Ikki sonning eng kichik umumiy karrali bu sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi bilan bevosita bogʻliq. Bu GCD va NOC o'rtasidagi aloqa quyidagi teorema bilan aniqlanadi.

Teorema.

Ikki musbat a va b sonning eng kichik umumiy karrali a va b ning ko‘paytmasini a va b ning eng katta umumiy bo‘luvchisiga bo‘linganiga teng, ya’ni: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Isbot.

Mayli M a va b sonlarining bir necha karrali. Ya'ni, M a ga bo'linadi va bo'linuvchanlik ta'rifi bo'yicha qandaydir butun k soni mavjud bo'lib, M=a·k tenglik to'g'ri bo'ladi. Lekin M ham b ga bo'linadi, u holda a·k b ga bo'linadi.

gcd(a, b) ni d deb belgilaymiz. Shunda a=a 1 ·d va b=b 1 ·d tengliklarini yozishimiz mumkin va a 1 =a:d va b 1 =b:d nisbatan tub sonlar bo‘ladi. Binobarin, a · k ning b ga bo‘linishi haqidagi oldingi bandda olingan shartni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: a 1 · d · k b 1 · d ga bo‘linadi va bu bo‘linish xossalariga ko‘ra shartga ekvivalentdir. a 1 · k b 1 ga bo'linishi.

Bundan tashqari, ikkitasini yozishingiz kerak muhim oqibatlar ko'rib chiqilgan teoremadan.

Ikki sonning umumiy karralari ularning eng kichik umumiy karrali ko‘paytmalari bilan bir xil bo‘ladi.

Bu haqiqatdan ham shunday, chunki a va b sonlarning M ning har qanday umumiy karrali t qandaydir butun son qiymati uchun M=LMK(a, b)·t tengligi bilan aniqlanadi.

O'zaro tub musbat a va b sonlarning eng kichik umumiy karrali ularning ko'paytmasiga teng.

Bu faktning mantiqiy asosi juda aniq. a va b nisbatan tub bo'lganligi sababli, gcd(a, b)=1, demak, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karrali

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topish ikki sonning LCM ni ketma-ket topishga qisqartirilishi mumkin. Buning qanday amalga oshirilishi quyidagi teoremada ko'rsatilgan, a 1 , a 2 , …, a k soni m k-1 va a k sonining umumiy karralilariga to'g'ri keladi, shuning uchun m k sonining umumiy ko'paytmalari mos keladi. Va m k sonining eng kichik musbat karrali m k sonining o‘zi bo‘lgani uchun a 1, a 2, ..., a k sonlarining eng kichik umumiy karrali m k bo‘ladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya. va boshqalar. 6-sinf: umumta’lim muassasalari uchun darslik.
• Vinogradov I.M. Sonlar nazariyasi asoslari.
• Mixelovich Sh.H. Raqamlar nazariyasi.
• Kulikov L.Ya. va boshqalar algebra va sonlar nazariyasi masalalari. Qo'llanma fizika va matematika talabalari uchun. pedagogika institutlarining mutaxassisliklari.

LCMni qanday topish mumkin (eng kichik umumiy ko'p)

Ikki butun sonning umumiy karrali deganda berilgan ikkala songa qoldiq qoldirmasdan boʻlinadigan butun son tushuniladi.

Ikki butun sonning eng kichik umumiy karrali bu berilgan ikkala songa qoldiq qoldirmasdan bo‘linadigan butun sonlarning eng kichigidir.

1-usul. Siz berilgan raqamlarning har biri uchun o'z navbatida LCMni topishingiz mumkin, ularni 1, 2, 3, 4 va hokazolarga ko'paytirish orqali olingan barcha raqamlarni o'sish tartibida yozishingiz mumkin.

Misol 6 va 9 raqamlari uchun.
Biz 6 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 6, 12, 18 , 24, 30
Biz 9 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Ko'rib turganingizdek, 6 va 9 raqamlari uchun LCM 18 ga teng bo'ladi.

Bu usul ikkala raqam ham kichik bo'lganda qulay va ularni butun sonlar ketma-ketligiga ko'paytirish oson. Biroq, LCMni ikki raqamli yoki uchun topishingiz kerak bo'lgan paytlar mavjud uch xonali raqamlar, shuningdek, uchta yoki undan ortiq boshlang'ich raqamlar mavjud bo'lganda.

2-usul. Siz LCMni asl raqamlarni tub omillarga ajratish orqali topishingiz mumkin.
Parchalanishdan so'ng, hosil bo'lgan qatordan asosiy omillarni kesib tashlash kerak bir xil raqamlar. Birinchi raqamning qolgan raqamlari ikkinchisi uchun ko'paytiruvchi bo'ladi va ikkinchisining qolgan raqamlari birinchisi uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Misol 75 va 60 raqamlari uchun.
75 va 60 sonlarining eng kichik umumiy karralini bu sonlarning karralarini ketma-ket yozmasdan topish mumkin. Buning uchun 75 va 60 ni oddiy omillarga ajratamiz:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ko'rib turganingizdek, ikkala qatorda 3 va 5 omillar paydo bo'ladi. Biz ularni aqliy ravishda "chiqib chiqaramiz".
Keling, ushbu raqamlarning har birining kengayishiga kiritilgan qolgan omillarni yozamiz. 75 raqamini parchalashda 5 raqami, 60 raqamini parchalashda esa 2 * 2 qoladi.
Bu shuni anglatadiki, 75 va 60 raqamlari uchun LCMni aniqlash uchun biz 75 (bu 5) kengayishidan qolgan raqamlarni 60 ga ko'paytirishimiz va 60 ning kengayishidan qolgan raqamlarni ko'paytirishimiz kerak (bu 2 ga teng). * 2) 75 ga. Ya'ni, tushunish qulayligi uchun biz "o'zaro" ko'paytiramiz, deymiz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Biz 60 va 75 raqamlari uchun LCMni shunday topdik. Bu 300 raqami.

Misol. 12, 16, 24 raqamlari uchun LCMni aniqlang
IN Ushbu holatda, bizning harakatlarimiz biroz murakkabroq bo'ladi. Lekin birinchi navbatda, har doimgidek, barcha raqamlarni faktorlarga ajratamiz
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCMni to'g'ri aniqlash uchun biz barcha raqamlardan eng kichigini tanlaymiz (bu 12 raqam) va ketma-ket uning omillarini ko'rib chiqamiz, agar boshqa raqamlar qatorlaridan kamida bittasida hali mavjud bo'lmagan bir xil omilga duch kelsak, ularni kesib o'tamiz. chizib tashlangan.

