiz kerak:

Ularning ikkalasi ham hal qilindi " standart almashtirish"(lekin ikkinchisi bitta misolda!)

2. Bunga e'tibor bering va uni almashtiring.

3. Sonni ko‘paytiruvchi omillarga ajrating va olingan ifodani soddalashtiring.

4. Kasrning soni va maxrajini (yoki agar xohlasangiz) ga bo'ling va yoki almashtirishni bajaring.

5. E'tibor bering va sonlar birikadi.

EKSPONENTAR TENGLAMALAR. ILG'IY DARAJA

Bundan tashqari, keling, boshqa yo'lni ko'rib chiqaylik - ko'rsatkichli tenglamalarni logarifm usuli yordamida yechish. Ushbu usul yordamida eksponensial tenglamalarni yechish juda mashhur deb ayta olmayman, lekin ba'zi hollarda faqat bu bizni olib kelishi mumkin to'g'ri qaror bizning tenglamamiz. Bu, ayniqsa, tez-tez "deb nomlangan muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. aralash tenglamalar": ya'ni har xil turdagi funktsiyalar sodir bo'lganlar.

Masalan, quyidagi shakldagi tenglama:

umumiy holatda, uni faqat ikkala tomonning logarifmlarini (masalan, bazaga) olish orqali hal qilish mumkin, bunda dastlabki tenglama quyidagilarga aylanadi:

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

Logarifmik funktsiyaning ODZ ga ko'ra bizni faqat qiziqtirishi aniq. Biroq, bu faqat logarifmning ODZ dan emas, balki yana bir sababga ko'ra kelib chiqadi. O'ylaymanki, qaysi biri ekanligini taxmin qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi.

Keling, tenglamamizning ikkala tomonining logarifmini asosga olaylik:

Ko'rib turganingizdek, asl tenglamamizning logarifmini olish bizni tezda to'g'ri (va chiroyli!) javobga olib keldi. Yana bir misol bilan mashq qilaylik:

Bu erda ham hech qanday xatolik yo'q: keling, tenglamaning ikkala tomonining logarifmini asosga olaylik, keyin biz olamiz:

Keling, almashtiramiz:

Biroq, biz bir narsani o'tkazib yubordik! Qayerda xato qilganimni payqadingizmi? Axir, keyin:

bu talabni qondirmaydi (u qaerdan kelganini o'ylab ko'ring!)

Javob:

Quyidagi eksponensial tenglamalar yechimini yozishga harakat qiling:

Endi qaroringizni shu bilan solishtiring:

1. Quyidagilarni hisobga olib, ikkala tomonni asosga logarifm qilamiz:

(ikkinchi ildiz almashtirish tufayli biz uchun mos emas)

2. Bazaga logarifm:

Olingan ifodani quyidagi shaklga aylantiramiz:

EKSPONENTAR TENGLAMALAR. QISQA TA'RIF VA ASOSIY FORMULALAR

Eksponensial tenglama

Shakl tenglamasi:

chaqirdi eng oddiy eksponensial tenglama.

Darajalar xossalari

Yechimga yondashuvlar

• Xuddi shu asosga qisqartirish
• Xuddi shu ko'rsatkichga qisqartirish
• O'zgaruvchan almashtirish
• Ifodani soddalashtirish va yuqoridagilardan birini qo'llash.

Eksponensial tenglamalar. Ma'lumki, Yagona davlat imtihoni o'z ichiga oladi oddiy tenglamalar. Biz allaqachon ba'zilarini ko'rib chiqdik - bular logarifmik, trigonometrik, oqilona. Bu erda eksponensial tenglamalar mavjud.

Yaqinda biz eksponensial ifodalar bilan ishladik, bu foydali bo'ladi. Tenglamalarning o'zi oddiy va tez hal qilinadi. Siz shunchaki ko'rsatkichlarning xususiyatlarini bilishingiz kerak va ... Bu haqidaKeyinchalik.

Keling, ko'rsatkichlarning xususiyatlarini sanab o'tamiz:

Har qanday sonning nol kuchi birga teng.

Bu xususiyatdan xulosa:

Bir oz ko'proq nazariya.

