Tayyor topshiriqlar banki. Tebranish harakatining dinamikasi - Knowledge Hipermarketi

8-sonli ma’ruza

Mexanika

Tebranishlar

Tebranish harakati. Tebranish harakatining kinematik va dinamik xususiyatlari. Matematik, fizik va prujinali mayatnik.

Biz tebranish jarayonlari bizning dunyomizning ajralmas qismi bo'lgan va hamma joyda uchraydigan dunyoda yashayapmiz.

Tebranish jarayoni yoki tebranish - bu turli darajadagi takrorlanish darajasi bilan tavsiflangan jarayon.

Agar tebranuvchi miqdor o'z qiymatlarini teng vaqt oralig'ida takrorlasa, bunday tebranishlar davriy, bu vaqt oralig'i esa tebranish davri deb ataladi.

Hodisaning fizik tabiatiga qarab, tebranishlar ajralib turadi: mexanik, elektromexanik, elektromagnit va boshqalar.

Tebranishlar tabiatda va texnologiyada keng tarqalgan. Mexanikaning ayrim tarmoqlari asosida tebranish jarayonlari yotadi. Ushbu ma'ruza kursida biz faqat mexanik tebranishlar haqida gapiramiz.

Tebranishlar tizimiga ta'sir qilish xususiyatiga ko'ra tebranishlar quyidagilarga bo'linadi: 1. Erkin yoki tabiiy, 2. Majburiy tebranishlar, 3. O'z-o'zidan tebranishlar, 4. Parametrik tebranishlar.

Erkin tebranishlar - tashqi ta'sirsiz yuzaga keladigan va dastlabki "surish" tufayli yuzaga keladigan tebranishlar.

Majburiy tebranishlar davriy tashqi kuch ta'sirida sodir bo'ladi

O'z-o'zidan tebranishlar tashqi kuch ta'sirida ham sodir bo'ladi, lekin kuchning tizimga ta'sir qilish momentini tebranish tizimining o'zi belgilaydi.

Parametrik tebranishlar bilan tashqi ta'sirlar tufayli tizim parametrlarining davriy o'zgarishi sodir bo'ladi, bu esa ushbu turdagi tebranishlarni keltirib chiqaradi.

Eng oddiy shakli garmonik tebranishlardir

Garmonik tebranishlar qonunga muvofiq sodir bo'ladigan tebranishlardirgunoh yokicos . Garmonik tebranishlarga misol sifatida matematik mayatnikning tebranishini keltirish mumkin

Tebranish jarayonida tebranuvchi miqdorning maksimal og'ishi deyiladi tebranishlar amplitudasi(A) . Bitta to'liq tebranishni bajarish uchun ketadigan vaqt deyiladi tebranish davri(T) . Tebranish davrining teskarisi deyiladi tebranish chastotasi(). Ko'pincha 2 ga ko'paytiriladigan tebranishlar deyiladi siklik chastotasi(). Shunday qilib, garmonik tebranishlar ifoda bilan tavsiflanadi

Bu yerga ( t+  0 ) tebranish fazasi va  0 - boshlang'ich bosqich

Eng oddiy mexanik tebranish tizimlari matematik, bahor va fizik mayatnik deb ataladi. Keling, ushbu mayatniklarni batafsil ko'rib chiqaylik

8.1. Matematik mayatnik

Matematik mayatnik - cho'zilmaydigan vaznsiz ipda tortishish maydonida osilgan massiv nuqta tanasidan iborat tebranish tizimi.