1-qadam. Ko'ramizki, 2 * 2 barcha raqamlar qatorida uchraydi. Keling, ularni kesib o'tamiz.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2-qadam. 12 sonining tub omillarida faqat 3 raqami qoladi, lekin u 24 sonining tub ko'rsatkichlarida mavjud. Biz ikkala qatordan 3 raqamini kesib tashlaymiz, 16 raqami uchun hech qanday harakat kutilmaydi. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ko'rib turganingizdek, 12 raqamini parchalashda biz barcha raqamlarni "chizib tashladik". Bu LOCning topilishi tugallanganligini anglatadi. Qolgan narsa uning qiymatini hisoblashdir.
12 raqami uchun 16 raqamining qolgan omillarini oling (keyingi o'sish tartibida)
12 * 2 * 2 = 48
Bu MOQ

Ko'rib turganingizdek, bu holda, LCMni topish biroz qiyinroq edi, lekin siz uni uch yoki undan ortiq raqam uchun topishingiz kerak bo'lganda, bu usul buni tezroq bajarishga imkon beradi. Biroq, LCMni topishning ikkala usuli ham to'g'ri.

Keling, "LCM - eng kichik umumiy ko'paytma, ta'rif, misollar" bo'limida boshlagan eng kichik umumiy ko'paytma haqida suhbatni davom ettiramiz. Ushbu mavzuda biz uch yoki undan ortiq raqamlar uchun LCM ni topish usullarini ko'rib chiqamiz va biz salbiy sonning LCM ni qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD orqali eng kam umumiy ko'plikni (LCM) hisoblash

Biz allaqachon eng kichik umumiy ko'plik va eng katta o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatdik umumiy bo'luvchi. Keling, GCD orqali LCMni qanday aniqlashni bilib olaylik. Birinchidan, buni ijobiy raqamlar uchun qanday qilishni aniqlaylik.

Ta'rif 1

LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) formulasidan foydalanib, eng katta umumiy bo'luvchi orqali eng kichik umumiy karralini topishingiz mumkin.

1-misol

126 va 70 raqamlarining LCM ni topishingiz kerak.

Yechim

a = 126, b = 70 ni olaylik. Keling, qiymatlarni eng katta umumiy bo'luvchi LCM (a, b) = a · b orqali eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblash formulasiga almashtiramiz: GCD (a, b) .

70 va 126 sonlarining gcd ni topadi. Buning uchun bizga Evklid algoritmi kerak: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, shuning uchun GCD (126 , 70) = 14 .

Keling, LCMni hisoblaylik: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Javob: LCM (126, 70) = 630.

2-misol

68 va 34 raqamlarini toping.

Yechim

Bu holda GCD ni topish qiyin emas, chunki 68 34 ga bo'linadi. Eng kichik umumiy karralini quyidagi formula yordamida hisoblaymiz: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Javob: LCM(68, 34) = 68.

Bu misolda biz a va b musbat butun sonlarning eng kichik umumiy karralini topish qoidasidan foydalandik: agar birinchi son ikkinchisiga boʻlinadigan boʻlsa, bu sonlarning LCM birinchi songa teng boʻladi.

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish

Endi raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan LCMni topish usulini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif 2

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish uchun biz bir necha oddiy amallarni bajarishimiz kerak:

• biz LCMni topishimiz kerak bo'lgan raqamlarning barcha tub omillarining mahsulotini tuzamiz;
• biz ularning hosil bo'lgan mahsulotlaridan barcha asosiy omillarni istisno qilamiz;
• umumiy tub omillarni bartaraf qilgandan keyin olingan mahsulot berilgan sonlarning LCM ga teng bo'ladi.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bu usuli LCM (a, b) = a · b tengligiga asoslanadi: GCD (a, b). Agar siz formulaga qarasangiz, aniq bo'ladi: a va b sonlarining ko'paytmasi bu ikki raqamning parchalanishida ishtirok etadigan barcha omillarning ko'paytmasiga teng. Bunda ikkita sonning gcd i berilgan ikkita sonni faktorizatsiya qilishda bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning ko'paytmasiga teng bo'ladi.

3-misol

Bizda ikkita 75 va 210 raqamlari bor. Biz ularni quyidagicha faktor qilishimiz mumkin: 75 = 3 5 5 Va 210 = 2 3 5 7. Agar siz ikkita asl sonning barcha omillari ko'paytmasini tuzsangiz, siz quyidagilarni olasiz: 2 3 3 5 5 5 7.

Agar ikkala raqam uchun umumiy bo'lgan 3 va 5 omillarni chiqarib tashlasak, hosil bo'ladi quyidagi tur: 2 3 5 5 7 = 1050. Ushbu mahsulot 75 va 210 raqamlari uchun bizning LCM bo'ladi.

4-misol

Raqamlarning LCM ni toping 441 Va 700 , ikkala sonni tub ko'rsatkichlarga ajratish.

Yechim

Shartda berilgan sonlarning barcha tub omillarini topamiz:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Biz ikkita raqamlar zanjirini olamiz: 441 = 3 3 7 7 va 700 = 2 2 5 5 7.

Ushbu raqamlarning parchalanishida ishtirok etgan barcha omillarning mahsuloti quyidagi shaklga ega bo'ladi: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keling, umumiy omillarni topaylik. Bu 7 raqami. Keling, uni istisno qilaylik umumiy mahsulot: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ma'lum bo'lishicha, MOQ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Javob: LOC (441, 700) = 44,100.

Keling, raqamlarni tub omillarga ajratish yo'li bilan LCMni topish usulining yana bir formulasini beraylik.

Ta'rif 3

Ilgari biz ikkala raqam uchun umumiy omillarning umumiy sonidan chiqarib tashladik. Endi biz buni boshqacha qilamiz:

• Keling, ikkala raqamni tub ko'paytiruvchilarga ajratamiz:
• birinchi sonning tub ko'paytmalari ko'paytmasiga ikkinchi sonning etishmayotgan ko'paytmalarini qo'shing;
• biz ikkita raqamdan kerakli LCM bo'ladigan mahsulotni olamiz.

5-misol

Keling, 75 va 210 raqamlariga qaytaylik, ular uchun biz oldingi misollardan birida LCMni qidirgan edik. Keling, ularni oddiy omillarga ajratamiz: 75 = 3 5 5 Va 210 = 2 3 5 7. 3, 5 va omillar ko'paytmasiga 5 75 raqamlari etishmayotgan omillarni qo'shadi 2 Va 7 210 raqamlari. Biz olamiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu 75 va 210 raqamlarining LCMidir.