Ko'rsatkichli tenglama - bu ko'rsatkichda o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama, ya'ni u quyidagi ko'rinishdagi tenglamadir:

f(x) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish usullari

1. O'zgartirishlar natijasida tenglamani quyidagi ko'rinishga keltirish mumkin:

Keyin mulkni qo'llaymiz:

2. Shaklning tenglamasini olishda a f (x) = b logarifm ta'rifidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

3. O'zgartirishlar natijasida siz quyidagi ko'rinishdagi tenglamani olishingiz mumkin:

Logarifm qo'llaniladi:

X ni ifodalang va toping.

Vazifalarda Yagona davlat imtihonlari variantlari Birinchi usuldan foydalanish etarli bo'ladi.

Ya'ni, chap va o'ng tomonlarni vakolatlar shaklida ifodalash kerak bir xil asos, va keyin ko'rsatkichlarni tenglashtiramiz va odatiy chiziqli tenglamani yechamiz.

Tenglamalarni ko'rib chiqing:

4 1–2x = 64 tenglamaning ildizini toping.

Chap va o'ng tomonlarda bir xil asosli eksponensial ifodalar mavjudligini ta'minlash kerak. Biz 64 ni 3 ning darajasiga 4 ni ifodalashimiz mumkin.

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Imtihon:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Javob: -1

3-tenglamaning ildizini toping x–18 = 1/9.

Ma'lumki

Shunday qilib, 3 x-18 = 3 -2

Bazalar teng, biz ko'rsatkichlarni tenglashtirishimiz mumkin:

x – 18 = – 2

x = 16

Imtihon:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Javob: 16

Tenglamaning ildizini toping:

1/64 kasrni uchinchi darajaga to‘rtdan biriga ko‘ramiz:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Imtihon:

Javob: 11

Tenglamaning ildizini toping:

1/3 ni 3 –1, 9 ni 3 kvadrat deb tasavvur qilaylik, biz quyidagilarga erishamiz:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Endi biz ko'rsatkichlarni tenglashtirishimiz mumkin:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Imtihon:

Javob: 5

26654. Tenglamaning ildizini toping:

Yechim:

Javob: 8.75

Haqiqatan ham, ijobiy raqamni qaysi kuchga ko'tarmasak ham, biz salbiy raqamni ololmaymiz.

Tegishli o'zgarishlardan so'ng har qanday ko'rsatkichli tenglama bir yoki bir nechta oddiylarni echishga qisqartiriladi.Ushbu bo'limda biz ba'zi tenglamalarni echishni ham ko'rib chiqamiz, buni o'tkazib yubormang!Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.

Misollar:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Eksponensial tenglamalarni yechish usullari

Har qanday ko‘rsatkichli tenglamani yechishda biz uni \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ko‘rinishiga keltirishga intilamiz, so‘ngra ko‘rsatkichlar tengligiga o‘tamiz, ya’ni:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Masalan:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Muhim! Xuddi shu mantiqqa ko'ra, bunday o'tish uchun ikkita talab mavjud:
- raqam ichida chap va o'ng bir xil bo'lishi kerak;
- chap va o'ngdagi darajalar "sof" bo'lishi kerak, ya'ni ko'paytirish, bo'lish va hokazolar bo'lmasligi kerak.

Masalan:

Tenglamani qisqartirish uchun \(a^(f(x))=a^(g(x))\) va ishlatiladi.