Pastki nuqtada mayatnik minimal potentsial energiyaga ega. Mayatnikni  burchakka buramiz. Massiv nuqta tanasining og'irlik markazi balandlikka ko'tariladi  h va shu bilan birga mayatnikning potentsial energiyasi miqdorga ortadi mg h. Bundan tashqari, egilgan holatda, yuk tortishish va ipning kuchlanishiga ta'sir qiladi. Bu kuchlarning ta'sir chiziqlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi va natijaviy kuch yukga ta'sir qilib, uni muvozanat holatiga qaytarishga intiladi. Agar yuk ushlab turmasa, bu kuch ta'sirida u o'zining dastlabki muvozanat holatiga o'ta boshlaydi, tezlikning oshishi tufayli uning kinetik energiyasi ortadi, potentsial energiya esa kamayadi. Muvozanat nuqtasiga erishilganda, hosil bo'lgan kuch tanaga ta'sir qilmaydi (bu nuqtadagi tortishish kuchi ipning kuchlanish kuchi bilan qoplanadi). Bu vaqtda tananing potentsial energiyasi minimal bo'ladi va kinetik energiya, aksincha, maksimal qiymatga ega bo'ladi. Inertsiya bilan harakatlanadigan tana muvozanat holatidan o'tadi va undan uzoqlasha boshlaydi, bu esa tananing harakatiga qarshi yo'naltirilgan natijaviy kuchning (kuchlanish va tortishish kuchidan) paydo bo'lishiga olib keladi. , uni tormozlash. Shu bilan birga, yukning kinetik energiyasi pasayishni boshlaydi va uning potentsial energiyasi ortadi. Bu jarayon kinetik energiya zahiralari to'liq tugaguncha va potensial energiyaga aylanmaguncha davom etadi. Bunday holda, yukning muvozanat holatidan og'ishi maksimal qiymatga etadi va jarayon takrorlanadi. Tizimda ishqalanish bo'lmasa, yuk cheksiz tebranadi.

Shunday qilib, tebranish mexanik tizimlar muvozanat holatidan chetga chiqqanda, tizimda tizimni muvozanat holatiga qaytarishga moyil bo'lgan tiklovchi kuch paydo bo'lishi bilan tavsiflanadi. Bunday holda, tebranishlar yuzaga keladi, bu tizimning potentsial energiyasini uning kinetik energiyasiga va aksincha davriy ravishda o'tishi bilan birga keladi.

Keling, tebranish jarayonini hisoblaylik. kuch momenti M mayatnikga ta'sir qilish aniq tengdir - mglsin Minus belgisi kuch momenti yukni muvozanat holatiga qaytarishga moyilligini aks ettiradi. Boshqa tomondan, aylanish harakatining asosiy qonuniga ko'ra M=ID 2  / dt 2 . Shunday qilib, biz tenglikni olamiz

B
Biz mayatnikning muvozanat holatidan faqat kichik og'ish burchaklarini ko'rib chiqamiz. Keyin gunoh ≈  . Va bizning tengligimiz quyidagi shaklni oladi:

D
Matematik mayatnik uchun bu to'g'ri I= ml 2 . Ushbu tenglikni hosil bo'lgan ifodaga almashtirib, biz matematik mayatnikning tebranish jarayonini tavsiflovchi tenglamaga ega bo'lamiz:

Bu differentsial tenglama tebranish jarayonini tavsiflaydi. Bu tenglamaning yechimi garmonik funksiyalardir gunoh( t+  0 ) yoki cos ( t+  0 ) Haqiqatan ham, biz ushbu funktsiyalardan birini tenglamaga almashtiramiz va olamiz:  2 = g/ l. Shunday qilib, agar bu shart bajarilsa, u holda funktsiyalar gunoh( t+  0 ) yoki cos( t+  0 ) tebranishlarning differensial tenglamasini o'ziga xoslikka aylantiring.

HAQIDA
Bu yerda garmonik mayatnikning siklik chastotasi va tebranish davri quyidagicha ifodalanadi:

Tebranishlar amplitudasi masalaning dastlabki shartlaridan topiladi.

Ko'rib turganimizdek, matematik mayatnikning tebranish chastotasi va davri yukning massasiga bog'liq emas va faqat erkin tushish tezlashishiga va osma ipning uzunligiga bog'liq bo'lib, bu mayatnik sifatida foydalanishga imkon beradi. erkin tushish tezlanishini aniqlash uchun oddiy, lekin juda aniq qurilma.

Mayatnikning yana bir turi - bu tananing biron bir nuqtasida osilgan va tebranish harakatini amalga oshirish qobiliyatiga ega bo'lgan har qanday jismoniy tanadir.

8.2. Fizik mayatnik

IN Keling, ixtiyoriy jismni olaylik, uni qaysidir nuqtada uning massa markaziga to'g'ri kelmaydigan o'q bilan teshamiz, uning atrofida tana erkin aylana oladi. Keling, tanani shu o'qda to'xtatib, uni muvozanat holatidan ma'lum bir burchakka burib qo'yamiz  .