6-misol

84 va 648 raqamlarining LCM ni hisoblash kerak.

Yechim

Shartdagi raqamlarni oddiy omillarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7 Va 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ko'paytmaga 2, 2, 3 va ko'paytmalarni qo'shamiz 7 raqamlar 84 etishmayotgan omillar 2, 3, 3 va
3 648 raqamlari. Biz mahsulotni olamiz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 648) = 4,536.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Biz qancha raqam bilan shug'ullanishimizdan qat'i nazar, harakatlarimiz algoritmi har doim bir xil bo'ladi: biz ketma-ket ikkita raqamning LCM ni topamiz. Bu holat uchun bir teorema mavjud.

Teorema 1

Faraz qilaylik, bizda butun sonlar bor a 1 , a 2 , … , a k. MOQ m k bu raqamlar m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) ni ketma-ket hisoblash yo'li bilan topiladi.

Endi keling, teoremani aniq masalalarni yechishda qanday qo‘llash mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

7-misol

140, 9, 54 va to'rtta sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblashingiz kerak 250 .

Yechim

Belgilanishni kiritamiz: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Keling, m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) ni hisoblashdan boshlaylik. 140 va 9 sonlarining GCD ni hisoblash uchun Evklid algoritmini qo'llaymiz: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Biz olamiz: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Shuning uchun, m 2 = 1,260.

Endi m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) algoritmidan foydalanib hisoblaylik. Hisob-kitoblar davomida biz m 3 = 3 780 ni olamiz.

Biz faqat m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) ni hisoblashimiz kerak. Biz xuddi shu algoritmga amal qilamiz. Biz m 4 = 94 500 ni olamiz.

Misol shartidagi to'rtta raqamning LCM qiymati 94500 ga teng.

Javob: MOQ (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Ko'rib turganingizdek, hisob-kitoblar oddiy, ammo juda ko'p mehnat talab qiladi. Vaqtni tejash uchun siz boshqa yo'l bilan borishingiz mumkin.

Ta'rif 4

Sizga quyidagi harakatlar algoritmini taklif qilamiz:

• biz barcha sonlarni tub omillarga ajratamiz;
• birinchi sonning ko'paytmalari ko'paytmasiga ikkinchi sonning ko'paytmasidan etishmayotgan ko'paytmalarni qo'shamiz;
• oldingi bosqichda olingan mahsulotga uchinchi raqamning etishmayotgan omillarini va boshqalarni qo'shamiz;
• hosil bo'lgan mahsulot shartdagi barcha sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'ladi.

8-misol

84, 6, 48, 7, 143 beshta raqamdan iborat LCM ni topishingiz kerak.

Yechim

Barcha beshta sonni tub ko‘paytmalarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. 7 raqami bo'lgan tub sonlarni tub omillarga ajratib bo'lmaydi. Bunday raqamlar ularning tub omillarga bo'linishi bilan mos keladi.

Endi 84 sonining 2, 2, 3 va 7 tub ko‘paytmalari ko‘paytmasini olib, ularga ikkinchi sonning yetishmayotgan ko‘paytmalarini qo‘shamiz. Biz 6 raqamini 2 va 3 ga ajratdik. Bu omillar allaqachon birinchi raqamning mahsulotida. Shuning uchun biz ularni o'tkazib yuboramiz.

Biz etishmayotgan multiplikatorlarni qo'shishda davom etamiz. Keling, tub ko'paytmalari ko'paytmasidan 2 va 2 ni oladigan 48 raqamiga o'tamiz. Keyin to'rtinchi sondan 7 ning tub koeffitsientini va beshinchi sonning 11 va 13 ko'paytmalarini qo'shamiz. Biz olamiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu asl besh raqamning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Salbiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish uchun avval bu raqamlarni raqamlar bilan almashtirish kerak qarama-qarshi belgi, va keyin yuqoridagi algoritmlar yordamida hisob-kitoblarni bajaring.

9-misol

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) va LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Agar biz buni qabul qilsak, bunday harakatlar joizdir a Va − a- qarama-qarshi raqamlar;
keyin sonning karralari to'plami a sonning karrali toʻplamiga mos keladi − a.

10-misol

Salbiy raqamlarning LCM ni hisoblash kerak − 145 Va − 45 .

Yechim

Keling, raqamlarni almashtiramiz − 145 Va − 45 ularning qarama-qarshi raqamlariga 145 Va 45 . Endi algoritmdan foydalanib, biz LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 ni hisoblaymiz, bundan oldin Evklid algoritmi yordamida GCD ni aniqlaymiz.

Biz raqamlarning LCM ni - 145 va ekanligini olamiz − 45 teng 1 305 .

Javob: LCM (- 145, - 45) = 1,305.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

A va b sonlari qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi bu raqamlar. GCD(a, b)ni belgilang.

Keling, ikkita misol yordamida GCD ni topishni ko'rib chiqaylik natural sonlar 18 va 60:

1 Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 Birinchi raqamning kengayishidan ikkinchi raqamning kengayishiga kirmaydigan barcha omillarni chiqarib tashlang, biz olamiz 2×3×3 .

3 Chizilgandan keyin qolgan tub omillarni ko'paytiramiz va sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini olamiz: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 E'tibor bering, biz birinchi yoki ikkinchi raqamdan omillarni kesib tashlashimiz muhim emas, natija bir xil bo'ladi:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 Va 432

Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Koeffitsientlari ikkinchi va uchinchi raqamlarda bo'lmagan birinchi raqamni kesib tashlasak, biz quyidagilarni olamiz:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Natijada, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Evklid algoritmi yordamida GCD ni topish

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ikkinchi usuli - foydalanish Evklid algoritmi. Evklid algoritmi eng ko'p samarali usul topish GCD, undan foydalanib, siz doimiy ravishda bo'linuvchi raqamlarning qolgan qismini topib, amal qilishingiz kerak takrorlanish formulasi.

Takrorlanish formulasi GCD uchun, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), bu erda a mod b - b ga bo'lingan a ning qoldig'i.

Evklid algoritmi

Misol Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping 7920 Va 594

GCD ni topamiz( 7920 , 594 ) Evklid algoritmidan foydalanib, biz kalkulyator yordamida bo'linishning qolgan qismini hisoblaymiz.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = GCD( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = GCD( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Natijada biz GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Eng kichik umumiy ko'plik

Topish uchun umumiy maxraj bilan kasrlarni qo'shish va ayirishda turli denominatorlar bilishingiz va hisoblashingiz kerak eng kichik umumiy karra(NOK).