Misol . \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) koʻrsatkichli tenglamani yeching.
Yechim:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Biz bilamizki, \(27 = 3^3\). Buni hisobga olib, biz tenglamani o'zgartiramiz.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Ildizning xossasi bo'yicha \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) biz \(\sqrt(3^3)=((3^3)) ni olamiz. )^( \frac(1)(2))\). Keyin \((a^b)^c=a^(bc)\ daraja xususiyatidan foydalanib, \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ ni olamiz. (3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Biz shuni ham bilamizki, \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Buni chap tomonga qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Endi esda tuting: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ushbu formuladan ham foydalanish mumkin teskari tomon: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Keyin \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		O'ng tomonga \((a^b)^c=a^(bc)\) xossasini qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		Va endi bizning bazalarimiz teng va aralashuvchi koeffitsientlar yo'q va hokazo. Shunday qilib, biz o'tishni amalga oshirishimiz mumkin.
		Misol . \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) koʻrsatkichli tenglamani yeching. Yechim: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Biz yana \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) kuch xususiyatidan teskari yoʻnalishda foydalanamiz. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) Endi esda tuting, \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Darajalar xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarni o'zgartiramiz: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Biz tenglamani diqqat bilan ko'rib chiqamiz va \(t=2^x\) o'rnini o'zgartirish o'zini taklif qilishini ko'ramiz. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Biroq, biz \(t\) qiymatlarini topdik va bizga \(x\) kerak. Biz X ga qaytamiz, teskari almashtirishni amalga oshiramiz. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Ikkinchi tenglamani manfiy quvvat xususiyatidan foydalanib o‘zgartiramiz... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...va javob kelguncha qaror qilamiz. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Javob : \(-1; 1\). Savol qoladi - qaysi usuldan qachon foydalanishni qanday tushunish kerak? Bu tajriba bilan birga keladi. Uni olmaguningizcha, foydalaning umumiy tavsiya yechimlar uchun murakkab vazifalar- "Agar nima qilishni bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling." Ya'ni, tenglamani printsipial ravishda qanday o'zgartirishingiz mumkinligini qidiring va buni qilishga harakat qiling - agar nima bo'lsa? Asosiysi, faqat matematik asoslangan o'zgarishlarni amalga oshirish. Yechimsiz ko‘rsatkichli tenglamalar Keling, talabalarni tez-tez chalkashtirib yuboradigan yana ikkita holatni ko'rib chiqaylik: - quvvatga ijobiy son nolga teng, masalan, \(2^x=0\); - quvvatga ijobiy son teng salbiy raqam, masalan, \(2^x=-4\). Keling, qo'pol kuch bilan hal qilishga harakat qilaylik. Agar x musbat son bo'lsa, x o'sishi bilan butun kuch \(2^x\) faqat ortadi: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Shuningdek, tomonidan. Salbiy X qoldiqlari. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ xususiyatini eslab, tekshiramiz: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Bu raqam har qadamda kamayib borayotganiga qaramay, u hech qachon nolga etib bormaydi. Shunday qilib, salbiy daraja bizni qutqarmadi. Biz mantiqiy xulosaga kelamiz: Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy raqam bo'lib qoladi. Shunday qilib, yuqoridagi ikkala tenglama ham yechimga ega emas. Turli asosli ko'rsatkichli tenglamalar Amaliyotda ba'zan bir-biriga qaytarilmaydigan va bir vaqtning o'zida bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ko'rsatkichli tenglamalarga duch kelamiz. Ular quyidagicha ko'rinadi: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), bu erda \(a\) va \(b\) musbat sonlardir. Masalan: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Bunday tenglamalarni tenglamaning istalgan tomoniga bo'lish yo'li bilan osongina yechish mumkin (odatda o'ng tomoniga bo'linadi, ya'ni \(b^(f(x))\). Siz shunday bo'lishingiz mumkin, chunki ijobiy son. har qanday kuchga ijobiy (ya'ni, biz nolga bo'linmaymiz). \(\ frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Misol . \(5^(x+7)=3^(x+7)\) koʻrsatkichli tenglamani yeching. Yechim: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Bu erda biz beshni uchga aylantira olmaymiz yoki aksincha (hech bo'lmaganda dan foydalanmasdan). Bu shuni anglatadiki, biz \(a^(f(x))=a^(g(x))\) shakliga kela olmaymiz. Biroq, ko'rsatkichlar bir xil. Keling, tenglamani o'ng tomoniga, ya'ni \(3^(x+7)\) ga bo'lamiz (biz buni qila olamiz, chunki uchtasi hech qanday darajada nolga teng bo'lmasligini bilamiz). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Endi \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) xususiyatini eslang va uni chap tomonda teskari yo‘nalishda ishlating. O'ng tomonda biz faqat kasrni kamaytiramiz. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Aftidan, vaziyat yaxshilanmadi. Ammo kuchning yana bir xususiyatini eslang: \(a^0=1\), boshqacha qilib aytganda: "nol darajaga teng bo'lgan har qanday raqam \(1\) ga tengdir." Buning teskarisi ham to'g'ri: "bir raqam nol darajaga qadar har qanday raqam sifatida ifodalanishi mumkin." Keling, o'ngdagi bazani chap tomondagi kabi qilib, bundan foydalanaylik. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Keling, asoslardan xalos bo'laylik. Biz javob yozamiz. Javob : \(-7\). Ba'zida ko'rsatkichlarning "bir xilligi" aniq emas, lekin ko'rsatkichlarning xususiyatlaridan mohirona foydalanish bu muammoni hal qiladi. Misol . \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) koʻrsatkichli tenglamani yeching. Yechim: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Tenglama juda achinarli ko'rinadi ... Faqat asoslarni qisqartirish mumkin emas bir xil raqam(etti hech qanday tarzda \(\frac(1)(3)\) ga teng boʻlmaydi), shuning uchun koʻrsatkichlar ham har xil... Biroq, chap daraja koʻrsatkichida ikkitadan foydalanamiz. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) \((a^b)^c=a^(b·c)\) xususiyatini eslab, biz chapdan aylantiramiz: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Endi manfiy daraja xossasini eslab, \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) oʻngdan oʻzgartiramiz: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Salom! Ko'rsatkichlar bir xil! Bizga allaqachon tanish bo'lgan sxema bo'yicha harakat qilib, biz javobdan oldin hal qilamiz. Javob : \(2\).