T
inertsiya momenti bo'lgan tanada bo'lganda I o'qiga nisbatan HAQIDA muvozanat holatiga qaytish lahzasi bo'ladi M = - mglsin va fizik mayatnikning tebranishlari, xuddi matematik kabi, differentsial tenglama bilan tavsiflanadi:

Turli fizik mayatniklar uchun inersiya momenti turlicha ifodalanganligi sababli, biz uni matematik mayatnikdagi kabi tasvirlamaymiz. Bu tenglama, shuningdek, tebranish tenglamasi ko'rinishiga ega bo'lib, uning yechimi garmonik tebranishlarni tavsiflovchi funktsiyalardir. Bunday holda, tsiklik chastota ( ) , tebranish davri (T) quyidagicha aniqlanadi:

Fizik mayatnikda tebranish davri matematik mayatnikdagidek uning massasiga emas, balki uning geometriyasiga bog'liqligini ko'ramiz. Darhaqiqat, inersiya momentining ifodasi mayatnikning birinchi darajagacha bo'lgan massasini o'z ichiga oladi. Tebranish davrini ifodalashda inersiya momenti payda, mayatnikning massasi esa maxrajda, shuningdek, birinchi darajaga teng. Shunday qilib, hisoblagichdagi massa maxrajdagi massa bilan bekor qilinadi.

Jismoniy mayatnik yana bir xususiyatga ega: qisqargan uzunlik.

Fizik mayatnikning qisqartirilgan uzunligi matematik mayatnikning uzunligi bo'lib, uning davri fizik mayatnik davriga to'g'ri keladi.

Ushbu ta'rif berilgan uzunlik uchun ifodani aniqlashni osonlashtiradi.

Ushbu ifodalarni taqqoslab, biz olamiz

Agar osma nuqtasidan fizik mayatnikning massa markazi orqali o'tkazilgan chiziqda biz fizik mayatnikning qisqargan uzunligini (to'xtatib turish nuqtasidan boshlab) chizamiz, u holda bu segmentning oxirida nuqta bo'ladi. ajoyib xususiyatga ega. Agar fizik mayatnik shu nuqtadan to'xtatilgan bo'lsa, u holda uning tebranish davri mayatnikni oldingi osma nuqtasiga osib qo'ygandagidek bo'ladi. Bu nuqtalar fizik mayatnikning tebranish markazlari deb ataladi.

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan yana bir oddiy tebranish tizimini ko'rib chiqaylik

8.3. Bahor mayatnik

P Tasavvur qilaylik, buloq oxirida qattiqlik koeffitsienti bilan k massa yuki biriktirilgan m.

Agar prujinani cho'zish orqali yukni x o'qi bo'ylab harakatlantirsak, u holda muvozanat holatiga qaytadigan kuch yukga ta'sir qiladi. F qaytish = - kx. Agar yuk bo'shatilsa, bu kuch tezlashishiga olib keladi d 2 x / dt 2 . Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:

md 2 x / dt 2 = - kx bu tenglamadan biz prujinaga yukning yakuniy ko'rinishidagi tebranish tenglamasini olamiz: d 2 x / dt 2 + (k/ m) x = 0

E
u holda tebranishlar tenglamasi ko'rib chiqilgan holatlardagi tebranishlar tenglamalari bilan bir xil ko'rinishga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglamaning yechimi bir xil garmonik funktsiyalar bo'ladi. Tebranishlarning chastotasi va davri mos ravishda teng bo'ladi

Bundan tashqari, tortishish hech qanday tarzda bahor mayatnikining tebranishlariga ta'sir qilmaydi. Chunki bu holda bu doimiy ta'sir qiluvchi omil bo'lib, har doim bir yo'nalishda harakat qiladi va tiklovchi kuchga hech qanday aloqasi yo'q.

Shunday qilib, mexanik tebranish tizimidagi tebranish jarayonini ko'rib turganimizdek, u birinchi navbatda tizimda mavjudligi bilan tavsiflanadi. kuchni tiklash tizimga ta'sir qiladi va tebranishlarning o'zi quyidagilar bilan tavsiflanadi: tebranishlar amplitudasi, ularning davri, tebranish chastotasi va fazasi.

