Arifmetik kvadrat ildiz tushuntirish. Kvadrat ildiz nima

Arifmetik kvadrat ildiz tushuntirish. Kvadrat ildiz nima
Arifmetik kvadrat ildiz tushuntirish. Kvadrat ildiz nima
21.09.2019

1-fakt.
\(\ bullet\) Keling, bir nechta noaniqlarni olaylik manfiy raqam\(a\) (ya'ni, \(a\geqslant 0\) ). Keyin (arifmetik) kvadrat ildiz sonidan \(a\) shunday manfiy bo'lmagan son deyiladi \(b\) , kvadratga aylantirilganda \(a\) raqamini olamiz: \[\sqrt a=b\quad \matn(bir xil )\quad a=b^2\] Ta'rifdan kelib chiqadiki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu cheklovlar muhim shart mavjudlik kvadrat ildiz va ularni eslab qolish kerak!
Eslatib o'tamiz, har qanday raqam kvadratga aylantirilganda manfiy bo'lmagan natija beradi. Ya'ni, \(100^2=10000\geqslant 0\) va \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) nimaga teng? Biz bilamizki, \(5^2=25\) va \((-5)^2=25\) . Ta'rif bo'yicha biz manfiy bo'lmagan sonni topishimiz kerak bo'lganligi sababli, \(-5\) mos emas, shuning uchun \(\sqrt(25)=5\) (chunki \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) qiymatini topish \(a\) sonining kvadrat ildizini olish, \(a\) soni esa radikal ifoda deb ataladi.
\(\bullet\) Ta'rifga asoslanib, \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) va boshqalar. mantiqiy emas.

2-fakt.
Tez hisob-kitoblar uchun kvadratchalar jadvalini o'rganish foydali bo'ladi natural sonlar\(1\) dan \(20\) gacha: \[\begin(massiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiv)\]

3-fakt.
Kvadrat ildizlar bilan qanday amallarni bajarish mumkin?
\(\ o'q \) Yig'indi yoki farq kvadrat ildizlar Yig'indi yoki farqning kvadrat ildiziga TENG EMAS, ya'ni \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Shunday qilib, agar siz hisoblashingiz kerak bo'lsa, masalan, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , unda dastlab \(\sqrt(25)\) va \(\) qiymatlarini topishingiz kerak. sqrt(49)\ ) va keyin ularni katlayın. Demak, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Agar \(\sqrt a+\sqrt b\) qo'shilganda \(\sqrt a\) yoki \(\sqrt b\) qiymatlarini topib bo'lmasa, bunday ibora keyinchalik o'zgartirilmaydi va avvalgidek qoladi. Masalan, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) yig'indisida biz \(\sqrt(49)\) is \(7\) ni topishimiz mumkin, lekin \(\sqrt 2\) ni o'zgartirib bo'lmaydi. har qanday tarzda, shuning uchun \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Afsuski, bu iborani yanada soddalashtirib bo'lmaydi\(\bullet\) Kvadrat ildizlarning hosilasi/kattasi hosilaning/ko‘rsatkichning kvadrat ildiziga teng, ya’ni \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (tenglikning ikkala tomoni ham mantiqiy bo'lishi sharti bilan)
Misol: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu xossalardan foydalanib, katta sonlarning kvadrat ildizlarini faktoring yordamida topish qulay.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Keling, \(\sqrt(44100)\) ni topamiz. Chunki \(44100:100=441\) , keyin \(44100=100\cdot 441\) . Bo'linish mezoniga ko'ra \(441\) soni \(9\) ga bo'linadi (chunki uning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadi va 9 ga bo'linadi), shuning uchun \(441:9=49\), ya'ni \(441=9\ cdot 49\) .
Shunday qilib, biz oldik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Keling, \(5\sqrt2\) ifodasi (\(5\cdot \sqrt2\) ifodasining qisqacha yozuvi) misolidan foydalanib, kvadrat ildiz belgisi ostida raqamlarni qanday kiritishni ko'rsatamiz. Chunki \(5=\sqrt(25)\) , keyin \ Shuni ham yodda tutingki, masalan,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nega bunday? 1-misoldan foydalanib tushuntiramiz). Siz allaqachon tushunganingizdek, biz \(\sqrt2\) raqamini qandaydir tarzda o'zgartira olmaymiz. Tasavvur qilaylik, \(\sqrt2\) qandaydir son \(a\) . Shunga ko'ra, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifodasi \(a+3a\) dan boshqa narsa emas (bir raqam \(a\) va yana uchta bir xil raqamlar \(a\)). Va biz bilamizki, bu to'rtta shunday raqamga teng \(a\) , ya'ni \(4\sqrt2\) .