Ma’ruza: “Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish usullari”.

1 . Eksponensial tenglamalar.

Koʻrsatkichlarda nomaʼlumlar boʻlgan tenglamalar koʻrsatkichli tenglamalar deyiladi. Ulardan eng oddiyi ax = b tenglamasidir, bu erda a > 0, a ≠ 1.

1) b da< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 eksponensial funktsiya, hech qanday yechimga ega emas.

2) b > 0 uchun funktsiyaning monotonligi va ildiz teoremasidan foydalanib, tenglama yagona ildizga ega. Uni topish uchun b ni b = a, ax = bs ó x = c yoki x = logab ko'rinishlarida ifodalash kerak.

Ko'rsatkichli tenglamalar algebraik o'zgarishlar standart tenglamalarga olib keladi, ular quyidagi usullar yordamida echiladi:

1) bir bazaga qisqartirish usuli;

2) baholash usuli;

3) grafik usul;

4) yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli;

5) faktorizatsiya usuli;

6) eksponensial – quvvat tenglamalari;

7) parametrli ko'rgazmali.

2 . Bitta bazaga qisqartirish usuli.

Usul asoslanadi quyidagi mulk darajalar: agar ikkita daraja teng bo'lsa va ularning asoslari teng bo'lsa, unda ularning ko'rsatkichlari teng bo'ladi, ya'ni tenglamani ko'rinishga keltirishga harakat qilishimiz kerak.

Misollar. Tenglamani yeching:

1 . 3x = 81;

Tenglamaning o'ng tomonini 81 = 34 ko'rinishda tasvirlaymiz va asl 3 x = 34 tenglamani yozamiz; x = 4. Javob: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">va 3x+1 = 3 – 5x ko'rsatkichlari tenglamasiga o'tamiz; 8x = 4; x = 0,5 javob: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

E'tibor bering, 0,2, 0,04, √5 va 25 raqamlari 5 ning darajalarini ifodalaydi. Keling, bundan foydalanib, asl tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz:

, bundan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, undan x = -1 yechim topamiz. Javob: -1.

5. 3x = 5. Logarifmning ta'rifi bo'yicha, x = log35. Javob: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Tenglamani 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 ko'rinishda qayta yozamiz, ya'ni.png" width="181" height="49 src="> Demak, x – 4 =0, x = 4. Javob: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Kuchlarning xossalaridan foydalanib, tenglamani 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, keyin 3∙3x = 9, 3x+1 ko'rinishda yozamiz. = 32, ya'ni x+1 = 2, x =1. Javob: 1.

1-sonli muammoli bank.

Tenglamani yeching:

Test № 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ildiz yoʻq
	1) 7;1 2) ildiz yo'q 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test № 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ildizsiz 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Baholash usuli.

Ildiz teoremasi: agar f(x) funksiya I oraliqda ortib (kamaysa), a soni shu oraliqda f tomonidan qabul qilingan istalgan qiymat bo’lsa, f(x) = a tenglama I oraliqda bitta ildizga ega bo’ladi.

Tenglamalarni baholash usuli yordamida yechishda ushbu teorema va funksiyaning monotonlik xossalaridan foydalaniladi.

Misollar. Tenglamalarni yeching: 1. 4x = 5 - x.

Yechim. 4x +x = 5 tenglamani qayta yozamiz.

1. agar x = 1 bo'lsa, 41+1 = 5, 5 = 5 to'g'ri, ya'ni 1 tenglamaning ildizi.

f(x) = 4x funksiya R bo‘yicha ortadi, g(x) = x – R bo‘yicha ortadi => h(x)= f(x)+g(x) R bo‘yicha ortadi, chunki ortib borayotgan funksiyalar yig‘indisi, u holda x = 1 4x = 5 – x tenglamaning yagona ildizidir. Javob: 1.