Tugallangan ishlar

DARAJA ISHLARI

Ko'p narsa allaqachon o'tdi va endi siz bitiruvchisiz, agar, albatta, dissertatsiyani o'z vaqtida yozsangiz. Ammo hayot shundayki, endigina sizga ayon bo'ladiki, siz talabalikdan to'xtaganingizdan so'ng, siz hech qachon sinab ko'rmagan barcha talabalik quvonchlarini yo'qotasiz, hamma narsani keyinga qo'yib, keyinga qoldirasiz. Va endi, siz yetib olish o'rniga, dissertatsiya ustida ishlayapsizmi? Ajoyib yechim bor: kerakli dissertatsiyani bizning veb-saytimizdan yuklab oling - va siz darhol ko'p bo'sh vaqtga ega bo'lasiz!
Dissertatsiyalar Qozog‘iston Respublikasining yetakchi universitetlarida muvaffaqiyatli himoya qilingan.
Ishning narxi 20 000 tengedan

KURS ISHLARI

Kurs loyihasi birinchi jiddiy amaliy ishdir. Kurs ishini yozish bilan diplom loyihalarini ishlab chiqishga tayyorgarlik boshlanadi. Agar talaba kurs loyihasida mavzu mazmunini to‘g‘ri taqdim etishni va uni to‘g‘ri formatlashni o‘rgansa, kelajakda u hisobot yozishda, tezislar tuzishda yoki boshqa amaliy topshiriqlarni bajarishda hech qanday muammoga duch kelmaydi. Talabalarga ushbu turdagi talabalar ishini yozishda yordam berish va uni tayyorlash jarayonida yuzaga keladigan savollarga aniqlik kiritish uchun, aslida, ushbu ma'lumot bo'limi yaratilgan.
Ishning narxi 2500 tengedan

Magistrlik dissertatsiyalari

Hozirda Qozog‘iston va MDH davlatlarining oliy o‘quv yurtlarida bakalavriatdan keyingi oliy kasbiy ta’lim darajasi juda keng tarqalgan – magistratura. Magistraturada talabalar dunyoning aksariyat mamlakatlarida bakalavriatdan ko‘ra ko‘proq tan olingan, xorijlik ish beruvchilar tomonidan ham e’tirof etilgan magistr darajasini olish maqsadida ta’lim oladilar. Magistraturada o‘qish natijasi magistrlik dissertatsiyasini himoya qilish hisoblanadi.
Biz sizga eng so'nggi tahliliy va matnli materiallarni taqdim etamiz, bu narxga 2 ta ilmiy maqola va tezis kiradi.
Ishning narxi 35 000 tengedan

AMALIYOT HISOBOTLARI

Talabalar amaliyotining har qanday turini (o'quv, ishlab chiqarish, bitiruvgacha) tugatgandan so'ng, hisobot talab qilinadi. Ushbu hujjat talabaning amaliy ishini tasdiqlash va amaliyot uchun baholashni shakllantirish uchun asos bo'ladi. Odatda, amaliyot to'g'risida hisobot tuzish uchun siz korxona to'g'risida ma'lumot to'plashingiz va tahlil qilishingiz, amaliyot o'tayotgan tashkilotning tuzilishi va ish tartibini ko'rib chiqishingiz, kalendar rejasini tuzishingiz va amaliy ishingizni tavsiflashingiz kerak. tadbirlar.
Biz sizga ma'lum bir korxona faoliyatining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda amaliyot o'tash haqida hisobot yozishda yordam beramiz.

o'pka

yurak

Dars mavzusi: “Erkin va majburiy tebranishlar. Tebranish harakatining dinamikasi".

• Mexanik tebranishlar - bu ma'lum vaqt oralig'ida aniq yoki taxminan takrorlanadigan harakatlar.

Tebranishlarning asosiy turlari

majbur

ozod

tashqi davriy o'zgaruvchan kuchlar ta'sirida jismlarning tebranishlari deyiladi.

tizim muvozanat holatidan chiqarib, keyin o'z holiga qo'yilgandan keyin ichki kuchlar ta'sirida tizimdagi tebranishlar deyiladi.

Mayatnik - ipga osilgan yoki tortishish kuchi ta'sirida tebranishi mumkin bo'lgan o'qga mahkamlangan jism.

Mayatnik turlari

Bahor- prujinaga osilgan va prujinaning elastik kuchi ta'sirida tebranuvchi jism.

Matematik (mavzu) vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtadir.

Tebranishlarning paydo bo'lish shartlari

• Tana muvozanat holatidan chiqarilganda, tizimda muvozanat holatiga yo'naltirilgan va shuning uchun tanani muvozanat holatiga qaytarishga moyil bo'lgan kuch paydo bo'ladi.