“A” sonining karrali o‘zi “a” soniga qoldiqsiz bo‘linadigan sondir.

8 ga karrali sonlar (ya'ni bu raqamlar 8 ga qoldiqsiz bo'linadi): bular 16, 24, 32... sonlar.

9 ning koʻpaytmalari: 18, 27, 36, 45…

Berilgan a sonining bir xil sonning bo'luvchilaridan farqli o'laroq, cheksiz ko'p karralilari mavjud. Cheklangan sonli bo'luvchilar mavjud.

Ikki natural sonning umumiy karrali bu ikkala songa boʻlinadigan sondir..

Eng kichik umumiy ko'plik Ikki yoki undan ortiq natural sonlar (LCM) eng kichik natural son deb ataladi, uning o'zi shu sonlarning har biriga bo'linadi.

NOCni qanday topish mumkin

LCM ikki shaklda topilishi va yozilishi mumkin.

LOCni topishning birinchi usuli

Bu usul odatda kichik raqamlar uchun qo'llaniladi.

1. Ikkala raqam uchun ham bir xil bo'lgan ko'paytmani topgunimizcha, har bir raqam uchun ko'paytmalarni chiziqqa yozamiz.
2. "A" sonining ko'pligi "K" bosh harfi bilan belgilanadi.

Misol. LCM 6 va 8 ni toping.

LOCni topishning ikkinchi usuli

Ushbu usul uch yoki undan ortiq raqamlar uchun LCMni topish uchun foydalanish uchun qulay.

Raqamlarni parchalashda bir xil omillar soni har xil bo'lishi mumkin.

Kichikroq son(lar)ni kengaytirishda kattaroq sonni kengaytirishga kirmaydigan omillarni ajratib ko'rsating (bizning misolimizda bu 2 ta) va bu omillarni kattaroq sonni kengaytirishga qo'shing.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2

Olingan mahsulotni javob sifatida yozing.
Javob: LCM (24, 60) = 120

Bundan tashqari, eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishni quyidagicha rasmiylashtirishingiz mumkin. LOC ni topamiz (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Raqamlarning parchalanishidan ko'rib turganimizdek, 12 ning barcha omillari 24 ning parchalanishiga (sonlarning eng kattasi) kiradi, shuning uchun biz 16 raqamining parchalanishidan LCMga faqat bitta 2 qo'shamiz.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Javob: LCM (12, 16, 24) = 48

NPL topishning alohida holatlari

Agar raqamlardan biri boshqalarga bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali shu songa teng bo'ladi.

Masalan, LCM (60, 15) = 60
Koʻp tub sonlarning umumiy tub koʻpaytmalari boʻlmagani uchun ularning eng kichik umumiy koʻpaytmasi shu sonlarning koʻpaytmasiga teng boʻladi.

Bizning veb-saytimizda siz hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun onlaynda eng kam umumiy ko'p sonni topish uchun maxsus kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar natural son faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan bo'lsa, u tub son deyiladi.

Har qanday natural son har doim 1 ga va o'ziga bo'linadi.

2 raqami eng kichik tub sondir. Bu yagona juft tub son, qolgan tub sonlar toqdir.

Ko'p tub sonlar mavjud va ular orasida birinchisi 2 raqamidir. Biroq, oxirgi tub raqam yo'q. "O'qish uchun" bo'limida siz jadvalni yuklab olishingiz mumkin tub sonlar 997 gacha.

Ammo ko'pgina natural sonlar boshqa natural sonlarga ham bo'linadi.

• 12 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga bo'linadi;
• 36 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga, 18 ga, 36 ga bo‘linadi.

Raqam butunga bo'linadigan raqamlar (12 uchun bular 1, 2, 3, 4, 6 va 12) sonning bo'luvchilari deyiladi.

Natural sonning boʻluvchisi berilgan “a” sonni qoldiqsiz boʻladigan natural sondir.

Ikkitadan ortiq boʻluvchiga ega boʻlgan natural son kompozitsion son deyiladi.

E'tibor bering, 12 va 36 raqamlari umumiy omillarga ega. Bu raqamlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sonlarning eng katta boʻluvchisi 12 ga teng.

Berilgan ikkita "a" va "b" sonlarning umumiy bo'luvchisi bu ikkala berilgan "a" va "b" sonlar qoldiqsiz bo'lingan sondir.

Eng katta umumiy bo'luvchi Berilgan ikkita “a” va “b” sonning (GCD) har ikkala “a” va “b” sonlari qoldiqsiz bo'linadigan eng katta sondir.

Qisqacha aytganda, "a" va "b" sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi quyidagicha yoziladi::

Misol: gcd (12; 36) = 12.

Yechim belgisidagi raqamlarning bo'luvchilari "D" bosh harfi bilan belgilanadi.

7 va 9 raqamlari faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega - 1 raqami. Bunday raqamlar chaqiriladi umumiy sonlar.

Koʻpaytirish raqamlari- bu faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlar - 1 raqami. Ularning gcd qiymati 1 ga teng.

Eng katta umumiy bo'luvchini qanday topish mumkin

Ikki yoki undan ortiq natural sonlarning gcd ni topish uchun sizga kerak:

• sonlarning bo‘luvchilarini tub ko‘paytuvchilarga ajratish;

Vertikal chiziq yordamida hisob-kitoblarni yozish qulay. Qatorning chap tomonida biz birinchi navbatda dividendni, o'ngda - bo'luvchini yozamiz. Keyinchalik, chap ustunga biz ko'rsatkichlarning qiymatlarini yozamiz.

Keling, buni darhol misol bilan tushuntiramiz. Keling, 28 va 64 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.

Ikkala raqamda ham bir xil asosiy omillarni ta'kidlaymiz.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Bir xil tub ko'paytmalarning ko'paytmasini toping va javobni yozing;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Javob: GCD (28; 64) = 4

GCD ning joylashishini ikki usulda rasmiylashtirishingiz mumkin: ustunda (yuqorida bo'lgani kabi) yoki "qatorda".

gcd yozishning birinchi usuli

gcd 48 va 36 ni toping.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

gcd yozishning ikkinchi usuli

Endi GCD qidiruvining yechimini qatorga yozamiz. gcd 10 va 15 ni toping.