2.

Yechim. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz .

1. agar x = -1 bo'lsa, u holda , 3 = 3 rost, ya’ni x = -1 tenglamaning ildizi.

2. uning yagona ekanligini isbotlamoq.

3. f(x) = - funksiya R da kamayadi, g(x) = - x – R => h(x) = f(x)+g(x) da kamayadi – R da kamayadi, buning yig’indisi sifatida R. kamaytiruvchi funktsiyalar. Bu degani, ildiz teoremasiga ko'ra, x = -1 tenglamaning yagona ildizidir. Javob: -1.

Muammoli bank № 2. Tenglamani yeching

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli.

Usul 2.1-bandda tavsiflangan. Yangi o'zgaruvchini kiritish (almashtirish) odatda tenglama shartlarini o'zgartirishdan (soddalashtirishdan) keyin amalga oshiriladi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Misollar. R Tenglamani yeching: 1. .

Keling, tenglamani boshqacha yozamiz: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> ya'ni.png" width="210" balandligi = "45">

Yechim. Keling, tenglamani boshqacha yozamiz:

Keling, https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" kengligi="245" balandligi="57">ni belgilaymiz - mos emas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irratsional tenglama. Shuni ta'kidlaymiz

Tenglamaning yechimi x = 2,5 ≤ 4, ya’ni 2,5 tenglamaning ildizi. Javob: 2.5.

Yechim. Keling, tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz va ikkala tomonni 56x+6 ≠ 0 ga bo'lamiz. Tenglamani olamiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" eni="118" balandligi="56">

Kvadrat tenglamaning ildizlari t1 = 1 va t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Yechim . Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz

va ikkinchi darajali bir jinsli tenglama ekanligini unutmang.

Tenglamani 42x ga bo'ling, biz olamiz

Keling, https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> ni almashtiramiz.

Javob: 0; 0,5.

№3 muammoli bank. Tenglamani yeching

b)

G)

Test № 3 javoblar tanlovi bilan. Minimal daraja.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ildiz yo'q 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ildizsiz 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test № 4 javoblar tanlovi bilan. Umumiy daraja.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ildiz yo'q

5. Faktorizatsiya usuli.

1. Tenglamani yeching: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Yechim..png" width="169" height="69"> , qayerdan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Yechim. Tenglamaning chap tomonidagi qavslardan 6x, o'ng tomoniga 2x qo'yaylik. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x tenglamasini olamiz.

Barcha x uchun 2x >0 bo'lgani uchun, biz yechimlarni yo'qotishdan qo'rqmasdan bu tenglamaning ikkala tomonini 2x ga bo'lishimiz mumkin. Biz 3x = 1ó x = 0 ni olamiz.

3.

Yechim. Tenglamani faktorizatsiya usuli yordamida yechamiz.

Keling, binomialning kvadratini tanlaylik

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 - tenglamaning ildizi.

Tenglama x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test № 6 Umumiy daraja.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial – quvvat tenglamalari.

Ko'rsatkichli tenglamalarga qo'shni ko'rsatkichli-kuchli tenglamalar, ya'ni (f(x))g(x) = (f(x))h(x) ko'rinishdagi tenglamalar.

Agar f(x)>0 va f(x) ≠ 1 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda tenglama ko'rsatkichli tenglama kabi g(x) = f(x) darajalarini tenglashtirish yo'li bilan yechiladi.

Agar shart f(x)=0 va f(x)=1 imkoniyatlarini istisno qilmasa, u holda ko‘rsatkichli tenglamani yechishda bu holatlarni ko‘rib chiqishga to‘g‘ri keladi.

1..png" eni="182" balandligi="116 src=">

2.

Yechim. x2 +2x-8 - har qanday x uchun mantiqiy, chunki u ko'phaddir, ya'ni tenglama jamiga ekvivalentdir.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Parametrli ko‘rsatkichli tenglamalar.

1. 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) tenglama p parametrining qaysi qiymatlari uchun yagona yechimga ega?

Yechim. 2x = t, t > 0 almashtirishni kiritamiz, keyin (1) tenglama t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 ko‘rinishini oladi. (2)

(2) tenglamaning diskriminanti D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Agar (2) tenglama bitta musbat ildizga ega bo'lsa, (1) tenglama yagona yechimga ega. Bu quyidagi hollarda mumkin.