4-fakt.
\(\bullet\) Raqamning qiymatini topishda ildizning (radikal) \(\sqrt () \\) belgisidan qutulolmasangiz, ular koʻpincha “siz ildizni chiqarib boʻlmaydi” deyishadi. . Masalan, \(16\) raqamining ildizini olishingiz mumkin, chunki \(16=4^2\) , shuning uchun \(\sqrt(16)=4\) . Lekin \(3\) sonining ildizini ajratib olish, ya'ni \(\sqrt3\) ni topish mumkin emas, chunki kvadrati \(3\) ni beradigan son yo'q.
Bunday raqamlar (yoki bunday raqamlar bilan ifodalangan) irratsionaldir. Masalan, raqamlar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) va h.k. mantiqsizdir.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) va hokazo.
\(\bullet\) E'tibor bering, har qanday raqam ratsional yoki irratsional bo'ladi. Va barcha ratsional va barcha irratsional sonlar birgalikda nomli to'plamni tashkil qiladi haqiqiy sonlar to'plami. Bu to'plam \(\mathbb(R)\) harfi bilan belgilanadi.
Bu yoqilgan barcha raqamlarni bildiradi bu daqiqa Biz bilamizki, haqiqiy sonlar deyiladi.

5-fakt.
\(\o'q\) \(a\) haqiqiy sonning moduli manfiy bo'lmagan \(|a|\) son bo'lib, \(a\) nuqtadan \(0\) gacha bo'lgan masofaga teng. haqiqiy chiziq. Masalan, \(|3|\) va \(|-3|\) 3 ga teng, chunki \(3\) va \(-3\) nuqtalardan \(0\) gacha boʻlgan masofalar bir xil va \(3 \) ga teng.
\(\bullet\) Agar \(a\) manfiy bo'lmagan son bo'lsa, \(|a|=a\) .
Misol: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Agar \(a\) manfiy son bo'lsa, \(|a|=-a\) .
Misol: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ularning ta'kidlashicha, manfiy sonlar uchun modul minusni "eydi", musbat raqamlar, shuningdek \(0\) soni modul tomonidan o'zgarmasdan qoladi.
LEKIN Bu qoida faqat raqamlar uchun amal qiladi. Agar modul belgisi ostida noma'lum \(x\) (yoki boshqa noma'lum) mavjud bo'lsa, masalan, \(|x|\) , biz uning ijobiy, nol yoki salbiy ekanligini bilmaymiz, undan qutuling. modulni biz qila olmaymiz. Bunday holda, bu ifoda bir xil bo'lib qoladi: \(|x|\) . \(\ bullet\) Quyidagi formulalar o'rinli: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( taqdim ) a\geqslant 0\] Ko'pincha quyidagi xatoga yo'l qo'yiladi: ular \(\sqrt(a^2)\) va \((\sqrt a)^2\) bir va bir xil ekanligini aytishadi. Bu faqat \(a\) musbat son yoki nol bo'lsa to'g'ri bo'ladi. Ammo agar \(a\) manfiy son bo'lsa, bu noto'g'ri. Ushbu misolni ko'rib chiqish kifoya. \(a\) o'rniga \(-1\) raqamini olaylik. Keyin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lekin \((\sqrt (-1))^2\) ifodasi umuman mavjud emas (axir, manfiy raqamlarni qo'yish ildiz belgisidan foydalanish mumkin emas!).
Shuning uchun e'tiboringizni \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) ga teng emasligiga qaratamiz! Misol: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\o'ng)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), chunki \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) dan beri \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifodasi juft sonni bildiradi)
Ya'ni, ma'lum darajada bo'lgan sonning ildizini olishda bu daraja ikki baravar kamayadi.
Misol:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (e'tibor bering, agar modul berilmagan bo'lsa, raqamning ildizi \(-25\ ga teng bo'ladi. ) ; lekin biz eslaymizki, ildizning ta'rifiga ko'ra, bu sodir bo'lmaydi: ildizni ajratib olishda biz doimo ijobiy raqam yoki nol olishimiz kerak)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (chunki juft darajali har qanday son manfiy emas)