Bizning ma'lumot saytimizda siz hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun eng katta umumiy bo'linuvchi onlayn yordamchidan ham foydalanishingiz mumkin.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish, LCMni topish usullari, misollari.

Quyida keltirilgan material mantiqiy davomi LCM nomli maqoladan nazariyalar - eng kam umumiy ko'plik, ta'rif, misollar, LCM va GCD o'rtasidagi bog'liqlik. Bu erda biz gaplashamiz eng kichik umumiy ko'paytmani topish (LCM), Va Maxsus e'tibor Keling, misollarni echishga e'tibor qarataylik. Birinchidan, biz ushbu raqamlarning GCD yordamida ikkita raqamning LCM qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, raqamlarni tub omillarga ajratish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishni ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz uchta va LCM ni topishga e'tibor qaratamiz Ko'proq raqamlar, shuningdek, salbiy sonlarning LCM ni hisoblashga e'tibor bering.

Sahifani navigatsiya qilish.

GCD orqali eng kam umumiy ko'plikni (LCM) hisoblash

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bir usuli LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlarga asoslanadi. LCM va GCD o'rtasidagi mavjud bog'liqlik bizga ma'lum bo'lgan eng katta umumiy bo'luvchi orqali ikkita musbat butun sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash imkonini beradi. Tegishli formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Keling, berilgan formuladan foydalanib LCMni topish misollarini ko'rib chiqaylik.

126 va 70 ikkita sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Bu misolda a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) formulasi bilan ifodalangan LCM va GCD o'rtasidagi bog'lanishdan foydalanamiz. Ya'ni, avval 70 va 126 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topishimiz kerak, shundan so'ng biz yozma formuladan foydalanib, bu raqamlarning LCM ni hisoblashimiz mumkin.

GCD(126, 70) ni Evklid algoritmi yordamida topamiz: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, demak, GCD(126, 70)=14.

Endi biz kerakli eng kichik umumiy karrali topamiz: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

LCM(68, 34) nimaga teng?

68 34 ga bo'linadiganligi sababli, GCD(68, 34)=34. Endi biz eng kichik umumiy karralini hisoblaymiz: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

E'tibor bering, oldingi misol a va b musbat butun sonlar uchun LCMni topish uchun quyidagi qoidaga mos keladi: agar a b ga bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali a bo'ladi.

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning yana bir usuli raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan. Agar siz berilgan sonlarning barcha tub omillaridan mahsulot tuzsangiz va keyin ushbu ko'paytmadan berilgan raqamlarning parchalanishida mavjud bo'lgan barcha umumiy tub omillarni chiqarib tashlasangiz, natijada olingan mahsulot berilgan sonlarning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi. .

LCM ni topish uchun belgilangan qoida LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) tengligidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, a va b sonlarining ko'paytmasi a va b sonlarining kengayishiga jalb qilingan barcha omillarning mahsulotiga tengdir. O'z navbatida, GCD(a, b) a va b sonlarining kengayishlarida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning mahsulotiga teng (sonlarni tub omillarga kengaytirish yordamida GCDni topish bo'limida tavsiflanganidek).

Keling, misol keltiraylik. 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7 ekanligini bilib olaylik. Ushbu kengayishlarning barcha omillaridan hosilani tuzamiz: 2·3·3·5·5·5·7 . Endi bu mahsulotdan biz 75 sonining kengayishida ham, 210 sonining kengayishida ham mavjud bo'lgan barcha omillarni istisno qilamiz (bu omillar 3 va 5), ​​keyin mahsulot 2·3·5·5·7 ko'rinishini oladi. . Bu ko'paytmaning qiymati 75 va 210 sonlarining eng kichik umumiy karrali, ya'ni LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050 ga teng.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajrating va shu sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

Keling, 441 va 700 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz:

Biz 441=3·3·7·7 va 700=2·2·5·5·7 ni olamiz.

Endi bu sonlarni kengaytirishda ishtirok etuvchi barcha omillardan hosila hosil qilaylik: 2·2·3·3·5·5·7·7. Keling, ushbu mahsulotdan ikkala kengayishda bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha omillarni chiqarib tashlaylik (bunday omil faqat bitta - bu 7 raqami): 2·2·3·3·5·5·7·7. Shunday qilib, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida LCMni topish qoidasi biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin. Agar b sonining kengayishidagi etishmayotgan omillar a sonining kengayishidagi omillarga qo'shilsa, hosil bo'lgan mahsulotning qiymati a va b sonlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Masalan, bir xil 75 va 210 sonlarni olaylik, ularning tub ko'paytuvchilarga bo'linishi quyidagicha: 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7. 75 sonining kengayishidan 3, 5 va 5 koeffitsientlariga 210 sonining kengayishidan etishmayotgan 2 va 7 ko'paytmalarni qo'shamiz, biz 2·3·5·5·7 ko'paytmani olamiz, uning qiymati LCM (75, 210) ga teng.

84 va 648 ning eng kichik umumiy karralini toping.

Biz birinchi navbatda 84 va 648 sonlarining tub omillarga bo'linishlarini olamiz. Ular 84=2·2·3·7 va 648=2·2·2·3·3·3·3 ga o‘xshaydi. 84 sonining kengayishidan 2, 2, 3 va 7 omillarga biz 648 raqamining kengayishidan etishmayotgan 2, 3, 3 va 3 omillarni qo'shamiz, biz 2 2 2 3 3 3 3 3 7 ko'paytmani olamiz, Bu 4 536 ga teng. Shunday qilib, 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali 4536 ga teng.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini ketma-ket ikki raqamning LCM ni topish orqali topish mumkin. Keling, uchta yoki undan ko'p sonlarning LCM ni topishga imkon beradigan tegishli teoremani eslaylik.

a 1 , a 2 , …, a k musbat butun sonlar berilsin, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali m k m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) ni ketma-ket hisoblash yo‘li bilan topiladi. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Bu teoremaning qo‘llanilishini to‘rtta sonning eng kichik umumiy karralini topish misolida ko‘rib chiqamiz.

140, 9, 54 va 250 to'rtta raqamning LCM ni toping.

Avval m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) ni topamiz. Buning uchun Evklid algoritmidan foydalanib, GCD(140, 9) ni aniqlaymiz, bizda 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, shuning uchun GCD(140, 9)=1, undan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Ya'ni, m 2 =1 260.