1. Agar D = 0, ya'ni p = 1 bo'lsa, (2) tenglama t2 – 2t + 1 = 0 ko'rinishini oladi, demak, t = 1, demak, (1) tenglama x = 0 yagona yechimga ega.

2. Agar p1 bo‘lsa, 9(p – 1)2 > 0 bo‘lsa, (2) tenglama ikki xil ildizga ega bo‘ladi t1 = p, t2 = 4p – 3. Masala shartlari tizimlar to‘plami bilan qanoatlantiriladi.

Tizimlarda t1 va t2 ni almashtirsak, biz bor

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Yechim. Mayli u holda (3) tenglama t2 – 6t – a = 0 ko‘rinishini oladi. (4)

(4) tenglamaning kamida bitta ildizi t > 0 shartini qanoatlantiradigan a parametrining qiymatlarini topamiz.

f(t) = t2 – 6t – a funksiyasini kiritamiz. Quyidagi holatlar mumkin.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratik trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Holat 2. (4) tenglamaning yagona musbat yechimi bor, agar

D = 0, agar a = – 9 bo‘lsa, (4) tenglama (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 ko‘rinishini oladi.

3-holat. (4) tenglama ikkita ildizga ega, lekin ulardan biri t > 0 tengsizlikni qanoatlantirmaydi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Shunday qilib, a 0 uchun (4) tenglama bitta musbat ildizga ega . U holda (3) tenglama yagona yechimga ega

Qachon a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

agar a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 bo‘lsa, x = – 1;

a  0 bo'lsa, u holda

(1) va (3) tenglamalarni yechish usullarini solishtiramiz. E'tibor bering, (1) tenglamani yechishda diskriminanti to'liq kvadrat bo'lgan kvadrat tenglamaga keltirildi; Shunday qilib, (2) tenglamaning ildizlari darhol kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi yordamida hisoblab chiqildi va keyin bu ildizlar bo'yicha xulosalar chiqarildi. (3) tenglama diskriminanti mukammal kvadrat bo'lmagan (4) kvadrat tenglamaga keltirildi, shuning uchun (3) tenglamani yechishda kvadrat uchlik ildizlarining joylashuvi haqidagi teoremalardan foydalanish tavsiya etiladi. va grafik model. E'tibor bering, (4) tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin.

Keling, murakkabroq tenglamalarni yechaylik.

3-masala: Tenglamani yeching

Yechim. ODZ: x1, x2.

Keling, almashtirishni kiritamiz. 2x = t, t > 0 bo'lsin, u holda o'zgartirishlar natijasida tenglama t2 + 2t – 13 – a = 0 ko'rinishini oladi. (*) Eng kamida bitta ildiz bo'lgan a ning qiymatlarini topamiz. (*) tenglama t > 0 shartni qanoatlantiradi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Javob: a > – 13, a  11, a  5 bo‘lsa, a – 13 bo‘lsa,

a = 11, a = 5, keyin hech qanday ildiz yo'q.

Bibliografiya.

1. Guzeev ta'lim texnologiyasi asoslari.

2. Guzeev texnologiyasi: qabul qilishdan falsafagacha.

M. «Maktab direktori» No4, 1996 y

3. Guzeev va tashkiliy shakllar trening.

4. Guzeev va integral ta'lim texnologiyasi amaliyoti.

M." Xalq ta’limi", 2001 yil

5. Guzeev dars - seminar shakllaridan.

2-sonli maktabda matematika, 1987 yil 9 – 11-bet.

6. Seleuko ta'lim texnologiyalari.

M. “Xalq ta’limi”, 1998 y

7. Episheva maktab o'quvchilari matematikani o'rganish uchun.

M. “Ma’rifat”, 1990 yil

8. Ivanova darslar - seminarlar tayyorlaydi.

6-sonli maktabda matematika, 1990 b. 37-40.

9. Matematika o’qitishning Smirnov modeli.

1-sonli maktabda matematika, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko amaliy ishlarni tashkil etish usullari.

1-sonli maktabda matematika, 1993 s. 27 – 28.

11. Individual ish turlaridan biri haqida.

2-sonli maktabda matematika, 1994 yil, 63 – 64-bet.

12. Xazankin Ijodiy qobiliyatlar maktab o'quvchilari.

2-sonli maktabda matematika, 1989 b. 10.