• Tizimdagi ishqalanish juda past bo'lishi kerak.

• Amplituda - tananing muvozanat holatidan eng katta siljishi moduli.

X maks yoki A

Metrlarda o'lchanadi

• Davr T – bitta to'liq tebranish vaqti.

Bir necha soniyalarda o'lchanadi

Tebranish davri

Matematika uchun

mayatnik

Bahor uchun

mayatnik

(Gyuygens formulasi)

Chastotasi - vaqt birligidagi to'liq tebranishlar soni.

Gertsda o'lchanadi

• Tsiklik (aylana) tebranish chastotasi – boshiga moddiy nuqta tomonidan bajariladigan tebranishlar soniga teng chastota

Bir soniyada radyanlarda o'lchanadi

Tebranishlar dunyosi

• Tebranishlar tabiat va texnologiyadagi eng keng tarqalgan jarayonlardan biridir.
• uchayotgan hasharotlar va qushlarning qanotlari,
• ko'p qavatli binolar va yuqori voltli simlar shamol ta'sirida;
• o'ralgan soatning mayatnik va haydash paytida buloqlarda avtomobil
• yil davomida daryo darajasi va kasallik paytida inson tanasining harorati.

Bir oz tarix...

Galileo Galiley (1564-1642)

Buyuk italyan olimi aniq tabiatshunoslikni yaratuvchilardan biridir.

Bir kuni u cherkovda Men ulkan qandilning tebranishini tomosha qildim va vaqtni yurak urishimga qarab belgiladim. Keyinchalik u bir marta tebranish uchun ketadigan vaqt mayatnik uzunligiga bog'liqligini aniqladi - agar mayatnik to'rtdan uch qismga qisqartirilsa, vaqt ikki barobarga qisqaradi.

Bir oz tarix...

Mayatnikning eng mashhur amaliy qo'llanilishi vaqtni o'lchash uchun soatlardadir. Buni birinchi marta golland fizigi X. Gyuygens amalga oshirgan. Olim qariyb qirq yil davomida soatlarni, birinchi navbatda, mayatniklarni yaratish va takomillashtirish vazifasi ustida ishladi: 1656 yildan 1693 yilgacha Gyuygens matematik mayatnikning tebranish davrini aniqlash formulasini oldi. Bundan oldin vaqt suv oqimi, mash'al yoki shamning yonishi bilan o'lchangan.

Fuko mayatnik

1850 yilda J. Fuko baland bino gumbazi ostiga mayatnikni osib qo'ydi, shunda mayatnikning uchi tebranayotganda polga quyilgan qumda iz qoldirdi. Ma'lum bo'lishicha, har bir rulon bilan uchi qumda yangi iz qoldiradi.

Shunday qilib, Fuko tajribasi Yerning o'z o'qi atrofida aylanishini ko'rsatdi.

Dastlab, tajriba tor doirada o'tkazildi, ammo Napoleon juda qiziqdi III, Frantsiya imperatori, u Fukoga buni Parijdagi Panteon gumbazi ostida ommaviy ravishda takrorlashni taklif qildi. Bu ommaviy namoyish odatda Fuko tajribasi deb ataladi.

Geologiyada mayatnik eksperimental ravishda raqamli qiymatni aniqlash uchun ishlatiladi g yer yuzasining turli nuqtalarida. Buning uchun ular o'lchagan joyda mayatnikning etarlicha katta miqdordagi tebranishlariga asoslanadi. g , uning tebranishlar davrini toping T, va g formula bo'yicha hisoblab chiqiladi:

Qiymatda sezilarli og'ish g har qanday maydon uchun normadan tortishish anomaliyasi deyiladi. Anomaliyalarni aniqlash foydali qazilmalar konlarini aniqlashga yordam beradi.

Laboratoriya ishi “Maatnik yordamida erkin tushish tezlanishini aniqlash”

Ishning maqsadi: matematik mayatnik yordamida tortishish tezlanishini o'lchashni eksperimental tarzda o'rganish.

Uskunalar: tripod, torli shar, soat, o‘lchagich.

Taklif etilgan uchta oyatdan dars oxiridagi holatingizni tavsiflovchi birini tanlang .