Endi biz m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54) ni topamiz. Uni GCD(1 260, 54) orqali hisoblaymiz, uni ham Evklid algoritmi yordamida aniqlaymiz: 1 260=54·23+18, 54=18·3. U holda gcd(1,260, 54)=18, undan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Ya'ni, m 3 =3 780.

m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) ni topish qoladi. Buning uchun Evklid algoritmi yordamida GCD(3,780, 250) ni topamiz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Demak, GCD(3,780, 250)=10, undan GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Ya'ni, m 4 =94,500.

Shunday qilib, asl to'rtta sonning eng kichik umumiy karrali 94 500 ga teng.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

Ko'p hollarda berilgan sonlarni tub koeffitsientlarga ajratish yordamida uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topish qulay. Bunday holda siz quyidagi qoidaga amal qilishingiz kerak. Bir nechta sonning eng kichik umumiy karrali koʻpaytmaga teng boʻlib, u quyidagicha tuziladi: ikkinchi sonning kengayishidagi etishmayotgan omillar birinchi sonning kengayishidan boshlab barcha omillarga qoʻshiladi. uchinchi raqam natijaviy omillarga qo'shiladi va hokazo.

Keling, eng kichik umumiy ko‘paytmani tub ko‘paytmalarga ajratish yordamida topish misolini ko‘rib chiqaylik.

84, 6, 48, 7, 143 beshta sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Birinchidan, bu sonlarning tub ko‘paytmalarga bo‘linishini olamiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 - tub son, u mos keladi) tub omillarga parchalanishi bilan) va 143=11·13.

Ushbu raqamlarning LCM ni topish uchun birinchi raqam 84 ning koeffitsientlariga (ular 2, 2, 3 va 7) ikkinchi raqamni kengaytirishdan etishmayotgan omillarni qo'shish kerak. 6 raqamining parchalanishi etishmayotgan omillarni o'z ichiga olmaydi, chunki 2 va 3 ham birinchi raqam 84ning parchalanishida allaqachon mavjud. Keyinchalik, 2, 2, 3 va 7 omillarga uchinchi raqam 48 kengayishidan etishmayotgan 2 va 2 omillarni qo'shamiz, biz 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillar to'plamini olamiz. Keyingi bosqichda ushbu to'plamga ko'paytiruvchilarni qo'shishning hojati yo'q, chunki unda 7 allaqachon mavjud. Nihoyat, 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillarga 143 raqamining kengayishidan etishmayotgan 11 va 13 omillarni qo'shamiz. 2·2·2·2·3·7·11·13 ko‘paytmani olamiz, bu 48,048 ga teng.

Demak, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Ba'zida bitta, bir nechta yoki barcha raqamlar manfiy bo'lgan raqamlarning eng kichik umumiy ko'pligini topish kerak bo'lgan vazifalar mavjud. Bunday hollarda hamma narsa manfiy raqamlar ularni qarama-qarshi raqamlar bilan almashtirishingiz kerak, keyin esa ijobiy sonlarning LCM ni toping. Bu manfiy sonlarning LCM ni topish usuli. Masalan, LCM(54, -34) = LCM(54, 34) va LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Buni qilishimiz mumkin, chunki a ning karrali to‘plami −a ning karrali to‘plami bilan bir xil (a va −a qarama-qarshi sonlar). Haqiqatan ham, b a ning qandaydir karrali bo'lsin, u holda b a ga bo'linadi va bo'linish tushunchasi b=a·q bo'ladigan q butun sonining mavjudligini bildiradi. Lekin b=(−a)·(−q) tengligi ham to‘g‘ri bo‘ladi, bu bo‘linuvchanlik tushunchasining bir xilligi tufayli b ning −a ga bo‘linishini, ya’ni b ning −a ga karrali ekanligini bildiradi. Buning aksi ham to‘g‘ri: agar b −a ning bir necha karrali bo‘lsa, b ham a ning karrali bo‘ladi.

−145 va −45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

−145 va −45 manfiy sonlarni ularning qarama-qarshi sonlari 145 va 45 bilan almashtiramiz. Bizda LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) mavjud. GCD(145, 45)=5 ni aniqlab (masalan, Evklid algoritmidan foydalanib) GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ni hisoblaymiz. Shunday qilib, −145 va −45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karrali 1305 ga teng.

www.cleverstudents.ru

Biz bo'limni o'rganishda davom etamiz. Ushbu darsda biz kabi tushunchalarni ko'rib chiqamiz GCD Va MOQ.

GCD eng katta umumiy boʻluvchidir.

MOQ eng kichik umumiy karradir.

Mavzu juda zerikarli, lekin siz uni albatta tushunishingiz kerak. Ushbu mavzuni tushunmasdan, siz matematikada haqiqiy to'siq bo'lgan kasrlar bilan samarali ishlay olmaysiz.

Eng katta umumiy bo'luvchi

Ta'rif. Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi a Va b a Va b qoldiqsiz bo'linadi.

Ushbu ta'rifni yaxshi tushunish uchun keling, o'zgaruvchilarni almashtiramiz a Va b har qanday ikkita raqam, masalan, o'zgaruvchi o'rniga a Keling, o'zgaruvchining o'rniga 12 raqamini qo'yaylik b raqam 9. Endi ushbu ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi 12 Va 9 bo'lgan eng katta raqam 12 Va 9 qoldiqsiz bo'linadi.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, biz 12 va 9 raqamlarining umumiy bo'luvchisi haqida gapiramiz va bu bo'luvchi barcha mavjud bo'luvchilarning eng kattasidir. Bu eng katta umumiy bo'luvchini (GCD) topish kerak.

Ikki sonning eng katta umumiy bo'luvchisini topish uchun uchta usul qo'llaniladi. Birinchi usul ancha mehnat talab qiladi, lekin u mavzuning mohiyatini aniq tushunish va uning to'liq ma'nosini his qilish imkonini beradi.

Ikkinchi va uchinchi usullar juda oddiy va GCD ni tezda topishga imkon beradi. Biz uchta usulni ko'rib chiqamiz. Va qaysi birini amalda qo'llashni tanlash sizga bog'liq.

Birinchi usul - ikkita sonning barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topish va eng kattasini tanlash. Keling, ushbu usulni ko'rib chiqaylik quyidagi misol: 12 va 9 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini toping.

Birinchidan, biz 12 sonining barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun biz 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarga bo'lamiz. Agar bo'luvchi 12 ni qoldiqsiz bo'lishga imkon bersa, biz uni ajratamiz. ko'k va qavslar ichida tegishli tushuntirish bering.