13. Skanavi. Nashriyot, 1997 yil

14. va boshqalar Algebra va tahlilning boshlanishi. Didaktik materiallar Uchun

15. Matematikadan Krivonogov vazifalari.

M. “Birinchi sentyabr”, 2002 yil

16. Cherkasov. O'rta maktab o'quvchilari uchun qo'llanma va

universitetlarga kirish. "A S T - matbuot maktabi", 2002 yil

17. Universitetlarga kiradiganlar uchun Zhevnyak.

Minsk va Rossiya Federatsiyasi "Ko'rib chiqish", 1996 yil

18. Yozma D. Matematikadan imtihonga tayyorlanish. M. Rolf, 1999 yil

19. va hokazo Tenglama va tengsizliklarni yechishni o'rganish.

M. “Intellekt – markaz”, 2003 y

20. va hokazo. EGEga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv va o'quv materiallari.

M. «Razvedka - markaz», 2003 va 2004 y.

21 va boshqalar. Rossiya Federatsiyasi Mudofaa vazirligining Sinov markazi, 2002, 2003 y.

22. Goldberg tenglamalari. «Kvant» № 3, 1971 yil

23. Volovich M. Matematikani qanday muvaffaqiyatli o'qitish kerak.

Matematika, 1997 yil 3-son.

Dars uchun 24 Okunev, bolalar! M. Ta'lim, 1988 yil

25. Yakimanskaya – yo'naltirilgan ta'lim maktabda.

26. Liimets sinfda ishlaydi. M. Bilim, 1975 yil

Yakuniy testga tayyorgarlik bosqichida o'rta maktab o'quvchilari "Eksponensial tenglamalar" mavzusi bo'yicha bilimlarini oshirishlari kerak. O'tgan yillar tajribasi shuni ko'rsatadiki, bunday vazifalar maktab o'quvchilari uchun ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun ham yuqori sinf o‘quvchilari tayyorgarlik darajasidan qat’i nazar, nazariyani puxta egallashlari, formulalarni eslab qolishlari va bunday tenglamalarni yechish tamoyilini tushunishlari kerak. Ushbu turdagi muammolarni hal qilishni o'rgangan bitiruvchilar matematikadan Yagona davlat imtihonini topshirishda yuqori ballga ishonishlari mumkin.

Shkolkovo bilan imtihon sinovlariga tayyorlaning!

O'rganilgan materiallarni ko'rib chiqishda ko'plab talabalar tenglamalarni yechish uchun zarur bo'lgan formulalarni topish muammosiga duch kelishadi. Maktab darsligi har doim ham qo'lida emas va Internetda mavzu bo'yicha kerakli ma'lumotlarni tanlash uzoq vaqt talab etadi.

Shkolkovo ta'lim portali talabalarni bilim bazamizdan foydalanishga taklif qiladi. Biz to'liq amalga oshiramiz yangi usul yakuniy testga tayyorgarlik. Bizning veb-saytimizda o'qish orqali siz bilimlardagi kamchiliklarni aniqlay olasiz va eng qiyinchilik tug'diradigan vazifalarga e'tibor bera olasiz.

Shkolkovo o'qituvchilari zarur bo'lgan hamma narsani to'plashdi, tizimlashtirishdi va taqdim etishdi muvaffaqiyatli yakunlash Yagona davlat imtihon materiallari eng oddiy va eng qulay shaklda.

Asosiy ta'riflar va formulalar "Nazariy ma'lumot" bo'limida keltirilgan.

Materialni yaxshiroq tushunish uchun sizga topshiriqlarni bajarishni mashq qilishni tavsiya etamiz. Hisoblash algoritmini tushunish uchun ushbu sahifada keltirilgan yechimlari bilan eksponensial tenglamalar misollarini diqqat bilan ko'rib chiqing. Shundan so'ng, "Kataloglar" bo'limidagi vazifalarni bajarishga o'ting. Siz eng oson vazifalardan boshlashingiz yoki to'g'ridan-to'g'ri bir nechta noma'lum yoki murakkab eksponensial tenglamalarni echishga o'tishingiz mumkin. Bizning veb-saytimizda mashqlar ma'lumotlar bazasi doimiy ravishda to'ldiriladi va yangilanadi.

Sizga qiyinchilik tug'dirgan ko'rsatkichli misollarni "Sevimlilar"ga qo'shish mumkin. Shunday qilib, siz ularni tezda topishingiz va o'qituvchingiz bilan yechimni muhokama qilishingiz mumkin.

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirish uchun har kuni Shkolkovo portalida o'qing!