1. Ko'zlar porlaydi Ruh kuladi Va mening aqlim kuylaydi: “Bilim sari”!

2. Men bugun baxtli emasman Sukunatda xafa bo'ldim, Olisda tebranishlar haqida hamma narsa chaqnadi.

3. Barcha bilimlaringizni eslab, Va fiziklar dunyoni tushunadilar, Onam taqdiridan minnatdorman, Dunyoda tebranishlar borligini

va biz ularning hammasini sanab bo'lmaydi!

Matematik mayatnik oddiy mayatnikning modelidir. Matematik mayatnik - uzun vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqta.

Keling, to'pni muvozanat holatidan olib, uni qo'yib yuboramiz. To'pga ikkita kuch ta'sir qiladi: tortishish va ipning kuchlanishi. Mayatnik harakat qilganda, unga havo ishqalanish kuchi ta'sir qiladi. Ammo biz buni juda kichik deb hisoblaymiz.

Keling, tortishish kuchini ikkita komponentga ajratamiz: ip bo'ylab yo'naltirilgan kuch va to'pning traektoriyasiga teginishga perpendikulyar yo'naltirilgan kuch.

Bu ikki kuchning qoʻshilishi tortishish kuchiga toʻgʻri keladi. Ipning elastik kuchlari va tortishish komponenti Fn to'pga markazlashtirilgan tezlanishni beradi. Bu kuchlar tomonidan bajariladigan ish nolga teng bo'ladi va shuning uchun ular faqat tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradilar. Vaqtning istalgan lahzasida u aylana yoyiga tangensial ravishda yo'naltiriladi.

Og'irlik komponenti Ft ta'sirida to'p aylana yoy bo'ylab kattaligi ortib borayotgan tezlik bilan harakatlanadi. Bu kuchning qiymati muvozanat holatidan o'tayotganda har doim kattalikda o'zgaradi, u nolga teng;

Tebranish harakatining dinamikasi

Elastik kuch ta'sirida tebranuvchi jismning harakat tenglamasi.

Umumiy harakat tenglamasi:

Tizimdagi tebranishlar elastik kuch ta'sirida yuzaga keladi, bu Guk qonuniga ko'ra, yukning siljishiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Keyin to'pning harakat tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ushbu tenglamani m ga bo'linadi, biz quyidagi formulani olamiz:

Va massa va elastiklik koeffitsienti doimiy miqdorlar bo'lgani uchun nisbat (-k/m) ham doimiy bo'ladi. Biz elastik kuch ta'sirida jismning tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani oldik.

Tananing tezlashishi proyeksiyasi qarama-qarshi belgi bilan olingan uning koordinatasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'ladi.

Matematik mayatnikning harakat tenglamasi

Matematik mayatnikning harakat tenglamasi quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Bu tenglama massaning prujinali harakat tenglamasi bilan bir xil shaklga ega. Binobarin, mayatnikning tebranishlari va sharning prujinali ustidagi harakatlari bir xil tarzda sodir bo'ladi.

Sharning prujinada siljishi va mayatnik tanasining muvozanat holatidan siljishi vaqt o'tishi bilan bir xil qonunlar bo'yicha o'zgaradi.

Prujinaning elastik kuchi ta'sirida jismning tebranishlarini yoki ipga osilgan sharning tebranishlarini miqdoriy tavsiflash uchun Nyutonning mexanika qonunlaridan foydalanamiz.

Elastik kuch ta'sirida tebranuvchi jismning harakat tenglamasi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra, jismning massasi m va uning tezlanishi ko'paytmasi tanaga qo'llaniladigan barcha kuchlarning F ga teng:

Bu harakat tenglamasi. Prujinaning elastik kuchi ta'sirida gorizontal bo'ylab to'g'ri chiziqli harakatlanuvchi shar uchun harakat tenglamasini yozamiz (3.3-rasmga qarang). OX o'qini o'ngga yo'naltiramiz. Koordinatalarning kelib chiqishi to'pning muvozanat holatiga mos kelsin (3.3, a-rasmga qarang).

OX o'qiga proyeksiyada harakat tenglamasini (3.1) quyidagicha yozish mumkin: ma x = F x boshqaruv, bunda a x va F x boshqaruv mos ravishda prujinaning bu o'qdagi tezlanish va elastik kuchining proyeksiyalaridir. .