6-fakt.
Ikki kvadrat ildizni qanday solishtirish mumkin?
\(\ bullet\) Kvadrat ildizlar uchun bu to'g'ri: agar \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisol:
1) \(\sqrt(50)\) va \(6\sqrt2\) ni solishtiring. Birinchidan, ikkinchi ifodani aylantiramiz \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Shunday qilib, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) qanday butun sonlar orasida joylashgan?
Chunki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) va \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) va \(0,5\) ni solishtiramiz. Faraz qilaylik, \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((ikki tomonga bittasini qo'shing))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \to'rtta\matn((ikkala tomonning kvadrati))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalangan)\] Biz noto'g'ri tengsizlikka erishganimizni ko'ramiz. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri edi va \(\sqrt 2-1<0,5\) .
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoniga ma'lum bir son qo'shilishi uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Tengsizlikning ikkala tomonini musbat songa ko'paytirish/bo'lish ham uning belgisiga ta'sir qilmaydi, lekin manfiy songa ko'paytirish/bo'lish tengsizlik belgisini teskari qiladi!
Tenglama/tengsizlikning ikkala tomonini faqat ikkala tomoni manfiy bo'lmasa kvadratga aylantirishingiz mumkin. Masalan, oldingi misoldagi tengsizlikda siz ikkala tomonni kvadratga olishingiz mumkin, tengsizlikda \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\ bullet\) Shuni esda tutish kerak \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2\taxminan 1,4\\ &\sqrt 3\taxminan 1,7 \end(hizalangan)\] Ushbu raqamlarning taxminiy ma'nosini bilish raqamlarni taqqoslashda sizga yordam beradi! \(\oʻq\) Kvadratchalar jadvalida boʻlmagan koʻp sondan ildizni (agar uni ajratib olish mumkin boʻlsa) ajratib olish uchun avval u qaysi “yuzliklar” orasida, keyin esa qaysi “oʻrtasida joylashganligini aniqlashingiz kerak. o'nlab ”, so'ngra ushbu raqamning oxirgi raqamini aniqlang. Keling, bu qanday ishlashini misol bilan ko'rsatamiz.
Keling, \(\sqrt(28224)\) ni olaylik. Biz bilamizki, \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) va hokazo. E'tibor bering, \(28224\) \(10\,000\) va \(40\,000\) orasida. Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) \(100\) va \(200\) orasida.
Endi bizning raqamimiz qaysi "o'nliklar" orasida joylashganligini aniqlaymiz (masalan, \(120\) va \(130\) orasida). Shuningdek, kvadratchalar jadvalidan shuni bilamizki, \(11^2=121\) , \(12^2=144\) va hokazo, keyin \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Shunday qilib, biz \(28224\) \(160^2\) va \(170^2\) orasida ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun \(\sqrt(28224)\) soni \(160\) va \(170\) orasida.
Keling, oxirgi raqamni aniqlashga harakat qilaylik. Keling, qaysi bir xonali sonlar kvadratiga aylanganda oxirida \(4\) ni berishini eslaylik? Bular \(2^2\) va \(8^2\) . Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) 2 yoki 8 bilan tugaydi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. \(162^2\) va \(168^2\) ni topamiz:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Shuning uchun, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini to'g'ri hal qilish uchun siz birinchi navbatda sizni ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalar bilan tanishtiradigan nazariy materialni o'rganishingiz kerak. Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematikadan Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etilgan manbani topish aslida juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan Yagona davlat imtihonining asosiy formulalarini topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega matematikada nazariyani o'rganish nafaqat Yagona davlat imtihonini topshiruvchilar uchun juda muhim?