12: 1 = 12
(12 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 1 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 2 = 6
(12 2 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 2 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 3 = 4
(12 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 3 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 4 = 3
(12 4 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 4 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 5 = 2 (2 ta qoldi)
(12 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 5 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 6 = 2
(12 6 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 6 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 7 = 1 (5 ta qoldi)
(12 7 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 7 soni 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 8 = 1 (4 ta qoldi)
(12 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 8 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 9 = 1 (3 ta qoldi)
(12 9 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 9 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 10 = 1 (2 qoldiq)
(12 10 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 10 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 11 = 1 (1 qoldiq)
(12 11 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 11 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 12 = 1
(12 12 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 12 soni 12 sonining bo'luvchisidir)

Endi 9 sonining bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun 1 dan 9 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarni tekshiring.

9: 1 = 9
(9 soni 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 1 9 sonining bo'luvchisidir)

9: 2 = 4 (1 qoldiq)
(9 2 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 2 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 3 = 3
(9 soni 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 3 9 sonining bo'luvchisidir)

9: 4 = 2 (1 qoldiq)
(9 soni 4 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 4 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 5 = 1 (4 ta qoldi)
(9 soni 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 5 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 6 = 1 (3 ta qoldi)
(9 soni 6 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 6 soni 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 7 = 1 (2 ta qoldi)
(9 soni 7 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 7 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 8 = 1 (1 qoldiq)
(9 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 8 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 9 = 1
(9 soni 9 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 9 soni 9 sonining bo'luvchisidir)

Endi ikkala sonning bo‘luvchilarini yozamiz. Ko'k rang bilan belgilangan raqamlar bo'luvchilardir. Keling, ularni yozamiz:

Bo'luvchilarni yozib bo'lgach, qaysi biri eng katta va eng keng tarqalganligini darhol aniqlashingiz mumkin.

Ta'rifga ko'ra, 12 va 9 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisi 12 va 9 ni qoldiqsiz bo'ladigan sondir. 12 va 9 sonlarining eng katta va umumiy boʻluvchisi 3 raqamidir

12 soni ham, 9 soni ham 3 ga qoldiqsiz bo'linadi:

Shunday qilib, gcd (12 va 9) = 3

GCDni topishning ikkinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo‘luvchini topishning ikkinchi usulini ko‘rib chiqamiz. mohiyati bu usul har ikkala sonni tub koʻpaytiruvchilarga koʻpaytirish va umumiy sonlarni koʻpaytirishdir.

1-misol. 24 va 18 raqamlarining gcd ni toping

Birinchidan, ikkala raqamni tub omillarga ajratamiz:

Endi ularning umumiy omillarini ko'paytiramiz. Chalkashmaslik uchun umumiy omillarni ta'kidlash mumkin.

Biz 24 raqamining kengayishiga qaraymiz. Uning birinchi koeffitsienti 2. 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va u erda ham borligini ko'ramiz. Biz ikkalasini ham ta'kidlaymiz:

Biz yana 24 raqamining kengayishiga qaraymiz. Uning ikkinchi omili ham 2. Biz 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va ikkinchi marta u endi yo'qligini ko'ramiz. Keyin biz hech narsani ta'kidlamaymiz.

24 raqamining kengayishidagi keyingi ikkitasi 18 raqamining kengayishida ham yo'q.

Keling, 24 sonining kengayishidagi oxirgi omilga o'tamiz. Bu 3 omil. Biz 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va u erda ham borligini ko'ramiz. Biz ikkala uchlikni ham ta'kidlaymiz:

Shunday qilib, 24 va 18 raqamlarining umumiy omillari 2 va 3 omillardir. GCD ni olish uchun ushbu omillarni ko'paytirish kerak:

Shunday qilib, gcd (24 va 18) = 6

GCDni topishning uchinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo‘luvchini topishning uchinchi usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, eng katta umumiy bo‘luvchi uchun topiladigan sonlar tub omillarga ajraladi. Keyin birinchi raqamning kengayishidan ikkinchi raqamning kengayishiga kirmaydigan omillar chiziladi. Birinchi kengayishdagi qolgan raqamlar ko'paytiriladi va GCD olinadi.

Masalan, ushbu usul yordamida 28 va 16 raqamlari uchun GCD ni topamiz. Avvalo, biz bu raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

Biz ikkita kengaytmani oldik: va

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ettitani o'z ichiga olmaydi. Keling, uni birinchi kengaytmadan kesib o'tamiz:

Endi biz qolgan omillarni ko'paytiramiz va GCDni olamiz:

4 soni 28 va 16 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu raqamlarning ikkalasi ham 4 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

2-misol. 100 va 40 sonlarining gcd ni toping

100 raqamini faktoring

40 raqamini faktoring

Bizda ikkita kengaytma mavjud:

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi bitta beshni o'z ichiga olmaydi (faqat bitta beshta). Keling, uni birinchi kengayishdan kesib o'tamiz

Qolgan raqamlarni ko'paytiramiz:

20 degan javobni oldik. Bu 20 soni 100 va 40 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu ikki raqam 20 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (100 va 40) = 20.

3-misol. 72 va 128 raqamlarining gcd ni toping

72 raqamini faktoring

128 raqamini faktoring

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ikkita uchlikni o'z ichiga olmaydi (ular umuman yo'q). Keling, ularni birinchi kengaytmadan kesib o'tamiz:

Biz 8 degan javobni oldik. Bu 8 soni 72 va 128 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu ikki raqam 8 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (72 va 128) = 8

Bir nechta raqamlar uchun GCD topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini faqat ikkita emas, balki bir nechta raqamlar uchun topish mumkin. Buning uchun eng katta umumiy bo‘luvchi uchun topiladigan sonlar tub ko‘paytmalarga ajratiladi, so‘ngra bu sonlarning umumiy tub ko‘paytmalari ko‘paytmasi topiladi.

Masalan, 18, 24 va 36 raqamlari uchun GCD ni topamiz

Keling, 18 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Keling, 24 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Keling, 36 sonini koeffitsientlarga ajratamiz

Bizda uchta kengaytma mavjud:

Keling, ushbu raqamlardagi umumiy omillarni ajratib ko'rsatamiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar barcha uchta raqamda paydo bo'lishi kerak:

Biz 18, 24 va 36 raqamlari uchun umumiy omillar 2 va 3 omillar ekanligini ko'ramiz. Bu omillarni ko'paytirsak, biz izlayotgan gcd ni olamiz:

Biz 6 degan javobni oldik. Bu 6 soni 18, 24 va 36 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu uchta raqam 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (18, 24 va 36) = 6

2-misol. 12, 24, 36 va 42 raqamlari uchun GCD ni toping

Keling, har bir sonni tub omillarga ajratamiz. Keyin bu sonlarning umumiy omillari ko'paytmasini topamiz.