Guk qonuniga ko'ra, F x ynp proyeksiyasi to'pning muvozanat holatidan siljishiga to'g'ridan-to'g'ri proporsionaldir. Ko'chish to'pning x koordinatasiga teng bo'lib, kuchning proyeksiyasi va koordinatasi qarama-qarshi belgilarga ega (3.3-rasmga qarang, b, c). Demak,

F x ypp = -khx, (3.2)

(3.3) tenglamaning chap va o'ng tomonlarini m ga bo'lib, hosil bo'ladi

Massa m va qattiqlik k doimiy qiymatlar ekan, ularning nisbati ham doimiy qiymatdir.

Biz elastik kuch ta'sirida jismning tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani oldik. Bu juda oddiy: jism tezlanishining proyeksiya oqi uning qarama-qarshi belgisi bilan olingan x koordinatasiga to'g'ridan-to'g'ri proporsionaldir.

Matematik mayatnikning harakat tenglamasi. To'p cho'zilmaydigan ipda tebranganda, u doimo aylana yoyi bo'ylab harakatlanadi, uning radiusi ipning uzunligi l ga teng. Shuning uchun, har qanday vaqtda to'pning holati bitta qiymat bilan belgilanadi - ipning vertikaldan og'ish burchagi a. Mayatnik muvozanat holatidan o'ngga egilgan bo'lsa, a burchakni musbat, chapga egilgan bo'lsa manfiy deb hisoblaymiz (3.5-rasmga qarang). Traektoriyaga tegish musbat burchak mos yozuviga yo'naltirilgan deb hisoblanadi.

Mayatnikning traektoriyasiga teguvchiga tortish kuchining proyeksiyasini F t bilan belgilaymiz. Mayatnik ipi muvozanat holatidan a burchakka burilish paytidagi bu proyeksiya quyidagilarga teng:

F t = -mg sin a. (3.5)

“-” belgisi bu yerda, chunki F t va a miqdorlari qarama-qarshi belgilarga ega. Mayatnik o'ngga burilganda (a > 0), tortishish komponenti t chapga yo'naltiriladi va uning proyeksiyasi manfiy bo'ladi: F t.< 0. При отклонении маятника влево (α < 0) эта проекция положительна: F τ > 0.

Mayatnik tezlanishining uning trayektoriyasiga teguvchiga proyeksiyasini t bilan belgilaymiz. Bu proyeksiya mayatnik tezligi modulining o'zgarish tezligini xarakterlaydi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra

ma t = -mg sin a. (3.6)

Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini m ga bo'lib, biz hosil bo'lamiz

va t = -g sin a. (3.7)

Ilgari, mayatnik ipining vertikaldan egilish burchaklari har qanday bo'lishi mumkin deb taxmin qilingan. Quyida biz ularni kichik deb hisoblaymiz. Kichik burchaklar uchun, agar burchak radian bilan o'lchansa,

Shuning uchun, qabul qilish mumkin

va t = -ga. (3.8)

Agar a burchak kichik bo'lsa, u holda tezlanish proyeksiyasi OX o'qidagi tezlanish proyeksiyasiga taxminan teng bo'ladi: a t ≈ a x (3.5-rasmga qarang). ABO uchburchagidan kichik a burchak uchun biz:

Bu ifodani a burchak oʻrniga tenglikka (3.8) qoʻyib, hosil boʻlamiz

Bu tenglama prujinaga biriktirilgan sharning tezlanishi uchun tenglama (3.4) bilan bir xil shaklga ega. Binobarin, bu tenglamaning yechimi (3.4) tenglamaning yechimi bilan bir xil ko'rinishga ega bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, to'pning harakati va mayatnikning tebranishlari bir xil tarzda sodir bo'ladi. Koptokning prujinali va mayatnik tanasining muvozanat holatidan siljishlari tebranishlarni keltirib chiqaruvchi kuchlar boshqa fizik tabiatga ega bo'lishiga qaramay, vaqt o'tishi bilan bir xil qonun bo'yicha o'zgaradi. (3.4) va (3.10) tenglamalarni m ga ko'paytirib, Nyutonning ikkinchi qonuni ma x = F x pezni eslab, xulosa qilishimiz mumkinki, bu ikki holatda tebranishlar kuchlar ta'sirida sodir bo'ladi, ularning natijasi siljish bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. tebranish jismining muvozanat holatidan va bu siljishga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan.

(3.10) kabi tenglama (3.4) juda oddiy: tezlanish koordinataga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir (muvozanat holatidan siljish).