  1. Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish atrofdagi dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
  2. Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematika bo'yicha Yagona davlat imtihoni uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish orqali odam mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

Kalkulyatorlardan oldin talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

    Radikal sonni kvadrat raqamlarga aylantiring. Radikal raqamga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, radikal sonni kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

    • Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'l bilan). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
    • Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

  1. Ayrim hadlar ko‘paytmasining kvadrat ildizi har bir hadning kvadrat ildizlari ko‘paytmasiga teng, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini olish uchun ushbu qoidadan foydalaning va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

    • Bizning misolimizda 25 va 16 ning ildizini oling.
      • √(25 x 16)
      • √25 x √16
      • 5 x 4 = 20

  2. Agar radikal son ikki kvadrat omilga ta'sir qilmasa (va bu ko'p hollarda sodir bo'ladi), siz butun son shaklida aniq javob topa olmaysiz. Ammo siz radikal sonni kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va umumiy omilning ildizini olasiz.

    • Misol uchun, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
      • = √(49 x 3)
      • = √49 x √3
      • = 7√3

  3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping), uni radikal songa eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildiz qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

    • Keling, misolimizga qaytaylik. Radikal raqam 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida joylashgan. √3 qiymati, ehtimol, 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun, bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 = 11,9. Agar siz hisobni kalkulyatorda qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
      • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Radikal raqam 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 orasida joylashgan. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ta kichik), biz √35 ni 6 dan bir oz kichik deb aytishimiz mumkin. Kalkulyatorni tekshiring 5.92 - biz haq edik.

  4. Boshqa yo'l - radikal sonni tub omillarga aylantiring. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bir qatordagi tub omillarni yozing va bir xil omillar juftlarini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

    • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Radikal sonni tub omillarga ajratamiz: 45 = 9 x 5 va 9 = 3 x 3. Shunday qilib, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisi sifatida chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
    • Yana bir misolni ko'rib chiqamiz: √88.
      • = √(2 x 44)
      • = √ (2 x 4 x 11)
      • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Siz 2 ning uchta ko'paytmasini oldingiz; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan tashqariga o'tkazing.
      • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi siz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishingiz mumkin.

    Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

    Uzoq bo'linishdan foydalanish

    1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga, vertikal chiziqqa gorizontal chiziq torting. Endi radikal sonni o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab juft raqamlarga bo'ling. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikki chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va berilgan raqamni yuqori chap tomonda "7 80, 14" shaklida yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Siz javobni (bu raqamning ildizini) yuqori o'ng tomonga yozasiz.

    2. Chapdagi birinchi raqamlar juftligi (yoki bitta raqam) uchun kvadrati ko'rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo'lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichikroq kvadrat sonni toping va shu kvadrat sonning kvadrat ildizini oling; n raqamini olasiz. Yuqori o'ng tomonga topilgan n ni yozing va pastki o'ngga n ning kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Chapdagi birinchi juft sondan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

    4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqam ikki marta 4 ni beradi. Pastki o'ng tomonda "4_×_=" yozing.

    5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 = 384 bo'ladi, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 qiladi. Chiziqlar o'rniga 7 yozing va oling: 47 x 7 = 329. Yuqori o'ng tomonda 7 yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

    6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chapdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va uni ayirboshlash ostida yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

    7. 4-bosqichni takrorlang. Agar o'tkazilayotgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlari orasiga ajratuvchi (vergul) qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini tushiring. Yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda, o'chirilishi kerak bo'lgan keyingi raqamlar juftligi 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni tushiring va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ngdagi (27) raqamni ikki baravar oshiring - 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

    8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. O'ngdagi tire o'rniga eng katta raqamni toping (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni qo'yishingiz kerak), shunda ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.