12 raqamini ko'paytiring

42 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Bizda to'rtta kengaytma mavjud:

Keling, ushbu raqamlardagi umumiy omillarni ajratib ko'rsatamiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar barcha to'rtta raqamda paydo bo'lishi kerak:

Biz 12, 24, 36 va 42 raqamlarining umumiy omillari 2 va 3 ning koeffitsientlari ekanligini ko'ramiz. Bu omillarni birgalikda ko'paytirish biz izlayotgan gcd ni beradi:

Biz 6 degan javobni oldik. Bu 6 soni 12, 24, 36 va 42 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu raqamlar 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (12, 24, 36 va 42) = 6

Oldingi darsdan bilamizki, agar son boshqasiga qoldiqsiz bo'linsa, bu sonning karrali deyiladi.

Ma'lum bo'lishicha, bir nechta raqamlar umumiy ko'plikka ega bo'lishi mumkin. Va endi biz ikkita raqamning ko'paytmasi bilan qiziqamiz va u imkon qadar kichik bo'lishi kerak.

Ta'rif. Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). a Va b- a Va b a va raqam b.

Ta'rif ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga oladi a Va b. Bu o‘zgaruvchilar o‘rniga istalgan ikkita raqamni qo‘yaylik. Masalan, o'zgaruvchi o'rniga a Keling, o'zgaruvchining o'rniga 9 raqamini qo'yaylik b Keling, 12 raqamini almashtiramiz. Endi ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). 9 Va 12 - Bu eng kichik raqam, bu ko'p sonli 9 Va 12 . Boshqacha qilib aytganda, bu songa qoldiqsiz bo'linadigan juda kichik son 9 va raqam bo'yicha 12 .

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, LCM 9 va 12 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik sondir.

Eng kichik umumiy karrali (LCM) topish uchun siz ikkita usuldan foydalanishingiz mumkin. Birinchi usul shundaki, siz ikkita sonning birinchi karralarini yozishingiz va keyin bu ko'paytmalar orasidan ikkala songa ham, kichikga ham umumiy bo'ladigan raqamni tanlashingiz mumkin. Keling, ushbu usuldan foydalanamiz.

Avval 9 sonining birinchi karralarini topamiz. 9 ning karralarini topish uchun shu to‘qqizni birin-ketin 1 dan 9 gacha bo‘lgan sonlarga ko‘paytirish kerak. Olingan javoblar 9 soniga karrali bo‘ladi. boshlaylik. Ko'p sonlarni qizil rang bilan ajratib ko'rsatamiz:

Endi biz 12 sonining karralarini topamiz. Buning uchun 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha raqamlarga birma-bir ko'paytiramiz.

LCMni qanday hisoblashni tushunish uchun birinchi navbatda "bir nechta" atamasining ma'nosini aniqlash kerak.

A ning ko'paytmasi - A ga qoldiqsiz bo'linadigan natural son Shunday qilib, 5 ga karrali sonlarni 15, 20, 25 va hokazo deb hisoblash mumkin.

Muayyan sonning cheklangan miqdordagi bo'luvchilari bo'lishi mumkin, lekin cheksiz ko'p sonli ko'paytmalar mavjud.

Natural sonlarning umumiy karrali deb ularga qoldiq qoldirmasdan boʻlinadigan songa aytiladi.

Raqamlarning eng kichik umumiy karralisini qanday topish mumkin

Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) (ikki, uch yoki undan ortiq) bu barcha raqamlarga bo'linadigan eng kichik natural sondir.

LOCni topish uchun siz bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin.

Kichik raqamlar uchun bu raqamlarning barcha ko'paytmalarini ular orasida umumiy narsani topmaguningizcha bir qatorga yozish qulay. Koʻpaytmalar bosh K harfi bilan belgilanadi.

Masalan, 4 ning karralari quyidagicha yozilishi mumkin:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Shunday qilib, siz 4 va 6 sonlarining eng kichik umumiy karrali 24 raqami ekanligini ko'rishingiz mumkin. Bu belgi quyidagicha amalga oshiriladi:

LCM(4, 6) = 24

Agar raqamlar katta bo'lsa, uchta yoki undan ko'p sonning umumiy ko'paytmasini toping, keyin LCMni hisoblashning boshqa usulini qo'llash yaxshiroqdir.

Topshiriqni bajarish uchun berilgan sonlarni tub omillarga ko‘paytirish kerak.

Avval siz eng katta raqamning parchalanishini chiziqqa yozishingiz kerak, va uning ostida - qolganlari.

Har bir raqamning kengayishida bo'lishi mumkin turli miqdor multiplikatorlar.

Masalan, 50 va 20 sonlarini tub ko‘paytiruvchilarga ajratamiz.

Kichikroq sonni kengaytirishda siz birinchi eng katta raqamni kengaytirishda etishmayotgan omillarni ajratib ko'rsatishingiz kerak va keyin ularni unga qo'shishingiz kerak. Taqdim etilgan misolda ikkitasi yo'q.

Endi siz 20 va 50 ning eng kichik umumiy karrasini hisoblashingiz mumkin.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Shunday qilib, katta sonning tub omillari va katta sonning kengayishiga kiritilmagan ikkinchi sonning omillari eng kichik umumiy ko'paytma bo'ladi.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish uchun, avvalgi holatda bo'lgani kabi, ularning barchasini tub omillarga kiritishingiz kerak.

Misol tariqasida siz 16, 24, 36 sonlarining eng kichik umumiy karralisini topishingiz mumkin.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Shunday qilib, o'n oltining kengayishidan faqat ikkita ikkitasi kattaroq sonning faktorizatsiyasiga kiritilmagan (biri yigirma to'rtning kengayishida).

Shunday qilib, ular ko'proq sonni kengaytirishga qo'shilishi kerak.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Eng kichik umumiy ko'paytmani aniqlashning alohida holatlari mavjud. Demak, agar sonlardan birini qoldiqsiz boshqasiga bo‘lish mumkin bo‘lsa, bu sonlarning kattasi eng kichik umumiy karrali bo‘ladi.

Misol uchun, o'n ikki va yigirma to'rtning LCM yigirma to'rtta.

Agar bir xil boʻluvchilari boʻlmagan koʻp tub sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish zarur boʻlsa, ularning LKM koʻpaytmasiga teng boʻladi.

Masalan, LCM (10, 11) = 110.