    9. Kvadrat ildiz uchun ko'proq o'nli kasrlarni topish kerak bo'lsa, joriy raqamning chap tomoniga bir nechta nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Javob aniqligini (o'nli kasrlar soni) olguncha amallarni takrorlang. kerak.

      Jarayonni tushunish

      1. Ushbu usulni o'zlashtirish uchun kvadrat ildizini S kvadratning maydoni sifatida topish kerak bo'lgan sonni tasavvur qiling. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L ning qiymatini L² = S qilib hisoblaymiz.

        Javobdagi har bir raqam uchun harf bering. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilaymiz (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

        Birinchi raqamlarning har bir jufti uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamlarni S b bilan belgilaymiz va hokazo.

        Ushbu usul va uzoq bo'linish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuning. Xuddi bo'linishda bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan raqamning keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam orqali ishlaymiz (kvadrat ildiz qiymatida keyingi bitta raqamni olish uchun) .

      2. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kerakli kvadrat ildiz qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A ni qidiramiz, shunda tengsizlik A² ≤ Sa bo'ladi.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

        • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S ga teng bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B = L (uchun ikki xonali raqam) yoki 100A + 10B + C = L (uch xonali raqam uchun) va boshqalar.

        • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B bu raqam bo'lib, unda B raqami birliklarni, A raqami esa o'nlikni bildiradi. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 soniga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A²- katta ichki kvadratning maydoni, B²- kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B- ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.

Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Faraz qilaylik, kvadratning yon uzunligi X dekimetrlar. Keyin uchastkaning maydoni X² kvadrat dekimetr. Chunki, shartga ko'ra, bu maydon 81 dm² ga teng X² = 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat sondir. Kvadrati 81 bo'lgan musbat son 9 raqamidir. Masalani yechishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish, ya'ni tenglamani yechish kerak edi. X² = 81. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor: x 1 = 9 va x 2 = - 9, chunki 9² = 81 va (- 9)² = 81. 9 va - 9 raqamlarining ikkalasi ham 81 ning kvadrat ildizlari deyiladi.

Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang X= 9 - ijobiy son. U 81 ning arifmetik kvadrat ildizi deb ataladi va √81 bilan belgilanadi, shuning uchun √81 = 9.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi A kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir A.

Misol uchun, 6 va - 6 raqamlari 36 sonining kvadrat ildizlaridir. Biroq, 6 soni 36 ning arifmetik kvadrat ildizidir, chunki 6 manfiy bo'lmagan son va 6² = 36. - 6 soni bir emas. arifmetik ildiz.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi A quyidagicha ifodalanadi: √ A.

Belgisi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi; A- radikal ifoda deyiladi. Ifoda √ A o'qing shunday: sonning arifmetik kvadrat ildizi A. Masalan, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Arifmetik ildiz haqida gapirayotganimiz aniq bo'lsa, ular qisqacha aytadilar: "kvadrat ildiz A«.

Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz deb ataladi. Bu harakat kvadratlashtirishning teskarisidir.

Siz har qanday raqamni kvadratga olishingiz mumkin, lekin hech qanday raqamdan kvadrat ildiz chiqara olmaysiz. Masalan, raqamning kvadrat ildizini chiqarib bo'lmaydi - 4. Agar bunday ildiz mavjud bo'lsa, uni harf bilan belgilab X, biz noto'g'ri tenglikni olamiz x² = - 4, chunki chap tomonda manfiy bo'lmagan son va o'ng tomonda manfiy son mavjud.

Ifoda √ A faqat qachon mantiqiy a ≥ 0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Tenglik (√ A)² = A uchun amal qiladi a ≥ 0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizini ta'minlash A teng b, ya'ni aslida √ A =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥ 0, b² = A.

Kasrning kvadrat ildizi

Keling, hisoblaylik. √25 = 5, √36 = 6 ekanligini e'tiborga oling va keling, tenglik bajariladimi yoki yo'qligini tekshiramiz.

Chunki va , u holda tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, .

Teorema: Agar A≥ 0 va b> 0, ya'ni kasrning ildizi payning ildiziga bo'lingan qismning ildiziga teng. Buni isbotlash talab qilinadi: va .

√ dan beri A≥0 va √ b> 0, keyin .

Kasrni darajaga ko'tarish xususiyati va kvadrat ildizning ta'rifi haqida teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Tasdiqlangan teoremadan foydalanib hisoblang .

Ikkinchi misol: buni isbotlang , Agar A ≤ 0, b < 0. .

Yana bir misol: Hisoblang.

.

Kvadrat ildiz konvertatsiyasi

Ildiz belgisi ostidan multiplikatorni olib tashlash. Ifodasi berilsin. Agar A≥ 0 va b≥ 0 bo'lsa, mahsulot ildiz teoremasidan foydalanib, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bu transformatsiya omilni ildiz belgisidan olib tashlash deb ataladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik;

Hisoblang X= 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish X Radikal ifodada = 2 murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar siz birinchi navbatda ildiz belgisi ostidagi omillarni olib tashlasangiz, bu hisoblar soddalashtirilishi mumkin: . Endi x = 2 ni almashtirsak, biz:.

Shunday qilib, omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot ko'rinishida ifodalanadi. Keyin mahsulot ildiz teoremasini qo'llang va har bir omilning ildizini oling. Bir misolni ko'rib chiqamiz: A = √8 + √18 - 4√2 ifodasini ildiz belgisi ostidan dastlabki ikki haddagi omillarni chiqarib, soddalashtirsak:. Biz tenglikni ta'kidlaymiz faqat qachon amal qiladi A≥ 0 va b≥ 0. agar A < 0, то .

Matematika inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida paydo bo'lgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, sanash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan birining asosini tashkil etadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning zarralari bo'lib, raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi tufayli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika barcha raqamlardan g'oyib bo'lgach, murakkablik darajasiga yetdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qaerdan boshlangan

Hozirgi vaqtda √ deb belgilangan ildiz haqida birinchi eslatma zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga deyarli o'xshamasdi - o'sha yillardagi olimlar birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. Ular kvadrat ildizni qanday chiqarish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini olishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 ni chiqarish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar uchburchakning bir tomonini topish kerak bo'lsa, qolgan ikkitasi ma'lum bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Bobil asarlari bilan bir qatorda, maqolaning ob'ekti Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizni qoldiqsiz chiqarib bo'lmaydigan har qanday raqam irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi arabcha sonning ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (siz naqshni kuzatishingiz mumkin - "ildiz" ma'nosiga ega bo'lgan hamma narsa undoshdir, xoh u turp yoki radikulit).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Masalan, XV asrda ixtiyoriy a sonining kvadrat ildizi olinganligini ko'rsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Zamonaviy ko'zlarga tanish bo'lgan "mahalla" faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik nuqtai nazardan, y sonining kvadrat ildizi kvadrati y ga teng bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlashga tegishli bo'lgan ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga muhabbat ilm-fan rivoji bilangina kuchayganligi sababli, unga bo'lgan mehrning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli hodisalar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular har yuz yilda to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartibda belgilaydigan raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Shunday qilib, keyingi safar biz ushbu bayramni 2016 yil 4 aprelda nishonlaymiz.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega va maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilangan √y ham bu qismatdan qutulmadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq sonlar navbat bilan ayiriladi - chiqishdagi qoldiq ayirilgandan kam yoki hatto nolga teng bo'lguncha. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bunda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va (1; 1) nuqtani kesib o'tadi.

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funktsiya o'zining minimal qiymatini (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz o‘sib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun baʼzan kvadrat ildizni yozishning kuch shakli qoʻllaniladi: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funksiyani darajaga ko‘tarishda qulay: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi sifatida ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan ko'pgina geometrik formulalarning bir qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Murakkab sohada kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonini kashf etishga turtki bo'ldi, chunki matematiklarni manfiy sonning juft ildizini olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan tavsiflanadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar manfiy diskriminant bilan ham echildi. C da bir xil xususiyatlar kvadrat ildiz uchun R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, radikal ifodadagi cheklovlar olib tashlanadi.